Fonctions de base et fonctions transformées
Rôle des paramètres
Les fonctions sont associées à des situations bien précises; chaque fonction possède donc son propre modèle théorique.
Fonction polynomiale de degré 0
Fonction polynomiale de degré 1
f(x) = ax0
ou
f(x) = a
f(x) = x1
ou
f(x) = x
Fonction de variation inverse
Fonction polynomiale de degré 2
Fonction racine carrée
f(x) = x2 f(x) = xf(x) = x
a
Fonction exponentielle Fonction en escalier Fonction valeur absolue
Fonction périodique Fonction définie par parties
f(x) = cx f(x) = [ x ] f(x) = x
Toutes ces fonctions sont appelées des fonctions de base.
En leur ajoutant des paramètres, on obtient des fonctions transformées.
Exemple:
f(x) = x2 c’est-à-dire f(x) = 1x2
et f(x) = -1x2
Le paramètre a
La fonction polynomiale de degré 2
Sa forme de base est :
Une variation du paramètre a:
f(x) = x2
Si a = 1
Si a = -1
Si a > 1
Si a < -1
Si 0 < a < 1
Si -1 < a < 0
En lui ajoutant le paramètre a:
f(x) = ax2
Remarque:
Toutes les fonctions de base sont, en fait, des fonctions dont le paramètre a = 1.
f(x) = ax2 f(x) = 1x2 f(x) = x2
f(x) = a x f(x) = 1 x f(x) = x
f(x) = acx f(x) = 1cx f(x) = cx
f(x) = a x f(x) = 1 x f(x) = x
f(x) = a sinx f(x) = 1 sinx f(x) = sinx
La fonction valeur absolue
La forme générale est :
Une variation du paramètre a
f(x) = |x|
Si a = 1
Si a = -1
Si a > 1
Si a < -1
Si 0 < a < 1
Si -1 < a < 0
En lui ajoutant le paramètre a:
f(x) = a |x|
La fonction exponentielle
La forme générale est :
Une variation du paramètre a
f(x) = cX
Si a = 1
Si a = -1
Si a > 1
Si a < -1
Si 0 < a < 1
Si -1 < a < 0
Exemple: f(x) = 2X
En lui ajoutant le paramètre a:
La fonction racine carrée
La forme générale est :
Une variation du paramètre a
Si a = 1
Si a = -1
Si a > 1
Si a < -1
Si 0 < a < 1
Si -1 < a < 0
f(x) = x
En lui ajoutant le paramètre a:
f(x) = a x
La fonction périodique
Sa forme générale est :
En lui ajoutant le paramètre a:
f(x) = sin(x)
Si a = 1
Si a = -1
Si a > 1
Si a < -1
Si 0 < a < 1
Si -1 < a < 0
C’est une fonction qui se répète selon une certaine période.
Une des plus connues est la fonction sinusoïdale.
f(x) = a sin(x)
Le paramètre a
Généralement, ce paramètre a un effet d’étirement ou de contraction verticale.
De plus, a < 0, provoque une réflexion par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ).
Réflexion
V e r t i ca l
Le paramètre b
La fonction périodique
Une variation du paramètre b
f(x) = sinx
Si b = 1
Si b > 1
Si 0 < b < 1
Exemple:
En lui ajoutant le paramètre b:
f(x) = sin ( b*x )
Comment faire la différence entre le paramètre a et b.
Avec certaines fonctions, la différence entre le paramètre a et b est difficile à voir.
Regardons le graphique de la fonction racine carrée : f(x) = x
f(x) = 4 x
f(x) = 9x
En lui ajoutant le paramètre a et b :
f(x) = a bx
Si a = 4
Si b = 9
Il n’est pas facile de voir la différence
entre le paramètre a et b.
Pourquoi ne voit-on pas la différence ici ??????
La fonction racine carrée
La forme générale est :
Une variation du paramètre b
Si b > 0
f(x) = x
En lui ajoutant le paramètre b:
f(x) = bx
Exemple : Si b = 9
On a f(x) = 9x
f(x) = 3 x
Si on extrait la racine carrée de 9
On a
Donc, si le paramètre b > 0, la fonction ressemblera
beaucoup plus à une variation du paramètre a.
x 9x9 =•car
f(x) = a x
La fonction racine carrée
La forme générale est :
Une variation du paramètre b
Si b < 0
f(x) = x
En lui ajoutant le paramètre b:
f(x) = bx
Si b = -1
Si -1 < b < 0
Si b < -1
On sait que la racine carrée d’un nombre négatif
n’existe pas dans R.
f(x) = -bx
Ainsi, la valeur de x n’a pas le choix d’être négative.
On a :
Le paramètre b
Généralement, ce paramètre a un effet d’étirement ou de contraction horizontale.
Horizontale
Avec certaines fonctions, la différence entre le paramètre a et b est difficile à voir.
De plus, b < 0, provoque une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées ( l’axe des y ).
Réflexion