Exposé pré-recrutement – Particules et diffusion
Francesco Patacchini
IFPEN, Rueil-Malmaison
14 octobre 2019
1/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
2/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
3/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis flots de gradient
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis flots de gradient
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis flots de gradient
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis flots de gradient
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Equation de continuité
∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q
ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source
Méthodes à maillages Méthodes particulaires
Approchediscrétisation directe de
l’EDPretour à la description lagrangienne
Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit
éléments finis flots de gradient
Paramètre volume de cellule h nombre de particules n
Avantages
rapidité de calcul aucun maillage nécessaire
stabilité géométries compliquées
précision n dynamique
discontinuités moyennées discontinuités “visibles”
• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.
• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.
4/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
5/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p :
6/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p :
6/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p :
6/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p :
6/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p :
p = f ◦ ρ︸ ︷︷ ︸diffusion
+ V︸︷︷︸arrière-plan
+ G ∗ ρ︸ ︷︷ ︸interaction
6/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p : (G ∗ ρ(x) =∫Rd G(x− y)ρ(y) dy)
p = f ◦ ρ︸ ︷︷ ︸diffusion
+ V︸︷︷︸arrière-plan
+ G ∗ ρ︸ ︷︷ ︸interaction
6/37
Hypothèses
Précisions.
{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),
(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.
• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.
Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.
Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =
∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.
Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que
v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)
Hypothèse 4. Il existe une loi d’état entre ρ et p :
p(t,x) = f(ρ(t,x)).
6/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
7/37
Exemples
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )
• f(ρ) = log(ρ)
∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1
∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ
)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)
• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1, V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)
Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.
8/37
Exemples
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )
• f(ρ) = log(ρ)
∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1
∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ
)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)
• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1, V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)
Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.
8/37
Exemples
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )
• f(ρ) = log(ρ)
∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1
∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ
)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)
• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1, V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)
Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.
8/37
Exemples
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )
• f(ρ) = log(ρ)
∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1
∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ
)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)
• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1, V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)
Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.
8/37
Exemples
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )
• f(ρ) = log(ρ)
∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1
∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ
)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)
• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1, V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)
Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.
8/37
Exemples
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )
• f(ρ) = log(ρ)
∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1
∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ
)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)
• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)
• f(ρ) = 1m−1ρ
m−1, V (x) = 12|x|2
∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)
Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.
8/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
9/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Observation. La théorie cinétique des gaz précise que l’entropie de Boltzmann
E(µ) :=
∫Rdµ(x) log(µ(x)) dx (µ ∈ P(Rd))
décrôıt le long des solutions de l’équation de la chaleur :
d(E ◦ ρ)dt
(t) 6 0 ∀ t ∈ R+ si ∂tρ = ∆ρ.
Question. Pouvons-nous donc écrire (du moins formellement) :
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ = −∇E(ρ) ?
10/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Observation. La théorie cinétique des gaz précise que l’entropie de Boltzmann
E(µ) :=
∫Rdµ(x) log(µ(x)) dx (µ ∈ P(Rd))
décrôıt le long des solutions de l’équation de la chaleur :
d(E ◦ ρ)dt
(t) 6 0 ∀ t ∈ R+ si ∂tρ = ∆ρ.
Question. Pouvons-nous donc écrire (du moins formellement) :
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ = −∇E(ρ) ?
10/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Observation. La théorie cinétique des gaz précise que l’entropie de Boltzmann
E(µ) :=
∫Rdµ(x) log(µ(x)) dx (µ ∈ P(Rd))
décrôıt le long des solutions de l’équation de la chaleur :
d(E ◦ ρ)dt
(t) 6 0 ∀ t ∈ R+ si ∂tρ = ∆ρ.
Question. Pouvons-nous donc écrire (du moins formellement) :
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ = −∇E(ρ) ?
10/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ?
Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))
Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à
∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.
Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que
∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :
δE
δµ(µ)[ν] := lim
ε→0
E(µ+ εν)− E(µ)ε
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx
= limε→0
1
ε
∫Rd
(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)
)dx
=
∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =
∫Rd
(1 + log(µ(x))ν(x) dx
=
∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =
∫Rdp(x)ν(x) dx =:
∫Rd
δE
δµ(x)ν(x) dx.
Ce qui suggère
∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇
δE
δρ
).
11/37
Considérations énergétiques
En généralisant nos arguments, on obtient
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),
où l’énergie (totale) est maintenant
E(µ) =
∫Rde(µ(x)) dx +
∫RdV (x) dµ(x), e(µ) =
∫ µ0f(r) dr.
• Pour l’équation de la chaleur, e(µ) = µ log(µ).• Pour l’équation des milieux poreux, e(µ) = 1
m−1µm.
Remarques.
• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein.
Elle permet demesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :
W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)
(∫Rd×Rd
|x− y|2 dπ(x,y))1/2
, µ0, µ1 ∈ P(Rd),
où Π(µ0, µ1) est l’espace des probabilités sur Rd × Rd avec marginales µ0 et µ1.
12/37
Considérations énergétiques
En généralisant nos arguments, on obtient
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),
où l’énergie (totale) est maintenant
E(µ) =
∫Rde(µ(x)) dx +
∫RdV (x) dµ(x), e(µ) =
∫ µ0f(r) dr.
• Pour l’équation de la chaleur, e(µ) = µ log(µ).• Pour l’équation des milieux poreux, e(µ) = 1
m−1µm.
Remarques.
• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein.
Elle permet demesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :
W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)
(∫Rd×Rd
|x− y|2 dπ(x,y))1/2
, µ0, µ1 ∈ P(Rd),
où Π(µ0, µ1) est l’espace des probabilités sur Rd × Rd avec marginales µ0 et µ1.
12/37
Considérations énergétiques
En généralisant nos arguments, on obtient
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),
où l’énergie (totale) est maintenant
E(µ) =
∫Rde(µ(x)) dx +
∫RdV (x) dµ(x), e(µ) =
∫ µ0f(r) dr.
• Pour l’équation de la chaleur, e(µ) = µ log(µ).• Pour l’équation des milieux poreux, e(µ) = 1
m−1µm.
Remarques.
• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.
• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein.
Elle permet demesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :
W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)
(∫Rd×Rd
|x− y|2 dπ(x,y))1/2
, µ0, µ1 ∈ P(Rd),
où Π(µ0, µ1) est l’espace des probabilités sur Rd × Rd avec marginales µ0 et µ1.
12/37
Considérations énergétiques
En généralisant nos arguments, on obtient
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),
où l’énergie (totale) est maintenant
E(µ) =
∫Rde(µ(x)) dx +
∫RdV (x) dµ(x), e(µ) =
∫ µ0f(r) dr.
• Pour l’équation de la chaleur, e(µ) = µ log(µ).• Pour l’équation des milieux poreux, e(µ) = 1
m−1µm.
Remarques.
• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein.
Elle permet demesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :
W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)
(∫Rd×Rd
|x− y|2 dπ(x,y))1/2
, µ0, µ1 ∈ P(Rd),
où Π(µ0, µ1) est l’espace des probabilités sur Rd × Rd avec marginales µ0 et µ1.
12/37
Considérations énergétiques
En généralisant nos arguments, on obtient
∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),
où l’énergie (totale) est maintenant
E(µ) =
∫Rde(µ(x)) dx +
∫RdV (x) dµ(x), e(µ) =
∫ µ0f(r) dr.
• Pour l’équation de la chaleur, e(µ) = µ log(µ).• Pour l’équation des milieux poreux, e(µ) = 1
m−1µm.
Remarques.
• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein. Elle permet de
mesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :
W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)
(∫Rd×Rd
|x− y|2 dπ(x,y))1/2
, µ0, µ1 ∈ P(Rd),
où Π(µ0, µ1) est l’espace des probabilités sur Rd × Rd avec marginales µ0 et µ1.
12/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
13/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.
14/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.
14/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.
14/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.
14/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...
• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.
14/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.
14/37
Discrétisation particulaire
∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:
∫Rdg(µ(x)) dµ(x).
Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs
miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.
Question. Quelle énergie En ?
• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :
x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1
miδxi =: µn.
• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :
Eε(µ) =
∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.
• On peut maintenant injecter µn dans Eε :
Eε(µn) =
∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =
n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
.14/37
Discrétisation particulaire
On définit donc
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
, X = {x1, . . . ,xn} ∈ (Rd)n.
• Equation de la chaleur (si m1 = · · · = mn = 1/n) :
Eε,n(X) = − log(n) +1
n
n∑i=1
log
n∑j=1
ϕε(xi − xj)
,• Equation des milieux poreux (si m1 = · · · = mn = 1/n) :
Eε,n(X) =1
(m− 1)nm
n∑i=1
n∑j=1
ϕε(xi − xj)
m−1 .
15/37
Discrétisation particulaire
On définit donc
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
, X = {x1, . . . ,xn} ∈ (Rd)n.
• Equation de la chaleur (si m1 = · · · = mn = 1/n) :
Eε,n(X) = − log(n) +1
n
n∑i=1
log
n∑j=1
ϕε(xi − xj)
,
• Equation des milieux poreux (si m1 = · · · = mn = 1/n) :
Eε,n(X) =1
(m− 1)nm
n∑i=1
n∑j=1
ϕε(xi − xj)
m−1 .
15/37
Discrétisation particulaire
On définit donc
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
, X = {x1, . . . ,xn} ∈ (Rd)n.
• Equation de la chaleur (si m1 = · · · = mn = 1/n) :
Eε,n(X) = − log(n) +1
n
n∑i=1
log
n∑j=1
ϕε(xi − xj)
,• Equation des milieux poreux (si m1 = · · · = mn = 1/n) :
Eε,n(X) =1
(m− 1)nm
n∑i=1
n∑j=1
ϕε(xi − xj)
m−1 .
15/37
Discrétisation particulaireAjoutons le potentiel V :
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
+ m∑i=1
miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.
On résout la descente de gradient pour Eε,n :
mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})
Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d). Supposons que
W (X0ε(n),n, ρ0)→ 0 lorsque n→∞.
Prenons alors Xε(n),n solution de la descente de gradient
mẊε(n),n = −∇Eε(n),n(Xε(n),n), Xε(n),n(0) = X0ε(n),n.
Alors il existe ρ : R+ → P(Rd) tel que W (Xε(n),n(t), ρ(t)) → 0 lorsque n → ∞ pourtout t > 0 et ρ est solution de
∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.
1. J. A. Carrillo, K. Craig, F. Patacchini. A blob method for diffusion. Calc. Var. PartialDifferential Equations (2019).
16/37
Discrétisation particulaireAjoutons le potentiel V :
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
+ m∑i=1
miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.
On résout la descente de gradient pour Eε,n :
mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})
Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d).
Supposons que
W (X0ε(n),n, ρ0)→ 0 lorsque n→∞.
Prenons alors Xε(n),n solution de la descente de gradient
mẊε(n),n = −∇Eε(n),n(Xε(n),n), Xε(n),n(0) = X0ε(n),n.
Alors il existe ρ : R+ → P(Rd) tel que W (Xε(n),n(t), ρ(t)) → 0 lorsque n → ∞ pourtout t > 0 et ρ est solution de
∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.
1. J. A. Carrillo, K. Craig, F. Patacchini. A blob method for diffusion. Calc. Var. PartialDifferential Equations (2019).
16/37
Discrétisation particulaireAjoutons le potentiel V :
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
+ m∑i=1
miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.
On résout la descente de gradient pour Eε,n :
mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})
Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d). Supposons que
W (X0ε(n),n, ρ0)→ 0 lorsque n→∞.
Prenons alors Xε(n),n solution de la descente de gradient
mẊε(n),n = −∇Eε(n),n(Xε(n),n), Xε(n),n(0) = X0ε(n),n.
Alors il existe ρ : R+ → P(Rd) tel que W (Xε(n),n(t), ρ(t)) → 0 lorsque n → ∞ pourtout t > 0 et ρ est solution de
∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.
1. J. A. Carrillo, K. Craig, F. Patacchini. A blob method for diffusion. Calc. Var. PartialDifferential Equations (2019).
16/37
Discrétisation particulaireAjoutons le potentiel V :
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
+ m∑i=1
miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.
On résout la descente de gradient pour Eε,n :
mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})
Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d). Supposons que
W (X0ε(n),n, ρ0)→ 0 lorsque n→∞.
Prenons alors Xε(n),n solution de la descente de gradient
mẊε(n),n = −∇Eε(n),n(Xε(n),n), Xε(n),n(0) = X0ε(n),n.
Alors il existe ρ : R+ → P(Rd) tel que W (Xε(n),n(t), ρ(t)) → 0 lorsque n → ∞ pourtout t > 0 et ρ est solution de
∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.
1. J. A. Carrillo, K. Craig, F. Patacchini. A blob method for diffusion. Calc. Var. PartialDifferential Equations (2019).
16/37
Discrétisation particulaireAjoutons le potentiel V :
Eε,n(X) =n∑i=1
mig
n∑j=1
mjϕε(xi − xj)
+ m∑i=1
miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.
On résout la descente de gradient pour Eε,n :
mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})
Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d). Supposons que
W (X0ε(n),n, ρ0)→ 0 lorsque n→∞.
Prenons alors Xε(n),n solution de la descente de gradient
mẊε(n),n = −∇Eε(n),n(Xε(n),n), Xε(n),n(0) = X0ε(n),n.
Alors il existe ρ : R+ → P(Rd) tel que W (Xε(n),n(t), ρ(t)) → 0 lorsque n → ∞ pourtout t > 0 et ρ est solution de
∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.
1. J. A. Carrillo, K. Craig, F. Patacchini. A blob method for diffusion. Calc. Var. PartialDifferential Equations (2019).
16/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
17/37
Simulations numériques
Précisions.
• Discrétisation en temps :
Xp+1ε,n = Xpε,n −
∆t
m∇Eε,n(Xpε,n). (indice de temps, p)
• Initialisation :
– particules distribuées uniformément,– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =
∫Ciρ0(x) dx.
• Valeurs typiques essayées : n ∼ 102, ∆t ∼ 10−3, 10−4 (adaptif), ε ∼ (n−1/d)0.9.
18/37
Simulations numériques
Précisions.
• Discrétisation en temps :
Xp+1ε,n = Xpε,n −
∆t
m∇Eε,n(Xpε,n). (indice de temps, p)
• Initialisation :– particules distribuées uniformément,
– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =∫Ciρ0(x) dx.
• Valeurs typiques essayées : n ∼ 102, ∆t ∼ 10−3, 10−4 (adaptif), ε ∼ (n−1/d)0.9.
18/37
Simulations numériques
Précisions.
• Discrétisation en temps :
Xp+1ε,n = Xpε,n −
∆t
m∇Eε,n(Xpε,n). (indice de temps, p)
• Initialisation :– particules distribuées uniformément,– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =
∫Ciρ0(x) dx.
• Valeurs typiques essayées : n ∼ 102, ∆t ∼ 10−3, 10−4 (adaptif), ε ∼ (n−1/d)0.9.
18/37
Simulations numériques
Précisions.
• Discrétisation en temps :
Xp+1ε,n = Xpε,n −
∆t
m∇Eε,n(Xpε,n). (indice de temps, p)
• Initialisation :– particules distribuées uniformément,– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =
∫Ciρ0(x) dx.
• Valeurs typiques essayées : n ∼ 102, ∆t ∼ 10−3, 10−4 (adaptif), ε ∼ (n−1/d)0.9.
18/37
Simulations numériques
-10 -5 0 5 10x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 2.0exact sol at t = 2.0
Figure – Equation de la chaleur avec n = 50
Solution numérique :
ρε,n(x) = ϕε ∗ µn(x) =n∑i=1
miϕε(x− xi).
19/37
Simulations numériques
-3 -2 -1 0 1 2 3x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 2.0exact sol at t = 2.0
Figure – Equation des milieux poreux (m = 2) avec n = 50
ρ0(x) = 4α max
(0,K − 16κx2α
) 1m−1 , α =
1
m+ 1, κ =
m− 12mα
. (Barrenblatt)
K est telle que la masse totale de ρ0 est égale à 1.
20/37
Simulations numériques
-2 -1 0 1 2x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 2.0exact sol at t = 2.0
Figure – Equation des milieux poreux (m = 3) avec n = 50
21/37
Simulations numériques
101.8 102.0 102.2 102.4 102.6
n
10 2.0
10 1.8
10 1.6
10 1.4
10 1.2W
asse
rste
inEr
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -1.01
101.8 102.0 102.2 102.4 102.6
n
10 3.3
10 3.0
10 2.7
10 2.4
10 2.1
L2Er
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -1.76
Figure – Etude d’erreur pour l’équation de la chaleur avec 50 6 n 6 400
On obtient bien : log(err) = a+ b log(n).
22/37
Simulations numériques
101.8 102.0 102.2 102.4 102.6
n
10 2.6
10 2.4
10 2.2
10 2.0
10 1.8W
asse
rste
inEr
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -1.01
101.8 102.0 102.2 102.4 102.6
n
10 3.50
10 3.25
10 3.00
10 2.75
10 2.50
L2Er
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -1.54
Figure – Etude d’erreur pour l’équation des milieux poreux (m = 2) avec 50 6 n 6 400
23/37
Simulations numériques
-6 -3 0 3 6x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4 numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 7.67exact steady state
Figure – Equation de Fokker–Planck avec n = 80
24/37
Simulations numériques
-2 -1 0 1 2 3 4x
0
2
4
6
t
Figure – Trajectoires des particules pour Fokker–Planck avec n = 80
25/37
Simulations numériques
0 2 4 6t
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4E(
t)
Figure – Evolution de l’énergie pour Fokker–Planck avec n = 80
26/37
Simulations numériques
-4 -2 0 2 4x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 5.0exact steady state
Figure – Equation non linéaire (m = 3) de Fokker–Planck avec n = 50
27/37
Simulations numériques
x-2 -1 0 1 2
y-2-10 1
2
0.050.100.150.200.25
Numerical sol at t = 0.0
-4 -2 0 2 4x
-2-1012
y
Numerical sol at t = 0.0
x-2 -1 0 1 2 y-2
-101 2
0.050.100.150.200.250.30
Exact sol at t = 0.0
-4 -2 0 2 4x
-2-1012
y
Exact sol at t = 0.0
0.000.040.080.120.160.200.240.280.32
Figure – Equation de la chaleur avec n = 100 – état initial
28/37
Simulations numériques
x-2 -1 0 1 2
y-2-10 1
2
0.0250.0500.0750.1000.125
Numerical sol at t = 0.3
-4 -2 0 2 4x
-2-1012
y
Numerical sol at t = 0.3
x-2 -1 0 1 2 y-2
-101 2
0.0250.0500.0750.1000.125
Exact sol at t = 0.3
-4 -2 0 2 4x
-2-1012
y
Exact sol at t = 0.3
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
Figure – Equation de la chaleur avec n = 100 – état final
29/37
Simulations numériques
101.4 101.6 101.8 102.0 102.2
n
10 0.9
10 0.8
10 0.7
10 0.6
10 0.5
Was
sers
tein
erro
rRecorded errorsline of best fit, slope = -0.5
101.4 101.6 101.8 102.0 102.2
n
10 1.8
10 1.7
10 1.6
10 1.5
10 1.4
10 1.3
L2er
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -0.55
Figure – Etude d’erreur pour l’équation de la chaleur avec 25 6 n 6 225
30/37
Simulations numériques
101.4 101.6 101.8 102.0 102.2
n
10 1.2
10 1.1
10 1.0
10 0.9
10 0.8W
asse
rste
iner
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -0.48
101.4 101.6 101.8 102.0 102.2
n
10 1.7
10 1.6
10 1.5
10 1.4
10 1.3
10 1.2
10 1.1
L2er
ror
Recorded errorsline of best fit, slope = -0.66
Figure – Etude d’erreur pour l’équation des milieux poreux (m = 2) avec 25 6 n 6 225
On voudrait dire que errWass = O(n−1/d) .
31/37
Simulations numériques
x
-3 -2 -1 0 1 2 3y-3-2
-1012
3
0.020.040.060.080.10
Numerical sol at t = 0.0
-4 -2 0 2 4x
-3-2-10123
y
Numerical sol at t = 0.0
x-3 -2 -1 0 1 2 3
y-3-2-10
1230.0000.0250.0500.0750.100
Exact sol at t = 0.0
-4 -2 0 2 4x
-3-2-10123
y
Exact sol at t = 0.0
0.000
0.016
0.032
0.048
0.064
0.080
0.096
0.112
Figure – Equation de Fokker–Planck non linéaire (m = 2) avec n = 49 – état initial
32/37
Simulations numériques
x
-3 -2 -1 0 1 2 3y-3-2
-101 2
3
0.050.100.150.200.250.300.35
Numerical sol at t = 4.99
-4 -2 0 2 4x
-3-2-10123
y
Numerical sol at t = 4.99
x-3 -2 -1 0 1 2 3
y-3-2-10
1 230.00.10.20.3
Exact steady state
-4 -2 0 2 4x
-3-2-10123
y
Exact steady state
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Figure – Equation de Fokker–Planck non linéaire (m = 2) avec n = 49 – état stationnaire
33/37
Simulations numériques
Figure – Evolution des particules pour Fokker–Planck non linéaire (m = 2) avec n = 49
34/37
Table des matières
Equation de continuité
Hypothèses
Exemples
Considérations énergétiques
Discrétisation particulaire
Simulations numériques
Conclusion
35/37
Conclusion
Extensions possibles.
• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :
Eint(µ) =
∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =
n∑i,j=1
mimjG(xi − xj).
Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.
• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :
V (x) =
{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.
En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)
2 et on laisse δ → 0.
Remarques.
• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2
• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.
2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).
36/37
Conclusion
Extensions possibles.
• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :
Eint(µ) =
∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =
n∑i,j=1
mimjG(xi − xj).
Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.
• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :
V (x) =
{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.
En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)
2 et on laisse δ → 0.
Remarques.
• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2
• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.
2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).
36/37
Conclusion
Extensions possibles.
• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :
Eint(µ) =
∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =
n∑i,j=1
mimjG(xi − xj).
Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.
• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :
V (x) =
{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.
En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)
2 et on laisse δ → 0.
Remarques.
• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2
• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.
2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).
36/37
Conclusion
Extensions possibles.
• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :
Eint(µ) =
∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =
n∑i,j=1
mimjG(xi − xj).
Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.
• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :
V (x) =
{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.
En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)
2 et on laisse δ → 0.
Remarques.
• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.
• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2
• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.
2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).
36/37
Conclusion
Extensions possibles.
• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :
Eint(µ) =
∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =
n∑i,j=1
mimjG(xi − xj).
Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.
• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :
V (x) =
{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.
En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)
2 et on laisse δ → 0.
Remarques.
• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2
• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.
2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).
36/37
Conclusion
Extensions possibles.
• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :
Eint(µ) =
∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =
n∑i,j=1
mimjG(xi − xj).
Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.
• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :
V (x) =
{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.
En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)
2 et on laisse δ → 0.
Remarques.
• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2
• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.
2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).
36/37
Merci pour votre attention
37/37
Equation de continuitéHypothèsesExemplesConsidérations énergétiquesDiscrétisation particulaireSimulations numériquesConclusion