Solutions analytiques en dynamique non-lineaire avec
couplage fluide-structure
Romain Mege
To cite this version:
Romain Mege. Solutions analytiques en dynamique non-lineaire avec couplage fluide-structure.Autre. Universite Paris-Est, 2013. Francais. <NNT : 2013PEST1126>. <pastel-00971808>
HAL Id: pastel-00971808
https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00971808
Submitted on 3 Apr 2014
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.
ès
Prés♥té ♣♦r ♦t♥r r
❯
❯❱ P
♣été é♥q s tér① t s trtrs
Prés♥té ♣r
♦♠♥
t tès
♦t♦♥s ♥②tqs ♥ ②♥♠q s strtrs ♥♦♥♥érs ♦♣strtr
♦t♥ é♠r ♥t r② ♦♠♣♦sé
rr Pr r Prés♥t r♦t♦ Pr r ♣♣♦rtr P♦t♦♣♦♦s r ♣♣♦rtr
Pr Pr r ①♠♥tr r♦♥ Pr r ①♠♥tr
♦rs♦ ①♠♥tr ♦rt ①♠♥tr
r ❱ r rtr tès
s ♠tèrs
♥tr♦t♦♥ t tès ♦♥t①t ♦
♦rt é♦t♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ r♦ss♠♥t s ♣r♦é♠tqs ♥r♦♥♥♠♥ts ♦t♦♥ r♦ss♥t s s♦♥s é♥rétqs ♠♦♥①
❯♥ s♦♥ r♦ss♥t sérté P♦s♦♣ st♦♥ rsq s ♥trs érs Pr♦t♦♥
trté r♥çss P ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥ts s P ♦♥s♦♥
s râtrs st♦ ♦♠sts sés sr♣t♦♥ s râtrs
♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs ss♥ts ♠♠rés s♦♠ss à ♥ sés♠q♦♥q s ♠ét♦s ts ♠♥s♦♥♥♠♥t
é♦rs é♦♣♣és ♥s tt tès é♦r ♦♣ strtr é♦♣♣é ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér
♣♣t♦♥s ♣♦sss ① trs ♦♠♥s é♥ P♦♥ts ♥♥s s ♣s à st♦♥ rt♥rs rs st♦ rs ♥ ♠ç♦♥♥r ♥t♥♥ t sérté s ♦rs ①st♥ts
r♥st♦♥ tès
t t ♠♦ést♦♥ ♥tért♦♥ strtr ♥tr♦t♦♥ é♠♥ts té♦r
♦♠rs ♠♥s♦♥♥s ❱rs ♠♥s♦♥♥s qt♦♥s s②stè♠ ss ♦té ét♦
t ♥ ♠♦è ssq ♦♣ strtr ♦♣ ♥tr ts♥♥s ♦♥♥trqs ét♦ rt③ sr♣t♦♥ é♦♠étrq
s ♥ éqt♦♥ s②stè♠ ♦t♦♥s ♠♦è rt③
♥♠♥t réér♥t t ♣♦ssé r♠è é♥érsé qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t é♥ qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥ é♥érst♦♥ à ♠♥s♦♥s é♥érst♦♥ ♣♦r ♥ s②stè♠ à strtrs é♥érst♦♥ s②stè♠ ♦♥t♥
♦t♦♥s ♥②tqs ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès tt rt t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♦♥♥trqs t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♥♦♥♦♥♥trqs ♦♠♣rs♦♥ s ér♥ts ♠♦ès
♦t♦♥s ♣s♦♥②tqs ♦♣ ♥ qr sr♣t♦♥ ♠♦è ♦ést♦♥ ♥♠st♦♥ é♥r t♦t étr♠♥t♦♥ s ♠trs ♦♣ strtr
éstts éstts ♣rss♦♥ sss ♠♦è ♦♣ strtr
♦♥s♦♥
t ♥ strtr ss♥t s♦s r♠♥t ss♠q tr♠♥s♦♥♥ ♥tr♦t♦♥ ②♣♦tèss ét
♦ést♦♥ r♦tt♠♥t ②♣♦tès ♥♦♥s♠♥t ♥① ss♠qs
t ♥ ♣♦tr ss♥t sr♣t♦♥ ♠♦é s ♥ éqt♦♥ ♣r♦è♠ Pr♦t♦♥ s éqt♦♥s sr s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr
sè t é♥t♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré és♦t♦♥ ♣r♦è♠
é♥érst♦♥ à ♥ s②stè♠ ♦♠♣è① ♦♥s♦♥
éstts ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣é strtrs ♠♠rés ss♥ts ♥tr♦t♦♥ ♣♣t♦♥ à s s s♠♣s
ss ♣♦♥t ♠♠ré ss♥t ②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t
Pr♦♣♦s ♠♣♦rt♥ts ♥ ♥tr♦t♦♥ s réstts Pr♠ètrs s s♠t♦♥s
②♣♦tèss sr strtr r♠♥ts ss♠qs ♦♥ts r♦tt♠♥t ②♣♦tèss ♦♣ strtr
❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ s♥ ♦♣ strtr éstts ♠♦è ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt s♥s ♦♣ strtr éstts ♠♦è ♣♦tr s♥s ♦♣ strtr
❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr ♠♦ésé ♣r s ♠trs ♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr ♣r
♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ♦♣ strtr
♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r
♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr ♠♦ésé
♣r s ♠trs ♠sss ♦tés ♣♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr
♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♥tré (0, 0)
éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ôté (0.1, 0)
éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♦♥ (0.1, 0.1)
♦♥s♦♥
♦♥s♦♥ ♦♥t♥s tès ❱♦s ♠é♦rt♦♥ t rrs ♦♠♣é♠♥trs
♠é♦rt♦♥ s ♠♦ès ts ♦t♦♥s ♥②tqs ♥ ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér ♦♣é strtrs
♥é♣♥♥ts Prs ♥ ♦♠♣t s♠♥t ♥s s s ♠sss ♦tés ♥♦
t♦♥s ♥rt ♦té
rt P❱P
rt ♦♥
♦tsés ♦♣ strtr s♦t♦♥s ♥②tqs ②♥♠q ♥♦♥♥ér tst♦♥ é♦♠étr tst♦♥ ♦♣ ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés
és♠é
ss s ♥① ♠♥s♦♥♥♠♥t ss♠q st ♥ ♥éssr ♠tr sr♠♥ts ♥tr♥s ♥s s strtrs ♥♦t♠♠♥t ♥ ts♥t s s♣♦sts ss♥ts ss♣♦sts ♣♦♥♥♥t s ♦rts ♥tr♥s ♥ é♥♥t ♥ ss♠♥t strtr ♥t♣♥♥t ♥éssr st♠r ♠♣t s é♣♠♥ts ♦r♣s r ♥♦t♠♠♥t ♣♦rs strtrs st♦és ♥s s résr♦rs ♥s s st ♥éssr ♣ré♥r s ♠♣ts♥tr strtr ss♥t t s ♦rs résr♦r ♣♦r ♦♥trôr s rsqs t Pr♠s strtrs ss♥ts ♠♠rés ♦♥ tr s ♣♦♥ts s strtrs ôtèrs ♥ ♠ç♦♥♥rs rtrs st♦ ♦♠st ♥ér
s éqt♦♥s ②♥♠q ss♦és ♦♠♣♦rt♠♥t s strtrs s♦♥t ♥♦♥♥érs t♥ésst♥t tst♦♥ s♠t♦♥s ♥♠érqs ♦ûtss ♥ t♠♣s t ♥ ♣r♠tt♥t♣s r s éts s♥sté r♣s ♥ ♣r♦♣♦s ♦♥ ♥ ♠ét♦ rés♦t♦♥ qs♥②tq s éqt♦♥s ♥ é♦♣♣♥t ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ét♦♥ ♥②tq s♠trs ♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♥s ♥ s♦♥ t♠♣s rés♦t♦♥qs♥②tq ss♠♥t ♥ strtr q♦♥q ♠♠ré ♥s ♥ ♥tst♦♥ é♦♠étr ♠s
s réstts ♦t♥s ♣rés♥t♥t ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s s♠t♦♥s ♥♠érqs t♦r♥t ♥ t♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é ♦♠♣t s éts ♣r♠ètrqs ♦st♦stqs s strtrs
②♦rs strtr ♥trt♦♥s ♥②t s♦t♦♥s ♥♦♥ ♥r ②♥♠s ♦♠tr ♣t♥ strtr ♥trt♦♥ ♣t♥ ♠♠rs ♥♠♦s
strt
s t ss♠ ♦♥s r ♥rs♥ ♥ ♦r♥ t♦ t r♥t rt♦♥s rr♥rtq s♥ t s ♦ s♥ s ♥ strtrs s ♦♠♥ ♠♦r ♦♠♠♦♥ ss ♠tt t ♥tr♥ ♦rs ② rt♥ r ♦② s♥ t s t♥ ♥ssr② t♦st♠t t ♦ s♣♠♥t ♦ t strtr s♣② ♦♥r♥♥ strtrs tt r♠♠rs ♥ rsr♦r ♥ ts s t s♣♠♥t ♠st st♠t ♥ ♦rr t♦♣r♥t ♠♣ts t♥ t s♥ strtr ♥ t ♦♥rs ♦ t rsr♦r ❲ ♥ ♥s strtrs ♥ rs ♦st strtrs ♥ r ♥ ♠s♦♥r② ♦r ♥ t ♥r ♥str②t t ♥rtr st♦r rs
♦r♥♥ qt♦♥s ♦r t ♦r ♦ ts strtrs r ♥♦♥ ♥r ♥ ♠st s♦ s♥ t♠♦♥s♠♥ ♦♠♣tr s♠t♦♥s r ♥♦t t ♦r st♦st st② r♠t♦ ♦♥ssts ♥ rst② t♥ ♥②t② t ♠sss ♦ t strtr ♥trt♦♥ s♦♥② s♠♥②t s♦♥ ♦ t ♦r♥♥ qt♦♥s ♥♥ t ♣t♥♦ t ♠♥s♦♥s ♦ t ②rs srr♦♥♥ t s♥ strtr
rsts ♦ ts ♥ ♠t♦ r ♥ ♦r♥ t t ♥♠r s♠t♦♥s ♥ ♥ ♦t♥ ♥ s♦rt t♠ ♦r s♦♥s ♦rs t ♣♦sst② t♦ ♠ st♦st♥②ss ♦ t ♥♦♥ ♥r ♦r
♠r♠♥ts
tt tès été résé ♥s ♥ ♦♥t①t t♦t à t t②♣q t ♥rt ♣s ♣ êtr♥sé s♥s s♦t♥ t ♥♥ rt♥s ♣rs♦♥♥s q s♦t très s♥èr♠♥tr♠rr
r r ♠♦♥ rtr tès q s ♣r♠r ♠ ♠♦♥trr q rr♥étt ♣s ♥q♠♥t ♥ tr strt ♥ ♠s ♥ ♥ tr ♦♣ért♦♥♥♦t ♥s q rétté té t rést♦♥ ♥ ♥t ♥ ♣♣r♠♦r
♥ rr Prés♥t é♣rt♠♥t ♦ s P♦♥tsPrs ♣♦r♥♥ q sr ♠♦♥ ♣r♦rs ♣r♦ss♦♥♥ ♣s ♠♦♥ ♣r♠r ♦r ♥ t♥tqéè ♥s é♣rt♠♥t sqà ♦r s ♦♥ss ♦♥t t♦♦rs étéérés t tt tès ♥rt ♠s ♣ ♦r ♦r s♥s ss ♥tr♥t♦♥s réèrs
♥r♥ç♦s r♦♥ rtr é♣rt♠♥t ♦rt♦r r ♦s P♦♥tsPrs ♣♦r ♦r ♣té ♥s s♦♥ éq♣ ♥ ♦t♦r♥t ss t②♣q t♦r ♠té ♠ r ♣rt♣r à s ♣r♦ts ♦♥strt♦♥s rés
r③♦ r♦t♦ rtr ♦♥t ♦rt♦r P ♣♦r ♠♦r ♥♦♥t♦ ♥s s♦♥ éq♣ ♠ ♣r♠tt♥t ♥s ♦♥srr t♠♣s à rr♥ ♣rè ♠s ttés à ♦ s P♦♥ts
r ♠♠ rtr s éts ♦ s P♦♥tsPrs ♣♦r ♠♦r♦♥♥é ♣s rtés ♥s ♠ st♦♥ t♠♣s t ♦r s ♠s ♥és à st♥
s ♠♠rs ♠♦♥ r② tès ♣♦r r ♣rt♣t♦♥ à tt ét♣ ♠♣♦rt♥t ♠ rrèr
♥ Pr P é♦②♥♠q t trtr ♣♦r ♠♦r ♦♥♥é ♣ss♦♥ ②♥♠q s strtrs
ss♥ ♦③ ♠s rst♥ t ♦♥ ♠♠rs éq♣ é♣rt♠♥t ♣♦r qté r tr q♦t♥ t r s♦t♥ ♥s t♦ts s é♣rs sr♥s♣♥♥t rést♦♥ tt tès
♦♥♥s t♥♦ t rtr é rrs éq♣ t ②r ♦t rr ♣♦r s sss♦♥s r♥st♦r♠♥ sr s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣r♦è♠s♦♠♣①s t s ♥ts ♣ré♣rt♦♥ ♠♦ é♥q s trtrs
s ♠♠rs t s t♥♥s éq♣ ♣♦r r ♠té s ♠♠rs éq♣ s ♥t s ♣r♥ts Ps t P♣♣ ♣♦r rs ♥♦r♠♥ts t rs ♣rés♥s t♦t ♦♥ s ♥♥és à trrs s ♦s t s tés
♦♥ rèr t s ♠♠ ①♥r t é♠♥ ♣♦r r ♥s rét♦♥ ♠♥srt ♥ ♦r ♦r t s ♦rrt♦♥
r♥♠èr ♦♥q q s s♦t♥r ♠♦♥ ♦rt rr ♣r s ♦qs ♥sts ♣♦r t trs ♠ts éts ♥éssrs à ♣r♦t♦♥ s♥tq qté
♥♥ ♣♦r ss ♠♦♠♥ts ét♥t s rés t ♣r♦♣s à ♣r♦t♦♥ s♥tqà étr ♦ s P♦♥ts
s ér♦♣♦rts Prs r♥ ♥ ❨♦r ♦♥ ♦♥ ♦r ♥t♠♥t ♠s às♣♦st♦♥ s ss tt♥t ♠ ♣r♠tt♥t rér s ♣rts ♠ tès
s rs Prs ②♦♥ rs ré♥s ♦♥rs r♦ trs♦r♠str♠ ♦r ♥t♠♥t ♠s à s♣♦st♦♥ s ss tt♥t ♠ ♣r♠tt♥t rér s ♣rts ♠ tès
s ♦♦♦s é♠ ♥r♥ t ② ❨♥♥ ♥♠♥ ♦r♥t tr♥ s
♣♦r ss s♦rés ét♥t t ♦tr ♣rés♥ réèr à ♠s ôtés ♠ è q q ♥♥é ♠ r♣♣ s ♦ss ♠♣♦rt♥ts t ♠à rr s ♣s sr trr
s ♦és ♦ s P♦♥tsPrs ♣♦r tt ♠♥ s ♣rtèr t ss②♠♣tq
♥♥ é♥ ést♥ é r r é ♠ ♦r ②r♠ ②♥ rr ♥♥ ést♥ ♦r é rt♥ ♦rt ♥ r♦s ❲♠ ♣♦r ♥♥ qs ♦♥t sr tr t sr ♠
♣tr
♥tr♦t♦♥
t tès
♣rés♥t ♦♠♥t ♣rés♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs t qs♥②tqs ♣♦r ét ♦♠♣♦rt♠♥t strtrs ss♥ts t ♠♠rés s♦♠ss à s sés♠s q♦♥qs ♣r♦è♠ s♠♣é ♠♦és ♥♦t♠♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s râtrs st♦ ♦♠st ♥s s ♥trs ♥érs ♣s ♣♦♥t stés ♥ss ③♦♥s ♦rt♠♥t ss♠qs ♦ résr♦rs st♦ ♣♦t ♦ sé
♦t s ♠♦ès t ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♣r♦♣♦sés st ♣r♠ttr ♥ qs♥st♥t♥é s ♠sss ♦♣ strtr t ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠qs strtrs ♠♠rés r♦tt♠♥t t♠♣s st très qqss♦♥s ♣♦r ♥ s♥ ss♠q ♥ ré s♦♥s ♣r r♣♣♦rt ① s♠t♦♥s éé♠♥ts♥s ssq♠♥t tsés ♣♦r ♥r rés♦t♦♥ t♠♣s ♥r♦♥ ♥ r ♣♦r ♥ s♥ ss♠q ♥ ré s♦♥s
t♠♣s qs♥st♥t♥é ♥♦s ♣r♠t ♦♠♣①r ♠♦è tsé ♥♦t♠♠♥t ♥ t♦rs♥t tst♦♥ é♦♠é
tr ♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♠♦rtss♠♥t é à rt♦♥ t♠♣♦r s♠sss ♦♣ strtr
r ♥ r♥ ♥♦♠r s♠t♦♥s rt♦♥ rt♥s ♣r♠ètrs ♦r ♦ à s s♠t♦♥s st♦stqs q s♦♥t t♦t à t ♥qés ♣♦r s♣r♦è♠s ♥♦♥♥érs ♦♠♣♦rt♠♥t ♦tq
♥ ♣rés♥tr ♦r ♦♥t①t ♦ ♠♥tt♦♥ s s♦♥s é♥rétqs ♥ ♠♦♥ ♣s ♥♦s ♣résr♦♥s s ♣r♥♣s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥tss ♥trs ♥érs ♥♥ ♥♦s étr♦♥s s ♠ét♦s ts ♥s qs q ♥♦s é♦♣♣r♦♥s ♥s tt tès ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s trs ♦ts♣♣t♦♥ s té♦rs
♦♥t①t ♦
♦rt é♦t♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥
♦♥t①t ♦ ♥s q s♥sèr tt tès st ♥ ♦♠♣①t♦♥ r♦ss♥ts ♣r♦è♠s t ♣r♦é♠tqs és é♦♣♣♠♥t ♥ ♠♦♥ s t♦♥s❯♥s ♣r♦tt♥t ♥ très ♦rt ♠♥tt♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ [] r (1.1)♣rés♥t ér♥ts ♣r♦t♦♥s ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ ♣r♠ sqs ♣r♦t♦♥♠é♥ ♦♥♥ ♥ ♦r ♥
r Prés♦♥s é♦t♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ []
é♦t♦♥ é♠♦r♣q ♣rét ♣r s t♦♥s ❯♥s ♥st ♣♥♥t ♣s ♥♦r♠q ♣②s ♥ é♦t♦♥ é♠♦r♣q ♣r♦♣r q st réstt é♦t♦♥ s♦♥t♦♥s ♥♦t♠♠♥t s ♦♥t♦♥s ♠és s ♣♦tqs ♦♥trô ♦ ♦rst♦♥ ♥tté ①♠♣ ♥ étt é♦♣♣♠♥t ♣②st s rs (1.2) ♣rés♥t♥t s ♣r♦t♦♥s s t♦♥s ❯♥s rs♣t♠♥t ♣♦r ♣②s é♦♣♣és r♥ tts❯♥s t ♣②s ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ t ♥
r ♦t♦♥s ♣♦♣t♦♥ t à r♥ t à ♦t ❯ s à ♥ s à r♦t ♥ []
s é♦t♦♥s é♠♦r♣qs s trs♥t ♥ r♦ss♠♥t ♣é♥♦♠é♥ s s♦♥s ♥ éq♣♠♥ts ♥rstrtrs tr♥♣♦rts ♦♠♥ts ♥trs ♣r♦t♦♥é♥r ♥trs ♣r♦t♦♥ rsss s♣ ♥♦tr ♣♥èt st ♠té tr♦ss♠♥t s s♦♥s ♠♣♦s♥t ♥ ♦rt ♦♥♥trt♦♥ r♥ t ♦♥ s s♦t♦♥s ♥♦s ♣♦r ♣r♠ttr ♦♥♥s ♦♥t♦♥s tt t tr ♥s♥ ♦♥t①t ♣s ♥ ♣s rt s♦t♥t s ♣r♦r♠♠s ♣s ♥ ♣s ①trê♠s ts q t♥♥s r♥ ♦♥r sts ♥tsqs t♦rs r♥ tr♥rstrtrs ♣r♦t♦♥ é♥r t♦♦rs ♣s ♣ss♥ts t ♣s sûrs t
r♦ss♠♥t s ♣r♦é♠tqs ♥r♦♥♥♠♥ts
tt ♥éssté é♦♣♣♠♥t s♦t ♥ ♦♠♥♣rés♥ s ♣r♦é♠tqs♥r♦♥♥♠♥ts s é♦♥♦♠s s ♣②s ♥strsés s é♦♣♣♥t ♦rt♠♥t t♦r s ♥♦① ♦♠♥s ♦♠♣ét♥ s ♥① é♦♣♣♠♥t r♦♥t t♠♥t êtr ♥sérés ♥s t♦t ♣r♦t ♦♥strt♦♥s ♥♦s ré♥♦t♦♥rétt♦♥ ât♠♥ts t ♥rstrtrs ①st♥ts t ♣s é♥ér♠♥t s
♣r♦é♠tqs ♦♥t ♦♠♣♥r é♠r ré①♦♥ ♥é♥r ♦rs ♥ s ét♣s é♦♣♣♠♥t ♥ ♣r♦t
Pr♠ s ♥① ♥♦s tr♦♥s érr s rss♦rs ♥trs ♠♥èr ♦♣t♠sé ssrr ♦♥♦rt t s♥té s tstrs t s s♦étés Présrr ♦rsté t ♣s r♠♥t rs♣t ♠♦♥ ♥tr P♥sr ♦♥♣t♦♥ ♥ ât♠♥t t ♥ ♥rstrtr ♥s s ♦té ♦♥♣
t♦♥ ♦♥strt♦♥ s r② é♠♥tè♠♥t ♥ Pr♦tér s s♦étés ♦♥tr s és ♥trs ♥strs ♠♥s ♥r s ♥① s♦ét① ♦① t ♠♦♥① ♥s é♠r ♣r♦t
tt st ♦♥ êtr ①st ♥① ♥tr♥ ♥ ♦♠♣①t♦♥ s ♣r♦sss ♦♥♣t♦♥ ♦♥strt♦♥ ♦r és♦♥ t r♠s ♥ s ♣r♠♥♥t ss♦t♦♥s t♥qs ♣r♦♣♦sés ♣r s ♥é♥rs rqrt ♣rt s ♥é♥rsq é♦♣♣♥t s ♣r♦ts ♥ s♦♣ss s♣rt ♥ ♣té é♦t t ♥ ♣ttà t♥r ♦♠♣t ♠t♣s trs ♥♦♥ strt♠♥t t♥qs s ♦♥t à érr ♥♠♦♥ é♦♥t ♦♠♣qé rs ♦♠♣①
♦t♦♥ r♦ss♥t s s♦♥s é♥rétqs ♠♦♥①
tt r♦ss♥ é♠♦r♣q ss♦é à ♣rs ♦♥s♥ s ♣②s é♦♣♣és s♥srr ♥s é♦♣♣♠♥t r t à ♥éssté é♦♣♣♠♥t s ♣②sé♠r♥ts ♠♣q ♥ ♠♥ r♦ss♥t é♥r ♥ ♠♦♥ ét s♦♥s♦♠♠t♦♥s ♥s ♥ ♦♥s ♦♥♥s éq♥t ♣étr♦ ♥tr t s♦♥t♣rés♥tés ss♦s s sé♠s (1.3, 1.4) ♣rés♥t♥t ré♣rtt♦♥ é♦r♣q tt♦♥s♦♠♠t♦♥ s sé♠s (1.5, 1.6) ♣rés♥t♥t ré♣rtt♦♥ ♣r s♦r é♥r
r ♦t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ é♥rétq ♠♦♥ ♥tr t ♥ P ❬❪
s ♣r♦t♦♥s é♦t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ é♥rétq ♥ ♠♦♥ s ♦♥ts♦♥ ① sé♥r♦s ♣r♥♣①
r éts ré♣rtt♦♥ ♥ ③♦♥ é♦r♣q ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ ♥é♥r ♥ t ❬❪
r ♦t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ ♠♦♥ ♣r t②♣ s♦rs é♥r ♥tr t ❬❪
sé♥r♦ P P♦s ♥r♦ ♦♥sèr s ♣♦tqs é♥rétqst♠♥t ♥♥♦♥és ♦ ♥ ♣♣t♦♥ ♥ s ér♥ts étts ♣rés♥t ♥é♦t♦♥ rést ♥ s♥ss s s
sé♥r♦ ♦♥sèr s ♣♦tqs ♣s ♠ts ♥ tr♠s ♠tt♦♥ ♣r♦t♦♥ q ♥ s♦♥t ♣♦r ♥st♥t ♣s ♥♦r ♠ss ♥ ♦r ♥s s♣②s ♠♣qés ♥s tt ♥②s
s ♣r♦t♦♥s ♦♥r♥♥t ré♣rtt♦♥ ♣r ré♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ é♥r ♠♦♥ t s ♦♥r♥♥t ré♣rtt♦♥ ♣r s♦r é♥r s♦♥t rs♣t♠♥t♣rés♥tés ♥s s rs (1.7) t (1.8)
tt ♠♥ é♥rétq r♦ss♥t ♥ q ♠♦♥ ♥ésst ♥ é♦♣♣♠♥t♦ s rss♦rs é♥rétqs s♦t ♣r s é♦♥♦♠s é♥r s♦t ♣r s ♦rs é♥s ♥tr♥t♦♥① s♦t ♣r s ♦♥strt♦♥s ♥♦s t s ♠é♦rt♦♥s
r éts ré♣rtt♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ é♥r ♠♦♥ ♣r s♦rsé♥r ♥ t ♥ ❬❪
r Pr♦t♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ s ♦♥s♦♠♠t♦♥s ♥s ♠♦♥s ♣rré♦♥ ♠♦♥ ❬❪
éq♣♠♥ts ①st♥ts r r♥r ♣♦♥t st ♦♥ ♥s♣♥s ♣♦r ♥ sétts ♦♥strr ♠é♦rr ♥trt♥r t é♦♣♣r s ♠♦s ♣r♦t♦♥ étrté ♥s é♦♣♣♠♥t st ♠♣♦rt♥t ♦♥sérr s ♠♣ts s♦ét① t♥r♦♥♥♠♥t① q ♠♦ ♣r♦t♦♥ é♥r ♥ s♥srr ♥s ♥é♠r é♦♣♣♠♥t r
♥s tt tès ♥♦s ♥♦s ♦sr♦♥s sr ♣r♦t♦♥ é♥r ♥ér q s♦♥s ♦♥♥és ♥tr♥t♦♥ ♥r② ♥② rt ♣ssr s♦♥ s st♠t♦♥ss ♣s ♠♥♦r♥ts P ♥ à P ♥ r♣rés♥t ♥♠♥tt♦♥ ♣r♦t♦♥ é♥r t②♣ ♥ér ♥tr t t ♦♥ s ♦♥strt♦♥s ♥rstrtrs ♣r♦t♦♥ é♥r ♥ér ♥♠♦♥ s♦t ♠♥t♥ ♠é♦rt♦♥ t ♠s à ♥ srté s♥stt♦♥s ①st♥ts
r Pr♦t♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ s ♦♥s♦♠♠t♦♥s ♥s ♠♦♥s ♣rs♦rs é♥r ❬❪
❯♥ s♦♥ r♦ss♥t sérté
♥ ♣rè tt r♦ss♥ ♥tr s s♦♥s é♥rétqs t ♥rstrtrss s♦étés ♥♥♥t ♣s ♥ ♣s rss ① rsqs tt rs♦♥ ① rsqs stt♥t ♣s s♥s q st é à ♣r♣t♦♥ rsq ♣s q rsq ♦t♥s ♥ ♥ ♣rr ♥ rsq ♥str ét ♠ê♠ ♦♠♠ ♠♦♥s ♣tq♥ rsq ♥tr ♠ê♠ rté ♠s ♣s r♥ réq♥ ♦r♥ strt ♥s ♦♠♥ ♥ér ♥ s♥t ♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥tr ♥ér ♦♥ts ♣r♦tés ♦r♥ ♥t r s♦♥t ♣s s q s ♥ts ♥trs ♠ê♠ rté
P♦s♦♣ st♦♥ rsq s ♥trs érs Pr♦t♦♥ trté r♥çss P
♥ ♥ ♦♠♣r♥r qté ♠♥s♦♥♥♠♥t s ♦rs é♥ t s éq♣♠♥ts s ♥trs ♥érs st ♥éssr ♣rés♥tr s ♠ét♦s♥t♣t♦♥ t q♥tt♦♥ s rsqs tsés ♥s str ♥ér
♥ é♥t rsq à ♣rtr ① ♦♠♣♦s♥ts ♥é♣♥♥ts rté t ♣r♦té ♦rr♥ ♦♠♠ q rr♦♣ réq♥ t ré ①♣♦st♦♥ s① ♦♠♣♦s♥ts s♦♥t ssés sr ♥ r♣q ♣rés♥t♥t ♥ sss ♣r♦té♦rr♥ t ♥ ♦r♦♥♥é rté r♣q ♣rés♥t ♥ t♥♥ é♥ér ♠♥t♦♥ ♣r♦té ♦rr♥ ♣♦r s éé♥♠♥ts s ♦♥séq♥s s♣s r♠tqs tt ♦r t♥♥ st ♣♣é ♦r r♠r é♥ttr♦s ③♦♥s rsq ♥ q♦t♥♥ rsq ♠♦②♥ t♠♣s ♥ t♠♣s trsq ♦t rr ♥s tt r♥èr ③♦♥ ♦♥ tr♦ s rsqs ♠rs ♣r♠ sqss rsqs és ① ♥ts ♥érs
tt r♣rés♥tt♦♥ ♣r♠t trr rt♥s ♦♥s♦♥s ♦t ♦r ①st ①♠♥èrs érr rsq
r ♦r r♠r ♣♣t♦♥ trt♠♥t ♦s♣tr ❬❪
♥ ♣t r sr ♣r♦té ♦rr♥ rsq r♦♥t ♣r♥♣ ûrté
♥ ♣t ♠♥r s ♦♥séq♥s ♥ éé♥♠♥t r à s♣♦sts ts♦ ♣sss
❯♥ t♦♥ ♦♠♥é sr s ① ♣r♠ètrs ♣r♠t r♥r ♣t ♦rr♥ rsqs ♥t♠♥t r à ♦rt ♣r♦té ♦rr♥ ♦♥ sss ♦r r♠r s éé♥♠♥ts ♣ts
st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr q ♥①st ♣s ♣r♦té ♥ ♣♦r s éé♥♠♥ts① ♦♥séq♥s r♠tqs ♠t à ♠ t♥♥ s ♣②s ♥strsés à♦r ♥ rs♦♥ ① rsqs t à rr à ♥♥r ♣♦♥t ♥ ♣s r♦♥ ♣t s ♣♦sr qst♦♥ q st ♥ ♣r♦té ♣t ♦rr♥ ♥♥t ♥ér ♠r
P♦r ré♣♦♥r à t é♥r qst ♥ ♥t ♥ér ♠r t rttr à ♥ réér♥t ①st♥t ♥ ♣r ♥t ♥ér ♠r ♦rsq ② srts ♠♥rs érés à ①térr ♥tr t②♣ rsqs st ♦♥ ♦♠♣r① ♥ts ♥trs ♠rs ♠♣réss sés♠ r ♠é♥r ts♥♠ t ♠été♦rt r ss♦s r♣rés♥t s rsqs ♥trs t s rsqs ♥strs♠rs
♥s ♦♠♥ ♥ér ♦♥ ♦♥sèr ♥ rsq ♠r ♣t ♦rsq♦♥tr♦ ♥ ♣r♦té ♦rr♥ 10−6 ♣r ♥ q ♣t s r ♥ ♥t ♥ér♠r t♦s s ♠♦♥s ♥♥é s ♥trs ts s♦♥t ♦♥çs t ♠é♦rés ♣♦r
r ①♠♣ ét î♥ ♣r♦té ♦tss♥t à ♥ rt ♠♣♦rt♥t ♠tèrs r♦ts []
érr tt ♣r♦té ♣r♦té ♠♥s♦♥♥♠♥t P ♦rrs♣♦♥ à ♥♣r♦té ♦r♥ s♦♥ ♦r 4.10−7 ♣r ♥tr ♣r ♥
♠ét♦ ♦t♥t♦♥ tt ♣r♦té ♦♥sst à é♥r s ♥s ♦♥séq♥s ♦tss♥t à éé♥♠♥t r été t ss♦r s ♣r♦tés é♥s ér♥ts s②stè♠s ♣rtr s ♣r♦tés ♦♥ ét s î♥s éé♥♠♥ts♦tss♥t à ♥ ♥t ① ♦♥séq♥s ♥♣ts t ♦♥ ♦t♥t ♥ ♣r♦té♦rr♥ t ♥t ♦r 1.11
♠rqs ♣♥♥t ♦r st ♦♥sttr q t r♠ttr ♥ s tt ♠ét♦ ét♦♥ rsq ♦♥ ♥ ♣♦rrt ♣s ①♣qr t q ♥♦s ♦♥s t♦s♦♥♥s ♠♦♥s qtr ♥ts ♥érs ♠rs ♦rs s r♥èrs ♥♥és r s s♥ ♠rs r♥♦② r ♦ r s♣t♠r s♠ ♠rs ♥♥t ♣s s ♥ts ♥érs és① ttés ♠trs ♦♥♥t ♦♥ ♣r♥r ♥ rt♥ r sàs s éts♣r♦sts sûrté résés ét♥t ♦♥♥é q s ♣r♦tés é♥ ♠♥s♦♥t ♠♥t q♥ts t rt♥s ♥s ♦♥séq♥s s♦♥t ♥♦r ♥♦♥♥s
tt ♠ét♦ s♣♣♦s q ♥♦s ②♦♥s ♥ ♦♥♥ss♥ ♣♣r♦①♠t s ♣r♠ètrsrtérs♥t s s♦tt♦♥s s ♠tér① s strtrs s ♦♥♥ss♥s ♣♣r♦①♠ts s♦♥t tsés ♣♦r étr résst♥ q éq♣♠♥t ♥ t ♣r♦té r♣tr ♦t♥ st ♥séré ♥s ♥ éé♥♠♥t ♥ ♣ss ♥stà éq♣♠♥t s♥t sqà ♦t♥r ♣r♦té ♦r♥ ♥ ♥t ♠r♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♦r ♦♠♠♥t st ♦t♥ tt ♣r♦té r♣tr t ♣sé♥ér♠♥t ♦♠♠♥t s♦♥t ♠♥s♦♥♥és s éq♣♠♥ts ♥tr
ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥ts s P
s éq♣♠♥ts stés à ♥térr ♥tr s♦♥t ♠♥s♦♥♥és ♥ ts♥t ①♠ét♦s ♠ét♦ étr♠♥st t ♠ét♦ st♦stq ♠ét♦ étr♠♥st ♦rrs♣♦♥ à ♠ét♦ st♦rq ♠♥s♦♥♥♠♥t s P t ♠ét♦st♦stq ♦♠♠♥ à êtr ♥tr♦t ♥s ét♦♥ s rsqs
t♠♥t s ① ♠ét♦s s♦♥t tsés ♠♥èr ♦♠♣é♠♥tr ♠ét♦st♦stq é réq♥ ♦rr♥ s ér♥ts éé♥♠♥ts é♥rs s♥ts ♥ér t s♦♥ ♥t♥sté ♠ét♦ étr♠♥st st ♥st tsé ♣♦rrésr ♥s♠ s s s strtrs à ♣rtr ♥ tr rs s♥ srs ét♦rs é♥s ♣r ♠ét♦ st♦stq ♥ ♦t♥t ♥ ré♣♦♥s sr é♥ ♦ ♥♦♥ éq♣♠♥t ♥ t ♥st trs trs ét♦rs sqà♦t♥r ♣r♦té é♥ éq♣♠♥t
tt ♠ét♦ st t♦♦rs ♥ ♣s é♦♣♣♠♥t étr♠♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦tés ♥ésst ♥ ♦rt ♦rt t♠♥t ♥ ♦rs ♥s s r♥s♥strs ♥érs r♥çss ♥ ♣rè st ♥éssr é♦♣♣r s♠ét♦s étr♠♥sts r♣s ♣♦r r s rsqs é♥ sr ♥r♥ ♥♦♠r trs s♥ s rs ét♦rs
ét♦ étr♠♥st
♠ét♦ étr♠♥st ét♦♥ sûrté t ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ ♥stt♦♥ ♥ér ♦♥sst à s♣♣♦sr ♥ é♥ séèr s♥ s②stè♠ t étrs♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ rét♦♥ à tt é♥ ♥ ♣t tr s ①♠♣s ts q ♣tr ♦t♥ ♥ t②tr ♣r♠r st ♥ r♣tr t②tr♥st♥t♥é q ♣rt t②tr s é♣ ♥s ♥ rt♦♥ ♠étr♠♥t♦♣♣♦sé ♣rss♦♥ ♥tr♥ ♣r♦♦q ♥ t q ♠♣ é♣♠♥t t♠♥t t rè tt t rè ♥♥ très ♦rt♠♥t ét t t ♦♥ ♠♥t♦♥ ♣rss♦♥ rt ♣r♠r
♣tr ♦t♥ ♥ t②tr rtté rt ♣r♠r ♥ ♥ ♣q st ♣r ①♠♣ r♣tr ♣q ♥ ①♣♥s♦♥ ♣rssrsr ♣r♥♣ st s♠r à r♣tr ♦t♥ ♥ t②tr ♣r♠r ♥ ♠ètr t②tr ♣s ♥ t②tr s♦♥r ♣s s♦♣ q t②tr ♣r♠r q t♥♥ à ♠♥tr t rè t ♥ ♦r♥tt♦♥ r♣tr ♣r♣♥r à ① t②tr ♣r♠r q st ♦rt♠♥t♠♥s♦♥♥♥t ♣♦r s ♥rs rt ♣r♠r t②♣ r♣tr st rré ♦rss é♣rs ②rqs ♣ré♠♥rs é♠rr s rétrs ❲
t ♥ ♣♦♥t r♦♥t ♦rrs♣♦♥ à ♥ éè♥♠♥t s♦♥r r♥t ♣♦♥t sr♥r st à ♥ sés♠ ♣r ①♠♣
és♠ rtérstqs ♣réé♥s ♦s étr♦♥s ♣♦♥t ♣r st
❯♥ ♦s éè♥♠♥t é♥♥t étr♠♥é s éts s♦♥t tés ♣♦r étr♠♥rs ♦♥t♦♥s s ♣s ♣é♥s♥ts ♣♦r s strtrs t s éq♣♠♥ts t♦és ♥ ♦♥t♦♥ strtr ♦ rtèr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦♥r♥és ♦♥ tsr ér♥ts♦♥t♦♥s ♥ts é♥♠♥t éé♥♠♥t Prés♦♥s sr ♥ ①♠♣
①♠♣ t ♥ rr ♦♠st sr ♥ strtr ♦rs s♦♥tr♥s♣♦rt ♣r ♥ ♣♦♥t r♦♥t
♦s ♦♥sér♦♥s t ♥ rr ♦♠st sr ♥ strtr ♦rs s♦♥tr♥s♣♦rt rr ♦♠st st tté à s♦♥ ①tré♠té t ♣♦♥t r♦♥téé♥♠♥t ♦♥séré st ♥ r♣tr s♣♦st ♦♥♥t♦♥ ♣♦♥t r♦♥t ♣♦♥t♥tr♥r à t♦t ♥st♥t ♦rs tr♥s♣♦rt é♣♠♥t ttér rt ♦ ♣♦♥t à rrêt♥ ♦♥sèr ssq♠♥t ① ts ♣♦sss ♥ t rt rr ♦♠st t ♥ t r♦tt♦♥ rr ♦♠st ♥trî♥♥t ♥♠♣t ♥ rr ♣rt♠♥t ♦r③♦♥t r 1.12
r s r♠♥t ♦♥sérés t rt r♦t t ♦r③♦♥t
♥s ♣r♠r s r♠♥t tr t st ♣s ♠s ③♦♥♠♣t ét♥t rét ♦♥ ♦sr ♥ ♣♦♥ç♦♥♥♠♥t ♣♥r ♥s ①è♠ s tr t t ♦♥ é♥r ♥étq à ss♣r st ♥tt♠♥t ♣s r♥♠s ③♦♥ ♠♣t st ♣s ♦♥séq♥t ①è♠ s st ♠♥s♦♥♥♥t ♦rsq♦♥ét ♥ t ♦♠st sr ♥ éq♣♠♥t ♥s s ③♦♥ ♠♣t ♣têtr très ♣tt
é♥t♦♥ ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t étr♠♥st ♥ s ♦♥♥tr q sr étr♠♥t♦♥ s♦tt♦♥ s♣♣♦s ♥ t ♥ ♦♥♥ss♥ ♣rt strtr ♥ t st ♥éssr ♦♥♥îtr ♥ ♠♥èr ss été s strtrs t s éq♣♠♥ts ♠♣tés ♣r éè♥♠♥t ♦♥séré s♣♣♦s ♥ ♦♥♥ss♥ ♣rt é♦♠étr s rtérstqs s ♠tér① tsés étt ♦♥tr♥t ♥t st♦rq tst♦♥ s éq♣♠♥ts ♣♦r ér r ss♠♥t t s é♦t♦♥s s rtérstqs ♠tér① ss♦és ♥ ♠♦ést♦♥
♣té ① r♠♥ts t ① rtèrs ♦♥sérés ♥st ♠s s t résé r♣rés♥t ♦♥ ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ ♠♦ést♦♥ rété
①♠♣ é♥t♦♥ r♠♥t ss♠q s éq♣♠♥ts
♥t♥sté sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t
♣♣r♦ r♥çs rt♥ ♣♦r é♥t♦♥ é ss♠q st è ♦♥♠♥t ûrté ❬❪ r♣♦s sr ♥ ét st♦rq été s sés♠s②♥t ♥ r♥ tt st♦r ss♠q r♥çs st st♠é ♣♦♦r r♣rés♥trss③ è♠♥t ♥t♥sté s sés♠s ♣r ③♦♥ ss♠q sr ♥ ♣ér♦ ♦rr ♥s ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s♣t ét♦r ♣♦st♦♥♥♠♥t é♣♥tr sés♠ ♦♥ ♦♥sèr q♥ sés♠ st ss♣t s r♣r♦r ♥s ♣♦st♦♥ ♣s é♦r ♣♦r ♥tr t♦t ♥ rst♥t ♦♠♣t s ♦♥♥és é♦♦qst ss♠qs ♥ ♦♥sèr ss q♥ sés♠ ♥ ③♦♥ tt♦♥q ♦s♥ ♣t rér♥ r♠♥t ss♠q ♠♥s♦♥♥♥t ♣♦r ♦r ♥s ♦♥ s♣♣♦s q s sés♠ss ③♦♥s tt♦♥qs ♥ts ♣♥t s ♣r♦r à ♠t ③♦♥ tt♦♥q à ♣s ♦rt st♥ ♥tr ① ②♥t sr ③♦♥ ss♠q ♦rs♦♥t s♣♣♦sés s ♣r♦r à rt ♦r
tt ét st♦rq ♣r♠t é♥r ♥t♥sté ♥ ♦ ♣srs és♠s ①♠① st♦rq♠♥t ❱rs♠s ❱ tt ♥t♥sté s①♣r♠ ♥ é ♣♦♥rr♥ ♥ ♠♥s♦♥♥r s ♥trs ① sés♠s ①♣t♦♥♥s ♦♥ ♦t rtrr♠♥t ♥ ré ♥t♥sté ❱ ♣♦r é♥r s és♠♦ré érté tt ♠r ♣r♠t ♦rr ♥ réét♦♥ é♥t ❱ ♦ s♦♥ s♣tr rést♥t ♣r♦rès s ♦♥♥ss♥s ♠ét♦♦♦qs ♦st♦rqs ♦s
ISMS = ISMHV + 1
ù s ♥t♥stés s♦♥t ①♣r♠és ♥ é ♦♥t♥ s♣tr sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t
♦♥t♥ s♣tr s♦tt♦♥ st ét ♥②s st♦rq ss♠q sttt ét ♣r♠t étr ♣♦r q sés♠ ♥t♥sté sés♠ à é♣♥tr ♦ s♦♥♥t♥sté sr ♥ ♦r s♦♥t♥sté ♣♣é s♦sést s éts s rtérstqs s♦ ♣r♠tt♥t ♥②sr ♣r♦♣t♦♥ s ♦♥s ss♠qs ♣♦r q sés♠st♦rq t ♥ ér ♣♦st♦♥ é♣♥tr t ♣r♦♦♥r ♦ st♥♥tr é♣♥tr t ♦②r t ♦♥t♥ réq♥t sés♠ à sr
♥ ♦t♥t ♥s s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t és♠ ♦ré érté s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣♥t êtr ♠t♣s ♣♦r ♥ ♠ê♠♠♣♥tt♦♥ ♦rrs♣♦♥ à ér♥ts ♦st♦♥s é♣♥tr t ♦♥ ér♥ts♦♠♣♦st♦♥s s♣trs sés♠ s s♣trs s♦♥t ♥st tsés sr s ♠♦ès s♠♣és strtrs t ♦♥ ♦t♥t s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣♥r ♦rrs♣♦♥♥t ① éért♦♥s rss♥ts ♥ ♣♥r éq♣♠♥t ♦♥séré
r (1.13) ♣rés♥t ♥ ①♠♣ s♣tr ♥ sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t rét ♥ ♣♥r ♠ ♣♦r ♥ ♠♦rtss♠♥t sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥trét ♦rrs♣♦♥ à s ♦♥rt♦♥s tr♥st♦rs éq♣♠♥t s ♦♥rt♦♥sét♥t t♠♣♦rrs ♦♥ ♦♥sèr ♥ sés♠ ♣s ♦rrs♣♦♥♥t ♣s s♦♥t à ♥♥t♥sté ❱
r ①♠♣ s♣tr sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t rét ♣♥r ♠ ♠♦rtss♠♥t
s s étr♠♥sts ♥♦♥♥érs s♦♥t tés à ♣rtr s♥① ss♠qs t♠♣♦rs ♥ ré ♥r♦♥ s♦♥s s s♥① t♠♣♦rs s♦♥t ♦t♥s à ♣rtr ss♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t s s♦♥t é♥érés ♥ tr♥t ét♦r♠♥t s é♣ss ♥♦♥t♦♥ s réq♥s s♣tr ♣s ♥ râ♥t s s♥① t♠♣♦rs ♦t♥s ♥ r♣rés♥tr ♠① ♦♠♣♦rt♠♥t ssq ♥ sés♠ ré ♥ ♣s ♥t♥sté r♦ss♥t ♥ ♣s ♦rt t ♥♥ ♥ ♣s râ ♠♦rtss♠♥t s rs (1.14) (1.15) t (1.16) ♣rés♥t♥t ♥ ①♠♣ sés♠ é♥éré à ♣rtr ♥s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t
st ♥éssr é♥érr ♠t♣s s♥① t♠♣♦rs à ♣rtr ♥ s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ ♦rr t♦s s sés♠s ♣♦sss s ♣ss ét♥t trés ét♦r♠♥t st ♣♦ss tr♦r s s♥① t♠♣♦rs ♠♦♥s ♣é♥s♥ts ♥ ♦♥t♦♥s trs s trs rs ét♦rs r♦♥♥t ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥tst♦stq
r ①♠♣s s♥ ss♠q s②♥tétq éért♦♥ s♥t ①
r ①♠♣s s♥ ss♠q s②♥tétq éért♦♥ s♥t ②
ét♦ st♦stq
♦s ♦♥s ♥s ♣rt ♣réé♥t q é♥ért♦♥ s♥① t♠♣♦rs s②♥tétqs à ♣rtr s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t st ♥tr♥r s trs ét♦rs sé♣ss ♥s s ♥ strtr s♦s r♠♥t ss♠q ♦♥♥ttsr ♣s rs ét♦rs ♥ ♣t tr s r♦♠♠♥t♦♥s trP♦r sr ♥sttt ❬❪
♦♠♥t r♦♠♠♥ tst♦♥ rs ét♦rs s rr♦♣♥t s♥t r♦♣s rs sr é ss♠q XSpectrumShape (1.17) XHor (1.18) t XV ert rs sr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q strtr XDamp XFreq XModShapeXTors XModesComb XTr XInc XV SV GM XSSI t XDirComb
rs sr résst♥ strtr fC XAug fY XEqc XEqf XDlim t XRug
s rs ♣♦rt♥t sr r♠♥t ss♠q ♦♥t été é♦♣♣és ♥s ♣rt♣réé♥t
s rs ♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t ♠s ♦♥♥ss♥ étt ré strtr ♥ ♣t tr ♥♦t♠♠♥t srs ét♦rs ♣♦rt♥t sr ♠♦rtss♠♥t s réq♥s ♣r♦♣rs t ♦r♠ s♠♦s ♣r♦♣rs
s rs ♣♦rt♥t sr résst♥ strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t ♠é♦♥♥ss♥ st♦rq r♠♥ts strtr s ♥♦♠♠♠♥ts é♥ts t ss♠♥t s ♠tér① ♥ ♣t tr s rs ét♦rs ♣♦rt♥t sr ♦♥tr♥t
r ①♠♣s s♥ ss♠q s②♥tétq éért♦♥ s♥t ③
r ①♠♣s é♥t♦♥ s rs ét♦rs sr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t
♠t éstté ♦♥tr♥t t♠ résst♥ ♥ trt♦♥ t ♦♥tr♥t t♠ résst♥ ♥ ♦♠♣rss♦♥
♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq s ér♦ ♥st ♥ ét♣s étr♠♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦tés s ér♥ts rs ét♦rs r ét♦r ♣r♠ s rs ét♦rs strtr é♥ ♦ ♥♦♥
♣r♠èr ét♣ st résé ♣r♦r t ① é♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦tésss♦és à q r ét♦r s ① ét♣s s♥ts s ♦♥t ♠♥èr tért ♥ tr ♥ rs ét♦rs t ♦♥ ①ét ♥ strtr ♦♥t réstt st ♥ é♥ ♦ ♥♦♥ strtr ♥ ré♣èt s ét♣s sqà q s♦♥t♦♥s ♣r♦té q rs s♦♥t ♥ r♣rés♥tés ♥ ♥ ét ♥♣r♦té é♥ éq♣♠♥t ♦♥r♥é
tt ♠ét♦ ♥st ♣♦r ♥st♥t ♣s é ♣r t♦rté rté ér
r ①♠♣s tr ét♦r sr ré♣rtt♦♥ s s♦tt♦♥s ♦r tstst
♦♥s♦♥
s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦♥t tsés ♣♦r é♥r s r♠♥ts ♥tés♦♠♠ ss ♣♦sss ♥t ♥ér ♠r s ♠ét♦s s♦♥t ♥st tsés♣♦r str t♥ s éq♣♠♥ts t é♥ à s r♠♥ts t♠♥ts ♠ét♦ étr♠♥st st♦rq st é ♣r ♠s s sss♦♥s s♦♥t♥ ♦rs ♣♦r ♥tr♦r s ♠ét♦s st♦stqs ♥♦t♠♠♥t ♥s ét♦♥ ré s s s ♥trs s ♠ét♦s ♣r♠ttr♥t ♥♦t♠♠♥t stt♦♥ ♠♥tt♦♥ ré s ♥trs ♥érs r♥çss t♠♥t♥ ①♣♦tt♦♥ q ♥ srt ♣s ♦ré♠♥t ♣♦ss ♥ ♠ét♦ étr♠♥st
s râtrs st♦ ♦♠sts sés
♥s s ♥trs ♥érs rt ♣r♠r t s éq♣♠♥ts sûrté r♥t ♠♦rté s tt♥t♦♥s s ♥é♥rs ♥tr♥♥t sr ♦♥♣t♦♥ t s♦♥t ♦♥çs ♣♦rrstr ♣r♥♣♠♥t ♥s ♦♠♥ éstq rrs ♥rs♦♥s ♥s ♦♠♥♣stq ♥s s s s♦tt♦♥s ①trê♠s r♣tr ♦t♥ ♦♠♥t étt rt ♣r♠r é♥♠♦♥s ①st trs ③♦♥s P ♥s sqs s♦♥tst♦és ♥ r♥ q♥tté r♦tté st ♥♦t♠♠♥t ♣s♥ st♦ ♦♠st ♥ t sé
s ♣s♥s s♦♥t ♣rés ♣♦r ♦♥t♥r ss♠s ♦♠st ♠①♠♠s♦t éq♥t ♥r♦♥ ♦rs ♦♠♣ts t♥t ♦♥♥é s tés ♦stqs t sérté s tr♥s♣♦rts s ♦♠sts ♥érs ① s♦♥t st♦és ♥s r♠♦rté ♣♥♥t qst♦tté ré ♥tr s♦t ♥tr t ♥s s s♦tt♦♥s ss♠qs ♦♥sérés s♦♥t ♦♥ s ♠ê♠s q s ♣s ♣é♥s♥tstsés ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥tr
s éq♣♠♥ts s♦♥t très ♦♠♣①s à ♠♥s♦♥♥r ét♥t ♦♥♥é
♠t♣té s ♣♦sstés r♠♣ss s râtrs é♥♠♥t s ♠♦s ♥s q ♥ ♦♥t s strtrs s♦♣s ♠ss ♠♣♦rt♥t é♣é ♣♦r s ♠♦s s ♣s rés s ♣r♦♣rétés ♦♥tt q é♦♥t ♦rs ♦①②t♦♥ t rrt♦♥ s
ér♥ts srs r t ♦♥ ♣s♥ ♦rt ♦♥♥♠♥t s ♠s ♦rt ♦♣ strtr ♥ éé s♦tt♦♥ ss♠q ♣♥r s♣♣♦rt s râtrs st ♣s
♠♣♦rt♥t q s♦tt♦♥ s♦r ♥ s♦
sr♣t♦♥ s râtrs
s râtrs st♦ ♦♠st s♦♥t stés ♥s ♣s♥ ât♠♥t ♦♠st st ♦♠♣♦sé ♥ rt♥ ♥♦♠r ♠♦s ♦♥♥tés s ♥s ① trs r (1.19) r♣rés♥t ♠♣♥tt♦♥ ♥ râtr ssq
r Ps♥ éstt♦♥ s ♦♠sts sés ❬❪
q ♠♦ st ♥ strtr ♥ r ♥♦①② ♦♠♣♦sé ♥ rr♥♠♥t rt rt♥r é♦s rrés s é♦s s♦♥t ♦♥çs ♣♦r r s ss♠s ♦♠sts rêt♠♥t ♥térr s é♦s st t r r♥♦ré ♥♦r ♥ ♦♥trôr r♦tté t ♥trr t♦t rét♦♥ ♥ î♥ ♥tr s ss♠s ♦♠sts ♥ts s rs (1.20) t (1.21) r♣rés♥t♥t ♥ ♠♦♥ ssq
s ♠♥s♦♥s ♥ ♠♦ é♣♥♥t ♥♦♠r é♦s ♠s s s♦♥t ssq♠♥t ♠ × ♠ ♣♦r s ♣q s t ♥r♦♥ ♠ tr ♦♥t ♠♦rrs♣♦♥♥t à tr s rrs ♦♠sts s♦♥t ♠♠rés ♥s ♥ ♣s♥♥ ♣r♦♦♥r ♠ ♥r♦♥ ♥ ♣r♠ttr tr♥s♣♦rt s rrs ♦♠st♥s ♥ ♠♥t♥♥t ♥ ♣r♦♦♥r ♠♠rs♦♥ ♠
q ♠♦ st ♦♥♥té ♠♦ ♥t ♥ s ♣q s é♣ssà ♥ ♣q ♦♥♥t♦♥ é♣ss tt s♦♥ ♥ ♣ ♠♦ ♦♥♥t ♠♥èr r s ♣qs s s ♠♦s ♥s tt ♦♥♥t♦♥ ♠♣ê ss♠♥ts s ♠♦s q ♥ r s♥ sr♥t à ♠♦♥r s♦tt♦♥
r ❱ ♥s♠ ♥ ♠♦ ♥ ❬❪
s ♠♦s r♣♦s♥t s♠♣♠♥t sr s♦ à ♣s éq♣és ♣t♥s ②♥rqs ①és sr s ♣qs s s t♦rs♥t ss♠♥t s ♠♦s sr♦tt♠♥ts s ér♥ts srs ♦①②t♦♥s t rrt♦♥s s srs s ♣s t ♥r ♣s♥ ♦r♥ss♥t ♥ r♥ rété ♦♥ts r♦tt♠♥t ré♠♥tt♦♥ t♠♥t ♥ r r♦♠♠♥ tsr s ♦♥ts r♦tt♠♥ts♦ ♣♦♥t rr ♥tr t ♥ ♠①♠sr s♦t é♣♠♥t strtrs♦t s ♦♥tr♥ts ♥s s râtrs
s sss ♣s ♣rés ♣♥t ♠♦♥trr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣s ♦♠♣① q♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦♠♣①s s♦♥t s♦♥t ♦tqs ts à ♠♦ésr ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ ♣r♠t ♥tr s s ♠ts ♥ étr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠♥t ♠①♠♠ s râtrst ♦♥tr♥ts ♠①♠s
♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs ss♥ts ♠
♠rés s♦♠ss à ♥ sés♠ q♦♥q
s té♦rs é♦♣♣és ♥s tt tès ♦♥r♥♥t ♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrsss♥ts ♠♠rés s♦♠ss à ♥ sés♠ q♦♥q ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦♥sst àétr s ss♠♥ts ♠①♠① ♥s q s ♦♥tr♥ts ♠①♠s s♥ s strtrs ♥ s réstts ét♥t ♦t♥s ♣♦r s ♦♥ts r♦tt♠♥t ♣s ♦♠♦♥s éés t♠♥t ♦♥ ♦st ♥ ♦♥t r♦tt♠♥t ♣té à ét té t ♦♥ étt s rs ①tr♠s ♣r♠ètr ♣té ♦♥tr♥ts ♠①♠s♥s s ♣qs s♦rs t ♦♥♥t♦♥s ♦ é♣♠♥ts ♠①♠① ♥ ♣ ♦ ♥ têt ♠♦s
r ♦♣ rt t ♦r③♦♥t ♥ ♠♦ ♥ ❬❪
s ♠ét♦s ts ♠♥s♦♥♥♠♥t
❯♥ ♦s ♦♥t r♦tt♠♥t ♦s s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t tss①t♥t ♥ ① ♦s étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr ②♣♦tèss s ♠sss ♦tés
à ♣rtr é♦♠étr ♥t ♥ ②♥♠q ♥♦♥♥ér à ♣rtr ♥ s♥ ss♠q ♦s
étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr
t♠♥t ①st ① t②♣s ♠ét♦s étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣strtr s ♠ét♦s ♣♣r♦és ♥②tqs ♦ qs♥②tqs s ♠ét♦s♥♠érqs
ét♦s ♥②tqs s ♠ét♦s ♥②tqs ♣♣r♦és s♥s♣r♥t té♦r ♠ss ♦♣ rt③ ❬❪ ♥tr ① ②♥rs ♦♥♥trqs ♥♥s❯♥ sér ts ♦♥rs♦♥ ♦♥t été résés ♣♦r s ♦r♠s ♥♦♥②♥rqs ♥s s strtrs ss rt♥rs s rts ❬❪ ❬❪ t ❬❪ ♦r♥ss♥t sréstts qs♥②tqs ♣♣r♦és ♣♦r s ♠sss ♦♣
♦s s ♠♦ès ♣♣r♦és ♦♥♥♥t s ♠sss ♦♣ ♣♣r♦és ♥s s ♦♥rt♦♥s s♠♣és ♦♥rt♦♥ ♥tré ♦ ♠♥t ①♥tré ♦♣s strtr ♥és s éért♦♥s ♠♦ ♣s t ♦♥ é♦♠♥t ♦ ♣♣r♦é ♥ é♦♠♥t rt ♠♥♥t ♥ ♦♥t rtrr tss
s ♣r♠tt♥t ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ r♣ s ♠sss ♦♣ strtr ♠♣qé ♥s ♠♦è st s♦♥t ♥éssr ♦♠♣étr s ♠♦ès s♠t♦♥éé♠♥ts ♥s ♣♦r sssrr q♦♥ s tr♦ ♥s ♦♠♥ té ♠♦è tsé s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣r♠tt♥t sr s tst♦♥s é♦♠étr s ♣♣r♦①♠t♦♥s ♣r♦s ♦rts sr é♦♠♥t ♦ s ♣r♦♣rétés s②♠étr ♦ ♦♥té s ♠trs ♦♣
ét♦s ♥♠érqs
P♦r s é♦♠étrs ♦♠♣①s ♦ s s ♣s ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ srr ♦♥ ts s ♦s ♥♠érq ①st t♠♥t ♣srs t②♣s s♠t♦♥s ♥♠érqs s ♠♦ést♦♥s é♦♠♥t s éé♠♥ts ♥s ♣rss♦♥ s ♠♦ès ♣r♦♣t♦♥ tr♠q s ♠♦ès ♣rts
s ♠♦ès é♦♠♥t
s s♥s♣r♥t s ♦s é♦♠♥t ér♦♥tq ♣♥♥t s s♦♥t ♣s s♦♥t ♣tés à s é♦♠♥ts ♥♦♥ ♦♥♥és t s s ♦s♥t sr ét ♦♠♣♦rt♠♥t é♦♠♥t tr♥t é♥t♠♥t ♥♦♥ stt♦♥♥r s ♥ s♦♥t ♣s♣tés à ét s ♠sss ♦♣ strtr q ♠♣♦s♥t s é♦♠♥ts♥♦♥ tr♥ts
s éé♠♥ts♥s ♣rss♦♥
tt ♠ét♦ ♦♥sst à ♠r ♥ ♦♥sér♥t s ♣r♦♣t♦♥s ♦♥s ♥s ♦♥séré ♥ ♠♣♦s ♥st s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ é♣♠♥t t ♥♣rss♦♥ ♣r♠tt♥t ♥♦t♠♠♥t ♠♦ésr sr r ♣s♥
♣♥♥t té♦r s ♠sss ♦tés s♣♣♦s ♥ ♣rt ♥♦♠♣rss q st ♥♦♠♣t ♥ ♣r♦♣t♦♥ ♦♥s ♥s st ♦♥ ♥éssr s ♠ttr à ♠t s rtérstqs ♥ t♦ér♥t ♥ ♦♠♣rssté ♥tr♦t ♥ rrr ♥s réstt ♦t♥
♠♦è ♣rés♥t ♥♦♥é♥♥t ♥ ♣s ♣r♠ttr ♠♦t♦♥ é♦♠étrs♥s r♠r t♦tté ♣s ♣rés♥t s r♥s rt♦♥s ts rtérstqs ♥tr s ♠s ♥tr♠♦s é♣ssr qqs ③♥s ♥t♠ètrs s ♠s térs s♦♥t qqs ♥t♥s ♥t♠ètrs t ♠ sss s râtrs qqs ♠ètrs é♣ssr ♥ ♦r ♥ ♦♥♥♦♥r♥ st ♥éssr ♠r t♦tté s ♠s②♥t s ♠♥s♦♥s ♦rr ♣s ♣tt ♠♥s♦♥ ♠♣♦s ♥q♥tté é♥♦r♠ éé♠♥ts ♥s t ♦♥ ♥ t♠♣s ♦♥sér
Pr ♦♥tr ♣r♠t ♣rs ♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ t é♦♠♥trt é à sr r ♣s♥
♦ès ♣r♦♣t♦♥ tr♠q
s ♠♦ès r♣♦s♥t sr s ♥♦s ♥tr s♦♥ tr♠q t s té♦rs é♦♠♥ts ♣♦t♥ts s rés♦♥t éqt♦♥ ♣r♦♣t♦♥ tr♠q ∆T = 0 str♠s s♦rs t ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ t♠♣értr t ♥ ① tr♠q ♥s tt♥♦ s ① tr♠qs r♣rés♥t♥t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ é♣♠♥t
tt ♠ét♦ ts s ♠ê♠s éqt♦♥s q s ♣r♠tt♥t s ♠sss♦tés Pr ♦♥tr ♣rés♥t s ♠ê♠s ♠ts q s éé♠♥ts ♥s ♣rss♦♥
♦és ♣rts
♥s ♠♦è st ♠é ♣r ♥ ♥s♠ ♣rts r♣rés♥t♥t ♥ ♦♠ ♥r♦♥♥♥t t ♦♠ ♣t rr ♥ ♣rt à trt ♣r♠t rér ♥♦♠r éé♠♥ts t♦tté s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣♥têtr ♠♦ésés é♦t♦♥ é♦♠étr st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r ♥ ♠♦t♦♥ sts rtérstqs s ♣rts s ♥ s ♥♠♥t ♦rt é♦♠étrrt♥s ♣rts s ♣♥t êtr rés ♦ s♣rîtr tt ♠ét♦ st ♣s♣r♦♠tts ♠s ♣rés♥t ♥ ♥stss♠♥t très ♦r ♥ tr♠ ♣té t t♠♣s ♥ ♣r♠t ♣s t♠♥t r s s sr ♥ é♦♠étr ♦♥♥é♥ ♠♦♥s qqs ♠♥ts ♥ ♣r♠t ♣s ♣♦r ♥st♥t r s s♠t♦♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♠♦♥s ♣srs rs
②♥♠q ♥♦♥♥ér
s ♠ét♦s ②♥♠q ♥♦♥♥ér ts ♦♥t ♣♣ ① ♦s s ♥♠érqs t ♣r♥♣♠♥t s ♠ét♦s éé♠♥ts♥s s rés♦t♦♥s t♠♣♦rs s s éé♠♥ts♥s ♣♥t êtr ①♣t ♦ ♠♣t
sé♠ ①♣t s♣♣♦s ♥s♠ s r♠♥ts ♦♥♥s à ♥st♥t t ♣♦r rés♦r s é♣♠♥ts strtr à ♥st♥t t+ dt sé♠ ♠♣t ♥ésst rés♦t♦♥ s é♣♠♥ts ♥ t+ dt s r♠♥ts ①térrs és à ♥st♥tt + dt st ♦♥ ♥éssr rés♦r s éqt♦♥s s r♠♥ts ①térrs♦♠♠ ♥♦♥♥s ♦♠♥t ❬❪ ♣rés♥t ♥ ①♣t♦♥ été s ér♥ts sé♠s ♥tért♦♥ t♠♣♦r
s sé♠s ♠♣ts ♠ré r ♦♠♣é①té ♣rés♥t♥t ♥ stté ♥♦♥t♦♥♥s sé♠s ①♣ts ♥ésst♥t ♦sr ♥ ♥tr dt ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r♣r♠ttr ♥ ♦♥r♥ rs s♦t♦♥ ♣♥♥t ss s ♦rt♠s ①♣ts♣r♠tt♥t trtr s ♣r♦è♠s ♥♦♥♥érs q st s ♥♦tr ét
Pr♠ s ér♥ts ♦s éé♠♥ts♥s ♣♦sss ♦♥ ♣t tr ♦❴str ❨ qs P②t♦r t à s ér♥s t②♣s éé♠♥ts s♣♦♥ss tés ♣r♠étrst♦♥ s ♣tés sst♦♥ t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣①té s ér♥s ♣r♥♣s ♦♥r♥♥t ♥♦tr ♣r♦è♠ ♣♦rt♥t sr ♠♦ést♦♥ ♦♣ strtr t r♦tt♠♥t ♥s q sr ♦♠♣tté ♥trs ① éé♠♥ts
♦s ♦♥s ♦s♦♥ tsr ♦❴str t ❨ ♥s r tt tèss réstts s♦♥t s♠rs t s♦♥t tés ♥s s t♠♣s ♦♠♣rs ♥s ♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♥t ♦♥♥é st ♥♥r♦♥ ♥ r ♣♦r ♥ s♥ ss♠q ♥ ③♥ s♦♥s
♠rqs
rt♥s rts trt♥t ♦♣ ♥tr ① ♦s ♥♠érqs ♥ ♥t s♠sss ♦♣ strtr à ♣rtr s é♣♠♥ts tsés strtrt tr ①ét♥t t♠♣♦r éé♠♥ts♥s ♥♦♥♥érs sr ♥ ♣s t♠♣st ♥s st ♣♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣t ♣t ♥tr♦r s s ♥♦♥ ♥és t é♥t♠♥t ♦♥♥r ♥ ♦♥r♥ rs ♥ s♦t♦♥ q ♥st ♣s s♦t♦♥ ré ♦♥♥t ♦♥ r ♥ ♥②s très ♥ ♦♥r♥ s♦t♦♥ ♣♦r ♥ ♣s r rrr ♣r♦s ♦♥séq♥t
é♦rs é♦♣♣és ♥s tt tès
♦t ♣r♥♣ té♦r é♦♣♣é ♥s tt tès st ♣r♠ttr ♥ ♣s ♣r♦ ♣♦ss rété ♥ t♠♣s qs♥st♥t♥é ♣r♠ttsr ♥ ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq ♥ s♠r ♥ r♥ ♥♦♠r sés♠s t ♦♥t♦♥s ♥ts ♣♦sss q s♦♥t ①trê♠♠♥t ♠♣♦rt♥ts ♣♦r ♣r♦è♠ t♠♥t ♦tq
é♦r ♦♣ strtr é♦♣♣é
♥ ré♣♦♥r ① ♦ts q ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ①és ♥♦s ♦♥s é♦♣♣r ♥♠ét♦ ♥②tq ♣♣r♦é s ♠sss ♦♣ strtr tt♠ét♦ ♥②tq ♣r♠t ♥ qs♥st♥é ♣té à ♥♦s ①♥s
♠♦és ♦♣ ♥tr ♠♦s s♥ ♥ qr ♠♦s ♦♣ ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s ♦rts ♥♦♥ ♥és s éért♦♥s s ♠♦s q♦♥♥♦♠♠r t ♦♥ ♠ét♦ ♠♣♦②é ts s éqt♦♥s ♦♥srt♦♥ ♠ss ss♦és à ♥♦♠♣rssté ♥ ♥st é♥r ♥étq ♥ ♥é♥t é♥r st♦é ♥s s ③♦♥s à é♦♠♥t ♦♠♣① s ♥trst♦♥s ♥tr ♠s ♥ ♠♥♠sr ♥♥ tt é♥r ♣♦r ♥ ér s ♣r♦s ♣rss♦♥ s♥ s ♠s t ♥ ér s ♠sss ♦♣ ♥tr ♠♦s
s ♠sss ♦♣ s♦♥t és ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq q♦♥qt ♣t ♦♥ êtr tsé s é♣♠♥ts s ♠♦s
ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér
♠ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦t ré♣♦♥r à s♦♥ t♦rà ①♥ qs♥st♥t♥é t à ♣rs ♥ ♦♠♣t ♠♦rté srtérstqs strtr ré ts ♦♥stt q ♥♦♥♥érté ♣r♦è♠ ♣♦rt sr é♦t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr t rét♦♥
s♦ ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s Pr ♦♥tr ♥② ♣s ♥♦♥♥érté sr ♦♠♥ é♥t♦♥ s ♦♦r♦♥♥és s♣ts ♥ ♣t ♦♥ srétsr ét t♠♣♦r ♥ s r♠♥r à ♥ ♣r♦è♠ qs♥ér ♣r ♠♦rç① t ♥ rés♦t♦♥ s♣t ♥ér♥ ts♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs
♠♦è ♥s é♦♣♣é ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s é♦t♦♥s t♠♣♦rs s ♠sss ♦♣ strtr ♥s q rs ts ss♣ts sr ♦♥ ♥éssr étr♠♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés s②stè♠ ♣s ♦♥ ♣r♦tr s éqt♦♥s éqrsr s ♠♦s ♣r♦♣rs s ts ss♣ts sr♦♥t s♣♣♦sés ♦♠♠ s ♠♦rtss♠♥ts♠♦① Ps ♦♥ ♦♥sérr ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣♦r s♣♣♦sr s r♠♥ts ①térrs ♦♥st♥ts t ♦♥ rés♦r s éqt♦♥s s♦s s ②♣♦tèss ♥♥ ♦♥tstr s ♥♠♥ts ♦♥t♦♥s ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s s s♦t♦♥sqs♥②tqs s♦♥t qs♥st♥t♥és
♣♣t♦♥s ♣♦sss ① trs ♦♠♥s é
♥
♦♠♥ ♣r♥♣ ♣♣t♦♥s té♦r q sr ♣rés♥té ♥s s ♣trss♥ts ♦♥r♥ ♥ér ét♥t ♦♥♥é ♠♣t ♣♦t♥t ♥ é♥ ♥s str t s ①♥s ré♠♥trs q s♦♥t ss♦és ♥♦t♠♠♥t ♥s ♦♠♥ss♠q ♥ésst♥t ♥ r♠s à ♥ ♣r♠♥♥t é♥♠♦♥s s té♦rs t résttsq sr♦♥t ♣rés♥tés ♥ s ♠t♥t ♣s ♥ér
P♦♥ts ♥♥s s ♣s à st♦♥ rt♥rs
s ♦rs é♥ ts q s ♣♦♥ts s♦♥t ♥ ♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♣♦ss té♦r ♣rés♥té ♥s tt tès s ♦rs s♦♥t ♥ s ♣rtr s ♠ét♦stsés ♥ ♦♥sèr ♥ ♦♠♥ ♥♥ ♥s rt♦♥ ♣r♣♥r ♣♦♥t t ♥ qr ♥rt♦♥♥ strtrs
s r♦tt♠♥ts sr♥t à ♠♦ésr s ♣♦♥ts ♠ç♦♥♥r ♦ù s ♦s ♣♥t ssrs ♥s sr s trs r ♦ s ♣♦♥ts ♣s ré♥ts sr sqs s♣♣q♥t r♥s s♦tt♦♥s ss♠qs r s r♥rs s s♣♦sts s♣♣♦rt t♦rs♥t ss♠♥t ♥s♠ ♣ ♣♦♥t st ♥♦t♠♠♥t s ♣♦♥t ♦♥♥tr♦♥r♥t rè à ♣é♥♥s Pé♦♣♦♥ès r
rs st♦
Pr♠ s ♦♠♥s ♣♣t♦♥ ♦♥ ♣♦rr tr s ♥rstrtrs st♦ r♥ t ♣t ♦♥r♥r s résr♦rs ♣♦t s r♥s s♥s s s s ♣s ♥♥♥s s ♥rstrtrs ♣rés♥t♥t ♥ ré ♥ ét♥t ♦♥♥éq st s♦♥t strtrs ①st♥ts ♥♥♥s q ♦♥♥t réér s ♥♦s ♥♦r♠s ss♠qs ♦rsqs s♦♥t ré♥♦és r 1.24 ♦♥♥r♦♥ tsr s té♦rs s ♣s ré♥ts ♦♣ strtr s♦s r♠♥tsss♠qs ♥ ♦t♥r s réstts s ♣s ♣rt♥♥ts ♣♦sss
r P♦♥t ♥② sr ♦r ❬❪
r P♦♥t ♦♥♥tr♦♥ ❬❪
Pr♠ s trs ♥rstrtrs st♦ ♦♥ ♣♦rr tr s ♥trs rt♥t rstrt♦♥ ♣ ♥ r trt♠♥t térr s ♥trs st♦r♣rés♥t♥t r♥s ♦♠s ♣s s♦♥t és r♥ ♣ t ♦♥t ♦♥ ♣rt♥tér♥t ♦rs ♣s r♥ t ♥st ♦♥ ♣s ét♦♥♥♥t tr♦r ♥♥tr rt♥ ♣ s♦s s sts s ♥trs ♦♠♠r① s ♣r♥st r (1.25) r♣rés♥t ♥tr rt♥ ♣ sté s♦s st r♥ ❯♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣rés s ♥rstrtrs st ♥éssr ét♥t ♦♥♥é ♦ ♥ srté ♥rstrtr st♦ t strtr sté sss
s ♣r♦é♠tqs s♦♥t ♦♠♠♥s à t♦s s ♣②s é♦♣♣és r (1.26) ♣rés♥t ♣s r♥ ss♥ rét♥t♦♥ ♠♦♥ st résé ♣♦♥ ♥s ♠étr♦♣♦ ♦②♦ t sét♥ ♥tr ♦♠♠♥ t♠ t ♦②♦
r ésr♦r st♦ ♣♦t ♦♥ts♦rs ♥rt♦♥ ♥ []
r ss♥ rét♥t♦♥ ♣ P♥ ♥t♥s sté s♦s st r♥ []
rs ♥ ♠ç♦♥♥r
s ♦rs ♥ ♠ç♦♥♥r ♣♥t ss tsr té♦r q sr é♦♣♣é ♥stt tès s ♦♥ts ♥tr ♦s ♣rt♣♥t qs♠♥t ①s♠♥t à ss♣t♦♥é♥r ♦rs s ♠♦♠♥ts strtr tt ss♣t♦♥ é♥r ♣♦rr êtr♠♦ésé ♥ ts♥t s s②stè♠s s ♠sss ♦♣ strtr ②♥t♥ ♠♣t t ♥ r♥ rt♦♥ t♠♣♦r mH(t) << 1 t mH(t) ♦rr
♠ê♠ ♠♥èr r♦tt♠♥t s♦ ♦rs é♣♠♥t r♣rés♥t trs tsss♣ts s é♣♠♥ts s♦s strtr ♥♦t♠♠♥t ♥ s ①tré♠tés ♠r ♦ s ♠rs ♦s r♠♣ss ♦r r (1.27) s rs s ♠sss ♦♣ t s ♦♥ts r♦tt♠♥t ♣♦rr♦♥t êtr rés ♣rès ér♥ts s♠t♦♥s t ♥ s é♣♠♥ts s ér♥ts ♦s
♥t♥♥ t sérté s ♦rs ①st♥ts
r s ♦rs ①st♥ts ♣r♠ s ♥① srté ♣r♥♣① ♦♥r♥♥t ♠♥q♥♦r♠t♦♥s sr étt strtr ♥①st s♦♥t ♣s ♣♥ strtr ré ss♠♥t s ♠tér① ♥st ♣s été
r ésr♦r é♥t à t♠ ♥s ♥ ♦②♦ []
r r à ♦ ♣r♠♥ts ♦s r♠♣ss ❬❪
rt♥s ♠tér① t rt♥s t♥qs ♦♥strts ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s t♠♥t
♦s ♥♦♥s ♣s ♦♥♥ss♥ st♦r s r♠♥ts sr strtr t ♦♥♦♥ ♥ ♦♥♥t ♣s ♥♦♠♠♠♥t strtr t s ♠tér①
s s♥s ♦♥♥és ♥ésst♥t r ♥ rt♥ ♥♦♠r ②♣♦tèss t éts♦♠♣é♠♥trs sr strtr s ♥♦r♠t♦♥s ♦♠♣é♠♥trs ♥ésst♥t ♣r♦ss sss strts sr strtr ♥ étr ♥t♣r ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♠ré s ♥rtts st ♥éssr tsr s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stqs s s♦t♦♥s ♥②tqs é♦♣♣és ♥s tt tès s réè♥t♦♥ ♣rtèr♠♥t ts
r♥st♦♥ tès
♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr ♦♥t①t ♦ ♠♥tt♦♥ s s♦♥é♥rétqs ♠♦♥① t s♦♥ sérté s ♣♦♣t♦♥s ♦s ♦♥s ♥st été ♦♠♠♥t s s♦♥s s♦♥t ♥térés ♥s ♠♥s♦♥♥♠♥t s ♥trs ♣r♦t♦♥ é♥r t ♥♦t♠♠♥t s ♥trs ♥érs trrs ♥tr♦t♦♥ ♣r♦rss s ♠ét♦s st♦stqs s ♥♦s ♠ét♦s ♠♣♦s♥t é♦♣♣♠♥t ♠♦ès s♠♣és s ♣r♠tt♥t ♥ r♣ ♣r♦è♠s ♦♠♣①s ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér s ♦♣s strtr q sr ♦♠♥ ét
r s ♦r♠s r r♥sés ♥s ❬❪
♥♦tr tès ♦s ♦♥s ♥st été s ♦♥t♥s s♥tqs q sr♦♥t tsés t s♦♠♥s ♣♣t♦♥ ♣♦sss s té♦rs q sr♦♥t é♦♣♣és ♥s s ♣trs t
♣tr ♣♦rt sr s ♠ét♦s étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ét ♦r♣q étt rt ♣s ♥♦s rés♠r♦♥s s ss té♦rqs té♦r s ♠sss ♦tés Ps ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s♥♦s ♠ét♦s s ♠sss ♦tés ♥s s ♦♣ ♥tr ① rt♥s ♥s s ♣♦st♦♥s ♦♥♥trqs t ♥♦♥ ♦♥♥trqs ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s♥ ♠ét♦ ♦♣ ♠tstrtr ♥s ♥ qr strtrsà s rt♥r t ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s réstts s ér♥ts ♠♦és q ♥♦s♦♠♣rr♦♥s ① ♠♦ès ①st♥ts
♣tr é♦♣♣ s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦♣é tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s ét ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♣♦tr ss♥t ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ ♠♠ré ♥s ♥ t s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q s ♠trs ♠sss ♦♣ tsés♥s ♣tr s♦♥t sss s ♠♦ès é♦♣♣és ♥s ♣tr ♦s ♣rés♥tr♦♥ss ♠ét♦s étr♠♥t♦♥ s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♦rrs♣♦♥♥t ①ér♥ts étts ♦♥tt ♣s ♥♦s ♦♥♥r♦♥s ♥ ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♥②tqsr ♥ ♣s t♠♣s ①é ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ♠ét♦s ♣ss ♥ ♣s t♠♣s ♣s t♠♣s s♥t ♥s s s ♥♠♥t ♦♥t♦♥s ♦♥tt sréstts ♣r♦è♠ ♦♣é sr♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣tr ❱
♣tr ❱ ♣rés♥t s réstts sss s té♦rs é♦♣♣és ♥s s ♣trs t s s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♠♣r♥t s réstts ♣s♦♥②tqs tès às s♠t♦♥s ♥②tqs sr s ♦♥rt♦♥s ♥tqs ♣r♠t r s♠♦ès é♦♣♣és sr s s s♠♣és Ps ♦♥ ts ♣♥♠♥t s ♠ét♦s
rés♦t♦♥ r♣ s ♣r♦è♠s ♥♦♥♥ér ♦♣és tst♦♥ é♦♠étr t♣rs ♥ ♦♠♣t s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① s ♠trs ♦♣ ♥ ♣rés♥tr ♥♥ s ♣r♠ètrs t♠♥t ♥éés ♥s ré♣♦♥s strtr ♥♥♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦tq s②stè♠ ♥ ♣r♠t ♣s ♦♥♥rs rès é♥érs sr s ♠♦ès tr♦♣ s♠♣és t q st ♥éssr ♠♦ésr ♣s ♥♠♥t ♣♦ss ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r strtr à ♠♥s♦♥♥r
♣tr ❱ ♦♥♥r ♥ ♦♥s♦♥ à tr rr t ♣r♦♣♦sr s ♣sts♠é♦rt♦♥ t é♦♣♣♠♥t
♦r♣
❬❪ ts Prs s♦trr♥ é♠♥t t ♦♠s
❬❪ t r♥①♣♦rt♦♥♦♠
❬❪ ❲♦r P♦♣t♦♥ Pr♦s♣ts t s♦♥ ❯♥t t♦♥s P♦♣t♦♥ s♦♥ ❱rs♦♥ ♥
❬❪ t ❲♣♦r ❲♦r ♣♦♣t♦♥ tt♣ ♥♣♦r❲♦r❴♣♦♣t♦♥
❬❪ t tt♣ ♠♦♥rst♦♠
❬❪ ❱♦t t♦♥♥r rss♦♥é rttr r♥çs ❳ ❳❱sè
❬❪ ② ❲♦r ♥r② ttsts ♥tr♥t♦♥ ♥r② ♥②
❬❪ ♦r♠t♦♥ P r
❬❪ tt♣ rstrtr
❬❪ tt♣ ♣♥tt♣♦♠
❬❪ tt♣ ♥s♥♥ts♦♠
❬❪ ♥❨♦♥ ♠ t♦r ♥ ♥♥ ②st♠ ♦r P♦r ♥♥r♥ ♦
❬❪ rt ❯ ♣♥t t♦r
❬❪ tt♣ ♦str♦r❱♦tr♠♥❴rrr♣
❬❪ è ♦♥♠♥t ûrté r ♦t♦r
❬❪ qtsrts♦♥sr
❬❪ P tr P♦r sr ♥sttt
❬❪ rt③ t ♦ qs ♦♥ t ②♥♠ ♠♦t♦♥s ♦ ♠♠rs s♦s r♥s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♦r ♥str②
❬❪ t ♥ ♥ ♠ t♦♥ ♦ ss♠ ♦s ♦♥ st♦r rs♥r ♦♥srt♦♥ ♦ strtr ♥trt♦♥ r♥s
❬❪ ♥ ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♦ r♥t ♥②t ♦r♠t♦♥s ♦r t♥ st♦r rs r♥s
❬❪ t ♥ ♥ strtr♥trt♦♥ ♦r t ♥②ss ♦ t ②♥♠s ♦ st♦r rs ♥ t s ♦ ss♠ ♦s r ♥♥r♥ ♥ s♥
♣tr
t t ♠♦ést♦♥ ♥tért♦♥
strtr
♥tr♦t♦♥
♣tr ♣♦rt sr ét ♦♣ strtr ♣♣qé à s strtrs àst♦♥ rt♥r ♠♠rés ♥s ♥ ♦♥t♥ ♥s ♥ résr♦r s rt♥r s ♠s ♦♥sérés ♥s s té♦rs q sr♦♥t é♦♣♣és ♥s ♣tr s♦♥t s♣♣♦sés ♦♥♥és stàr é♣ssr ♣r r♣♣♦rt ① r♥rsrtérstqs strtr ♥ ♠tr ♥♦tr ét ① é♦♠♥ts ♣♥ t♦r strtr ♥ ♠♦♠♥t
s ♠♦ès ♥②tqs ♦♥t été é♦♣♣és sr st ♥tr s ♥♥és t ♥s ♦♠♥ ér♦♥tq t é♥ s ♣r♦è♠s s ♣s ♣r♦s ♣♦rt♥tsr ét ♦♠♣♦rt♠♥t s rrs ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t s résr♦rs q❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ s♦s sés♠ ♦ rt♦♥s s ♣rés♥t♥t s ♠♦ést♦♥s ♠ss♠♦rt t ♠ss ♦s♥t ♣♦r rtérsr ♦♠♣♦rt♠♥t sr r
♥s s ♥♥és à s ♠♦és ♥②tqs ♦♥t été é♦♣♣és ♥s ♥str♥ér ♥♦t♠♠♥t ♣♦r érr ré s t②trs rt ♣r♠r s♥trs t t♥ s rêt♠♥ts s r②♦♥s ss♠ ♦♠st s ♦♠♥ts rst♥t ♣r♦♣rété tt ♥str t ♥♦♥t q rr♠♥t été sés ♥s ♦♠♠♥té s♥tq
♣rès s ♥♥és s ♠♦ès ♥②tqs s s♦♥t rréés ♣♦r s♦r♥tr rs srés♦t♦♥s ♥♠érqs q s♦♥t ♠♥t♥♥t ♥térés ♥s ♣♣rt s ♦s éé♠♥ts♥s réér♥ ♥ ♣♦rr tr ♥♦t♠♠♥t ♦❴str ❨ qs P②t♦rt s ♠♦ès ♥②tqs s♣rss♥t ♣ à ♣ ♣②s s♥tq s♣♦r ♣♣♦rtr s s♠♣t♦♥s ♥s s s ♥♦♠r① éé♠♥ts ♥ ♦t♣♣rtr s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♦r s s① ts ❬❪ ❬❪ ❬❪❬❪ ❬❪ t ❬❪
é♦♣♣♠♥t s ♣r♦è♠s ♦♣és ②♥♠q ♦♠♣① ♦♣ strtr ♦♥♥é ♥ ♥♦ s♦ ① s♦t♦♥s ♥②tqs ♣♣r♦és t ♥♦t♠♠♥t♥s ♥str ♥ér ♥ s ss éq♣♠♥ts ②♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q
s♦rt♥t ♥tr♠♥t ♦♠♥ ♥ér st râtr st♦ ♦♠st ♥♦t ♦♥ rssrr s ♠♦ès ♥②tqs ét s ♥♥és st s srts ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ ♣♥♥t ♣ss ♥ é♦♠étr ②♥rq à ♥ é♦♠étr rt♥r ♥ s t ♣s ♠♥èr s♠♣ t ♥♦♠rss②♣♦tèss s♠♣trs ♦♥t été tés ♠t♥t ♦rt♠♥t s ♦♠♥s tés ♠♦ès
♥ ♠é♦rr s réstts ♦♥ r à é♦♣♣r s ♠♦ès ré♣♦♥♥t ①♦ts q ♥♠♥t tt tès à s♦r ♦ésr ♣s ♥♠♥t ♣♦ss ♣②sq s②stè♠ ré é♦♣♣r s ♠♦ès ♥②tqs ♦ qs♥②tqs ♥ t♠♣s ♣s ♦rt s ♣♦ss ♣rsq ♥st♥t♥é
♥s ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s éé♠♥ts té♦rqs ss♦és ♦♣ strtr t ♥♦t♠♠♥t à té♦r s ♠sss ♦tés Ps ♥♦s étr♦♥s ♠♦è ♥②tq st♦rq é♦♣♣é ♣r rt③ ❬❪ ♦s étr♦♥s s ♦♣ ♥tr ① ♣♦trs ♥♥s st♦♥ rt♥rs ♦♥♥trqs t♥♦♥ ♦♥♥trqs ♥ é♦♣♣♥t ♥ ♥♦ té♦r ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s ♥♦s résttsà ① s ♠ét♦s ①st♥ts t ① réstts éé♠♥ts♥s ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s♥ ♠♦è ♦♣ ♠tstrtr ♣té à ♥ qr strtrs ssrt♥rs
é♠♥ts té♦r
♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ss té♦rqs ♦♣ strtrt ♥♦t♠♠♥t té♦r s ♠sss ♦tés P♦r ♥♦s ♥♦s ♥s♣rr♦♥s s♥s♠♥t ♦r [] q st ♥ réér♥ ♥s ♦♠♥ s éqt♦♥s ♣r♠tt♥tétr té♦r s ♠sss ♦tés s♦♥t rt♠♥t sss t ♦r
♦s ♦♥sérr♦♥s ♥s ♥s♠ ♥♦tr ét ♥ ♥♦♠♣rss ♥s q st ♠♠ré ♥ s♦ é♦♠étr q♦♥q ♦s s♣♣♦s♦♥s q s ♦r①térr s♣♣q♥t sr s②stè♠ st rté ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s ♥ ♣r♠rt♠♣s s ss té♦r ♦♣ strtr ♣s ♥♦s ♥tr♦r♦♥s rt♥s②♣♦tèss s♠♣trs ♥ ♣rés♥tr té♦r s ♠sss ♦tés
♦♠rs ♠♥s♦♥♥s
♥ ♣♦♦r ér ♥♥ sr ré♣♦♥s ②♥♠q râtr st♦ ♥♦s ♦♥s s♦♥ étr ♣s ♥ éts ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ st ré ♣r ♥ rt♥ ♥♦♠r r♥rs rtérstqsssq♠♥t s r♥rs ♠♥s♦♥♥s s♦♥t s ♥♦♠rs r♦ ②♥♦st ② t s♦♥t é♥s ♠♥èr s♥t
FR = U0√Lg
RE = ρFU0L
µ
CY =ρFU2
0
E
U0 ❯♥ tss rtérstq L ❯♥ ♠♥s♦♥ rtérstq ♦♠♥ ♦ù ♥trt♦♥ strtr g rté ρF ♠ss ♦♠q E ♠♦ ❨♦♥ s♦ µ s♦sté t t♠♣s
♣♥♥t ♥s s ♥ ♥trt♦♥ strtr r rtérstq tss U0 st trés à q♥tr t st ♥ ♦♥séq♥ ♣é♥♦♠è♥ q♥♦s r♦♥s à étr ♥s st ♣s ♦♠♠♦ tsr ♥ r♥r tssrtérstq rt♠♥t rtté s♦ ♣tôt q ♦s tsr♦♥s ♦♥cs éérté ♥ ♦♥ ♥s s♦ s ♥♦♠rs ♠♥s♦♥♥s tsés ♥♥♥t ♥♦♠r r♦ ②♥♠q ♥♦♠r t♦s t ♥♦♠r ♠ss
Fd =cs√gL
ST = ρF cSL
µ
M =ρF c2SE
= ρFρS
ù ρS st ♠ss ♦♠q s♦
❱rs ♠♥s♦♥♥s
♦s é♥ss♦♥s ♠ê♠ ç♦♥ s rs ♠♥s♦♥♥s s rs sér♥t
U = U
cS
p = p
ρF c2S
ù U st tss ré s ♣rts s t p st ♣rss♦♥ ♥ t♦t ♣♦♥t
t♠♣s ♠♥s♦♥♥ s é♥t ♦♠♠
t =tcSL
♥ ♠♥s♦♥♥ s rs és s♦ ♥s
ξ =ξ
ξ0
σ =σ
E
D = ξ0L
ù ξ = x − X st tr é♣♠♥t é♥ ♥ t♦t ♣♦♥t s♦ t σ st ♦♥tr♥t ré ξ0 st ♥ r♥r rtérstq é♣♠♥t strtrt D st ♥ r♥r ♣♣é é♣♠♥t rét q rtérs s ts r♥sé♣♠♥ts
qt♦♥s s②stè♠
♥t♥♥t q s rs q ♦♠♥ ♦♥t été é♥s t érr s éqt♦♥s éqr s s②stè♠s t s♦ ♥s q s éqt♦♥s ♦♥t♥té ①♥trs
qt♦♥s ♠♣ ♣♦r
♥♦♠♣rssté sért
divU = 0
t ♦♥srt♦♥ q♥tté ♠♦♠♥t
dU
dt= − 1
F 2D
ez −∇p+ 1
ST
∆U
qt♦♥s éqr s♦
éqr s②stè♠ sért
D∂2ξ
∂t2= − 1
F 2D
+ divσ
s rtérstqs ♠tér ♦♥♥♥t
D1
2
(∇tξ +∇ξ
)= (1 + ν)σ − νTr(σ)1
♦♥t♦♥s ♥tr
s ♦♥t♦♥s ♥tr ♥ é♣♠♥t s①♣r♠♥t
U(x) = D∂ξ
∂t(X)
x = x
L ♣♦st♦♥ t ♠♥s♦♥♥é s ♣rts
X = X
L ♣♦st♦♥ ♥t ♠♥s♦♥♥é s ♣rts s♦
s ♦♥t♦♥s ♥tr ♥ ♦♥tr♥t s①♣r♠♥t
M[−p(x)1 + 2
ST
d(x)
].n(x) = σ(x).n(x)
ù d = 1
2(∇tU +∇U)
n(x) tr ♥♦r♠ s♦rt♥t s♦
②♣♦tès ♣tts é♣♠♥ts
♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① ♣tts ♠♦♠♥ts ♥ s♦ ♥s ♦s s♣♣♦sr♦♥s ♥t♠♥t r♣♦s ♥ ♣rss♦♥ ♥t s ②♣♦tèss s ♠♦és♥t♣r
D << 1, U = 0, P = P0.
r♠♥t ♣♣qé st é♣♠♥t s♦ ét♥t s♣♣♦sé st♥tr r ♥ é♦♣♣♠♥t ♠té s rs ♣r r♣♣♦rt ♣r♠ètrλ = D
U = 0 + λu, Σ = Σ0+ λσ.
♥ ♥t♥t é♦♣♣♠♥t ♠té ♥s s éqt♦♥s éqr ♦♥ ♦t♥tà ♦rr ♥ λ
−∇P0 = − 1
F 2D
ez
♦rr ♥ λ s éqt♦♥s éqr sér♥t divu = 0∂u
∂t= −∇p+ 1
ST∆u
t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts
u =∂ξ
∂t
♦♠♠ ♥qé ♥s [] ♦♥t♦♥ ②♥♠q s♦t♥t ♣s ♠♥t t ①st♥ ♠♣ ♣ré♦♥tr♥t Σ0 t s rt♦♥s é♦♠étrqs ♥tr
♦s ♥ ♦♥♥r♦♥s ♦♥ q réstt ♦rt ♥♥tés♠ ♥tr
df = TdAX
dAX = dAX .n0
t T = M
[σ + (−∇P0) .ξ 1− P0
(divξ
)1− P0
(∇ξ)T]
.n0
ù dAX ♦rrs♣♦♥ à ♥ éé♠♥t sr ♦r♥té ♥s ♦♥rt♦♥ réér♥ strtr t n0 st ♥ tr ♥♦r♠ sr ♥s ♦♥rt♦♥ réér♥
♥ ♣r♦tt ♥st t ♦rt sr é♣♠♥t ♥ s♥t ②♣♦tès ♥ ②♥♠qs♠♣ ért ♣r ♥ s ♦♥t♦♥ t♠♣s
ξ (X, t) = q(t)φ(X)
♣r♦t♦♥ s ♦rts ①rés ♣r à ♥tr sr é♣♠♥t φ(X)t
FFS =
∫
∂ΩFS
φ.dF = F 0FS + λfFS
♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① tt♦♥s t ♦rt ♦rs ♠s ♥ ♠♦♠♥t strtr s♦t
fFS = M∫
∂ΩFS
φ.σ.ndA−q(t)M∫
∂ΩFS
(φ.n)(∇P0.φ) + P0
[(divφ)(φ.n)− n.(∇φ)φ
]dA
①è♠ tr♠ ①♣rss♦♥ st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ é♣♠♥t strtr t♣t êtr ♥tr♣rêté ♦♠♠ ♥ rr s é♦♠♣♦s ♥ ❯♥ rr r♥t kGA = M
∫∂ΩFS
(φ.n)(∇P0.φ)dA
❯♥ rr ♦r♠ kFA = M∫∂ΩFS
[(divφ)(φ.n)− n.(∇φ)φ
]dA
♦s ♥ ♥♦s ♥térssr♦♥s ♣s ① éts s rrs q ♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♣s ♦♠♥ ♥♦tr ét ♦s ♥♦s ♦s♦♥s ♦♥ sr ét♦♥ ♦rt ♥♥tés♠ rt♦♥♥ ♥trt♦♥ ♥tr t strtr fFS t ♥♦t♠♠♥t sr sé♣♥♥ ♥ q(t) q st ♥téré ♥s ♣r♠r tr♠ ét♥t à étr♥s s é♥ér ♥♦s rstr♥♦♥s ♥♦tr ét ① ♦♥t♦♥s té té♦rs ♠sss ♦tés
ss ♦té
♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♠♥t♥♥t ♥s r té♦r s sss ♦tés r♣♦s sr ♥ ②♣♦tès ♣tts é♣♠♥ts ♦ù ♠♦♠♥t s♦ s t à ♥é t♠♣s ♦rt ♥t t♠♣s s♦♥ t ♥t t♠♣s ♣ss s♦♥s rté à sr s♦t
ST >> 1, FD >> 1.
Pr rs ♥ s♠♣r s s ♥♦s ♥é♦♥s ♣rss♦♥ ♥t P0 = 0 s ts tt ♣rér ♥♦♥t ♣s ♥♥ sr s ♠sss♦tés
s éqt♦♥s sér♥t ♦♥
divu = 0
∂u
∂t= −∇p
t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts
u.n =∂ξ
∂t.n
Mpn = −T
♥ s♣♣♦s ♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s r râtr st é♥ ♣r ♥ s♣r♠ètr q(t) t ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ φ(X) tt ♦♥t♦♥ ♦r♠ ért ♥tèr♠♥t ♠♦♠♥t ① ♥trs strtr
ξ(X, t) = q(t)φ(X)
q(t) st ♣r♠ètr r♠♥t s②stè♠ ♦r♠ s ♦♥t♦♥s♥é♠tqs t ♥érté s éqt♦♥s ♦♥ ♣t ①♣r♠r ♠♣s tss t ♣rss♦♥ à ♣r♠ètr ♥s
u(x, t) = q(t)φu(x),
p(x, t) = q(t)φp(x).
s éqt♦♥s réss♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s rés♥t à
divφu = 0
φu = −∇φp
♥tr
φu.n = φ.n
♥ é♠♥♥t φu ♦♥ s r♠è♥ à ♥ ♣r♦è♠ ♣ sr φp
∆φp = 0
s ♦♥t♦♥s ♥tr
−∇φp.n = φ.n
♥ ♣♦s♥t fFS ♣r♦t♦♥ sr φ s ♦rts ①rés ♣r sr ♥tr ♦♥tr♦
fFS =
∫
∂ΩFS
M (−pn) .φdA
♦t ♥ ts♥t ①♣rss♦♥ ♣rss♦♥
fFS = −q[∫
∂ΩFS
Mφpn.φdA
]= −mAq
♥ ♥tr♦t ♥s ♠ss ♦té ♠♥s♦♥♥ mA ♠♦ éqt♦♥ éqr ♠♥s♦♥♥ ♥ ♣rés♥ ♠♥èr s♥t
(1 +mA) q + q = 0
ét♦
♥s tt tès ♥♦s tsr♦♥s ♥ ♣r♦♣rété ♣rtèr ♠ss ♦té é à①♣rss♦♥ é♥r ♥étq ♥ t à ♥st♥t t é♥r ♥étq sért
Ec =
∫
ΩF
1
2M‖u‖2dΩ =
1
2q2∫
ΩF
M‖φu‖2dΩ
r
‖φu‖2 = ‖∇φp‖2 = div (φp∇φp)− φp∆φp
r♥r tr♠ st ♥ t ♦♥ ♣t érr
∫
ΩF
‖φu‖2dΩ =
∫
∂ΩF
φp∇φp. (−n) dA
♥ ts♥t s ♦♥t♦♥s ♥tr strtr t ♥ s♣♣♦s♥t q s trs♥trs s♦♥t s♦t ♠♠♦s (∇φp = 0) s♦t rs (φp = 0) ♦♥ tr♦
∫
ΩF
‖φu‖2dΩ =
∫
∂ΩF
φpφ.ndA
é♥r ♥étq s①♣r♠ ♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♠ss ♦té
Ec =
∫
ΩF
1
2M‖u‖2dΩ =
1
2mAq
2
♠ss ♦témA s♥t ♦♥ ♦♠♠ ♦♥t ♥rt q ♣r♠t ①♣r♠ré♥r ♥étq ♥ ♦♥t♦♥ r q é♥t tss s♦ q ♦stsr♦♥s tt ♦r♠t♦♥ ♠ss ♦té ♥s s té♦rs q ♥♦s é♦♣♣r♦♥s♥s s ♣rts 2.5 t 2.6
t ♥ ♠♦è ssq ♦♣
strtr ♦♣ ♥tr ts ♥♥s ♦♥♥trqs
ét♦ rt③
sr♣t♦♥ é♦♠étrq
rt [] st ♥ s ♣r♠rs à ♣♦sr s ss té♦r s ♠sss♦tés ♦s ♣rés♥tr♦♥s r♣♠♥t s réstts t rt ♦♥tr s②stè♠été st ♦♠♣♦sé ① ②♥rs ♥♥s ♦♥♥trqs sé♣rés ♣r ♥ ♠ ♥♥r ♥ ♥♦t a r②♦♥ ②♥r ♥tr♥ t b r②♦♥ ②♥r ①tr♥
♠♦è st ss ♣♦r s ②♥rs ♠♥s♦♥s ♥s ♥ ♥♦t♥t L ♦♥r sr q s ① ②♥rs s♦♥t ♥ sàs s ②♣♦tèss rt③ s ér♥tss③ ♥ s ♦♥ s♣♣♦s L >> b
♦tt♦♥s
②♥r ♥tr♥ ♥ tss V1 = x1ux ②♥r ①tr♥ ♥ tss V2 = x2ux♥ s♣♣♦s q é♦♠étr ♥ ♥ ♣s stàr q é♣♠♥t rt x2−x1st ♣tt ♣r r♣♣♦rt à st♥ ♥♥r b − a ♥ é♥ ♥ ♣♦t♥t φ(r, θ) ♣♦rr tss
Vr (r, θ) = −∂φ∂r
(r, θ) ; Vθ (r, θ) = −1
r
∂φ
∂θ(r, θ) r ∈ [a, b]
ù Vr st tss r t Vθ tss t♥♥t
s ♥ éqt♦♥ s②stè♠
♥ s♣♣♦s q q st ♥ ♣rt ♥♦♠♣rss s ♣r♦s s ②♥rss♦♥t s♣♣♦sés ♣rt♠♥t ét♥s ♥s s ♦♥t♦♥s ① ♠ts sér♥t
−∂φ∂r
(a, θ) = x1 cos θ
−∂φ∂r
(b, θ) = x2 cos θ
t ♥♦♠♣rssté s①♣r♠
− ∂
∂r
(r∂φ
∂r
)+
1
r
∂2φ
∂θ2= 0
♥ ts♥t ♠ét♦ sé♣rt♦♥ s rs s♦t♦♥ st rré s♦s ♦r♠
φ(r, θ) = f(r) cos θ
♥ ét (2.45) t (2.46)
r2f ′′ + rf ′ − f = 0
♦t♦♥s ♠♦è rt③
s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♠tt♥t étr♠♥r s tsss s♦t♦♥s ttéqt♦♥ ér♥t
Vr =
(B
r2− A
)cos θ
Vθ =
(B
r2+ A
)sin θ
B =b2a2
b2 − a2(x1 − x2)
A =x1a
2 − x2b2
b2 − a2
tss ♥ q ♣♦♥t ét♥t étr♠♥é ♣r ♥ ♥♦♠r rstr♥t ♣r♠ètrs (x1, x2) ♦♥ ♣t tsr s éqt♦♥s r♥ ♣♦r étr♠♥r s éqt♦♥s s②stè♠ ét♥t s♣♣♦sé ♣rt t é♦♠♥t rr♦tt♦♥♥ ♥ ♣♦ssè ♣s é♥r ♣♦t♥t ♥ ♦rs ss♣ts s♠♥t ♥ é♥r ♥étq ♦r ♣♣qé ♣r ♥ rét♦♥ à ♥ rt♦♥ ♣r♠ètr xi st ♦♥♥é♣r
Fi = − d
dt
∂T
∂xi
ù st é♥r ♥étq é♥ ♣♦r ♥ ♦♥r ②♥r L ♣r
T =1
2ρL
∫ b
a
∫ 2π
0
r(V 2r + V 2
θ )drdθ
♥ ♥ ét ①♣rss♦♥ ♦rt ①ré ♣r ♥ ré♣♦♥s ♠♦♠♥t ②♥r ♥térr x1 ♦ ①térr x2
F1 = −MH x1 + (M1 +MH)x2
F2 = (M1 +MH)x1 − (M1 +M2 +MH)x2
ù F1 t F2 s♦♥t rs♣t♠♥t s ♦rts ①rés ♣r sr ②♥r ♥térrt ①térr s ♠sss ♦tés ♥tr♦ts s♦♥t é♥s ♣r M1 = πa2Lρ ♠ss é♣é ♣r ②♥r ♥térr M2 = πb2Lρ ♠ss ♦♥t♥ ♣r ②♥r ①térr MH =M1
b2+a2
b2−a2 ♠ss ♦♣ ②r♦②♥♠q
s ♠sss M1 t M2 ♦rrs♣♦♥♥t à s ♦♠s rs♣t♠♥t é♣é t♦♥t♥ ♥s s ②♥rs s ♦♥t ♥ ♥♥ sr rs ②♥rs rs♣ts s♠rsà ♣♦ssé r♠è ♣♦♥t sr été ♥s ♣rr♣ §2.4
♠ss ②r♦②♥♠q MH ♦rrs♣♦♥ à ♠ss ♦♣♥t ré♠♥t s ♠♦♠♥ts ♥tr s ① ②♥rs ♠♥èr ♥rt ♥ s é♣♠♥ts♥t♠♥t ♥é♣♥♥ts
♥♠♥t réér♥t t ♣♦ssé r♠è
é♥érsé
♦s ♦♥s ♥s s ♣rts ♣réé♥ts q ♦♣ strtr t②♣♠ss ♦té ♥tr ① strtrs ♣t s①♣r♠r s♦s ♦r♠ ♥ ♠tr ♠ss ♦♣ strtr Pr♥♦♥s ①♠♣ ① strtrs t ♥♣t ♥s étr♠♥r s ♦rts ♣♣qés ♣r ♥trt♦♥ strtr sr ♥s strtrs ♠♠rés
(F IFS→A
F IFS→B
)=
(MA MAB
MABT MB
).
(UA
UB
)
♦s rr♦♥s ♥s st ♣tr q s ♠trs MA t MB t MAB sr♥t à
r s ♠trs M1A t M1
B q s♦♥t s ♠trs ♠sss é♣és tsés
♥s ♣♦ssé r♠è é♥érsé s s♦♥t ♦♥s ♦rsq ré♣rtt♦♥ ♠ss strtr st ♥♦r♠ t q s ①s ♣r♥♣① strtrs♦♥t ♥és ① r♣èr
♥ ♦♠♣r♥r ♣r♥♣ ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♥♦s ♠tr♦♥s♥♦tr ét à rt♦♥ ex s②stè♠ ♥ ♦t♥t ♦♥ ♥ s②stè♠ s♠♣é s ♥sx ♥ s♦♥t ♣s tsés ♣♦r ♥ s♦s rté
(FIFS→A
FIFS→B
)=
(MA MAB
MAB MB
).
(UA
UB
)
qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t é♥
Pç♦♥s♥♦s ♥s ♥ réér♥t é♥ s②stè♠ st ♦♠♣♦sé ① strtrs t s♦♠ss à rt♥s ♦rs ①térrs F T
ext = (Fext→A, Fext→B) ♥ ♣s ♦♣strtr F IFS ♥s s é♥ér s strtrs ♥ s♦♥t ♣s ♥é♣♥♥ts t ♦♥♣t érr éqt♦♥ é♥ér éqr ♥ réér♥t é♥ ♣♦r r♣♣ ♦♥ s ♠t à ét ♦♠♣♦rt♠♥t s♥t rt♦♥ ex
M.U + C.U +K.U = Fext + FIFS
♥ ét♥t ①♣rss♦♥ ♦♣ strtr tt éqt♦♥ s réér
M.U + C.U +K.U = Fext +
(MA MAB
MAB MB
).U
qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥
♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♠♥t♥♥t ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥ ♥ s♣♣♦s q ♥ é♣♠♥t Us(t) ♣r r♣♣♦rt à ♥ réér♥t é♥ ♥ é♥t Ug tré♣♠♥t s ① strtrs ♥s réér♥t é♥ t Ung tr é♣♠♥ts ① strtrs ♥s réér♥t ♥♦♥é♥ s s♦♥t rés ♣r
Ung = Ug +
(Us(t)Us(t)
)
♥ ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t éqt♦♥ éqr ♥s ♥ réér♥t é♥(2.59) ♥ ♣t ♥s érr éqt♦♥ éqr ♥s ♥ réér♥t q♦♥q
M.
[Ung −
(Us(t)
Us(t)
)]+ C.
[˙Ung −
(Us(t)
Us(t)
)]+K.
[Ung −
(Us(t)Us(t)
)]=
Fext +
(MA MAB
MAB MB
).
[Ung −
(Us(t)
Us(t)
)]
♥ ♦t ♥s ♣♣rîtr ♥♦① tr♠s
M.
(Us(t)
Us(t)
) ♦rrs♣♦♥ à éért♦♥ ♥trî♥♠♥t ssq st t
♠♥t tsé ♣♦r ♠♦ésr s r♠♥ts ss♠qs
C.
(Us(t)
Us(t)
) ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♦r ♠♦rtss♠♥t ♥trî♥♠♥t st ♥t
q♠♥t ♥ s ♠tr ♠♦rtss♠♥t st ♥q♠♥t ♦t♥ à ♠♦rtssrs rés ♦♥t s ①tré♠tés sss♥t ♠ê♠ tss é♣♠♥t réér♥t♥♦♥é♥ t ♦♥ ♥ ré ♥ ♦rt s♣♣é♠♥tr
K.
(Us(t)Us(t)
) ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♦r rr ♥trî♥♠♥t st ♥tq
♠♥t ♥ s ♠tr rr st ♥q♠♥t ♦t♥ à rss♦rts rés♦♥t s ①tré♠tés sss♥t ♠ê♠ é♣♠♥t réér♥t ♥♦♥é♥ t ♦♥♥ ré ♥ ♦rt s♣♣é♠♥tr
(MA MAB
MAB MB
).
(Us(t)
Us(t)
)=
(M1
AUs(t)
M1BUs(t)
) ♦rrs♣♦♥ à ♣♦ssé r♠è
st ♣♣qé sr q strtr ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ss é♣é M1A =
MA −MAB ♣♦r strtr t M1B = MB −MAB ♣♦r strtr ♥ ts
t♠♥t ①♣♦s♥t 1 ♣♦r é♥r tt ♠ss é♣é
♥ ♦♥sér♥t ♥ strtr s♠♣ ♦♠♣♦sé rrs t ♠♦rtss♠♥ts rés♦♥ ♣t érr éqt♦♥ éqr ♥s ♥ réér♥t q♦♥q
M.Ung + C. ˙Ung +K.Ung = Fext −[M −
(M1
A 00 M1
B
)].Us +
(MA MAB
MAB MB
).Ung
tt é♥t♦♥ ♣♦ssé r♠è été té ♥ ♦♥sér♥t ♥ réér♥t♥♦♥é♥ q♦♥q ②♥t ♥ ♥q rt♦♥ é♣♠♥t tt rt♦♥ ét♥t
q♦♥q ♦♥ ♣t é♥r ♥ ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♦rrs♣♦♥♥t ① tr♦srt♦♥s é♣♠♥ts ♣♦sss ♥ tr♥st♦♥
é♥érst♦♥ à ♠♥s♦♥s
♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♥s tt tès ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥ strtr♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q ♦s s ②♣♦tèss ♦♥ s♣♣♦s q ♥tr rté rr st ♥tr ♥ réér♥t é♥ réér♥t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t ♣r ①♠♣ ♣♥r sr q r♣♦s ♥♦tr strtr ♦♥ ♠r sr q♥t s♥rr ♥♦tr ♣ ♣♦♥t ♦ ♥ ♦r♣s ♣t♥t sr q ♥♦s ♥②s♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♥ ♦r♥ st s♣♣♦sé ♥♦♥é♥
s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ réér♥t ♦ ♣r r♣♣♦rt réér♥t é♥s♦♥t ♥♦tés
Ug(t) =
Ugx(t)Ugy(t)Ugz(t)
♥ s♣♣♦s q ♥② q s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ ♥tr s ① réér♥ts♦s ♣rés♥tr♦♥s r♣♠♥t ♥ ①t♥s♦♥ ♠♦è ① s ♦ù s ♠♥s♦♥s ssrs s♣♣♦rt s strtrs ♦♥sérés s♦♥t ♥♦♥ ♥és t ♥trî♥♥t sé♣♠♥ts ér♥s ♥tr s♣♣♦rts ① ♣♦rr♦♥t êtr ♠♦ésés ♣r ♥ r♦tt♦♥♥trî♥t♠♥t s♣♣é♠♥tr q ♦♠♣é① très s♥s♠♥t s éqt♦♥s éqr♥ réér♥t ♥♦♥é♥
♥ r à étr♠♥r éqt♦♥ éqr ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥s♦♠s r♠♥t ss♠q é♥ ♣réé♠♠♥t ♥ ts♥t ♥ ♠ét♦ s♠rà ♣rés♥té ♥s s ♥rt♦♥♥ ♦♥ ①♣r♠ éqr ♥s réér♥ts♦ é♥ t ♦♥ tr♥s♣♦s s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és rs réér♥t ♦
♥ tsr s ♥♦tt♦♥s s♥ts U = (UAxUAyUAzUBxUByUBz)
T st tr rr♦♣♥t s é♣♠♥ts tr♠♥s♦♥♥s s ① strtrs ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥
M =
(MmA 0
0 MmB
) st ♠tr ♠ss s②stè♠
C st ♠tr ♠♦rtss♠♥t s②stè♠ K st ♠tr rr s②stè♠
MIFS =
(MA MAB
MABT MB
) st ♠tr ♠ss ♦♣ strtr
MA =
MA
xx MAxy MA
xz
MAyx MA
yy MAyz
MAzx MA
zy MAzz
MB =
MB
xx MBxy MB
xz
MByx MB
yy MByz
MBzx MB
zy MBzz
tMAB =
MAB
xx MABxy MAB
xz
MAByx MAB
yy MAByz
MABzx MAB
zy MABzz
Fext =(F ext→Ax F ext→A
y F ext→Az F ext→B
x F ext→By F ext→B
z
)T st tr s r♠♥ts
①térrs trs q ♦♣ strtr t r♠♥t ss♠q Ug = (UgxUgyUgzUgxUgyUgz)
T st ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦tt♦♥ é♣♠♥t s♦
s ♥♦tt♦♥s t ♥ ts♥t s ②♣♦tèss s♠rs à s ♣rr♣♣réé♥t ♦♥ st ♣ érr éqt♦♥ éqr ♥ réér♥t ♥♦♥é♥
(M +MIFS
).U + C.U +K.U = Fext −
(M −M1
).Ug
♦rsq ♠ss ♦♣ strtr r ♦rs t♠♣s ♥ ♠tr♠♦rtss♠♥t é à ♥trt♦♥ strtr ♣♣rît ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♠ét♦ ♦t♥t♦♥ tt ♠tr ♥s ♣tr ét♥t tst♦♥ s ♠sss♦tés ♥s ét ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♥♦♥♥ér ♥ strtr ♠♠ré ♥ ♠♦ ♣s s ♦♥s♦♥s q ♣♦rr♦♥t êtr ♣♣♦rtés ♥s ♣tr
♥ ♥tr♦t ♥ ♠tr ♠ss é♣é M1 ♥tr♥♥t ♥s ♣♦ssé
r♠è é♥érsé s♦t♥t à ♣rtr ♠tr ♠ss ♦♣ strtr
M1 =
(MA
1 0
0 MB1
)
s ♠trs MA1 t MB
1 s♦♥t é♥s ♣r ♥ ts♥t s é♥t♦♥s MIFS
MA1 =MA +MAB,
MB1 =MB +MAB
T ,
♠rqs ♥s s ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs s♠♣s ♠tr M1 st ♦♥
♦rsq ré♣rtt♦♥ ♠ss strtr st ♥♦r♠ ♠tr M1 st ♣r♦♣♦r
t♦♥♥ à ♠tr ♠ss strtr M ♥ ♦t ♥s ♣♣rîtr ♥ ♠ssrét strtr ♣♣qé r♠♥t ss♠q
♦rsq ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥st ♣s ♥♦r♠ ♥tr ♣♦ssé é♣é♥st ♣s sté ♠ê♠ ♥r♦t q ♥tr rté strtr ♥trî♥rs r♦tt♦♥s t ♠tr M1 ♥st ♣s ♦t♦r♠♥t ♦♥
♥s ♥♦tr ♠♦ést♦♥ ♥♦s ♦♥sérr♦♥s q s r♦tt♦♥s ♦t♥s ♥s s ♦ù ♥tr ♠ss é♣é t ♥tr rté strtr ♥ s♦♥t ♣s♦♥♦♥s s♦♥t ♥és Pr ♦♥tr ♥♦s ♥♠♣♦s♦♥s ♣s ♦♥t♦♥ sr ♦r♠ ♠tr M1 ♣♦rr rs ♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♥séré
♣♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér strtr ♠♠ré
é♥érst♦♥ ♣♦r ♥ s②stè♠ à strtrs
♦s ♦♥s ♥s ♣rr♣ §2.4.3 ♦♠♠♥t s♣♣q ♣♦ssé r♠èé♥érsé sr ♥ s②stè♠ à s ♦♥sér♦♥s ♠♥t♥♥t ♥ s②stè♠ ♦♠♣è① à s é♠r ♣réé♥t st ♣♣ ♣♦r étr♠♥r s éqt♦♥s éqrs♠♣és ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥ q ♦rrs♣♦♥ s ♥ strtr s♦♠sà ♥ sés♠
♦s ts♦♥s s ♥♦tt♦♥s U = (U1xU1yU1zU2xU2yU2z . . . UNxUNyUNz)
T st tr ♠♥s♦♥ r♥s♥ts é♣♠♥ts tr♠♥s♦♥♥s s strtrs ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥
M =
Mm1 0 . . . 0
0 Mm2 0 0
0 0 0
0 . . . 0 MmN
st ♠tr ♠ss s②stè♠ ♠♥s♦♥
3N × 3N C st ♠tr ♠♦rtss♠♥t s②stè♠ ♠♥s♦♥ 3N × 3N K st ♠tr rr s②stè♠ ♠♥s♦♥ 3N × 3N
MIFS =
M IFS11 M IFS
12 . . . M IFS1N
M IFS12
TM IFS
22 . . . M IFS2N
M IFS1N
TM IFS
2NT
. . . M IFSNN
st ♠tr ♠ss ♦♣
strtr M IFSij =
M ij
xx M ijxy M ij
xz
M ijyx M ij
yy M ijyz
M ijzx M ij
zy M ijzz
Fext =(F ext→1x F ext→1
y F ext→1z F ext→2
x F ext→2y F ext→2
z . . . F ext→Nx F ext→N
y F ext→Nz
)T st
tr s r♠♥ts ①térrs trs q ♦♣ strtr t r♠♥t ss♠q ♠♥s♦♥ 3N
Ug = (UgxUgyUgzUgxUgyUgz . . . UgxUgyUgz)T st ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦tt♦♥ é♣
♠♥t s♦ ♠♥s♦♥ 3N
s ♥♦tt♦♥s t ♥ ts♥t s ②♣♦tèss s♠rs à s ♣rr♣♣réé♥t ♦♥ st ♣ érr éqt♦♥ éqr ♥ réér♥t ♥♦♥é♥
(M +MIFS
).U + C.U +K.U = Fext −
(M −M1
).Ug
P♦r s s②stè♠s à s ♦rsq ♠ss ♦♣ strtr r ♦rs t♠♣s ♥ ♠tr ♠♦rtss♠♥t é à ♥trt♦♥ strtr ♣♣rît
♥ ♥tr♦t ♥ ♠tr ♠ss é♣é M1 ♠♥s♦♥ × ♥tr
♥♥t ♥s ♣♦ssé r♠è é♥érsé s♦t♥t à ♣rtr ♠tr ♠ss ♦♣ strtr
M1 =
M11 0 . . . 0
0 M21 0
0 . . . 0 MN1
s ♠trs(M i
1
)i∈[1,N ]
s♦♥t é♥s ♣r ♥ ts♥t s é♥t♦♥s MIFS
M i1 =
N∑
j=1
Mij,
s r♠rqs ts ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t s♦♥t t♦♦rs s
é♥érst♦♥ s②stè♠ ♦♥t♥
♥s ét ②♥♠q s②stè♠ ♦♣é strtr ♥♦s tsr♦♥s s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥s ♣♦r érr s é♣♠♥ts strtr st ♦♥ ♥éssr ♥tr♦r ♥ ①t♥s♦♥ é♥t♦♥ ♣♦ssé r♠è é♥érsé à ♥ ♠♦è♦♥t♥
tt é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♥ésst tst♦♥ ♠trs ♦♣ strtr♦♥t♥ s ♣♥t êtr étr♠♥és ♥②tq♠♥t ♦ à ♣rtr ♥ ♣r♦♦♥♠♥t ♦♥t♥ ♦♥t♦♥s srèts ♦s tsr♦♥s ♥q♠♥t s réstts tté♠r s♦s ♦r♠ ♥ ♠tr ♠ss ♦♣ strtr é♣♥♥t ♣♦st♦♥ x MIFS(x)
♥ tsr s ♥♦tt♦♥s s♥ts U(x) = (Ux(x)Uy(x)Uz(x))
T st tr r♥ç♥t s ♦♥t♦♥s é♣♠♥tstr♠♥s♦♥♥s ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥
M(x) =
Mxx(x) Mxy(x) Mxz(x)
Myx(x) Myy(x) Myz(x)
Mzx(x) Mzy(x) Mzz(x)
st é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♠tr
♠ss s②stè♠
C(x) =
Cxx(x) Cxy(x) Cxz(x)
Cyx(x) Cyy(x) Cyz(x)
Czx(x) Czy(x) Czz(x)
st é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♠tr ♠♦r
tss♠♥t s②stè♠
K(x) =
Kxx(x) Kxy(x) Kxz(x)
Kyx(x) Kyy(x) Kyz(x)
Kzx(x) Kzy(x) Kzz(x)
st é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♠tr rr
s②stè♠
MIFS(x) =
MH
xx(x) MHxy(x) MH
xz(x)MH
yx(x) MHyy(x) MH
yz(x)MH
zx(x) MHzy(x) MH
zz(x)
Fext(x) =(F extx (x)F ext
y (x)F extz (x)
)T st tr s ♦♥t♦♥s r♠♥ts ①té
rrs trs q ♦♣ strtr t r♠♥t ss♠q Ug(x) = (Ugx(x)Ugy(x)Ugz(x))
T st ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦tt♦♥ é♣♠♥t s♦ s ②♣♦tèss rt♥s t ♥♦tr q ♥ s ♦♥t♦♥s Ugx Ugy tUgz ♥ é♣♥♥t ♣s ♣♦st♦♥ t s♦♥t ♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦♥st♥ts s ♦♥t♦♥s♣♥t é♦r t♠♣s
s ♥♦tt♦♥s t ♥ ts♥t s ②♣♦tèss s♠rs à s ♣rr♣♣réé♥t ♦♥ st ♣ érr éqt♦♥ éqr ♥ réér♥t ♥♦♥é♥
[M(x) +MIFS(x)
].U(x) + C(x).U(x) +K(x).U(x) = Fext(x)−
[M(x)−M1(x)
].Ug(x)
♥s ♥ ♠♦ést♦♥ ♦♥t♥ ♦rsq ♠ss ♦♣ strtr r ♦rs t♠♣s ♥ ♠tr ♦♥t♦♥s ♠♦rtss♠♥t é à ♥trt♦♥ strtr ♣♣rît
♥ ♥tr♦t ♥ ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss é♣é M1(x) ♠♥s♦♥
3 × 3 ♥tr♥♥t ♥s ♣♦ssé r♠è é♥érsé s♦t♥t à ♣rtr ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss ♦♣ strtr
M1(x) =
M1xx(x) M1
xy(x) M1xz(x)
M1yx(x) M1
yy(x) M1yz(x)
M1zx(x) M1
zy(x) M1zz(x)
♠rqs s ♦♥t♦♥s ♠tr ♥♦♥t ♣s ♣r♦♣rétés ♣rtèrs à st ♥ s srr t q s é♣♠♥ts s♦ s♦♥t ♣r♦tés ♥♦r♠é♠♥t sr strtr ♣♦r s♠♣r s ♦♠♣♦s♥ts ♣r♦tés sr ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs st ♠♣♦rt♥t ♦r q s ♦♥t♦♥s ♠sss ♦♣ strtr ♣♥t ♥♣s sr s ré♣rtt♦♥s ♠ss strtr ♥ ♣t ♥s ♦t♥r s réstts♦♥tr♥tts ♥s rt♥s s Pr ①♠♣ s ♠tr ♠sss ♦♣ M1(x)
st ♥ts②♠étrq ♣r r♣♣♦rt ♥tr rté strtr s ♠♦s ♣r♦♣rs♥ts②♠étrqs strtr sr♦♥t s♦tés râ à ♣r♦t♦♥ ♠tr ♠ss ♦♣ strtr sr s ♠♦s ♠ê♠ ttr q ① s②♠étrqsq sr♦♥t s♦tés ♣r ♠tr ♠ss strtr
r♥r réstt st ♣rtèr♠♥t ♥térss♥t ♥s s ♦ù s♣ é♥t♦♥ s ♣♦st♦♥s ♥ts st s♦♥t♥ q ♦rrs♣♦♥ s ♣srs strtrs é♦r♠s ♥térss♥t ♥tr s st û t q s ♠♦s ♣r♦♣rs sstrtrs ♥é♣♥♥ts s♦♥t é♥s sr q strtr ♥ t ♠tr ♦♣ strtr st s éé♠♥t ré♥t ♥ ♥ ♥tr s strtrs ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss ♦♣ strtr MIFS(x) ♣r♠t étr♠♥r
s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♣♥t ♦♠♣♦rt♠♥t q strtr ♥ ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss é♣é M1(x) ♣r♠t ♣r♦tr s♦tt♦♥ ss♠q
sr s ♥♦① ♠♦s ♦① ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♥ s♦tt♦♥ ♥s♠ t ♥♦♥ s♦♠♠ q s♦tt♦♥ sr s ♠♦s ♥s
❯♥ tr ♠♦è ♣♦ss ♥s s ♣srs strtrs ♦♥t♥s é♦r♠s ♥térss♥t s ♥s sr s trs ♦♥sst à ♦♣r ♠♦è à s ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t ♠♦ést♦♥ ♦♥t♥ P♦r ♦♥ r♠♣ ♥ s♦♠♣♦s♥ts s ♠trs ♣r s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥s s s ♦rrs♣♦♥♥t à strtrs ♥t♠♥t ♥é♣♥♥ts ♦♣és ♥tr s ♣r s ♠sss ♦♣
strtr r♥r ♠♦è sr été ♥s ♣rt §2.6 ♥ ♣r♦♣♦sr ♥♦t♠♠♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣♦r s ♦♣s s♥ ♥ qr strtrsé♦r♠s é♥és st♦♥ rré
♦t♦♥s ♥②tqs ♦♣ ♥tr ① ♣
réé♣♣ès
♥ s♥térss ① s♦t♦♥s ♥②tqs ♦♣ strtr ♥tr ①♣réé♣s rt♥s ♥ ét♥t ♦♥t♥ ♥s ①è♠ st ♥ ♠♦ès♠♣é ♥ ♣s♥ ♦♥séré ♦♠♠ ① ♦♥t♥♥t ♥ strtr ♠♦ strtr♠♦ st s♣♣♦sé ♦r s rt♦♥s ♣r♥♣s s st♦♥ ♥és s st♦♥ ♣s♥ s é♥ér ♦♥séré st r♣rés♥té ♥s sé♠ ss♦s
r ♦♥rt♦♥ é♥ér été
tt rt
s rts réér♥ sr st ♦♥t été réés ♣r t t ♠ ♥s ❬❪ t❬❪ s trt♥t s é♦♠♥ts t t♦r ♥ ♣réé♣♣é rt♥ ♠♠ré♥ ♦♥sér♥t ér♥ts ♣♦st♦♥s ♥ts ♠♦è ♣r♠t ♣♣r♦r s♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♥s s s ♦rt ♦♥♥♠♥t s ♦♥sér♥t ♥ é♦♠♥t ♦♥st♥t ♥s é♣ssr s ♠s t r♥t ♥ér♠♥t ♦♥ s ♣r♦s strtr ♠♦ tt rt♦♥ ♥ér st é♣♠♥t strtr q ♣r ♦♥srt♦♥ ♠ss ♥trî♥ ♥ rt♦♥
♥ér é♦♠♥t ♠♦②♥ ♥ é♦♠♥t rt rtrr ♥♦r♠ sr ♥s♠ strtr q ss
t rr ♥ér♠♥t tss é♦♠♥t ♠♦②♥♥ ♥s é♣ssr ♥ ♠ réstt st ♦t♥ à éqt♦♥ ♦♥srt♦♥ ♠ss ♥ ♣rt ♠ss ♦♥st♥t sr ♥s♠ s ♠s
♥s s ♥ é♦♠♥t ♣♥ t♦r ♥ strtr à st♦♥ rré s ♦t♥♥♥ts ①♣rss♦♥s ♥②tqs s ♠sss ♦♣
Mxx =ρc3L
2h
[1
3 (1− ǫ21)+
1
1− ǫ22
]
Myy =ρc3L
2h
[1
3 (1− ǫ22)+
1
1− ǫ21
]
s rs tsés s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 2.2 ♦♠♣été s rt♦♥s (2.75)t t q h r♣rés♥t é♣ssr ♠♦②♥♥ s ♠s ♥ r♠rq q ♠♦è tsé t ♣♣rîtr ♥q♠♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♦♥s ♠tr ♠sss ♦♣ strtr t q s s♦t♦♥s ♥②tqs ♥ s♦♥t ♦♥♥és q♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ rrés ♦♥♥trqs ♦ ♥♦♥
r é♥t♦♥s s rs s s♦t♦♥s ♣rés♥tés ♥s ❬❪
h1 = h (1− ǫ1) , h2 = h (1− ǫ2) , h3 = h (1 + ǫ1) , h4 = h (1 + ǫ2) .
♦s ♦♠♣rr♦♥s ♦♥ s ♠trs ♠ss ♦♣ ♦t♥s ♥s ♠♦è♥②tq t t ♠ s ♦t♥s ♣r s ♠♦ès é♦♣♣és ♥s tt tèst s ♦t♥s ♣r éé♠♥ts♥s ♣♦r s ♦♥rt♦♥s strtr à srré ♦♥♥trqs t ♥♦♥ ♦♥♥trqs
t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♦♥♥trqs
♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ s éà trté ♠♥èr ♣♣r♦é♥s ttértr ♣♣r♦é s ♠sss ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès st♦♥s rt♥s ♦♥♥trqs
♦t♦♥s ♥②tqs ♥rs
♥s tt ♣rt ♥♦s étr♦♥s s s♠♣é trté ♣r ❬❪ ❬❪ ♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s♥ ♠ét♦ ♣s ♦♠♣èt ♥ ♦♥sér♥t s tsss rs♣t♥t s ♦♥t♦♥s♥♦♠♣rssté à ♣rtr ♥ s ②♣♦tès s♠♣tr sr ré♣rtt♦♥ tss ♠ s♥t é♣♠♥t ♥♦♠♠é ♦♠♥ s tsss♥s s trs rt♦♥s t s trs ♠s s♦♥t éts tt ②♣♦tès t éqt♦♥ ♥♦♠♣rssté
♥ ♠t ♥♦tr ét ① é♦♠♥ts s ♣♥ stàr q♦♥ s♣♣♦s q tss rt st ♥ Uz(x) = 0 st ♣♦ss tsr ♥st ♥ ♦♥t♦rrtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t é♣♣♠♥t ♣r sss ♥ ♣♣q♥t ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♥s rt ❬❪ ♥ s♥ ♦♥t ♦rrtr ♦♥ srst♠r r ♠ss ♦♣ strtr
❯♥ ♦s s ①♣rss♦♥s ♥②tqs s tsss étr♠♥és ♥ t♦t ♣♦♥t ♥♦s ♥ ér♦♥s r s ♠sss ♦♣s strtr ♥tr strtr ♠♦ t ♣s♥ t♥t ♦♥♥é q ♥♦s ét♦♥s ♥ tr♥ ♥♦s ♦t♥r♦♥s♥ ♠ss ♥éq q r ♠t♣r ♣r tr strtr ♣♦r ♦t♥r ♥♠ss ♦♣ ♥♥ ♥♦s s♠r♦♥s s é♦♠étrs éq♥ts ♣r éé♠♥ts ♥st ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts à ♥♦tr ♠♦è ♥r t à ♣rés♥té ♣r t t♠ ért ♥s ♣rr♣ 2.5.1
sr♣t♦♥ ♠♦è été
♦♥rt♦♥ été ♦♥sst ♥ rt♥s ♦♥♥trqs sé♣rés ♣r ♥ ♠ ♦s s♣♣♦s♦♥s q ♠ ♠ê♠ é♣ssr ♣rt♦t s étést r♣rés♥té ♥s r 2.3 ♥ s ♣ ♥s s ♥ ♦♣ ♣r tr♥sstàr q♦♥ ♦♥sèr ♦♥♥é rt♠♥t tss s♥t z st ♦♥♥ t s ér♥ts rs sr♦♥t ♥é♣♥♥ts z ♦s ♥♦s ♥térssr♦♥s ♦♥à ♥ râtr tr ♥tr é♦♠étr s②stè♠ st ♥tèr♠♥t é♥ ♣r ♦♥♥é 2l rr râtr 2L ♦♥r râtr t a é♣ssr ♠ ♦s ♦♥sér♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s q râtr st ♥♠é ♥♠♦♠♥t tr♥st♦♥ à ♥ tss V0ey ♦t st ♠♥t♥♥t ér s♠sss ②r♦②♥♠qs ♣♦r ♥ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ râtr ♥s ♣♥(x, y)
Pr♦è♠ ♥té ♥s é♦♠étr s②stè♠
é♦♠étr rt♥ ♣rés♥t s s♦♥t♥tés ♦rts ♥s é♥t♦♥ ♠♣r♠été s srs strtrs ♠♦ t ♣s♥ s s♦♥t♥tés s♦♥t stés① ♥s r♦ts ♥ s strtrs s étr♠♥♥t t♦t♠♥t tss é♦♠♥t à s ♣♦♥ts ♥ sté ♥ (l, L) strtr ♠♦
U(l, L) = V0ey
♥ sté ♥ (l + a, L+ a) ♣s♥
r ♦♥rt♦♥ ♥tré ♠ ♠ê♠ é♣ssr
U(l + a, L+ a) = 0
❯♥ rés♦t♦♥ ♦♠♣èt s②stè♠ ♠♦♥tr q♦♥ ♥ ♣t ♣s tr♦r ♠♣ tss s♠♣ ré♣♦♥♥t à ♦s à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts t ① ♦♥t♦♥s ♥♦♠♣rssté étt rs ♥ s ♣r♥♣① ♦sts r♥♦♥trés ♥s tt ét st ♦♥ ♥éssr tr♦r ♥ é♦♠étr ♣♣r♦é ré♣♦♥♥t à ♦ ①♥ ♦r s ♦♥t♦♥s ♠♣r♠étés s strtrs ♦♥t♥s ♠♥t♥r ♥ é♥r ♥étq t♦t s②stè♠ s♠♣é ♣r♦ strtr ré
é♦♠étr ♣♣r♦é ♣r♠tt♥t ♥ rés♦t♦♥ ♥②tq
é♦♠étr ré ♣rés♥t rt♥s s♦♥t♥tés s à ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♥②tq♠♥t s s♦♥t♥tés ♣♦rt♥t sr s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s s♦♥t stés ♥ s ♥s r♦ts t ♦♠♣①♥t trés ♦rt♠♥t s ♦♥t♦♥s ♦r♠ ♠sss ♥s ♥ s♦ s♠♣t♦♥ ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♦♥ ♥ ♠♦ést♦♥ ♣s♥ trés ♣r♦ é♦qé ♣réé♠♠♥t ♠s ♥ s♥t ♣s ♥tr♥r s♦♥t♥tés
♥s tt ♦♥rt♦♥ s♠♣é s ♥s r♦ts s♦♥t r♠♣és ♣r s rs r ♥s ♣♦r ♥ ♦♥ ♣s♥ s ♥s r♦ts ♥térr t ①térr s♦♥t r♠♣és ♣r ① rs ♦♥♥trqs r ♥térr ②♥t ♥ r②♦♥ ǫ << a t r ①térr ♥ r②♦♥ a+ ǫ ≈ a tt ♠♦ést♦♥ st r♣rés♥té ♥s r 2.4
Pr rs é♦♠étr s②stè♠ t s r♠♥ts ét♥t ♦rt♠♥t s②♠♠étrqs♥♦s ♥ ♦♥sérr♦♥s q♥ qrt ♠♦è t ♥♦s ér♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♦r ♠♦è ♦♠♣t ♣r s s②♠♠étrs ♣résés ♥s ♣rr♣ s♥t
r ♦♥rt♦♥ ♥tré ♠♦é
s ♥ éqt♦♥ s②stè♠
♥ ♣♦♦r ♦t♥r ♥ s♦t♦♥ ♥②tq ♣♣r♦é ♥♦s t ér tss♥ t♦t ♣♦♥t ♦s é♦♣♦♥s ♦♥ s②stè♠ ♥ ♣rts s♥t r 2.5q ♣rt ♣♦ssè s♦♥ ♣r♦♣r s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és (xi, yi) é♥ sr sé♠ U i
st tss s ♣rts ♥s ♣rt i s tsss s♦♥t é♥s ♣r s éqt♦♥séqr t ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♦♣rs à q ♦♠♥ ♠s s ♦♥t ssérr s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥té ♥tr q ♦♠♥
♦♠♥
♥♦♠♣rssté ∂Ux
1
∂x1+∂Uy
1
∂y1= 0
♦♥t♦♥ ① ♠ts
Uy1 (x1, 0) = V0, Uy
1 (x1, a) = 0
②♠♠étr ♣r r♣♣♦rt ♣♥ x1 = 0
Ux1 (x1, y1) = −Ux
1 (−x1, y1)Uy1 (x1, y1) = Uy
1 (−x1, y1)
♦♠♥
♥♦♠♣rssté
∂(r2Ur2 )
∂r2+∂U θ
2
∂θ2= 0
r éts s ♦♦r♦♥♥és q ♦♠♥
♦♥t♦♥ ① ♠ts
U r2 (ǫ, θ2) = V0 cos θ2, U r
2 (a, θ2) = 0
♦♠♥
♥♦♠♣rssté ∂Ux
3
∂x3+∂Uy
3
∂y3= 0
♦♥t♦♥ ① ♠ts
Ux3 (0, y3) = 0, Ux
3 (−a, y3) = 0
♥t②♠♠étr ♣r r♣♣♦rt ♣♥ y3 = 0
Ux3 (x3, y3) = −Ux
3 (x3,−y3)Uy3 (x3, y3) = Uy
3 (x3,−y3)
qt♦♥s ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t
U r2 (r2, 0) = Uy
1 (−l, r2)U θ2 (r2, 0) = −Ux
1 (−l, r2)
qt♦♥s ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t
U r2
(r2,
π2
)= −Ux
3 (−r2, L)U θ2
(r2,
π2
)= Uy
3 (−r2, L)
♣♣r♦①♠t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦r♠ s tsss
♥①st ♣s s♦t♦♥s s♠♣s ♣r♦è♠ é♥ ♣r s ① éqt♦♥s (2.78−2.87) ♦s ♦♥s ♦♥ ♦♥sérr s ①♣rss♦♥s s♠♣és s ♠♣s tss ♥sq ♦♠♥ ♥s ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ s♦s♥s♠ ♥s♠ s ♠♣s tss ♠sss s♦t♦♥ ①t st ♠♣ tss rs♣t♥t t♦ts séqt♦♥s éqr t ♦♥t♦♥s t ♠♥♠s♥t é♥r ♥étq s♦t♦♥♦t♥ sr ♥ s♦s♥s♠ s ♠♣s tss ♠sss srst♠r é♥r♥étq t ♦♥♥r ♦♥ ♥ ♦r♥ s♣érr s ♠sss ②r♦②♥♠qs
s ♠♣s tss s♠♣és s♦♥t
Uy1 (x1, y1) = α1(x1) + β1(x1)y1,
U r2 (r2, θ2) = α2(a− r2) cos θ2,
Ux3 (x3, y3) = α3y3
[1−
(y3L
)2]x3 (x3 + a).
ù α1, β1 s♦♥t s ♦♥t♦♥s ♥étr♠♥és é♣♥♥t ♥q♠♥t x1 α2, α3 s♦♥ts ♦♥st♥ts ♥étr♠♥és s ②♣♦tèss rs♣t♥t s ♦♥t♦♥s s②♠♠étr t♥ts②♠♠étr ♣r♦è♠ ♥ ②♣♦tès ♥st t sr s trs ♠♣s tss ① sr♦♥t éts s ér♥ts éqt♦♥s t ♦♥t♦♥s ① ♠ts
és♦t♦♥ ♣r♦è♠
♥s ♦♠♥
s ♦♥t♦♥s ① ♠ts é♥s ♥ (2.79) ♣r♠tt♥t étr♠♥r
α1(x1) = V0, β1(x1) = −V0a
♥ ♥t♥t réstt ♥s éqt♦♥ éqr t ♥ ts♥t s ♦♥t♦♥s ss②♠♠étrs ♣r r♣♣♦rt ♣♥ x1 = 0 ♦♥ étr♠♥
Ux1 (x1, y1) =
V0ax1
tss ♥s ♦♠♥ st ♦♥ ♥tèr♠♥t étr♠♥é t t
Ux1 (x1, y1) =
V0
ax1
Uy1 (x1, y1) =
V0
a(a− y1)
♥s ♦♠♥
♦♥t♦♥ ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t ♣r♠t étr♠♥r
α2 =V0
a
U θ2 (r2, 0) =
V0
a(a− r2)
tt ①♣rss♦♥ t éqt♦♥ ♥♦♠♣rssté (2.81) ♣r♠tt♥t ér ①♣rss♦♥ tss ♥s ♦♠♥
U r2 (r2, θ2) =
V0
a(a− r2) cos θ2
U θ2 (r2, θ2) =
V0
a(a− 2r2) sin θ2 +
V0
al
♥s ♦♠♥
♥♦♠♣rssté ♣r♠t ér ♦r♠ tss Uy3
Uy3 (x3, y3) = −α3
[2(y3L
)2−(y3L
)4](2x3 + a) + β3
ù β3 st ♥ ♦♥st♥t ♥étr♠♥é
♦♥t♦♥ ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t ♣r♠t étr♠♥r
α3 =V0a, β3 =
V0al
s tsss ♦♠♥ sér♥t ♦♥
Ux3 (x3, y3) = −V0
a4L
y3L
[1−
(y3L
)2]x3 (x3 + a)
Uy3 (x3, y3) =
V0
a
[2(y3L
)2 −(y3L
)4](2x3 + a) + V0
al
étr♠♥t♦♥ ♠ss ②r♦②♥♠q
s ♠♣s tss ét♥t étr♠♥és ♥s ♥ s ré♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s ré♥r ♥étq st ♥térss♥t sé♣rr s ♦♥trt♦♥s ♥ s♦♠♥s ♥ ér rs ♥♥s rs♣ts sr ♠ss ♦♣
T1 =1
2ρ
∫ 0
x1=−l
∫ a
y1=0
[Ux1 (x1, y1)]
2 + [Uy1 (x1, y1)]
2 dx1dy1
=1
2M eau
1 V 20
l2 + a2
3a2
T2 =1
2ρ
∫ a
r2=0
∫ π2
θ2=0
[U r2 (r2, θ2)]
2 +[U θ2 (r2, θ2)
]2r2dr2dθ2
=1
2M eau
2 V 20
[1
4+
3
4
l
aπ+
(l
a
)2]
T3 =1
2ρ
∫ 0
x3=−a
∫ L
y3=0
[Ux3 (x3, y3)]
2 + [Uy3 (x3, y3)]
2 dx3dy3
=1
2M eau
3 V 20
[124
225
( aL
)2+
107
945+
(l
a
)2]
ù s M eaui s♦♥t s ♠sss ♦♥t♥s ♥s ♦♠ é♥ ♣r ♦♠♥ i
♦rt ①ré ♣r sr râtr st ♦t♥ à éqt♦♥ r♥♥ ♣t ♥st ♥ ér ♠ss ②r♦②♥♠q ♣♣qé sr râtr ♥ ré♣♦♥sà ♥ é♣♠♥t ♥s rt♦♥ ey
MHy = 4
M eau
1
l2 + a2
3a2+M eau
2
[1
4+
3
4
l
aπ+
(l
a
)2]+M eau
3
[124
225
( aL
)2+
107
945+
(l
a
)2]
s réstts s♠rs s♦♥t ♦t♥s ♥s rt♦♥ ex st ss ♣♦ss étr♠♥r s ♠sss ♦♣ ②r♦②♥♠qs ♣♣qés sr ♣s♥ ♥ ♦♥sér♥t♥ tss sr ♣s♥ t ♥ ♥str♥t strtr ♠♠ré ♠♦é ♣rés♥t r♥ ♥t ♦r s s♦t♦♥s ♥②tqs q s♦♥t ♦t♥s ♥st♥t♥é♠♥t♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♦♠♣rr s ér♥ts ♠♦ès ①st♥t ♥s s ♦♥rt♦♥s♥tqs ♣♦r ♦♥♥îtr rs ♦♠♥s té
t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♥♦♥♦♥♥trqs
♥s s ♦ù s ① ♣ré♣♣és ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥trqs st tr♦r ♠♥t ♥ ①♣rss♦♥ ♣♣r♦é s♠♣ é♦♠♥t t♦r strtr ♦s ♦♥s ♦♥ tsr ♥ ♠♦è s♠♣é ♦ù ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♣♦r♥ ♣♦st♦♥ ♦♥♥é tss st ♠ê♠ s♥t é♣ssr ♠ t ♦rrs♣♦♥ à tss ♠♦②♥♥é sr é♣ssr st ♠♦è é♦♣♣é ♥s s qr s ♥s ♣rr♣ 2.6 ♠s ♣♣qé à ♥ s
♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts à ① rt ❬❪ t à ① ♦t♥s ♣r s♠t♦♥éé♠♥ts ♥s ♥♦s ♣r♠ttr érr ♦♠♥ té té♦r ♠sss r♠rqr rt♥s ♣r♦♣rétés sr ♠tr ♦♣ strtr ♥♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥ réér♥ strtr ♥s résr♦r
♦♠♣rs♦♥ s ér♥ts ♠♦ès
♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts ♦t♥s ♣r ♠♦è t t♥ ① ♦t♥s ♣r ♥♦tr ♠♦é ♥r ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♥tré ① ♠♦
è ♥②tq qr ♣♣qé à ♥ strtr ♥ ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥①♥tré t ① ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ éé♠♥ts♥s à ♦ ANSY STM
s réstts ♦t♥s ♣r éé♠♥ts ♥s s♦♥t ♥ ♦♥sér♥t ♥ tr♥ ♠ tr ②♥t s ♠ê♠s ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs st ♠♦ésé ♣rs éé♠♥ts ♦♠qs ♣rss♦♥ ②♥♠qs ♥ ♣♣q ♥st ♥ r♠♥ts♥s♦ï ♥ é♣♠♥t ♥s rt♦♥ s♦té à ♥ très réq♥ ♣♦rrs♣tr s ②♣♦tèss ♦♣ strtr ♥ ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t q s ♠sss♦tés ♥ ♠sr ♥st s ♦rts ♠①♠① ♣♣qés ♥ ♥ s♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ é♣♠♥t ♥str♠♥t t é♣♠♥t ♠♣♦sés ♣♦r ♥ér s ♦rts ♣♣qés sr q strtr
♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ strtr rré ♠ ôté t ♠ tr ♥ éttr♦s ♣♦st♦♥s ér♥ts ❯♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♦ù strtr st ♥tr ♣s♥ ❯♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù strtr st ♣♣r♦é ♦r r♦t ♥ s♥t ♣r ①
é♣ssr ♠ r♦t ❯♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù strtr st ♣♣r♦é ♦♥ ♥ t à r♦t ♥ s♥t
♣r ① s é♣ssrs s ♠s r♦t t ♥ t
♦s tstr♦♥s ♥st ér♥ts ♠♥s♦♥s ♠ ♥ érr s ♦♠♥s té q té♦r ♦s ♦♥sérr♦♥s q ♠♦è éé♠♥ts ♥s ♦♥♥ s♦t♦♥ ♣s ♣r♦ s♦t♦♥ ré s réstts s♦♥t ①♣r♠és s♦s ♦r♠ ♠tr ♠sss ♦♣ ♦♥t ♦r♠ é♥érq st
M IFS =
(mxx mxy
myx myy
)
s réstts s♦♥t ♣rés♥tés ♥s t 2.1 ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♥sté ρ = 1020kg/m ♦rrs♣♦♥♥t à ♥sté ♦♥t♥♥t ♦r ss♦s
♥tr♣rétt♦♥s
♦♥rt♦♥ ♥tré
♥s s s ♦ù sttr st ♥tré ♥s résr♦r té♦r t ♥ t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♥rs é♦♣♣és ♥s tt tès ♦♥♥♥t ♥srét♦♥ s ♠sss ♦♣ st û t q ♦♥ ♦♥sèr ♦♠ ré ♠s q♦♥ ♥ ♦♥sèr q♥ ♣rt s ♣r♦s tss ♣♦ss ♣♦ré♦♠♥t tt ♠tt♦♥ rstr♥t s ♠♦♠♥ts ♣♦sss s♥ t ♥trî♥ ♦♥ ♥ srét♦♥ s ♦rts ♣r♦ts
♣ssr P♦st♦♥ ♦ t ♥ ♦ tès ♦
♥tré
(9050 00 9050
) (7974 00 7974
) (7321 00 7321
)
ôté
(9805 00 11314
) (7367 00 7529
) (7917 00 8130
)
♦♥
(12068 00 12068
) (8217 850850 8217
) (8837 891891 8837
)
♥tré
(5875 00 5875
) (4776 00 4776
) (4013 00 4013
)
ôté
(6365 00 7344
) (3683 00 3764
) (4337 00 4459
)
♦♥
(7834 00 7834
) (4108 425425 4108
) (4836 465465 4836
)
♥tré
(4590 00 4590
) (3896 00 3896
) (2070 00 2070
)
ôté
(4973 00 5738
) (1473 00 1506
) (2212 00 2287
)
♦♥
(6120 00 6120
) (1643 170170 1643
) (2447 191191 2447
)
♦♠♣rs♦♥ st♠t♦♥ s ♠trs ♠sss ♦♣ ♥tr ① rrés♦♥♥trqs ♦ ♥♦♥
s s♦t♦♥s ♥②tqs ♥rs ♦♥♥♥t ♥ ♠r ét♦♥ ♠ss ♦té♥s t♦s s s st û t q♦♥ ♦♥sèr ♥ ♣s r♥ s♣ s♦t♦♥s♣♦sss t♥♥ à ♠tr srét♦♥ ♣s ét♦♥ s ♠sss♦tés st très ♦♥♥ ♥s s ♦ù s é♣ssrs s ♠s s♦♥t ♠ t ♠ Pr ♦♥tr s ér ♥s s ♠s ②♥t ♥ é♣ssr s♠rà rr strtr ♥ s♦rt ♥s s r s ♠s ♦♥♥és
s s♦t♦♥s t t ♥ srst♠♥t ♦rt♠♥t s ♠sss ♦tés ♥s ♥s s ♥ ♥ ♦♠♣r♥r s srst♠t♦♥s ♥♦s r♣rés♥t♦♥s s ♣r♦s s♣rss♦♥s ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ éé♠♥ts ♥s ♥s r 2.6 s tsss ♣♥t sér r♥t ♠♣ ♣rss♦♥ à ♥ ♦♥t♥t ♥tért♦♥ t♠♣♦r ♣rès
r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❨ strtr ♠♠ré ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré
♥ r♠rq ♥s s s ♠♦♥s ♦♥♥és q ♥t ♥éssr tsr s ♣r♦s tss ♣s ♦♠♣①s ♣r ①♠♣ s ♣r♦s qrtqs ♦ ①♣♦♥♥ts ♥s s♠s ♥ sàs é♣♠♥t strtr Pr ♦♥tr ♥ ♣r♦ tss♥ér st ♣rt♥♥t sr s ♠s ttérs
♦♥rt♦♥ ôté
♥s s ♦ù strtr ♠♠ré st r♣♣r♦é ♥ s ♦rs résr♦r ss♦t♦♥s t ♥ ♦♥♥♥t à ♥♦ t♦♦rs ♥ srst♠t♦♥ s ♠sss♦tés Pr ♦♥tr s♦t♦♥ ♥②tq ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦è qr ♣♣qé à ♥ s ♠♦ ♦♥♥ s réstts s♦sst♠♥t s ♠sss ♦tés ♥ss ♦♥rt♦♥s ♠s é♣ssr ♠♦②♥♥ ♠ ♠ t ♠
tt s♦sst♠t♦♥ ♥st ♣s s②sté♠tq ♥ t ♣r♦ tss tsé rstr♥t s♣ s♦t♦♥ s é♣♠♥ts ♠sss ♥s t ♦♥ t♥♥à srst♠r s ♠sss ♦♣ ♣♥♥t ♥s ♥♦tr ♠♦è ♥♦s ♥é♦♥ss ♠sss t é♥r ♥étq ss♦é stés ① ♥trst♦♥s qr ♥s s ♦ù é♣ssr s ♠s st très ♥t s ♦♥rs trrs rtérstqs s strtrs ♠♠rés ♠♦s tt ②♣♦tès ♥ q très♣ ♥♥ t ♦♥ srst♠r ♦♥ s ♠sss ♦tés ♥s s s ♦♥sérés ♥♦s s♦♠♠s à ♠t té tt ②♣♦tès ♥s ♦♥rt♦♥ ♠ t ♥st ♣s éré ♣♦r s ① trs ♦♥rt♦♥s ♠ t ♠
P♦r s ① ♦♥rt♦♥s st ♥térss♥t ♦r s ① ♠♦ès ♥②tqs♣♦r s ♦♥♥r s ♦r♥s ♥r♥t s ♠sss ♦tés rés é♥♠♦♥s ♠♣t rrr té st ♥tt♠♥t ♣s ♥s ♥♦tr ♠♦è
♥s t♦s s ♠♦ès ♦♥ r♠rq ss q s ♠sss ♦♣ myy s♦♥t ♣sr♥s q mxx ♣t ♣rîtr ♦♥tr♥tt ét♥t ♦♥♥é q strtr st ♣♣r♦é ♦r ♣r ♥ tr♥st♦♥ ♥s rt♦♥ ex ♣é♥♦♠è♥ st tq ♠ê♠ s tss é♦♠♥t st ♣s r♥ ♥s ♥ ♣s ♣tté♣ssr st♦ ss ♠♦♥s ♠ss ♣r♠ètr ♣rt♥♥t st♠t♦♥ s ♠sss ♦♣ ét♥t é♥r ♥étq st ♠♣♦rt♥t ♦r à ♦s ♥ tsséé t ♥ ♠ss ♠♣♦rt♥t
t éqr st ♦t♥ ♦rsq♦♥ éér strtr s♥t ❨ r s ♠s é♣ssr ♠ ♦♥t ♥ ♣r♦ tss rt♠♥t éé t ♦♥t ♥ ♠ss ♦♥séq♥t ♦rs q ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❳ ♠ ♥ éért♦♥ ♥ ♠♦♠♥t à r♥ tss ♠s ♥ ♠ss s ♠s tér ♦♥t s ♣r♦s tss ♥♥t s♥ ♦♥ ♥ é♥r ♥étqrt♠♥t t ♠ à ♦♣♣♦sé é♣♠♥t st tr♦♣ r ♣♦r ♦r♥ ♦rt tss é♦♠♥t
♥ strr s ♣r♦♣♦s s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t❨ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 2.7
r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❨ strtr ♠♠ré ♥ ♣♦st♦♥ ôté
♦♥rt♦♥ ♦♥
♥s s ♦ù strtr ♠♠ré st r♣♣r♦é ♥ s ♦rs résr♦r ss♦t♦♥s t ♥ ♦♥♥♥t à ♥♦ t♦♦rs ♥ srst♠t♦♥ s ♠sss♦tés Pr ♦♥tr s♦t♦♥ ♥②tq ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦è qr ♣♣qé à ♥ s ♠♦ ♦♥♥ s réstts s♦sst♠♥t s ♠sss ♦tés ♥ss ♦♥rt♦♥s ♠s é♣ssr ♠♦②♥♥ ♠ ♠ t ♠ ♠ê♠q ♥s ♦♥rt♦♥ ôté tt s♦sst♠t♦♥ ♥st ♣s s②sté♠tq
♣s ♦♥ ♦t ♣♣rîtr ♣é♥♦♠è♥ t ♦♥ q ♦rrs♣♦♥ à ♣rés♥ tr♠s ♥♦♥♦♥① ♥s ♠tr ♠sss ♦tés s ♥ s♦♥t s♦♥t ♣s ♣rs ♥♦♠♣t ♥s ttértr ①st♥t sr st t ♥♦t♠♠♥t ♥s ♠♦è t ♥ s tr♠s ♣♣rss♥t ♦rsq ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥ ♣♦ssè ♣s ♣♥ s②♠étr qs♠♥t t♦t t♠♣s ♥s s strtr ss♥tès ♦rs q ♦♥ ts é♦♠étr s ♠s ♦rs ss♠♥t
♥ r♠rq ♥s s ♦♥séré q s ♠♣ts s ♠sss ♦tés ♥s♦♥t ♣s ♥és r♣rés♥t ♥r♦♥ ♠ss ♦té ♣r♥♣ s♣♥t ♦♥ ♦r ♥ ♠♣♦rt♥ ♦rt sr ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q strtr♥s s s ♠s ♦♥♥és
♥s tt ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♥♦s ♦sr♦♥s à ♥♦ ♥ ♥r♠♥t s tr♠s♦♥① ♣r s réstts s ① ♠♦ès ♥②tqs ♠♦è é♦♣♣é ♥s tttès ♦♥♥ à ss ♥ ♠r st♠t♦♥ ♥s♠ ♠tr ♠ss ♦tét ♣s ♥q♠♥t s tr♠s ♦♥①
♥ r♣rés♥t ♥s r 2.8 s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥s♥t ❨
r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❨ strtr ♠♠ré ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥
♦t♦♥s ♣s♦♥②tqs ♦♣ ♥ q
r
♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ♠ét♦ ♣s♦♥②tq ♦t♥t♦♥ s ♠trs ♠ss ♦♣ strtr ♣♦r ♥ qr ♦♥♥é strtrsrrés ♠♠rés ♦rs s♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s strtrs ♦rt♠♥t ♦♥♥és q strtr r ♥ ♦♣ ♥s♠ strs strtrs
♥s s strtr ♦♥♥é s ♠sss ♦♣ ♦t♥s é♦♥t très ♦rt♠♥t s ♥♠♥ts é♦♠étr s ♠s st ♦♥ ♠♣♦rt♥t ♦r♥r♥ ♠ét♦ ss♠♠♥t é♥ér ♣♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♥ rt♦♥ t♠♣♦r é♦♠étr t ♦♥ ♠ss ♦♣ t ss♠♠♥t r♣ ♣♦r ♣r♠ttr ♥ qs♥st♥t♥é s ♥♠♥ts é♦♠étr ♣♥t ssr s s②♠étrs ①st♥ts st ♦♥ ♥éssr q s ♠trs ♦♣ ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t à s r♣trs ♦♥st♦♥ ♥s s ♠trs ♠sss
sr♣t♦♥ ♠♦è
♥ ♦♥sèr ♥ ♣s♥ N ×M s ♠♠rés ♥ s ♣ à ♥ tt ①t ♥♦s r♦♥s à ér s ♠sss ♦♣ s♥ tt tr♥ ♥ s ♥s rt♦♥ ey t s ♥s rt♦♥ ex tt ♦♥rt♦♥ str♣rés♥té ♥s r 2.9P♦r s rs♦♥s s♠♣t♦♥ ♦♥ ♦♥sèr q q st ♥tq ♠♥s♦♥ LxxLyxH ♠♦ (i, j) st ♣♦st♦♥♥é à ieme ♥ t jeme ♦♦♥♥ ♥ ♥♦t ♣♦st♦♥ é♦♠étrq ♥tr (Xij(t), Yij(t))
∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] , Xij(t) = X0ij + Aij(t),
∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] , Yij(t) = Y 0ij +Bij(t).
(X0
ij, Y0ij
)st ♣♦st♦♥ ♥t ♠♦ (i, j)
(Aij(t), Bij(t)) st é♣♠♥t ♥tr ♠♦ (i, j)
r ♦♥rt♦♥ s ♠s t ♥♦tt♦♥s
s ♠♦♠♥ts q ♠♦ ♥♥♥t é♣ssr s ♠s s ♥t♦r♥t♥ ♦t♥t s é♣ssrs
∀ (i, j) ∈ [1, N + 1]× [1,M ] , hUij(t) = eUij +Bij(t)− B(i−1)j(t),
∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M + 1] , hVij(t) = eVij + Aij(t)− Ai(j−1)(t).
hUij(t), h
Vij(t) s♦♥t s é♣ssrs à ♥st♥t t ♦♥séré ♥s s rt♦♥s ❳ t ❨
eUij, eVij s♦♥t s é♣ssrs ♥ts s ♠s ♥s s rt♦♥s ❳ t ❨
s éqt♦♥s s é♥érs♥t ♣♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s s ♣rtrs s ♠s ①trê♠s ♥ é♥t ♦♥ s é♣ssrs ts s ♠s
Ai0 = Ai(M+1) = B0j = B(N+1)j = 0
♦ést♦♥
♦s s♦♥s s ♠ê♠s ②♣♦tèss q rt ♥t♥s ♦rr ❬❪ st ♥♠♦è s♠♣é é♦♠♥t é♦♠♥t st ♥s ♣♥ (X, Y ) s é♣ssrs s ♠s s♦♥t s ♣r r♣♣♦rt ① rtérstqs é♦♠étrqs s ♠♦s
hUij(t) << Lx, Ly, H
hVij(t) << Lx, Ly, H
♥ ♥é s s♣ts ♣r♠♥t ss♣ts sr ét s é♦t♦♥s t♠♣♦rs s ♠trs ♠ss t ♠♦ésé ♣r ♥ ♦♥t ♠♦rtss♠♥té♥érsé ♥s ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ért ♥s ♣tr
s tsss s ♣rts s s♦♥t ♥♦tés uij (x, y, t) t vij (x, y, t) rs♣t♠♥t♣♦r s ♥① ♦r♥tés ♥s rt♦♥ ❳ t ❨ ♥ ♥♦t tss ♠♦②♥♥ é♦♠♥t ♥s ♥ s ♥①
Uij (x, t) =
∫ hUij(t)
y=0 u (x, y, t) dy
hUij(t),
Vij (y, t) =
∫ hVij(t)
x=0 v (x, y, t) dx
hVij(t).
♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① r♠♥ts ss♠qs ♣♣qés sr ♥ strtr ♠♠ré♥s s ♦♥t♦♥s s réq♥s rtérstqs s s♦tt♦♥s s♦♥t ♥érrs à③ ♥s ♦♠♥ réq♥t ♦♥ s♣♣♦sr q t ♦♠♠ ♥ ♣rt ♥♦♠♣rss ♥s éqt♦♥ ♦♥srt♦♥ ♠ss sért à srs ♠♦②♥♥s tss é♦♠♥t
dhUijdt
+ hUij∂Uij
∂x= 0,
dhVijdt
+ hVij∂Vij∂y
= 0.
♥ ts♥t s é♥t♦♥s s é♣ssrs ♠s q♥s (2.103) t (2.104) srt♦♥s (2.110) t (2.111) é♠♦♥tr♥t qà ♥ ♥st♥t t ♦♥♥é tss é♦♥ér♠♥t ♥s rt♦♥ ♥ ♦♥séré
Uij(x, t) =B(i−1)j(t)− Bij(t)
hUij(t)x+ Uij(t),
Vij(y, t) =Ai(j−1)(t)− Aij(t)
hVij(t)y + Vij(t).
♥ ♥♦t Uij(t) t Vij(t) s tsss ♠♦②♥♥s à ♥tré ♥ rs♣t♠♥ts♦♥ s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥s ét ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥ s♣♣♦s q é♦♠étr s ♥① t ♦♥ é♣♠♥t s ♠♦s st ♥ ♦♥♥é ♥tré♦♥♥ ♥♦tr s②stè♠
♦t tt ♣rt st ♣rés♥tr ♥ ♠ét♦ qs♥②tq stsss ♠♦②♥♥s ♥tré ♥s s ♥① ❯♥ ♦s t♦ts s tsss étr♠♥és ♥♦s♣♦♦♥s ♥ ér s tsss ♠♦②♥♥s ♥ t♦t ♣♦♥t ♥ ér ré♣rtt♦♥ ♣rss♦♥ t ♦♥ ♦♥♥îtr s ♠sss ♦♣ ♥tr q ♠♦
P♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é ♥♦♠r ♥♦♥♥s s②stè♠ st (2M ×N +M +N)s éqt♦♥s ♦♥t♥té é♦♠♥t à q ♥trst♦♥ ♣r♠tt♥t rér ♥♦♠r
∀ (i, j) ∈ [1, N + 1]× [1,M + 1] ,
Ui(j−1)(t)+B(i−1)(j−1)(t)− Bi(j−1)(t)
hUi(j−1)(t)
Lx+V(i−1)j(t)+A(i−1)(j−1)(t)− A(i−1)j(t)
hV(i−1)j(t)Ly = Uij(t)+Vij(t)
Ui0(t) = Ui(M+1)(t) = V0j(t) = V(N+1)j(t) = 0.
♥ ♦t♥t ♥s ((N + 1) (M + 1)− 1) éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts
② (N + 1) (M + 1) ♥trst♦♥s ♥s qr ♣♥♥t t ♥♦trq éqt♦♥ ♦♥t♥té sr ♥ ♥ t à r♦t qr ♥st ♣s♥é♣♥♥t é♣♥ t♦t♠♥t s trs rt♦♥s t ♥ ♦t ♣s êtr ♦♠♣té♣♦r rét♦♥ ♥♦♠r ♥♦♥♥s
rst ♦♥ N × M ♥♦♥♥s ♥é♣♥♥ts q ♦♥t êtr étr♠♥és à ♥♦s éqt♦♥s s ♥♦♥♥s rst♥ts s♦♥t és ♥♠♥t à ♥ s♠♦s ♦s ♦♥sér♦♥s q st tss ♠♦②♥♥ é♦♠♥t ♥s ♠ sté ♥ss♦s q ♠♦ ♥ ér♥r s ♥♦♥♥s rst♥ts♥♦s tsr♦♥s ♥♦tt♦♥ Uij(t) ♦ù
∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] , Uij(t) = Uij(t)
♥♠st♦♥ é♥r t♦t
rés♦t♦♥ s②stè♠ s N ×M ♥♦♥♥s ♥é♣♥♥ts rst♥t ♥ésst ♥
tr♦t♦♥ ♥♦s éqt♦♥s s ♥♦♥♥s ♦ss(Uij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
ét♥t ♥é
♣♥♥ts st ♣♦ss érr s éqt♦♥s ♠♥♠st♦♥ é♥r t♦t s②stè♠ s ②♣♦tèss ♠♦ést♦♥ s é♥r ♣rés♥t ♥s s②stè♠♦♥séré st é♥r ♥étq é♥r ♥étq r♣rés♥t ♦♥ é♥rt♦t s②stè♠ ♥ ér♥t s ♠♥♠st♦♥s é♥r ♥étq t♦t ♣♦r q ♥♦♥♥ rst♥t s②stè♠ ♦♥ ♦t♥t N ×M ♥♦s éqt♦♥s q♥♦s ♣r♠ttr♦♥t rés♦r t♦t♠♥t s②stè♠
♥s tt ♣rt ♥♦s ①♣qr♦♥s s ♠ét♦s ♦t♥t♦♥ ♥②tq s ♥♦s éqt♦♥s ♦s ♣rés♥tr♦♥s t♦t ♦r ♥ ♠ét♦ é♥r ♥étq t s érés ♣♦r q ♠ Ps ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ s ♠trs ♦♣ q ♥♦s strr♦♥s ♥s s ①♠♣s s♠♣s
t s ♠s rts
♥s tt ♣rt ♥♦s ♥♦s ♦♥♥tr♦♥s sr ét s ♠s rts q♦rrs♣♦♥♥t ① ♥① ♦r♥tés ♥s rt♦♥ ❨ ♥ ts♥t rt♦♥ (2.113)♦♥ ♣t ①♣r♠r é♥r ♥étq ♥ ♠
∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M + 1] ,
EVij =
∫ hVij
x=0
∫ Ly
y=0
∫ H
z=0ρv2ij(x, y, t)dxdydz
=ρHhV
ij
2
[LyV
2ij + L2
yVijAi(j−1)−Aij
hVij
+L3y
3
(Ai(j−1)−Aij
hVij
)2]
é♥r ♥étq s ♠s rts é♣♥ qrtq♠♥t tss♠♦②♥♥ é♦♠♥t ♥ ♥tré ♥ Vij(t) tt tss é♦♠♥t ♥ ♥tré
♥ rt é♣♥ ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠ Uij(t) t r♠♥té♣♠♥t s ♠♦s Aij(t) t Bij(t) ♥ ts♥t s éqt♦♥s ♦♥t♥té (2.114) q ♥trst♦♥ sté ♥ ♠♦♥t ♠ ♦♥séré ♦♥ ♦t♥t
Vij(t) =i∑
k=1
(Uk(j−1)(t)− Ukj(t)
)+
i−1∑
k=1
Ak(j−1)(t)− Akj(t)
hVij(t)Ly +
i∑
k=1
B(k−1)j(t)− Bkj(t)
hUkj(t)Lx
♥ ♥t♥t tt éqt♦♥ ♥s ①♣rss♦♥ é♥r ♥étq s♥ ♥rt ♦♥ ♣t étr♠♥r ①♣rss♦♥ ♥②tq s érés é♥r ♥étq
♣r r♣♣♦rt ① ♥♦♥♥s ♥é♣♥♥ts s②stè♠(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
s érés
é♣♥♥t ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
∀ (k, l) ∈ [1, N ]× [1,M ] , ∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] ,
∂EVij
∂Ukl
=ρHhVij
2
(2Ly
∂Vij
∂Ukl
Vij(t) + L2y
∂Vij
∂Ukl
A(i−1)j(t)− Aij(t)
hVij(t)
)
t s ♠s ♦r③♦♥t
♥s tt ♣rt ♥♦s ♥♦s ♦♥♥tr♦♥s sr ét s ♠s ♦r③♦♥ts q♦rrs♣♦♥♥t ① ♥① ♦r♥tés ♥s rt♦♥ ❳ ♥ ts♥t rt♦♥ (2.112)♦♥ ♣t ①♣r♠r é♥r ♥étq ♥ ♠
∀ (i, j) ∈ [1, N + 1]× [1,M ] ,
EHij =
∫ Lx
x=0
∫ hUij(t)
y=0
∫ H
z=0
ρu2ij(x, y, t)dxdydz
=ρHhUij
2
LxU
2ij(t) + L2
xUij(t)B(i−1)j(t)− Bij(t)
hUij(t)+L3x
3
(B(i−1)j(t)− Bij(t)
hUij(t)
)2 ]
♥s ♣♣rt s ♥① ♦r③♦♥t① t♦s s sté t♦t ♥ t qr tss ♠♦②♥♥ ♥tré st ♥ s ♥♦♥♥s s②stè♠ ♥s s ♠♥♠st♦♥ é♥r ♥étq s②stè♠ sért ♠♥t
∀ (k, l) ∈ [1, N ]× [1,M ] , ∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] ,
∂EHij
∂Ukl
=ρHhUij
2
(2LxUij(t) + L2
x
B(i−1)j(t)− Bij(t)
hUij(t)
)si i = k & j = l,
∂EHij
∂Ukl
= 0 si i 6= k & j 6= l
s érés é♥r ♥étq é♣♥♥t ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
r♥èr r♥é ♠s ♦r③♦♥ts ♦t êtr ♦♥séré ♥é♣♥♠♠♥tr tss ♠♦②♥♥ ♥tré ♥st ♣s rt♠♥t ré à ♥ ♥♦♥♥s P♦r étr♠♥r t ♦♥sérr ♦♥t♥té é♦♠♥t sr ♥s♠ s ♥trst♦♥sr♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠ ♥ ♦r③♦♥t ♦♥séré ♥ s♥t ♥ rérr♥sr q ♥trst♦♥ t ♥ ts♥t ①♣rss♦♥ (2.114) ♦♥ tr♦ ①♣rss♦♥ tss ♠♦②♥♥ ♥tré ♥s s r♥rs ♥① ♦r③♦♥t① ♥ ♦♥t♦♥ s ♥♦♥♥st s ♦♥♥és ♥tré s②stè♠
U(N+1)j =
j∑
m=1
N∑
n=1
(Un(m−1)(t)− Unm(t)
)+
N∑
n=1
An(m−1)(t)− Anm(t)
hVnm(t)Ly +
N+1∑
n=1
B(n−1)m(t)− Bnm(t)
hUnm(t)L
s érés é♥r ♥étq ♣r r♣♣♦rt ① ♥♦♥♥s s②stè♠(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
s r♥rs ♥① ♦r③♦♥t① s♦♥t ♦t♥s à éqt♦♥ (2.121) s érés
é♣♥♥t ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
∀ (k, l) ∈ [1, N ]× [1,M ] , ∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] ,
∂EH(N+1)j
∂Ukl
=ρHhH(N+1)j
2
(2Ly
∂U(N+1)j
∂Ukl
U(N+1)j(t) + L2y
∂U(N+1)j
∂Ukl
ANj(t)− A(N+1)j(t)
hU(N+1)j(t)
)
♥♠st♦♥ é♥r
é♥r ♥étq t♦t Etot st s♦♠♠ s é♥rs ♥étqs ♥s ♠s ♦r③♦♥ts t rts ♥s q s ♦♥t♥s ♥ s ♥trst♦♥s s ②♣♦tèss tés sr s ♠♥s♦♥s s ♠s ♦♥t q é♥rs ♥trst♦♥s é♣♥ s♦♥ ♦rr s q♥ttés hUij(t) t h
Vij(t) ♦rs q s
♠s ♥ é♣♥♥t q ♣r♠r ♦rr s q♥ttés ♥ ♣t ♦♥ ♥érr ♠♣t sr é♦t♦♥ é♥r ♥étq t♦t
♥s s ♦ù tt ②♣♦tès ♥st ♣s éré ♦ s ét ♥ésst ♥ ♣s r♥♣rés♦♥ st ♣♦ss ♦♥♥r ♥ ♦rr r♥r é♥r ♥étq s ♥trst♦♥s ♥ s♣♣♦s♥t ♦t q tss ♥s ♥trst♦♥ st ♦♥st♥t t é à tss
♠♦②♥♥ ♣s éé srst♠t♦♥ é♥r ♥étq ♦t q tss ♥s ♥trst♦♥ st ♦♥st♥t t é à tss
♠♦②♥♥ ♣s s♦sst♠t♦♥ é♥r ♥étq ♦t q ♥trst♦♥ st é♦♣é ♥ qtr st♦♥ é ♦ù tss st
é à tss ♠♦②♥♥ ♠ ♥t st♠t♦♥ ♣s ♣rès
s s s érés é♥r ♥s ♥ s ♠s (2.118) (2.120)t (2.122) ♦♥t t ♣♣rîtr ♥ é♣♥♥ ♥ér s ♥♦♥♥s rst♥ts
s②stè♠(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
t s r♠♥ts(Aij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
t(Bij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
♥ s♦♠♠♥t q éré ♦♥ ♦t♥t éqt♦♥ ♠♥♠st♦♥ é♥r
♥étq ♥ ♦♥t♦♥ s ♥♦♥♥s(Ukl(t)
)[1,N ]×[1,M ]
K.U = α.A+ β.B
U =T
(U11 . . . U1M U21 . . . UNM
)st tr s N ×M ♥♦♥♥s
A =T(A11 . . . A1M A21 . . . ANM
)st tr s N ×M r♠♥ts ♦r③♦♥t①
B =T(B11 . . . B1M B21 . . . BNM
)st tr s N ×M r♠♥ts rt①
s ♠trs ♠♥s♦♥ (NM,NM) K α t β s♦♥t t♦t♠♥t étr♠♥és ♥②
tq♠♥t à s éqt♦♥s (2.118) (2.120) t (2.122)
①♠♣s
♥s ♣rt ♣réé♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♠♥♠st♦♥ é♥r t♦t♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠ ♥ér ♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ss♦t♦♥s ♥②tqs ♣♦r s ♦♥rt♦♥s s♠♣s ♦s s♣♣♦sr♦♥s ♥♦t♠♠♥t q é♣♠♥t s ♠♦s st très t ♥ ♠♦ ♣s é♦♠étr s ♠s ♥ s♣♣♦sr q s é♣ssrs ♥ts s ♠s s♦♥t ♥tqs hUij(t) ≈eUij = e t hVij(t) ≈ eVij = e t q s ♠♦s ♦♥t ♥ s rré Lx = Ly = L
r ♦♥rt♦♥s ♦♥sérés
♦♥rt♦♥ (1× 1)
st ①♠♣ ssq ① s ♦♥♥trqs ♦♥t ♥♦s ♦♥s ♦♥♥é sréstts ♥②tqs ♥s ♣rt (2.5.4) ♥ tr♦ rt♦♥ ♥ér s♠♣
8U11 = −4L
eA11(t) + 4
L
eB11(t)
♦♥rt♦♥ (2× 2)
♦♥rt♦♥ (2 × 2) ♣r♠t r ♣♣rîtr s rtérstqs s ♠trs♦t♥s ♠ê♠ sr ♥ s rt♠♥t s♠♣ s s♦♥t ♣rsq t♦♦rs ♣♥st ♥ s♦t♦♥ qs♥②tq st ♦♥ ♥éssr ♣♦r ♥ ♣s ♦r tr♦♣ t♠♣s
K =
12 6 −4 −26 8 −2 −2−4 −2 12 6−2 −2 6 8
α =L
e
−8 −4 3 1−6 −4 2 13 1 −8 −42 1 −6 −4
β =L
e
3 3 0 0−1 4 0 0−2 −2 3 30 −2 −1 4
♦♥rt♦♥ (2× 4)
tt ♦♥rt♦♥ t ♣♣rîtr rt♥s éé♠♥ts rérté s ♠trs
K =
12 6 −4 −2 0 0 0 06 8 −2 −2 0 0 0 0−4 −2 12 6 −4 −2 0 0−2 −2 6 8 −2 −2 0 00 0 −4 −2 12 6 −4 −20 0 −2 −2 6 8 −2 −20 0 0 0 −4 −2 12 60 0 0 0 −2 −2 6 8
α =L
e
−8 −4 3 1 0 0 0 0−6 −4 2 1 0 0 0 03 1 −8 −4 3 1 0 02 1 −6 −4 2 1 0 00 0 3 1 −8 −4 3 10 0 2 1 −6 −4 2 10 0 0 0 3 1 −8 −40 0 0 0 2 1 −6 −4
β =L
e
3 3 0 0 0 0 0 0−1 4 0 0 0 0 0 0−2 −2 3 3 0 0 0 00 −2 −1 4 0 0 0 00 0 −2 −2 3 3 0 00 0 0 −2 −1 4 0 00 0 0 0 −2 −2 3 30 0 0 0 0 −2 −1 4
étr♠♥t♦♥ s ♠trs ♦♣ strtr
qt♦♥s r♥
♥ étr♠♥r s ♠trs ♦♣ strtr ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr s②stè♠ ♦♠♣t ④strtr ⑥ s é♥rs s②stè♠ ♦♣é s♦♥t T =Ts + Tf é♥r ♥étq é♦♠♣♦sé rs♣t♠♥t ♥tr strtr t V = VS é♥r ♣♦t♥t q s ♠t à strtr Q ♣ss♥ s♦rts ss♣ts r♦tt♠♥t ♠♦rtss♠♥t sq① t ♥s ♥♦tr ♠♦è ♥ ♥♥ sr é♥r ♥étq t♦t t sr s ts ss♣ts
♦s ♣résr♦♥s ♥s ét ②♥♠q s②stè♠ ♦♣é été ♥s ♣tr ♦♠♠♥t s ts ss♣ts s♦♥t ♠♦ésés ♦s ♥ ♥♦s ♦sr♦♥s ♦♥♣s sr ♥ ♥②s ♣rés ♦♠♣♦st♦♥ tr♠ Q
♦♥ ♦♥sér q ♠♦ ♦♠♠ ♥ ♠ss M rr ①t♦♥ s♦ K ♥ ♠♦rtss♠♥t c s é♥rs és à strtr sér♥t
TS(t) =12M(A2(t) + B2(t)
),
VS(t) =12K (A2(t) + B2(t)) ,
Q(t) = −c(AδA(t) + BδB(t)
).
s ②♣♦tèss ts sr ♠♦ést♦♥ ♠♣♦s♥t q Tf st ♥ ♦♥t♦♥
é♣♥♥t s rs (Aij(t), Bij(t), Aij(t), Bij(t)
) tt ♦♥t♦♥ é♣♥ qrt
q♠♥t s tsss é♣♠♥ts s ♠♦s(Aij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
t(Bij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
t ♠♥èr ♦♠♣① ♣♦②♥ô♠ à ♦♥ts ♣♦sts t ♥éts s é♣♠♥ts s♠♦s (Aij(t))[1,N ]×[1,M ] t (Bij(t))[1,N ]×[1,M ]
♥ ts♥t éqt♦♥ r♥
d
dt
(∂T
∂qi
)− ∂T
∂qi+∂V
∂qi= Qi
T é♥r ♥étq t♦t s②stè♠ V é♥r ♣♦t♥t t♦t s②stè♠ qi s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés s②stè♠ Qi ♦rt ss♣t é à ♦♦r♦♥♥é é♥érsé qi
♥ tr♥s♣♦s♥t éqt♦♥ r♥ s②stè♠ s♠♣ ♠♦ ♣rés♥té ♥séqt♦♥ (2.131) t ♥ ♦♥sér♥t s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés (Aij(t))[1,N ]×[1,M ] t (Bij(t))[1,N ]×[1,M ]♦♥ tr♦ éqt♦♥ éqr s②stè♠ ♦♣é tt éqt♦♥ éqr ♣r♠t ♥ ♦♠♣r♥r ♥♥ ♦♣ strtr sr ②♥♠q strtr
∀(i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ],
MAij + CAij +KAij +d
dt
(∂Tf
∂Aij
)− ∂Tf∂Aij
= 0,
∀(i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ],
MBij + CBij +KBij +d
dt
(∂Tf
∂Bij
)− ∂Tf∂Bij
= 0,
♥ é♥t ♥s s ♦rts ♦♣ strtr ♣♣qés sr q ♠♦♣r
F IFSij =
− d
dt
(∂Tf
∂Aij
)+
∂Tf
∂Aij
− ddt
(∂Tf
∂Bij
)+
∂Tf
∂Bij
♠♣t♦♥ s ♦rs ♦♣ strtr
é♥r ♥étq Tf st étr♠♥é ♥②tq♠♥t à s éqt♦♥s
(2.116) t (2.119) st ①♣r♠é à s ♥♦♥♥s s②stè♠(Uij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
t
s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés s é♣♠♥ts t tsss s ♠♦s Aij, Bij, Aij, Bijs ♥♦♥♥s s②stè♠ ét♥t t♦t♠♥t é♣♥♥ts s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♦♥ ♣t réérr s érés ①♣rss♦♥ s ♦rs ♦♣ (2.135) s♦s ♦r♠
(∂Tf∂Aij
)
0
=∂Tf∂Aij
+∑
k,l
∂Tf
∂Ukl
∂Ukl
∂Aij
♥ ♥♦t(
∂Tf
∂Aij
)0 éré ♣rt é♥r ♥étq ♦rsq st ①
♣r♠é ♥q♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés Tf
(Aij, Bij, Aij, Bij
)
♠♥♠st♦♥ é♥r ♥étq ♣r r♣♣♦rt ① ♥♦♥♥s s②stè♠ (Uij(t)
)[1,N ]×[1,M ]
♥♦s ♣r♠t ér q ①è♠ tr♠ éqt♦♥ st ♥
s érés∂Tf
∂Aijs♦♥t étr♠♥és ♥②tq♠♥t ♥ ts♥t ♠ê♠ ♠ét♦ q
tsé ♣♦r ♠♥♠sr é♥r ♥étq ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ (2.6.3.3)
♥ ♠ê♠ ♠♥èr s trs érés(
∂Tf
∂Aij
)0(
∂Tf
∂Bij
)0t(
∂Tf
∂Bij
)0
♥s s ♦ù s é♣♠♥ts s ♠♦s s♦♥t s ♦ ♥ts ♦♥ ♣t ♥ér
s tr♠s ① é♣♥♥s ♦♠♣①s és ① érés (
∂Tf
∂Aij
)0t(
∂Tf
∂Bij
)0 ♦s tt
②♣♦tès ♦♥ rtr♦ t q ♦♣ ♣t êtr ♠♦ésé ♣r ♥ ♠tr ♠ss♦té
♠rq ♠ét♦ tért ♣rés♥té ♥s ♣rt ②♥♠q ♣tr ♣r♠t tr♦r ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥térss♥t q tért♦♥ s é♣♥♥s ♦♠
♣①s és à(
∂Tf
∂Aij
)0t(
∂Tf
∂Bij
)0s♦♥t ♥éés Pr ♦♥tr é♦♠étr ♦♥séré ♣♦r
é♥r ♥étq t♦t ♦rrs♣♦♥ à é♦♠étr s ♠s ét ♣s t♠♣s ♥s ♦♥ ♠t ♥♦tr ét ♠trs ♠ss♦té ♥s sqs s ♥♠♥ts é♦♠étr s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t
♠rq é♥r ♥étq t♦t ♦♠♣♦rt s tr♠s qrtqs
♦♣és ♥s s é♣♥♥ ♥(Aij, Bij
) s érés
(∂Tf
∂Aij
)0t(
∂Tf
∂Bij
)0♦♥t ♦♥
♣♣rîtr s tr♠s ♦♣ ♥tr s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥tr ér♥ts ♠♦s ♦rrs♣♦♥ à é♥érst♦♥ q ♥♦s ♦♥s ♣♣é t ♦♥ ♥s ét ♦♣ strtr sr ♥ ♠♠ré ①♥tré
♦s tt r♥èr ②♣♦tès ♦♣ strtr ♣t êtr ♠♦ésé s♦s ♦r♠ ♠trs ♠ss ♦té s s♦♥t é♥s ♣r
F IFSij =
− d
dt
(∂Tf
∂Aij
)
− ddt
(∂Tf
∂Bij
) =
(−∑k
∑lM
Hxx(i, j, k, l)Akl −
∑k
∑lM
Hxy(i, j, k, l)Bkl
−∑k
∑lM
Hyx(i, j, k, l)Akl −
∑k
∑lM
Hyy(i, j, k, l)Bkl
)
F IFSij =
−MH
xx.A−MHxy.B
−MHyx.A−MH
yy.B
♦tt♦♥s ♦♥♥sés
♥ ts♥t ♥ ♥♦tt♦♥ ér♥t ♦♥ ♣t ♦♥♥sr ♥ s t♥srs
˜A =T(A11 . . . A1M A21 . . . A2M . . . ANM
),
˜B =T(B11 . . . B1M B21 . . . B2M . . . BNM
),
F IFSx =T (F x
11 . . . Fx1MF
x21 . . . F
x2M . . . F x
NM) ,
F IFSy =T (F y
11 . . . Fy1MF
y21 . . . F
y2M . . . F y
NM) ,
MHxx =
Mxx11 Mxx
12 . . . Mxx1M
Mxx21 Mxx
22 . . . Mxx2M
MxxN1 Mxx
N2 . . . MxxNM
, MH
xy =
Mxy11 Mxy
12 . . . Mxy1M
Mxy21 Mxy
22 . . . Mxy2M
MxyN1 Mxy
N2 . . . MxyNM
,
MHyx =
Myx11 Myx
12 . . . Myx1M
Myx21 Myx
22 . . . Myx2M
MyxN1 Myx
N2 . . . MyxNM
, MH
yy =
Myy11 Myy
12 . . . Myy1M
Myy21 Myy
22 . . . Myy2M
MyyN1 Myy
N2 . . . MyyNM
,
♦♠♣♦s♥t (k, l) ♠tr Mαβij s①♣r♠ α t β ♣♦♥t ♣r♥r s rs
[x, y]
Mαβij (k, l) =MH
αβ(i, k, j, l)
s ♥♦tt♦♥s ♦♥ ♣t réérr ♦♣ strtr s♦s ♦r♠ s②♥tètq
F IFSx = −MH
xx.˜A− MH
xy.˜B
F IFSy = −MH
yx.˜A− MH
yy.˜B
é♥érst♦♥ réstt
s ♠trs ♠sss ♦tés ②r♦②♥♠qs s♦♥t ♦t♥s ♠♥èr qs♥②tqs ♥ s♥t é♠r ♣rés♥té sss ♣r♠t ♥ qs♥st♥t♥é s ♠trs ♦♣ ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é t ♣♦r ♥ tr♥ tt ♦♠♣rs ♥tr z t z +∆z ♥ s♣♣♦s♥t ♥ é♣♠♥t ♠♦②♥ ♥ s tr♥s ♠♦
❯♥ qs♥st♥t♥é ♣rés♥t ♦ ♥t ♣r♠ttr ♥ tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t s ♠♦s t ♣r♠t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♥ é♣♠♥t ér♥t ♥ ♦♥t♦♥ s tts ♥ ♦t♥t ♣♦r♥ s ♠trs ♥ é♥t♦♥ s♥t z à ♥ ♣ér♦ s♣t ∆z
♠ê♠ ♠♥èr ♦rs ②♥♠q ♦♥ ♦♥sérr ♥ é♥t♦♥♥t♠♣♦r à ♥ ♣ér♦ ∆T ♠ét♦ sr ♣rés♥té ♥s ét ♥s ét ②♥♠q ♣r♠t r à q tért♦♥ t♠♣♦r ♥ r tsés ♠trs ♦♣ ②r♦②♥♠q ♥s ♣♦r ieme tért♦♥ ♦♥ ♦♥♥t s♠trs ♦♣ s tért♦♥s (i, i− 1, i− 2, . . . , 0)
st ♥st ♣♦ss tsr ér♥ts ♦♥t♦♥s ss ♣♦r é♥t♦♥♥s♣t ♦♥♥ sr ♥s♠ ♦♠♥ é♥t♦♥ à ♥ ♣ér♦ ∆z t ♣♦r é♥t♦♥♥ t♠♣♦r ♦♥♥ sr s♦♥ st♦rq sqà ieme tért♦♥ à ♥ ♣ér♦ ∆T ❯♥ ♦s tr té ♦♥ ♣t tr♦r s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥s ér♥t ♥s ♠trs ♦♣ ②r♦②♥♠q ♥ s♣♣♦sr s réstts ♣♦r ét ②♥♠q ♦♣é
MHxx(z, t), M
Hxy(z, t), M
Hyx(z, t), M
Hyy(z, t).
éstts
éstts ♣rss♦♥ sss ♠♦è ♦♣strtr
s réstts ♣rés♥tés ♥s tt ♣rt ♣♦rt♥t sr s ré♣rtt♦♥s ♣rss♦♥ éts s ♠trs ♠ss ♦♣ strtr ♣r r♣♣♦rt à s ♦t♥sà ♥ ♦ éé♠♥ts ♥s ANSY STM ♦s ♦♥sérr♦♥s ér♥ts ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs sr sqs ♥♦s ♣♣qr♦♥s s r♠♥ts q♦♥qs
♥s ♥ s ♦♥rt♦♥s ♣s♥ ♥♦s s♠♣r♦♥s s é♦♠étrs ♦♥sérés ♥ ♠♦és♥t s ♠♦s rrés ♠♥s♦♥s Lx = Ly = L = 2.5m t ♥é♣ssr é sr ♥ s ♠s e = 0.03m
♦♥rt♦♥ (1× 1)
♥ ♦♥sér ♥ s é♠q ♥ ♠♦ s ♥tré ♥s ♥ ♣s♥ ♥ éèr ♠♦ ♥s rt♦♥ ❳ s réstts ♦t♥s s♦♥t ♣rés♥tés ♥s r 2.11s réstts éé♠♥ts ♥s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♣rt t ① ♦t♥s ♣r♥ ♠ét♦ ♥②tq s♦♥t à r♦t ♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ ♥tr s ①réstts
r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❳
♦♥rt♦♥ (2× 4)
♥ ♦♥sèr ♥ ♦♥rt♦♥ ♣s♥ (2× 4) ♠♦s ♥ éèr ♠♦(1, 3) ♥s rt♦♥ ❳ ♣s ♥s rt♦♥ ❨ s réstts s♦♥t ♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s s rs 2.12 ♣♦r éért♦♥ s♥t ❳ t 2.13 ♣♦r éért♦♥ ♥s
rt♦♥ ❨ s réstts éé♠♥ts ♥s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♣rt t ①♦t♥s ♣r ♥ ♠ét♦ ♥②tq s♦♥t à r♦t ♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥♥tr s ① réstts
r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❳
r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❨
♦♥rt♦♥ (3× 4)
♥ ♦♥sèr ♥ ♦♥rt♦♥ ♣s♥ (3×4) ♠♦s ♥ éèr ♠♥èrs②♠♠étrq ♥ rt♦♥ ♥tr ♣s♥ s ♠♦s à q ♦♥ ♥s rt♦♥ ❳ ♣s ♥s rt♦♥ ❨ s réstts s♦♥t ♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s srs 2.14 ♣♦r éért♦♥ s♥t ❳ t 2.15 ♣♦r éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❨s réstts éé♠♥ts ♥s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♣rt t ① ♦t♥s ♣r♥ ♠ét♦ ♥②tq s♦♥t à r♦t ♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ ♥tr s ①réstts
r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ s②♠♠étrq s♥t rt♦♥ ❳
r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ s②♠♠étrq s♥t rt♦♥ ❨
♦♥s♦♥
♦s ♦♥s ♥s ♣tr s ♦♥♠♥ts té♦rqs ♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♥s q s ♠♦ès ♥②tqs st♦rqs ②♥t ♦♥é tt té♦r ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s ♠♦ès ♥②tqs ♣♣r♦és ré♥ts q ♥♦s ♦♥s♥rs ♥s s ♣réé♣♣és rt♥s ♦♥♥trqs ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té ♥ ♠♦è ♥②tq ♣♣r♦é ♣♦r s ♦♣s qr strtr ♥♥♥♦s ♦♥s ♣rés♥té s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr s ér♥ts ♠♦ès ①st♥ts t s s♦t♦♥séé♠♥ts ♥s
s ♠♦ès é♦♣♣és ♥s tt tès ♣rés♥t♥t ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ sréstts éé♠♥ts ♥s ♥s s s ♠s ♦♥♥és t ♦♥♥♥t ♥ ♦rr r♥r ♣t ♣♦r s ♠s é♣ssr ♣r♦ s ♠♥s♦♥s rtérstqs strtr à tt é♣ssr st ♣réér tsr ♥ ♣♣r♦é♦♠♥t ♥s ♥ ♠ ♥♥
s s♦t♦♥s é♦♣♣és ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♥é très s♥s ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣ts ts ♦♥ stàr ét♦♥ s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① s ♠trs ♠ss ♦♣ strtr q ♣♣rss♥t ès q é♦♠étr s ♠s ♥ ♣rés♥t♥t ♣s ♣♥ s②♠étr ♥tr♥t ♥s qs♠♥t t♦ts s ♦♥rt♦♥s strtr ss♥t ♠♠ré ès ♦rs q♦♥ ts s é♦♠étrs s ♠s é♣♠♥t strtr t t ♦♥ ♣t êtr ♥♦♥ ♥é♦rsq♦♥ s r♣♣r♦ ♦r résr♦r tt ♦♥t♦♥ ét♥t ♥ s rtèrs ♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs st ♦♥ ss♥t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t
♦s ♠♦ès ré♣♦♥♥t ♦♥ à ♦ ①♥ q ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ①és ♥stt tès ♦ést♦♥ ♣s ♥ ♣♦ss ♦♠♣♦rt♠♥t ré strtr t ♦tst r♠♣ ♥s s s ♠s ♦♥♥és ♥♦t♠♠♥t ♣rs ♥ ♦♠♣ts ts ♦♥ ♥ sr♣t♦♥ ♣s ♥ s ♣r♦s tss ♥s ♣♦r s♦♥rt♦♥s ♥trés ♥s q ♣♦ssté ♣♦♦r tsr é♦♠étr s♠s ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t strtr ♠♠ré
♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é t ♦t st ss r♠♣ ét♥t ♦♥♥é qst s♦t♦♥ ♥②tq ♦ qs♥②tq ♠♣q♥t rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠♥ér éqt♦♥s ♠♥s♦♥
♦s rr♦♥s ♥s ♣tr ♦♠♠♥t s ♠trs ♦♣ s♦♥t ♥térés ♥ss ♠♦ès ②♥♠q ♥♦♥♥ér t ♦♠♠♥t é♦t♦♥ s é♦♠étrs s ♠s st ♥téré ♥s
♦r♣
❬❪ rt③ t ♦ qs ♦♥ t ②♥♠ ♠♦t♦♥s ♦ ♠♠rs s♦s r♥s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♦r ♥str②
❬❪ t ♥ ♥ ♠ t♦♥ ♦ ss♠ ♦s ♦♥ st♦r rs♥r ♦♥srt♦♥ ♦ strtr ♥trt♦♥ r♥s
❬❪ ♥ ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♦ r♥t ♥②t ♦r♠t♦♥s ♦r t♥ st♦r rs r♥s
❬❪ t ♥ ♥ strtr♥trt♦♥ ♦r t ♥②ss ♦ t ②♥♠s ♦ st♦r rs ♥ t s ♦ ss♠ ♦s r ♥♥r♥ ♥ s♥
❬❪ ♥r s t ♦s t♦♥s ♦ P♦②t♥q
❬❪ ♦r P ♥ ②♥♠ ♦♣♥ ♥ ♦s② s♣ t♦♦② s②st♠ rt♥ ♥ q ♠♠ t s ♦ rs r s ♥tr♥t♦♥♦♥r♥ ♥ r P♥ts
❬❪ ❲ ♦s♥r ②♥♠ ♣rssrs ♦♥ rt ♦♥t♥rs t♥ ♦ tss♠♦♦ s♦t② ♦ ♠r
❬❪ r②s r ♦st♦♥s ♦ tr ♥ ♥ ♣t Pr♦ ♦♥♦♥ t ♦❱♦
❬❪ ❲strr ❲tr ♣rssrs ♦♥ ♠s r♥ rtqs r♥s ❱♦
❬❪ ♦s♥s ♦s♥ ❲tr ♣rssr ♥ t♥ s ② s♠t rtq t♥ ♦ s♠ ♦t② ♦ ♠r ❱♦
❬❪ ♦s♥ ♠♣s ②r♦②♥♠s ♦ ♥s ②♥r t♥ ♥ ♦ srr♦♥♥ ②♥r ♣r t♥ ♦ s♠ ♦t② ♦ ♠r ❱♦
❬❪ P❲ ❲r♥r ♥qst ♥ ②r♦②♥♠ rtq ts r♥s ♠r♥♦♣②ss ❯♥♦♥ ❱♦
❬❪ ♦s♥ ②r ②r♦②♥♠ ①♣r♠♥ts t r ②♥r t♥sst t♦ tr♥s♥t ♠♦t♦♥s t♥ ♦ s♠ ♦t② ♦ ♠r ❱♦
❬❪ ❲ r♠ ♦r③ rtrsts ♦ ♠♦t♦♥ ts r♣♥②♥♠s ♦r♥ ♦ ♣♣ ♥s ❱♦ ♦
❬❪ ❩♥r ②r♦②♥♠ ♣rssrs ♦♥ ♠s t♦ ♦r③♦♥t rtqs Pr♦♥s ♦ t ♦t② ♦ ①♣r♠♥t trss ♥②ss ❱♦ ♦
❬❪ ❲ ♦s♥r rtq ♣rssrs ♦♥ ♦♥t♥rs ♦r♥ ♥sttt ♦ ♥♦♦②
❬❪ ①s ♥t♥s ❱r r ♦ ♥♠r ♠t♦s ♦r ♣rt♥ ♦♥ rt♦♥s ♦r♥ ♦ Prssr ❱ss ♥♦♦② ❱♦
❬❪ ♦♥♥t ♥ é♦r ②♥♠q s s ♣st♦♥s ♦♦s
❬❪ rt ❱rt♦♥s s strtrs ②r♦s
❬❪ P rr é♥q s s ♦ P♦②t♥q
❬❪ P ♦r♥ ②♦♥ ♥trt♦♥s strtrs ss♦♥
❬❪ ♠♠♠ ♦♥trt♦♥s à ét ♥tért♦♥ strtr ♥s s s① ts ♣r ♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ès ♦t♦rt ❯♥rsté Prs ❱
❬❪ Pr♠♦♥t ②♠rs ♥ t ♥♥ ♦ t ♦♥ t ss♠ rs♣♦♥s♦ ♦rs t ♦s ♥s
❬❪ P♥r ♠② P ♦♥♥ s♠♣ ♠t♦ ♦r tr♠♥♥ ♦st ♥ t ♥rq♥s ♥ t ①♥rs ♦r♥ ♦ Prssr ❱ss♥♦♦② ❱♦
❬❪ P♥r t tr rq♥s ♦ t ♥ ♥ ♥ ♥♦♠♣rss ♦♠♣tr t♦s ♥ ♣♣ ♥s ♥ ♥♥r♥ ❱♦
❬❪ P♥r ♥♦ ❩r s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ rs♦♥♥ rq♥s ♦st t ♥ ♥ P❱P ♦♥r♥ ❱♦
❬❪ P♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q s s① ts ♠♠rés ♥s ♥ s♣ts té♦rqs t ♥♠érqs ②♥♠q s strtrs ♣ ♦t♦♥ rt♦♥ s éts t rrs
❬❪ ♦r t ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q ♥ rtr st♦ ss♠s ♦♠sts sés ♥ ♣s♥ ès ♦t♦rt
❬❪ ♦rr ♥t♥s ♥♦♥♥r ♠♦ ♦r ♦♣ rt♦♥s ♦ s♣♥t♥r rs ♦ P♦②t♥q Prs
♣tr
t ♥ strtr ss♥t s♦s
r♠♥t ss♠q tr♠♥s♦♥♥
♥tr♦t♦♥
♣tr ♣♦rt sr ét ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥ strtr ♠♠réss♥t s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q té♦r é♦♣♣é ♣r♠t s♣tr à♥♠♣♦rt q strtr ♣♦♥t êtr ért ♣r ss N ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs ① ♦♥t♦♥s ♣♣ ♥stré ♥ ♣r t rr ♦♣ strtrtsé ♥s ♣tr r♣r♥ s réstts é♦♣♣és ♥s ♣tr
s ♣r♠rs rts ♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q s strtrs rs s ♦♥t♦♥s ♦♥tt t♥t ♥ XIXeme sè t ét XXeme ♥ ♣t tr ♥♦t♠♠♥t s rts ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ s trt♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q s ♣rts s♦s rs ♦ strtrs rs ♠♦s♥s s é♥ss♥t s ♦♥t♦♥s r♦♠♥t ♦ s♠♥t ♠s ♥rr♥tà st♠r ♦♠♣♦rt♠♥t t é♣♠♥t q ♥s s s é♠qs s♠♣s
s éts sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s♠♥t s s♦s rs s s♦♥t ss ♦rt♠♥t é♦♣♣és ♥s s ♥♥és s ♦♥sèr♥t ♥♦t♠♠♥t s r♠♥tstr♠♥s♦♥♥s sr s strtrs rs s ♦♥t♦♥s ♦♥tt ♥tér r♦tt♠♥t s rts ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ é♥t s ♦♥t♦♥s ♥tt♦♥ s s♠♥ts ♠s ss s ét s ♥sttés ♦tss♥t r♥rs♠♥t ♦♠♣t strtr s r♥t s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ss♠q ♦ à ♥t♥sté s♥ ss♠q
s té♠tqs s♦♥t r♥s ♦ût ♦r ré♠♠♥t ♥♦t♠♠♥t ♥s ♥trt♥t st♠t♦♥ s rsqs s ât♠♥ts st♦rqs ♣♥♥t s s♦tt♦♥s ss♠qss rts ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ ét♥t ♥♦t♠♠♥t s s ♠♣♠♥t strtrs rs ♦♥t♦♥s ♦♥tt ♥tér ♦ r♦tt♥t s trt♥t sss ♠♦♠♥ts ♦♠♣①s ♦♥t♦♥ ♦♦♥♥s ②♥rqs é♦♠♥t tst♠♥t s é♣♠♥ts ♠①♠① s strtrs
s ♣r♠èrs s♦t♦♥s ♥②tqs ♦♠♣♦rt♠♥t s strtrs ss♥ts s♦sr♠♥t ss♠q t♥t s ♥♥és ♥ ♣t tr ♥♦t♠♠♥t s rts ❬❪
t ❬❪ q trt♥t ét s ss♠♥ts ♥ ♠ss ♣♦♥t t s rts ❬❪❬❪ ❬❪ t ❬❪ q trt♥t ét s ss♠♥ts s s②stè♠s ♠sssrss♦rt s♦sr♠♥ts ss♠qs ♥rt♦♥♥s ♦ tr♠♥s♦♥♥s s♠♣és
s éts ♥②tqs s strtrs ss♥ts ♠♠rés s♦s r♠♥t ss♠qsrst♥t rt♠♥t ♠tés s s♦♥t ♦♥♥trés ♥s ♥str ♥ér sr éts râtrs st♦ ♦♠st ♥ tr ♥ tès réér♥ sr st❬❪ t s rts ❬❪ ❬❪ t ❬❪ s ♣♣♦rt♥t s ♥és sr s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♥②tqs ♥♠érqs t ①♣ér♠♥ts s ♣r♦è♠s ♦♣és ♦tqs s♦♥♥♥t ss s ét♦♥s sr sét♦♥ s ér♥ts ♠♦ès r♦tt♠♥t ♣r♠sqs ♦♥ ♣t tr ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪
♦tr tr s♥srt ♥s ♣r♦♦♥♠♥t s rts ♥ ♣r♦♣♦s♥t s s♦t♦♥sqs♥②tqs sr s ♠♦ès strtrs ♣s ♦♠♣①s Prs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♥tr♥ strtr ♠♦s ♣r♦♣rs♦♥sérés
♦ést♦♥ ♣s ♥ s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr tst♦♥ é♦♠étr s ♠s
♥ ♣rè tt ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ s②stè♠ ♥♦s r♦♥s ♥ t♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é t ♦♥ ♦♠♣t s éts ♣r♠étrqs ♠♦ést♦stq
♣tr ♣rés♥t ♦♥ s ♠ét♦s rés♦t♦♥ s ♣r♦è♠s ②♥♠q♥♦♥♥ér strtrs ♠♠rés s♦s r♠♥t ss♠q ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s♥♦s étr♦♥s s ②♣♦tèss ♠♦è Ps ♥♦s é♦♣♣r♦♥s ♠ét♦ rés♦t♦♥ qs♥②tq ♣♦r ♥ ♣♦tr ♠♠ré ss♥t s♦s sés♠ ♠♦ésr ♥st ét♥ ① strtrs ♦♠♣①s érts ♣r rs ss ♠♦s ♥♥♥♦s ♣♣qr♦♥s s ♠♦és sr s s s♠♣és ♠ss ss♥t ♠♠ré t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ss♥t ♠♠ré
②♣♦tèss ét
♦s ♣rés♥t♦♥s ♥s ♣rr♣ s ér♥ts ②♣♦tèss ♠♦ést♦♥ q sr♦♥t ♣♣qés à ♥s♠ s ♠♦ès q s♦♥t é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ ♣résr♥♦t♠♠♥t ♦ést♦♥ r♦tt♠♥t ②♣♦tèss ♥♦♥s♠♥t sr♣t♦♥ s s♥① ss♠qs tsés
♦ést♦♥ r♦tt♠♥t
♦s ♦♥s té ♥ ♥tr♦t♦♥ ér♥ts ♠♦ès r♦tt♠♥t ré♣♦♥♥t à ér♥ts ②♣♦tèss ♥érst♦♥ s éqt♦♥s ♠♦ést♦♥s ♠r♦s♦♣qs ♥s ♦éqt♦♥s s réstts ①♣ér♠♥t① ♣♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦tqs strtrs ss♥ts ♠♠rés ♥ ♣r♠t ♣s sttr sr ♠♦è r♣rés♥t♥t
♠① ♣②sq ♠r♦s♦♣q s②stè♠ ré ♦s ♦sss♦♥s ♦♥ ♥ ♠♦è ♣s s♠♣ ♣♦ss r♦tt♠♥t sr q sr ♣♦ss tsr ♥ ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq t ♥s ér ♣s ♥♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t t♠♥t♥♦♥♥ér
♦s ♠♦és♦♥s r♦tt♠♥t s♦s ♦r♠ ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ st♥ ♠♦ést♦♥ ré♠♥tr s♠♣é ♥ ♦♥sèr ① ♦♥ts r♦tt♠♥t ♥ r♦tt♠♥t sttq µS t ♥ ♦♥t ②♥♠q µD P♦r s rs♦♥s sttés éqt♦♥s ♦♥ ♦t ♦r
µD ≤ µS
♠rq st t♦t à t ♣♦ss ♣tr s éqt♦♥s q sr♦♥t ♣rés♥tés àtrs ♠♦ès r♦tt♠♥t ♥ st♠♥t à q ♣s t♠♣s r ♦♥t r♦tt♠♥t t r♠♣r ♥s s éqt♦♥s éà ♦t♥s
②♣♦tès ♥♦♥s♠♥t
♦s ♥ér♦♥s s♠♥t s strtrs étés tt ②♣♦tès st érés ♦♥ ét s strtrs ♦♥t s ♦♥ts r♦tt♠♥t s♦♥t ss♠♠♥t s♣♦r q ss♠♥t s é♥ ♥t s♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♥ r♥♦r♠ s♦♠s à ♥ sés♠ ♦♥ ♣t é♥r ③♦♥ é♥♠♥t ss♠♥t t é♥♠♥t s♠♥t
♦♥séré st r♣rés♥té ♥s r 3.1 ét♥t ♥♦r♠ s♦♥ ♥tr rté st ♦♥♦♥ s♦♥ ♥tr é♦♠étrq
r é♠ ♥ s♥t
♥ ♦♥sèr ♥ ♥st♥t ♦♥♥é sés♠ éért♦♥ rt t♦t t (g +γz) ♥ r s rs éért♦♥s ♦r③♦♥ts (γx, γy) é♥♥t ♣r♠rs♠♥t ♦ ♣r♠r ss♠♥t
étr♠♥t♦♥ ♣r♠r ss♠♥t
éqr sttq ♣r♠t r♣♠♥t tr♦r s rs éért♦♥♠ts à ♣rtr sqs ss♠♥t s é♥ ♥ tr♦ q ss éért♦♥s♠ts (γSx, γSy) é♦♥t sr ♥ r é♥ ♣r
γ2Sx + γ2Sy = µ2S (g + γz)
2
é♥♠♥t ss♠♥t ♦r♥ r ♦rt rét♦♥ ♦r③♦♥t ♣r♥ ♠①♠♠ q ♦rrs♣♦♥ à ♠t é♥♠♥t ss♠♥t
étr♠♥t♦♥ ♣r♠r s♠♥t
éqr sttq ♥ r♦tt♦♥ ♥s ♥ s ♣♥s s♠♥t ♣r♠tr♣♠♥t tr♦r s rs éért♦♥ ♠ts à ♣rtr sqs s s♠♥ts s é♥♥t ♥ tr♦ ss éért♦♥s ♠ts (γBx, γBy) é♥s ♣r
‖γBx‖ = (g + γz)a
H
‖γBy‖ = (g + γz)b
H
❯♥ ♦s s♠♥t é♥é ②♥♠q strtr st ♦♠♣① t s♦♥♦♠♣♦rt♠♥t ♥ r♦tt♦♥ ♥♥ très ♦rt♠♥t ♦rt rt ♣♦♥t ♦♥tt s♦ ♥s s ♣ss r♦ss♠♥t ♥ s♠♥t ♦rt rét♦♥ rtst ♣s r♥ q ♥ s♥s s♠♥t ♥s s ♣ss ♠♥t♦♥ ♥ s♠♥t ♣s s♥t ♦rt rét♦♥ rt st ♣s q ♥ s♥s r♦tt♦♥ s♥♥ ♠ê♠ ♦rsq st très ♣r♦ s♦ é♦ ♦♥ ♣♥♥t qqs ♥st♥ts ♥t t♦r s♦ é♥ ss♠♥t
♦♠♥ té ②♣♦tès ♥♦♥s♠♥t
♥ ♣t r♣rés♥tr s ♦♠♥s é♥♠♥t s ♣r♠rs ss♠♥ts t ♣r♠rs s♠♥ts sr ♥ ♠ê♠ sé♠ ♦s ♦♥sérr♦♥s ♣srs ♦♥rt♦♥sé♦♠étrqs ♣♦r str s ér♥ts s ♣♦sss ♦s r♣rés♥t♦♥s ♥ss sé♠s ss♦s s ss é♥♠♥t ♣r♠r ss♠♥t t ♣r♠rs♠♥t
s r♠♠s s s♥t ♠♥èr s♥t s②stè♠ st ♥t♠♥t r♣♦st s st ♦♥ à ♦r♥ r♣èr Ps s♥ ss♠q s é♥ ét♥tét♦r t♦s s trts r♠♥t s♦♥t ♣♦sss t ♣♥t êtr r♣rés♥tés srs sé♠s ♦rsq♥ ♥ st r♥ s♦t r s♦t s r♦ts ♥stté♦rrs♣♦♥♥t st ♥té sr ét ss♠♥t s r st r♥ t ét s♠♥t s ♥ s ♥s st r♥
♦rsq♥ ss♠♥t st ♥té s ♦rts tér① tr♥s♠s ♣r sés♠ s♦♥t ♦r♥és ♥ sr ♦♥ ♣s ♣♦ss é♥r ♥ s♠♥t ♦rsq t♦tté r str♦ à ♥ ♣s r♥ st♥ ♦r♥ q s r♦ts s ss é♥♠♥ts s♠♥ts ré♣r♦q ♥st ♣s r stàr q st ♣♦ss q♥ ♥ tr♥ sr ♣ss é♥r ♥ ♣s ss♠♥t
trtr ♣t
s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.2 ♥ r♠rqq s ss♠♥t ♣t s é♥r
r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtr♣t
trtr ♥st sr ♥ ôté
s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.3 ♥ r♠rqq strtr ① ♦♠♣♦rt♠♥ts st♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ① s♦tt♦♥ ♣♦rr sr s♥s ss♠♥t ♣♦r ♥ s♦tt♦♥ s♥t ey t ssr s♥s s♠♥t ♣♦r ♥ s♦tt♦♥ s♥t ex
trtr é♥é
s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.4 ♥ r♠rqq strtr é♥é rét sés♠ ♣r♥♣♠♥t ♣r ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♦t♦♥ t♠♣♦r sés♠ st ♣♦ss q♥ ss♠♥ts é♥ ♥♦t♠♠♥t ♥s s ♣ss ♦ù strtr r♥t à s ♣♦st♦♥ st ♣rès♥ s♠♥t
r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtr♥st sr ♥ ôté
trtr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣①
s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.5 ♥ r♠rqq ♥s tt ♦♥rt♦♥ trt r♠♥t ♥♥ très ♦rt♠♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts trs strtr ♥ t st ♣♦ss é♥r s♦t ♥ ss♠♥ts♦t ♥ s♠♥t ♦rsq ss♠♥t st é♥é ♥ ♣r♠r st ♣♦ss qs s♠♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣♦sss t♥t q ss♠♥t st t sr s♦rsq ♦♥t r♦tt♠♥t ②♥♠q st ♥tt♠♥t ♣s q ♦♥t r♦tt♠♥t sttq ♦rs q s ♥ s♠♥t st é♥é ♥ ♣r♠r st ♦♠♣♦rt♠♥t st ♥rt♥
st ♠♣♦rt♥t ♥tr s strtrs ♥ ♣r♦♣♦sr ♥ ♦♥trô t ♣r♠tt♥t♦r♥tr ♠♥ r♠♥t rs s ③♦♥s ss♠♥t ♣tôt q sr s ③♦♥s s♠♥t ♥ ♣t ♣♥sr ♥♦t♠♠♥t à s ♦strs r♠♦♥qs ♦rés♦r♥tés ♥s s ♦♥♥s rt♦♥s t ♦rés ① réq♥s ♣r♥♣s ré♣♦♥s strtr
♥① ss♠qs
♥ ♦♥♥r ♥ ♣♦rté é♥ér à ♥♦tr ♠♦è ♥♦s ♥ s♦♥s ♣s ②♣♦tèss♦rts sr s s♥① ss♠qs tsés ♣t sr s♥① ss♠qs rés sss ♠sr s♥① s②♥tétqs sss s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦ s♥① ♣rts ♦ss ♣r tstr s♦♠♠s s♥s♦ïs ♣réé♥s rt ♥ r♠♥tsré♥① ♠♣ts
r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtré♥é
♥① ss♠qs t♠♣♦rs
s s♥① ss♠qs t♠♣♦rs ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥♥é ♥tré ♥♦tr ♠♦è ♥st ♣s ♥éssr ♠♦r ♣♥♥t ♦♥ s♣♣♦s s s♥① ss♠qs é♥t♦♥♥és à ♥ ♣ér♦ ∆TS ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r r♣rés♥tr t♦s s ♦♥t♥s réq♥ts ♣rt♥♥ts t é♥t♦♥♥ t ♦♠♠ ♥ tr ♣sss sr ♥♦tr s②stè♠ réq♥ ♦♣r st rt♠♥t é ♦① ∆TS ♣r♥♣ sté♥♦♥é ♥s é♦rè♠ é♥t♦♥ ②qst♥♥♦♥ []
1
∆TS≥ 2fM
fM réq♥ ♠①♠ ♥térêt ♥♦tr ét
♥① é♥érés à ♣rtr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t
s rès ♠♥s♦♥♥♠♥t ss♠q ♦♥t été st♦rq♠♥t é♥s sr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t s♥trs ♥érs st ♦♥♥é ♥s ♣tr s s étr♠♥sts ♥♦♥♥érss♦♥t tés à ♣rtr s♥① ss♠qs t♠♣♦rs t ♥ésst♥t ♦♥ é♥érr ss♥① t♠♣♦rs à ♣rtr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ tr♥t ét♦r♠♥t sé♣ss ♣♦r ♥ s réq♥s
♥ ♦t♥t ♥s ♥ s♥ ss♠q t♠♣♦r q st ♥st tr♦♥qé à ré sés♠ Ps à ♥ tr♥s♦r♠é ♦rrr ♦♥ ér q s♣tr s♥é♥éré st s ♣r♦♣rétés ♣r♦s s s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t t st
r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣①
s ♦♥ ♦♥sr s♥ ♥♦♥ ♦♥ ♣t ♦♦str ♥♥ rt♥s réq♥ss♦séés ♥ rr ♠♣t sr s♥ ss♠q t♠♣♦r r ♥r s♠r ① s♥① ss♠qs rés ♣s r♦ss♥ s♥ ♣s ♦rt♣s ér♦ss♥ ♦♥ ♦♥sr ♥s s ♦♥trr ♦♥ r♦♠♠♥ trét♦r s é♣ss s réq♥s ♥tr s
st ♥éssr é♥érr ♠t♣s s♥① t♠♣♦rs à ♣rtr ♥ s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ ♦rr t♦s s sés♠s ♣♦sss s ♣ss ét♥t trés ét♦r♠♥t st ♣♦ss tr♦r s s♥① t♠♣♦rs ♠♦♥s ♣é♥s♥ts ♥ ♦♥t♦♥s trs s trs rs ét♦rs r♦♥♥t ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥tst♦stq
és♠s ❯ s réstts ♦t♥s à ♥ ♣tr sr♦♥t ♦t♥s à s sés♠s ❯ q ♦♥t été é♥érés à ♣rtr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ssss ♥♦r♠s r♦♣é♥♥s ♥ tsr ♥♦t♠♠♥t s s♥① ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ s♦ rr ♠♦②♥♥
t ♥ ♣♦tr ss♥t
♥s s s strtrs ♠♠rés é♥és s rtérstqs ♦tqs ré♣♦♥s strtr ss♥t r♥♥t ♥éssrs ♥ ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ ♥ tt♥r tt ♦t ♥♦s ♠♦és♦♥s strtr é♥é s♦s ♦r♠ ♥ ♣♦trr♦t t ♥♦r♠ s♦♠s à ♥ ♦♣ strtr s♦s r♠♥t ss♠q ét♦r ♠♦è ♣s été ♣r♠ttr étr ♣rt♥♥ ♥ tr♦♥tr s♠♦s ♣r♦♣rs
sr♣t♦♥ ♠♦é
♠♦è ♣♦tr ss♥t st r♣rés♥té ♣r ♥ ♣♦tr st♦♥ S ♦♥r l t♠tr ♥rt I ♦♠♣♦sé ♥ ♠tér ♦♠♦è♥ ♠ss ♦♠q ρ t ♠♦❨♦♥ E ♥ s♣♣♦sr q ♣♦tr ♣t ssr s♥s sr ♥ ♦♥sérr ♦♥♥ ♣♦tr ♦♥t s r♦tt♦♥s s♦♥t ♦qés ♥ z = 0 t ♥ ①tré♠té r ♥ z = L
♥ t ②♣♦tès q s ①s ♣r♥♣① st♦♥ s♦♥t ♦♥♦♥s s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥ ♣t s♠♣r ①♣rss♦♥ ♥rt ♥ s ♦♥♥♥t s rtérstqsIxx t Iyy s rs s ♥rts ♣♥t êtr ♦t♥s à ♣rtr s ♣r♠èrs réq♥s♣r♦♣rs ♠srés sr strtr ré sè ♥ ts ♦rs ♥ ♠ét♦ s ♠♦♥rsrrés ♣♦r ♦t♥r ♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s♦t r s ♣r♠èrs réq♥s ♦st♦♥ ♣r♦♣r s♥t ❳ t ❨ s♦t ♦r♠ s ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs strtr s♦t ♥ rtèr ♠①t ♦♥♥♥t ♥ ♣♦♥ért♦♥ ① ① rtèrs ♣réé♥ts❯♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s réq♥s ♣r♦♣rs ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♠♥èr ♣rt♥♥t s ♣é♥♦♠è♥s rés♦♥♥ strtr ❯♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s é♦r♠és♠♦s ♣r♠t ♥ ♠r ét♦♥ ♠ss ♦♣ strtr ♥s s s ♠s é♣ssr ♠ss ♠♦ ♦té ♣r ♦♣ sts♥s♠♥t s♣érr à ♠ss ♠♦ strtr sè ❯♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ é♦r♠é ♠♦ st ♦♥ ♥éssr
s ♠sss ♥éqs ♦♣ strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♣r s ♦♥t♦♥smα
xx(z, t) mαxy(z, t) t mα
yy(z, t) ①♣♦s♥t (α) sr r♠♣é ♣r H ♣♦r ♠ss ②r♦②♥♠q 1 ♣♦r ♠ss ♦♣ t②♣ r♠è ♠ss ♦♣r♠è st ♥♦r♠é♠♥t ré♣rt sr tr t ♥ é♣♥ ♦♥ ♣s z ♣s ♦♥ m1
xy(t) = 0 s ♠ét♦s ♦t♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣tr s ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ②♣♦tès ♦♣ strtr ♥ é♦♠♥t ♦♥♥é ♣♥ s ♠sss ♥éqs ♦♣ ♦♥t à ♦s ♥ é♣♥♥ s♣tt t♠♣♦r é♣♥♥ t♠♣♦r st é à tst♦♥ é♦♠ètr s♠s é♣♥♥ s♣t ♥q♠♥t s♥t z r♣rés♥t é♦t♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ ♦♥t♦♥ tt ♦rs ♠s ♥ ①♦♥ strtr r♥r ♣♦♥t st r♣rés♥té ♥s r 3.6
s ②♣♦tèss ♣♦rt♥t sr ss♠♥t s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣rt (3.2.1) ♣s♦♥ s♣♣♦s q sés♠ rt ♥ t ♣s é♦r strtr stàr |γz(t)| < g♥ ♥é ♥s tt ♣rt r♦tt♦♥ t♦r ① rt ez s ss ♠♦♠♥ts♦♥sérés s♦♥t ♦♥ s ♠♦♠♥ts ♦r♣s r tr♥st♦♥ t ♠s ♥ ①♦♥ ♣♦tr ♦rrs♣♦♥♥t à s ès s♥t ex t ey
s ♥ éqt♦♥ ♣r♦è♠
s②stè♠ été ♣t s ♠ttr ♥ éqt♦♥ s♦s ♦r♠ s♥t
r é♠ ré♣rés♥t♥t s é♣♠♥ts tsés ♣♦r ♠♦è étr♠♥t♦♥ ♦♣ strtr ♥ ♦♥t♦♥ ♠s ♥ ①♦♥ strtr
(ρS +mH
xx(z, t))ux(z, t) +mH
xy(z, t)uy(z, t) +(mH
xx(z, t) + c)ux(z, t) + mH
xy(z, t)uy(z, t)
+ EIxxd4uxdz4
(z, t) = Rx(t)δ0(z) +(m1
xx − ρS)γx(t)
(ρS +mH
yy
)uy(z, t) +mH
xy(z, t)ux(z, t) +(mH
yy(z, t) + c)uy(z, t) + mH
xy(z, t)ux(z, t)
+ EIyyd4uydz4
(z, t) = Ry(t)δ0(z) +(m1
yy − ρS)γy(t)
Rz(t) =
∫ L
z=0
(ρS −m1
zz
)dz (γz(t) + g)
δ0(z) ♥ ♦♥t♦♥ r ♥t ♣♦r z = 0 t c ♠♦rtss♠♥t strtrsè
♥ ♥tr♦t s ♦♥t♦♥s ♦r♠s φi(z) ♦rrs♣♦♥♥t à s ♦♥t♦♥s ♠♦s
♣r♦♣rs ♣♦tr s ♦♥t♦♥s ♠♦s ♣r♦♣rs φi(z) ♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts s♥t
ex t ey q ♦♥ ♥♦t φxi t φyi é♣♠♥t s réért
Ux(z, t) = φxT (z)q(t)
Uy(z, t) = φyT (z)q(t)
s éqt♦♥s s réér♥t s♦s ♦r♠ s♥t
∑
i
[(ρS +mH
xx
)(z, t)φxi(z)qi(t) +mH
xy(z, t)φyi(z)qi(t) +(mH
xx(z, t) +ml2ξiωi
)φxi(z)qi(t)
+mHxy(z, t)φyi(z)qi(t) + EIxx
d4φxi
dz4(z)qi(t)
]= Rx(t)δ0(z) +
(m1
xx − ρS)γx(t)
∑
i
[(ρS +mH
yy
)(z, t)φyi(z)qi(t) +mH
xy(z, t)φyi(z)qi(t) +(mH
yy(z, t) +ml2ξiωi
)φyi(z)qi(t)
+mHxy(z, t)φxi(z)qi(t) + EIyy
d4φyi
dz4(z)qi(t)
]= Ry(t)δ0(z) +
(m1
yy − ρS)γy(t)
Rz(t) =
∫ H
z=0
(ρS −m1
zz
)dz (γz(t) + g)
♥tr♦s♥t ξi ♦♥t ♠♦rtss♠♥t ♠♦ i ωi ♣st♦♥ ♣r♦♣r ♠♦ i s ♦♥ts ♠♦rtss♠♥t t s ♣st♦♥s é♣♥♥t s ♠♦♣r♦♣r ♦♥séré ♥s st ♥♦s ♣résr♦♥s ér♥ts ♥♦tt♦♥s ♣♦r st♥r sér♥ts ss ♠♦s ♣r♦♣rs
♥ ♣r♦t♥t sr ♠♦ ♣r♦♣r φj(z) ♦♥ ♣t réérr tt éqt♦♥
(M +MIFS
)q(t) +
(C + CIFS
)q(t) +Kq(t) = R− F + FIFS
♥ ♥tr♦s♥t
M =∫ L
z=0ρSφT .φ(z)dz
(Mij =
∫ L
z=0ρS (φxi(z).φxj(z) + φyi(z).φyj(z)) dz
)
MIFS =∫ L
z=0φT .MH .φ(z, t)dz
(M IFS
ij =∫ L
z=0
(mH
xx(z, t)φxi(z).φxj(z) +mHxy(z, t)φxi(z).φyj(z)
+mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z) +mH
yy(z, t)φyi(z).φyj(z)dz)
C =∫ L
z=0ρS2ξiωiφ
T .φ(z)dz(Cij =
∫ L
z=0ρS2ξiωi (φxi(z).φxj(z) + φyi(z).φyj(z)) dz
)
CIFS =∫ L
z=0φT .MH .φ(z, t)dz
(CIFS
ij =∫ L
z=0
(mH
xx(z, t)φxi(z).φxj(z) + mHxy(z, t)φxi(z).φyj(z)
+mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z) + mH
yy(z, t)φyi(z).φyj(z))dz)
K =
ω21 0 . . . 0
0 ω22 0 . . .
0 0
0 . . . 0 ω2N
s ωi é♣♥♥t s ♠♦ sét♦♥♥é
R = φT (0).R(t) Ri(t) = (φxi(0)Rx(t) + φyi(0)Ry(t)) ,
F =∫ L
z=0ρSφT (z)γ(t)dz Fi(t) =
∫ L
z=0ρS (φxi(z)γx(t) + φyi(z)γy(t)) dz
FIFS =∫ L
z=0φT (z).M1(z).γ(t)dz Fi(t) =
∫ L
z=0
(m1
xxφxi(z)γx(t) +m1yyφyi(z)γy(t)
)dz
♠♦ést♦♥ ♦♣ strtr rt♥ ♥s tt tès ♠♦ s♥s♠♥t s éqt♦♥s ssqs ②♥♠q s strtrs t ♣♣rîtr s♠trs ♦♣ strtr MIFS CIFS t FIFS s tr♠s s♦♥t ♦♠♣①s à
étr♠♥r t r♥t ♦rt♠♥t ♦rs t♠♣s s r♥♥t ♦♥ éqt♦♥ t♠♥t♥♦♥ ♥ér s♦t à ♥♦♥♥érté ♦♥tt r♦tt♥t ♥ s♦
♠♦ést♦♥ ♦♣ strtr rt♥ ♥s tt tès st ♥♥♦♥t ♣rr♣♣♦rt ① ♦♣s t♠♥t tsés s s♦t♦♥s ♥②tqs ♦ qs♥②tqs t ♣♣rîtr ♥ ♦♣ s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥s s ♠trs ♠ss ♦té
∫ L
z=0
(mH
xy(z, t)φxi(z).φyj(z) +mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z)
)dz
♥s q♥ tr♠ ss♣t é à rt♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦♣s ②r♦②♥♠qs
CIFSij =
∫ L
z=0
(mH
xx(z, t)φxi(z).φxj(z) + mHxy(z, t)φxi(z).φyj(z)
+mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z) + mH
yy(z, t)φyi(z).φyj(z))dz
s ♥♦♥♥értés ♦♥tt ♣♥t êtr ♠♥t ♥térés ♥s ♦① s ♠♦s ♣r♦♣rs s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥♦t♠♠♥t ♥ s♦ ♣r♠tt♥t ♠♦ésr ♠♥èr ♣rt♥♥t ♣s ér♥t à ♥ ♥str♠♥t t ♣s ss♥t ♣r ♥ ssèr ♥s s rt♦♥s ex t ey ♥♠♥t étt ♦♥tt ♦rrs♣♦♥r à ♥ ♥♠♥t s ♠♦ ♥ ♣t ♦♥sérr tt♥♦♥♥érté ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣♦r ♥ér ♣r ♠♦rç① ♦♥t ♦♥ r s♦t♦♥ ♥②tq
s ♥♦♥♥értés sss ♦♣ strtr s♦♥t ♣s ♦♠♣①s à érr s♠♣t♥t rt♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♣♦tr ♥ ♠♦♥t ♠tr ♠ss tt ♠♦t♦♥ st ♦ ♦t♦♥ ♣st♦♥ ♣r♦♣r ♠♥t♦♥ ♣r ♦t ♠sss ♠♦s ts ♦t♦♥ ♦r♠ s ♠♦s ♣r♦♣rs r ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦♣strtr ♣t ♥ ♣s sr strtr ♥t
♦♣ s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥s s é♦r♠és s ♠♦s ♣r♦♣rs
①♠♣s ♠♦t♦♥ ♠♦s ♣r♦♣rs ♣r s ②♣♦tèss tssr ♦♣ strtr
♥ strr s ① ♣r♠rs ♣é♥♦♠è♥s ♦♥sér♦♥s s tr♦s strtrs ss♦s 3.7 ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ s♠♣ ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♥ ♦♣strtr ♣♥ (ex, ey) s♥s rt♦♥ ♦♣ ♥ ♦♥t♦♥ tt ♥♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♥ ♦♣ strtr ♥ rt♦♥ ♥ér ♥♦♥t♦♥ tt ♥érst♦♥ é♣♥♥ ♥ z
r P♦tr ♦♥s♦ s♥s ♦♣ strtr ♠ P♦tr♦♥s♦ ♥ ♠ss ♦té ♥♦r♠ r♦t P♦tr ♦♥s♦ ♥ ♠ss♦té r♥t ♥ér♠♥t sr tr ♣♦tr
s ♠♦s t s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ♥s s tr♦s s s♦♥t ♦t♥s ♥ rés♦♥t séqt♦♥s éqr 3.9 3.10 t 3.11 s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s♦♥t s♠rs q qs♦t ♦♣ strtr tsé t s♦♥t ♣rés♥tés ♥s éqt♦♥ 3.12
EIφ(4)(z)− ρSω2φ(z) = 0
EIφ(4)(z)−(ρS +mH
)ω2φ(z) = 0
EIφ(4)(z)−(ρS +mH z
L
)ω2φ(z) = 0
φ(0) = 0, φ′(0) = 0
M(L) = EIφ′′(L) = 0, V (L) = EIφ(3)(L) = 0
és♦t♦♥ ♣r♠r ①♠♣ ♣♦tr ♦♥s♦ s♠♣
♣r♠èr éqt♦♥ st ♥ éqr ②♥♠q ssq ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ r♥t♥ ts♥t ♠ét♦ été ♥s ❬❪ ♦♥ tr♦ ♥ s s♦t♦♥s t②♣
φ(z) = A1 sin(az) + A2 cos(az) + A3 sinh(az) + A4 cosh(az)
a4 = ω2ρS
EI
s ♦♥ts A1 A2 A3 t A4 s♦♥t étr♠♥és à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts t♦♥t stsr
A3 = −A1 ,
A4 = −A2
(sin(aL) + sinh(aL) cos(aL) + cosh(aL)cos(aL) + cosh(aL) sinh(aL)− sin(aL)
)(A1
A2
)=
(00
)
tt r♥èr éqt♦♥ ♥♠t s s♦t♦♥s ♥♦♥ ♥s q s s♦♥ étr♠♥♥t st♥ st s ♥♦♥♥s a ♦♥t érr
1 + cos(aL) cosh(aL) = 0
② ♥ ♥♥té s♦t♦♥ ♥ ♣t ♦♥♥r s rs ♣♣r♦és s ♣r♠èrs♣st♦♥s ♣r♦♣rs
ω1 =(1.875L
)2√EIρS
,
ω2 =(4.694L
)2√EIρS
,
ω3 =(7.855L
)2√EIρS
P♦r s ♣st♦♥s ♦rrs s♣érrs st ♣♦ss ♦♥♥r ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥s②♠♣t♦tq q s réè êtr ♥ ♦♥♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♦r n ≥ 3
ωn ≈((2n− 1) π
2L
)2√EI
ρS
♦r♠ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦t♥s st ♦♥♥é ♣r
φ(z) = A1
[sin(az)− sinh(az)
sin(aL) + sinh(aL)
cos(aL) + cosh(aL)(cosh(az)− cos(az))
]
és♦t♦♥ ①è♠ ①♠♣ ♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♦♣ strtr ♥♦r♠
①è♠ éqt♦♥ ♦rrs♣♦♥ à éqr ②♥♠q ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♥♠ss ♥éq ♣s éé ♦ts s éqt♦♥s ①♠♣ ♣réé♥t s♦♥t érés ♥
♠♦♥t a4 =ω2(ρS+mH)
EI ♠♦ ♥q♠♥t ♣st♦♥ ♣r♦♣r t ♦r♠ s
♠♦s rst ♥♥é
ω1 =(1.875L
)2√ EIρS+mH ,
ω2 =(4.694L
)2√ EIρS+mH ,
ω3 =(7.855L
)2√ EIρS+mH
P♦r s ♣st♦♥s ♦rrs s♣érrs st ♣♦ss ♦♥♥r ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥s②♠♣t♦tq q s réè êtr ♥ ♦♥♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♦r n ≥ 3
ωn ≈((2n− 1) π
2L
)2√
EI
ρS +mH
és♦t♦♥ tr♦sè♠ ①♠♣ ♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♦♣ strtr é♦♥t ♥ér♠♥t ♥ z
tr♦sè♠ s②stè♠ été ♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ éqt♦♥
EIφ(4)(z)−(ρS +mH z
L
)ω2φ(z) = 0
ét s♦t♦♥ ♥②tq s♠♣ ♥♦s rr♦♥s s s♦t♦♥s éqt♦♥ér♥t è♠ ♦rr s♦s ♦r♠
φ(z) = P (z)eαz
ù P (z) =∑∞
i=0 aizi r♣rés♥t ♥ ♣♦②♥ô♠ éré ♥♥ à étr♠♥r s ♦♥
t♦♥s ① ♠ts ♥ z = 0 sér♥t a0 = 0,
a1 + αa0 = ⇒ a1 = 0
s ♥ z = L sér♥t [P ′′(L) + 2αP ′(L) + α2P (L)] eαL = 0,[P (3)(L) + 3αP ′′(L) + 3α2P ′(L) + α3P (L)
]eαL = 0
♦t ♥ r♠♣ç♥t ♣r ①♣rss♦♥ ♣♦②♥♦♠ ∑∞
i=0 [(i+ 2)(i+ 1)ai+2Li + 2(i+ 1)αai+1L
i + α2aiLi] = 0,∑∞
i=0 [(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)ai+3Li + 3α(i+ 2)(i+ 1)ai+2L
i + 3α2(i+ 1)ai+1Li + α3aiL
i] = 0
♥ s sr♥t s réstts 3.24 éqt♦♥ ér♥t (3.23) ♣t s réérr s♦s ♦r♠ s♥t P♦r i = 0
2a4 + 2αa3 + α2a2 = 0
P♦r i 6= 0
(i+ 4)(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)ai+4 + 4α(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)ai+3 + 6α2(i+ 2)(i+ 1)ai+2
+4α3(i+ 1)ai+1 +[α4 − β0
]ai + β1ai−1 = 0
β0 = ρSω2 t β1 =mHω2
L
s éqt♦♥s sss ♦rrs♣♦♥♥t à s s②stè♠s éqt♦♥s ♥érrs q ♣♥tsérr s♦s ♦r♠ ♠tr ♠♥s♦♥ ♥♥
1 0 0 0 0 0 0α 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 d1 d2 d3 d4 d5 d6 0 0 0
0 0 0 0
· · · · · · h1 · · · · · ·· · · · · · h2 · · · · · ·
.
a0a1
ai
=
00
0
d1 =
β1
, d2 =
α4 − β0
,
d3 =
4α3(i+ 1)
, d4 =
6α2(i+ 2)(i+ 1)
,
d5 =
4α(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)
, d6 =
(i+ 4)(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)
h1 =
α2
α2L+ 2α
α2Li + 2iαLi−1 + i(i− 1)Li−2
,
h2 =
α3
α3L+ 3α2
α3L2 + 3α2L+ 6α
α3Li + 3iα2Li−1 + 3i(i− 1)αLi−2 + i(i− 1)(i− 2)Li−3
♦♥ s ♠t ① ♣♦②♥ô♠s ♦rr ♥tr st ♣♦ss étr♠♥r s rs α ♥♥♥t étr♠♥♥t Ps ♥ tst♦♥ ♣♦t ss ♣r♠t tr♦r srs t♦s s ♦♥ts ai s ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ét♥t é♥s à ♥ ♦♥st♥t♣rès ♥ rr ♣r ①♠♣ a2 ♣rès ♥ ♠♥♣t♦♥ s ①♣rss♦♥s s ①♣♦♥♥ts ♦♥ ♣t é♠♦♥trr q♦♥ ♦t♥t ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs q ♦rrs♣♦♥ à ♥♦♠♥s♦♥ ♥ ♣♦②♥ô♠ t ①♣♦♥♥ts
ré♣rtt♦♥ ♠ss ♦♣ sr ♥♦tr s②stè♠ ♥ r♥ ♥♥sr ♦r♠ s ♠♦s ♣r♦♣rs t ♦♠♣① trés ♥tt♠♥t rés♦t♦♥ ♥②tq s②stè♠ ♥s st ♥♦s s♣♣♦sr♦♥s s♦t q ♠ss ♦♣ st ♠ê♠ré♣rtt♦♥ s♣t q ♠ss strtr s♦t ♥♦s ♣r♦tr♦♥s ♦♥trt♦♥ ♠ss ♦♣ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè ♥s ①è♠ s ♦♥ é♥r ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♦♠♠♦♠♥s♦♥ ♥ér s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè ♥ r ♥st sré♣♦♥ss s ♦strs à strtr ♠♠ré
Pr♦t♦♥ s éqt♦♥s sr s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè t é♥t♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré
é♥t♦♥ s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♥sérés
♥ ♠tr ♥♦♠r ②♣♦tèss tsés ♥♦s ♦♥s ♣r♦tr s ♠sss ♥éqs ♦♣ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦s tsr♦♥s ① ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ étt ♦♥tt ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t ss♠♥t s♥s s♠♥t ♥ ♣ ①tré♠té t r
♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♦♥s♦ ♥strér q ♦rrs♣♦♥ à ♥♣s ér♥ strtr
♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t ♣♦tr ss♥t s♥ss♠♥t ér s ♦♥t♦♥s ① ♠ts
φ′(0) = 0, φ(3)(0) = 0,
M(L) = EIφ′′(L) = 0, V (L) = EIφ(3)(L) = 0.
♦s r♣♣♦♥s r♣♠♥t ①♣rss♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦ss♣♣♦sr♦♥s q s ①s r♣èr ex, ey s♦♥t ♥és s ①s ♣r♥♣① st♦♥ ♣♦tr ♥s ♥② ♣s ♦♣ ♥tr s rt♦♥s ①♦♥ ♣♦tr ♥ ♣t ♦♥ st♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ①♦♥ ♥s ♥ s rt♦♥s
φx1(z) = 1, φx
i+1(z) = cos(axi z) +cos(axiL)
cosh(axiL)cosh(axi z)
φy1(z) = 1, φy
i+1(z) = cos(ayi z) +cos(ayiL)
cosh(ayiL)cosh(ayi z)
s ♦♥ts axi t ayi ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣st♦♥s s♣ts s ♠♦s ♣r♦♣rs s
s♦♥t ♥tqs s♥t s ① rt♦♥s t ér♥t éqt♦♥
∀i, tan(aiL) = − tanh(aiL)
a1L ≈ 2.365, aiL ≈ (i− 1)π +3π
4.
♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♦♥s♦ ♣♦tr ♦♥s♦ ér s ♦♥t♦♥s ①♠ts
ψ(0) = 0, ψ′(0) = 0,
M(L) = EIψ′′(L) = 0, V (L) = EIψ(3)(L) = 0.
♦s r♣♣♦♥s r♣♠♥t ①♣rss♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦ss♣♣♦sr♦♥s q s ①s r♣èr ex, ey s♦♥t ♥és s ①s ♣r♥♣① st♦♥ ♣♦tr ♥s ♥② ♣s ♦♣ ♥tr s rt♦♥s ①♦♥ ♣♦tr ♥ ♣t ♦♥ st♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ①♦♥ ♥s ♥ s rt♦♥s
ψxi (z) = sin(bxi z)− sinh(bxi z) +
sinh(bxiL) + sin(bxiL)
cosh(bxiL) + cos(bxiL)(cosh(bxi z)− cos(bxi z))
ψyi (z) = sin(byi z)− sinh(byi z) +
sinh(byiL) + sin(byiL)
cosh(byiL) + cos(byiL)(cosh(byi z)− cos(byi z))
s ♦♥ts bxi t byi ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣st♦♥s s♣ts s ♠♦s ♣r♦♣rs ss♦♥t ♥tqs s♥t s ① rt♦♥s t ér♥t éqt♦♥
1 + cos(biL) cosh(biL) = 0,
b1L ≈ 1.875, b2L ≈ 4.694, biL ≈ (2i− 1)π
2.
P♦r s rs♦♥s s♠♣té ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s q rt♦♥ sr q s ♠♦ é♥♠♦♥s ♥s♠ s réstts ♣rés♥tés st q q s♦t ♥♦♠r ♠♦s ♦♥sérés ♥s q rt♦♥ sr ♥ s ss♠♦s
♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♦rs ♥ s♦tt♦♥ ss♠qétt ♦♥tt ♣t é♦r ♣ss♥t ♥ ♣s ér♥ à ♥ ♣s ss♠♥t st ♦♥ ♥éssr é♥r ♥ ♠ét♦ ♣ss ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs àtr ♥ tr♦ rt♦♥ ♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♣r♦t♥t é♣♠♥t sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t φ
it ♥
ts♥t s ♣r♦♣rétés ♦rt♦♦♥té s ♠♦s ♣r♦♣rs
qxi (t)‖φxi ‖2 =
∫ L
z=0
φxi (z)ux(z, t)dz =
∫ L
z=0
(φxi (z)U0x(t) + φx
i (z)N∑
j=1
ψxj (z)qxcj(t)
)dz,
qyi (t)‖φyi ‖2 =
∫ L
z=0
φyi (z)uy(z, t)dz =
∫ L
z=0
(φyi (z)U0y(t) + φy
i (z)N∑
j=1
ψyj (z)qycj(t)
)dz,
♥ ♥tr♦t U0(t) é♣♠♥t ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦tr ss♥t ♥ ♣trés♠r s♦s ♦r♠
qx(t) = T .q
xc(t) + L.U0x(t)
qy(t) = T .q
yc(t) + L.U0y(t)
♥ é♥ ♥s ♥ ♠tr ♥♠♥t ss T t ♥ tr ♣r♦t♦♥ é♣♠♥t ♦r♣s r L s t♥srs ♥ é♣♥♥t ♣s rt♦♥ ♦♥séré
T (i, j) =
∫ L
z=0φi(z)ψj(z)dz
‖φi‖2
L(i) =
∫ L
z=0φi(z)dz
‖φi‖2
s ♠♦s ♣r♦♣rs sr q s♦♥t ♣r♦tés s éqt♦♥s ②♥♠q s②stè♠ é♣♥ étt ♦♥tt P♥♥t ♣s ér♥ ♦rrs♣♦♥♥tà étt ♥t strtr s tsé sr ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♣rés♥té♥s s éqt♦♥s (3.38) t (3.39) ♦rsq strtr st ss♠♠♥t s♦té ♣♦r♦♠♠♥r ♥ ss♠♥t ♦♥ ♣r♦tt s éqt♦♥s sr s ♠♦ ♣♦tr ss♥ts♥s s♠♥t ♣rés♥té ♥s s éqt♦♥s (3.33) t (3.34)
♣ss ♥ s à tr ♦rs ♥♠♥t étt ♦♥tt ♥ésst st♦ s é♣♠♥ts ♦r♣s r ♣♦tr s ②♣♦tèss sr s♥ s♠♥t ♦♥t ♦rrs♣♦♥r s é♣♠♥ts ♦r♣s r é♣♠♥t ♣♦♥t ♦♥tt U0(t)
Pr♦t♦♥ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♦♥s♦ ♣sér♥t
♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♥s ♥ ♣s ér♥t strtr s ♠♦s ♣r♦♣rstsé st ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦s ♥♠ér♦tr♦♥s s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♥èrà rr♦♣r s ♠♦s s♥t ex t ey ♥s ♥ ♥q tr ♠♦s ♣r♦♣rs ♥♦♥sér♥t ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s q rt♦♥ ♦♥ ♥♦tr
φ(z) =
φx1(z)
φxN(z)φy1(z)
φyN(z)
♥ ♦t♥t ♥s ♥ tr ♠♥s♦♥ 2N ♥ tsr ♥♦tt♦♥ φi(z) ♣♦rés♥r ieme ♦♠♣♦s♥t tr φ(z)
♣r♦t♦♥ s éqt♦♥s éqr st ♥ ts♥t s ①♣rss♦♥s s ♠♦s♣r♦♣rs ♥s s ①♣rss♦♥s (3.8) ♥ ♦t♥t ♥s
M =
m1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 mi 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 m2N
mi =∫ L
z=0ρSφ2
i (z)
(AM
ij =∫ L
z=0mH
xx(z, t)φxi(z).φxj(z)dz,
˜MIFS =
(AM BM
TBM DM
)BM
ij =∫ L
z=0mH
xy(z, t)φxi(z).φyj(z)dz,
DMij =
∫ L
z=0mH
yy(z, t)φyi(z).φyj(z)dz)
C =
c1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 ci 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 c2N
ci = 2ξiωimi
(AC
ij =∫ L
z=0mH
xx(z, t)φxi(z).φxj(z)dz,
˜CIFS =
(AC BC
TBC DC
)BC
ij =∫ L
z=0mH
xy(z, t)φxi(z).φyj(z)dz,
DCij =
∫ L
z=0mH
yy(z, t)φyi(z).φyj(z)dz)
K =
m1ω2x1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 mNω2xN 0 0 0
0 0 0 mN+1ω2y1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 m2Nω2yN
(ωxi = b2i
√EIxxρS
, ωyi = b2i
√EIyyρS
)
R =
0
0
F =
fx1
fxN
fy1
fyN
(fxi(t) =
∫ L
z=0ρSφxi(z)γx(t)dz, fyi(t) =
∫ L
z=0ρSφyi(z)γy(t)dz
)
˜FIFS =
f IFSx1
f IFSxN
f IFSy1
f IFSyN
(f IFSxi (t) =
∫ L
z=0m1
xxφxi(z)γx(t)dz, fIFSy1 =
∫ L
z=0m1
yyφyi(z)γy(t)dz)
ré♣rtt♦♥ s♣t s ♠sss ♦♣ strtr ♣t ♥r ♦rt♦♦♥té s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦rs ♣r♦t♦♥ sr s ♠trs ♠ss ♥trî♥♣♣rt♦♥ ♥ ♠tr ♣♥ ˜M IFS q ♠♦ s♥s♠♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♣r r♣♣♦rt à ① strtr sè ♣♥♥t ♦♥♥ss♥ ①♣rss♦♥ ♥②tq s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè t ①♣rss♦♥ qs♥②tq s ♦♥t♦♥s mH
xx(z) mHxy(z) t mH
yy(z) ♣r♠tt♥t ♥
qs♥st♥t♥é ♠tr ˜M IFS ♠ê♠ ♠tr ˜CIFS t s trs F t˜FIFS s♦t♥♥♥t ♥st♥t♥é♠♥t à s ①♣rss♦♥s qs♥②tqs s é
r♥ts ♦♥t♦♥s
♥s s ♣s é♥ér ♦ù r♣rtt♦♥ s ♠sss ♦♣ ♥ st ♣s ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ ♠ss ♣♦tr st ♥éssr ♥tr♦r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés φ(z) t s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ss♦és ωi s ♣st♦♥s♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ér♥t rt♦♥
det[K − ωi
2(M + ˜MIFS
)]= 0
❯♥ ♦s s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ♦t♥s ♦♥ rr s trs ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré s♦s ♦r♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s trs ♣r♦♣rs strtr sè ♥ é♥ ♥s ♠tr ♥st♥t♥é ♥♠♥t ss
φ(z) = R.φ(z),
(φj(z) =
2N∑
k=1
Rjkφk(z)
)
♥ étr♠♥ s ♦♥ts tt ♠tr ♥ rés♦♥t s②stè♠ ♥ér 4N2
éqt♦♥s
∀(i, j) ∈ [1, 2N ]2,miω2iRji −miω
2jRji −
∫ L
z=0
ω2j
2N∑
k=1
φi(z)MIFSik Rjkφk(z)dz = 0
♥ ♣♦s♥t TRv = (R11 . . . R12NR21 . . . R22N . . . R12N . . . R2N2N) ♦♥ s r♠è♥ s②stè♠♥ér
H1 0 0 0
0 H2 0 0
0 0 0
0 0 0 H2N
.Rv = 0
k = i Hj
ii = mi
(ω2i − ω2
j
)− ω2
j
∫ L
z=0φ2i (z)M
IFSii dz,
k 6= i Hjik = −
∫ L
z=0ω2jφi(z)M
IFSik φk(z)dz
♠rq ♠tr ♣r♠tt♥t étr♠♥r s ♦♥ts R st ♠♥s♦♥4N2 ∗ 4N2 ❯♥ ♥②s ♣s ♥ s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s tt ♠tr ♣r♠t rér s t ♥ ♦♥sér♥t ♦♠♠ s♦♠♠ ♥ ♠tr ♠♥s♦♥ 2N ∗ 2Nt ♥ tr ♦♥ ♠♥s♦♥ 1 ∗ 2N ♣r♠t éérr s♥s♠♥t t♠♣s s sèr ♥éssr
s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ét♥t étr♠♥és à ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦♥♥s ♥②tq♠♥t ♦♥ ♣t ①♣r♠r é♣♠♥t ♥ t♦t♣♦♥t ♣♦tr s♦s ♦r♠
U(z, t) =2N∑
i=1
φi(z)qi(t), φi(z) =2N∑
k=1
Rikφk(z)
s t♥srs ♦rr ♦rrs♣♦♥♥t ① ♦♠♣♦s♥ts s♥t (ex, ey) ♥ r♠rq à ttr q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠ré ♣♥t ♦♣r s ① rt♦♥s ♣♥ ♦rs q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè s♦♥t é♦♣és s♦♥ s ①rt♦♥s
♥ ♣r♦tt ♠♥t♥♥t éqt♦♥ ②♥♠q sr s ♠♦ strtr♠♠ré s②stè♠ s réért
˜M.¨q(t) + ˜C. ˙q(t) + ˜K.q(t) = − ˜F + ˜FIFS
♥s s é♥ér ♠tr ♠♦rtss♠♥t ♥st ♣s ♦♥s ♥s ♠ê♠s q s ♠trs ♠ss t rr ♥ s♠♣r s②stè♠ ♦♥♥t
r s ②♣♦tèss ♦♠♣é♠♥trs sr tt ♠tr ♠♦rtss♠♥t ˜C ♦♠♣♦sé ① tr♠s ♥ ♠♦rtss♠♥t strtr t ♥ ♠♦rtss♠♥t é à é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦♣ Pr♠ s ♠ét♦s ssq♠♥t tsés ♦♥ ♣t tr
♥ é♦♠♣♦st♦♥ ②t③[˜C = α ˜M + β ˜K
] é♥t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t
♠♦ ♣réé♥ [ξ (ω)] s ♠ét♦s ♣♥t êtr tsés ♣♦r s♠♣r ♠♦rtss♠♥t é ♦♣ strtr ♥tr♦r ♥ s ♥s s réstts q ♥sr ♣s éé ♥s tt tès t r♣rés♥t ♥ st rr à ♣rt ♥tèr ♥s st r♣♣♦rt ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♠♦rtss♠♥t ♠♦ ♠♠ré ξi
♦s s ②♣♦tèss ♦♥ s r♠è♥ à ét ♥ ♦str à ♥ ré rté ♠♦rts♦♠s à ♥ ①tt♦♥ ss♠q q♦♥q
¨qi(t) + 2ξiωi˙qi(t) + ωi
2qi(t) =1
mi
(− ˜Fi(t) +
˜F IFSi (t)
)
˜F (t) = RT .F (t) =
∫ L
z=0
ρSRT .φT (z).γ(t)dz
˜FIFS(t) = RT . ˜FIFS(t) =
∫ L
z=0
ρSRT .φT (z).M1.γ(t)dz
♦s ♦t♥♦♥s 2N éqt♦♥s ♦strs à ré rté ♠♦rts s♦♠s à ♥①tt♦♥ ss♠q q♦♥q rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♥♦♥♥ér ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦s s♦tt♦♥ ss♠q q♦♥q sr ♣rés♥té ♥s ♣rt 3.3.4
Pr♦t♦♥ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t s♥sr♦tt♦♥ ♣s ss♠♥t
♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♥s ♥ ♣s ss♠♥t strtr s ♠♦s♣r♦♣rs tsé st ♥ ♣♦tr ss♥t s♥s r♦tt♦♥ ♦s ♥♠ér♦t♦♥s s ♠♦s♣r♦♣rs ♠♥èr à rr♦♣r s ♠♦s s♥t ex t ey ♥s ♥ ♥q tr ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♦♥sér♥t ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s q rt♦♥ ♦♥ ♥♦tr
ψ(z) =
ψx1 (z)
ψxN(z)ψy1(z)
ψyN(z)
♥ ♦t♥t ♥s ♥ tr ♠♥s♦♥ ♥ tsr ♥♦tt♦♥ ψi(z) ♣♦r és♥r ieme ♦♠♣♦s♥t tr ψ(z)
♣r♦t♦♥ s éqt♦♥s éqr st ♥ ts♥t s ①♣rss♦♥s s ♠♦s♣r♦♣rs ♥s s ①♣rss♦♥s (3.8) ♥ ♦t♥t ♥s
M =
m1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 mi 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 m2N
mi =∫ L
z=0ρSψ2
i (z)
(AM
ij =∫ L
z=0mH
xx(z, t)ψxi(z).ψxj(z)dz,
MIFS =
(AM BM
TBM DM
)BM
ij =∫ L
z=0mH
xy(z, t)ψxi(z).ψyj(z)dz,
DMij =
∫ L
z=0mH
yy(z, t)ψyi(z).ψyj(z)dz)
C =
c1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 ci 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 c2N
ci = 2ξiωimi
(AC
ij =∫ L
z=0mH
xx(z, t)ψxi(z).ψxj(z)dz,
CIFS =
(AC BC
TBC DC
)BC
ij =∫ L
z=0mH
xy(z, t)ψxi(z).ψyj(z)dz,
DCij =
∫ L
z=0mH
yy(z, t)ψyi(z).ψyj(z)dz)
K =
m1ω2x1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 mNω2xN 0 0 0
0 0 0 mN+1ω2y1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 m2Nω2yN
(ωxi = a2i
√EIxxρS
, ωyi = a2i
√EIyyρS
)
Rf =
Rfx1
RfxN
Rfy1
RfyN
Rfxi(t) = −µ
[ρS −m1
zz
]L [g − γz(t)]
ψxi(0)Ux(0, t)√Ux(0, t)2 + Uy(0, t)2
,
Rfyi(t) = −µ[ρS −m1
zz
]L [g − γz(t)]
ψyi(0)Uy(0, t)√Ux(0, t)2 + Uy(0, t)2
)
F =
fx1
fxN
f y1
f yN
(fxi(t) =
∫ L
z=0ρSψxi(z)γx(t)dz, f yi(t) =
∫ L
z=0ρSψyi(z)γy(t)dz
)
FIFS =
fIFS
x1
fIFS
xN
fIFS
y1
fIFS
yN
(fIFS
xi (t) =∫ L
z=0m1
xxψxi(z)γx(t)dz, fIFS
y1 =∫ L
z=0m1
yyψyi(z)γy(t)dz)
s éqt♦♥s s♦♥t ♣r♦s s ♦t♥s ♥s ♣rr♣ §3.3.3.2 s à ♣rt ♥♠♥t s ♦♥t♦♥s ♠♦s ♣r♦♣rs tsés ♦♥ t ♣♣rîtr ♥ tr♠ ♥♦♥♥ér ♦rt ♠♦ r♦tt♠♥t Rf (t) ♦rrs♣♦♥♥t à ♣r♦t♦♥ ♦rt
r♦tt♠♥t ♥é rt♦♥ ①t♠♥t ♦♣♣♦sé à tss ♣♦♥t ♦♥ttsr s ♠♦ ♣♦tr ss♥t
♠ê♠ q ♣♦r ♣s ér♥t ré♣rtt♦♥ s♣t s ♠sss ♦♣strtr ♣t ♥r ♦rt♦♦♥té s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦rs ♣r♦t♦♥ sr s ♠trs ♠ss ♥trî♥ ♣♣rt♦♥ ♥ ♠tr ♣♥M IFS q ♠♦ s♥s♠♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♣r r♣♣♦rtà ① strtr sè ♣♥♥t ♦♥♥ss♥ ①♣rss♦♥ ♥②tq s♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè t ①♣rss♦♥ qs♥②tq s ♦♥t♦♥smH
xx(z, t)mHxy(z, t) tm
Hyy(z, t) ♣r♠tt♥t ♥ qs♥st♥t♥é ♠trM IFS
♠ê♠ ♠tr CIFS t s trs F t FIFS s♦t♥♥♥t ♥st♥t♥é♠♥t à s ①♣rss♦♥s qs♥②tqs s ér♥ts ♦♥t♦♥s
♥s s ♣s é♥ér ♦ù r♣rtt♦♥ s ♠sss ♦♣ ♥ st ♣s ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ ♠ss ♣♦tr st ♥éssr ♥tr♦r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ψ(z) t s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ss♦és ωi s ♣st♦♥s♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ér♥t rt♦♥
det[K − ωi
2(M +MIFS
)]= 0
❯♥ ♦s s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ♦t♥s ♦♥ rr s trs ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré s♦s ♦r♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s trs ♣r♦♣rs strtr sè ♥ é♥ ♥s ♠tr ♥st♥t♥é ♥♠♥t s
ψ(z) = R.ψ(z),
(ψj(z) =
2N∑
k=1
Rjkψk(z)
)
♥ étr♠♥ s ♦♥ts tt ♠tr ♥ rés♦♥t s②stè♠ ♥ér 4N2
éqt♦♥s
∀(i, j) ∈ [1, 2N ]2,miω2iRji −miω
2jRji −
∫ L
z=0
ω2j
2N∑
k=1
ψi(z)MIFSik Rjkψk(z)dz = 0
♥ ♣♦s♥t TRv =(R11 . . . R1 2NR21 . . . R2 2N . . . R1 2N . . . R2N 2N
) ♦♥ s r♠è♥ s②s
tè♠ ♥ér
H1 0 0 0
0 H2 0 0
0 0 0
0 0 0 H2N
.Rv = 0
k = i H
j
ii = mi
(ω2i − ω2
j
)− ω2
j
∫ L
z=0ψ2i (z)M
IFS
ii dz,
k 6= i Hj
ik = −∫ L
z=0ω2jψi(z)M
IFS
ik ψk(z)dz
♠rq ♠tr ♣r♠tt♥t étr♠♥r s ♦♥ts R st ♠♥s♦♥4N2 ∗ 4N2 ❯♥ ♥②s ♣s ♥ s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s tt ♠tr ♣r♠t rér s t ♥ ♦♥sér♥t ♦♠♠ s♦♠♠ ♥ ♠tr ♠♥s♦♥ 2N ∗ 2Nt ♥ tr ♦♥ ♠♥s♦♥ 1 ∗ 2N ♣r♠t éérr s♥s♠♥t t♠♣s s sèr ♥éssr
s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ét♥t étr♠♥és à ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦♥♥s ♥②tq♠♥t ♦♥ ♣t ①♣r♠r é♣♠♥t ♥ t♦t♣♦♥t ♣♦tr s♦s ♦r♠
U(z, t) =2N∑
i=1
ψi(z)qi(t), ψi(z) =2N∑
k=1
Rikψk(z)
s t♥srs ♦rr ♦rrs♣♦♥♥t ① ♦♠♣♦s♥ts s♥t (ex, ey) ♥ r♠rq à ttr q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♣♥t ♦♣r s ① rt♦♥s ♣♥ ♦rs q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè s♦♥t é♦♣és s♦♥ s ①rt♦♥s
♥ ♣r♦tt ♠♥t♥♥t éqt♦♥ ②♥♠q sr s ♠♦ strtr♠♠ré s②stè♠ s réér
M.q(t) + C.q(t) +K.q(t) = −F + FIFS +Rf
♥s s é♥ér ♠tr ♠♦rtss♠♥t ♥st ♣s ♦♥s ♥s ♠ê♠s q s ♠trs ♠ss t rr ♥ s♠♣r s②stè♠ ♦♥♥t
r s ②♣♦tèss ♦♠♣é♠♥trs sr tt ♠tr ♠♦rtss♠♥t C ♦♠♣♦sé ① tr♠s ♥ ♠♦rtss♠♥t strtr t ♥ ♠♦rtss♠♥t é à é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦♣ Pr♠ s ♠ét♦s ssq♠♥t tsés ♦♥ ♣t tr
♥ é♦♠♣♦st♦♥ ②t③[C = αM + βK
] é♥t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t
♠♦ ♣réé♥[ξ (ω)
] s ♠ét♦s ♣♥t êtr tsés ♣♦r s♠♣r ♠♦rtss
♠♥t é ♦♣ strtr ♥tr♦r ♥ s ♥s s réstts q ♥sr ♣s éé ♥s tt tès t r♣rés♥t ♥ st rr à ♣rt ♥tèr ♥s st r♣♣♦rt ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♠♦rtss♠♥t ♠♦ ♠♠ré ξi
♦s s ②♣♦tèss ♦♥ s r♠è♥ à ét ♥ ♦str à ♥ ré rté ♠♦rts♦♠s à ♥ ①tt♦♥ ss♠q q♦♥q
qi(t) + 2ξiωiqi(t) + ωi2qi(t) =
1
mi
(−Fi(t) + F
IFS
i (t) +Rf
i (t)
)
F (t) = RT.F (t) =
∫ L
z=0
ρSRT.ψT (z).γ(t)dz
FIFS(t) = RT.FIFS(t) =
∫ L
z=0
ρSRT.ψT (z).M1.γ(t)dz
♦s ♦t♥♦♥s 2N éqt♦♥s ♦strs à ré rté ♠♦rts s♦♠s à ♥①tt♦♥ ss♠q q♦♥q ♥s q① ♦rts r♦tt♠♥t r♥t ♦rs ♥♦♥t♦♥ ré♣♦♥s t♠♣♦r s②stè♠ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♥♦♥♥ér♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦s s♦tt♦♥ ss♠q q♦♥q sr ♣rés♥té♥s ♣rt 3.3.4
és♦t♦♥ ♣r♦è♠
♦s ♦♥s ♥s s ♣rr♣s ♣réé♥ts ♠ét♦ ♦t♥t♦♥ s éqt♦♥s♥♦♥♥érs ♦strs à ♥ ré rté s♦♠s à ♥ ①tt♦♥ ss♠q q♦♥q t à ♥ ♦rt r♦tt♠♥t ♣♦♥t êtr ♥ ♥s ♣s ér♥t séqt♦♥s sér♥t ♥s s ♥ ♣♦tr ♥ ♣s ér♥t
∀i ∈ [1, 2N ], ¨qi(t) + 2ξiωi˙iq(t) + ωi
2qi(t) = fi(t)− f IFSi (t)
s éqt♦♥s sér♥t ♥s s ♥ ♣♦tr ♥ ♣s ss♥t
∀i ∈ [1, 2N ], qi(t) + 2ξiωiqi(t) + ωi2qi(t) = fi(t)− f
IFS
i (t) +Rf
i (t)
♦s tsr♦♥s ♥ ♠ét♦ s♠r rés♦t♦♥ ♣♦r s ① ♣ss ♦♠♣♦rt♠♥t strtr P♦r s♠♣r s ①♣rss♦♥s tsés ♥♦s ♥ ér♥r♦♥s♣s s ♦♦r♦♥és é♥érsés s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr ♦♥s♦ t ① ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t tr♥st♦♥ ♥ ♣s ss♥t à ♥ ♣sér♥t t rs sr ♣rés♥té ♥ ré♥tr♦s♥t ér♥t♦♥ ♥♦tt♦♥s♦s tsr♦♥s s ♥♦tt♦♥s s♠♣és éqt♦♥ s♥t
∀i ∈ [1, 2N ], qi(t) + 2ξiωiqi(t) + ω2i qi(t) = fi(t)− f IFS
i (t) +Rfi (t)
Rfi (t) = 0 ♥s ♣s ér♥t tt éqt♦♥ st ♦rt♠♥t ♥♦♥♥ér t
♥ ♣t ♣s s rés♦r ♠♥èr ♥②tq s♥s ②♣♦tès s♠♣tr ♦♠♣é♠♥tr ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♦♥ s♠♣r ①♣rss♦♥ s ♦rts ♠♦① ♥ s s♣♣♦s♥t♦♥st♥ts ♣r ♠♦r① s♥t ♥ é♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♦s ♣ér♦ ∆T
♠rq ♦① ♣ér♦ ♥st ♣s ♥♦♥ ♥ t ♦rrs♣♦♥ à ♥tr ♣sss q st ♦ér♥t t q s♦tt♦♥ ss♠q ♦rrs♣♦♥♣r♥♣♠♥t à ♥ s♦tt♦♥ ssréq♥ ♣♥♥t s ♥♦♥♥értés t sé♦t♦♥s ♠sss ♦♣s strtr ♣♥t ♥tr♦r ♥ ♦♠♣♦rt♠♥ttréq♥ ♥♦♥ ♥é ♥s ré♣♦♥s strtr ♦♥♥t ♦♥ ♥♦sr tt ♣ér♦ ♦① rt♥ ♥s tt tès st ♣r♥r ♥ ♣ér♦ ♦♥♥♥t ♠ê♠ réq♥ q réq♥ é♥t♦♥♥♠♥t s♥ ss♠q t♠♣♦r é♥♠♦♥s t♠♣s ét♥t qs♠♥t ♥st♥t♥é st ♣♦ss r♥r s s♥①♣♦r r ♥ ét s♥sté s ♥éssr
és♦t♦♥ s②stè♠ à ♥ ♣s t♠♣s ♦♥♥é
♥s tt ♣rt ♥♦s ♥♦s ♣ç♦♥s sr ♥tr t♠♣s [k∆T, (k + 1)∆T ] ♥é♥t ♦♥t♦♥ rki (t) t q
∀t ∈ [0,∆T ] , rki (t) = qi(k∆T + t)
s r♠♥ts ♠♦① s♦♥t s♣♣♦sés ♦♥st♥ts sr ♥tr é♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ri(t) ♥ s r♠è♥ ♥s ① éqt♦♥s ♦strs r♠♦♥qs ♠♦rts s♦♠sà ♥ r♠♥t ♦♥st♥t
rki (t) + 2ξiωirki (t) + ω2
i rki (t) = fi(k∆T )− f IFS
i (k∆T ) +Rfi (k∆T ) = ω2
i Vi(k∆T )
s ♦♥t♦♥s ♥ts rk+1i (0) = rki (∆T ),
rk+1i (0) = rki (∆T ).
P♦r ♣r♠èr tért♦♥ r0i (0) = 0,
r0i (0) = 0.
♥ tr♦ s s♦t♦♥s ssqs ♥②tqs s s②stè♠s s♠♣s
rki (t) =
[rki (0) + ξiωi
(rki (0)− Vi(k∆T )
)
ωDi
sin(ωDit) +(rki (0)− Vi(k∆T )
)cos(ωDit)
]e−ξiωit
ωDi = ωi
√1− ξ2i ♣st♦♥ rét ieme ♠♦
Vi(k∆T ) =1ω2i
(fi(k∆T )− f IFS
i (k∆T ) +Rfi (k∆T )
) é♣♠♥t ♠♦ éq♥t
s ♦rts ①térrs à ♥st♥t tk ét ♥tr t♠♣s ♦♥séré
❯♥ ♦s s réstts ♦♥t♦♥ rki (t) ♦♥♥s sr ♥tr t♠♣s [k∆T, (k + 1)∆T ]♥ ♦t s r♠♥r ① r♥rs rés é♣♠♥ts t é♦r♠t♦♥s ♣♦tr ♦rts ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦r érr s ♦♥t♦♥ ♦♥tt é♦ tr♥st♦♥ ♥♣s ér♥t rs ♥ ♣s ss♥t t rs ♦s ♦♥sérr♦♥s s ① s r ♥ ♦♥sér♥t étt ♦♥tt ét keme ♣s t♠♣s
P♦tr ♥t♠♥t ér♥t
ét r♠♥t ss♠q ♣♦tr st ♥t♠♥t r♣♦s st ♦♥ ♦♥t♦♥ ♥t strtr ♣♥♥t r♠♥t ss♠q ét♥t ét♦r st ♣♦ss q strtr s rtr♦ à ♥♦ ♥s t étt à ♥ tr ♥st♥t r♠♥t ♦s ♦♥sér♦♥s ♣♦tr ♥s ♥ étt ♦♥tt ér♥t ét keme ♣s t♠♣s strtr ♣t ♦r ♥ é♦r♠t♦♥ t ♦♥ ♥ ♦rt rét♦♥♦r③♦♥t ♥♦♥ ♥ ét ♣s t♠♣s
s s♦t♦♥s s éqt♦♥s s ♦strs r♠♦♥qs ♠♦rts s♦s r♠♥ts ss♠qs q♦♥qs s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ❬❪ ① ♦rrs♣♦♥♥t à é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♦♦r♦♥és é♥érsés ss♦és ① ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr♦♥s♦ sr ♥tr [k∆T, (k + 1)∆T ] ♥ ♦♥♥îtr réstts ♥②tqs à tsr ♣♦r ♣s t♠♣s s♥t t érr q s ♦♥t♦♥s ét ss♠♥t ♥♦♥t ♣s été érés ♣♥♥t ♥tr t♠♣♦r ♦♥séré
P♦r ♦♥ étr♠♥ ♦rt ♦r③♦♥t ♠♣♦sé ♥ ♣♦♥t ♦♥tt ♣r é♦r♠t♦♥ éstq ♣♦tr à ♥ ♣s t♠♣s ♥ ♦♠♣r ♥st à♦rt rt ♦rrs♣♦♥♥t r♠♥t ss♠q ét ♣s t♠♣s s♥ss♠q rt st ss ♣♣r♦①♠é ♣r ♥ s♥ ♦♥st♥t ♣r ♠♦r ♠t♣é♣r ♦♥t r♦tt♠♥t ♥ s é♣ss♠♥t ♦♥ ♥ étt ♦♥tt t♦♥ ♥tr ♥s ♥ ♣s ss♠♥t s♥s r♦tt♦♥ ♣s t♠♣s s♥t
étr♠♥t♦♥ ♦rt ♦r③♦♥t ♥ ♥ ♣s t♠♣s ♦rt ♦r③♦♥t♣♣qé ♥ ♣ ♣♦tr s♦t♥t à ♣rtr s ♦♠♣♦s♥ts t ♦rt s♥t ext ey ♦s ♣♦♦♥s s étr♠♥r à ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè ♥t
Rfx(t) =
∑N
i=1 φ(3)xi (0)qxi(t),
Rfy(t) =∑N
i=1 φ(3)yi (0)qyi(t).
♥ étr♠♥ r s ♦rts à tk+1 = (k + 1)∆T ♥ ts♥t ①♣rss♦♥ é♣♠♥t ♥s s ① ss ♠♦s sès t ♠♠rés t ♥ ♣r♦t♥t sr ♥♠♦ ψi(z) ♥ tr♦ ♥s ♥ rt♦♥ ♥tr r s ♦♦r♦♥♥és é♥érsésqxi(tk+1) t qyi(tk+1) t s s qi(tk+1)
U(z, t) =2N∑
j=1
ψj(z)qj(t) =2N∑
i=1
ψi(z)qi(t)
qi(t) =2N∑
j=1
∫ L
z=0ψi(z)ψj(z)dz∫ L
z=0ψ2i (z)dz
qj(t) =2N∑
j=1
∑2Nk=1Rjk
∫ L
z=0ψi(z)ψk(z)dz∫ L
z=0ψ2i (z)dz
qj(t)
qi(t) =2N∑
j=1
Rjiqj(t)
r ♥s ♣s ér♥t
∀j ∈ [1, 2N ], qj(tk+1) = rkj (∆T )
♥ ♦t♥t ♥s
qi(tk+1) =2N∑
j=1
Rjirkj (∆T )
s ♦rts ♦r③♦♥t① s①♣r♠♥t ♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ s s♦t♦♥s ♥②tqs Rfx(tk+1) =
∑N
i=1
∑2Nj=1Rjiφ
(3)i (0)rkj (∆T ),
Rfy(tk+1) =∑2N
i=N+1
∑2Nj=1Rjiφ
(3)i (0)rkj (∆T ).
♥ ts♥t s ①♣rss♦♥s ♥②tqs éqt♦♥ (3.84) ♦rt ♦r③♦♥t t♦tsért
Rf (tk+1) =√R2
fx(tk+1) +R2fy(tk+1)
étr♠♥t♦♥ ♦rt rt ♥ ♥ ♣s t♠♣s ♥ ♣♦♦réttr ét ss♠♥t ♦rs ♥tr t♠♣s [tk, tk+1] ♥♦s ♦♥s♦♠♣rr ♦rt ♦r③♦♥t t♦t ♥ ♥ ♣s t♠♣s à ♦rt rt ♠ê♠ ♥st♥t♥ ♣♣q♥t ②♣♦tès s♥① ♦♥st♥ts ♣r ♠♦rç① s ♦rts ♦r③♦♥t① s♥ ss♠q rt ♦♥ tr♦ ♥ ♦rt rt rét♦♥ é à
Rv(tk+1) =(ρS −m1
zz
)L (g − γz(tk))
tt éqt♦♥ ♥st q s♦s ②♣♦tès ♦ù s rt♦♥s ♥♦r♠s ♣♦trs♦♥t ♥éés ♦♥ ① rt ♣♦tr st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ s♦ ♥é♦r♠♠♠ré s♦♠s à ♥ ♠♣ ♣s♥tr ♣♣r♥t (g − γz(t)) r♥r (ρS −m1
zz)♦rrs♣♦♥ à ♥ ♠ss rét strtr ♦rrs♣♦♥♥t à ♣♦ssé r♠è
②♣♦tès ♦♠♣♦rt♠♥t rt ♦♥séré ♦♠♠ r s ér ♦rsq sréq♥s ♣r♦♣rs ♦♥t♥s s♦♥t ♥♦rs s réq♥s rtèrstqs ss♠qs♥ s♣♣♦sr q♦♥ s tr♦ ♥s ♦♠♥ ♦rsq f > 40Hz
♦♥t♦♥ ♥♠♥t étt ♦♥tt ss♠♥t st é♥é ♦rs keme ♣s t♠♣s [tk, tk+1] s ♦♥t♦♥ ♥♦♥ss♠♥t ♥st ♣s éré à ♥ ♣s t♠♣s ♦rrs♣♦♥ à
√R2
fx(tk+1) +R2fy(tk+1) > µ
(ρS −m1
zz
)L (g − γz(tk)) .
Rfx(tk+1) =
∑N
i=1
∑2Nj=1Rjiφ
(3)i (0)rkj (∆T ),
Rfy(tk+1) =∑2N
i=N+1
∑2Nj=1Rjiφ
(3)i (0)rkj (∆T ).
♥ ♦♥sèr ♦rs q ss♠♥t s é♥ ét (k+1)eme ♣s t♠♣s♥ ♥ rr ♣s à ♥tr ♣résè♠♥t ♥st♥t ét ss♠♥t s♥ ♥tr t♠♣s [tk, tk+1] ♥tr♦r ♥ é ♥s ♥ rt♦♥ ♥étr♠♥éq ♣♦rr êtr ♦♠♣♥sé ♦ ♠♣é ♦rs é♥♠♥t ♣r♦♥ ss♠♥té♥♠♦♥s s s ♣s t♠♣s s♦♥t ss♠♠♥t ♣tts s ♥tr♦t st ♥é
♥♠♥t s♦t♦♥ ♥ ♥ tért♦♥ étt ♦♥tt ♣t s♦trstr ér♥t s♦t é♦r rs ♥ strtr ss♥t ♦♥♥t ♦♥ étr ♥rè ♦q ♣r♠tt♥t étt♦♥ à q tért♦♥ étt ♦♥tt ♥s q ♠ét♦ tr♥st♦♥ ♥ s♦t♦♥ à tr
♥ tért♦♥ ♥éqt♦♥ (3.87) ♥st ♣s éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt ♥é♦ ♣s t s
♦♥t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t s♦♥t
rk+1i (0) = rki (∆T ),
rk+1i (0) = rki (∆T ).
♥éqt♦♥ (3.87) st éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt é♦ strtr ♦♠♠♥à ssr t érr s éqt♦♥s ♣rés♥tés ♥s ♣rt 3.3.4.3 st ♥éssr tr♥s♣♦sr s ♦♥t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t ♥s s ♥♦s ss s♦t♦♥
t ♦♥ rr s rs s rki (∆T ) t˙rki (∆T ) s s ski (∆T ) t
˙ski (∆T )q sr♦♥t é♥s ♣s ♣résè♠♥t ♥s ♣rt s♥t P♦r ♦♥ ts é♥t♦♥ ♥ s r♥rs ♥s q rt♦♥ (3.83)
qci(tk+1) =
∑2Nj=1 Rjir
kj (∆T ),
qsi(tk+1) =∑2N
j=1Rjisk+1j (0).
♥ rr s ① é♥t♦♥s ♦♥ ét♥ é♥t♦♥ s ♠trs t trs ♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣rés♥tés ♥s s éqt♦♥s (3.44) (3.45) (3.46)t (3.47) P♦r ♦♥ ts ♥♠ér♦tt♦♥ s ♠♦s tsés ♥s s ♣rts ♣réé♥ts
qs(t) = T .qc(t) + L(t)
T (i, j) =
∫ L
z=0φi(z).ψj(z)dz∥∥φi
∥∥2
L(i) =
∫ L
z=0φi(z).U(0, t)dz∥∥φi
∥∥2
ù qs(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t t qc(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ♥stré
♥ tr♦ ♥s s ♦♥t♦♥s ♥ts (k+1)eme ♣s t♠♣s ♣♦r s♦t♦♥sr s ♠♦ ♠♠ré ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t s ♦♥t♦♥s ♥tsssr♥t ♥ ♦♥t♥té ♥ é♣♠♥t t ♥ tss
sk+1(0) =
(R
T)−1
.T .RT.rk(∆T ) +
(R
T)−1
.L(tk+1),
sk+1i (0) =
(R
T)−1
.T .RT.rk(∆T ) +
(R
T)−1
.L(tk+1).
t♥t ♦♥♥é q♦♥ ♥ étt ♣s ♥st♥t ①t ét ss♠♥t s♥ ♣s t♠♣s st st♠r tss ♣♦♥t ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s♥ s♣♣♦sr ♦♥ q tss ♣♦♥t st ♥é ét ♣s t♠♣ss♥t ♥ ♣♦s ♦♥
L(tk+1) = 0
tt ②♣♦tès ♥trî♥ ♥ ♥♦ é ♣r r♣♣♦rt à s♦t♦♥ ①t é♥♠♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s rs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q s st ♥é ♣♦r ① rs♦♥s tss ét ss♠♥t é♣♥ ♥t♥sté sés♠ q st s♣♣♦sé
♥ ♣s ♣rér s♥s sr ♥ ① ①é Pr ①♠♣ sr rt♦♥ sés♠♦r sr t♦tté s♥ éért♦♥ ♥s s♥s ♦r st qs♠♥t♣rt♠♥t ♦♠♣♥sé ♣r éért♦♥ ♥s s♥s ♦r ♥s ♠ê♠ s ré♣♦♥s rt♦r ♥tr♥ strtr ♦ s sés♠ s ♠♣ts ér♥ts ♥
♦♥t♦♥ s ①s ♦r t stst rt♦♥ ét ss♠♥t ♠ê♠♣r♦té êtr s♥t ♥ ① e1 q s♦♥ ① ♦♣♣♦sé −e1 t s♣t st♦stq ♦r♥tt♦♥ ét ss♠♥t ss à ♣♥sr q s ♣t s ♦♠♣♥sr♣♥♥t ré s♥ ss♠q
♦① ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣r♠t r♥r s ♥tr♦tqs♠♥t ♥é ♦♥♥r étr rt♦♥ ré♣♦♥s ♦rs ♥♠♦t♦♥ ré ♣s t♠♣s
s réstts rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ér♥ts ♥♦♥♥érs s♦s r♠♥tss♠q q♦♥q ♥s s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr ss♥t s♥ss♠♥t s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §3.3.4.3
P♦tr ♥t♠♥t ss♥t s♥s s♠♥t
ét r♠♥t ss♠q ♣♦tr st r♣♦s t st ér♥t ♥ s♦♥ ♣♦♥t ♦♥tt s♦ ♦rsq ♦♥t♦♥ ♥♦♥ ss♠♥t ♣rés♥té ♥séqt♦♥ (3.87) ♥st ♣s éré ♣♦tr ♦♠♠♥ à ssr t ♥st♥t ♣♦trst ♥s ♥ ♦♥rt♦♥ é♦r♠é t st ♥éssr ♦♥♥tr tt é♦r♠t♦♥♣♦r ♥ ♣s s♦sst♠r é♥r st♦é ♠♥èr éstq ♥s strtr
♥ ♣t s rtr♦r ♥s ♠ê♠ stt♦♥ ♦rsq ♣♦tr éà ssé sstrrêté ♣s r♣r♥ s♦♥ ss♠♥t ♥s s st ♥éssr rr ♥ ♠é♠♦r é♣♠♥t ♦r♣s r strtr q ♦rrs♣♦♥ ① ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ ♣♦♥t ♦♥tt U(0, t)
♥t q ss♠♥t ♦♥t♥ ♦♥ étr♠♥ é♦t♦♥ t♠♣♦r s②stè♠ ♥ts♥t éqt♦♥ (3.79) q tért♦♥ t érr q s ♦♥t♦♥s ss♠♥t s♦♥t t♦♦rs érés t q s②stè♠ ♥ sst ♣s rrêté tt ét♣ ♥st ♣sé♥t à tr ét♥t ♦♥♥é q ♥♦s ♥♦♥s ♥ ♦♥♥ ♦♥♥ss♥ s r♠♥ts ①térrs t s ♦rts r♦tt♠♥t qà ♥ ♣ér♦∆T r ♦rsq ss♠♥tsrrêt ♦rt r♦tt♠♥t ♥ ré♣♦♥ ♣s à ♠ê♠ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t t é♦trés s♥s♠♥t
st ♦♥ ♥éssr tsr ♥ ♠ét♦ ♦♥t♦r♥♠♥t ♣r♠tt♥t éttr♥ rrêt ss♠♥t strtr ♥s ♥tr [tk, tk+1] à ♣rtr s ♦♥♥és sér♥ts r♥rs ① ♥st♥ts tk t tk+1 ♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t strtr st ♦♥♥é ♣r
U(0, t) = 0
♦s trs♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ sr s♥ é♥t♦♥é à ♥ ♣ér♦ ∆T ♣r ♥♥♠♥t s♥ s ① ♦♠♣♦s♥ts tss Ux(0, t) t Uy(0, t) ♥tr s♥st♥ts tk t tk+1
Ux(0, tk).Ux(0, tk+1) ≤ 0,
Uy(0, tk).Uy(0, tk+1) ≤ 0.
♥s s ♦♥ s♣♣♦sr q strtr st ♣ssé ♣r ♥ étt ♦ù tss ♣♦♥t ♦♥tt étt ♥ ♥ ♣t ♣♥sr à ♥ rt♥ ♥♦♠r s ♦ù ♦♥t♦♥ srèt(3.96) st éré s♥s q ♦♥ ♣ss tr♦r ♥ ♥st♥t ♦ù ♦♥t♦♥ ♦♥t♥ (3.95)st éré ♥tr♦t ♥ ♥♦ ért ♥tr ♥♦tr s♦t♦♥ ♣♣r♦é qs♥②tqt s♦t♦♥ ré é♥♠♦♥s ♦① ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣r♠t ♠tr s rsqs ♦r♥ étt♦♥ ♥ ss ♦♥t♦♥ rrêt ♣s♠ê♠ s rrêt étt étté à ♥ ♥ ♣s t♠♣s ♦rs q ♥ rt ♣s ② r♥s ♥s q ss♠♥t r♣r♥♥ ♣s t♠♣s s♥t
étr♠♥t♦♥ ♥②tq tss ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦tr ♥ ♥ ♣s t♠♣s tss ♥s ♣♥ ♦r③♦♥t (ex, ey) ♣♦♥t ♦♥tt st♦♥♥é ♣r s éqt♦♥s
Ux(0, t) =N∑
i=1
φxi(0)qxi(t)
Uy(0, t) =N∑
i=1
φyi(0)qyi(t)
♥ étr♠♥ r s ♦♠♣♦s♥ts tss à tk+1 = (k + 1)∆T ♥ ts♥t①♣rss♦♥ é♣♠♥t ♥s s ① ss ♠♦s sès t ♠♠rés t ♥♣r♦t♥t sr ♥ ♠♦ φi(z) ♥ tr♦ ♥s ♥ rt♦♥ ♥tr r s ♦♦r♦♥♥ésé♥érsés qxi(tk+1) t qyi(tk+1)∆T t s s qi(tk+1)
U(z, t) =2N∑
j=1
φj(z)qj(t) =2N∑
i=1
φi(z)qi(t)
qi(t) =2N∑
j=1
∫ L
z=0φi(z)φj(z)dz∫ L
z=0φ2i (z)dz
qj(t) =2N∑
j=1
∑2Nk=1Rjk
∫ L
z=0φi(z)φk(z)dz∫ L
z=0φ2i (z)dz
qj(t)
qi(t) =2N∑
j=1
Rjiqj(t)
r ♥s ♣s ér♥t
∀j ∈ [1, 2N ], qj(tk+1) = skj (∆T )
♥ ♦t♥t ♥s
qi(tk+1) =2N∑
j=1
Rjiskj (∆T )
s ♦♦r♦♥és tr tss ♣♦♥t ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s s①♣r♠♥t ♦♥
Ux(0, tk+1) =N∑
i=1
2N∑
j=1
Rjiφi(0)rkj (∆T )
Uy(0, tk+1) =2N∑
i=N+1
2N∑
j=1
Rjiφi(0)skj (∆T )
s rs ♥②tqs s rkj (∆T ) s♦♥t éà ♦♥♥s ♥ ♣t ♦♥ éttr à qtért♦♥ s s♥ s ① ♦♦r♦♥♥és tr tss ♣♦♥t ♦♥tt ♥ét ♦♥ s ♦♥ étt ♥ rrêt ss♠♥t ♣♥♥t keme ♣s t♠♣s ♥ ♠♥èrs♠r à étt♦♥ ét ss♠♥t ♦♥ ♥ tr♦ ♣s ♥st♥t ①t ♥ ss♠♥t ♥ s rstr♥t à éttr ♥ rrêt ss♠♥t ♦rs ♣s t♠♣s ♥♠♥t éqt♦♥s ♥②tqs t ♦♥t♦♥s ♥ts s t (k + 1eme)♣s t♠♣s ♥tr♦t ♥ s q à ♥♦ ♥ rt♦♥ qsst♦stq strt♦♥ qs♥♦r♠ t ♦♥t ♦♥ ♣t rér ♠♣t ♥ ♠♥♥t ♣ér♦é♥t♦♥ ∆T
♥♠♥t s♦t♦♥ ♥ ♥ tért♦♥ étt ♦♥tt ♣t s♦trstr ss♥t s♦t ♥r ér♥t t r♣rés♥tr ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦♥♥t ♦♥étr ♥ rè ♦q ♣r♠tt♥t étt♦♥ à q tért♦♥ étt ♦♥tt♥s q ♠ét♦ tr♥st♦♥ ♥ s♦t♦♥ à tr
♥ tért♦♥ éqt♦♥ (3.96) ♥st ♣s éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt ♥é♦ ♣s t s ♦♥
t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t s♦♥t
sk+1i (0) = ski (∆T ),
sk+1i (0) = ski (∆T ).
éqt♦♥ (3.96) st éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt é♦ strtr rrêt s♦♥ss♠♥t t érr s éqt♦♥s ♣rés♥tés ♥s ♣rt 3.3.4.2 st ♥éssr tr♥s♣♦sr s ♦♥t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t ♥s s ♥♦s ss s♦t♦♥
t ♦♥ rr s rs s ski (∆T ) t˙ski (∆T ) s s rki (∆T ) t r
ki (∆T )
P♦r ♦♥ ts é♥t♦♥ ♥ s r♥rs ♥s q s é♥t♦♥s s♠trs ♥♠♥t s
qci(tk+1) =
∑2Nj=1 Rjir
kj (∆T ),
qsi(tk+1) =∑2N
j=1Rjisk+1j (0).
♥ rr s ① é♥t♦♥s ♦♥ ét♥ é♥t♦♥ s ♠trs t trs ♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣rés♥tés ♥s s éqt♦♥s (3.44) (3.45) (3.46)t (3.47) P♦r ♦♥ ts ♥♠ér♦tt♦♥ s ♠♦s tsés ♥s s ♣rts ♣réé♥ts
qs(t) = T .qc(t) + L(t)
T (i, j) =
∫ L
z=0ψi(z).φj(z)dz∥∥ψi
∥∥2
L(i) =
∫ L
z=0ψi(z).U(0, t)dz∥∥ψi
∥∥2
ù qs(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t t qc(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ♥stré
♥ tr♦ ♥s s ♦♥t♦♥s ♥ts (k+1)eme ♣s t♠♣s ♣♦r s♦t♦♥sr s ♠♦ ♠♠ré ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t s ♦♥t♦♥s ♥tsssr♥t ♥ ♦♥t♥té ♥ é♣♠♥t t ♥ tss
sk+1(0) =
(R
T)−1
.T .RT.rk(∆T ) +
(R
T)−1
.L(tk+1),
sk+1i (0) =
(R
T)−1
.T .RT.rk(∆T ) +
(R
T)−1
.L(tk+1).
t♥t ♦♥♥é q♦♥ ♥ étt ♣s ♥st♥t ①t rrêt ss♠♥t s♥ ♣s t♠♣s s ②♣♦tèss ♥♦s ♦♥♥♥t ♥ tss ♣♦♥t ♦♥tt ♥♦♥ ♥é♥♠♦♥s ♣r♦t♦♥ s éqt♦♥s sr s ♠♦ ♥stré ♣r♠t ①r ♣♦♥t ♦♥tt s♦ ♠ê♠ s s tss é♣♠♥t ♥st ♣s ♥ ♥s sss♥t ♥ étr t♦t rrr ♦♥ ♠♣♦s ss
L(tk+1) = 0
tt étt♦♥ ♣♦str♦r rrêt ss♠♥t ♥trî♥ ♥ ♥♦ é ♣rr♣♣♦rt à s♦t♦♥ ①t é♥♠♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s rs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q s st ♥é ♣♦r ① rs♦♥s ♥t♥st ss♠♥t rés ♦rrs♣♦♥♥t é♣♠♥t à ♠♦♠♥t ♣②
sq rrêt ss♠♥t é♣♥ ♥t♥sté sés♠ t rt♦♥ ss♠♥t ♣s t♠♣s ♣réé♥t q s♦♥t s♣♣♦sés ♥ ♣s ♣rér s♥s sr ♥ ①①é Pr ①♠♣ sr rt♦♥ sés♠ ♦r sr t♦tté s♥ éért♦♥ ♥s s♥s ♦r st qs♠♥t ♣rt♠♥t ♦♠♣♥sé ♣r éért♦♥♥s s♥s ♦r ♥s ♠ê♠ s ré♣♦♥s rt♦r ♥tr♥ strtr ♦s sés♠ s ♠♣ts ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ①s ♦r t stst♦ s s ♦♥ts ss♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ♠ê♠ ♥ ♦♥t♦♥ s rt♦♥s ♣♥ rt♦♥ ss♠♥t rés ♠ê♠ ♣r♦té êtr s♥t ♥ ①e1 q s♦♥ ① ♦♣♣♦sé −e1 t s♣t st♦stq ♦r♥tt♦♥ ss♠♥t rés ss à ♣♥sr q s ♣t s ♦♠♣♥sr ♣♥♥t ré t♦t s♥ss♠q
♦① ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣r♠t r♥r s ♥tr♦t qs♠♥t ♥é ♦♥♥r étr rt♦♥ ré♣♦♥s ♦rs ♥ ♠♦t♦♥ ré ♣s t♠♣s
s réstts rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ér♥ts ♥♦♥♥érs s♦s r♠♥tss♠q q♦♥q ♥s s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr ♥stré s♦♥t♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §3.3.4.2
♥②s s s♦t♦♥s ♥②tqs
s ♣rts §3.3.4.3 t §3.3.4.2 ♣rés♥t♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs à q ♣s t♠♣s ♣♦r s ♦♥t♦♥s étt ♦♥tt ér♥ts s ①♣t♥t ss ♠♥èr♥②tqs ♣ss ♥ s s♦t♦♥s à tr t s ♦♥t♦♥s ♥♠♥tétt ♥ ♦t♥t ♥s ♥ ♥s♠ s♦t♦♥s ①♣r♠és sr s ♦♦r♦♥és é♥érséss ① ss s♦t♦♥ t é♥t♦♥és à ♥ ♣ér♦ ∆T
♥ ♦♥t♦♥ ♣r♦é♠tq trté st ♣♦ss tsr s ♦♦r♦♥és é♥érsés ♣♦r ér é♣♠♥t ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦tr é♣♠♥t s♦♠♠t ♣♦tr s ① ♦♥♥és s♦♥t ♣rtèr♠♥t ts
s ♦♥ s♦t tsr s réstts ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣♦♥ts ♥s s ③♦♥sss♠qs
s ♦♥tr♥ts s♥ ♣♦tr ♣r♠ètr ♣t êtr ♣rtèr♠♥t ♠♣♦rt♥t♣♥♥t ♣s ér♥t t ♣♥♥t r tt♥t♦♥ ♥♠♥t ♣r♦ ♦♥tr♥t é ♥♠♥t ♦♥t♦♥ ér♥
r♦tt♦♥ ♥ ①tré♠té ♣♦tr
t♠♣s qs♥st♥t♥é ♠♦è ♥②tq é♥t♦♥♥é ♣r♠t r s éts ♣r♠étrqs ♥ ♣s ♠♥s♦♥♥♠♥t t ♣r♠ttrt ♠ê♠ r s s st♦stqs ♥♦♥♥érs sr ♥ ♥♦♠r ♥♦♥ ♥é rsét♦rs
é♥érst♦♥ à ♥ s②stè♠ ♦♠♣è①
♥s s ♥ strtr ré t ♥♦♥ ♥ ♣♦tr ♠ré ♥ ♦♥tt ♥ s♦ t s♦♠s à ♥ r♠♥t ss♠q q♦♥q st ♣♦ss ①tr♣♦rs réstts ♣rés♥tés ♥s ♣rt (3.3) ♥ t s ②♣♦tèss és ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♦tr ♥ ♣♦rt♥t q sr ♠s ♥ éqt♦♥ s②stè♠ ♥ ♦♦r♦♥♥és s♦sstàr ♥♦♥ ♣r♦tés sr s ♠♦s ♣r♦♣rs s②stè♠
♥s♠ s s tés ♥ ♦s q s éqt♦♥s s♦♥t ♣r♦tés sr s ♠♦s♣r♦♣rs strtr ss♥t t ♥stré ♠♠ré ♦ ♥♦♥ s♦♥t tr♥s♣♦ss à♥♠♣♦rt q strtr P♦r t êtr ♥ ♠sr ér ♣♦r s ①♦♥t♦♥s ♦♥tt sr strtr ♥♦♥ ♠ré s réq♥s ♣r♦♣rs s②stè♠ s é♦r♠és ♠♦s s ♠sss é♥érsés ♠♦s s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① strtr ♠♠ré
s éé♠♥ts ♣♥t êtr ♦t♥s s♦t ♣r ♠♦ést♦♥ ♥ strtr ♦♠♣① t ♥♠érq ♣r♠tt♥t ér s éé♠♥ts s♦t ♥ rés♥t ♥ sér ♠srssr strtr sè r♥r ♣♦♥t st très ♠♣♦rt♥t r ♥♦s t♦rs♦♥s ♥s ♥♦tr♠♦è ♠♦t♦♥ é♦♠ètr s ♠s s②stè♠ t ♦♥ ♥t♥stés ♠sss ♦♣ ②r♦②♥♠q s ♠♦ ♠♠ré ♣t ♦♥ é♦r♥ ♦♥t♦♥ tt rt♦♥ é♦♠étr st ♦♥ ss♥t ♦r ♥ s ① srq ♥♦s ♣♦♦♥s sr ♥♦tr ét
s sss résés sr strtr ♠♠ré ♣r♠tt♥t ♠① ér s ♦♥ts r♦tt♠♥t ♥s q s ♠sss ♦♣ mH(z) t m1 ♥s s ♦♥t♦♥s é♦♠étrqs ♣rt♠♥t ♦♥trôés ♣t êtr tsé ♣♦r rr s ♠♦ès ét♦♥s ♠sss ♦♣ strtr ♥s s ♦♥t♦♥s rés
♥s s s ♦ù s ♠♣♥s sss s♦♥t résés sr s ♠qtts st t♦tàt ss♥t étr très tt♥t♠♥t s rès ♥♠♥té ♥ s♥ q st ♠♣♦ss ♠♦ésr ♣rt♥♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣t strtr sr ♥ ♠qtt st ♥ t ♠♣♦ss ♦♥srr s ♠ê♠s réq♥s ♣r♦♣rs s ♠sss ♦♣ strtr t s ♦♥ts r♦tt♠♥t s ① s rs ♣♥têtr ♠♦ésés ♣rt♥♥ ♠♥èr ♥é♣♥♥t ♥ ♦sss♥t ♥♠♥t s ♦♥t♦♥s rést♦♥ ①♣ér♥ s ♥♠♥ts ét ♠s ♥ ♣ s♣♦sts ①♣ér♠♥t① ♣tés ♣♦rr♦♥t r ♦téts s♣éqs
♦♥s♦♥
♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr ♠ét♦ qs♥②tq rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ②♥♠q ♥♦♥♥ér strtr ss♥t ♠♠ré s♦sr♠♥t ss♠q ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s t ♥ ét ♦r♣qs ♣t♦♥s sr st t ♣rés♥té s ②♣♦tèss s té♦r Ps ♥♦s♦♥s é♦♣♣é ♠ét♦ rés♦t♦♥ sr ①♠♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠rés♦s r♠♥t ss♠q ♥♥ ♥♦s ét♥♦♥s ♦♠♥ té tt ♠ét♦à ♥s♠ s strtrs ♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♣t êtr r♣rés♥té ♣r ss♠♦s ♣r♦♣rs ♥strér t rr
♠ét♦ rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ♦♣és ts s té♦rs s ♠sss♦tés sss ♦♣ strtr ♣rés♥tés ♥s ♣tr s s♦♥t♣s étés q s ♠♦ès ssq♠♥t tsés ♥s s rés♦t♦♥s ♣r♦è♠s ②♥♠q ♦♣és ♥ ♣r♥ ♥s ♥ ♦♠♣t ♥♥ t ♦♥ éé♠♥ts ♥♦♥♦♥① ♠tr ♠sss ♦♣ strtr sr é♣♠♥t strtr
♠ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦♣♦sé r♣♦s sr ♥②s q ♣r♦è♠ ♥♦♥♥ér♦♣é ♣t êtr trté ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ ♥ér ♣r ♠♦r① q ♠♦r ét♥t♥ ♥tr t♠♣s r q ♥tr ♦♥ ♣t tsr s ♠ét♦s rés♦t♦♥sr s ♠♦ ♠♠ré ♥st♥t♥é t rés♦r ♥②tq♠♥t ♣r♦è♠ ♥ ér
♥ ♥ ♣s t♠♣s étt ♦♥tt ♥ ♥ ♣s ♦♥ r s ♠ê♠ss♦t♦♥s ♥②tqs ♣♦r ♣s t♠♣s s♥t ♥♦♥ ♦♥ ♣r♦tt s ♦♦r♦♥♥ésé♥érsés ♣r♠èr s ♠♦ rs ①è♠ s ♠♦ t ♦♥ st♦ é♣♠♥t ♦r♣s r strtr
tt ♠ét♦ st qs♥②tq r ♥ésst t♦t ♠ê♠ ♥ srétst♦♥ ♥ ♥trs t♠♣s ① ♦♥t êtr ss♠♠♥t ♣tts ♣♦r ♣r♠ttr réstt êtr ♣s ♣r♦ ♣♦ss s♦t♦♥ ré st ♦♥ ♥éssr tr s sss sr s s tsts ♥t ♥r s s♠t♦♥s ♥♦♠rss sr ss♥① ss♠qs q♦♥qs
♥ r tt té♦r ♥ sér s♠t♦♥s ♦♥t été résés ♣s ♦♠♣rés① réstts s♠t♦♥s ♥♠érqs ❯♥ ♦s tt t♦♥ té ♦♥ tsr♣♥♠♥t s ♣tés té♦r ♥ ér s é♣♠♥ts sr s ♦♥rt♦♥s strtr s♠♣ t sr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦s r♠♥t ss♠qq♦♥q ♦ù é♦♠étr s ♠s st tsé r t à ♠sr é♣♠♥t s ♣♣t♦♥s ♠ét♦ qs♥②tq t s réstts s♦♥t ♣rés♥tés♥s ♣tr ❱
♦r♣
❬❪ Pr ②♥♠q s strtrs t s ♦rs ♦ s P♦♥ts Prs
❬❪ ♥♥♦♥ ♦♠♠♥t♦♥ ♥ t ♣rs♥ ♦ ♥♦s Pr♦♥s ♦ t ♥sttt ♦ ♦ ♥♥rs ♦ ♥ ♥r② ♣
❬❪ ♦t ♦♥ rt♦♥ ♥ r ♣♥♦♠♥ Pr♦♥ ♣ t ♦rs♦♣ ♦♥t s ♦ sr ♦r♠t♦♥ ♠♦s t♦ ♣rt tr♦♦② ♦r ♣♣r♦s t♦♠♦♥ ♦ rt♦♥ ♥ r ♣r♥r❱r
❬❪ ♥t♥s ①s s ♦♦♠ rt♦♥ ♠♦♥ ♥ ♥♠r s♠t♦♥s ♦ rt♦♥ ♥ r ♦r rt ♦ ♠ts♣♥ t ♥s ♦♥ rt♦♥ ♥ ♥♦s ❲♥tr ♥♥ ♠t♥ ♦ ❱♦
❬❪ t♠♥ ♦② sr♠♥t ♦ rt♦♥ ♦♥t ♥r r♣r♦t♥s♥ ♦♥t♦♥s r♦♣♥ ♦r♥ ♦ ♥s ♦s ❱♦ ♦
❬❪ s ♦rs ①♣r♠♥t ♥ ♥♠r st② ♦ ♦rs r♥ ♦q♠♣t ♦r♥ ♦ ♦♥ ♥ ❱rt♦♥ ❱♦
❬❪ ❩♦ ♥②s s ♣é♥♦♠è♥s sr ♣r ♦ t r♦tt♠♥t ès ♦t♦rt ♥rsté Prs ❱
❬❪ ❲str♠♦ ❯ Pr♦ rs♣♦♥s ♦ s♥ ♦st♦r s②st♠ t♦ r♠♦♥①tt♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ P♦♥s é♣♦♥s ②♥♠q ♥ strtr r sr ♦♥t♦♥ ss♥t r♦♦q t♦♥ é♥ Prss♠q ♥té♠②srss t ♥r
❬❪ ♦st ③ ♥ s♣♦♥s ♦ s♥ strtrs t♦ r♠♦♥s♣♣♦rt ♠♦t♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ ♦st ♥ s♣♦♥s ♦ s♥ strtrs t♦ rtq s♣♣♦rt♠♦t♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ trtt P♦♥s P ♦ s♠ rs♣♦♥s ♦ s♥ strtrs ♥ q♣♠♥t ♥t ♥s ♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr②♥♠s st t♦♥s Prsss é♠qs
❬❪ ❲ ♦s♥r ♦r ♦ ♥rt ♣♥♠ strtrs r♥ rtqst♥ ♦ t s♠♦♦ ♦t② ♦ ♠r ❱♦
❬❪ ❨♠ ♦♣r P♥③♥ ♦♥ rs♣♦♥s ♦ r ♦s t♦ rtqsrtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ ❨ s②♠ ♥ sss♦♥ ♦♥ ♦rtr♥♥ ♦ ♦s ② rtq ♠♦t♦♥s sr ♣♣r ♦ ♥str② ♦ ♦♥strt♦♥
❬❪ ❨ s②♠ ♦t♦♥s ♦ r ♦s ♥ rtr ♦r ♦rtr♥♥ ② rtq①tt♦♥s rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ t♥♦ Ps②rs ♦r♦♣♦♦s ②♥♠ rs♣♦♥s ♦ r♥♦r ♠s♦♥r②♦♠♥s ♥ ss ♠♦♥♠♥ts ♦♥strt♦♥ ♥ ♥ trs
❬❪ t♥♦ ❱r♦s r♥s ②♥♠ ♠♦t♦♥ ♦ ♦♥ rst♠♦r r♦ ♦r③♦♥t ♣♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦♥♥r ♥s ❱♦
❬❪ rs ♦♥st♥t♥s r♦♥ s♣tr♠ ♥ t ♠tt♦♥s ♦ ♣rts♥ ♠t♦♦♦s rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ P♥ Prt♦ P ♦r♥♦ ♥ t ②♥♠s ♦ r♦♥ ♠♦t♦♥ ♦ s♥r♦ strtrs rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s
❬❪ Prt♦ P ♦r♥♦ ♥ t r♦♥ ♦r ♦ r ♦ts ♥
❬❪ Prt♦ P ♦r♥♦ r ♠♣s rt ♦rs ♥ t r♦♥♠♦t♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ Ps②rs ②♥♠ ♦r ♦ r♦♥ t♦♦ P ss ❯♥rst② ♦♠r
❬❪ ♦r t ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q ♥ rtr st♦ ss♠s ♦♠sts sés ♥ ♣s♥ ès ♦t♦rt
❬❪ sr rss s♥ ♥ ♥②ss ♦ rst♥♥ s♣♥t rs ♥ ♥r♣♦r ♥ ♦r t ♦s ♥s
❬❪ ♠♣♦♠r ♠♦♥t② P ♦♦♦ ♦s s♠ s♥ ♦ s♣♥t st♦r r t ♦s ♥s
❬❪ t ♥ ♠ t♦♥ ♦ ss♠ ♦s ♦♥ st♦r rs ♥r♦♥srt♦♥ ♦ strtr ♥trt♦♥ t
❬❪ ♦t ♥ ♠♥tr② trts ♦♥ t ②♥♠s ♦ s②st♠ ♦ r ♦s♥
❬❪ ♦t ♥ ♣rt ♦ trts ♦♥ t ②♥♠s ♦ s s②st♠ ♦ r ♦s♥
❬❪ ❲str ②♥♠s ♦ ♣rts ♥ ♦ r st ♥ ♦s ♥ ♣③
❬❪ P ♣♣ rté ♠é♥q rt♦♥♥ tr❱rs Prs
❬❪ ❲ ♥ ②♥♠s ♦ r ♦s ♦r Pt♦♥s ❨♦r
❬❪ P ♣♣ r ♥tért♦♥ s éqt♦♥s ♠♦♠♥t ♥ ♦r♣s ♣s♥t ré♦t♦♥ r♦♥t ♣r ♥ rrêt rr sr ♥ ♣♥ ♦r③♦♥t s ♣rtr r ♥ r t Pr♠♦
❬❪ ♦rt ①trt ♥ ttr à ♣♣ ♥ r t Pr♠♦
❬❪ ♦♣ ♥ t rs ♦ s♣♥♥♥ t♦♣ r♥s ♠r P ♦ ❱♦
♣tr
éstts ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣é
strtrs ♠♠rés ss♥ts
♥tr♦t♦♥
♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr s té♦rs ♠sss ♦♣strtr t ♥s ♣tr s ♠ét♦s rés♦t♦♥ qs♥②tqs séqt♦♥s ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦♣ strtr ♥s ♣tr♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♣tr à s s s♠♣s ♣s sréstts ♠ét♦ rés♦t♦♥ s ♣r♦è♠s ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦♣éssr s ①♠♣s ♣♣t♦♥s
s s s♠♣s étés ♥s ♣r♠èr ♣rt ♦rrs♣♦♥♥t ① éts éà ♣rés♥ts♥s ttértr ♥ trtr ♥s s s ♠sss ss♥ts ♠♠rés ♠♦és♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦r♣s r strtr ♣s ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♦és♥t ré♣♦♥s strtr sr s♦♥ ♣r♠r ♠♦ ♣r♦♣r ♥s q rt♦♥ ♣♥
♥s ♣rt réstt ♦♥ ♦♥sèrr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s ♦♥rt♦♥s ♠♦éss s ♦s éé♠♥ts ♥s ♥♦s ♣r♠ttr r s ♠♦èsqs♥②tqs ♥ s ♦♠♣r♥t ① s♦t♦♥s ♥♠érqs ♥ trtr ♦r s♦♥rt♦♥s s♥s ♦♣ strtr ♣s s ♦♥rt♦♥s ♦♣ strtr ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥♥ s ♠♦ès ♠trs ♦♣ strtr ♣♥ t ♣rs ♥ ♦♠♣t s é♦t♦♥s é♦♠étr s ♠s ♥ tsr s é♦♠étrs trtés ♥s ♣tr sr sqs s ♠♦ès♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♦♥♥♥t ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s réstts♥♠érqs
♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts s ér♥ts ♠♦ès tsés♥ étr ♠♣t ♣rés♦♥ ♠♦ést♦♥ sr é♣♠♥t ♥s♠ strtr ♥ étr ♥s s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr s ♠♦ès ♣s ♦ ♠♦♥s r♥és strtr ss ♣♦♥t ②stè♠ ♠sssrss♦rt P♦tr ss♥t
♠ê♠ ♥♦s ♥♦s ♥térssr♦♥s à ♠♣t ♠♦ést♦♥ strtr ♥tr ♦è s♥s ♦♣ strtr ♦è ♠trs ♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étrs ♠s
♦è ♠trs ♠sss ♦tés ♦♠♣èts tst♦♥ é♦♠étr s♠s
♣♣t♦♥ à s s s♠♣s
♠ét♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr st ♣♣ à ♥♠♣♦rt q strtr♦♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs ss t é♦♠étr s ♠s ♣♣qé ♣tr trt♥t ♦♣ strtr s♦♥t ♦♥♥s ♣t ♥é♥♠♦♥s ♥r rt♠♥tsts à ♠♣é♠♥tr ♣r♥♣♠♥t ♣r q ♥①st ♣s ♦ à r t ♣r♠tt♥t ♦t♥r s réstts ♥sts sr s ♣r♦è♠s ♥♦♥♥érs ②♥♠qs ♦♣ strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t s rt♦♥s é♦♠étrs ♠s t s♦s r♠♥ts ss♠qs q♦♥qs ♥s s t♠♣s rs♦♥♥ss qqs ♦s ts♥t s ♠ét♦s ♥és ♣r♠tt♥t s♠r té s é♦t♦♥s s é♦♠étrs s ♠s ♠s ♦♥r♥ ts♣r♦r♠♠s ♦♣és ♥ ♦ ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♥st ♣s t♦♦rs éré
tst♦♥ ♥ é♦♠étr t ♠♦ést♦♥s strtrs s♠♣s st ♦♥ ♥éssr ♣♦r ♣♦♦r ♦♠♣rr s réstts ♦t♥s ♥s r tt tès sréstts és s♥ ♦♠♠♥té s♥tq ♥s ♥♦s ♣♣qr♦♥s s ♠ét♦s rés♦t♦♥ é♦♣♣és ♥s s ♣trs ♣réé♥ts sr s ♠♦és s♠♣és ♠ss ♣♦♥t ♠♠ré ss♥t t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t
ss ♣♦♥t ♠♠ré ss♥t
♥ ♣s ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs ss♥ts s♦♠ss à ♥ r♠♥tss♠q q♦♥q ♦♥ ♦♥sèr s♦♥t ré♣♦♥s ♥ ♠ss ♣♦♥t ss♥ttt ②♣♦tès r♥t à ♥ér ré♣♦♥s strtr sr ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♦s ♦♠♣rr♦♥s ♣r st ér♥ts ♠♦ès ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t ts♥ts s♦t♦♥s ♣s♦♥②tqs ♥ ♦r ♥♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés strtr
②♣♦tès ♠ss ♣♦♥t ss♥t été trté ♥s ttértr ♥s sréér♥s ❬❪ t ❬❪
sr♣t♦♥ ♠♦è
♥ ♠♦és s②stè♠ ♣r ♥ ♠ss ♣♦♥tM ♥♦♥t ♥térté ♠ss strtr ♥ ♦♥sèr ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ ♥ ♦♥t sttq µSt ♥ ♦♥t ②♥♠q µD ♠ss st s♦♠s à ♥ ♦♣ strtr ♦♣ st ♠♦ésé à ♠sss ♦tés MH(t) t M1(t) s ♠sss ♦tés♦rrs♣♦♥♥t ① ♠sss ♦♣ s♣♣q♥t sr ♥s♠ strtr ré
♦♥♥r ♣♣♦rtr ♥ tt♥t♦♥ t♦t ♣rtèr à é♥t♦♥ q st♦♥séré ♦♠♠ s♥t ♣rt strtr ♥ t tt é♥t♦♥ ♠♣tr ♠ss strtr ♠s ss s ♠sss ♦♣ st s♦♥t ♣s s♠♣ ♦♥sérr ♥ ♦♠ é♦♠étrq s♠♣ ②♥r s♣èr sq ♣s r♥q strtr ré ♥ ♦t♥r ♠♥t s ♠sss ♦♣ strtr
♥ r♠rqr ss q s ♠trs ♦♣s s♦♥t s ♠trs ♠sss t ♥♦♥ ♠sss ♥éqs ♦♠♠ ♥s s ♣rts ♣réé♥ts ♥ ts ♦♥ ♥♦tt♦♥ M m
♠♦è st r♣rés♥té sr r 4.1
r é♠ ♠♦è ♠ss ♣♦♥t
s ♥ éqt♦♥ ssq
s ②♣♦tèss ♠♦è ♦♥ ♦t rés♦r s②stè♠ s♥t
(M +MH
xx(t))Ux(t) +MH
xy(t)Uy(t) + MHxx(t)Ux(t) + MH
xy(t)Uy(t) = Rx(t) + (M1xx −M) γx(t),
(M +MH
yy(t))Uy(t) +MH
xy(t)Ux(t) + MHyy(t)Uy(t) + MH
xy(t)Ux(t) = Ry(t) +(M1
yy −M)γy(t),
Rz(t) = (M −M1zz) (γz(t) + g) .
♥s ét ♥ ♠ss ss♥t ♦♥t♦♥ ♥♦♥ss♠♥t s①♣r♠ sé♠♥t
√[(M −M1
xx) γx(t)]2 +
[(M −M1
yy
)γy(t)
]2< µS
(M −M1
zz
)(γz(t) + g)
♦rsq strtr st é♦r♠ ♥ ♣rt ♦rt é♥♥t ss♠♥tst ♥s ♥s é♦r♠é strtr ♠ss ♣♦♥t ♥ ♣s tt ♣té st♦ é♥r ét ss♠♥t st ♦♥ t♦t♠♥t étr♠♥é ♣r sr♠♥ts ss♠qs ①térrs ré♣♦♥s s②stè♠ ♥ ♥ ♥♥
s ♠♦ ♥t
♥ tsr ♠ét♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr t ♦♥sérr ① ① ♠♦s ♣r♦♣rs ♦ ♣r♦♣r ♠ss ss♥t
♦rsq ♠ss ss t ♦♥sérr s ① ♠♦s ♣r♦♣rs ♦r♣s r
φ1= ex, φ
2= ey.
♦ ♣r♦♣r ♠ss ér♥t
♦rsq ♠ss st ér♥t ♥② ♣s é♣♠♥t ♣♦ss s ♠♦s ♣r♦♣rs♥ s♦♥t ♣s é♥s Pr ♦♥tr s s♦t♦♥s é♣♠♥t s♦♥t ♦♥♥s à q ♣s t♠♣s P♦r keme tért♦♥ t♥t q ♦♥t♦♥ ♥♦♥ss♠♥t st éré
U(tk+1) = U(tk), U(tk+1) = 0.
qt♦♥s sr s ♠♦ ♠♠ré
♦s ♦s♦♥s ♥♦tr ♥②s sr ♣s ss♠♥t ♠ss ♣♦♥t ♣s ér♥t ét♥t éà rés♦
♥ ts ♥st ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♥ s
r♠è♥ à ♥ s②stè♠ s♠♣é sr ♥ ♥♦ s ♠♦ ♠♠ré(φ1, φ2
) ♦s s
②♣♦tèss ♠♦rtss♠♥t ♠♦ é♦♣♣és ♥s s ♣rts ♣réé♥ts ♦♥ tr♦s éqt♦♥s éqr s♥ts
m1(t) ¨q1(t) + c1(t) ˙q1(t) = R1(t) + F1(t)− ˜F IFS1 (t),
m2(t) ¨q2(t) + c2(t) ˙q2(t) = R2(t) + F2(t)− ˜F IFS2 (t),
q ♦rt ♠♦ s ♥ ♣♣q♥t s ♦r♠s sr s ♠♦ ♠♠ré♥ ♣t r♠rqr q ♦rsq ♥② ♣s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① ♥s ♠tr ♦♣ strtr s ♠♦s ♣r♦♣rs rst♥t ♥♥és s s ♠sss ♠♦s♥♥t ♥ s rtr♦ ♥s tt ♦♥rt♦♥ ♣♦r ♥♠♣♦rt q strtr ♠♠ré ②♥t ♠♦♥s ♥ ♣♥ s②♠étr tt ♦♥rt♦♥ s rtr♦ ssq♠♥t♦rsq♦♥ ♥ t ♣s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s
♦rsq tt tst♦♥ st ♦♥séré ♦♥ s rtr♦ ♦rè♠♥t ♥s ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♠tr ♦♣ strtr ♥st ♣s ♦♥ s ♠sss ♠♦sm1 t m2 r♥t ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s ♣♥♥t ♥♦s ♥ ♦♥sér♦♥s ♣s r é♦t♦♥ t♠♣♦r ♥s rés♦t♦♥ éqt♦♥ ér♥t ♦s s♣♣♦s♦♥s q sr♥ ♣s t♠♣s ♦♥♥é s ♠sss ♠♦s ♠♠rés s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① t sr♠♥ts ①térrs ♠♦① s♦♥t ♦♥st♥ts
és♦t♦♥ sr ♥ ♣s t♠♣s
♥ s ♣ keme ♣s t♠♣s ♥ s♣♣♦s ♥s♠ s r♠♥ts ①térrss ♠sss ♠♦s t s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① ♦♥st♥ts t é① à rs rsrs♣ts à ♥st♥t tk = k∆t ♥ tsr s ♥♦tt♦♥s s♥ts mk
i s ♠sss ♠♦s ♠♠rés à ♥st♥t tk cki s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① à ♥st♥t tk
F ki = R1(tk) + F1(tk)− ˜F IFS
1 (tk) s♦♠♠ s r♠♥ts ♠♦① à ♥st♥t tk qki (t) s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés sr s ♠♦ ♠♠ré é♥ sr ♥tr
t♠♣s [0,∆t[
P♦r ♠♦ i ♦♥ s r♠è♥ à éqt♦♥ ér♥t é♥ sr ♥tr t♠♣s[0,∆t[
mki q
ki (t) + cki q
ki (t) = F k
i
♥ étr♠♥ ♠♥t réstt tt éqt♦♥ s ♦♥t♦♥s ♥ts qki (0)
t qki (0)
qki (t) = Ae− cki
mki
t+F ki
ckit+B
A =mk
iFki(
cki)2 −
˙mki q
ki (0)
cki,
B = qki (0)−mk
iFki(
cki)2 +
˙mki q
ki (0)
cki,
♥ ♣t ♥s ér ♣♦st♦♥ t tss ♠ss à ♥ ♣s t♠♣s
U(tk+1) = qk1(∆t)φ1 + qk2(∆t)φ2,
U(tk+1) = qk1(∆t)φ1 + qk2(∆t)φ2,
♥ ♣t ♥s st♦r r ss♠♥t à ♥ ♣s t♠♣s t ss tstrs ♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t st éré t♥t ♦♥♥é q ♥♦s s♦♥s ♥ rt♥♥♦♠r ♣♣r♦①♠t♦♥s s ♦♥t♦♥s r♠♥t sr ♥ ♣s t♠♣s ♦♥ ♥ ♣t♣s éttr ♥ ♥st♥t ♦ù tss ♠ss st ♣rt♠♥t ♥ q s♥rt♥ rrêt ss♠♥t ♥s ♥♦s s♣♣♦sr♦♥s q ② rrêt ss♠♥t s tss ♥ s♥ ♥s s ① rt♦♥s ♣♥ (ex, ey) s ér ♦♥t♦♥ rrêt
(Ux(tk).Ux(tk+1) < 0
)&(Uy(tk).Uy(tk+1) < 0
)
♥ ts♥t tt ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♦♥ tr♦ s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♣r♦è♠ ♥ ♠ss ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q tst♦♥ é♦♠étr s ♠s s réstts tt ♠ét♦ sr♦♥t ♣rés♥tés♥s ♣rt §4.6.1
②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t
♣♣t♦♥ té♦r à ♥ ♠ss ♣♦♥t st ♥ ♣r♠èr ♣♣r♦ s♠♣é♠s ♣rés♥t ♣r♦è♠ ♣r♥♣ ♥ ♣s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ré♣♦♥s ♥tr♥ strtr ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥s♠ ♥♦t♠♠♥t ♥s s♦♥ ♥♥sr ss♠♥t ♦♥♥ ♥é♥♠♦♥s ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ rt♠♥t ♦♥♥ s strtr st trés r ♣r♠èr réq♥ ①♦♥ ♠♠ré strtrs st t♦r s réq♥s rtérstqs s sés♠s ♥ss♦s ③ ♥♠♦è ♣s été ♦t êtr tsé ♠♦é ♦t ♥r ré♣♦♥s s ♣r♠rs ♠♦s♣r♦♣rs strtr ♥ r♥t à s♣rt s♦t s♠♣r ♠♦è ♦♠♣tt♦t ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ré♣♦♥s rt♦r strtr ♥♦s ♥♦s ♥térssr♦♥sà ♣♣t♦♥ té♦r à ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t
♠rq ♥ ts é♥♦♠♥t♦♥ ♠sssrss♦rt ét♥t ♦♥♥é q ♣r♦t♦♥ strtr sr ♥ ① ♦♥♥é s ♠♦és ♣r ① ♠sss rés ♣r ♥ rss♦rt
sr♣t♦♥ ♠♦è
♠♦è ♠sssrss♦rt st ♦♠♣♦sé ♥ ♠ss ♦s♥t Mb ♦rrs♣♦♥♥t à ♠ss t ♣r♠r ♠♦ ①♦♥ ♥ ♠ss ss♥tMa rr♦♣♥t rst ♠ss strtr t ♥ rss♦rt s rrs ér♥ts s♥t rt♦♥ kx ♣♦r rt♦♥ ❳ t ky s♥t ① ❨ s rrs s♦♥t ♦ss ♣♦r ♦r s ♠ê♠sréq♥s ♣r♦♣rs ①♦♥ q strtr ré ♥s
kx = 2πMbf2x , ky = 2πMbf
2y
♦♣ strtr st ré♣rt ♥tr s ♠sss Ma t Mb ♥ ♦♥t♦♥ é♦r♠é strtr t ②♣♦tès rt♥ ♣♦r s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♦ss♣♣♦sr♦♥s q ♥② ♣s ♥trt♦♥ ♥tr s ① ♠sss ♦♣ strtr tt ②♣♦tès st éré ♣♦r ♥ té♦r é♦♠♥t ♣r tr♥ t②♣rt③ ♠s ♥st ♣s éré ♥s s é♥ér
é♦r♠é strtr ♥ét♥t ♣s ♠ê♠ ♦rsq s②stè♠ ss ♦ ér ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥tr Ma t Mb ♣t é♦r ♥ ♦♥t♦♥ étt s②stè♠ r 4.3 r♣rés♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss éq♥t ♣♦r ♥ ♣♦tr ♥strér t rr tt rt♦♥ ré♣rtt♦♥ s ♠sss st ss ♣♦r ré♣rtt♦♥ ♦♣ strtr ♥♥ tt rt♦♥ ré♣rtt♦♥ ♠ss t ♦♣ sr été ♥s tt ♣rt ♥s ♥ s♦ s♠♣t♦♥ s♥♦tt♦♥s ♥♦s rr♦♥s s ♠ê♠s ♥♦tt♦♥s ♣♦r s ♠sss t ♦♣ ♥s s♣ss ss♠♥t t ér♥ ♠♣♦rtr tr r s ♥♠♥ts ♠ss ♦rs ♥♠♥t ♦♥t♦♥ ♦♥tt
s②stè♠ st r♣rés♥té ♥s r 4.2
♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♠♦rtss♠♥t c q s trt ♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t ♠♦ ξt ♠♦rtss♠♥t st s♦♥t ♦♥♥é ♣r s ré♠♥tt♦♥s ♥ r s é♦♠♣♦s♥tr ♥ ♠♦rtss♠♥t é à strtr t②♣s ss♠s ♠tér① t t②♣s
r é♠ ♠♦é sssss♦rt
s♦tt♦♥ t ♥ ♠♦rtss♠♥t é à éré t♠♣♦r s ♠sss ♦♣strtr
s ②♣♦tèss ♣♦rt♥t sr ss♠♥t t sr sés♠ rt s♦♥t s♠rs à s♣rés♥tés ♥s ♠♦è ♠ss ss♥t 4.2.1.1
r é♠ ♠♦è sssss♦rt
s ♥ éqt♦♥ ♣r♦è♠
s éqt♦♥s ♠♦♠♥t s♦t♥♥♥t rt♠♥t st ♥térss♥t s ①♣r♠r ① ♠♥èrs ér♥ts s♦t ♥ tr♠ é♣♠♥ts s♦s q♥ 4.14♥s ♣s ér♥t strtr ♥ ts♥t é♣♠♥t rt ♠ss ♣r r♣♣♦rt à ♠ss Xr s♦t ♥ tr♠ é♣♠♥t ♥tr rté t é♣♠♥ts rts ♥s ♣s ss♠♥t q♥ 4.15 ♥ ts♥t Xg t Xr
Xr(t) + 2ξωxXr(t) + ω2xXr(t) = −Mb −M1xb
Mb +MHxb
γx(t)
Yr(t) + 2ξωyYr(t) + ω2yYr(t) = −Mb −M1yb
Mb +MHyb
γy(t)
Rx(t) = (Ma −M1xa) γx(t)− kxXr(t)− cXr(t),
Ry(t) = (Ma −M1ya) γy(t)− kyYr(t)− cYr(t),
Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)
(M +MHx) Xg(t) = − (M −M1x) γx(t) +Rx(t)
(M +MHy) Yg(t) = − (M −M1y) γy(t) +Ry(t)
Xr(t) + 2ξωrxXr(t) + ω2rxXr(t) = −
(Ma −M1xa
Ma +MHxa
− Mb −M1xb
Mb +MHxb
)γx(t) +
Rx(t)
Ma +MHxa
Yr(t) + 2ξωryYr(t) + ω2ryYr(t) = −
(Ma −M1ya
Ma +MHya
− Mb −M1yb
Mb +MHyb
)γy(t) +
Ry(t)
Ma +MHya
Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)
M =Ma +Mb MH. =MH.a +MH.b t M1. =M1.a +M1.b s rs éq♥ts ♣♦r
♥ s♦ ♥é♦r♠ ♠ss ss♥t
ωx =√
kxMb+MHxb
t ωy =√
kyMb+MHyb
s ♣r♠èrs réq♥s ♣r♦♣rs strtr
♠♠rés à s ♥stré
ωrx =√
kxMa+MHxa
+ kxMb+MHxb
t ωry =√
kyMa+MHya
+ kyMb+MHyb
s ♣r♠èrs réq♥s
♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♥♥t s ♠sss ♦♣ strtr
Xg = (Ma+MHxa)Xa+(Mb+MHxb)Xb
M+MHxt Yg =
(Ma+MHya)Ya+(Mb+MHyb)Yb
M+MHys é♣♠♥ts
♥tr rté strtr ♠♠ré ♥♥t s ♠sss ♦♣ strtr
Xr = Xa −Xb t Yr = Ya − Yb s é♣♠♥ts rts s ♠sss Ma t Mb
s éqt♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t ♦① ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s s ér♥t
φ1 =
(10
), φ2 =
(01
),
♥s s ♦ù ♥ ss♠♥t été ♥té
φ1 =
(Ma+MH.a
M+MH.Mb+MH.b
M+MH.
), φ2 =
(1−1
),
P♦r ♥ ♦♥t♦♥ ss♠♥t ♦♥♥é ①st ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦r ♥ srt♦♥s ♣♥ ex t ey s trs ♣r♦♣♦sés s♦♥t ①♣r♠és ♥s s ♦♦r♦♥♥és (
Ua
Ub
)
és♦t♦♥ sr ♥ ♣s t♠♣s ♦♥t♦♥ ♥t ér♥t
♦s r♦♥s ♠♥t♥♥t à rés♦r s éqt♦♥s s②stè♠ P♦r ♥♦s ♥♦s♣ç♦♥s keme ♣s t♠♣s ♦rrs♣♦♥ à ♥tr t♠♣s t ∈ [tk, tk+1[ ♥♦♥sér qà ♥st♥t tk ♦♥t♦♥ ♦♥tt st ér♥t ♠ss Ma rstr♠♠♦ ♣♥♥t ré ♣s t♠♣s ♦♥ ♦♥
Xa(t) = Xa(tk), Ya(t) = Ya(tk).
♥ ♦♥sèr q ♥s♠ s ♦♥t♦♥s é♣♥♥ts t♠♣s ♠s à ♣rt s é♣♠♥ts rts t s ♦rts rét♦♥s ♦r③♦♥t① s♦♥t ♦♥st♥ts t é① à rsrs à t = tk ♦s r♦♥s ♦♥ à rés♦r é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♦♥t♦♥sXr(t), Yr(t), Rx(t), Ry(t) ♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ♥ ♦strr♠♦♥q ♠♦rt s♦s r♠♥t ♦♥st♥t ♥ ♣♦s ♣♦r t = t − tk ♥ rà étr♠♥r s ♦♥t♦♥s ♦♥sérés sr ♥tr [tk, tk+1[
Xr(t) = −Mb −M1xb
kxγx(tk)
[1− cos(ωDxt)
]+
[Xr(tk) + ξωxXr(tk)
ωDx
sin(ωDxt) +Xr(tk)cos(ωDxt)
]
Yr(t) = −Mb −M1yb
kyγy(tk)
[1− cos(ωDy t)
]+
[Yr(tk) + ξωyYr(tk)
ωDy
sin(ωDy t) + Yr(tk)cos(ωDy t)
],
Rx(t) = (Ma −M1xa) γx(tk)− kxXr(t)− cXr(t),
Ry(t) = (Ma −M1ya) γy(tk)− kyYr(t)− cYr(t).
ωD. = ω.
√1− ξ2 réq♥ rét ss♦é à ω
s rs s ♦rts rét♦♥ ♦r③♦♥t① s és♥t s ①♣rss♦♥s Xr(t) tYr(t) ♥ ♦t♥t ♥s s rs s ♦♥t♦♥s à ♥st♥t t = tk+1 ♥ tst ♦rs s ♦♥t♦♥ ér♥ st t♦♦rs éré ♦ ♥♦♥ s①♣r♠ ♣r
R2x(tk+1) +R2
y(tk+1) < µ2S (Ma +Mb −M1z)
2 (γz(tk+1) + g)2
♦♥t♦♥ ér♥ st éré
♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ r♥t ♠ê♠ s♦t♦♥ ♥②tq
♦♥t♦♥ ér♥ ♥st ♣s éré
♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ ts♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §4.2.2.4 s ♦♥t♦♥s ♥ts s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♥sér♥t
Xr(tk+1),
Yr(tk+1),
Xg(tk+1) = Xa(tk+1) +Mb +MHxb
M +MHx
Xr(tk+1),
Yg(tk+1) = Ya(tk+1) +Mb +MHyb
M +MHy
Yr(tk+1).
és♦t♦♥ sr ♥ ♣s t♠♣s ♦♥t♦♥ ♥t ss♠♥t
♥ s ♣ keme ♣s t♠♣s ♦rrs♣♦♥ à ♥tr t♠♣s t ∈ [tk, tk+1[♥ ♦♥sér qà ♥st♥t tk strtr st ♥ tr♥ ssr P♦r s♠♣r s
♥♦tt♦♥s ♦♥ ♣♦s
F kgx = −M −M1x
M +MHx
γ(tk) +Rx(tk),
F kgy = −M −M1y
M +MHy
γ(tk) +Ry(tk),
F krx = −
(Ma −M1xa
Ma +MHxa
− Mb −M1xb
Mb +MHxb
)γx(tk) +
Rx(tk)
Ma +MHxa
,
F kry = −
(Ma −M1ya
Ma +MHya
− Mb −M1yb
Mb +MHyb
)γy(tk) +
Ry(tk)
Ma +MHya
.
♥ ♦♥sèr q ♥s♠ s ♦♥t♦♥s é♣♥♥ts t♠♣s ♠s à ♣rt s é♣♠♥ts ♥tr rté t s é♣♠♥ts rts s♦♥t ♦♥st♥ts t é① à rsrs à t = tk ♦s r♦♥s ♦♥ à rés♦r é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♦♥t♦♥sXg(t), Yg(t), Xr(t), Yr(t) ♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ① ♦strs r♠♦♥qs ♠♦rts s♦s r♠♥t ♦♥st♥t ♥ ♣♦s ♣♦r t = t − tk ♥r à étr♠♥r s ♦♥t♦♥s ♦♥sérés sr ♥tr [tk, tk+1[
Xg(t) = Xg(tk) + Xg(tk)t+ F kgx
t2
2,
Yg(t) = Yg(tk) + Yg(tk)t+ F kgy
t2
2,
Xr(t) = F krx
[1− cos(ωDxt)
]+
[Xr(tk) + ξωxXr(tk)
ωDx
sin(ωDxt) +Xr(tk)cos(ωDxt)
],
Yr(t) = F kry
[1− cos(ωDy t)
]+
[Yr(tk) + ξωyYr(tk)
ωDy
sin(ωDy t) + Yr(tk)cos(ωDy t)
].
ωD. = ω.
√1− ξ2 réq♥ rét ss♦é à ω. s rs s tsss
Xg(t), Yg(t), Xr(t) t Yr(t) s és♥t s ①♣rss♦♥s Xg(t), Yg(t), Xr(t) t Yr(t)♥ ♦t♥t ♥s s rs s ♦♥t♦♥s à ♥st♥t t = tk+1 ♥ tst ♦rs s ♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t st éré ♦ ♥♦♥ s①♣r♠ ♣r
(Xa(tk)Xa(tk+1) ≤ 0
)&(Ya(tk)Ya(tk+1) ≤ 0
)
ù
Xa(t) = Xg(t)−Mb +MHxb
M +MHx
Xr(t),
Ya(t) = Yg(t)−Mb +MHyb
M +MHy
Yr(t).
♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t st éré
♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ ts♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §4.2.2.3 s ♦♥t♦♥s ♥ts s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♥sér♥t
Xa(tk+1) = Xg(tk+1)−Mb +MHxb
M +MHx
Xr(tk+1),
Ya(tk+1) = Yg(tk+1)−Mb +MHyb
M +MHy
Yr(tk+1),
Xr(tk+1),
Yr(tk+1).
♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t ♥st ♣s éré
♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ r♥t ♠ê♠ s♦t♦♥ ♥②tq s♦rts r♦tt♠♥t ♣♦r ♣s t♠♣s s♥t s♦♥t ♦t♥s ♣r
Rx(tk+1) = −µD
Xa(tk+1)√X2
a(tk+1) + Y 2a (tk+1)
(Ma +Mb −M1z) (γz(tk+1) + g) ,
Ry(tk+1) = −µD
Ya(tk+1)√X2
a(tk+1) + Y 2a (tk+1)
(Ma +Mb −M1z) (γz(tk+1) + g) .
♥ ts♥t tt ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♦♥ tr♦ s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♣r♦è♠ ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q tst♦♥ é♦♠étr s ♠s s réstts tt ♠ét♦ sr♦♥t♣rés♥tés ♥s ♣rt §4.6.2
Pr♦♣♦s ♠♣♦rt♥ts ♥ ♥tr♦t♦♥ s réstts
♥ ♦r ♥ ♥tr♣rétt♦♥ éré s réstts st ♠♣♦rt♥t r♠rqrq s éqt♦♥s q ♥♦s rés♦♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t à ét ♥ s②stè♠ ♦tq❯♥ ♠♦t♦♥ rt♥s ♣r♠ètrs ♣t ♥trî♥r s ♠♦t♦♥s très ♦rts ré♣♦♥s ♦s tr♦♥s à ttr ①♠♣s ♦♥t r♦tt♠♥t ♠♣t s s♥① ss♠qs rt♦♥♥s
♠♣t s s♥① ss♠qs rt♦♥♥s ♣t êtr ♠♥t ♠♦é s ♦♥é ♠ ♣♦ssé r♠è é♥érsé st s♦♥t s q♥ ♦♥ ♦♥sèr♥ ♦♠ é♦♠étrq ♣♦r ♦♣ strtr q ♥ r♣rés♥t ♣s♥q♠♥t strtr ♠s ss s♦♥ ♦♥t♥
♦♥t r♦tt♠♥t ♥ ♣t ♣s êtr ♠♦é ♣r ♥rt♥ ♣♥♥t st ♠♣♦rt♥t r♠rqr q rt♦♥ ♣t ♥r ♦♥♠♥t♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♥t ♠♣♦rt♥t ♥s ♥ ♦q ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq strtr ♦ù ♦♥t ss♠♥t ♣t êtr és♥é ♦♠♠♥ r ét♦r
r 4.4 ♣rés♥t tr♦s ♦♥rt♦♥s ♣♦tr ss♥t ♦ù t♦s s trs ♣r♠ètrs s♦♥t ♥tqs ♦r r♣rés♥t ♦♥rt♦♥ réér♥ ♦r r♦ r♣rés♥t ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù s s♦tt♦♥s ss♠qs t rté
♦♥t été ♠♦és ♠♥èr à ♦rrs♣♦♥r à ♥ srst♠t♦♥ ♠ss ss♦éà ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♥ tr
♦r rt r♣rés♥t ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♦♥t ss♠♥t st ♠♦é ♣ss♥t à
r t ♠♣t s ♣r♠ètrs sr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠♥t ♥s♠♥ ♣♦tr ss♥t s♥s ♦♣ strtr ♥ r♦ ♦♥rt♦♥ réér♥ ♥ r♠♥ts ss♠qs ♠♦és ♥ rt ♦♥t r♦tt♠♥t ♠♦é
s tr♦s ♦rs ♦t♥s ♥ s♦♥t ♣s ♣r♦♣♦rt♦♥♥s ♥tr s ❯♥ ét été♣r♠t ♦r q ♠ê♠ s trt♦r st s♠ st♥ ♥tr ♦rs à ♥♥st♥t ♦♥♥é r ♦rt♠♥t ♦rs s♥ ♠♥èr qs♠♥t ét♦r st♦♥ érr ♥♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠s à ♣rt t q♥ ♠♥tt♦♥s♥s ♦♥t ss♠♥t ♥ ♦rt ♥♥ sr ♠♣t s ss♠♥ts q ♦♥ st éà t q♥ srst♠t♦♥ ♠ss ss♦é à P♦ssé r♠è é♥érsé t♥♥ à ♠♥tr ♠♣t s ss♠♥ts q ♣t srtr♦r ♥s s éqt♦♥s ②♥♠q Pr ♦♥tr st très r s à♥ ♥st♥t ♦♥♥é ♦♥ sr ♣s ♦♥ ♣♦♥t é♣rt ♥s ♥ ♠♦è ♦ tr tt♥♦r♠t♦♥ é♣♥ très ♦rt♠♥t s♥ ss♠q t st♦rq ss♠♥t st ♦♥ ♠♣♦ss ♥t♣r ♥ réstt s♥s s♠r
s ♦♠♠♥trs sr♦♥t s sr ♥s♠ s réstts ♣rés♥tés ♦♥♥r♦♥ tr ♥tr♣rétr s é♣♠♥ts ♣rés♥tés à s rtss♠♥ts
Pr♠ètrs s s♠t♦♥s
♥ ♠tr ♥♦♠r ♣r♠ètrs ♦♥sérés t ♣♦♦r ♦♠♣rr s ér♥tsréstts ♦t♥s ♥♦s ♦♥s rstr♥r ♥♦♠r ♦♥rt♦♥s trtés ♦s ♣ré
s♦♥s ♦♥ s rtérstqs ♦♠♠♥s à t♦ts s s♠t♦♥s t s ♣r♠ètrs ♠♥ésà rr ♥ ♦♥t♦♥ s ♠♦ès ♥ ♣résr ♥s s ②♣♦tèss sr strtr s r♠♥ts ss♠qs s ♦♥ts r♦tt♠♥t s ②♣♦tèss ♦♣ strtr
②♣♦tèss sr strtr
♥ ♦♥sér ♥ strtr ♥ ♠♠ré ♥s ♥ s♣ ♦♥♥é s ♠sss ♦♣ s♦♥t étr♠♥és à ♣rtr é♦♠étr ♥t t s é♣♠♥ts strtr s♥t s ♦♥t♦♥s ♣résés ♥s ♣rr♣ §4.4.4 s réq♥s♣r♦♣rs strtr sè s♦♥t ♦ss ♥ êtr sss s réq♥s ♦rts sés♠s stàr s♣érr à ③ ♣♦r ♥ ♣s ♦r ♣é♥♦♠è♥ rés♦♥♥♥tr strtr q ssrt s réstts ♥ s♣♣♦sr ss s réq♥s♣r♦♣rs ér♥ts s♥t rt♦♥ ex t ey ♣♥♥t ♥s rt♥s ♦♥t♦♥s ♦♣ strtr st ♣♦ss ♦t♥r s réq♥s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♥s ♦♠♥ réq♥t ♦rt sés♠ t ♦r s rés♦♥♥s ♦s s ♣é♥♦♠è♥ssr♦♥t s à éttr ♦rrt♠♥t
♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♣résr é♦♠étr ♥s♠ s②stè♠ q srr à ♦s à étr♠♥r s ♠♥s♦♥s
s ♠s t s strtr s rtérstqs ♠é♥qs s ér♥ts ♠♦ést♦♥s rt♥s ♣♦tr ♠sss
rss♦rt t ♠ss ♣♦♥t
é♦♠étr ♥s♠
s②stè♠ s♠♣é ♦♥séré st r♣rés♥té ♥s r 4.5 st ♥ ♣rèé♣♣è rt♥ ♠♠ré ♥s ♥ ♣s♥ s ①s ♣r♥♣① strtr s♦♥t♥és ① ♣s♥ ♥ ♦♥sérr ♥s rt♥s ♦♥rt♦♥s ♥ strtr♠♠ré ①♥tré ♥ r♥♦rr ♦♣ strtr ♦ r ♣♣rîtr♥♥ t ♦♥
s rtérstqs é♦♠étrqs s♦♥t rés♠és ♥s t 4.1 P♦r s rsHx tHy ♦♥ ♦♥sérr ① rs ♣♦sss (Hx, Hy) = (0, 0); (0.1, 0); (0.1, 0.1)
Lp ♠lp ♠L ♠l ♠Hx r ♥tr ♠ t ♠Hy r ♥tr ♠ t ♠
rtérstqs é♦♠étrqs s ♠s ♥t♦r♥t strtr
r ♦♥rt♦♥ é♥érq é♦♠étr s ♠s ♥t♦r♥t râtr
st ss ♣♦ss ♠♦ésr s ♦♣s ♥tr strtrs ♥é♣♥♥ts ♣♦rétr s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♥s s strtrs r♥r ♣♦♥t t ♣rt s♣♣r♦♦♥ss♠♥ts ♣♦sss sr s ss s té♦rs é♦♣♣és ♥s s ♣trs♣réé♥ts ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ♣r♠r é♦♣♣♠♥t ♥s s♥s ♥s ♣tr❱
rtérstqs ♠é♥qs strtr
♦s tsr♦♥s tr♦s ♥① ♠♦ést♦♥ strtr ♣♦tr ♠sssrss♦rtt ♠ss ♣♦♥t ♥ ♣♦♦r ♦♠♣rr s réstts s tr♦s ♠♦ès ♥♦s♦sr♦♥s s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♣r♠tt♥t ♦r s ♠♦ès s♠♣és ♠sssrss♦rt t ♠ss ♣♦♥t ♦♠♠ s ♠♦és ♣s r♦ssrs ♣♦tr ss♥t
♦è ♣♦tr ss♥t
♥s ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ strtr ♦♥ s♣♣♦s q st r♣rés♥té ♣r♥ ♣♦tr ♦♥t s rtérstqs s♦♥t rés♠és ♥s t 4.2
ρ Kg/m3
159× 109Pax ③y ③
xx ρS(
H1.875
)4 (2πfx)2
E
yy ρS(
H1.875
)4 (2πfy)2
E
♠ m2
rtérstqs ♣♦tr ♠♦és♥t strtr
♦è ♠sssrss♦rt
♥s ♠♦ést♦♥ ♠sssrss♦rt r♣rés♥té ♥s r 4.6 ♦♥ ♦♥sér ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦rrs♣♦♥♥t ① é♦r♠és s ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr r 4.7 s rrs rss♦rts s♦♥t ♦ss ♣♦r ♦r s ♠ê♠s réq♥s♣r♦♣rs q s ♣r♠èrs réq♥s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♥s ♦♥ tr♦ ♣♦r ♥ ♦♥ttér♥t
m = ρSH = 126400Kg, mA = 0.3×m, mB = 0.7×m, kx = mB (2πfx)2 , ky = mB (2πfy)
2 ,
P♦r ♥ ♦♥tt ss♥t ♦♥ ♣r♥ s rs s♥ts
m = ρSH = 126400Kg, mA = 0.5×m, mB = 0.5×m, kx = mB (2πfx)2 , ky = mB (2πfy)
2 ,
r ♦é ♠sssrss♦rt
r ♣rtt♦♥ ♠sss éq♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦♥tt
♠rq ♠♣♦rt♥t
♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥st ♣s s sr ♦ éé♠♥ts♥s♦s ♦♥s ♦♥ ①r é♥t♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ssq ét s♠t♦♥♦s ♦♥s éé ♥♦s ♥térssr ♣r♥♣♠♥t à ♥ ♦♥♥ ét♦♥ ét ss♠♥t t ♥♦s ♦sss♦♥s ♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♠ssq ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥ttér♥t s♦t mA = 0.3 × m t mB = 0.7 × m ♥ srst♠ ♦♥ ♠♣♦rt♥ ♠ss ♦s♥t ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♣♥♥t ss♠♥t
♦è ♠ss ss♥t
♥s s ♥ ♠ss ss♥t s rtérstq st r ♠ss
m = ρSH = 126400Kg,
r♠♥ts ss♠qs
s sés♠s ♦♥sérés s♦♥t ♦ss ♣r♠ s sés♠s ❯ ♣♦r ♥ s♦ qé ♠♦②♥ ♥ ♦st ♥ éért♦♥ ♠①♠ s♥ é ♣♥r sr q r♣♦séq♣♠♥t ♦♥séré à ♦rrs♣♦♥ ① ♦♥t♦♥s ♥♦r♠s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥ts s♥ss ♥s ât♠♥t ♦♠st s ♥trs ♥érsr♥çss s s♥① ss♠qs r♥t s t ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣s♦éért♦♥s ♣♥r sté ♠tr ♣s♥ st♦ ♦♠st ♣♦r ♥ ♠♦rtss♠♥t ât♠♥t
♦♥ts r♦tt♠♥t
♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♣r♥♣♠♥t ① é♣♠♥ts strtr s♦s sés♠♦s ♦♥s ♦♥ ♦♥sérr ♦♥t r♦tt♠♥t ré♠♥tr ♠♥♠ stàr µS = 0.2 ♦♥t r♦tt♠♥t sttq µD = 0.2 ♦♥t r♦tt♠♥t ②♥♠q
②♣♦tèss ♦♣ strtr
♥ ♣♦♦r r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s s♠t♦♥s éé♠♥ts♥s ♥♦s ♠tr♦♥s ♣r♦s s ♥① éts ♠♦è ♠sss ♦tés ♦s ♣♦rr♦♥s ♦♥♦r ♥① éts Ps ♦♣ strtr trs ♠sss ♦♣ rstr♥t ① ♠trs ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étr
trs ♠sss ♦♣ ♣♦♥t ♦r s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① tst♦♥ é♦♠étr
s rs s ♠sss ♦♣ strtr s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♥sér♥t é♦♠étr ért ♥s ♣rr♣ (4.4.1.1) ♥s q s é♣♠♥ts strtrà ♥st♥t ♦♥séré ♥s s ♥ ♠♦ést♦♥ tst♦♥ é♦♠étr
❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ s♥
♦♣ strtr
♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠♦ès s♥s ♦♣ strtr s ♥① ♥ss ♠♦ést♦♥ r ♥ s♦t ♥s r s ♠♦ès♥②tqs é♦♣♣és ♥ ♦♠♣r♥t s réstts ♥②tqs ① ♦t♥s ♣rs♠t♦♥ ♥♠érq s♦s ♦ ANSY S
éstts ♠♦è ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr
♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♣s s♠♣é ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♠ss ♣♦♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♥éés rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4
s réstts é♣♠♥t ♥ ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.8 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ ♦rrs♣♦♥♥ s ① ♦rs rrr rt ♠①♠♦rrs♣♦♥♥t à rrr rt é sr s ♣♦st♦♥s s ♣s é♦♥és ♣♦st♦♥♥té ♥tr s ① ♦rs st ♥r♦♥ à q ♥st♥t s♠t♦♥
♣s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s♦s ♠t ♣♦r s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s ♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♥ ♠ss ♣♦♥t ss♥t s♥s ♦♣strtr q ré♣♦♥ à t♦ts ♥♦s ①♥s ①tt s réstts t t♠♣s
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr♥ r♦ ♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♦t♦♥ ♥♠érq
♥ ♦♥sèr ♠♦è ♥②tq ♠ss ss♥t ♦♠♠ é ♣s ré♣♦♥ à ①♥ r♣té t♠♣s ♠♣♦sé ♥s tt tès
éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt s♥s ♦♣ strtr
♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♠♦ést♦♥ ♥tr♠ér ♥ strtr réstàr ♥ ♠♦è ♣♣r♦é ♠sssrss♦rt ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦♥st♥t
♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ré♣♦♥♥t sr s♦♥ ♣r♠r ♠♦ s♦t mA =0.3×M t mB = 0.7×M s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣4.4s réstts é♣♠♥t s s②stè♠ ♠sssrss♦rt s♥s ♦♣ strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.9 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥tsés à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
♥ ♦sr ♥ ér s♦t♦♥ ♥②tq ♣r r♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq st û é étt♦♥ rrêt s ss♠♥ts q réà q ♦s ♥ tr♥st♦♥ ♦♠♣é♠♥tr s♦t t q strtr♦♥t♥ à ré♣♦♥r s♦♥ s♦♥ ♠♦♠♥t ♦st♦♥ ♣r♦♣r ♥s ♦rsq ♠♦è♥②tq rrêt s②stè♠ ♣r q étté ♥ ♦♥t♦♥ rrêt ♠ss ♦s♥t ♦♥t♥é à ♠♠s♥r é♥r ♣♦t♥t ♦ ♥étq q rstt àtért♦♥ s♥t é♥♥t ♥ ss♠♥t à ♦ù ♥ étt♦♥ ♣s ♥ ♥st♥trrêt ss♠♥t rt ♣ rrêtr ss♠♥t s②stè♠ ♣♦r qqs tért♦♥s♥ ♦t♥t ♦♥ ♥ ré♣♦♥s ♥②tq q sé♦♥ ♠♥èr ♦tq s♦t♦♥♥♠érq t♦t ♥ s♥t ♥ t♥♥ ♥tq ♣♥♥t s ① ♦rs ♦t♥ss♥t ♠ê♠ t♥♥ t ♦♥ ♦t♥t ♥ rrr rt sr é♣♠♥t ♠①♠
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥ s②stè♠♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♥ r♦ ♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♦t♦♥ ♥♠érq
♥ t r♠rqr ♥s ♣rr♣ (4.4.1.2) q étt ♠♣♦ss ♥r ré♣rtt♦♥ ♠sss ♥s ♥ ♠♦è éé♠♥ts♥s ♣♥♥t ♦s ♦♥s ♦♥♠♣é♠♥té ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥s ♠♦è ♥②tq ♥ ♦r ♠♣t q sr é♣♠♥t strtr
r 4.10 r♣rés♥t ♦♠♣rs♦♥ s é♣♠♥ts ♠ss ♥ ♦♥tt s♦ ♥tr ♥ ♠♦è ♥②tq s♥s ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠sss ♣♥♥t ss♠♥t t ♥ ♠♦è ♥②tq tt ♣r♦♣rété ♦r r♦ r♣rés♥t é♣♠♥t ♥s ♠♦è s♥s ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦r
r♣rés♥t é♣♠♥t ♥s ♠♦è ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦rs ss♠♥t
♥ r♠rq q ♦♠♥t ss♠♥t st ♠♦♥s r♥ ♥t♥sté ♦rsq♦♥ts ré♣rtt♦♥ ♠sss st t q ♥♥ rt ♠ss♦s♥t st ♣s t ② ♦♥ ♠♦♥s st♦ é♥r ♥s rss♦rt ♣♦♥têtr rstté ♥s s②stè♠ ♥ r♠rq ♣s q ♥ t sts♥t sr ♣é♥♦♠è♥ ss♠♥ts ♣rsts és à ♠s étt♦♥ ♥st♥t rrêt ss♠♥t ♣♥♥t ♦♥ r♠rq q ♣♦r s♥ ♥ ♣s ré ♥♥sr é♣♠♥t ♠①♠
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t t ♥♥ ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss♦rs ss♠♥t ♥ r♦ ♠♦è s♥s ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥ ♠♦è ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss
s ① réstts ♣r♠tt♥t r ♠♦è ♥②tq ♠sssrss♦rt à ♦♥t♦♥ ♥②sr ♥♠♥t s ss♠♥ts ♣rsts t ♣rér s ♠♦ès ♦ù ♠sss♦s♥t ♥ é♣ss ♣s ♠ss t♦t ♥♦♥ st ♥éssr tsr ♦♥t♦♥ tst♦♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss
♠rq éqt♦♥ s réstts ♥②tqs ① réstts ♥♠érqs st ♥♠r ♥s ét strtr ré q ♣♦r s rs♦♥s r♥♦r♠♥t ♠é♥q♦ stté s♠♥t ♦♥t ♥ ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥♦♥ ♥♦r♠ t ♣r♥♣♠♥t ♦♥♥tré ♥ s s sts ♦rt♠♥t ré♣♦♥s s②stè♠♦♠♠ ♦♥ ♣t ♦r ♥s ♥♥① ♦♠♠♥tr sr ♣♦r t♦s s réstts ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ♠♠ré ♦ ♥♦♥
éstts ♠♦è ♣♦tr s♥s ♦♣ strtr
♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♠♦ést♦♥ ♥ ♥ strtr ré stàr♥ ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♥ ♦♥sér s ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s qrt♦♥ s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t s♥s ♦♣ strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.11 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥tsés à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
♥ ♦sr ♥ ér s♦t♦♥ ♥②tq ♣r r♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq st é étt♦♥ rrêt s ss♠♥ts q ré àq ♦s ♥ tr♥st♦♥ ♦♠♣é♠♥tr s♦t t q strtr ♦♥t♥ à ré♣♦♥r s♦♥ s♦♥ ♠♦♠♥t ♦st♦♥ ♣r♦♣r ♥ ♦t♥t ♦♥ ♥ ré♣♦♥s♥②tq q sé♦♥ ♣r♦rss♠♥t s♦t♦♥ ♥♠érq s ♣é♥♦♠è♥s ss♠♥ts ♣rsts s♦♥t à ss ♣rés♥t t ♠♣♥t rtèr ♦tq ♦ ré♣♦♥s ♣♥♥t ér♥ ♦t♥ st ♠ê♠ t♥♥ t ♦♥ ♦t♥t ♥ rrrrt sr é♣♠♥t ♠①♠
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♥ r♦ ♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♦t♦♥ ♥♠érq
♠♦è ♥②tq ré♣♦♥ ♣rt♠♥t ♣r♦è♠ ♥ ♦♥♥♥t ♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ ss♠♥t ♠①♠ ♠s ♥ trt♦r ♣♦♥t êtr ♦♠♥t st♥t ss♦t♦♥s éé♠♥ts♥s
♠rq éqt♦♥ s réstts ♥②tqs ① réstts ♥♠érqs st ♥♠r ♥s ét strtr ré q ♣♦r s rs♦♥s r♥♦r♠♥t ♠é♥q♦ stté s♠♥t ♦♥t ♥ ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥♦♥ ♥♦r♠ t ♣r♥♣♠♥t ♦♥♥tré ♥ s s sts ♦rt♠♥t ré♣♦♥s s②stè♠♦♠♠ ♦♥ ♣t ♦r ♥s ♥♥① ♦♠♠♥tr sr ♣♦r t♦s s réstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♠♠ré ♦ ♥♦♥
❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥
♦♣ strtr ♠♦ésé ♣r s ♠trs
♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠é
tr
♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠♦ès ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥ ♠♦ést♦♥ ♣té ① ①♥s ♦ éé♠♥ts♥s à s♦r ♥ ♠tr ♠sss ♦té ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr ♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr♠♠ré ❯♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♦ù (Hx, Hy) = (0, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)
r ♥ s ♦♥rt♦♥s t ♣♦r q ♥ ♠♦ést♦♥ strtr♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts ♥②tqs ① réstts ♥♠érqs
éstts ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr
♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♣s s♠♣é ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♠ss ♣♦♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♥éés rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4 ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦tés ♦♥s és sr ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥t à s réstts ♣tr ♥ ♦♥sèr tr♦sé♦♠étrs ♥ts ♥tré ôté t ♦♥
♦♥rt♦♥ ♥tré (Hx, Hy) = (0, 0)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♠ss ss♥t s tr♦ ♥tr résr ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t ♠ss ss♥t ♦♣ strtr sr ♥♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.12 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦èqs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥♥♠érq
♦♥rt♦♥ ôté (Hx, Hy) = (0.1, 0)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♠ss ss♥t s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0) ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣♦r ♥ ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
s réstts é♣♠♥t ♠ss ss♥t ♦♣ strtr sr♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦r r♦t rsr s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.13 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣♦r ♥ ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
♦♥rt♦♥ ①♥tré (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♦ù ♠ss ss♥t s tr♦ ♣r♦ ♦♥ ♥ tà r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0.1) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t ♠ss ss♥t ♦♣ strtr sr♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥ t à r♦t résr s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.14 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦èqs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣♦r ♥ ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
♦♠♠♥trs s réstts
s é♣♠♥ts s ♠sss ss♥ts ♠♠rés s♦s sés♠ ♦♥t été ♣rés♥tés ♥s s♣rr♣s ♣réé♥ts s ♦♣s strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦tés ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr ♠♠ré ♥tré ôté t ♦♥♦♥t s réstts s♦♥t r♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s s rs 4.12 4.13 t 4.14
r ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♦♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s réstts ♥ éèr ér s réstts ♥②tqs ♣r r♣♣♦rt ① réstts ♥♠érqs stû t q♦♥ ♥ étt ♣s ①t♠♥t ♥st♥t rrêt ss♠♥t ♥ sré♦♥ ss♠♥t strtr ♣r r♣♣♦rt ① s♠t♦♥s ♥♠érqs ♦♠♥t♣♥♥t rrr rt sr é♣♠♥t ♠①♠ ♥ é♣ss ♣s
♣s sr ♥ s s♠t♦♥s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♥ ♠ss ♣♦♥t ss♥t ♦♣ strtr s♥s tst♦♥ é♦♠étr q ré♣♦♥ à t♦ts ♥♦s①♥s ①tt s réstts t t♠♣s
éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ♦♣strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr
♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♥tr♠ér ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♠♦ésé♣r s ré♣♦♥s sr ♣r♠r ♠♦ ♣r♦♣r s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés♥s ♣rr♣ 4.4 t♥t ♦♥♥é q ♦ éé♠♥ts♥s ♥ ♣r♠t ♣s tsr ré♣rtt♦♥ ♠sss ♥ ♦♥t♦♥ é♦t♦♥ étt ♦♥tt ♥ ♦♥sér♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ étt ér♥t strtr stàr mA = 0.3×m t mB = 0.7×m ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥♠tr ♠sss ♦tés ♦♥s és sr ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥tà s réstts ♣tr ♥ ♦♥sèr tr♦s é♦♠étrs ♥ts ♥tré ôtét ♦♥
♦♥rt♦♥ ♥tré (Hx, Hy) = (0, 0)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù s②stè♠ ♠sssrss♦rt s tr♦ ♥tr résr ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t ♠ss r♦tt♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r (4.15) ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t sé♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
♦♥rt♦♥ ôté (Hx, Hy) = (0.1, 0)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ôté ♦ù s②stè♠ ♠sssrss♦rt s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t ♠ss r♦tt♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ôté (0.1, 0) s♥s tst♦♥ s é♦♠étrss ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r (4.16) ♦r r♦ r♣rés♥t sé♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥ts é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥♥♠érq
♦♥rt♦♥ ♦♥ (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♦ù strtr s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥ tà r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0.1) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t ♠ss r♦tt♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ (0.1, 0.1) s♥s tst♦♥ s é♦♠étrss ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r (4.17) ♦r r♦ r♣rés♥t sé♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥ts é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥♥♠érq
♦♠♠♥trs s réstts
♦s ♦♥s ♣rés♥té s é♣♠♥ts ♠ss ss♥t ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt♠♠ré s♦s sés♠ ♥s s ♣rr♣s ♣réé♥ts s ♦♣s strtr s♦♥tr♣rés♥tés ♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦té ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr ♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr♠♠ré ♥tré ôté t ♦♥ ♦♥t s réstts s♦♥t r♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥ss rs 4.15 4.16 t 4.17
r ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♦♥ ♦sr ♥ ér ♣♦♥t êtr ♦♠♥t ♠♣♦rt♥t s♦t♦♥ ♥②tq ♣r r♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♦t♦♥ ♥♠érq st é étt♦♥ rrêt s ss♠♥ts q ré à q ♦s ♥ tr♥st♦♥♦♠♣é♠♥tr q s♦t ♦rt ♠♣♦rt♥ rt ♠ss ♦s♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t s②stè♠ ♥s s②stè♠ étt♦♥ rrêt ss♠♥t ♠♦è ♥②tq ♥ ♣r♠tt♥t ♣s éttr ♥st♥t ①t rrêt ♠ss ♦s♥t st♦é é♥r q rstt ♣s t♠♣s s♥t é♥♥t à ♥♦ ♥ss♠♥t ♥ ♦sr ♥s s ♥s ♦st♦♥s r♣s ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣ssrrêt ss♠♥t ♥t q♥ ♥♦ ♣s ♦rt sés♠ ♥ r♠è♥ s②stè♠rs ♦r t♥♥
♣s sr ♥ s s♠t♦♥s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rtss♥t ♦♣ strtr s♥s tst♦♥ é♦♠étr q ré♣♦♥ à ♥♦s①♥s t♠♣s t st♠t♦♥ ss♠♥t ♠①♠
♥s s s ♦ù st ♥éssr ♦r ♥ ♦♥♥ ét♦♥ trt♦r ss♠♥t à q ♥st♥t st ♥éssr ♦r ♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss q ♠♥
♥♥ ♠ss ♦s♥t r ♦♥ ♠tr mB à ♠ss t♦t s②stè♠ ♣♦r ♦r ♥ ♠r éqt♦♥ s ① ♦rs
éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr
♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♣s été strtr stàr ♥ ♠♦è ♣♦tr ss♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♠♦ésé ♣rs ré♣♦♥s sr ss ♣r♠rs ♠♦s ♥s q rt♦♥ s rtérstqs tséss♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4 ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥♠tr ♠sss ♦tés ♦♥s és sr ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥tà s réstts ♣tr ♥ ♦♥sèr tr♦s é♦♠étrs ♥ts ♥tré ôtét ♦♥
♦♥rt♦♥ ♥tré (Hx, Hy) = (0, 0)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♣♦tr ss♥t s tr♦ ♥tr résr ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.18 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
♦♥rt♦♥ ôté (Hx, Hy) = (0.1, 0)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♣♦tr ss♥t s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0) ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ôté s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.19 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts ésà ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
♦♥rt♦♥ ♦♥ (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)
♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♣♦tr ss♥t s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥t à r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0.1) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ (0.1, 0.1) s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.20 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts ésà ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq
♦♠♠♥trs s réstts
♦s ♦♥s ♣rés♥té s é♣♠♥ts s ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦ssés♠ ♥s s ♣rr♣s ♣réé♥ts s ♦♣s strtr s♦♥t r♣rés♥tés
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré (0.1, 0.1) s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq
♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦té ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr ♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr ♠♠ré ♥tré ôté t ♦♥ ♦♥t s réstts s♦♥t r♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s s rs4.18 4.19 t 4.20
r ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♦♥ ♦sr ♥ ér s♦t♦♥ ♥②tq ♣rr♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♦t♦♥ ♥♠érq st é étt♦♥ rrêts ss♠♥ts q ré à q ♦s ♥ tr♥st♦♥ ♦♠♣é♠♥tr s♦t t q strtr ♦♥t♥ à ré♣♦♥r s♦♥ s♦♥ ♠♦♠♥t ♦st♦♥ ♣r♦♣r ♥♦t♥t ♦♥ ♥ ré♣♦♥s ♥②tq q sé♦♥ ♣r♦rss♠♥t s♦t♦♥ ♥♠érq ♣♥♥t ér♥ ♦t♥ st ♠ê♠ t♥♥ t ♦♥ ♦t♥t ♥ rrrrt sr é♣♠♥t ♠①♠
♣s sr ♥ s s♠t♦♥s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s ♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr s♥s tst♦♥ é♦♠étr q ré♣♦♥ à ♥♦s ①♥s t♠♣s t st♠t♦♥ ss♠♥t ♠①♠
♥s s s ♦ù st ♥éssr ♦r ♥ ♦♥♥ ét♦♥ trt♦r ss♠♥t à q ♥st♥t st ♥éssr ♦r ♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss q ♠♥♥♥ s ♦st♦♥s strtr P♦r r s r♣♣r♦r ré♣rtt♦♥ ♠ss s strtrs rés ♥ ♦t♥t ♣r ①♠♣ ♥ ♠ss ♣♦♥t ♥♣ ♣♦tr ♦♥♥ ♥ ♠r éqt♦♥ s ① ♦rs ♦♠♠ ♣rés♥té♥s ♥♥①
éstts ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥ ♦
♣ strtr ♠♦ésé ♣r s ♠trs ♠sss
♦tés ♣♥s tst♦♥ é♦♠étr
♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠♦ès ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ é♦♣♣é ♥s ♣tr ♥♠tr ♠sss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥♦♥sèr ♥q♠♥t ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♣♦tr ss♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st r♣rés♥té ♣r ss ♣r♠rs ♠♦s ♥s q rt♦♥ s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4
strtr ♣♦rr ♣r♥r ♦♥rt♦♥s ♥ts ♠♣♥tt♦♥ ♥s ♣s♥ ❯♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♦ù (Hx, Hy) = (0, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)
♣♦st♦♥ ♦♥ (Hx, Hy) = (0.1, 0.1) r♣rés♥t ♣♦st♦♥ ♦ù tst♦♥ é♦♠étr r ♣s ♥♥ sr ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♥ t ♥stt ♦♥rt♦♥ s é♦t♦♥s é♦♠étr s ♠s ♦rs é♣♠♥t strtr r♦♥t ♥ r♥ ♠♣♦rt♥
éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♥tré (0, 0)
♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥♥t ♥tré ♦ù strtr st ♥t♠♥t ♥ ♣♦st♦♥ (Hx, Hy) = (0, 0)
s ♣♦trs ♠♦ésés ♥tér♥t s ♠sss ♣♦♥ts ♥ ♣ ♣♦r r♣rés♥tr ♥ré♣rtt♦♥ ♠ss ♣r♦ rété
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.21 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq tst♦♥ é♦♠étr
éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ôté (0.1, 0)
♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥♥t ôté ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr♦r (Hx, Hy) =
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr r♣rés♥té ♣r s ♠trs ♣♥s à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ s♦t♦♥ ♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s
(0.1, 0)
s ♣♦trs ♠♦ésés ♥tér♥t s ♠sss ♣♦♥ts ♥ ♣ ♣♦r r♣rés♥tr ♥ré♣rtt♦♥ ♠ss ♣r♦ rété
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ôté tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.22 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq tst♦♥ é♦♠étr
éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♦♥ (0.1, 0.1)
♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥♥t ♦♥ ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥ t à r♦t (Hx, Hy) =(0.1, 0.1)
s ♣♦trs ♠♦ésés ♥tér♥t s ♠sss ♣♦♥ts ♥ ♣ ♣♦r r♣rés♥tr ♥ré♣rtt♦♥ ♠ss ♣r♦ rété
s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.23 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr r♣rés♥té ♣r s ♠trs ♣♥s à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ôté ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ s♦t♦♥ ♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s
♣rtr ♠♦è qs♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq tst♦♥ é♦♠étr
r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr r♣rés♥té ♣r s ♠trs ♣♥s à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ s♦t♦♥ ♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s
♦♠♠♥trs s réstts
♦t ♦r ♦♥ r♠rq q ♣♦r t♦ts s ♦♥rt♦♥s r ♦rs é♣♠♥ts s♥s tst♦♥ é♦♠étr st ér♥t ♣rés♥té ♥s ♣rt §4.6.3 st û t q♦♥ ♦♥sér ♥ ♠tr ♠sss ♦tés ♣♥
t ♥♦♥ ♥q♠♥t ♦♥ rérs é♣♠♥t strtr ♠ê♠ s♠♣t t♦t é♣♠♥t st ♣s éé
tst♦♥ é♦♠étr s ♠s rérs ss ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠♥t ♠♥ ss ♦rt♠♥t ♠♣t t♦t ss♠♥t ♥ ♠♣♥ts ♦rts strtr r♠♥♥t strtr rs ♥tr résr♦r s♦rs r♣♣ s♦♥t t♥t ♣s r♥s q strtr s r♣♣r♦ s ♦rs ♣s♥
♥ r♠rq q ♥s ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♠♦è s♥s tst♦♥ é♦♠étrs ♠s ♦♥♥ ♥ é♣♠♥t ♠①♠ s♣érr à ♠ rt ♣♦r ♦♥séq♥ q♦♥ étt ♥ ♠♣t ♥tr strtr t résr♦r t ♠♣♦srt rs ♠♦t♦♥s ♦rts ♦♥♣t♦♥ strtr ♠♦è tst♦♥ é♦♠étr ♦♥♥ s é♣♠♥ts ♥érrs à ♠ t ♥② ♦♥ ♣s ♠♣t ♥tr strtr t résr♦r
♦♥s♦♥
♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣♣t♦♥ s ♠ét♦s é♦♣♣és♥s ♣tr sr s ♦♥rt♦♥s strtrs s♠♣és ♠ss ss♥t ♠♠ré t s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♠♠ré ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s résttss ♠ét♦s rés♦t♦♥ étés ♥s ♣tr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s②♣♦tèss sr s rtérstqs é♦♠étrqs ♠é♥qs t sr s ♦♣s strtr ♦♥t été ①♣♦sés Ps ♥♦s ♦♥s é s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♥②tq♥ s♥ ♦♣ strtr ♥ s ♦♠♣r♥t ① s♦t♦♥s ♥♠érqs ♥st ♥♦s ♦♥s ♣r♦éé ♠ê♠ ♠♥èr ♣♦r r s ♠ét♦s rés♦t♦♥♥②tq ♥s s strtrs ♠♠rés ♦♣ strtr r♣rés♥té♣r s ♠trs ♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étr s♠s ♥♥ ♥♦s ♦♥s tsé s ♠♦és ♥②tqs étr♠♥t♦♥ s ♠sss♦tés ♦♣ strtr ♣tr ♥s q s s♦t♦♥s ♥②tqs ♠♦é ♣♦tr ss♥t tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s ♣tr ♥ étr♠♥r s ss♠♥ts strtr ss♥t ♠♠ré s♦s r♠♥tss♠q tst♦♥ é♦♠étr s ♠s
s réstts ♦t♥s ♥t s ♦ts tt tès ♦ést♦♥ ♣s ♥ ♣♦ss ♦♠♣♦rt♠♥t ré strtr ♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é ♠♦é ♦♣é s rés♦t ♥ qqs s♦♥s
éqt♦♥ s réstts ♥♠érqs sr s s s♠♣és
♦r♣
❬❪ ❲str♠♦ ❯ Pr♦ rs♣♦♥s ♦ s♥ ♦st♦r s②st♠ t♦ r♠♦♥①tt♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦
❬❪ P♦♥s é♣♦♥s ②♥♠q ♥ strtr r sr ♦♥t♦♥ ss♥t r♦♦q t♦♥ é♥ Prss♠q ♥té♠②srss t ♥r
♣tr
♦♥s♦♥
♦♥t♥s tès
tt tès ♣rés♥t ♥ ♠ét♦ ♥♥♦♥t rés♦t♦♥ s ♣r♦è♠s strtrs ♠♠rés ss♥ts ♦rs ♥ r♠♥t ss♠q q♦♥q s à st♠r é♣♠♥t strtr ♦rs ss♠♥t ♥ ♠♦és♥t ♠♥èr ♣s ♥♣♦ss s ♥trt♦♥s strtr ♦tr ♠♦é r à ré♣♦♥r à s ①♥strès strts t♠♣s t♠♥t s s éé♠♥ts♥s s ♣r♦è♠s♥ésst♥t r♥s ♣ss♥s t ♥ t♠♣s ♦♥sér ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♦♣é ♥♦♥♥ér ♠♦é é♦♣♣é ♥s tt tèsst rés♦ ♥ qqs s♦♥s à ① s♦t♦♥s ♥②tqs ♦rrs♣♦♥♥t① ér♥ts étts ♦♥tt t à é♦t♦♥ ♦♣ strtr ♦rs é♣♠♥t strtr
♦♠♥t ♣rés♥t ♦♥ ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♦♥t①t é♥ér ♥s qs♥srt tt tès ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ ♦♥t♥r à r♦îtr sq♥ ♥ss é♦t♦♥s s ♣s ♣ss♠sts t sq♥ ♣♦r s st♠t♦♥s résts tt♠♥tt♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ st ♥ ♣rè ♥ ss s s♦♥sé♥rétqs ♠♦♥① é à ♦s à ♠♥tt♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠s ss é♦♣♣♠♥t s ♣②s é♠r♥ts ré♥t ♥ ♠♥tt♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♣rt♥t ♦t ♥trî♥ ♥ ♠♥tt♦♥ très s♥s s s♦♥s é♥rétqs♠♦♥① q r♦♥t êtr ♦♠és ♣r rét♦♥ ♥♦s ♥trs ♣r♦t♦♥é♥r t ♥♦t♠♠♥t s ♥trs ♥érs sqs r♦♥t êtr ♠♥s♦♥♥és s ①♥s sûrté r♦ss♥ts
♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tés ♣♦r s ♥trs ♥érs à s♦r s ♠ét♦s st♦stqs s ♦♥t ♠ à êtr tséssr s strtrs ②♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦rt♠♥t ♥♦♥♥ér t ♦♥ ♥ésst♥t st♠♣s éés ♦s é♥ss♦♥s ♥s ♦t ♣r♥♣ ét tt tès sstrtrs ♠♠rés ss♥ts s♦s r♠♥t ss♠q ♣r♠ sqs ♥♦s ♣♦♦♥str s râtrs st♦ ♦♠sts sés q s♦♥t s strtrs ♣♦♥t ♦♥t♥r ♣s r♥ q♥tté ♠tèrs r♦ts t♦t ♥tr ♥ér ♦sét♦♥s ♥st ♣♥ tt tès ♥s q trs ①♠♣s ♣♣t♦♥s ♣r♠sqs s résr♦rs rét♥t♦♥ sé s ♣♦♥ts s strtrs ♥ ♠ç♦♥♥r
♥s ♥ ①è♠ ♣rt ♦♥ ét ♠♦ést♦♥ rt♥ ♣♦r ♦♣ strtr ♣rès ♥ ♣rés♥tt♦♥ s ss té♦rqs té♦r s ♠sss ♦tés♦♥ ♣rés♥t s♦t♦♥ ♥②tq réér♥ à s♦r ♦♣ ♥tr ① ②♥rs♥♥s ♦♥♥trqs Ps ♥♦s ♦♥♥♦♥s s ♣rés♦♥s sr ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♥ ét ♥st ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès rt♥s ♣♦r sqs♥♦s ♦♥s é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♥②tq ♥ ♥é♠tq ♥r ♥s ♥♦♥rt♦♥ rt♥s ♦♥♥trqs Ps ♥♦s ♦♠♣r♦♥s s réstts ♦t♥s♥s ttértr t ① sss s s♠t♦♥s ♥♠érqs ① rs ♥②tqs sss ♥♦s té♦rs ♥♥ ♥♦s é♦♣♣♦♥s té♦r ♦♣ ♥tr s strtrsrt♥rs ♦r♥sés ♥ qr ♥s♠ s ♠♦ès ♥②tqs é♦♣♣és♣♦r ♦♣ strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ q ♦rrs♣♦♥♥t① ♦rts réés ♣r ♥s s rt♦♥s ♣r♣♥rs à rt♦♥ é♣♠♥t strtr t ♣r♠tt♥t ♥ ♥st♥t♥é s ♠trs ♠sss♦tés q ♣t ♥st êtr ♦♣é à ♥ ♠♦è ②♥♠q s strtrs
♠♦é ②♥♠q s strtrs st é♦♣♣é ♥s ♣tr ♣r♥♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦tés ♦♣strtr é é♣♠♥t strtr ♠♦rtss♠♥t réé ♣r s érést♠♣♦rs s ♠sss ♦tés s strtrs ♦♠♣①s à ♦♥t♦♥ qs s♦♥t érts ♣r ♥ ♥♦♠r ♥ ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♥t ♦♥ ♦♥♥t s é♦r♠és t s ♠♦és ♦♥tt ♣♦♥t êtr ♦♠♣①s st ♣rés♥té ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠♦è ♣♦trss♥t ♦♥t ♦♥ ♣t ér s ♠♦s ♣r♦♣rs ss ♥s s ♦♥t♦♥s rr t♥strér ♥ ét ♥st s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés s♦s ♦r♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s ♠♦s ♣r♦♣rs ss Ps ♦♥ ♣r♦tt s éqt♦♥s ②♥♠qsr ♠♦ ♣r♦♣r ♠♠ré ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥t♦♥ ♦♥tt été ♥strér ♣♦r ♥ ér♥ strtr rr ♣♦r ♥ ss♠♥t ♥ rés♦t ♥♥tt éqt♦♥ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r r♥r tr♠ r♦t ♦♥st♥t ♥ étt s ② ♥ é♦t♦♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s ♥ ♣s ♦♥ r ♠ê♠ éqt♦♥s ♥②tqs s♥♦♥ ♦♥ ♥ ① s♦t♦♥s ♥②tqs à ♥ ♠tr ♥♠♥t s t ♦♥ st♦ s é♣♠♥ts ♦r♣s r ♥ ♣t ♥s r♦♥strr ♥s♠ é♣♠♥t strtr s ① s♦t♦♥ t s ♠trs ♥♠♥t ss ♥♥t à q tért♦♥ é♦t♦♥ s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr s s♦t♦♥s ét♥t qs♥②tqs t♠♣s sr ♥ s♥ ss♠q s♦♥s st ♥érr à s♦♥s
♥ ♣rés♥t ♥st ♥s ♣tr s s♦t♦♥s ♠♦è ♦♣é ②♥♠q♥♦♥♥ér ♦♣ strtr s♦s r♠♥t ss♠q ♥ ts tr♦s ♥① ét ♣♦r érr strtr été ♠sss ♣♦♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♣♦tr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s s ♠♦ès qs♥②tqs srs tr♦s ♦♥rt♦♥s strtr ♥ s♥ ♦♣ strtr ♥ ♦sr♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s s♦t♦♥s ♥②tqs s réstts ♥♠érqs Ps ♥♦s♥tr♦s♦♥s ♦♣ strtr s♦s ♦r♠ ♠trs ♦♥s ♥ s♥tst♦♥ é♦♠étr ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♥♥ ♥ é♣♠♥t très ♣r♦s s♦t♦♥s ♥♠érqs s ♠♦ès ♠sssrss♦rt t ♣♦tr sé♦♥♥t ♦♠♥t s♦t♦♥ ♥♠érq ♥ rs♦♥ r♥ ♠♣♦rt♥t ♠ss ♥ ♦st♦♥ ♣rr♣♣♦rt ♣♦♥t ♦♥tt t s rrrs ts ♥s étt♦♥ rrêt ss♠♥t
é♥♥t s ss♠♥ts ♦① ♣rsts ♣r♦è♠ st ♥tt♠♥t ♠♦♥s ♣rés♥t♥s s strtrs rés ♣♦r sqs ♠ss ♣♦♥t ♦♥tt st ♣ré♣♦♥ér♥tsr ♠ss ♦s♥t ♣♦r s rs♦♥s stté ♥♥ ♦♥ ♦t♥t s ♦rs é♣♠♥t ♣♦r ♥ ♠♦è ♦♣é ♦♠♣t ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr♠♦ésé ♣r s ♠trs ♣♥s tst♦♥ é♦♠étr s réè t♦tà t ♥éssr ♥s s s ♦ù strtr st ♣r♦ ♦r résr ♥s s ①st ♥ rsq très ♦rt ♠♣t strtr sr ♦r résr♦r s ♦♥séq♥s s♦♥t r ♥ tr♠ ♠♥t♥ ét♥été résr♦r ♦ rétst♦♥ strtr
r♥r ♣tr rés♠ s ♦♥t♥s tt tès t ♣r♦♣♦s s ♣sts é♦♣♣♠♥t ♣♦r ♥r
❱♦s ♠é♦rt♦♥ t rrs ♦♠♣é♠♥trs
s ♠ét♦s ♣rés♥tés ♥s ♦♠♥t ♣r♦♣♦s♥t ♥ s②♥tès s ♠ét♦s ssqs ①st♥t ♥s ttértr s é♦t♦♥s ♥♦t♠♠♥t ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣ts ♠sss ♦tés ♦♣ strtr t s ♠ét♦s rés♦t♦♥ qs♥②tq s strtrs ♠♠rés tst♦♥ é♦♠étr ♠s ♥♣t ♦rs t éà rssr rt♥s ♣sts ♠é♦rt♦♥ s ♠ét♦s t ♣r♦♣♦sr ssts é♦♣♣♠♥t ♣♦sss ♣♦r ♥♦s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♥②tqs
♠é♦rt♦♥ s ♠♦ès ts
Pr♠ s ♠é♦rt♦♥s ♣♦sss ♠♦è ♦♥ ♣t tr ① ♣sts rr r étt♦♥ ét t ♥ ss♠♥t Prs ♥ ♦♠♣t é♣♣♠♥t rt ♥s st♠t♦♥ ♦♣ strtr
r étt♦♥ ét t ♥ ss♠♥t
♥ s rs♦♥s ①♣q♥t srst♠t♦♥ s ss♠♥ts ♦① ♥s s ♠♦ès♥②tqs st étt♦♥ rtré rrêt t ét s ss♠♥ts ♥trî♥♥ ♠s étr♠♥t♦♥ étt strtr à s ♥st♥ts t ♥♦t♠♠♥t é♥r st♦é ♥s s ♠sss ♦s♥ts t ♣r♦♦q s ss♠♥ts ♣rsts P♦rétr srt ♠♣♦rt♥t é♦♣r s ♣s t♠♣s ♦rsq♦♥ étt ♥ ss♠♥t♥ rér ♥tr ♥rtt ♥ésstr é♦♣♣r s ♠ét♦s à♣s t♠♣s rs t à r♦tr s ♠ét♦s ♦♥r♥ r♣ rs ♥ ♦♥♥♣♣r♦①♠t♦♥ ♥st♥t ①t ♥♠♥t étt ♦♥tt ♣t r à♥♦♥tr tss ♥♦tr ♠ét♦ ♦♥♥r rr t ♦t♥ têt ♦rs é♦♣♣♠♥t tt ♠é♦rt♦♥
Prs ♥ ♦♠♣t é♣♣♠♥t rt ♥s s ♠♦ès s ♠sss ♦♣ strtr
s s ♥②tqs s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr s♦♥t tés♥ ♦♥sér♥t s é♦♠♥ts ♥s ♣♥ (ex, ey) ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s t♦t à tà rété t st ♥éssr ♥s rt♥s s ♥♦t♠♠♥t ① ♦ù s strtrs ♥♦♥t
♣s ♥ tr très r♥ ♣r r♣♣♦rt à é♣ssr s ♠s ♣r♥r ♥♦♠♣t t é♣♣♠♥t rt s ♣r♠èrs éts résés ♥s s♥s ♠♦♥tr♥tq st ♥éssr ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♦tté ♦♠ ♣rés♥t sss strtr ♥ ♥ ♥térr ♦♥tr♥t ♣rss♦♥ é à r à sr r ♦♠♣①té ♣r♦è♠ ♥t t q tt sr r ♥ ♠♦♠♥t♣r♦♣r ♦rs r♠♥t ss♠q q ♥♥ ♠♥èr ♥♦♥ ♥é r ♣rss♦♥ ♦rs é♣♠♥t ♥ strtr ♠♠ré st ♦♥ st♠r s♠♣♠♥t r s ♠sss ♦♣ t rst ♥ st ♦rt rr
♦t♦♥s ♥②tqs ♥ ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér ♦♣é strtrs ♥é♣♥♥ts
♠♦é s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♣r♠t ♦t♥rs ♠trs r♥t s éért♦♥s strtrs ♥s ♦r♥sés ♥ qr ① ♦rts ♣♣qés ♣r sr ♥ s strtrs ♥ ♦t♥t ♥ss ♠trs ♠sss ♦tés
MHxx(z), M
Hxy(z), M
Hyx(z) & MH
yy(z)
♦♠♣♦s♥t ♠tr MHxx(z) ♦♥♥ ré♣rtt♦♥ ♦rts ♥éqs ♣♣
qés sr sttr j ♥s rt♦♥ ex ♦rs éért♦♥ s♥t ex strtri
♥ tsr ♣♥♠♥t s ♦♥♥és srt ♥térss♥t é♦♣♣r ♥ ♠♦è rés♦t♦♥ qs♥②tq s♥s♣r♥t ♦rt♠♥t ♠ét♦ été ♥s tt tès♣♦r étr♠♥r s é♣♠♥ts ♥s♠ s strtrs ♠♠rés ss♥tss♦s r♠♥t ss♠q s②stè♠ éqt♦♥ à rés♦r st s♥t
[M(z) +MH
xx(z, t)]Ux(z, t) +MH
xy(z, t)Uy(z, t) + C(z, t)Ux(z, t)
+Kxx(z)Ux(z, t) = Rx(t)−Mγx(t) +M1xxγx(t)
[M(z) +MH
yy(z, t)
]Uy(z, t) +MH
yx(z, t)Ux(z, t) + C(z, t)Uy(z, t)
+Kyy(z)Uy(z, t) = Ry(t)−Mγy(t) +M1yyγy(t)
Ux(z, t) =
T (Ux1(z, t), Ux2(z, t), . . . , UxN(z, t)) tr s ♦♥t♦♥s é♣♠♥tss strtrs ♥s s♥t ❳
Rx(t) =T (Rx1(t), Rx2(t), . . . , RxN(t)) tr s ♦rts r♦tt♠♥t ♣♣qéssr s strtrs ♥s s♥t ❳
M(z) st ♠tr s ♦♥t♦♥s ♠sss ♥éqs s strtrs st ♦♥ s s strtrs s♦♥t ♥é♣♥♥ts
C(z, t) st ♠tr s ♦♥t♦♥s ♠♦rtss♠♥ts ♥éqs s strtrs st ♦♥ s s strtrs s♦♥t ♥é♣♥♥ts
Kxx(z) st ♠tr s ♦♥t♦♥s rr ♥éq ♥t s é♣♠♥ts s♥t
❳ ① ♦rts ♥tr♥s s♥t ❳ s strtrs st ♦♥ s s strtrss♦♥t ♥é♣♥♥ts
♥ ét s♥t♦♥ s ♠trs ②♥t trs ♥s ♣r s ♥♠♥ts rt♦♥ ♣♣t♦♥ s ♦rts
♠ét♦ rés♦t♦♥ ♦♥sstrt à étr♠♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♦♣ésà ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs q strtr ♥ sè s ♠♦s ♣r♦♣rs♦♣és é♣♥♥t étt ♦♥tt ♥ s strtrs ♥s st àq rés t♦t ♦♠♣é①té ♣r♦è♠ t à ♥ q tért♦♥ étr♠♥rs ♥♠♥ts étt ♦♥tt ♥ s strtrs ♣s ♦rsq♥ ♥♠♥t stétté rr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♣és ❯♥ tr s♦t♦♥ ♦♥sstrt à étr♠♥r t♦tté s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♣és ♥ s♥t ♥s♠ s ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss♣♥♥t ré♣rés♥t 2N ♣♦sstés ❯♥ r♥èr ♠ét♦ ♦♥sstrt à étr séqt♦♥s ♥②tqs é♥érs q q s♦t étt s ♦♥tts ♥ ♦♥sér♥t ♣s tr♠s q ♥éssr ♥s rt♥s s Ps à q ♥♠♥t étt ♥ strtr ♥ r é♦r q s tr♠s ♦♥r♥és ♥s s ♠trs s♣♣♦s ♣s tr♥ ♠♦♥t ♠s ①♣♦sé s réstts t r♣té s♥ tr♦r♦♥t ♠é♦rés
Prs ♥ ♦♠♣t s♠♥t ♥s s s ♠sss♦tés ♥♦t♦♥s ♥rt ♦té
♦♥ s♦t étr ♥ strtr ♥ ♥st ♥s s ♦♥t♦♥s s♠rsà s ♥♦tr ét stàr ♥ ♦♣ strtr t ♥ ss♠♥t♣♦ss s♦s r♠♥t ss♠q st ♥éssr é♦♣♣r ♥ ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ ♥②tq s ♠trs ♠sss ♦tés é♥érsés P♦r ♥ strtr♥ r s ♠trs sér♥t
MIFS =
mxx mxy mxz hxx hxy hxzmyx myy myz hyx hyy hyzmzx mzy mzz hzx hzy hzzhxx hyx hzx Ixx Ixy Ixzhxy hyy hzy Iyx Iyy Iyzhxz hyz hzz Izx Izy Izz
♥ t ♣♣rîtr ① ♥♦s ♦♥t♦♥s hij ♦rrs♣♦♥ ♠♦♠♥t ♦rr ♠ss ♠♥s♦♥ Kg.m r ♥s ♥
éért♦♥ tr♥st♦♥ ♥ ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ t ♥ éért♦♥ ♥r à ♥♦rt tr♥st♦♥
Iij ♦rrs♣♦♥ ① ♥trts ♦tés ♠♥s♦♥ Kg.m2 éért♦♥ ♥r ωi
t♦r ① ei ré ♥ ♠♦♠♥t t♦r ① ej é à Iijωi
s ♦♥t♦♥s s♦♥t étr♠♥♥ts ♣♦r ♣♦♦r ér ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ strtr ♣♦♥t sr t ♥♦t♠♠♥t éttr s ♣rts stté s♠♥t tr♦♣♠♣♦rt♥t ♥trî♥♥t ♥ t strtr é♦♠♥t s strtr♦rs ♥ ♣s rs♥t st ss ♠♣♦rt♥t ♦♠♣r♥r s ♣é♥♦♠è♥s
♣♣rss♥t ♣♥♥t s ♣ss ♣♥♠♥ts ♥ ♠s sqà s s♣rt♦♥t à ♥rs ♦rs s ♣ss rét♦♥ ♥ ♠ sq à ♥①st♥t
♥s r sqà ♥ ét ♦t s ♥rts ♦♣ ♣t srr ♣♦rs ât♠♥ts r♥ ♦♥r ♦ ②♥t r♥s s♣rtés ♥s s éé♠♥ts s♣♣♦rt♥t rsr ♣♦r sqs st ♥éssr ♦♥sérr ♥ ①tt♦♥ ♠ts♣♣♦rt ♣♦♥t s trr ♣r ♣♣rt♦♥ ♥ éért♦♥ ♥r ♥trî♥♠♥t♣♦r q st ♥éssr ♦r ♥♥ ♦♣ strtr t ♥♣♦ssé r♠è é♥érsé s♥t ♥tr♥r s r♦tt♦♥s
P❱P
♥②t s♦t♦♥s ♦r t st② ♦ ♠♠rs ♥♥♦r
strtrs ♥r ss♠ ♦♥
♦♠♥ ∗ † ♦s ∗
∗♦rrs♣♦♥♥ t♦r r♦♠♥♠r♦♠ ♦t♦r ♥♦s♦rtr♦♠
❱ P ♦r ❱ ♣ ♥ r
P é♥s ❳ †♣t② rt♦r ♦ t rté s ♠tér① t s strtrs ♣♦r é♥r r
♦ s P♦♥ts Prt t ♥ s Ps té srts
♠♣s sr r♥ ❱ ❳
r
strt
♥ t ♥r ♥r② ♥str② ♠♦st ♦ t ♠♦r ♦♠♣♦♥♥ts r ♥♦r t♦ t ♦rs s♥
♥♠r♦s t②♣s ♦ s♣♣♦rts s s ♥♦rs r sss ♦ t ♥r ♣♥t s♥ t
♠♣♥tt♦♥ ♦ t ♦♠♣♦♥♥ts s t♦ ① ♥t② strss ♦♥♥trt♦♥ ♥ t srr♦♥♥s ♦ t
♥♦r ♥ ♦r ♠♠rs strtr ♣♦ss ♦ss ♦ t ♠♣r♠t② r② ♥r rt♥ st②
rt♦♥s s♦♠ strtrs ② rt② ♦♥ t r♦♥ s s t s ♦r ♥ r ♦r ♥rtr strtr
s s st♦r rs s s♦t♦♥ s ♠♦r ①t② ♥ t s ♦ t ♦♠♣♦♥♥ts ♥ rs ♦
t strss ♦r ♦♥ s t♦ t ♣rs② t ♦r ♦ ts s♥ strtr ♥ ♥ ♣rtr t
♠t s♥ s♣♠♥t r♥ ss♠ ♥t ♥ ♦rr t♦ ♣r♥t ♥② ♠♣t t ♦tr ♦♠♣♦♥♥ts
r♥ ss♠ ♥t t ♥♥♦r strtr ♥ s r♦tt ♥ tt ♠ ♦ ts ♣♣r s t♦ ♣rs♥t
♥②t s♦t♦♥s t♦ st♠t t s♥ ♠♣ts ♦ r♥t s♠♣ s②st♠s r♣rs♥t ♥
②♥♠ ♦r s s♠♣ ♠♦s r s♥ ♠ss s♥ s♣r♥♠sss s②st♠ ♥
♦♠♣① s♥ strtr ♥ ② ts ♥♠♦s s♠♣ s②st♠ ♦rrs♣♦♥s t♦ r♥t st
♦ ss♠♣t♦♥s ♠ ♦♥ t ①t② ♦ t strtr
♦ ♥②t s♦t♦♥s r ♣rs♥t ♥ ts rt s♥ s♥ ♠ss ♥ s♥ s♣r♥♠sss s②st♠
♥ r② ♠♦ t strtr ♥trt♦♥ t♥ t ♠♠rs ♦② ♥ t ♣♦♦ s ♠♦ s
②r♦②♥♠ ♠ss s♥ s r♣rs♥t ② ♦♦♠ rt♦♥ ss♠ ♦♥ ♥ ♥②
ss♠ r♦r♠ ♥②t s♦t♦♥s r ♦t♥ ♦♥sr♥ t r♥t ♣ss ♦ t ♠♦♠♥t
♥ t ♦♥t♥t② t♥ ♣s rsts r t♥ ♦♠♣r t♦ t s ♦♠♣t t t
♦♠♠r ♥t ♠♥t ♣ ANSY STM ♥②t rs s♦ ♦♦ t ♦ t ♦♠♣tt♦♥
rsts
♥tr♦t♦♥
♥ ♦ t ♠♥ sss ♥ t st② ♦ t ss♠ rs♣♦♥s ♦ ♥♥♦r strtrs s t s♣♠♥tst♠t♦♥ st s r ♥ ♥rs♥ tt♥t♦♥ t♦ t t tt t rs♣♦♥s ♦ sr t②♣s♦ ♥♦♥strtr ♦♠♣♦♥♥ts ♥ q♣♠♥t ♥ st ♥ t ♦♥t①t ♦ s♥ strtrs r rts ♥ rtt♥ ♦♥ t sts ♦ r ♦② ♦r ♥r ss♠ ♦♥s st② ♦ s♠♣ s♥♠ss ♥r ♣r♦ ①tt♦♥ ♥ r♥♦♠ s♥ s t ♥ [] s r♦ ♥ sr♦ r♦② ♠♦s ♥ st ♥r ①tt♦♥ ② [] [] ♥ [] ♥②ss ♦ t rst ♠♦ s♠♦ ♥ rt ♠♦ s ♥ ♦♥t ♥ []
♦st ♦ t sts ♦♥ t st ♦♥sr r♥t t②♣s ♦ ♦r rst♥ s♥ r♦♥ s♥r♦♥ t r♥t t②♣s ♦ ♦♥tts t t② r s♥ ①tt♦♥ s♥ ♦r③♦♥t ♥ rt ①tt♦♥s ❲♥ ts ♥♥♦r strtrs r st t ss♠ ♦♥ t strtr
s t♦ ♦ tr♦ rst♥ stt ♥ t s ♥♥ ts rt♦♥ ♦ s♥ s ♦r s ♥♦t rst ♥♦♥ ♦♥srs r ①tt♦♥ s♥ ♦♥ ❳ ♦s♥ ♦♥ ❨ st② s♦s r ②s s♥♠♦♠♥t t st② s♦s tr♥t② s♥ ♥ rst♥ sts
♣rs♥t st② ♦ss ♦♥ sts♥ t qt♦♥s ♦r t ss♠ ♦r ♦ t♦ r♥t ♠♦s s♥ s♥ ♠ss ♠♦ ♥ s♥ s♣r♥♠sss ♠♦ r♣rs♥t♥ t rst ①r ♠♦ ♦ t strtrs ♠♦s ♦♥sr ♦♦♠ s♥ ♦r ♥ ♥ s♠♣ strtr ♦♣♥ ♥rttr♠s ♦♥② ♥ t ♠♦♠♥t qt♦♥s r sts sr ♣s♦♥②t ♠t♦ t♦ ♥t②♦♠♣t t s♦t♦♥s
♥ s♥ ♠ss
♥ ts ♣rr♣ t t ss♠ ♦r ♦ s♥ s♥ ♠ss ❲ sts t ♥r③♠♦♠♥t qt♦♥s ♦r ①tt♦♥ t strtr ♦♣♥
♦ sr♣t♦♥ ss♠♣t♦♥s
s②st♠ s sr ② ts ♠ss M r②rt♦♥ s♥ s ♦♥sr t s♥ ♦♥t µ ss♠ ①tt♦♥ s ♠♦ ② ♥ rt♦♥ ♥s t rt② (−γx(t),−γy(t),−γz(t)− g) strtr ♦♣♥ s t♦ r♥t ♥♥s ♦♥ t strtr rst ♦♥ s ♠♦ s♥②r♦②♥♠ ♠sss ♥ t rt♦♥ ♦ t ♣♦♦ t♦ t rt♦♥ ♦ t ♠ss s♥
(FFluid−M
FFluid−P
)=
(−MH MH +M1
MH +M1 − (MH +M1 +M2)
)(γMγP
)
❲r FFluid−M ♥ FFluid−P r rs♣t② t ♦rs ♣♣ ② t ♦♥ t ♠ss ♥ ♦♥ t ♣♦♦γM ♥ γP r rs♣t② t rt♦♥ ♦ t ♠ss ♥ ♦ t ♣♦♦ MH s t ②r♦②♥♠ ♠ss M1 st ♠ss ♦ tr s♣ ② t ♠♦ ♠ss r♥ ts ♠♦t♦♥ M2 s t ♠ss ♦ tr s♣ ② t♠♦t♦♥ ♦ t ♣♦♦
s♦♥ ♥♥ ♦ t ♦♥ t strtr s t ♦②♥② ♦②♥② ♦rs ♥ ♥ rt♦♥ s ♣♣ t♦ t tr ♥ ♦r s t rt♦♥ s t rst ♦ t ss♠ ♥ t rt② ♠♥s tt tr s ♦②♥② t ♥ r② rt♦♥ t ♥②ss ♦ ts ♣♥♦♠♥♦♥ s♦s tt t♦②♥② ts r rt② rt t♦ t ②r♦②♥♠ ♠sss t ♥ ♠♦ s ♠♦t♦♥ ♦ trt♦♥ ♣♣ t♦ t strtr ♥ ♥ ♥rs ♦ t ♠ss ♦ t strtr ♦ t ♦♥ t♦r♥♥ qt♦♥s ♥ s♠♠r③ s
(M +MHx) X
(M +MHy) Y
(M +MHz) Z
= R+
(M1x −M) γx(t)(M1y −M) γy(t)
(M1z −M) (γz(t) + g)
❲r MH. s t ②r♦②♥♠ ♠ss ♦r ♥ rt♦♥ ♦ t s♣♠♥t ♠sss ♦t♥ ♥ t♦rt♦♥s ♥ r② r♥t t ♦♠tr② ♦ t ♣♦♦ s ♥♦t s②♠♠tr M1. r t ♠sss ♦ trs♣ ② t ♠♦♠♥t ♦ t ♠♦ strtr ♥ ♥ rt♦♥
(X, Y , Z
)s t rt rt♦♥
♦ t strtr ♥ R s t rt♦♥ ♦r ♦ t r♦♥ ♥♦r♠ ♥ t♥♥t rt♦♥s
♦r r② ♠♦ ♦♥sr rt rt♦♥ tt ♣r♥ts t ♠ss r♦♠ t♥ ♦ ♠♥♥ tt|γz(t)| < g ♥ ts s t ♦♥tt ♦r ♥ ①♣rss ② ts st ♦ qt♦♥
‖V ‖ =√
X2 + Y 2 = 0 ⇒√
R2x +R2
y < µRz
‖V ‖ =√
X2 + Y 2 > 0 ⇒ Rxex +Ryey = − V
‖V ‖µRz
♥ ♦rr t♦ s♦ (2) ♦♥ ♥s t♦ ①♣rss t r♦♥ rt♦♥ ♦r R ♦r♥ t♦ (3) t s♥ ♦r♣♥s ♦♥ t stt ♦ ②♦r ♦♥tt s♥ ♦r st♥ ❲ t♦ ♥②t s♦t♦♥s ♦r t♠♦♠♥t ♦r ♦ ts t♦ ss ♥ ♥ t t② ♦♠♥ ♦ ts ♥②t s♦t♦♥s ❲♥t strtr ♥♦ ♦♥r rs ♦♥ ♦♠♥ ♦ t② t stt ♦ t ♦♥tt sts ♥ s♦ ♦s t st ♦s♦t♦♥s ♥ t t② ♦♠♥
♦r ①♠♣ t s ♦♥sr strtr s s♥ s ♦♥ s t s♥ t② ♦♠♥ s r s t s♥ st ♦ ♥②t s♦t♦♥s ❲♥ t strtr s ♥♦ ♦♥r ♥ t s♥ t② ♦♠♥ ♥ t stt ♦ t ♦♥tt t♦ st♥ ♥ s t st♥ st ♦ ♥②t s♦t♦♥s ♥ t②♦♠♥
t♥ stt
♦r t ♥♥♥ ♦ t rtq t ♠ss s ②♥ ♦♥ t r♦♥ ♥r st♥ stt s stt ♦♥t♥ t t ♥♥♥ ♦ t rtq ♥t rt♥ ♦ rt♦♥ s r s st♥stt ♥ r ♥ r♥ t ss♠ ♦♥ r♥ ts ♣ss t ♠♦♠♥t qt♦♥s tss♠♣ st ♦ s♦t♦♥s
X = X0
Y = Y0
Z = Z0
Rx = (M −M1x) γx(t)Ry = (M −M1y) γy(t)Rz = (M −M1z) (γz(t) + g)
❲r (X0, Y0, Z0) s t ♥t ♣♦st♦♥ ♦ t ♠ss
s st ♦ s♦t♦♥s r♠♥s s ♦♥ s t ♥♦♥s♥ ♦♥t♦♥ s r
√[(M −M1x) γx(t)]
2+ [(M −M1y) γy(t)]
2< µ (M −M1z) (γz(t) + g)
❲♥ ts ♦♥t♦♥ s ♥♦ ♦♥r r t♥ t ♠ss strts t♦ s ♥t ♦♥t♦♥s ♦r t s♥stt r
X = X0
Y = Y0
X = 0
Y = 0
♥ stt
❲♥ t ♠ss s s♥ t rt♦♥ ♦r s ♦♠♣t② tr♠♥ ② t rt♦♥ ♦ t s♥ ♥ tss t st ♦ qt♦♥s ♥ t s♥ ♥②ss s
(M +MHx) X = − X
‖V ‖µ (M −M1z) (γz(t) + g) + (M1x −M) γx(t)
(M +MHy) Y = − Y‖V ‖µ (M −M1z) (γz(t) + g) + (M1y −M) γy(t)
s qt♦♥s ♥ ♥♦t s♦ rt② s♦ s ♥ trt s♦♥ s s♠r t♦ ♥t ♠♥tt♦♥ ①♣t tt ♦♥sr ♥②t s♦t♦♥s ♦r t♠ st♣ ♣s♦♥②t s♦♥rqrs ♦ t♦♥ ♣t② ♥ s ss t♠ ♦♥s♠♥ t♥ t s♦♥
trt s♦♥
trt s♦♥ rs ♦♥ r♥t s♠♣t♦♥ ♦ t ♠♦ trt♦♥ s ♠ ♦♥ t t♠ s♥ ♦♥st♥t t♠ st♣ ♦r t♠ st♣ ♦♥sr tt t ss♠ rt♦♥ r♠♥s ♦♥st♥t s ♦♦ ss♠♣t♦♥ ♦r s♠ t♠ st♣s
t s ♦♥sr t ith trt♦♥ t s②st♠ s ♥ ② ts ♦t♦♥(Xi, Y i, Zi
) ts ♦t②(
Xi, Y i, Zi) ♥ ts t stt sliding ♦r sticking ♦s♥ t♠ st♣ s ∆t ss♠ rt♦♥ s
(γix, γ
iy, γ
iz
) ♥ s②st♠ t t ith trt♦♥ s tr♠♥ ② (8) t ♠ss s ♥t② sticking ♥ (9)
t ♠ss s ♥t② sliding
♥♦s♥ ♦♥ ♦♥ ♣r♠trsPr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s
µ Mh ∆t ♠sM1 fs ③M2 Ts s
ss ♥t② st♥
Xi+1 = Xi
Y i+1 = Y i
If√[(M −M1x) γi
x]2+[(M −M1y) γi
y
]2< µ (M −M1z)
(γiz + g
)
a) true then (i)th initial state is sticking,b) false then (i)th initial state changes to sliding.
s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣r♦r ♠♥♥ tt ♥ s♥ s tt t t ♥♥♥ ♦ t ith
trt♦♥ t♥ t t♦♥ s ♠ ♥r s♥ ♥t ♦♥t♦♥s
ss ♥t② s♥
Xi+1 = Xi + Xi∆t− 12
[M−M1x
M+MHxγix + Xi
‖V ‖µM−M1z
M+MHx
(g + γi
z
)](∆t)
2
Y i+1 = Y i + Y i∆t− 12
[M−M1y
M+MHyγiy +
Y i
‖V ‖µM−M1z
M+MHy
(g + γi
z
)](∆t)
2
Xi+1 = Xi −[
M−M1x
M+MHxγix + Xi
‖V ‖µM−M1z
M+MHx
(g + γi
z
)]∆t
Y i+1 = Y i −[
M−M1y
M+MHyγiy +
Y i
‖V ‖µM−M1z
M+MHy
(g + γi
z
)]∆t
If
(Xi+1
|Xi+1| 6=Xi
|Xi|
)&
(Y i+1
|Y i+1| 6=Y i
|Y i|
)
a) true then (i+ 1)th initial state is sticking,b) false then (i+ 1)th initial state is sliding.
♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣♦str♦r ♠♥♥ tt ♥ t ♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ sr t t ♥ ♦ t ith trt♦♥ t st♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥② ♣♣ t t (i+ 1)th trt♦♥
sts
♥♦s♥ ♦♥
s ♠♥t♦♥ ♥ t ♥tr♦t♦♥ t s ♠♣♦rt♥t t♦ ♦♥sr t ♣r♦♠ ♥st ♦ t ss t♦♠♥s♦♥ ♥②ss ♦♥ ♦♥sr r s ♦s♥ ①tt♦♥ ♦♥ t ❳ ①s ♥ s♥ ①tt♦♥♦♥ t ❨ ①s s♥ ♥ ♦s♥ ♥ ♠♣t ♦ ❲ ♥t t rt ss♠ ①tt♦♥♠♥♥ tt t ♦♥② rt ♦♥ s t rt② ❲ ♦♥sr ♥ ♥r strtr s♦ t ♦♣♥♠sss r ♦♥sr s ♥ r♠♥♥ ♣r♠trs r s♠♠r③ ♥ r fs s t rq♥②♦ t s♥ ♥ ♦s♥ ss♠ s♥ ♥ Ts s t rt♦♥ ♦ t ss♠
s ♣r♠trs ♥ ♠♣♠♥t ♥ ♦r ♠♦s rst ♦♥ s ①tt♦♥ ♠♦ s♥ t♣s♦♥②t s♦t♦♥s s♦♥ ♠♦ FE 3D s s♠r t♦ t rst ♦♥ ①♣t tt t s ♥ s♦s♥ ANSY STM ♥ t tr ♠♦ FE 2D t ss♠ rt♦♥ ♥ t ❨ rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr♥ t st ♠♦ modified FE 2D t ss♠ rt♦♥ ♥ t ❨ rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr ♥ t ❳①tt♦♥ s ♠t♣ ②
√2 ♥ ♦rr t♦ ♦♠♣♥st t ❨ rt♦♥ s ♠♦ ♥ s t♦
♥♦♣♣ s♣♠♥t s
s♠ ♥②ss ♦♥ ♣r♠trsPr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s
µ MHx MHy M1x M1y M1z ∆t ♠sTs s
rsts r ♣rs♥t ♥ r 1 s♣♠♥ts ♦♥ t (x, y) ♣♥ ♦ t ♣s♦♥②t♥ t ❨ ♠♦s r r♣rs♥t ♦♥ t t r ♣s♦♥②t r ts ♠♦st ♣rt②t r ♣s♦♥②t ♠♦ s t ♦r ts ss♠ ♦♥ r ♦♥ t rt s♦st s♣♠♥t ♦♥ t ❳ ①s ♦r t ♦r ♠♦s ♣s♦♥②t ♥ t FE 3D rs s♦ ♦♦ t ♦r t FE 2D ♠♦ ②s ♥rst♠ts t s♣♠♥t ♥ t modified FE 2D ♠♦♦rst♠ts t s♥ ♥ ♥ ♦rst♠t♦♥ ♦ t ♦ ♠①♠♠ s ♥ ♥ ♥rst♠t♦♥ ♦ t♦ ♠♥♠♠ s s ♦r t♥s t♦ ♠♣ s t s♥ ♦♥t ♥rss s ♣♦♥t s♦st ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥ t ♦ ①tt♦♥ ♥ ♦rr t♦ st♠t ♦rrt② t s♣♠♥t ♦ tstrtr s s s♣② tr ♥ ♦♥sr♥ r♥♦♠ ss♠ ①tt♦♥
r ♥ s♥ ss ②st♠ ♥♦s♥ ♦♥ s♣♠♥t rs
♥♦♠ ss♠ ①tt♦♥
♦r ♠♦s sr ♥ ♣r r s ♦r ts s♠t♦♥ ①♣t tt t strtr ♥trt♦♥s t♥ ♥t♦ ♦♥t ♥ st ♦ ♣r♠trs s ♥ ♥ ♦r③♦♥t ss♠ ♦♥ s r♥t♥ rt♦♥ ❳ ♦r ❨ t ❩r♦Pr♦ rt♦♥ ♦ 0.51g rt rt♦♥ s 0.2g ❩P
rsts r ♣rs♥t ♥ r 2 s♣♠♥ts ♦♥ t (x, y) ♣♥ ♦ t ♣s♦♥②t♥ t ❨ ♠♦s r r♣rs♥t ♦♥ t t♥ r ♣s♦♥②t r ts ♠♦st♣rt② t r ♦♥sq♥t② t ♣s♦♥②t ♠♦ s t ♦r ts ss♠ ♦♥ r ♦♥ t rt s♦s t s♣♠♥t ♦♥ t ❳ ①s ♦r t ♦r ♠♦s ♣s♦♥②t ♥t FE 3D rs s♦ ♦♦ t ♦r t FE 2D ♠♦ ②s ♥rst♠ts t s♣♠♥t modified FE 2D ♠♦ s♦s ♦ r♥t ♦r t ♠♣ rt♦♥ t♥s t♦ ♦r t rt♦♥♦ t rst s♥ ♥ ts s t s t −X rt♦♥ r rr rt♦♥ s ♣r♦rt② t♦ t +Xrt♦♥ s ♥rts t ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥ t ♦ ①tt♦♥ ♥ ♦rr t♦ st♠t ♦rrt②t s♣♠♥t ♦ t strtr
r ♥ s♥ ss ②st♠ s♠ ♦♥ s♣♠♥t rs
sss s♣r♥ s②st♠
s♥ s♥ ♠ss ♣♣r♦①♠t♦♥ s r♦ st♠t♦♥ ♦ t ♦ s♥ ♦r ♦ t strtrs ♣♣r♦①♠t♦♥ s ♦♥② rt t rst ①r ♥rq♥② ♦ t s②st♠ s ♥♦t ♥ t s ss♠rq♥s ♦ ③ ❲♥ t s ♥ t ss♠ ♦♠♥ t ♠♦ ♥s t♦ t ♥t♦ ♦♥t t ♥♠♦s♦ t s②st♠ s♠♣st ♠♦ t♥ ♥t♦ ♦♥t t rst ①r rq♥s ♥ t t♦ ♦r③♦♥trt♦♥s s ss t♦ ♠sss ♥ ♦♥ s♣r♥ ♠♦
♦ sr♣t♦♥ ♥ ss♠♣t♦♥s
♠♦ ♦♥ssts ♥ ♦♥ ♦st♥ ♠ss Mb s t t ♠ss ♦ t rst ①r ♠♦ s♥♠ss Ma rr♦♣s t r♠♥♥ ♠ss ♦ t s②st♠ ♥ ♦♥ s♣r♥ t r♥t st♥sss ♦♥ rt♦♥ kx ♦r t ❳①s ♥ ky ♦r t ❨①s st♥sss r ♦s♥ t♦ t t ①r rq♥② ♦♥ rt♦♥ s②st♠ s r♣rs♥t ♥ r 3 ♠ss strt♦♥ t♥ Ma ♥ Mb ♥ ♥r♥ t rtq ♥ t stt ♦ t ♦♥tt ♥s r 4 s♦s t ♠ss strt♦♥ ♦r ♠♦r t sliding ♥ sticking ♦♥tt stt
r ♣rs♥tt♦♥ ♦ t s♣r♥ ♠sss s②st♠
strtr ♦♣♥ strt♦♥ s ss♠ t♦ ♦♦ t ♠ss strt♦♥ s ss♠♣t♦♥ ts♣rt② ②r ♦♣♥ ♦rrs♣♦♥♥ t♦ rt③ ♣♦t♥t t♦r② ❬❪ t s ♥ ♥rtstrt♦♥ ♦r ♦♠♣① ♦r
❲ ②s ♦♥sr rt rt♦♥ tt ♣r♥ts t s②st♠ r♦♠ t♥ ♦ ♠♥♥ tt |γz(t)| <g s♣r♥ s s♣♣♦s t♦ ♥♥t② r ♦♥ t rt ①s ♥ ts s t rt ♦rs tr♥strt② r♦♠ ♦♥ ♠ss t♦ t ♦tr
♦r♥♥ qt♦♥s
♦r♥♥ qt♦♥s ♦ t ♠ssss♣r♥ s②st♠ ♥ s② sts t s ♦♥♥♥t t♦ ①♣rssts qt♦♥s tr ♥ tr♠s ♦ s♦t s♣♠♥ts ♦ t ♠sss q♥ s♥ Xa ♥ Xb ♦r ♥tr♠s ♦ ♥tr♦ï ♥ rt s♣♠♥ts q♥ s♥ Xg ♥ Xr
(Ma +MHxa) Xa(t) = − (Ma −M1xa) γx(t)− kx (Xa(t)−Xb(t)) +Rx(t)
(Ma +MHya) Ya(t) = − (Ma −M1ya) γy(t)− ky (Ya(t)− Yb(t)) +Ry(t)
(Mb +MHxb) Xb(t) = − (Mb −M1xb) γx(t) + kx (Xa(t)−Xb(t))
(Mb +MHyb) Yb(t) = − (Mb −M1yb) γy(t) + ky (Ya(t)− Yb(t))Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)
(M +MHx) Xg(t) = − (M −M1x) γx(t) +Rx(t)
(M +MHy) Yg(t) = − (M −M1y) γy(t) +Ry(t)
Xr(t) + ω2rxXr(t) = −
(Ma−M1xa
Ma+MHxa− Mb−M1xb
Mb+MHxb
)γx(t) +
Rx(t)Ma+MHxa
Yr(t) + ω2ryYr(t) = −
(Ma−M1ya
Ma+MHya− Mb−M1yb
Mb+MHyb
)γy(t) +
Ry(t)Ma+MHya
Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)
❲r
• M = Ma +Mb MH. = MH.a +MH.b ♥ M1. = M1.a +M1.b r t r ♦② q♥tts
• ωrx =√
kx
Ma+MHxa+ kx
Mb+MHxb♥ ωry =
√ky
Ma+MHya+
ky
Mb+MHybr t rst rr ♥♣st♦♥s
♦ t t strtr
• Xg = (Ma+MHxa)Xa+(Mb+MHxb)Xb
M+MHx♥ Yg =
(Ma+MHya)Ya+(Mb+MHyb)Yb
M+MHyr t t ♥tr♦ï ♣♦st♦♥s
• Xr = Xa −Xb ♥ Yr = Ya − Yb r t rt s♣♠♥ts
t♥ stt
♦r ts ♠♦ t st♥ stt ♦rrs♣♦♥s t♦ ♥ r♠♦♥ ♦st♦r ♥r r♥♦♠ ①tt♦♥ qt♦♥ s t ♠♦st ♦♥♥♥t ♥ ♥ ①♣rss s
Xa(t) = X0a
Ya(t) = Y 0a
Xb(t) = − Mb−M1xb
Mb+MHxbγx(t)− kx
Mb+MHxb
(Xb(t)−X0
a
)
Yb(t) = − Mb−M1yb
Mb+MHybγy(t)− ky
Mb+MHyb
(Yb(t)− Y 0
a
)
Rx(t) = (Ma −M1xa) γx(t) + kx(X0
a −Xb(t))
Ry(t) = (Ma −M1ya) γy(t) + ky(Y 0a − Yb(t)
)
Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)
❲r(X0
a , Y0a , Z
0a
)s t ♥t ♣♦st♦♥ ♦ t s♥ ♠ss
r q♥t ♠ss strt♦♥ ♦r ♠ t r♥t ♦♥tt ♦♥t♦♥s
s qt♦♥s r♠♥ s ♦♥ s t ♥♦♥s♥ ♦♥t♦♥ s r
√R2
x +R2y < µRz
❲♥ q♥ (13) s ♥♦ ♦♥r r ♦r t = t0 t♥ t s②st♠ strts t♦ s ♥t ♦♥t♦♥s ♦r ts♥ stt r
X0g =
(Ma+MHxa)X0a+(Mb+MHxb)Xb(t0)M+MHx
Y 0g =
(Ma+MHya)Y0a +(Mb+MHyb)Yb(t0)M+MHy
X0r = X0
a −Xb(t0)Y 0r = Y 0
a − Yb(t0)
X0g = Mb+MHxb
M+MHxXb(t0)
Y 0g =
Mb+MHyb
M+MHyYb(t0)
X0r = −Xb(t0)
Y 0r = −Yb(t0)
♥ stt
❲♥ t s②st♠ s s♥ t rt♦♥ s ♦♠♣t② tr♠♥ ② t rt♦♥ ♦ t s♥ ♥ ts st st ♦ qt♦♥s ♥ t s♥ ♥②ss s
(M +MHx) Xg(t) = − (M −M1x) γx(t)− µ X(t)‖V ‖ (M −M1z) (γz(t) + g)
(M +MHy) Yg(t) = − (M −M1y) γy(t)− µ Y (t)‖V ‖ (M −M1z) (γz(t) + g)
Xr(t) + ω2rxXr(t) = −
(Ma−M1xa
Ma+MHxa− Mb−M1xb
Mb+MHxb
)γx(t)− M−M1z
Ma+MHxaµ X(t)
‖V ‖ (γz(t) + g)
Yr(t) + ω2ryYr(t) = −
(Ma−M1ya
Ma+MHya− Mb−M1yb
Mb+MHyb
)γy(t)− M−M1z
Ma+MHyaµ Y (t)
‖V ‖ (γz(t) + g)
❲ s ♥ trt s♦♥ t♦ s♦ ts ♥♦♥♥r qt♦♥s s ♠t♦ ♣♣ t♦ t masses & springs②st♠ s sr ♦
trt s♦♥
trt♦♥ s♦♥ rs ♦♥ t s♠ ss♠♣t♦♥ ♥ ♥♦tt♦♥s s ♥ ♣r 2.4 ❲ ♦♥sr t ith trt♦♥ ♥ s②st♠ t t ith trt♦♥ s tr♠♥ ② (16) t ♠ss s ♥t② sticking ♥ (17) t ♠sss ♥t② sliding
ss ♥t② st♥
Xi+1a = Xi
a
Y i+1a = Y i
a
Xi+1b = Xi
a +(Xi
b −Xia
)cos(ωB
x ∆t) +Xi
b
ωBxsin(ωB
x ∆t)− γix
(ωBx )2
Mb−M1xb
M+MHxb
(1− cos(ωB
x ∆t))
Y i+1b = Y i
a +(Y ib − Y i
a
)cos(ωB
y ∆t) +Y ib
ωBysin(ωB
y ∆t)− γiy
(ωBy )
2
Mb−M1yb
M+MHyb
(1− cos(ωB
y ∆t))
If√[
kx(Xi
a −Xib
)+ (Ma −M1xa) γi
x
]2+[ky(Y ia − Y i
b
)+ (Ma −M1ya) γi
y
]2< µ (M −M1z)
(γiz + g
)
a) true then (i)th initial state is sticking,b) false then (i)th initial state changes to sliding.
❲r ωBx = kx
Mb+MHxb♥ ωB
y =ky
Mb+MHybr t t r♠♦♥ ♣st♦♥s ♦ t ♦st♥ ♠ss
s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣r♦r ♠♥♥ tt ♥ s♥ s tt t t ♥♥♥ ♦ t ith
trt♦♥ t♥ t t♦♥ s ♠ ♥r s♥ ♥t ♦♥t♦♥s
ss ♥t② s♥
Xi+1g = Xi
g + Xig∆t− 1
2
[M−M1x
M+MHxγix +
Xia
‖V ia‖µ
M−M1z
M+MHx
(g + γi
z
)](∆t)
2
Y i+1g = Y i
g + Y ig∆t− 1
2
[M−M1y
M+MHyγiy +
Y ia
‖V ia‖µ
M−M1z
M+MHy
(g + γi
z
)](∆t)
2
Xi+1r = Xi
r cos(ωrx∆t) +Xi
r
ωrxsin(ωrx∆t)− 1
ω2rx
[αrxγ
ix +
Xia
‖V ia‖βrx
(g + γi
z
)](1− cos(ωrx∆t))
Y i+1r = Y i
r cos(ωry∆t) +Y ir
ωrysin(ωry∆t)− 1
ω2ry
[αryγ
iy +
Y ia
‖V ia‖βry
(g + γi
z
)](1− cos(ωry∆t))
Xi+1g = Xi
g −[
M−M1x
M+MHxγix +
Xia
‖V ‖µM−M1z
M+MHx
(g + γi
z
)]∆t
Y i+1g = Y i
g −[
M−M1y
M+MHyγiy +
Y ia
‖V ‖µM−M1z
M+MHy
(g + γi
z
)]∆t
Xi+1r = −ωrxX
ir sin(ωrx∆t) + Xi
r cos(ωrx∆t)− 1ωrx
[αrxγ
ix +
Xia
‖V ia‖βrx
(g + γi
z
)]sin(ωrx∆t)
Y i+1r = −ωryY
ir sin(ωry∆t) + Y i
r cos(ωry∆t)− 1ωry
[αryγ
iy +
Y ia
‖V ia‖βry
(g + γi
z
)]sin(ωry∆t)
If
(Xi+1
|Xi+1| 6=Xi
|Xi|
)&
(Y i+1
|Y i+1| 6=Y i
|Y i|
)
a) true then (i+ 1)th initial state is sticking,b) false then (i+ 1)th initial state is sliding.
❲r αrx = Ma−M1xa
Ma+MHxa− Mb−M1xb
Mb+MHxb αry =
Ma−M1ya
Ma+MHya− Mb−M1yb
Mb+MHyb ♥ βrx = M−M1z
Ma+MHxa βry = M−M1z
Ma+MHya
♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣♦str♦r ♠♥♥ tt ♥ t ♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ sr t t ♥ ♦ t ith trt♦♥ t st♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥② ♣♣ t t (i+ 1)th trt♦♥
qt♦♥s ♦r♥♥ t ♠♦♠♥t ♦ t ♥tr♦ï r s♠r t♦ t ♦♥s ♦ t s♥ s♥ ♠ss①♣t tt t rt♦♥ ♦ t rt♦♥ ♦r s ♦♥r t♦ t ♦t② ♦ Ma ♥ r♥t r♦♠t ♦t② ♦ t ♥tr♦ï s♦t♦♥s ♦r♥♥ t s ♦ Xr ♥ Yr r r r♦♠ t ♠qt♦♥s t ♥♦♥♥ ♥t ♦♥t♦♥s ♣♦st♦♥ ♥ ♦t②
sts
♥♦♠ ss♠ ①tt♦♥
♦r ♠sss s♣r♥s s②st♠s r ♦♠♣r ♥ ts st② r② ♠♦ ♥s strtr ♥trt♦♥ss♥ ♥ ♥♥ r♣rs♥t ② t s♣♠♥t ♦ t ♦st♥ ♠ss rst ♠♦ s ♣s♦♥②t ♠♦ ♠ss strt♦♥ r♠♥s t s♠ r♥ t s♥ ♠s t sr t♦ ♦♠♣rt ♠♦ s♦♥ ♠♦ s FE 3D ♠♦ ♥ t tr ♠♦ FE 2D t ss♠ rt♦♥♥ t ❨ rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr ♥ t st ♠♦ modified FE 2D t ss♠ rt♦♥ ♥ t ❨rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr ♥ t ❳ ①tt♦♥ s ♠t♣ ②
√2 ♥ ♦rr t♦ ♦♠♣♥st t ❨ rt♦♥
s ♠♦ ♥ s t♦ ♦rst♠t s♣♠♥t s
st ♦ ♣r♠trs s ♥ ts ♥②ss s ♥ ♥ ♦r③♦♥t ss♠ ♦♥ s r♥t♥ rt♦♥ ❳ ♦r ❨ t ❩r♦Pr♦ rt♦♥ ♦ 0.51g rt rt♦♥ s 0.2g ❩P r♦r♠s r r♥t r♦♠
rsts r ♣rs♥t ♥ r 5 s♣♠♥ts ♦ t s♥ ♠ss Ma ♦♥ t (x, y) ♣♥ ♦ t ♣s♦♥②t ♥ t ❨ ♠♦s r r♣rs♥t ♦♥ t t r ♣s♦♥②t rts ♠♦st ♣rt② t r ♣s♦♥②t ♠♦ s t ♦r ts ss♠ ♦♥ r ♦♥ t rt s♦s t s♣♠♥t ♦♥ t ❳ ①s ♦r t ♦r ♠♦s ♣s♦♥②t ♥t FE 3D rs s♦ ♦♦ t ♦r t FE 2D ♠♦ ②s ♥rst♠ts t s♦t ♦t s♣♠♥t modified FE 2D ♠♦ t♥s t♦ ♠♣② t s♣♠♥t ♥ t rt♦♥ ♦ t rst
s♠ ♥②ss ♦♥ ♣r♠trsPr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s
Ma Mb µ MHxa MHxb kx 104N.m−1
M1xa M1xb ky 104N.m−1
MHya MHyb M1z M1ya M1yb
s♥ ♥ ♠①♠③ s♦t ♦ t s♣♠♥t s ♥rts t ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥t ♦ ①tt♦♥ ♥ ♦rr t♦ st♠t ♦rrt② t s♣♠♥t ♦ t strtr s♣② s t ♠♦ts ♠♦r ♥ ♠♦r ♦♠♣①
r sss ♣r♥ ②st♠ s♠ ♦♥ s♣♠♥t rs
♦♥s♦♥
♥ ts st② t♦ ♣s♦♥②t ♠♦s ♥ ♣r♦♣♦s s♥ s♥ ♠ss s②st♠ ♥ s♣r♥ ♠sss s♥ s②st♠ qt♦♥s ♦ ♠♦t♦♥ r ♦t♥ s♥ ♥ trt s♦♥ r♦r t♠ st♣ t ss♠ rt♦♥ ♥ t ♠♣t ♦ t rt♦♥ ♦r r ♦♥sr s ♦♥st♥ts ♦r ♠♦ t ♦♥tt s ♠♦ s♥ ♦♦♠ rt♦♥ ♥ t strtr ♥trt♦♥ s♦♥sr s♥ ♥ ♠ss t♦r②
st ♦ r♥t ss♠ rt♦♥s ♥ ♣♣ t♦ ts ♠♦s rst♥ s♣♠♥ts s♦ r② ♦♦ t t t s♠t♦♥s s♦♥ ♦ t ♣s♦♥②t ♠♦ sts ♦♣ ♦ ♠♥ts t ♠♦ ts t st ♥ ♦r ♦♠♣rs♦♥ t♥ t ♦ s♠t♦♥s ♥ s♦♠ss ♠♦s s ♥ ♠ ♠♦s s♦ r♦♥ st♠t♦♥ ♦ t ♦r ♦ t s②st♠♥ ♥rt s♣♠♥t s ♥ rt♦♥s s st② strts t ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥ t♦ ♠♦ ♦r ts ♥ ♦ ♥♦♥♥r ②♥♠ ♥②ss
♥② s♠♣ ♥②t ♠♦s r st ♦r ♠♥s♦♥♥ ♦r ♣r♠♥s♦♥♥ st② ② ♦♦ ♥st ♦♥ t ♦r♥♥ ♣r♠trs ♥ ♥ st♠t♦♥ ♦♥ t rsts strt♦♥ t♦ ♥②t♠♦s ♣rs♥t ♥ ts st② ♥ t ♦r ts ♣r♣♦s
♥♦♠♥ts
♣rt ♦ t st② s ♥ ♦♠♣s t t ♣ ♦ t rté s ♠tér① t s strtrs♣♦r é♥r r rt ② t Prs ♥ t ♦ s P♦♥ts Prs ♥ ♥♥ ② t ❯❩ ♥ ③
♣ t♥s t♦ Pr ❱ ♦ s ♣rt♣t t② ♥ t rt♦♥ ♦ tsrt
r♥s
❬❪ P♦♥s é♣♦♥s ②♥♠q ♥ strtr r sr ♦♥t♦♥ ss♥t r ♦♦q ♥t♦♥ é♥♣rss♠q
❬❪ ❲ ♥t♦♥ P ♦♥s s ①tt♦♥ ♦ r ♦s ♦r♠t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥♥r♥♥s
❬❪ ❲ ♥t♦♥ P ♦♥s s ①tt♦♥ ♦ r ♦s Pr♦ sr♦ rs♣♦♥s ♦r♥ ♦♥♥r♥ ♥s
❬❪ ❲ ♥t♦♥ rtr ♦r ♥tt♦♥ ♦ s r♦ ♥ sr♦ r♦② ♠♦s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♥s
❬❪ ❨ s②♠ ♦t♦♥s ♦ r ♦s ♥ rtr ♦r ♦rtr♥♥ ② rtq ①tt♦♥s ♦r♥ ♦rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s
❬❪ ❨ ♦♦♠♦♥ ♥ ♦♥♥r ♠♣t ♥ ♦t rs♣♦♥s ♦ s♥r r♦♥ ♦ts ♦♥r ♦♥♥r♥ ♥s
❬❪ P rs trt ②♥♠ ♥②ss ♦ r ♦s ♦♥ ♥♥ ♣♥ srs ♣♣t♦♥ t♦ ♣rt♦♥ ♦ ♠r♥s rs♣♦♥s ♥ st st♦r rs ♥r rtq ①tt♦♥ P❨
❬❪ ❲str♠♦ ❯ Pr♦ rs♣♦♥s ♦ s♥ ♦st♦r s②st♠ t♦ r♠♦♥ ①tt♦♥ rtq♥♥r♥ ♥ strtr ②♥♠s ♦
❬❪ rt③ t ♦ qs ♦♥ t ②♥♠ ♠♦t♦♥s ♦ ♠♠rs s♦s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♦r♥str②
Proceedings of 19th International Conference on Nuclear EngineeringProceedings of ICONE 19
Mat 16-19, 2011, Makuhari, Chiba, Japan
ICONE 19-43307
ANALYTICAL SOLUTIONS FOR THE STUDY OF IMMERSED UNANCHOREDSTRUCTURES UNDER SEISMIC LOADING
Romain MEGE
Junior academic director
Civil Engineering and Construction Department
Junior academic director
Dismantling and Waste Management
’Nuclear Energy’ MASTER
Ecole des Ponts Paritech
6 et 8 avenue Blaise Pascal - Cité Descartes
77455 MARNE LA VALLEE CEDEX 2
FRANCE
Email: [email protected]
ABSTRACT
In the nuclear energy industry, most of the major compo-
nents are anchored to the civil works using numerous types of
supports devices. These anchorages are big issues of the nu-
clear plant design: the implantation of the components has to
be fixed definitely, stress concentration in the surroundings of
the anchorage, and for immersed structure, possible loss of the
impermeability. Thereby, under certain safety regulations, some
structures lay directly on the ground. This is the case for in air
or underwater structure, such as fuel storage racks. This solution
gives more flexibility in the use of the components and a decrease
of the stress. However, one has to evaluate precisely the behavior
of this sliding structure, and in particular, the cumulated sliding
displacement during a seismic event in order to prevent any im-
pact with other components.
During a seismic event, the unanchored structure can slide, ro-
tate and tilt. The aim of this paper is to present analytical so-
lutions to estimate the sliding amplitudes of different simplified
systems which represent a given dynamic behavior. These sim-
plified models are: a sliding mass and a complex sliding structure
defined by its eigenmodes. Each simplified system corresponds
to a different set of assumptions made on the flexibility of the
structure.
Two analytical solutions are presented in this article: single slid-
ing mass and a vertical sliding beam. In each model, the fluid-
structure interaction between the immersed body and the pool is
modeled as hydrodynamic masses. The sliding is represented by
Coulomb friction. The seismic loading can be any 3D seismic
accelerogram. The analytical solutions are obtained considering
the different phases of the movement and the continuity between
each phase. The results are then compared to the values com-
puted with the commercial Finite Element package ANSY ST M .
The analytical curves show a good fit of the computational re-
sults.
1 Introduction
One of the main issues in the study of the seismic response of
unanchored structures is the displacement estimation. The sub-
ject has received an increasing attention due to the fact that the
response of several types of nonstructural components and equip-
ment can be studied in the context of sliding structures. Several
1 Copyright c© 2011 by JSME
articles have been written on the studies of rigid body behav-
ior under seismic loadings. The study of a simple sliding mass
under a 2D periodic excitation and a random signal is detailed
by Sideris & Filiatrault.The slide, rock and slide-rock rigid-body
modes have been studied under a 2D excitation by Pons and
Shenton & Jones. A 2D analysis of the rest mode, slide mode
and free-flight mode has been conducted by Solomon.
Most of the studies on the subject consider different types of
behavior: resting, sliding, rocking, sliding-rocking, with differ-
ent types of contacts. But they are all using a 2D excitation (a
single horizontal and a vertical excitations). When these unan-
chored structures are studied with a 2D seismic loading, the
structure has to go through a resting state when it is changing
its direction of sliding. This behavior is not realistic when one
considers a ’circle’ excitation (sine along X, cosine along Y).
The 3D study shows a circle ’always sliding’ movement, while
the 2D study shows alternatively sliding and resting stages.
The present study focuses on establishing the equations for
the 3D seismic behavior of two different models: a single slid-
ing mass model and a vertical sliding beam model represent-
ing the Nth first flexural modes of the structure. These models
consider a Coulomb sliding behavior and include a simplified
fluid-structure coupling (inertial terms only). Once the move-
ment equations are established, we describe a pseudo-analytical
method to efficiently compute the solutions.
2 Single sliding mass
In this paragraph, we deal with the seismic behavior of a sin-
gle sliding mass. We will establish the generalized movement
equations for a 3D excitation with fluid-structure coupling.
2.1 Model description & assumptions
The system is described by its mass, M. A dry-friction slid-
ing is considered with two sliding coefficient, µS the static co-
efficient and µD the dynamic coefficient. The seismic excita-
tion is modeled by an acceleration field which includes the grav-
ity (−γx(t),−γy(t),−γz(t)−g). The fluid-structure coupling has
two different influences on the structure. The first one is mod-
eled using hydrodynamic masses which link the acceleration of
the pool to the acceleration of the mass, using :
(FFluid−M
FFluid−P
)=
(−MH MH +M1
MH +M1 −(MH +M1 +M2)
)(γM
γP
)(1)
Where FFluid−M and FFluid−P are respectively the forces ap-
plied by the fluid on the mass, and on the pool. γM and γP are
respectively the acceleration of the mass and of the pool. MH is
the hydrodynamic mass, M1 is the mass of water displaced by
the modeled mass during its motion, M2 is the mass of water
displaced by the motion of the pool.
The second influence of the fluid on the structure is the buoy-
ancy. Buoyancy occurs when an acceleration field is applied to
the water. In our case, the acceleration is the result of the seism
and the gravity, which means that there is a buoyancy effect in
every direction. A detailed analysis of this phenomenon shows
that the buoyancy effects are directly related to the hydrodynamic
masses. It can be modeled as a modification of the acceleration
field applied to the structure and an increase of the mass of the
structure. The global effect on the governing equations can be
summarized as :
(M+MHx) X
(M+MHy)Y
(M+MHz) Z
= R+
(M1x −M)γx(t)(M1y −M)γy(t)
(M1z −M)(γz(t)+g)
(2)
Where MH. is the hydrodynamic mass for a given direction
of the displacement. The masses obtained in two directions can
be very different if the geometry of the pool is not symmetrical.
M1. are the masses of water displaced by the movement of the
modeled structure in a given direction.(X ,Y , Z
)is the relative
acceleration of the structure. And R is the reaction force of the
ground (normal and tangential reactions).
For every model, we will consider a vertical acceleration that
prevents the mass from taking off, meaning that |γz(t)| < g. In
this case, the contact force can be expressed by this set of equa-
tion:
‖V‖=√
X2 + Y 2 = 0 ⇒√
R2x +R2
y < µRz
‖V‖=√
X2 + Y 2 > 0 ⇒ Rxex +Ryey =− V
‖V‖µRz
(3)
In order to solve (2), one needs to express the ground reaction
force R. According to (3), the sliding force depends on the state
of your contact : sliding or sticking. We decided to give ana-
lytical solutions for the movement for each of these two cases.
Then we define the validity domain of these analytical solutions.
When the structure no longer verifies one domain of validity, the
state of the contact switches, and so does the set of solutions and
the validity domain.
For example, let us consider a structure which is sliding. As
long as the sliding validity domain is verified, we use the sliding
set of analytical solutions. When the structure is no longer in
the sliding validity domain, we change the state of the contact to
sticking and we use the sticking set of analytical solutions and
validity domain.
2 Copyright c© 2011 by JSME
2.2 Sticking state
Before the beginning of the earthquake, the mass is lying on
the ground under sticking state. This state will continue at the
beginning of the earthquake until a certain level of acceleration
is reached. This sticking state can be reached again during the
seismic loading. During these phases, the movement equations
give this simple set of solutions :
X = X0
Y = Y0
Z = Z0
Rx = (M−M1x)γx(t)Ry = (M−M1y)γy(t)Rz = (M−M1z)(γz(t)+g)
(4)
Where (X0,Y0,Z0) is the initial position of the mass.
This set of solutions remains valid as long as the non-sliding
condition is verified :
√[(M−M1x)γx(t)]
2 +[(M−M1y)γy(t)]2 < µ (M−M1z)(γz(t)+g)
(5)
When this condition is no longer verified, then the mass starts to
slide. The initial conditions for the sliding state are :
X = X0
Y = Y0
X = 0
Y = 0(6)
2.3 Sliding state
When the mass is sliding, the reaction force is completely de-
termined by the direction of the sliding. In this case, the set of
equations leading the sliding analysis is :
(M+MHx) X = − X
‖V‖µ (M−M1z)(γz(t)+g)+(M1x −M)γx(t)
(M+MHy)Y = − Y‖V‖µ (M−M1z)(γz(t)+g)+(M1y −M)γy(t)
(7)
These equations can not be solved directly, so we used an it-
erative solving, which is similar to Finite Element calculation
except that we consider analytical solutions for each time step.
The pseudo-analytical solving requires low calculation capacity
and is less time consuming than the FE solving.
2.4 Iterative solving
The iterative solving relies on different simplification of the
model. The iteration is made on the time using a constant time
step. For each time step, we consider that the seismic accelera-
tion remains constant, which is a good assumption for small time
steps.
Let us consider the ith iteration. The actual system is defined
by its location(X i,Y i,Zi
), its velocity
(X i,Y i, Zi
), and its actual
state: sliding or sticking. The chosen time step is ∆t. The seismic
acceleration is(γ i
x,γiy,γ
iz
). The final system at the ith iteration is
determined by (8) if the mass is initially sticking and (9) if the
mass is initially sliding.
2.4.1 Mass initially sticking
X i+1 = X i
Y i+1 = Y i (8)
I f
√[(M−M1x)γ i
x]2 +[(M−M1y)γ i
y
]2< µ (M−M1z)
(γ i
z +g)
a) true then (i)th initial state is sticking,b) f alse then (i)th initial state changes to sliding.
The sliding condition is verified ’a priori’, meaning that when
a sliding is detected at the beginning of the ith iteration, then the
calculation is made under sliding initial conditions.
2.4.2 Mass initially sliding
X i+1 = X i + X i∆t − 12
[M−M1xM+MHx
γ ix +
X i
‖V‖µM−M1z
M+MHx
(g+ γ i
z
)](∆t)2
Y i+1 = Y i + Y i∆t − 12
[M−M1y
M+MHyγ i
y +Y i
‖V‖µM−M1z
M+MHy
(g+ γ i
z
)](∆t)2
X i+1 = X i −[
M−M1xM+MHx
γ ix +
X i
‖V‖µM−M1z
M+MHx
(g+ γ i
z
)]∆t
Y i+1 = Y i −[
M−M1y
M+MHyγ i
y +Y i
‖V‖µM−M1z
M+MHy
(g+ γ i
z
)]∆t
(9)
I f
(X i+1
|X i+1| 6=X i
|X i|
)&
(Y i+1
|Y i+1| 6=Y i
|Y i|
)
a) true then (i+1)th initial state is sticking,b) f alse then (i+1)th initial state is sliding.
The ’end of sliding’ condition is verified ’a posteriori’, mean-
ing that when the ’end of sliding’ condition is verified at the end
of the ith iteration, the sticking condition is only applied at the
(i+1)th iteration.
2.5 Results
2.5.1 Sine/Cosine loading
3 Copyright c© 2011 by JSME
TABLE 1. Sine/Cosine loading - Modeling parameters
Parameters Values Parameters Values
M 1 kg µ 0.2
Mh 0 ∆t 5 ms
M1 0 fs 0.5 Hz
M2 0 Ts 19.5 s
As mentioned in the introduction, it is important to consider
the full 3D problem instead of the classical two dimensional anal-
yses. The loading considered here is a cosine excitation along the
X axis, and a sine excitation along the Y axis. Each sine and co-
sine have an amplitude of 1g. We neglect the vertical seismic
excitation, meaning that the only vertical loading is the gravity.
We consider an in-air structure, so the fluid coupling masses are
considered as null. The remaining parameters are summarized in
Table 1, where fs is the frequency of the sine and cosine seismic
signal, and Ts is the duration of the seism.
These parameters have been implemented in four models. The
first one is a 3D excitation model using the pseudo-analytical so-
lutions. The second model, FE 3D, is similar to the first one ex-
cept that it has been solved using ANSY ST M . In the third model,
FE 2D, the seismic acceleration in the Y direction is not con-
sidered. In the last model, modi f ied FE 2D, the seismic accel-
eration in the Y direction is not considered and the X excitation
is multiplied by√
2 in order to compensate the Y acceleration.
This model can be used to give enveloppe displacement values.
The results are presented in Figure 1. The displacements on
the (x,y) plane of the 3D pseudo-analytical and the 3D ANSYS
models are represented on the left figure. The pseudo-analytical
curve fits almost perfectly the FE curve. The pseudo-analytical
model is validated for this seismic loading. The figure on the
right shows the displacement along the X axis for the four mod-
els. The pseudo-analytical and the FE 3D curves show a good fit,
however the FE 2D model always underestimates the displace-
ment, and the modi f ied FE 2D model overestimates the sliding,
giving an overestimation of the local maximum values and an un-
derestimation of the local minimum values. This behavior tends
to be amplified as the sliding coefficient increases. This point
shows the importance of considering the whole 3D excitation in
order to estimate correctly the displacement of the structure. This
is especially true when considering a random seismic excitation.
2.5.2 Random seismic excitation
The four models described in par. 2.5.1 are used for this sim-
ulation, except that the fluid-structure interaction is taken into
FIGURE 1. Single sliding Mass System - Sine/Cosine Loading - Dis-
placement curves
account. The new set of parameters is given in Table 2. The
horizontal seismic loading is different in each direction (X or Y)
with a Zero-Period Acceleration of 0.51g. The vertical accelera-
tion has a 0.2g ZPA.
The results are presented in Figure 2. The displacements on
the (x,y) plane of the 3D pseudo-analytical and the 3D ANSYS
models are represented on the left-hand figure. The pseudo-
analytical curve fits almost perfectly the FE curve. Consequently,
the pseudo-analytical model is validated for this seismic load-
ing. The figure on the right shows the displacement along the X
axis for the four models. The pseudo-analytical and the FE 3D
curves show a good fit, however the FE 2D model always under-
estimates the displacement. The modi f ied FE 2D model shows
a whole different behavior: the amplified acceleration tends to
favor the direction of the first sliding. In this case, it is the −X
4 Copyright c© 2011 by JSME
direction, where a regular acceleration gives priority to the +X
direction. This underlights the importance of considering the
whole 3D excitation in order to estimate correctly the displace-
ment of the structure.
FIGURE 2. Single sliding Mass System - Seismic Loading - Dis-
placement curves
3 Verical sliding beam system
The mass model gives a good exemples of the estimated slid-
ing of a structure considered as infinitly rigid. Mege et al. shows
with a mass-spring system the influence of internal behavior of
the structure on the gobal sliding. It is the first step in order to
develop a general model considering the Nth first flexural modes
of the structure. This new model is required when several eigen-
frequencies of the structure are in the usual seismic frequencies
TABLE 2. Seismic analysis - Modeling parameters
Parameters Values Parameters Values
M 1 kg µ 0.2
MHx 0.38 Kg MHy 0.69 Kg
M1x 0.16 Kg M1y 0.23 Kg
M1z 0.38 Kg ∆t 5 ms
Ts 19.5 s
(below 20 Hz). In this case, a model considering the modes that
are in this frequency range gives a better estimation of the overall
sliding.
To illustrate the theory that we have developped, we will con-
sider a vertical sliding beam. However, this theory can be fully
applied to any given structure where the eigenfrequencies, the
eigenmode’s shapes and the FSI pressure distribution are known
or assumed.
3.1 Model description and assumptions
The model consists in one vertical beam, where one of its ex-
tremities is laying on the ground. The beam is defined by its
density ρ , its cross-section S, its young’s Modulus E and its flex-
ural inertia IXX and IYY . The different parameters can be whether
determined from the geometry of the structure or by fitting the
global properties of the structure (global mass, first flexural fre-
quencies, ...). The system is represented in figure 3.
FIGURE 3. Vertical sliding beam configuration
In order to simplify the model, we consider that the FSI pres-
sure follows the same distribution as the density of the beam,
which is a uniform distribution. This gives the advantage that
the wet-eigenmodes shapes are the same as the dry-eigenmodes.
When the FSI pressure distribution is more complex, one needs
to compute new wet-eigenmodes by adding the hydrodynamic
added mass matrix to the structural mass matrix. Nevertheless,
5 Copyright c© 2011 by JSME
the uniform pressure distribution fits perfectly a 2D layer fluid
coupling corresponding to a Fritz potential fluid theory.
We will always consider a vertical acceleration that prevents
the system from taking off, meaning that |γz(t)| < g. The beam
is supposed to be infinitely rigid along the vertical axis. In this
case, the vertical forces transit directly from the entire beam to
the contact point. We will also assume that the contact point of
the beam can not rotate.
3.2 Governing equations
The governing equations of the vertical sliding beam system
can be easily established.
(ml +mHx) ux(z, t)+EIxxd4ux
dz4 (z, t)
= Rx(t)δ0(z)+(m1x −ml)γx(t)
(ml +mHy) uy(z, t)+EIyyd4uy
dz4 (z, t)
= Ry(t)δ0(z)+(m1y −ml)γy(t)
Rz(t) =∫ H
z=0 (ml −m1z)dz(γz(t)+g)
(10)
The contact is defined by :
‖U0‖ =√
u2x(0, t)+ u2
y(0, t) = 0
⇒√
R2x(t)+R2
y(t)< µSRz(t)
‖U0‖ =√
u2x(0, t)+ u2
y(0, t)> 0
⇒ Rx(t)ex +Ry(t)ey =− U0
‖U0‖µDRz(t)
(11)
Where:
ml , mH. and m1. are the lineic densities of the structural
mass, the hydrodynamic coupling mass and the buoyancy
mass,
µS and µD are respectively the static and dynamic friction
coefficients,
E is the Young’s Modulus of the beam,
Ixx and Iyy are respectively the inertia of the beam along the
X-axis, and the Y-axis,
(ux(z, t),uy(z, t)) are the functions that define the position of
each particle of the beam,
δ0(z) is the Dirac function,
U0 is the velocity of the contact point.
This set of equations can be simplified by using a projection on
the eigenmodes of the structure. In order to model the different
states of the contact, we will use either the free-free eigenmodes
φi(z), or the clamped-free eigenmodes ψi(z). For a vertical slid-
ing beam, we will consider that there is no rotation at the contact
location.
3.2.1 Free-free beam :
For a free-free beam (with a no rotation condition at one end),
the boundary conditions are given by :
φ ′
i (0) = 0
φ(3)i (0) = 0
,
φ ′′
i (H) = 0
φ(3)i (H) = 0
(12)
The eigenfrequencies (ai)[1,N−1] and the eigenmodes are then
deduced :
φ1(z) = 1, φi+1(z) = cos(aiz)+cos(aiH)
cosh(aiH)cosh(aiz) (13)
Where :
a1H ≈ 2.365, aiH ≈ (i−1)π +3π
4(14)
Considering N eigenmodes along each direction, the actual po-
sition of each points of the beam can be expressed in this basis
:
ux(z, t) = ∑Ni=1 φi(z)qxi(t),
uy(z, t) = ∑Ni=1 φi(z)qyi(t).
(15)
3.2.2 Clamped-free beam :
For a clamped-free beam, the boundary conditions are given
by :
ψi(0) = 0
ψ ′i (0) = 0
,
ψ ′′i (H) = 0
ψ(3)i (H) = 0
(16)
The eigenfrequencies (bi)[1,N] and the eigenmodes are then de-
duced :
ψi(z) = sin(biz)− sinh(biz)
+ sinh(biz)+sin(biz)cosh(biz)+cos(biz)
(cosh(biz)− cos(biz))(17)
6 Copyright c© 2011 by JSME
Where :
b1H ≈ 1.875, b2H ≈ 4.694, biH ≈ (2i−1)π
2(18)
Considering N eigenmodes along each direction, the actual po-
sition of each points of the beam can be expressed in this basis.
However, since the base of the beam is clamped, the absolute
displacement of the beam can not be projected in this basis, but
the relative displacement can :
ux(z, t)−U0x(t) = ∑Ni=1 ψi(z)qxci(t),
uy(z, t)−U0y(t) = ∑Ni=1 ψi(z)qxci(t).
(19)
3.2.3 Change of coordinate system :
The projection of the generalized coordinates from one eigen-
mode basis to the other is made using the relation (19). The
orthogonal properties of the eigenmodes are used to obtain :
qi(t)‖φi‖2 =∫ H
z=0 φi(z)ux(z, t)dz
=∫ H
z=0
(φi(z)U0x(t)+φi(z)∑
Nj=1 ψ j(z)qxc j(t)
)dz,
(20)
We define the projection matrix T and the rigid displacement
projection vector L as :
T (i, j) =
∫ Hz=0 φi(z)ψ j(z)dz
‖φi‖2, L(i) =
∫ Hz=0 φi(z)dz
‖φi‖2(21)
The projection is made using :
qx(t) = T .q
xc(t)+L.U0x(t) (22)
The exact same relation is verified for the generalized coordi-
nates on the Y-axis.
3.3 Projections of the governing equations :
Depending on the state of the contact, the governing equations
are either projected on the clamped-free modes basis when the
beam is resting (cf. eqn. 23), or on the free-free modes basis
when the beam is sliding (cf. eqn. 24).
qxi(t) +ω2xiqxi(t)
= 1(ml+mHx)‖φi‖2
φi(0)Rx(t)+
∫ Hz=0 (m1x −ml)φi(z)dz× γx(t) ,
qyi(t) +ω2yiqyi(t)
= 1(ml+mHx)‖φi‖2
φi(0)Ry(t)+
∫ Hz=0 (m1y −ml)φi(z)dz× γy(t) ,
Rz(t) =∫ H
z=0 (ml −m1z)dz× (γz(t)+g)
(23)
qxci(t) +ω2cxiqxi(t)
= 1(ml+mHx)‖ψi‖2
∫ Hz=0 (m1x −ml)ψi(z)dz× γx(t) ,
qyci(t) +ω2cyiqyi(t)
= 1(ml+mHx)‖ψi‖2
∫ Hz=0 (m1y −ml)ψi(z)dz× γy(t) ,
Rz(t) =∫ H
z=0 (ml −m1z)dz× (γz(t)+g)
(24)
Where :
ωx1 = ωy1 = 0 and ωx(i+1) =(
aiH
)√EIxx
ml+mHx, ωy(i+1) =
(aiH
)√ EIyy
ml+mHyare the ’wet’ pulsations of the sliding beam,
ωcxi =(
biH
)√EIxx
ml+mHx, ωcyi =
(biH
)√EIyy
ml+mHyare the ’wet’
pulsations of the clamped beam,
qxi and qyi are generalized coordinates for the free-free
eigenmodes,
qxci and qyci are generalized coordinates for the clamped-free
eigenmodes.
3.4 Iterative solving
These equations are highly non linear and can not be solved
analytically without any further assumptions. We make the same
assumptions as in par. 2.4. We consider the ith iteration. The
system at the end of the ith iteration is determined by eqn.25 if
the beam is initially sticking and eqn.3.4.2 if the beam is initially
sliding.
3.4.1 Beam initially sticking :
When the contact state is sticking at the begininning of the
ith iteration, the set of equations defined in (23) is used. With
the assumptions described previously, the anaytical solutions are
7 Copyright c© 2011 by JSME
obtained using the Duhammel equations :
∀k∈ [1,N] ,
qi+1xck = qi
xck cos(ωxckdt)
+qi
xckωxck
sin(ωxckdt)+Ai
k
ω2xck
(1− cos(ωxckdt)) ,
qi+1yck = qi
yck cos(ωyckdt)
+qi
yck
ωycksin(ωyckdt)+
Bik
ω2yck
(1− cos(ωyckdt)
),
qi+1xck = − qi
xckωxck
sin(ωxckdt)
+ qixck cos(ωxckdt)+
Aik
ωxcksin(ωxckdt),
qi+1yck = − qi
yck
ωycksin(ωyckdt)
+ qiyck cos(ωyckdt)+
Bik
ωycksin(ωyckdt),
(25)
Where :
∀k ∈ [1,N] ,
Aik = − ml−m1x
ml+mHx
∫Hz=0 ψk(z)dz
‖ψk‖2 γ ix,
Bik = − ml−m1y
ml+mHy
∫Hz=0 ψk(z)dz
‖ψk‖2 γ iy,
(26)
In order to verify that the contact state remains sticking, we
need to compute the reaction forces. These forces do not ap-
pear on the projection on the clamped-free modes basis. So we
need to find another basis that will not erase the influence of the
reaction forces. The easiest solution is to calculate the motion
at the centroïd of the beam where the reaction forces during the
sticking state are easily computed with :
∫ Hz=0 (ml +mHx)dz× XG(t)−
∫ Hz=0 (m1x −ml)dz× γx(t) = Rx∫ H
z=0 (ml +mHy)dz× YG(t)−∫ H
z=0 (m1y −ml)dz× γy(t) = Ry
(27)
Where, in the case of an uniform beam :
Xg =N
∑k=1
ψk(H/2)qxck, Yg =N
∑k=1
ψk(H/2)qyck, (28)
The sliding conditions can then be expressed. The iterative
algorithm uses the following protocol :
I f[∫ H
z=0 (ml +mHx)dz× XG(t)−∫ H
z=0 (m1x −ml)dz× γx(t)]2
+[∫ H
z=0 (ml +mHy)dz× YG(t)−∫ H
z=0 (m1y −ml)dz× γy(t)]2
<[µS (ml −m1z)H
(γ i
z +g)]2
a) true then (i)th initial state is sticking,b) f alse then (i)th initial state changes to sliding.
The sliding condition is verified ’a priori’, meaning that when
a sliding is detected at the beginning of the ith iteration, then the
calculation is made under sliding initial conditions, which are :
qix= T .qi
xc+L.U i
0x,
qiy= T .qi
yc+L.U i
0y(29)
3.4.2 Mass initially sliding
When the contact state is sliding at the begininning of the ith
iteration, the set of equations defined in (24) is used. With the
same assumptions, the analytical solutions are obtained using the
Duhammel equations :
k = 1
qi+1
x1 = qix1 + qi
x1dt +Aik
dt2
2,
qi+1y1 = qi
y1 + qiy1dt +Bi
kdt2
2
∀k ∈ [2,N] ,
qi+1xk = qi
xk cos(ωxkdt)+qi
xkωxk
sin(ωxkdt)
+Ai
k
ω2xk
(1− cos(ωxkdt)) ,
qi+1yk = qi
yk cos(ωykdt)+qi
yk
ωyksin(ωykdt)
+Bi
k
ω2yk
(1− cos(ωykdt)
),
qi+1xk = − qi
xkωxk
sin(ωxkdt)+ qixk cos(ωxkdt)
+Ai
kωxk
sin(ωxkdt),
qi+1yk = − qi
yk
ωyksin(ωykdt)+ qi
yk cos(ωykdt)
+Bi
kωyk
sin(ωykdt),
(29)
8 Copyright c© 2011 by JSME
Where :
∀k ∈ [1,N] ,
Aik = − ml−m1x
ml+mHx
φk(0)‖φk‖2 µD
U i0x
‖U i0x‖(γ i
z +g)
− ml−m1x
ml+mHx
∫Hz=0 φk(z)dz
‖φk‖2 γ ix,
Bik = − ml−m1y
ml+mHy
φk(0)‖φk‖2 µD
U i0y
‖U i0y‖(γ i
z +g)
− ml−m1y
ml+mHy
∫Hz=0 φk(z)dz
‖φk‖2 γ iy,
(29)
I f
(U i+1
x0
|U i+1x0 | 6=
U ix0
|U ix0|
)&
(U i+1
y0∣∣∣U i+1y0
∣∣∣6= U i
y0∣∣∣U iy0
∣∣∣
)
a) true then (i+1)th initial state is sticking,b) f alse then (i+1)th initial state is sliding.
The ’end of sliding’ condition is verified ’a posteriori’, mean-
ing that when the ’end of sliding’ condition is verified at the end
of the ith iteration, the sticking condition is only applied at the
(i+ 1)th iteration. In this case, the initial conditions are deter-
mined using the change of coordinate system equations.
3.5 Results
3.5.1 Random seismic excitation
Two vertical sliding beam systems are compared in this study.
The fluid-structure interaction is being neglected in this exem-
ple, but the sliding and internal vibrations are being taken into
account. The first model is a 3D pseudo-analytical model. The
mass distribution remains the same during the sliding. The sec-
ond model is a FE 3D model.
The set of parameters used in this analysis is given in Table 3.
The horizontal seismic loading is different in each direction (X
or Y) with a Zero-Period Acceleration of 0.4g. The vertical ac-
celeration has a 0.5g ZPA. The accelerograms are different from
2.5.2.
The results are presented in figure 5. The displacements
of the sliding end of the beam on the (x,y) plane of the 3D
pseudo-analytical and the 3D ANSYS models are represented.
The pseudo-analytical curve fits quite nicely the FE curve. The
pseudo-analytical model is validated for this seismic loading.
3.5.2 Comparison between models
Using the results of Mege et al. and the results presented in
this paper, we can compare the results obtained with the differ-
ent models. We will use the same condition has the one presented
for the vertical sliding beam under random seismic loading. We
compare three equivalent models with an increasing precision on
the knowledge of the structure : a sliding mass, a sliding spring-
mass system and a vertical sliding beam. The results are pre-
sented in fig. 5. One can see that the internal vibrations can have
a strong impact on the global displacement.
FIGURE 4. Vertical Sliding Beam - Seismic loading - Displacement
curves
FIGURE 5. Seismic loading - Comparison of models
4 Conclusion
In this study, two pseudo-analytical models have been pro-
posed: a 3D single sliding mass system, and a 3D vertical sliding
beam system. The equations of motion are obtained using an
iterative solving, where, for each time step, the seismic acceler-
ation and the amplitude of the reaction force are considered as
constant values. For each model, the contact is modeled using a
9 Copyright c© 2011 by JSME
TABLE 3. Seismic analysis - Modeling parameters
Parameters Values Parameters Values
m 100000 Kg E 159e3 MPa
µS 0.2 fx 50 Hz
ρ 7900 Kg.m−3 µS 0.2
fy 35 Hz
Coulomb friction and the fluid-structure interaction is considered
using an added mass theory.
A set of different seismic accelerations have been applied to
these models. The resulting displacements show a very good fit
with the FE simulations. The solving of the pseudo-analytical
models lasts less than a minute, while the FE model takes at least
an hour. A comparison between the whole 3D simulations and
some classical 2D models has been made for the sliding mass.
The 2D models show a wrong estimation of the behavior of the
system, giving inaccurate displacement values and directions.
This study illustrates the importance of considering the whole
3D model for this kind of non-linear dynamic analyses.
Finally, a comparison of models with different details on the
internal vibration properties have been madde showing the strong
influence of this parameter on the global sliding displacement.
Simplified analytical models are suitable for dimensioning or
predimensioning study. They give a good insight on the govern-
ing parameters and an estimation on the results distribution. The
two analytical models presented in this study have been validated
for this purpose.
5 AcknowledgementsA part of the study has been accomplished with the help of the
”Durabilité des matériaux et des structures pour l’énergie” Chair
directed by the MINES ParisTech and the Ecole des Ponts Paris-
Tech, and financed by the FEED, EDF, GDF SUEZ and GRTgaz.
References[1] J. C. Pons, Réponse dynamique d’une structure rigide sur
fondation glissante, 1er Colloque national de génie parasis-
mique, 1986.
[2] H. W. Shenton III, N. P. Jones, Base excitation of rigid
bodies. I: Formulation, Journal of Engineering Mechanics
(ASCE), 117(10):2286-2306, 1991.
[3] H. W. Shenton III, N. P. Jones, Base excitation of rigid bod-
ies. II: Periodic slide-rock response, Journal of Engineering
Mechanics (ASCE), 117(10):2307-2327, 1991.
[4] H. W. Shenton III, Criteria for initiation of slide, rock and
slide-rock rigid-body modes, Journal of Engineering Me-
chanics (ASCE), 122(7):690-693, 1996.
[5] Y. Ishiyama, Motions of rigid bodies and criteria for over-
turning by earthquake excitations, Journal of Earthquake
Engineering and Structural Dynamics, 10:635-650, 1982.
[6] C. S. Y. Solomon, H. Lin, Nonlinear impact and chaotic
response of slender rocking objects, Jounral of Engineering
Mechanics (ASCE), 117(9):2079-2100, 1991.
[7] P. Sideris, A. Filiatrault, Dynamic analysis of rigid bodies
on inclined plane surfaces: application to prediction of mer-
chandise response in steel storage racks under earthquake
excitation, COMPDYN 2009.
[8] B. Westermo, F. Udwadia, Periodic response of a sliding
oscillator system to harmonic excitation, Earthquake engi-
neering and structural dynamics, vol. 11, 135-146, 1983
[9] R. J. Fritz, The effect of liquids on the dynamic motions of
immersed solids, Journal of Engineering for Industry, 167-
173, 1972
[10] R. Mege, N. Jobert, Analytical solutions for the study of im-
mersed unanchored structures under seismic loading, Pres-
sure Vessel and Piping Conference, 2010
10 Copyright c© 2011 by JSME