Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
MTHODES SISMIQUES1 - Les ondes sismiques
Bernard Giroux([email protected])
Institut national de la recherche scientifiqueCentre Eau Terre Environnement
Version 1.0.3Automne 2011
[email protected]Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Gnralits
Les mthodes sismiques sont des techniques dimageriebases sur la mesure de la propagation des ondessismiques.Les ondes sismiques sont de nature mcanique.On peut dire dune onde que
cest une perturbation du milieu qui se propage dans lespaceet le temps ;sa propagation est fonction des proprits physiques dumilieu.
On peut dcrire le phnomne de la propagation des ondessismiques partir de
la loi de Hooke : reliant contrainte et dformation ;la 2e loi de Newton : reliant force et acclration.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Caractristiques lastiques des solides
Les relations entre contrainte et dformation pour unmatriau permettent de dcrire les proprits lastiques dece matriau, ainsi que les caractristiques (tel que lavitesse) des ondes qui sy propagent.Dfinitions :contrainte : force par unit de surface (F/A) en N/m2 ;dformation e : dformation unitaire Ll ou
VV .
lintrieur des limites dlasticit, la contrainte estproportionnelle la dformation (loi de Hooke).
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Module dYoung ou module dlasticit (E)
E =F/Al/l
=contrainte uniaxiale
dformation parallle la contrainte
avec F/A = P.
Module dlasticit volumique, ou bulk modulus (K)
Une contrainte hydrostatique P dans les trois axes orthogonauxentrane une changement de volume V.
K =contrainte volumique
dformation volumique=
F/AV/V
=P
V/V
1/K est appel compressibilit.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Rais sismiques
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Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Module (dlasticit) de cisaillement ou rigidit ()
Mesure du rapport contrainte/dformation dans le cas duncisaillement simple tangentiel. Dformation sans changementde volume.
=P
l/l=
P
;
est langle de dformation.
2e constante de Lam (incompressibilit du fluide)
= K 2/3
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Coefficient de Poisson ()
est la mesure du changement gomtrique dans la forme ducorps lastique (dans les directions orthogonales la directionde la contrainte)
=dformation transversale
dformation longitudinale=
W/Wl/l
est toujours infrieur 0.5. Pour la plupart des roches, 0.25. Le coefficient de Poisson est reli au module dYoungpar la 2e constante de Lam :
=E
(1 + )(1 2) .
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
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Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Les constantes lastiques sont indpendantes deux par deux.
K =E
3(1 2) ;
=E
2(1 + );
E =9K
3K + ;
=3K 26K + 2
.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
La contrainte est dfinie comme le rapport de la force sur lasurface
~ =~FA
.
Lorsque A tend vers zro,
~ =~FA
.
La contrainte normale (compression ou dilatation) sexprimepar Fn/A, la contrainte de cisaillement par Ft/A.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
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Solutionsparticulires auxquations donde
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
Fn
F
Ft
A
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
En 3D avec systme de rfrence x1, x2, x3 et une surfacedu2 du3 dont la normale est selon x1, les composantes de lacontrainte seront en compression selon 11 et encisaillement selon 21 et 31.Notation : le premier indice reprsente la direction de lacontrainte, et le deuxime indice est la direction de lanormale au plan sur lequel la contrainte agit.Ainsi, on trouvera neuf composantes totales possibles,soient :
trois contraintes de compression (ou dilatation) : 11, 22 et33six contraintes de cisaillement : 12, 21, 13, 31, 23 et 32 ;avec 12 = 21, 13 = 31 et 23 = 32.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
x3
x2x1
E
F
GD
A
B
CO
11
31
21
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Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
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Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en compression/dilatation
O A A' B B'u1
dx1 u1+u1x1dx1
Dfinition : variation du dplacement subie par A et B sur lasparation originale entre A et B, i.e.
dformation =AB AB
ABou encore
e11 =(dx1 u1 + u1 + u1x1 dx1) dx1
dx1=
u1x1
,
et de manire gnrale
eii =uixi
, i = 1, 2, 3.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en compression/dilatation
La variation selon les trois dimensions de lespace est
initialement sous contraintedxi dxi (1 + eii)
Le volume rsultant initial est donc V = dx1 dx2 dx3 et levolume sous contrainte est
V = dx1 dx2 dx3 (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33).
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Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Rais sismiques
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Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en compression/dilatation
Le coefficient de dilatation sera
=(V V)
V=
VV
=dx1 dx2 dx3 (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33) dx1 dx2 dx3
dx1 dx2 dx3= (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33) 1= 1 + (e11 + e22 + e33) + (e11e22 + e11e33 + e22e33
+e11e22e33) 1.
En ngligeant les produits des e11, e22 et e33, on a
= e11 + e22 + e33.
Lquation de londe P est exprime en fonction de .
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Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en cisaillement
+
22
x2
x1(a) (b)
u2x1dx1
u1x2dx2
u1x1dx1
u2x2dx2
dx1
dx2
/2 + tan(/2 + ) =u1x2
dx2dx2
=u1x2
/2 = u2/x1
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en cisaillement
On dfinit e12 comme la dformation de cisaillement
e12 =u1x1
+u2x2
Langle de rotation autour de laxe x3 est
=12
(u2x1 u1
x2
) 3.
En trois dimensions, on a
e12 = e21 =u2x1
+u1x2
,
e23 = e32 =u3x2
+u2x3
,
e31 = e13 =u1x3
+u3x1
.
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
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Rais sismiques
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Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
Soit une contrainte agissant sur un matriau lastique etprovoquant une dformation e.Suite cette contrainte, le matriau est hors dquilibre.Les forces scrivent comme
11x1
dx1,21x1
dx1,31x1
dx1;
Voyons comment ces forces peuvent tre relies unequantit mesurable.Dfinissons le vecteur de dplacement dune particule (oulment de volume) par
u = u1x1 + u2x2 + u3x3.
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quations dondesOnde P
Onde S
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Attnuation desondes
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quations dondes
u (ou sa drive dans le temps) est la quantit mesure ensismique.
La deuxime loi de Newton relie 2u
t2 (lacclration) laforce exerce
2u1t2
= Forces agissant sur le volume selon x1
=11x1
+12x2
+13x3
o est la densit (constante) du matriau.
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quations dondesOnde P
Onde S
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Rais sismiques
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Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
Par ailleurs, les dformations sont exprimes en termes descomposantes de u, i.e.
eij =12
(uixj
+ujxi
).
La loi de Hooke relie contraintes et dformations.La forme gnrale de la loi de Hooke scrit
ij = cijpqepq, (1)
o cijpq est un tenseur dordre 4 21 coefficientsindpendants.Pour un milieu isotrope, on a ii = + 2eii, etij = 2eij, (i 6= j) ; et sont les constantes de Lam.
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quations dondesOnde P
Onde S
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quations dondes
On arrive ainsi a
2u1t2
= x1
+ 2e11x1
+ e12x2
+ e13x3
= x1
+
[2
2u1x21
+
(2u2
x1x2+
2u1x22
)
+
(2u3
x1x3+
2u1x23
)]
= x1
+ 2u1 +
x1
(u1x1
+u2x2
+u3x3
)= ( + )
x1
+ 2u1. (2)
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quations dondesOnde P
Onde S
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Rais sismiques
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Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
Selon les axes x2 et x3, on obtient
2u2t2
= ( + )x2
+ 2u2 (3)
et
2u3t2
= ( + )x3
+ 2u3. (4)
On peut exprimer les quations (2), (3) et (4) sous la formevectorielle comme
2ut2
= ( + ) + 2u. (5)
Cette quation permet de dcrire le mouvement desparticules dans un milieu lastique, homogne et isotrope.
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quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde P
La forme gnrale de lquation donde est
1V2
2
t2= 2 (6)
avec V la vitesse de londe.En effectuant la divergence de (5) on obtient
12
2t2
= 2 (7)
qui dcrit la propagation dune perturbation se dplacantavec une vitesse =
( + 2)/.
(7) est lquation de londe P, qui se propage avec unevitesse .
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quations dondesOnde P
Onde S
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde P
L. Braille
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde S
Sil y a un mouvement de rotation, londe est dcrite par lerotationel de (5).Lquation vectorielle pour les ondes S scrit alors
12
2
t2= 2 (8)
en utilisant la dfinition des angles de rotation de ladformation tels que
1 =12
(u3x2 u2
x3
), 2 =
12
(u1x3 u3
x1
),
3 =12
(u2x1 u1
x2
).
et = 1x1 + 2x2 + 3x3 =
u2
.
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quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde S
Le terme dcrit le cisaillement que subit le volume derfrence.Londe S se propage avec une vitesse =
/.
Les constantes dlasticit sont toujours positives lavitesse < .
Lexpression reliant et est =
12
(2
), ou alors
=
(0.5 1
)1/2,
o est le coefficient de Poisson.
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quations dondesOnde P
Onde S
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde S
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde plane
Lquation (5) nest pas toujours pratique pour dcrirecertains phnomnes, en particulier le partitionnement delnergie une interface.Par ailleurs, on sintresse souvent aux ondes Puniquement.Partant de lquation (6), considrons le cas o estfonction de x1 et de t seulement.Toute fonction = f (x1 Vt) est alors une solution delquation donde, en autant que est ses deux premiresdrives soient finies et continues.Le choix dune fonction donne par rapport une autredpend principalement des conditions aux frontires duproblme rsoudre.
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Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde plane
y = f(x1)
y = f(Vt - x1)
Vt - x1 = 0donc x1 = Vt
t = 0
x
x
A
A
t = t
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Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde plane
La quantit x1 Vt est appele la phase de londe.Les surfaces sur lesquelles la phase est constante sont lesfronts donde.Dans le cas o la propagation se fait uniquement selon x1,ces surfaces sont planes et perpendiculaires x1, et on aalors affaire une onde plane.
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Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Il est possible de trouver des solutions pour (7) et (8) enfonction de la dilatation et du cisaillement .Cependant, il est plus intressant davoir une expressionpour le dplacement (u) ou la vitesse (u/t) des particulesconstituants le milieu, ces quantits tant plus facilementmesurables.On introduit deux fonctions de potentiel (x1, x2, x3, t) et(x1, x2, x3, t), solutions de lquation donde (6), et partirdesquels le dplacement u peut tre obtenu.
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Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Si lon pose et tel que
u = (
+
x3
)2x3, (9)
on peut montrer que
= u = 2 (10)2 = u = 2x2. (11)
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Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Considrons maintenant le cas simple o le potentiel estnul et que le potentiel ne varie que dans la direction x1(c.--d. = (x1, t)).Le dplacement des particules en un point sera dcrit par
u = =(
x1, 0, 0
).
Ce dplacement se fait donc dans la mme direction que lapropagation de londe.Cette onde est donc une onde P.
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Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Si est nul en tout point et que varie seulement dans ladirection x1 (c.--d. = (x1, t)), le dplacement desparticules est dcrit par
u = =(
0,3x1
,2x1
).
Les particules se dplacent perpendiculairement ladirection de propagation de londe et nous sommes enprsence dune onde S.Londe S est souvent dcompose en une composanteverticale par rapport la direction de propagation (SV) eten une composante horizontale (SH), c.--d. londe estpolarise.
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes harmoniques
Quelle forme peuvent prendre les potentiels dedplacement ?Les ondes harmoniques constituent la solution la plussimple pour rsoudre (9).Une onde harmonique monochromatique de vitesse V estdcrite par
= A sin k(lx1 + mx2 + nx3 Vt)
ou bien = A expj[{lx1+mx2+nx3)/V}t] . (12)
Cette onde se propage selon le cosinus directeur (l, m, n) eta une longueur donde gale = 2/k.La longueur donde est relie la vitesse et la frquence f(f = /2) par
V = f . (13)
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes harmoniques
Soit le cas simple dune onde P incidente la surfacesparant deux demi-espaces.
11
'1
A0 A1
B1
x3
x1
2
2
A2B2
2, 2, 2, 2, 2
1, 1, 1, 1, 1
onde Sonde P
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes harmoniques
Les fonctions de potentiel peuvent scrire
1(x1, x3, t) = A0 expi(
x1 sin 11
+x3 cos 1
1t)
+A1 expi(
x1 sin 1
1+
x3 cos 1
1t)
(14)
1(x1, x3, t) = B1 expi(
x1 sin 11
x3 cos 11 t)
x2 (15)
2(x1, x3, t) = A2 expi(
x1 sin 11
+x3 cos 1
1t)
(16)
2(x1, x3, t) = B2 expi(
x1 sin 22
+x3 cos 2
2t)
x2. (17)
Ces quations permettent de calculer le coefficient derflexion en fonction de langle dincidence : 1er pas pourune interprtation quantitative.
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
Les ondes de Rayleigh sont dues linteraction des ondes Pet SV une surface libre.Soit x3 laxe vertical et la surface libre dans le plan x1-x2 x3 = 0, les contraintes 13, 23 et 33 y sont nulles.Considrons les potentiels de dplacement
= A exp [i(px1 + x3 t)]= A exp [x3] exp [i(px1 t)] ;
= B exp[i(px1 + x3 t)
]= B exp
[x3
]exp [i(px1 t)] .
o p = 1/c est la lenteur (inverse de la vitesse) horizontale.
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
Les constantes et sont
=
12 p2 = i
= i
p2 1
2= i
1c2 1
2.
=
12 p2 = i
= i
p2 1
2= i
1c2 1
2.
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
En appliquant les conditions aux frontires, on trouve
u1 = Ap sin[(px1 t)][ex3
+12
(c2
2 2)
ex3]
(18)
et
u3 = Ap cos[(px1 t)][cex3
+1
2c
(c2
2 2)
ex3]
. (19)
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
Les dplacements ci-dessus ont une dpendanceharmonique en x1, et exponentielle en x3.Lamplitude dcrot exponentiellement en fonction de laprofondeur, londe est dite vanescente.Les dplacements selon x1 et x3 sont dphass de 90, et secombinent pour produire un mouvement ellipsoidal.En sismique dexploration, les ondes de Rayleigh sontsouvent appeles ground roll.On peut par ailleurs montrer que c (la vitesse de londe deRayleigh) est toujours infrieure .En gnrale, c vaut entre 0.9 et 0.95.
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Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
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Ondes de Rayleigh
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rais sismiques
Le rai sismique constitue unefaon simple de se reprsenter latrajectoire de propagation delonde.
0 2 4 6
15
10
5
0
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rflexion dune onde plane
Onde S rchie
Onde P rchie
Onde
incidente
A
B
C
x
x
xVS1VP1
VS1VP11
VS2VP22
i
rs
rp
Diagramme quivalent
Principe de Huygens-Fresnel
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rflexion dune onde plane
Soit une front donde AB incident avec un angle i ;Le point A est la source dune onde P et dune onde SVconvertie ;Le temps requis pour aller de B C est gal au rayon xpour londe P et VS1VP1 x pour londe S ;
Si on trace une tangente du point C au front donde P, onvoit que langle de rflexion rp est gal langle i ;Pour londe S, langle de rflexion rs est donn par
sin rs =VS1VP1
sin i. (20)
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rflexion dune onde plane
On a ainsi que
sin iVP1
=sin rpVP1
=sin rsVS1
= p, (21)
o p est le paramtre du rai.Lorsque i = 0, le rapport entre lnergie rflchie etlnergie incidente est donn par
ErEi
0=
(2VP2 1VP1)2
(2VP2 + 1VP1)2 . (22)
Ce rapport dpend de limpdance acoustique (V). Si2V2 = 1V1, il ny a pas de rflexion.
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Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfraction dune onde plane
VS1VP11
VS2VP22
xVS2VP1
xVP2VP1
A B
D
C
Onde
incidente
Onde S
rfracte
Onde P
rfracte
x
i
Rs
Rp
Diagramme quivalent
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfraction dune onde plane
Le temps requis pour aller de B C dans le milieu 1 est gal VP2VP1 x pour londe P dans le milieu 2, et
VS2VP1
x pour londeS.La gomtrie du problme nous dit galement que
sin i =BCAB
=x
ABet sin Rp =
ADAB
=VP2VP1
xAB
do on tire la loi de Snell
sin isin Rp
=VP1VP2
. (23)
Pour londe de cisaillement, on a
sin isin Rs
=VP1VS2
. (24)
Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfraction dune onde plane
Lorsque sin i = VP1VP2 , sin Rp = 1 et Rp = 90, londe ne
pntre pas dans le deuxime matriau mais voyage linterface entre les deux milieux.Langle critique est dfini par
ic = sin1(
VP1VP2
). (25)
Pour tout angle dincidence i plus grand que ic, il ny a pasde rfraction et londe est totalement rflchie.Les lois de la rflexion et de la rfraction peuvent tresynthtiss en statuant qu une interface, le paramtre durai (quation (21)) a la mme valeur pour londe incidente,londe rflchie, et londe rfracte. Il sagit de la formegnrale de la loi de Snell.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Point de dpart : propagation dune perturbationdiscontinue dans un milieu homogne.Cette discontinuit est dfinie comme le produit de deuxfonctions, lune du temps et lautre de la position :
u(x, t) = U(t T)f (x) (26)
o T correspond au temps de parcours (travel time) etdpend de la position, c.--d. T = T(x) (problme nonlinaire).
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quations dondes
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Lquation (26) est une solution de lquation (5) valide entout point lexception de la position de la source,considre ponctuelle.Considrons la composante selon x1, on a que
2U1t2
f = ( + )
x1
(U1fx1
+U2fx2
+U3fx3
)+ 2U1f .
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
En distribuant les drives partielles et le Laplacien, onobtient
2U1t2
f = ( + )
[f
2U1x21
+f
x1U1x1
+ U12fx21
+f
x1U1x1
+ f2U2
x1x2+
fx1
U2x2
+ U22f
x1x2+
fx2
U2x1
+ f2U3
x1x3+
fx1
U3x3
+ U32f
x1x3+
fx3
U3x1
]
+
[f
2U1x21
+f
x1U1x1
+ U12fx21
+f
x1U1x1
+ f2U1x22
+f
x2U1x2
+ U12fx22
+f
x2U1x2
+ f2U1x23
+f
x3U1x3
+ U12fx23
+f
x3U1x3
].
(27)
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Dfinitions
quations dondes
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Or, U dpend de T qui son tour dpend de la position.On trouve ainsi une relation du type suivant pour lescomposantes de U
x2
(Uix1
)=
2Uit2
Tx1
Tx2 Ui
t2T
x1x2. (28)
Il faut maintenant combiner les composantes U1, U2 et U3,ce qui donne une expression complexe reliant les drivessecondes temporelles de U, les drives premires spatialeset temporelles de U, U ainsi que f et ses gradients.
Introduction
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Or, au voisinage du front donde, U fluctue plusrapidement que f , ce qui fait que Ut et
2Ut2 fluctuent
dautant plus vite.On peut alors dgager la condition suivante(
T T + 2
)(T T
)= 0. (29)
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quations dondes
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
De lquation prcdente, on peut extraire lquation deleikonal
T T (
Tx1
)2+
(Tx2
)2+
(Tx3
)2= s2
o s = s(x) est la lenteur (inverse de la vitesse).Cette quation est la base de plusieurs algorithmes de tracde rai, trs utiliss en inversion/tomographie.
Introduction
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Zone de Fresnel
Une rflexion est en ralit constitu dnergie rflchie parune aire relativement tendue.La zone de Fresnel est la surface partir de laquelle lnergierflchie nest pas dphase de plus dun quart de cycle,i.e. lnergie interfre de faon constructive.
source
hn
h1hh0
Pn
P0
R1
Rn
P1
P
R
dR
1re zone
1
2e R5e4e3e
Am
pli
tud
e
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Zone de Fresnel
Pour une onde de longueur donde , lamplituderetourne au point source en fonction du rayon estmaximum R1 = (h0/2)1/2 ;La contribution principale provient de la surface dfiniepar le cercle de rayon R1, que lon nomme premire zonede Fresnel, ou simplement zone de Fresnel.La premire zone de Fresnel est souvent utilise commemesure de la rsolution horizontale.Si le rflecteur est de dimension infrieure cette zone, sarponse est essentiellement celle dun point diffractant.
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Longueur donde
Le signal mesur est une ondelette, de frquencedominante f donne (bande passante donne) ;Pour une vitesse de propagation V donne, la longueurdonde est = V/f ;
Longueur donde (m)Frquence Vitesse (m/s)
(Hz) 1000 2000 3000 4000 50001 1000 2000 3000 4000 5000
40 25 50 75 100 125100 10 20 30 40 50500 2 4 6 8 10
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Vitesses sismiques des roches
Nature des terrains Vp [m/s] Vs [m/s] [g/cm3]boulis, terre vgtale 300-700 100-300 1.7-2.4sable sec 400-1200 100-500 1.5-1.7sable humide 1500-4000 400-1200 1.9-2.1argiles 1100-2500 200-800 2.0-2.4marnes 2000-3000 750-1500 2.1-2.6grs 3000-4500 1200-2800 2.1-2.4calcaires 3500-6000 2000-3300 2.4-2.7craie 2300-2600 1100-1300 1.8-2.3sel 4500-5500 2500-3100 2.1-2.3anhydrite 4000-5500 2200-3100 2.9-3.0dolomie 3500-6500 1900-3600 2.5-2.9granite 4500-6000 2500-3300 2.5-2.7basalte 5000-6000 2800-3400 2.7-3.1charbon 2200-2700 1000-1400 1.3-1.8eau 1450-1500 - 1glace 3400-3800 1700-1900 0.9huile 1200-1250 - 0.6-0.9
Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rsolution et dtection
Pouvoir de rsolutioncapacit de sparer en profondeur deux horizons ;de lordre de /4 /2 selon la largeur de bande et leniveau de bruit.
Pouvoir de dtectionla plus petite couche qui puisse donner naissance unerflexion ;se situe entre /30 et /10.
Rsolution latralecapacit dindividualiserlatralement deux vnements ;relie la zone de Fresnel ;
Zone de Fresnel
/4
Bref : plus la longueur donde est courte (et la frquenceleve), meilleure est la rsolution.
Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Frquence centrale et largeur de bande
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
Enveloppe spatiale
0 50 100 150 2001.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Signal
0 100 200 300 400 50010
15
1010
105
Spectre de puissance
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
Distance0 50 100 150 200
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Temps0 100 200 300 400 500
1015
1010
105
Frequence
fc
B
Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondesOrigine et cause
Le facteur de qualitsismimque
Divergence gomtrique
Rfrences
Origine et cause
Lattnuation peut tre dfinie comme la diminution delamplitude et une perte prfrentielle des hautesfrquences du signal sismique, en fonction de la distancede propagation ou du temps.Cest un phnomne aux causes multiples.Un des facteurs principaux en est labsorption, cest--direla transformation de lnergie sismique en chaleur parfriction interne ou granulaire dans un milieu inlastique,ou entre un fluide et la matrice poreuse le contenant.Un autre facteur important est la diffusion (scattering) delnergie sismique occasionne par des htrognits defaibles dimensions.
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondesOrigine et cause
Le facteur de qualitsismimque
Divergence gomtrique
Rfrences
Le facteur de qualit sismique Q
Le facteur de qualit Q (adimensionnel) est gnralementutilis pour quantifier lattnuation propre un matriau ;Le facteur Q est inversement proportionnel lnergieabsorbe par le milieu lors dun cycle doscillation delonde
Q = 2/(fraction dnergie perdue par cycle)= 2/(E/E) (30)
Plus le matriau est de pitre qualit du point de vuesismique, plus lnergie de londe sismique dissipe (E)est grande, plus le facteur de qualit sera faible.
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Solutionsparticulires auxquations donde
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Rsolution
Attnuation desondesOrigine et cause
Le facteur de qualitsismimque
Divergence gomtrique
Rfrences
Divergence gomtrique
Phnomne du une redistribution de lnergie enfonction de la surface occupe par le front donde.Son effet varie selon le type donde se propageant, soitquelle est plane, cylindrique ou sphrique.Dcrite par un rapport dintensit, lintensit I tant laquantit dnergie se propageant travers une surfacenormale la direction de propagation par unit de temps.Onde sphrique : surface = 4r2 dcroissance delintensit par linverse du carr de la distance la source.Onde plane : divergence nulle et intensit constante.
Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfrences
Rfrence gnrale
Sheriff, R. E. and Geldart, L. P. (1995). ExplorationSeismology. Cambridge University Press, 2nd edition
Pour aller plus loinAki, K. and Richards, P. G. (2002). Quantitative Seismology.University Science Books, Sausalito, CA, 2nd editionCarcione, J. M. (2007). Wave Fields in Real Media : WavePropagation in Anisotropic, Anelastic, Porous andElectromagnetic Media, volume 38 of Handbook of GeophysicalExploration : Seismic Exploration. Elsevier, 2nd editionCerven, V. (2005). Seismic Ray Theory. CambridgeUniversity Press
Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfrences
Dahlen, F. A. and Tromp, J. (1998). Theoretical GlobalSeismology. Princeton University PressMavko, G., Mukerji, T., and Dvorkin, J. (2009). The RockPhysics Handbook. Cambridge University Press, 2 editionLay, T. and Wallace, T. C. (1995). Modern Global Seismology,volume 58 of International Geophysics Series. AcademicPress, San Diego
IntroductionDfinitionsContrainteDformation en compression/dilatationDformation en cisaillementquations d'ondesOnde POnde SSolutions particulires aux quations d'ondeOnde planePotentiels de dplacementOndes harmoniquesOndes de RayleighRais sismiquesRflexion d'une onde planeRfraction d'une onde planequation de l'eikonalRsolutionAttnuation des ondesOrigine et causeLe facteur de qualit sismimqueDivergence gomtriqueRfrences