Ondes gravitationnelles dans des systèmes binaires à
grand rapport de masse
17eme journée CaSciModOT
RITTER Patxi
(LPC2E - MAPMO)
– p. 1/23
Plan
- Ondes gravitationnelles
- Modélisation dans le cas des EMRIs
- Optimisation du code de calcul
- Réaction de radiation
– p. 2/23
Ondes gravitationnelles
� Relativité Générale : Cadre formel décrivant l’interaction entre matière etgéométrie de l’espace-temps (Einstein 1915).
� Espace-temps : Variété différentielle décrite localement par les 10
composantes du tenseur metrique gµν obéissant à l’équation de champ
d’Einstein
Gµν�
gµν�
︸ ︷︷ ︸
Géométrie
=8πG
c 4Tµν�
gµν�
︸ ︷︷ ︸
Matière
– p. 3/23
Ondes gravitationnelles
� Onde Gravitationnelle (OG) : déformation de la courbure del’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.
� OG engendrées par le mouvement et la dynamique de la source.
– p. 4/23
Ondes gravitationnelles
� Onde Gravitationnelle (OG) : déformation de la courbure del’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.
� OG engendrées par le mouvement et la dynamique de la source.
� Mesure de variation relative de distance entre 2 points matériels (parinterférométrie).
b
b
t1
t2
L
L =1
2c (t2− t1)
Variation de la longueur L au passage d’une OG
δL/L ≈ 10−21 !!
– p. 5/23
Ondes gravitationnelles
Détecteur interférométrique VIRGO sur le site de Cascina, près de PiseCibles : TN binaire (5M⊙<M < 20M⊙), pulsar binaire (1.4M⊙).
Bande de fréquence : 10Hz - 1kHz
– p. 6/23
Ondes gravitationnelles
Laser Interferometer Space Antenna (LISA/NGO)
Cibles : TN super-massifs (106M⊙<M < 108M⊙), EMRIs.
Bande de fréquence : 10−4Hz - 0.1Hz
– p. 7/23
Modélisation, cas des EMRIs
Intérêt de la modélisation :
� Dans la technique de filtres adaptés on corrèle la sortie bruitée dudétecteur avec la forme d’onde prédite par la théorie ou patron d’onde.
� Le patron d’onde doit rester en phase avec la forme d’onde exacte aussilongtemps que possible.
– p. 8/23
Modélisation, cas des EMRIs
� Trou noir (TN) : Objet compact formant une singularité de
l’espace-temps = degré de courbure infini
� Liens intimes entre trous noirs et OG
� TN et OG sont des distorsions de l’espace-temps (extrême pour le TN, minime
pour les OG)
� TN et OG sont tous deux solutions du vide des équations d’Einstein.
TN TN+OG
– p. 9/23
Modélisation, cas des EMRIs
m∗≪M
M
– p. 10/23
Modélisation, cas des EMRIs
– p. 11/23
Modélisation, cas des EMRIs
� Extreme Mass Ratio Inspiral
� Perturbation de la métrique
gµν = g Trou Noirµν +hµν
hµν ∼O (m∗/M )
� Linéarisation des équations de champ
Gµν
h
g Trou Noirµν +hµν
i
=8πG
c 4δTµν
� Etoile supposée ponctuelle
δTµν = m∗
∫ +∞
−∞
δ(4)(xα−Xα(τ))d Xµ
dτ
d X ν
dτdτ
M
m∗≪M
X (τ)
� Décomposition sur une base d’harmoniques tensoriels
hµν =∑
ℓ,m
10∑
i=1
h(i )ℓm (r , t )Y(i )ℓmµν (θ ,φ)
– p. 12/23
Modélisation, cas des EMRIs
Equation de Regge-Wheeler-Zerilli
�
−∂ 2
∂ t 2+∂ 2
∂ r ∗2−Ve /o(r )ℓ�
ψℓme /o
(r , t ) = F ℓme /o
(t )∂
∂ rδ (r −R(t ))+G ℓm
e /o(t )δ (r −R(t ))
�ψℓme fonction d’onde paire
ψℓmo fonction d’onde impaire
«
exprimées à partir des h(i )ℓm
� Discontinues à la position de la particule.
� Liées à l’énergie du système d Ed t
= 164
∑
ℓm(ℓ+2)!(ℓ−2)!
�
|ψℓme |2 + |ψℓmo |
2�
V ℓe /o
, F ℓme /o
,G ℓme /o
fonctions analytiques
r ∗= r +2M ln�
r2M−1�
coordonnée tortue
R(t ) trajectoire de la particule
−10 −5 0 5 10 15 20 25
r ∗ /2M
0.0
0.5
1.0
1.5
(2M/m
0)ψ
ℓm e
Re{ψ ℓme
}Im
{ψ ℓme
}
-100 -50 0 50 100 150
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
– p. 13/23
Modélisation, cas des EMRIs
Exemple pour des orbites génériques�
t , R(t ), Θ(t ), Φ(t )
F ℓmo (t ) =8K
λR�
R2− f (R)2�
Aℓm
G ℓmo (t ) =−
8K
λRR
d Aℓm
d t−
8K
λ
�R
U 0
d
d t(U 0R)+�
R2− f (R)��
Aℓm
V ℓo (r ) = 2 f (r )
�λ+1
r 2−
3M
r 3
�
F ℓme (t ) =−8KR f (R) (R2− f (R)2)
λR +3MY ℓm
G ℓme (t ) =16K
RR f (R)
λR +3M
d Y ℓm
d t−16
K
λR f (R)ΘΦ∂φ
�
∂θ −cot Θ
�
Y ℓm +8KR2 f (R)2
λR +3M
�
Θ2 + sin2
ΘΦ2�
Y ℓm
−4K
λR f (R)�
Θ2− sin2
ΘΦ2��
∂ 2θ −cot Θ∂θ −
1
sin2Θ∂ 2φ
�
Y ℓm
+8KR2 [(λ+1)(6RM +λR2)+3M 2]
R(λR +3M )2Y ℓm −8K
f (R)2 [R2λ(λ+1)+6λRM +15M 2]
R(λR +3M )2Y ℓm
V ℓe (r ) =2 f (r )[λ2(λ+1)r 3 +3λ2M r 2 +9λM 2r +9M 3]
r 3(λr +3M )2
où K = (πm0 U 0)/(λ+1), λ= 12(ℓ−1)(ℓ+2), f (r ) = 1−2M /r et Aℓm =
�Θ
sin Θ∂φ − sin ΘΦ∂θ
�
Y ℓm– p. 14/23
Modélisation, cas des EMRIs
t
r ∗
R∗(t )T
RO
UN
OIR
Différence finie d’ordre 2
Zone de discontinuité
R(χ) =p M
1+ e cosχ,
dχ
d t=
(p −2−2e cosχ)(1+ e cosχ)2
M p 2
r
p −6−2e cosχ
(p −2)2−4e 2
d Φ
d t=
(p −2−2e cosχ)(1+ e cosχ)2
p 3/2Mp
(p −2)2−4e 2– p. 15/23
Modélisation, cas des EMRIs
� Cellules vides
bc
bc
bc
bcA
D
CBψℓmA =−ψℓmD +
�
ψℓmB +ψℓmC
��
1−∆r ∗2
2V (r )
�
+O(∆r ∗3)
� Cellules traversées par la trajectoire = zone de discontinuité de lafonction d’onde
bc
bc
bc
bcA
D
CBx
bc
bc
bc
bcA
CBx
D
bc
bc
bc
bcA
CBx
D
bc
bc
bc
bcA
CBx
D
ψℓmA =bψℓmB + cψℓmC +dψℓmD +∑
p+q<3
αpq
�
∂p
t ∂q
r ∗ψℓmx
�
+O(∆r ∗3)– p. 16/23
Modélisation, cas des EMRIs
−50 0 50 100 150
r ∗ /2M
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
t/2M
−0.5 0.0 0.5
Re{ψ 22e (r ∗ =400M,t)
}
Exemple pour une orbite elliptique (e = 0.5) dans le cas du mode
quadrupolaire (ℓ,m ) = (2,2)
– p. 17/23
Modélisation, cas des EMRIs
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6x
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
y
0 100 200 300 400 500 600
u/2M
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
(2M/m
0)ψ
22
e
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20x
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
y
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
u/2M
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
(2M/m
0)ψ
22
e
−4 −2 0 2 4x
−4
−2
0
2
4
y
0 100 200 300 400 500 600
u/2M
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
(2M/m
0)ψ
22
e
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
0 50 100 150 200 250 300 350
u/2M
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
(2M/m
0)ψ
22
e
−6 −4 −2 0 2 4 6x
−6
−4
−2
0
2
4
6
y
500 600 700 800 900 1000
u/2M
−0.5
0.0
0.5
(2M/m
0)ψ
22
e
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40x
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
y
0 500 1000 1500 2000
u/2M
−0.5
0.0
0.5
(2M/m
0)ψ
22
e
– p. 18/23
Optimisation du code de calcul
Code en C (lib. GSL pour fonctions spéciales, syst. linéaires, ODE et
harmoniques sphériques)
Cas de l’équation homogène (cellules vides).
�
−∂ 2
∂ t 2+∂ 2
∂ r ∗2−V (r )ℓ�
ψℓm (r , t ) = 0
Stages étudiants au LIFO encadrés par S. Jubertie
� version C++
� Optimisation des routines de
calcul
� SSE
� Threads Open MP
� CUDA
Gain de plus d’un ordre de grandeuren temps de calcul Ref. opt. SSE parall. CUDA
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
– p. 19/23
Réaction de radiation
d 2xα
dτ2+Γ
αβγ
d xβ
dτ
d xγ
dτ= 0
– p. 20/23
Réaction de radiation
d 2xα
dτ2+Γ
αβγ
d xβ
dτ
d xγ
dτ= −
1
2
�
g αλ+uαu λ��
2∇µhλν −∇λhµν�
uµu ν
– p. 21/23
CONCLUSION
� Code permettant de générer les formes d’ondes à l’infini (sans réactionde radiation) pour tous types d’orbites.
� Code pour le problème de la chute radiale avec réaction de radiation.
PERSPECTIVES
� Finaliser le travail sur la réaction de radiation.
� Passer à l’évolution orbitale dans le cas d’orbites génériques.
� Jauge harmonique
– p. 22/23
Merci
– p. 23/23
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