Module IV:
Calcul intégral
Principe
F(x)
x
F(b)
F(a)
F(a+∆x)
a
a+∆x
b
( ) ( ) ( ) )(lim0
afadx
dF
x
aFxaF
x==
∆−∆+
→∆
( ) ( )( ) xafaFxaFxx
∆=−∆+→∆→∆
)(limlim00
=>
( ) ( ) dxafaFdxaF )(=−+=>
( ) ( ) =−b
adxxfaFbF )(=>
Interprétation graphique
f(X)
x
f(b)
f(x+dx)
a
x+dx
b
( ) ( ) =−b
adxxfaFbF )(
f(a)
Graphiquement: on
somme les surfaces de
rectangles de hauteur f(x)
et de largeur dx
Conséquences
Si F(x) a pour dérivée F’(x) = f(x)
F(b) - F(a) peut se calculer par la somme
appelée « intégrale de f(x) entre x=a et x=b »
F(b) - F(a) représente la surface entre f(x) et
Ox, et entre x=a et x=b
b
adxxf )(
Exemple
Soit F(x) = x³ - 2x² + 3x -2
F’(x) = f(x) = 3x² - 4x + 3
La surface entre f(x) et Ox, x=0 et x=1 vaut
F(1) – F(0) = 0 – (-2) = 2
Calculons numériquement l’intégrale:
Exemple
Soit F(x) = x³ - 2x² + 3x -2
F’(x) = f(x) = 3x² - 4x + 3
Primitives et intégrales
On a vu que: F’(x) = f(x)
f(x) est unique
Par contre, F(x), l’intégrale de f(x), n’est
définie qu’à une constante près
[F(x) + k]’ = F’(x) + k’ = F’(x)
quelle que soit la constante k
F(x) est appelée « la primitive de f(x) », ou
« l’intégrale indéfinie de f(x) »
Primitives et intégrales
Si les limites d’intégration (a et b) sont
données:
On parle alors
« d’intégrale définie de f(x) entre a et b »
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )aFbFkxFkxFdxxf axbxb
a−=+−+= == )(
Primitives immédiates
On peut vérifier, en dérivant F(x), que:
k
xm+k
sin(x)+k
cos(x)+k
tg(x)+k
cotg(x)+k
arcsin(x)+k
F(x)
0
mxm-1
cos(x)
-sin(x)
1/cos²(x)
-1/sin²(x)
1/√(1-x²)
f(x)
arcos(x)+k
arctg(x)+k
arccotg(x)+k
ex+k
ax +k(a>0)
ln(x)+k
loga(x)+k
F(x)
-1/ √(1-x²)
1/(1+x²)
-1/(1+x²)
ex
ax*ln(a)
1/x
1/(x*ln(a))
f(x)
Méthodes d’intégration
Méthode de substitution
But: se ramener à une intégrale usuelle par
changement de variable
Exemple: I = ∫sin²(x)*cos(x) dx
Solution:
poser t = sin(x)
dt/dx = cos(x) => dt = cos(x) dx
I = ∫ t² dt = t³/3 + k = sin³(x)/3 + k
Méthodes d’intégration
Méthode « par partie »
But: se ramener à des intégrales usuelles en
utilisant uv’ = (uv)’ – u’v
∫ uv’ dx = ∫ u dv = uv - ∫ u’v = uv - ∫ v du
Exemple: I = ∫sin²(x)*cos(x) dx
posons u = sin²(x) et dv = cos(x) dx
=> du = 2*sin(x)*cos(x)*dx et v = sin(x)
I = sin³(x) - ∫ 2*sin²(x)*cos(x) dx +k
=> 3I = sin³(x) + k => I = sin³(x)/3 + k’
Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Montrer que f(x) = λ*exp(-λx), où λ est un paramètre de forme et x est la variable
aléatoire, variant de 0 à +∞, est bien une
distribution
Cette question consiste à montrer que:
1)(0
=+∞
dxxf
Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Procédons par substitution
Posons u = λ*x => du = λ*dx x = 0 => u = 0
x = +∞ => u = +∞
On peut donc écrire:
[ ] [ ] 1000
=−−−== =−
+∞=
+∞ −−+∞ − u
u
u
uuxeeduedxe
λλ
Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Remarques
représente la probabilité que x soit compris
entre a et b. On vient donc de montrer que
la probabilité que x soit entre 0 et +∞ vaut
100 %
Pdxeb
a
x =−λλ
Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Quelques exemples
Distributions exponentielles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
f(x
)
λ = 1λ = 5λ = 10
Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Calculer la probabilité P(0.2 < x < 0.4), en
supposant que λ = 5
[ ] [ ] 2325.0212.0*54.0*54.02.0
=−=−−−== −−−−− eeeedxePxxxλλ
Quelques exemples
Physique: accélération constante
Calculer l’espace parcouru par un mobile,
situé initialement en x = x0, se déplaçant
initialement à une vitesse v = v0, et
subissant une accélération constante a.
Solution:
a=dv/dt => dv = a*dt => ∫dv = ∫a*dt
=> v(t) = a*t + Ct
en t = 0, v(0) = v0 => Ct = v0
=> v(t) = a*t + v0
Quelques exemples
Physique: accélération constante
Solution (suite):
v=dx/dt => dx = v*dt => ∫dx = ∫v*dt
=> x(t) = ½*a*t² + v0*t + Ct
en t = 0, x(0) = x0 => Ct = x0
=> x(t) = ½* a*t² + v0*t + x0=> on redécouvre le MRUA...!
Quelques exemples
Physique: accélération variable
Calculer l’espace parcouru par un mobile, situé
initialement en x = x0, se déplaçant initialement
à une vitesse v = v0, et subissant une
accélération variable a.
On supposera que la force de propulsion est
constante (F), mais que la masse du mobile
diminue (consommation du carburant)
Quelques exemples
Exemple de questions d’examens:
Calculer l’intégrale de tg(x/2) pour x dans
l’intervalle [-π/4;π/4] Calculez l’intégrale de x² * exp(-2*x) entre 0 et 1
Calculez la primitive de sin³(x)
Quelques exemples
�� = � �� ��
��
�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie
Quelques exemples
�� = � �� ��
��
�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie Sinon, on pose:
u = x/2 => du = dx/2 => dx = 2*du
x = ± π/4 => u = ± π/8
Quelques exemples
�� = � �� ��
��
�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie Sinon, on pose:
u = x/2 => du = dx/2 => dx = 2*du
x = ± π/4 => u = ± π/8 On constate que:
tg(u) = sin(u)/cos(u) = -cos’(u)/cos(u)
= -ln[cos(u)]’
Quelques exemples
�� = � �� ��
��
��
On en déduit que: ��= � �� � ∗ 2 ∗ ���
��
Quelques exemples
�� = � �� ��
��
��
On en déduit que: ��= � �� � ∗ 2 ∗ ���
��
Et donc: ��= −2 ∗ ln ��� � |����
= −2 ∗ �� ��� �� − �� ��� −��= 0
Quelques exemples
�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer
l’approche « par parties »
Quelques exemples
�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer
l’approche « par parties »
On pose:
� = � ⇒ � = 2 ∗ ∗
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
Quelques exemples
�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer
l’approche « par parties »
On pose:
� = � ⇒ � = 2 ∗ ∗
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
�� = �%∗#$%∗&� | � + � ∗ ��∗�
�
Premier terme:
#$%� =
��∗#%
Quelques exemples
�� = #$%� + � ∗ ��∗�
�
On pose:
� = ⇒ � =
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
Quelques exemples
�� = #$%� + � ∗ ��∗�
�
On pose:
� = ⇒ � =
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
�� = #$%� +
�∗#$%∗&
� | � + � ��∗�
�
Ce qui conduit à:
�� = �) ∗ 1 −+
#%
Quelques exemples
,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��
⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����
Quelques exemples
,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��
⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����
,- = � �.� ∗ − � �.� ∗ ���� //// ⇒ ,- = −��� + ,-0
Quelques exemples
,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��
⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����
,- = � �.� ∗ − � �.� ∗ ���� //// ⇒ ,- = −��� + ,-0 Pour calculer ,-0, on pose: � = cos ⇒ � = − sin ∗
⇒ ,-0 = 5 �� ∗ �/
/= �
-3 + 7 =
���-()3 + 7