Cours M2 ASTR - module FRS - Commande Robuste
Toulouse Dec 2013-Fev 2014
Dimitri PEAUCELLE - LAAS-CNRS - Universite de Toulouse
Renseignements pratiques
n Enseignant : Dimitri Peaucelle, charge de recherche au LAAS-CNRS
l Contacts : 05 61 33 63 09 - [email protected]
l Page web : homepages.laas.fr/peaucell
n Organisation du cours
l Cours magistral avec supports de cours sur planches : 10h
s 17, 18 decembre et 7, 14, 15 janvier
l Exercices avec support MATLAB : 8h
s 20 decembre et 8, 23, 30 janvier
l TP avec support MATLAB : 5h
s 5, 6 fevrier
l Examen, tous documents autorises et avec support MATLAB : 2h
s 18 fevrier
Cours M2 UPS - Commande robuste 1 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Commande robuste - Cadre general
l Automatique / Theorie de la commande
l Commande de systemes dynamiques
s Representes par des equations differentielles (systemes a temps continu)
s ou par des equations recurrentes (systemes a temps discret)
l Modeles non-lineaires dans l’espace d’etat8
<
:
x(t) = f(x, u, t)
y(t) = g(x, u, t)ou
8
<
:
xk+1
= f(x, u, k)
yk = g(x, u, k)
s x : etat du systemes u : commandes du systeme (actionneurs)s y : mesures du systeme (capteurs)
l Modeles lineaires dans l’espace d’etat et matrices de transfert (MIMO)
⌃(s) ⇠
8<
:x(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)ou ⌃(z) ⇠
8<
:xk+1 = Ax
k
+Buk
yk
= Cxk
+Duk
Cours M2 UPS - Commande robuste 2 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Systemes dynamiques, exemples
c� AIRBUS S.A.S. - H. Gousse c� ProMinent
c� CNES - ill. D. Ducos HRP-2 Promet @ Astrium - Ariane 5 @ Quanser - 3DOF helico
Cours M2 UPS - Commande robuste 3 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Commande robuste - Specificites
l Systemes incertains
s Representations polytopiques et LFT
s Stabilite et performances garanties pour toutes les incertitudes = robuste
l Principalement dans le cadre de modeles lineaires
s Outils mathematiques : matrices, transformees de Laplace, normes, etc.
l Peu de resultats analytiques
s Formules avec contraintes de type inegalites matricielles
s Resolution par outils d’optimisation convexe
l Methodologie relativement generique
s Actuellement repandue au dela du cadre des systemes lineaires
Cours M2 UPS - Commande robuste 4 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Modelisation pour la commande
l Isoler un comportement dynamique
s Decouplage par axes - mouvement longitudinaux/lateraux d’un avion
s Decouplage temporel - incidence/remplissage reservoir d’un lanceur
s Decouplage par modes - rejoindre destination / positionnement precis
s Decouplage frequentiel - echantillonnage, dynamiques composants
l Definir trajectoire/position de reference
s Termes non-lineaires negliges, simplifies ou linearises
s Enonce de performances a atteindre
s Enonce de contraintes a satisfaire
l Tenir compte de meconnaissances
s Tous les phenomenes physiques n’ont pas de description concise
s Parametres varient d’un produit manufacture a l’autre
s Identification de parametres est toujours entachee d’erreur
Cours M2 UPS - Commande robuste 5 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Les modeles obtenus
l dependent de parametres ✓
s (mode, etat d’une dynamique lente, trajectoire de reference...)
s connus, choisis ou mesurables (avec une certaine precision)
l dependent d’incertitudes �
s (dynamiques negligees, approximations, meconaissances...)
s inconnus mais bornes, a dynamiques nulles, lentes ou bornees
l sont influences par des perturbations w
s (phenomenes, couplages, frequences negligees... et trajectoire)
s inconnus, avec caracteristiques frequentielles, temporelles, energetiques...
l doivent satisfaire des contraintes sur certaines composantes z
s (performances, validite des hypotheses de modelisation...)
s caracteristiques frequentielles, temporelles, energetiques...
Cours M2 UPS - Commande robuste 6 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Modeles non-lineaires dans l’espace d’etat
⌃(✓, �) :
8
>
>
<
>
>
:
x(t) = f(x, u, t, w, ✓, �)
y(t) = g(x, u, t, w, ✓, �)
z(t) = h(x, u, t, w, ✓, �)
l Etapes de modelisation permettent simplifications
s Decouplage temporel f(x, u, t) �! f(x, u, ✓)
s Linearisation f(x, u, ✓) �! A(�, ✓)x + B(�, ✓)u
avec � bornee sous contraintes sur certaines composantes z de l’etat
s ...
l Exemples
s cos(t)x(t) �! ✓(t)x(t) avec ✓ 2 [�1 1]
s x1
(t)x2
(t) �! �(t)x2
(t) avec � 2 [�1 1] si z = x1
2 [�1 1]
Cours M2 UPS - Commande robuste 7 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Typologie de modeles :
l Systeme physique reel - parfois accessible pour experimentation
l Modele physique ideal - pour modelisation mathematique
(Agregat de systemes elementaires)
l Modele mathematique ideal - pour simulation sur calculateurs
(Modele de connaissance obtenu par application des lois de la physique)
l Modele mathematique reduit - pour simulations rapides
(Modele de comportement obtenu par decouplage, linearisation, reduction...)
l Modele reduit incertain - pour analyse robuste, pessimiste
(Modele mathematique reduit, simplifie, souvent LTI)
(erreurs contenues dans incertitudes et specifications de performance)
l Modele reduit nominal - pour la synthese de lois de commande
(Modele sans incertitudes avec un seul critere de performance)
Cours M2 UPS - Commande robuste 8 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Commande classique : synthese pour ✓ = ✓0
fixe, sans incertitudes � = 0
⌃(✓0
, 0) :
8
>
>
<
>
>
:
x(t) = f(x, u, t, w, ✓0
, 0)
y(t) = g(x, u, t, w, ✓0
, 0)
z(t) = h(x, u, t, w, ✓0
, 0)
⌃c :
8
<
:
⌘(t) = fc(⌘, y, t)
u(t) = gc(⌘, y, t)
l Exemple : synthese LQG - min kzk2
sous w bruit blanc gaussien8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
x(t) = A✓0(t)x(t) + B✓0(t)u(t) + w1
(t)
y(t) = C✓0(t)x(t) + w2
(t)
z1
(t) = Q1/2(t)x(t)
z2
(t) = R1/2(t)u(t)
8
<
:
⌘(t) = (A✓0(t) � L(t)C✓0(t) � B✓0(t)K(t))⌘(t) + L(t)y(t)
u(t) = �K(t)⌘(t)
Cours M2 UPS - Commande robuste 9 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Commande classique : synthese pour ✓ = ✓0
fixe, sans incertitudes � = 0
l Commande en boucle fermee est intrinsequement robuste, mais ...
s Stabilite preservee en reponse a des perturbations non-modelisees, faibles
s Comportement inchange pour petits ecarts de ✓ et �
s Performances fortement degradees pour ecarts moyens
s Risque d’instabilite pour grands ecarts
n Systeme de commande robuste :
Un systeme de commande est dit robuste s’il conserve ses proprietes malgre les incertitudes et
les perturbations affectant le systeme
l Tenir compte des ecarts lors de la conception : Synthese robuste
l Valider robustesse d’une loi de commande : Analyse robuste
Cours M2 UPS - Commande robuste 10 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Introduction
n Exemple
l Systeme physique reel
@ Astrium - Ariane 5
l Modele physique ideal
l Modele mathematique reduit incidence, 1 axe, sans modes flexibles ...
J(t)¨✓(t) = m(t)g sin ✓(t)+LT (t), T = sat(F (s)u(s)), u(t) = kp(✓r(t)�✓(t))�kd ˙✓(t).
l Modele reduit LTI incertain en un point de vol Est-il stable ?
✓ =
1
s2 � �ms· 1
�⌧s + 1
u, u = kp✓r � (kp + skd)✓
Cours M2 UPS - Commande robuste 11 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
Plan du cours
n 17 decembre, 7h45 : Introduction + Rappels - cours
n 18 decembre, 10h : Modeles incertains - cours
l 20 decembre, 10h : Modeles incertains - exercices
n 7 janvier, 7h45 : Stabilite robuste par fonctions de Lyapunov - cours
l 8 janvier, 10h : Stabilite robuste - exercices - salle TP I3
n 14 janvier, 10h : Theoreme du petit gain - cours
n 15 janvier, 10h : µ-analyse ou synthese robuste - cours
l 23 janvier, 10h : Petit-gain et µ-analyse - exercices - salle TP I3
l 30 janvier, 10h : Petit-gain et synthese robuste - exercices - salle TP I3
s 5 fevrier, 10h : Modelisation d’un probleme de performance robuste - TP - salle TP I3
s 6 fevrier, 9h : Synthese robuste et analyse robuste de la boucle fermee - TP - salle TP I3
n 18 fevrier, 9h : Examen - salle TP I3
Cours M2 UPS - Commande robuste 12 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
REFERENCES Quelques references REFERENCES
R
´
ef
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[Apkarian(2012)] P. Apkarian. Elements de la theorie de la commande robuste, 2012. URL
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[Arzelier()] D. Arzelier. Commande robuste. URL http://homepages.laas.fr/
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[Barmish(1985)] B. Barmish. Necessary and sufficient conditiond for quadratic stabilizability of
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[Chesi(2010)] G. Chesi. LMI techniques for optimization over polynomials in control : a survey.
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[Duc and Font(1999)] G. Duc and S. Font. Commande H1 et µ-analyse : des outils pour la
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Cours M2 UPS - Commande robuste 13 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse
REFERENCES Quelques references REFERENCES
[Peaucelle et al.(2000)Peaucelle, Arzelier, Bachelier, and Bernussou] D. Peaucelle, D. Arzelier,
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uncertainty. Systems & Control Letters, 40(1) :21–30, May 2000.
[Scherer()] C. Scherer. Theory of robust control. URL http://www.ist.
uni-stuttgart.de/education/courses/robust/overview.
shtml.
[Skogestad and Postlethwaite(2005)] S. Skogestad and I. Postlethwaite. Multivariable Feedback
Control. Wiley, 2nd ed. edition, 2005.
[Tempo et al.(2005)Tempo, Calafiore, and Dabbene] R. Tempo, G. Calafiore, and F. Dabbene.
Randomized Algorithms for Analysis and Control of Uncertain Systems. Springer-Verlag,
2005.
[Tits and Fan(1995)] A. Tits and M. Fan. On the small µ theorem. Automatica, 31 :1199–1201,
1995.
[Zhou et al.(1996)Zhou, Doyle, and Glover] K. Zhou, J. Doyle, and K. Glover. Robust and Opimal
Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1996.
Cours M2 UPS - Commande robuste 14 Dec 2013 - Fev 2014, Toulouse