ENSEEIHT — 1ere Annee Informatique & Mathematiques Appliquees

Algebre lineaire

2003–2004

Examen

Examen d’Algebre lineaire

Tous les exercices sont independants. Rendre sur deux copies sepa-rees les exercices 1 et 2 d’une part, 3 et 4 d’autre part. Le baremeprevisionnel est indique pour chaque exercice. Seul document au-torise : une feuille de notes de cours recto-verso.

� Exercice 1. (8 points) Soit a ∈ R, on definit Aa ∈ M(3,R) par

Aa =

(a− 4) 1 2−1 (a− 1) 1−2 1 a

.1.1. Determiner le rang de Aa en fonction du parametre a.1.2. Soit b ∈ R3, resoudre Aax = b.1.3. Soit b ∈ Im A1, calculer A+

1 b.1.4. Donner, en la justifiant, la reduite de Jordan de la matrice

B =

4 −1 −21 1 −12 −1 0

.(on ne demande pas d’expliciter la base sur laquelle la reduction est faite).

� Exercice 2. (3 points) On rappelle que l’espace E = (C 0([0,2π],R),(.|.))est un prehilbertien avec, pour (x,y) ∈ E2,

(x|y) =∫ 2π

0x(t)y(t)dt.

Soit F = Vect({sin , cos}), soit x0 ∈ E defini par x0(t) = et. Justifier que x0

possede un unique projete orthogonal sur F et le calculer.

� Exercice 3. (3 points) On rappelle que l’espace

l2 = {X = (xn)n≥1 ∈ RN |∑n≥1

|xn|2 <∞}

muni du produit scalaire (X|Y ) =∑

n≥1 xnyn est un espace de Hilbert.

3.1. Soit G = {X ∈ l2 |∑k

n=1 xn = 0} (ou k ≥ 1 est fixe). Justifier que Gest un sev ferme de l2.3.2. Soit X1 = (1,0, . . . ,0, . . . ) ∈ l2, evaluer d(X1,G), la distance de X1 a G.

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Algebre lineaire Examen d’Algebre lineaire

� Exercice 4. (8 points. La question 4.3 pourra etre traitee independamment)4.1. Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ M(n,R), on rappelle que tr(A) =

∑ni=1 aii.

a) Montrer que l’application (.|.) de M(n,R) × M(n,R) dans R definiepar

(A|B) = tr( tAB)

definit un produit scalaire qui fait de M(n,R) un espace euclidien quel’on notera E.

b) Soit O ∈ O(n,R) une matrice orthogonale, montrer que pour la normedefinie par le produit scalaire precedent (norme de Frobenius) on a

‖AO‖ = ‖A‖

pour toute matrice A ∈ M(n,R).4.2. Soit A ∈ M(n,R) de rang r < n et de valeurs singulieres σ1, . . . ,σr, oncherche les matrices orthogonales les plus proches de A au sens de la normede Frobenius, i.e. solutions de{

Min ‖A−O‖O ∈ O(n,R)

(1)

a) Montrer que, pour toute matrice orthogonale O,

‖A−O‖2 ≥r∑i=1

(1− σi)2 + (n− r).

b) En deduire l’ensemble des solutions de (1).4.3. Application :

A =[

1 −4−3 12

].

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