7/27/2019 MATRICE 2014
1/31
MATRICECLASA a XI-a
2014
C.N.R.V.
prof. TIT TIHON
7/27/2019 MATRICE 2014
2/31
Definiie
Matrice ptratic
Matrice nul. Matrice diagonal. Matrice unitate
Matrice simetric. Matrice antisimetric
Matrice transpusMatrice egale. Proprieti
EXERCITII
TEST DE EVALUARE
LECTIA 1
7/27/2019 MATRICE 2014
3/31
DefiniieSe numete matrice cu m linii i n coloane sau de tipun tablou cu mlinii i n coloane, de forma
ale crui elemente, sunt numere complexe.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
m n
MATRICE
EXEMPLU
EXERCITII
1,,1,
i mi jj n
A a
Se noteaz prinINAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
4/31
EXEMPLUL 1
O societate comercial analizaeazeficiena a trei magazineA, B i C. Pentru
aceasta sentocmete un tabel cunumrul de produse vndute prin cele 3magazine n zilele de luni, mari miercuri,joi, vineri i smbt.Notnd zilele cu 1, 2, 3, 4, 5, 6 se poatntocmi urmtoarele tabele care se scriu
sub forma:
749101212C
54101043B
61513121010A
654321
A B C
1 10 3 12
2 10 4 12
3 12 10 10
4 13 10 9
5 15 4 4
6 6 5 7
10 10 12 13 15 6
3 4 10 10 4 5
12 12 10 9 4 7
A
sau 10 3 12
10 4 12
12 10 10
13 10 9
15 4 4
6 5 7
B
Tabelul 1
Tabelul 2
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
5/31
Un depozit de materiale se aprovizioneaz ealonat pe o perioad de 4 luni
cu un anumit produs dup urmtorul plan:n prima lun se aprovizioneaz cu 100 de buci, la preul unitar de 3000uniti monetare (u.m.).n a doua lun se aprovizioneaz cu 120 buci la preul unitar de 3500 u.m.n luna a treia primete cu 10 buci mai puin dect n luna precedenent,cu preul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar n luna a patra comand ocantitate dubl fa de prima lun pltind 3 200 u.m. pe unitatea de produs.Pentru inerea unei evidene ct mai clare, aceste date pot fi ordonate iclasate n diverse moduri, astfel nct obinerea unor informaii legate deacest proces de aprovizionare s se realizeze ct mai eficient.
EXERCITIUL 1
REZOLVARE
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
6/31
EXERCITIUL 1. REZOLVARE
32000320035003000
200110120001
4321
32000320035003000
200110120001
Datele de mai sus pot fi grupate ntr-un tabel de forma:
Luna 1 2 3 4
Cantitate 100 120 110 200
Pre unitar 3 000 3 500 3 200 3 200
ntr-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate ntr-un tabel de forma:
Un astfel de tabel se numete tabelmatriceal.
Primul tabel matriceal este format din 3linii i 4 coloane (se spune c este de tipul
34), iar al doilea tabel matriceal esteformat din 2 linii i 4 coloane (se spune ceste de tipul 24).
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
7/31
Matricea ptratic
Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea senumete ptratic.
.Sistemul de elemente reprezint diagonala principalSuma acestor elemente se numete urma matriciiSistemul de elemente reprezint diagonala secundar
a matricii A .Suma elementelor de pe diagonala principal a matricei A se numete urmamatricei A i se noteazTr (A).
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
..... ... ....
...
...
21
22221
11211
nnaaa ...2211nnaaa ... 2211
1121 ... nnn aaa
EXEMPLU EXERCITIU INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
8/31
EXEMPLUL 2
1. Matrice ptratic de ordinul doi2 3
1 1
2. Matrice ptratic de ordinul trei
3. Matrice ptratic de ordinulpatru
1 2 3
3 1 1
0 1 2
0 1 2 1
2 1 0 2
3 1 2 0
1 2 3 1
n fiecare din cazurile date numrul de linii este egal cu numrul de coloane
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
9/31
EXERCITIU
INAPOI
Scriei pentru matricele urmtoare
a) Diagonala principal
b) Diagonala secundar
c) Urma matricei
2 3
1 1A
1 2 3
3 1 1
0 1 2
B
1. 2. 3.
0 1 2 1
2 1 0 2
3 1 2 0
1 2 3 1
C
7/27/2019 MATRICE 2014
10/31
MATRICE NULA
MATRICE DIAGONALA
MATRICE UNITATE
O matrice se numete matrice diagonaldac
i exist cel puin un element
( )A M c
, 0, , 1, , 1,i ja i j i n j j
, 0, 1, , 1,i ja i n j n
Caz particular: Matricea diagonal n care
(toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1) se numetematricea unitate i se noteaz cu
, 1, 1, , 1,i ja i n j n
nI
O matrice se numete matrice nul dac( )A M c
, 0, 1, , 1,i ja i m j n . Se noteaz cu ( , )0 m n
EXEMPLE INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
11/31
MATRICE NULA
MATRICE DIAGONALA
MATRICE UNITATE
Matrice nul de tipul (2,3) Matrice nul de tipul (3,3) Matrice nul de tipul (1,3)
(2,3) 0 0 000 0 0 3
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
(1,3)0 0 0 0
2 0
0 1
Exemplul 1 Exemplul 2 Exemplul 3 Exemplul 4
2 0 0
0 3 0
0 0 0
2 0 0
0 1 0
0 0 3
4 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
2
1 0
0 1I
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
4
4 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
I
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
12/31
MATRICE SIMETRICA
MATRICE ANTISIMETRICA
O matrice se numete matrice simetric
dac
, 1,
1,
( ) ( )i j i nj n
A a M
c
, , , 1, , 1,i j j ia a i n j n
O matrice se numete matrice antisimetric
dac
, 1,1,
( ) ( )i j i n
j n
A a M
c
, , , 1, , 1,i j j ia a i n j n
EXEMPLE INAPOIEXERCITII
7/27/2019 MATRICE 2014
13/31
EXEMPLE
MATRICE SIMETRICE
MATRICE ANTISIMETRICE
INAPOI
3 2
2 3
2 3 4
3 1 1
4 1 5
1 3 2 1
3 1 5 7
2 5 2 8
1 7 8 2
3 2
2 3
2 3 4
3 1 1
4 1 5
1 3 2 1
3 1 5 7
2 5 2 8
1 7 8 2
7/27/2019 MATRICE 2014
14/31
EXERCITII
INAPOIREZOLVARE
1. S se determine mulimea matricelorA simetrice, tiind c
2. S se determine mulimea matricelorB antisimetrice, tiind c
2 ( )A M R
2 ( )B M R
3. S se determine intersecia celor dou dou mulimi.
7/27/2019 MATRICE 2014
15/31
REZOLVARE
INAPOI
1. Fie ;A este simetric dac2 ( )
x yA M
u v
R y u
Deci | , ,x y
X x y vy v
R
2. Fie ;A este antisimetric dac2( )
m nA M
e f
R e n
Deci 0 |0
nY n
n
R
m m i f f
3. 20 0 { }0 0
X Y O
7/27/2019 MATRICE 2014
16/31
MATRICE TRANSPUSA
Fie .
Matricea se numete matrice transpus a matricei
, ( , )1,
1,
( ) ( )i j m ni mj n
A a M
c
1
1,
( )t ji i mj n
A a
A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ...
...
n
n
ij
m m mn
a a a
a a aA
a
a a a
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ...
...
n
nt
ji
n n nm
a a a
a a aA
a
a a a
MATRICEA DATA MATRICEA TRANSPUSA
EXEMPLE INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
17/31
MATRICEA DATA MATRICEA TRANSPUSA
EXEMPLE
1 3 2 1
4 5 3 7A
1 4
3 5
2 3
1 7
tA
1 2 2
0 1 3
5 4 7
B
1 2 2
2 1 3
2 3 7
tB
a b
C c de f
ta c e
C b d f
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
18/31
EGALITATEA MATRICELOR
Fie matricele ,
DefiniieMatriceleAi B se numesc matrice egale, dac
, ,1,
1,
( ) ( )i j m ni mj n
A a M
c , ,1,1,
( ) ( )i j m ni mj n
B b M
c
, , , 1, , 1,i j i ja b i m j n
PROPRIETI
DacA=A,A (proprietatea de reflexivitate).DacA=B, atunci B=A (proprietatea de simetrie). DacaA=B i B=C, atunciA=C(proprietatea de tranzitivitate).
,, , ( )m nA B C M c
EXERCITII INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
19/31
EXERCITII
REZOLVARE INAPOI
1. S se determine numerele realex, i y tiind c
2. S se determine matricele ptratice de ordinul 2 pentru care
3. S se determine astfel nct matricea dat s fie egal cu
2 4 2
3 1 1 3
x x y
y x
tA A
, ,x y zR 3I
2 1 0
3
0 0 1
x y
x y z
z
7/27/2019 MATRICE 2014
20/31
REZOLVARE
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
21/31
EXERCITII
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
22/31
TEST DE EVALUARE
INAPOI
7/27/2019 MATRICE 2014
23/31
TEST NOTARE
START
URMARESTE INDICATIILE SI RASPUNDE
LA INTREBARILE PROPUSE
7/27/2019 MATRICE 2014
24/31
a
b
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
25/31
a
b
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
26/31
a
b
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
27/31
ab
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
28/31
ab
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
29/31
ab
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
30/31
ab
c
d
7/27/2019 MATRICE 2014
31/31
NOTA
FINIS
TESTUL IIINAPOI TESUL I TESTUL III TESTUL IV TESTUL V