Module IV:

Calcul intégral

Principe

F(x)

x

F(b)

F(a)

F(a+∆x)

a

a+∆x

b

( ) ( ) ( ) )(lim0

afadx

dF

x

aFxaF

x==

∆−∆+

→∆

( ) ( )( ) xafaFxaFxx

∆=−∆+→∆→∆

)(limlim00

=>

( ) ( ) dxafaFdxaF )(=−+=>

( ) ( ) =−b

adxxfaFbF )(=>

Interprétation graphique

f(X)

x

f(b)

f(x+dx)

a

x+dx

b

( ) ( ) =−b

adxxfaFbF )(

f(a)

Graphiquement: on

somme les surfaces de

rectangles de hauteur f(x)

et de largeur dx

Conséquences

Si F(x) a pour dérivée F’(x) = f(x)

F(b) - F(a) peut se calculer par la somme

appelée « intégrale de f(x) entre x=a et x=b »

F(b) - F(a) représente la surface entre f(x) et

Ox, et entre x=a et x=b

b

adxxf )(

Exemple

Soit F(x) = x³ - 2x² + 3x -2

F’(x) = f(x) = 3x² - 4x + 3

La surface entre f(x) et Ox, x=0 et x=1 vaut

F(1) – F(0) = 0 – (-2) = 2

Calculons numériquement l’intégrale:

Exemple

Soit F(x) = x³ - 2x² + 3x -2

F’(x) = f(x) = 3x² - 4x + 3

Primitives et intégrales

On a vu que: F’(x) = f(x)

f(x) est unique

Par contre, F(x), l’intégrale de f(x), n’est

définie qu’à une constante près

[F(x) + k]’ = F’(x) + k’ = F’(x)

quelle que soit la constante k

F(x) est appelée « la primitive de f(x) », ou

« l’intégrale indéfinie de f(x) »

Primitives et intégrales

Si les limites d’intégration (a et b) sont

données:

On parle alors

« d’intégrale définie de f(x) entre a et b »

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )aFbFkxFkxFdxxf axbxb

a−=+−+= == )(

Primitives immédiates

On peut vérifier, en dérivant F(x), que:

k

xm+k

sin(x)+k

cos(x)+k

tg(x)+k

cotg(x)+k

arcsin(x)+k

F(x)

0

mxm-1

cos(x)

-sin(x)

1/cos²(x)

-1/sin²(x)

1/√(1-x²)

f(x)

arcos(x)+k

arctg(x)+k

arccotg(x)+k

ex+k

ax +k(a>0)

ln(x)+k

loga(x)+k

F(x)

-1/ √(1-x²)

1/(1+x²)

-1/(1+x²)

ex

ax*ln(a)

1/x

1/(x*ln(a))

f(x)

Méthodes d’intégration

Méthode de substitution

But: se ramener à une intégrale usuelle par

changement de variable

Exemple: I = ∫sin²(x)*cos(x) dx

Solution:

poser t = sin(x)

dt/dx = cos(x) => dt = cos(x) dx

I = ∫ t² dt = t³/3 + k = sin³(x)/3 + k

Méthodes d’intégration

Méthode « par partie »

But: se ramener à des intégrales usuelles en

utilisant uv’ = (uv)’ – u’v

∫ uv’ dx = ∫ u dv = uv - ∫ u’v = uv - ∫ v du

Exemple: I = ∫sin²(x)*cos(x) dx

posons u = sin²(x) et dv = cos(x) dx

=> du = 2*sin(x)*cos(x)*dx et v = sin(x)

I = sin³(x) - ∫ 2*sin²(x)*cos(x) dx +k

=> 3I = sin³(x) + k => I = sin³(x)/3 + k’

Quelques exemples

Statistique: distribution exponentielle

Montrer que f(x) = λ*exp(-λx), où λ est un paramètre de forme et x est la variable

aléatoire, variant de 0 à +∞, est bien une

distribution

Cette question consiste à montrer que:

1)(0

=+∞

dxxf

Quelques exemples

Statistique: distribution exponentielle

Procédons par substitution

Posons u = λ*x => du = λ*dx x = 0 => u = 0

x = +∞ => u = +∞

On peut donc écrire:

[ ] [ ] 1000

=−−−== =−

+∞=

+∞ −−+∞ − u

u

u

uuxeeduedxe

λλ

Quelques exemples

Statistique: distribution exponentielle

Remarques

représente la probabilité que x soit compris

entre a et b. On vient donc de montrer que

la probabilité que x soit entre 0 et +∞ vaut

100 %

Pdxeb

a

x =−λλ

Quelques exemples

Statistique: distribution exponentielle

Quelques exemples

Distributions exponentielles

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

f(x

)

λ = 1λ = 5λ = 10

Quelques exemples

Statistique: distribution exponentielle

Calculer la probabilité P(0.2 < x < 0.4), en

supposant que λ = 5

[ ] [ ] 2325.0212.0*54.0*54.02.0

=−=−−−== −−−−− eeeedxePxxxλλ

Quelques exemples

Physique: accélération constante

Calculer l’espace parcouru par un mobile,

situé initialement en x = x0, se déplaçant

initialement à une vitesse v = v0, et

subissant une accélération constante a.

Solution:

a=dv/dt => dv = a*dt => ∫dv = ∫a*dt

=> v(t) = a*t + Ct

en t = 0, v(0) = v0 => Ct = v0

=> v(t) = a*t + v0

Quelques exemples

Physique: accélération constante

Solution (suite):

v=dx/dt => dx = v*dt => ∫dx = ∫v*dt

=> x(t) = ½*a*t² + v0*t + Ct

en t = 0, x(0) = x0 => Ct = x0

=> x(t) = ½* a*t² + v0*t + x0=> on redécouvre le MRUA...!

Quelques exemples

Physique: accélération variable

Calculer l’espace parcouru par un mobile, situé

initialement en x = x0, se déplaçant initialement

à une vitesse v = v0, et subissant une

accélération variable a.

On supposera que la force de propulsion est

constante (F), mais que la masse du mobile

diminue (consommation du carburant)

Quelques exemples

Exemple de questions d’examens:

Calculer l’intégrale de tg(x/2) pour x dans

l’intervalle [-π/4;π/4] Calculez l’intégrale de x² * exp(-2*x) entre 0 et 1

Calculez la primitive de sin³(x)

Quelques exemples

�� = � �� ��

��

�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie

Quelques exemples

�� = � �� ��

��

�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie Sinon, on pose:

u = x/2 => du = dx/2 => dx = 2*du

x = ± π/4 => u = ± π/8

Quelques exemples

�� = � �� ��

��

�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie Sinon, on pose:

u = x/2 => du = dx/2 => dx = 2*du

x = ± π/4 => u = ± π/8 On constate que:

tg(u) = sin(u)/cos(u) = -cos’(u)/cos(u)

= -ln[cos(u)]’

Quelques exemples

�� = � �� ��

��

��

On en déduit que: ��= � �� � ∗ 2 ∗ ���

��

Quelques exemples

�� = � �� ��

��

��

On en déduit que: ��= � �� � ∗ 2 ∗ ���

��

Et donc: ��= −2 ∗ ln ��� � |����

= −2 ∗ �� ��� �� − �� ��� −��= 0

Quelques exemples

�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer

l’approche « par parties »

Quelques exemples

�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer

l’approche « par parties »

On pose:

� = � ⇒ � = 2 ∗ ∗

" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'

Quelques exemples

�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer

l’approche « par parties »

On pose:

� = � ⇒ � = 2 ∗ ∗

" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'

�� = �%∗#$%∗&� | � + � ∗ ��∗�

�

Premier terme:

#$%� =

��∗#%

Quelques exemples

�� = #$%� + � ∗ ��∗�

�

On pose:

� = ⇒ � =

" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'

Quelques exemples

�� = #$%� + � ∗ ��∗�

�

On pose:

� = ⇒ � =

" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'

�� = #$%� +

�∗#$%∗&

� | � + � ��∗�

�

Ce qui conduit à:

�� = �) ∗ 1 −+

#%

Quelques exemples

,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��

⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����

Quelques exemples

,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��

⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����

,- = � �.� ∗ − � �.� ∗ ���� //// ⇒ ,- = −��� + ,-0

Quelques exemples

,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��

⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����

,- = � �.� ∗ − � �.� ∗ ���� //// ⇒ ,- = −��� + ,-0 Pour calculer ,-0, on pose: � = cos ⇒ � = − sin ∗

⇒ ,-0 = 5 �� ∗ �/

/= �

-3 + 7 =

���-()3 + 7