LYCEE DESSAIGNES ANNEE 2015/2016

INTERROGATIONS DE MATHEMATIQUES

SEMAINE N◦ 21 DU 21/03 AU 25/03/2016

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Espaces préhilbertiens réels

Produit scalaire: propriétés générales et exemples , notamment Rn, L2(R)Norme euclidienne associée à un produit scalaire

Orthogonalité : vecteurs orthogonaux ,relation de Pythagore, orthogonal d’une partie , d’un sous espace

si F est un sev de dim finie de E F et F⊥ sont supplémentaires

projections orthogonales . Propriété .Caractérisation métrique de PF (x).,Distance d’un vecteur à un sous espace de dimension finie

Espaces Euclidiens

Procédé d’orthonormalisation de Schmidt

Bases orthonormales: expression d’un vecteur dans une BON: x =∑n

1 (x | ei)ei.Matrice d’un endomorphisme dans une BON

Expression de la projection orthogonale pF à l’aide d’une base orthonormale de F (notamment exemple de la

projection sur une droite vectorielle , sur un hyperplan)

Théorème de représentation des formes linéaires en dimension finie

Suites orthonormales (ei)i∈N . Inégalité de Bessel :∑+∞

0 (x | ei)2 est convergente et∑+∞

0 (x | ei)2 ≤ ‖x‖2

Suites totale: la suite orthonormale (ei)i∈N est totale dans E ssi vect {ei, i ∈ N} = E(ei)i∈N est totale ssi pour tout x ∈ E, x =

∑+∞0 (x | ei)ei ssi

∑+∞0 (x | ei)2 = ‖x‖2

Questions de cours

1◦ Ex 76 Algèbre.

2◦ Ex 77 Algèbre.

3◦Ex 81 Algèbre.

4◦ Ex 92 Algèbre.

5◦Une projection orthogonale PF vérifie ∀(x, y) ∈ E2, (PF (x) | y) = (x | PF (y)). Conséquence sur la matrice de

PF dans une BON.

6◦ Méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille libre (ei)i∈I : formules et explication de la

méthode.

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