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ACT2025 - Cours 2

MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I

Deuxième cours

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Rappel:

• Intérêt

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation• Taux effectif de l’intérêt

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation• Taux effectif de l’intérêt• Intérêt simple

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation• Taux effectif de l’intérêt• Intérêt simple• Intérêt composé

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Rappel:

Pour l’intérêt simple, la fonction de capitalisation est

et la fonction d’accumulation est

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Rappel:

Pour l’intérêt composé, la fonction de capitalisation est

et la fonction d’accumulation est

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Considérons maintenant quelques exemplespour illustrer les concepts d’intérêt simple et

d’intérêt composé

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Exemple 1:

La valeur accumulée par un capital de 7500$ investipendant 3 mois au taux d’intérêt simple de 6% par année estégale à

Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t =3/12 = 0.25

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Exemple 2:

Anasthasia a placé 10000$ dans un investissementrapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans.Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montantaccumulé dans un placement rapportant 5.75% par annéed’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant

• le montant accumulé à la fin de la 9e année

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Exemple 2:

Anasthasia a placé 10000$ dans un investissementrapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans.Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montantaccumulé dans un placement rapportant 5.75% par annéed’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant

• le montant accumulé à la fin de la 9e année

• le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année

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Calcul du montant accumulé

• Le montant accumulé après 4 ans sera

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Calcul du montant accumulé

• Le montant accumulé après 4 ans sera

• Le montant accumulé après 9 ans sera

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Calcul du montant d’intérêt

• Le montant accumulé après 7 ans sera

ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant d’intérêt

• Le montant accumulé après 7 ans sera

• Le montant accumulé après 6 ans sera

ACT2025 - Cours 2

Calcul du montant d’intérêt

• Le montant accumulé après 7 ans sera

• Le montant accumulé après 6 ans sera

• Le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année sera

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Comparaison:

Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans lescas de l’intérêt simple et de l’intérêt composé pour le mêmetaux i, nous obtenons le graphique suivant

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ACT2025 - Cours 2

Nous avons

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Nous avons

et

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Jusqu’à maintenant nous avons considéré la valeur accumuléed’un placement, mais il est aussi important de considérer lavaleur actuelle d’un capital futur.

On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée.

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Exemple 3:

Bobby veut investir un capital dans un compte d’épargnerémunéré au taux d’intérêt composé de 4% par année pour 6ans et au terme de la sixième année avoir 15000$. Quel est lecapital qu’il doit investir?

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Solution:

Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation

k (1.04)6 = 15000.

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Solution:

Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation

k (1.04)6 = 15000.

Donck = 15000 (1.04)-6 = 11854.72 $

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Notation:

Le facteur d’accumulation est

(1 + i)

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Notation:

Le facteur d’accumulation est

(1 + i)

Le facteur d’escompte est

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Définition de la fonction d’actualisation

Cette fonction correspond à la valeur actuelle d’un capital de1$ payable au temps t

Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle d’uncapital de k dollars après une période de temps t, il suffit demultiplier cette fonction d’actualisation par k.

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Formule:

Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alorsla fonction d’actualisation a-1(t) est obtenue en divisant parla fonction de capitalisation:

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Exemple 4:

Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est

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Exemple 4 (suite):

Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisationest

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Propriétés anticipées de la fonctiond’actualisation:

• Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus detemps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar

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Propriétés anticipées de la fonctiond’actualisation:

• Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus detemps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar

• Décroissance par rapport au taux d’intérêt. Si le tauxd’intérêt augmente, il nous faut moins de principal àinvestir pour obtenir à terme 1 dollar

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Exemple 5: (Obligation sans coupon)

Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, quel est leprix d’obligation sans coupon dont la valeur à l’échéance estde 25000$ et l’échéance est dans 7 ans?

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Solution:

Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payabledans 7 ans au taux effectif d’intérêt de 5% par année. Nousobtenons

25000 (1.05)-7 = 17767.03 $

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Voyons maintenant une autre mesure del’intérêt:

taux effectif d’escompte

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Taux effectif d’escompte pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant lapremière période sur le montant accumulé à la fin de la période.

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Taux effectif d’escompte pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant lapremière période sur le montant accumulé à la fin de la période.En formule, nous obtenons

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Taux effectif d’escompte pour la ne période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant lane période sur le montant accumulé à la fin de la ne période.En formule, nous obtenons

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Si nous connaissons les taux effectifs d’escompte pour toutesles périodes, de la 1e à la ne , et le capital initial, alors nouspouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne

période, i.e. A(n)

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En effet,

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En effet,

et ainsi de suite.

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Finalement nous obtenons la valeur accumulée:

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Finalement nous obtenons la valeur accumulée:

ainsi que la valeur actuelle

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Exemple 6:

Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année.

(a) Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après5 ans?

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Exemple 6:

Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année.

(a) Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après5 ans?

(b) Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$après 4 ans?

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Solution: (a)

Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ceque nous avons vu, celle-ci sera

8000(0.95)-1(0.945)-1(0.94)-1(0.9425)-1(0.9475)-1 = 10615.64 $

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Solution: (b)

Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000 payable à lafin de la 4e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera

10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = 7953.62 $

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Équivalence de taux:

Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si lesvaleurs accumulées d'un même principal investi pendant unepériode à ces deux taux sont égales.

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Équivalence de taux: (approche équivalente)

Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si lesvaleurs actuelles d'un même capital à la fin d’une période àces deux taux sont égales.

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Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte

Étant donné le taux d’escompte d , alors le taux d’intérêt iéquivalent est

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dansce cas, sa valeur actuelle est (1 - d)

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période: (1 - d)

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période: (1 - d)

Capital accumulé à la fin de la période: 1

ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période: (1 - d)

Capital accumulé à la fin de la période: 1

Intérêt: d

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Explication de la formule (suite) :

Donc

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Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte

Étant donné le taux d’intérêt i, alors le taux d’escompte déquivalent est

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1 dollar investi au début de lapériode. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin dela période

ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période: 1

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période: 1

Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i)

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période: 1

Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i)

Intérêt: i

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Explication de la formule (suite) :

Donc

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Exemple 7:

Si le taux effectif d’escompte est de 2.25% par année, alors letaux effectif d’intérêt équivalent est

soit 2.30017903%.

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Exemple 8:

Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, alors le tauxeffectif d’escompte équivalent est

soit 4.7619048%.

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Exemple 9:

Nous allons illustrer la formule

au moyen d’un exemple numérique.

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Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectifd’escompte de 6% par année et qu’il y a autant d’emprunteursque nous le désirons.

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Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0.06) = 9400$ audébut de l’année et remboursera 10000$ à la fin de l’année.

Du 10000$, il nous reste 10000 - 9400 = 600$ à prêter.

Le second emprunteur recevra 600(1 - 0.06) = 564$ au début del’année et remboursera 600$ à la fin de l’année

Du 600$, il nous reste 600 - 564 = 36$ à prêter.

Le troisième emprunteur recevra 36(1 - 0.06) = 33.84$ etremboursera 36$ à la fin de l’année.

Ainsi de suite à l’infini

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En résumé, nous avons

6005642e

......

...

3633.843e

1000094001er

Montant rembourséà la fin de l’année

Montant reçu audébut de l’année

Emprunteur

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À la fin de l’année, nous recevrons

Cette somme est égale à

Nous pouvons calculer cette dernière somme.

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Nous avons

si - 1 < x < 1.

Donc

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Finalement nous obtenons que l’intérêt est

et le taux d’intérêt est

c’est-à-dire 6.3830%.

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Plus généralement, nous avons que l’intérêt est égal à

si le capital prêté est k et et le taux d’escompte est d.

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Donc le taux d’intérêt est