Onastrangeclassofalgebraicnumbers

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Onastrangeclassofalgebraicnumbers

bySimonPlouffeMarch16,2014

Résumé

La formule d’itération de Mandelbrot converge vers un nombre algébrique de degré 4 si c est un

rationnelsimple.Maisenregardantdeprèscertainsnombresalgébriquesenbinaireonvoitapparaîtreunmotifassez

évidentettrèspersistant.

Abstract

Theiterationformula ofMandelbrotwillgiveanalgebraicnumberofdegree4whenitconvergesmost

ofthetime.Ifwetakeagoodlookatsomeofthesealgebraicnumbers:someofthemhaveaverypersistentpatternin

theirbinaryexpansion.

Thefirst270millionbitsof1⋅ √

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Introduction L’idéededépartétaitbaséesuruneobservationouquestion.Sachantquelaplupartdutemps, étant donné un c rationnel et simple, le résultat de l’itération donne un nombrealgébrique. La question étant: si la frontière de l’ensemble de Mandelbrot est composée denombresalgébriquesalorssionprendunesériedenombresalgébriquesprochesdelafrontièreauront‐ilsunmotifdansleurdéveloppementenbinaire?La question se posait puisqu’en observant la vitesse à laquelle l’itération converge vers cesnombresalgébriquesestgéométrique.L’observationdoncdenombresalgébriquesenbinaireapermis de découvrir une formule qui lorsqu’évaluée donne naissance à des motifs trèspersistants.

12 ⋅ 4 2√16 1

2 (1)

Sinestde l’ordrede1000, lemotifpersisteetest trèsnettementvisible jusqu’aumillionièmebit,sinestdel’ordrede32000lemotifpersistejusqu’aumilliardièmebit.J’aiputesterjusqu’au3,2milliardièmebit.Sinestdel’ordredumillionsoit:2 ,onaalorsles2 premiersbitsquisont prévisibles pour un peu plus que la moitié des valeurs, c'est‐à‐dire les premiers 1000milliardsdebits.Cesnombressontétrangesdeplusieursfaçons.

1) Leurdéveloppementenbinaireestassezvisiblementfaitdelonguessuitesde0etde1.2) Ledéveloppementenfractioncontinuéeesttrèschaotiquemêmeenbase10.3) Onpeutprédireunpeuplusdelamoitiédudéveloppementenbinairequiobéittoujours

àlamêmerègle.4) Onpeuttracerungraphiqueoureprésenteràl’aided’uneimagebitmapetprédireassez

exactementquelseralemotif.5) Lelogetl’exponentielledef(n)donnentaussinaissanceàunmotifquisemblepersister

moinslongtempsmaisquiesttrèsvisibleetpossèdelesmêmespropriétésgénériques,commed’avoirdesquotientspartielsenbase2ou10trèsélevés.

6) L’étenduedumotifenbinaireestdel’ordreducarréden.7) Cettefonctionsembleuniqueetgénérique,jen’aipasputrouverd’autresexemplesqui

soientmeilleursentermesd’étendue.

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Voicil’imagedudéveloppementbinaire,icin=100.f(100)=1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111011000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001010011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100101001100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001001011111101111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100011010010111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010110101010111110011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111…

Lemotif cesse apparemment d’être visible au 10000ème bit. Si on prend une valeur bien plusgrandedenonpeutfaireuneimagegraphiquequirésumebien.Icin=8192,bleu=0,blanc=1,lepasdel’imageest16385.

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Legraphiqueoudessinestenfaussescouleurspourbienvoirlacoupure.

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Lemêmedessinauxenvironsdelaposition270000000enbinaire,ondistingueencorelemotifquisetermineenpointe.Icibleu=0etblanc=1.

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Imagedes446premiersmillionsdebitsde

12 ⋅ 32 3√4 1

2 ⋅ 16

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Zoomsurlapartiehautedel’image(enfaussecouleurbleuefoncée).

Zoomsurlapointeaubasdel’image(enfaussecouleurbleuefoncée).

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AnalysedesrésultatsetquestionsouvertesLaformule(1)estsurprenante,lapremièreversiontrouvéeétaitenfait,

12 2√2 1

2 (2)

Quidonnaitlemotifquepourlesnimpairs,sinestpaironabienunevaleurprèsde1maisquidès que les chiffres en binaire commencent se comporte comme la plupart des fonctionsirrationnelles,c'est‐à‐diresansaucunmotif,onnevoitquedugris(oubleu)selonlechoixdescouleurs.Ilnesembleexisterqu’uneseulesortedefonctiongénérique.IlnesemblepasexisternonplusdelienaveclaformuledeViètemaisçaresteàprouver.

22

√2 ⋅

2

2 √2⋅

2

2 2 √2

⋅2

2 2 2 √2

…

Mêmesilemotifesttrèspersistant,lesnombresobtenussonttrèsirréguliersaudébutdeleurdéveloppementbinaire.Uneanalysestatistiquemontrequ’ilssontquandmêmenormauxet lelienavecdesensemblescommel’ensembledeCantor.

Laformule

12 ⋅ 32 3√4 1

2 ⋅ 16

(3)

Nedonnerienpourcertainesvaleursdenetdonnedesrésultatsspectaculairespourn=2 1.

Lesnombresobtenussontpathologiquessiondéveloppeenfractioncontinuée,lamêmechoseseproduitpourl’exponentielledef(n),exp(f(n)‐1)etln(f(n)).

Lemotif près de la pointe pour f(n) est toujours lemême, il est envisageable de trouver uneformule générique pour le motif qui pourrait certainement être un automate cellulaire. Ilresteraitàtrouverquellerèglecorrespondàcemotif.

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Bibliographie

‐ AdrienDouady, JohnH.Hubbard:Étudedynamiquedespolynômescomplexes,SociétémathématiquedeFrance,2007.

‐ Carl Sagan Contact: A Novel. New York: Simon & Schuster. ISBN0‐671‐43400‐4.LCCN85014645.OCLC12344811.

‐ Automate cellulaire et ensemble de Mandelbrot sur wikipedia:http://fr.wikipedia.org/wiki/Automate_cellulaire

‐ http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set‐ Wolfram, Stephen,ANewKindofScience.WolframMedia, Inc.,May 14, 2002. ISBN1‐

57955‐008‐8.