Mathématiques
Financières
Pr. Driss El
Moutawakil
Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Mathématiques Financières
Pr. Driss El Moutawakil
Université Hassan 1er,
Faculté polydisciplinaire de Khouribga, BP. 145,
Khouribga, Maroc.
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Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Plan du Cours
1 Chapitre 1 : Les intérêts
2 Chapitre 2 : Les annuités
3 Chapitre 3 : Les emprunts indivis
Mathématiques
Financières
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Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Chapitre 1
Les intérêts
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Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
1. Notion d'Intérêt
Dé�nition
L'intérêt peut être dé�ni comme la rémunération d'un prêt
d'argent
Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l'intérêt :
la somme prêtée
la durée du prêt
le taux auquel cette somme est prêtée
Il y a deux types d'intérêt : l'intérêt simple et l'intérêt composé
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Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
2. Intérêt simple
Dé�nition
L'intérêt simple se calcule toujours sur le principal. Il ne
s'ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt
Il est versé en une seule fois au début de l'opération, c'est
à dire lors de la remise du prêt, ou à la �n de l'opération
c'est à dire lors du remboursement.
L'intérêt simple concerne essentiellement les opérations à
court terme (inférieures à un an)
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Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Calcul pratique
C : le montant du capital en Dhs (valeur nominale)
T : le taux d'intérêt annuel (en pourcentage)
N : la durée de placement (en année)
I : le montant de l'intérêt à calculer en Dhs
V : la valeur acquise par le capital en Dhs (valeur aquise)
Alors, on a :
I = C × T%× N = C × T
100× N
V = C + I
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Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Remarques
1 Si la durée du placement N est exprimée en mois, on aura :
I = C × T
100× N
12
2 Si la durée du placement N est exprimée en jours, on aura :
I = C × T
100× N
360
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Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Exemples
Une somme de 30000 Dhs est placée sur un compte du 23 Avril
au 9 Août au taux simple de 7%
1 Calculons le montant de l'intérêt produit à l'échéance
2 Calculons la valeur acquise par ce capital
3 Cherchons la date de remboursement pour un intérêt
produit égal à 315 Dhs
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Les intérêts
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
3. L'escompte commercial
Dé�nition
L'escompte est une opération de crédit par laquelle la
banque transforme une créance, matérialisée par un e�et
de commerce, en liquidité au pro�t de son client, avant son
échéance et contre remise de l'e�et
C'est l'intérêt simple calculé à un taux indiqué par le
banquier sur une somme égale à la valeur nominale de
l'e�et et une durée allant du jour de la négociation
jusqu'au jour de l'échéance
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Chapitre 2 :
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Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Calcul pratique
V : la valeur nominale de l'e�et, c'est la valeur de l'e�et à son
échéance
T : le taux d'escompte
N : la durée de l'escompte, c'est le nombre de jours séparant la
date de négociation de l'e�et de sa date d'échéance
E : l'escompte commercial
A : la valeur actuelle commerciale
Alors, on a :
E = V × T
100× N
360A = V − E
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Les emprunts
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Exemple
Combien le banquier remettra-t-il à son client s'il lui escompte
en 29-11-2013 un e�et de 100.000 Dhs payable au 20-02-2014,
sachant que le taux est 9% ?
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Agios de l'escompte
Dé�nition
La remise d'un e�et à l'escompte entraîne des frais
�nanciers comprennant plusieurs commissions, en plus de
l'escompte
L'ensemble de l'escompte et des commissions s'appelle
l'agio
L'agio se compose de l'escompte, les diverses commissions
et la taxe sur la valeur ajoutée (TVA)
Au Maroc, la TVA est de 10%. Elle est appliquée
directement sur l'ensemble de l'agio Hors Taxe
La durée réelle de l'escompte est parfois majorée d'un ou
de plusieurs jours (appelés couramment jours de banque)
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Les emprunts
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Exemple
Calculons la valeur actuelle de l'e�et de commerce de 35.500
Dhs échéant le 27 juillet 2005 et escompté le 10 avril de la
même année, aux conditions suivantes :
1 Taux d'escompte : 13%
2 Commission de manipulation : 2 Dhs par e�et
3 TVA : 10%
4 Tenir compte d'un jour de banque
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4. Equivalence de deux e�ets
Dé�nition
Deux e�ets sont équivalents à une date déterminée, si
escomptés en même temps, ils ont la même valeur actuelle
Cette date est la date déquivalence
Remarques
La date d'équivalence de deux e�ets, dans le cas ou elle
existe, est antérieure à la date d'échéance la plus proche
La date d'équivalence doit être postérieure aux dates à
partir desquelles les deux e�ets ont été créés
Deux e�ets ne peuvent être équivalents qu'à une seule date
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Chapitre 3 :
Les emprunts
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Calcul pratique
V1,V2 : les valeurs nominales des deux e�ets
T1,T2 : les taux d'escompte
N1,N2 : les durées d'escompte
E1,E2 : les escomptes commerciales
Alors, on a :
V1 − E1 = V2 − E2
V1 − V1 ×T1
100× N1
360= V2 − V2 ×
T2
100× N2
360
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Les emprunts
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Exemple
A quelle date un e�et de valeur nominale de 20.000 Dhs à
échéance du 15 avril est-il équivalent à un e�et de 20.435,68
Dhs à échéance du 14 juin de la même année sachant que le
taux d'escompte est de 12, 6% ?
Exemple
On désire remplacer un e�et d'une valeur nominale de 75.000
Dhs payable dans 60 jours par un autre e�et de valeur nominale
de 74.600 Dhs.
Quelle sera l'échéance de cet e�et sachant que le taux
d'escompte est de 13% ?
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Les emprunts
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5. Echéance commune
Dé�nition
L'échéance commune est le cas de remplacement de
plusieurs e�ets par un seul e�et
L'échéance commune est l'échéance d'un e�et unique qui,
à la date d'équivalence, a une valeur actuelle égale à la
somme des valeurs actuelles des e�ets remplacés
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Les emprunts
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Exemple
On souhaite remplacer le 15 juin les trois e�ets ci-dessous par
un e�et unique :
E�et 1 : V1 = 5.000 à échéance le 20 août
E�et 2 : V2 = 4.000 à échéance le 15 juillet
E�et 3 : V 3 = 12.000 à échéance le 20 septembre
Quelle est l'échéance de l'e�et de 21.200 Dhs remplaçant les
e�ets 1, 2 et 3 avec un taux d'escompte de 13% ?
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Les emprunts
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6. Intérêt composé
Dé�nition
Un capital est dit placé à Intérêt composé, lorsqu'à l'issue
de chaque période de placement, les intérêts sont ajoutés
au capital pour porter eux même Intérêts à la période
suivante au taux convenu
On parle alors d'une capitalisation des Intérêts
Cette dernière opération est généralement appliquée
lorsque la durée de placement dépasse un an
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Calcul pratique
C0 : le montant du capital en Dhs (valeur nominale)
T : le taux d'intérêt par période pour une durée d'un an
N : Nombres de périodes de placement
CN : Valeur acquise par le capital C0 pendant N périodes
Alors, la valeur acquise par le capital C0 à la �n de N périodes
au taux T est donc donnée par la formule suivante :
CN = C0(1+ T )N
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Exemple
Une somme de 10000 Dhs est placée pendant 5 ans au taux
annuel de 10%
Quelle somme obtient-on à l'issue de ce placement ?
Si au bout de cette période de placement on souhaite
obtenir 20000 Dhs, quelle somme doit-on placer
aujourd'hui ?
Si la somme placée aujourd'hui est de 10000 Dhs, après
combien de temps disposera-t-on d'une somme égale à
23580 Dhs ?
Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de
17821 Dhs, à quel taux le placement a été e�ectué ?
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Les emprunts
indivis
Cas de placement en un nombre fractionnaire de
périodes
Parfois, le temps de placement est fractionnaire, par exemple 5
ans et 7 mois. Alors dans ce cas, on considère les deux
solutions : la solution rationnelle et la solution commerciale.
Exemple
Calculons la valeur acquise d'un capital de 100.000 dirhams
placé pendant une période de 5 ans et 7 mois à avec un taux de
8% l'an. ( Capitalisation annuelle )
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
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7. Taux proportionnel - Taux équivalent
Remarques
1 Les taux d'intérêt sont généralement exprimés en taux
annuels. Mais, on peut considérer une période plus courte
que l'année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois
ou le jour
2 La formule CN = C0(1+ T )N n'est applicable que si le
taux d'intérêt T et la durée N sont homogènes, c'est à dire
exprimés dans la même unité de temps que la période de
capitalisation
3 Si par exemple, il est convenu entre le prêteur et
l'emprunteur que les intérêts doivent être capitalisés à la
�n de chaque mois, la formule ne sera applicable que si le
taux d'intérêt est mensuel et que la durée de placement est
exprimée en mois
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Remarques
1 De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque
semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour2 Lorsque le taux d'intérêt est annuel et l'on considère une
période inférieure à l'année, le taux d'intérêt prévalantpour cette période devra être calculé. Pour ce faire, onemploie l'un des deux taux suivants :
Taux proportionnel
Taux équivalent
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
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Taux proportionnel
Dé�nition
1 Deux taux correspondants à des périodes di�érentes sont
dits proportionnels, lorsque leur rapport est égal au rapport
de leurs périodes de capitalisation respectives2 Soit
T : Le taux d'intérêt annuel
p : Nombre de périodes dans l'année
Tp : Le taux proportionnel par période
Alors, on a : Tp =T
p
3 Ts =T
2où Ts est le taux semestriel
Tt =T
4où Tt est le taux trimestriel
Tm =T
12où Tm est le taux mensuel
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Taux équivalent
Dé�nition
1 Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation
di�érentes, sont dits équivalents lorsqu'ils produisent la
même valeur acquise quand ils sont appliqués au même
capital2 Soit
T : Le taux d'intérêt annuel
p : Nombre de périodes dans l'année
Tp : Le taux équivalent par période
Alors, on a : Tp = (1+ T )1p − 1
3 Ts = (1+ T )1
2 − 1 où Ts est le taux semestriel
Tt = (1+ T )1
4 − 1 où Tt est le taux trimestriel
Tm = (1+ T )1
12 − 1 où Tm est le taux mensuel
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Les annuités
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Les emprunts
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Exemple
1 Calculons les taux ( semestriel, trimestriel et mensuel )
proportionnels au taux annuel T = 9%
2 Calculons les taux ( semestriel, trimestriel et mensuel )
équivalents au taux annuel T = 9%
3 Une somme de 10000 Dhs est placée pendant 3 mois au
taux annuel de 12%. Calculer la valeur acquise.
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Chapitre 2
Les annuités
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Les annuités
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Les emprunts
indivis
1. Les annuités
Une annuité est une suite de �ux monétaires perçus ou
réglés à intervalles de temps égaux.
Le versement d'annuité a pour objet soit de rembourser
une dette, soit de constituer un capital ( Capital retraite,
Capital éducation . . . ).
Le terme � annuité � est habituellement réservé à des
périodicités annuelles.
Lorsque la période est di�érente de l'année, il est
préférable de remplacer le terme � annuité � par �
semestrialité �, � trimestrialité � ou � mensualité �.
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Chapitre 1 :
Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
L'étude des annuités consiste à déterminer la valeur
actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d'une
suite de �ux.
L'annuité prend en considération la date du premier �ux, la
périodicité des �ux, le nombre des �ux et le montant de
chaque �ux.
Lorsque les annuités sont égales, on parle d'annuités
constantes, alors que lorsque leur montant varie d'une
période à une autre, on parle d'annuités variables.
Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de
période ou en �n de période.
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
2. Les annuités constantes
La valeur acquise ou la valeur actuelle d'une suite
d'annuité constante dépend de la date de versement, c'est
à dire début de période ou �n de période
Dans toute la suite, on traitera le cas d'une suite d'annuité
constante de �n de période
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Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Valeur acquise
On appelle valeur acquise par une suite d'annuité constante de
�n de période, la somme des annuités (An) exprimée
immédiatement après le versement de la dernière annuité. On
note par :
An : la valeur acquise par la suite des annuités
A : l'annuité constante de �n de période
n : le nombre de périodes
t : le taux d'intérêt par période de capitalisation
Alors, la formule de capitalisation est :
An = A(1+ t)n − 1
t
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Les intérêts
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Les annuités
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Les emprunts
indivis
Valeur actuelle
On appelle valeur actuelle d'une suite d'annuité constante de �n
de période, la somme A0, des annuités actualisées, exprimée à
la date origine càd une période avant le premier versement. On
note par :
A0 : la valeur actuelle de la suite des annuités
A : l'annuité constante de �n de période
n : le nombre de périodes
t : le taux d'intérêt par période de capitalisation
Alors la formule d'actualisation est :
A0 = A1− (1+ t)−n
t
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Les intérêts
Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Application 1
Exemple
Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement
par une suite de 10 annuités constantes de �n de période
de 17.500 dirhams chacune. Capitalisation de 8% l'an.
Calculer la valeur de cette suite d'annuités un an et neuf
mois après le dernier versement.
Quelle somme constante faut-il verser chaque année à la
même date pour constituer en 12 versements deux ans
après le dernier versement un capital de 500.000 dirhams
chacune. Taux est de 7% l'an.
Calculer un mois après le dernier versement la valeur
acquise par une suite de 72 mensualités de 2.500 dirhams
chacune. Taux est de 7% l'an.
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Application 2
Exemple
Calculer un an avant le premier versement la valeur
actuelle d'une suite de 10 annuités constantes de 17.500dirhams chacune. Taux est de 9% l'an.
Calculer la valeur actuelle de cette même suite 3 ans avant
le premier versement. Taux est de 9% l'an.
Une dette de 300.000 dirhams, avec un taux de 9% l'an,
est remboursable en 20 trimestrialités constantes, le
premier versement dans 3 mois. Calculer le montant de la
trimestrialité de remboursement.
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Chapitre 2 :
Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Chapitre 3
Les emprunts indivis
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Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
1. Dé�nitions
L'emprunt indivis ou ordinaire se caractérise par le fait que
l'emprunteur (un particulier ou une entreprise) s'adresse à
un seul créancier
L'emprunt indivis s'oppose à l'emprunt obligataire par
lequel l'emprunteur (une grande entreprise ou l'Etat)
recourt à une multitude de créanciers
Le remboursement de cet emprunt s'e�ectue généralement,
par annuités (ou les autres formes, càd mensualité,
trimestrialité...) de �n de période
Chaque annuité est composée de deux éléments : Un
remboursement d'une partie du capital emprunté, appelé
l'amortissement, et une partie " intérêt "
Le remboursement de l'emprunt dépend du mode
d'amortissement utilisé
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Les annuités
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Les emprunts
indivis
2. Emprunts remboursables par amortissements
constants
Le montant de l'emprunt indivis est divisé en parts égales
(les amortissements) en fonction du nombre de périodes de
remboursement
A la �n de chaque période, l'emprunteur verse au prêteur
une partie de la dette (amortissement) et un intérêt calculé
au taux prévu sur le montant encore dû (non remboursé au
prêteur)
La somme de ces 2 éléments (amortissement + intérêt)
forme � l'annuité de remboursement �
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Les intérêts
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Application
Exemple
Une entreprise emprunte la somme de 1000000 dh en vue de
faire face aux surcoûts apparus sur les marchés
d'approvisionnements. Cet emprunt est remboursable en quatre
fractions égales, payables à la �n de chacune des quatre années,
avec un taux de 12% l'an.
Construisons le tableau d'amortissement de cet emprunt.
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
3. Emprunts remboursables par annuités constantes
Selon cette formule de remboursement, ce sont les
annuités (intérêts + amortissements) qui sont constantes
On calcule d'abord l'annuité constante � A �
Pour la première ligne, on commence par calculer l'intérêt
�i1 �. Ensuite, par soustraction � A− i1 �, on obtient le
premier amortissement M1
On calcule la dette C1 au début de la deuxième période :
C1 = C −M1
On calcule l'intérêt �i2 �, et ainsi de suite.....
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Les annuités
Chapitre 3 :
Les emprunts
indivis
Application
Exemple
Une personne emprunte 350.000 dirhams aupès d'une banque et
s'engage à verser 8 annuités constantes, la première payable un
an après la date du contrat avec un taux de 12%.
Construisons le tableau d'amortissement de cet emprunt.