Lorsque qu’une personne (prêteur) prête Lorsque qu’une personne (prêteur) prête
une somme à une autre personne une somme à une autre personne
(emprunteur) il est généralement convenu (emprunteur) il est généralement convenu
de rembourser, à l ’échéance, cet emprunt de rembourser, à l ’échéance, cet emprunt
mais également de verser des intérêts mais également de verser des intérêts
(loyer de l’argent)...(loyer de l’argent)...
L’empruntL’emprunt
idrac
L’emprunteur verse au prêteur L’emprunteur verse au prêteur une une
annuitéannuité qui comprend : qui comprend :
- Les intérêtsLes intérêts calculés sur le capital calculés sur le capital
non encore remboursénon encore remboursé
- L’ amortissementL’ amortissement. c’est-à-dire le . c’est-à-dire le
remboursement d’une fraction du remboursement d’une fraction du
capital empruntécapital emprunté
Annuité = amortissement + intérêt
Le Le remboursement remboursement
d’empruntd’emprunt
Le remboursement d’emprunt peut s’effectuer selon deux modalités différentes :
1. un remboursement en fin de période :
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Date d’emprunt 10/04/00
2. un remboursement périodique en cours de période :
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Date d’emprunt 10/04/00
Date fin de remboursement
10/04/05
1. Remboursement en fin de période :
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Date d’emprunt 10/04/03
Date remboursement
10/04/08
20 000 €
Intérêt = C x t x n Avec C le capitalAvec t le taux d’intérêtAvec n la durée de l’emprunt
Nous avons donc = 20 000 x 5 % x 5 ans
Soit 5 000 € à payer au titre des intérêts
20 000 €+
5 000 €
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Date d’emprunt 10/04/03
Date fin de remboursement
10/04/08
2. un remboursement périodique en cours de période :
2 possibilités de remboursement périodique :
b. Par annuité constantea. Par remboursement ou amortissement constant
a. Par remboursement constant
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Date d’emprunt 10/04/03
Date fin de remboursement
10/04/08
20 000 € emprunté sur 5 ans donc chaque année on remboursera 4 000 €
Les intérêts seront calculés en fonction du capital restant à rembourser
Soit 20 000 x t avec t = 5% 20 000 x 5% = 1 000pour la 1ère année
Soit (20 000 - 4 000) x t 16 000 x 5% = 800pour la 2ème année
Soit (16 000 - 4 000) x t 12 000 x 5% = 600pour la 3ème année
Soit (12 000 - 4 000) x t 8 000 x 5% = 400pour la 4ème année
Soit ( 8 000 - 4 000) x t 4 000 x 5% = 200pour la 5ème année
a. Par remboursement constant
L’amortissement est constant
les intérêts sont dégressifs
donc l’annuité sera également
dégressive
4 000,004000,004000,004000,004000,00
1 000,00 800,00 600,00 400,00 200,00
5 000,00 4 800,00 4 600,00 4 400,00 4 200,00
+++++
Tableau de Tableau de remboursement remboursement
d’empruntd’empruntavec remboursements avec remboursements (amortissements) constants(amortissements) constants
Années Dates des échéances
Capital du en début
de périodeIntérêt amortissement
Intérêts cumulés
Annuité
1 10/04/2004 20 000,00 1 000,00 4 000,00 1 000,00 5 000,00
2 10/04/2005 16 000,00 800,00 4 000,00 1 800,00 4 800,00
3 10/04/2006 12 000,00 600,00 4 000,00 2 400,00 4 600,00
4 10/04/2007 8 000,00 400,00 4 000,00 2 800,00 4 400,00
5 10/04/2008 4 000,00 200,00 4 000,00 3 000,00 4 200,00
Capital en début de période = valeur restant à amortir en début d’année
Intérêt = Capital en début de période x taux
Capital remboursé = Capital / durée de l’emprunt
Intérêts cumulés = Intérêts cumulés de l’année précédente + intérêts de l’année
L’annuité = capital remboursé + intérêts
1 2 3 4 5 6 7
Années Dates des échéances
Capital du en début
de périodeIntérêt amortissement
Intérêts cumulés
Annuité
1 10/06/2008 10 000,00 500,00 2 500,00 500,00 3 000,00
2 10/06/2009 7 500,00 375,00 2 500,00 875,00 2 875,00
3 10/06/2010 5 000,00 250,00 2 500,00 1 125,00 2 750,00
4 10/06/2011 2 500,00 125,00 2 500,00 1 250,00 2 625,00
EXEMPLE :On emprunte le 10/06/2007 10000€ sur 4 ans à 5% en amortissements constants. Faire le tableau d'amortissements de l'emprunt.
b. Par annuité constante
Puisque l’annuité est constante...
et que les intérêts sont
dégressifs...
les amortissements
seront donc croissants.
- =
b. Par annuité constante
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Date d’emprunt 10/04/03
Date fin de remboursement
10/04/08
20 000 € emprunté sur 5 ans
L ’annuité (a) se calcule grâce à la formule suivante :
a = c x t1-(1+t)-n
• c capital emprunté
• t taux d’intérêt
• n durée de l’emprunt
a = 20 000 x 0,230975 = 4619,50 €
2. Par annuité constante
Les intérêts sont calculés en fonction du capital restant à rembourser
Soit 20 000 x 5% 1 000pour la 1ère année
L’annuité étant constante :
et l’intérêt facilement calculable
on en déduira l’amortissement
Soit 4 619,50 - 1 000 3 619,50pour la 1ère année
4619,50 €
Amortissement = Annuité - Intérêts
Tableau de Tableau de remboursement remboursement
d’empruntd’empruntpar annuités constantespar annuités constantes
Années Dates des échéances
Capital du en début
de périodeIntérêt amortissement
Intérêts cumulés
Annuité
1 10/04/2004 20 000,00 1 000,00 3 619,50 1 000,00 4 619,50
2 10/04/2005 16 380,50 819,03 3 800,47 1 819,03 4 619,50
3 10/04/2006 12 580,03 629,00 3 990,49 2 448,03 4 619,50
4 10/04/2007 8 589,54 429,48 4 190,02 2 877,50 4 619,50
5 10/04/2008 4 399,52 219,98 4 399,52 3 097,48 4 619,50
Capital en début de période = valeur restant à amortir en
début d’année
Intérêt = Capital en début de période x taux
L’annuité est constante
Capital remboursé = annuité - intérêts
Intérêts cumulés = Intérêts cumulés de l ’année précédente + intérêts de l’année
EXEMPLE :On emprunte le 10/06/2007 10000€ sur 4 ans à 3% en annuités constantes. Faire le tableau d'amortissements de l'emprunt.Montant de l'emprunt : 10000 Taux annuel en % : 3,00%
Durée en années : 4 Date 1ère échéance (jj/mm/aa) : 10/06/2008
annuité constante : 2690,27
Années Dates des échéances
Capital du en début
de périodeIntérêt amortissement
Intérêts cumulés
Annuité
1 10/06/2008 10 000,00 300,00 2 390,27 300,00 2 690,27
2 10/06/2009 7 609,73 228,29 2 461,98 528,29 2 690,27
3 10/06/2010 5 147,75 154,43 2 535,84 682,72 2 690,27
4 10/06/2011 2 611,91 78,36 2 611,91 761,08 2 690,27
amortissement
3 619,50
3 800,47
3 990,49
4 190,02
4 399,52
Les amortissements constituent donc une suite géométrique de premier terme A1 et de raison (1+ t).
La 1ère année l’amortissement A1 s’élève à :
La 2de année l’amortissement A2 s’élève à :
On constate que pour passer de A1 à Il suffit de multiplier A1 par
Vérifions : 3619,50 x (1,05)4 = 4399,52
3800,47 x (1,05)2 = 4190,02
Calcul d’un amortissement quelconque
A2
1,05 soit (1 + t)
2
2
1
1