Statistique, licence
Sixième séance
Analyse de variance
Pour plans à mesures répétées
Plan
1. Position du problème2. Utilité des plans à mesures répétées3. Les conditions d’application4. La beauté est-elle une notion
universelle?5. La régression vers la moyenne6. Évolution7. Qu’est ce qu’une bonne blague?
1. Problématique
situation propice à l’anova répétée.
Mesures répétées Lorsqu’on mesure plusieurs fois de suite la « même »
grandeur sur des sujets, on est confronté à une incohérence.
Si par exemple on mesure le QI dans trois situations, et que les sujets passent les trois situations…
On pourra dire qu’il y a 3 QI (variables), perdant ainsi l’équivalence des QI.
On pourra dire qu’il y a une variable QI et une var situation, mais alors quels sont les individus?
On utilisera une description incorrecte mathématiquement, mais facile à comprendre en parlant de variable intra-sujets et inter-sujets.
Utilisation courante
Cette situation est ce qu’on appelle un plan à mesures répétées pour des raisons évidentes…
On utilise souvent l’anova pour plans à mesures répétées quand on mesure plusieurs fois une même grandeur pour en percevoir l’évolution au cours du temps — ou dans diverses situations —, pour chaque sujet.
Là où une une anova simple échouerait du fait de la variabilité inter-sujet, celle-ci pourra réussir, car on peut dans ce cas supprimer les facteurs personnels.
Décomposition
Total
Inter-sujet(facteur sujet)
Intra-sujet
Erreur Facteur
on peut se débarrasser
des variations
sujet.
2. Utilité
Des plans à mesures répétées
Exemple-fiction Supposons que l’on
veuille étudier l’évolution des opinions vis-à-vis du maoïsme d’un groupe de jeunes a priori favorables, au cours d’une semaine de présentation.
On mesure l’opinion par une valeur numérique X.
Si l’on veut utiliser une anova simple, on peut interroger un échantillon le premier jour, un autre le second jour, et un troisième le dernier jour par exemple.
Si l’on trouve des différences, elles seront peut-être peu significatives…
Anova simple
101010N =
GROUPE
jour 7jour 2jour 1
95
% I
C X
10
9
8
7
6
5
4
les moyennes diminuent au cours du
temps, mais cela pourrait être le fruit du
hasard.
les barres d’erreurs montrent en effet une grande variation pour chaque groupe (jour).
Anova simple
ANOVA
X
10,400 2 5,200 1,147 ,333
122,400 27 4,533
132,800 29
Inter-groupes
Intra-groupes
Total
Sommedes carrés ddl
Moyennedes carrés F Signification
Test d'homogénéité des variances
X
,722 2 27 ,495
Statistiquede Levene ddl1= ddl2 Signification
l’hypothèse d’homogénéité
des variances se tient.
la différence entre les groupes n’est pas significative. On ne peut pas conclure.
Anova répétée En fait, on peut
imaginer deux cas limites. L’un des cas est le suivant: les variations prises sujet par sujet sont hiératiques et peu prévisibles. Dans ce cas, les mesures répétées donneront le même résultat.
L’autre cas limite est celui où, bien qu’il y ait de grandes différences entre les sujets, l’effet du facteur temps est presque le même sur les différents sujets. Dans ce cas, les résultats pourraient être très différents!
Anova répétée
Tests des effets inter-sujets
Mesure: MEASURE_1
Variable tranformée: Moyenne
1387,200 1 1387,200 107,504 ,000
116,133 9 12,904
SourceIntercept
Erreur
Sommedes carrésde type III ddl
Moyennedes carrés F Signification
il y a des différences significatives entre les sujets. Comparez le Scsujet au Sctotal!
Anova répétée
Tests des effets intra-sujets
Mesure: MEASURE_1
10,400 2 5,200 14,936 ,000
6,267 18 ,348
SourceTEMPS
Erreur(TEMPS)
Sommedes carrésde type III ddl
Moyennedes carrés F Signification
quand on a annulé le facteur sujet — très important mais pour nous inintéressant — on arrive à
conclure à un effet très significatif du temps.
Pour conclure Les plans à mesures
répétées permettent de s’affranchir des turbulences de la VD engendrées par le fait que les humains diffèrent.
Ils sont précieux pour détecter un effet un peu fin masqué par les différences individuels.
D’un autre côté, il va de soi que toutes les études ne se prêtent pas à ce genre de plan d’expérience.
En particulier, il est parfois gênant de faire passer plusieurs fois le même test.
Dans le cas de situations différentes, on pensera à contrebalancer pour l’ordre.
3. Conditions
d’application
CA On dispose de:
Une VD numérique X Un facteur intra-sujet F Un facteur « sujet ».
On s’interroge sur les effet des facteurs F et Sujet sur la VD X.
On peut également avoir, en plus des facteurs déjà mentionnés, des facteurs inter-sujets.
Conditions d’applications Les sujets doivent être
indépendants (pas les observations !)
Les écart-types des différents relevés (i.e. de la VD pour chaque modalité du facteur F) doivent être homogènes
Les covariances doivent également être homogènes
Les distributions doivent être normales
Indépendance des sujets
Homogénéité des variances
Homogénéité des
covariancesnormalité
4. La beauté
Universelle, culturelle ou personnelle?
Présentation Chaque sujet a attribué une note de
beauté à chacun des six visages présentés. Il y a 111 sujets.
La note est une valeur comprise entre 0 et 10.
Parmi les questions que l’on peut se poser à partir de cette expérience, étudions celle-ci : dans quelle mesure la notion de beauté est-elle personnelle ?
Portrait A
Portrait B
Portrait C
Portrait D
Portrait E
Portrait F
Présentation
Dans la pratique, on procède ainsi pour simplifier la présentation :
On dit que les individus sont les sujets.
Que la VD est « la note » X. Il y a deux facteurs catégoriels :
Le visage V, variable intra-sujet Le facteur « sujet » S
Formalisation de la question Notre question était : la note est-elle le
résultat d’un processus personnel ou plutôt universel/culturel ?
Pour y répondre, nous réécrirons la question de cette manière :
« La note dépend-t-elle principalement du facteur sujet ou du facteur visage ? »
Formalisation de la question Si la beauté est essentiellement personnelle,
la note doit dépendre presque uniquement du facteur « sujet », et les variations de X peuvent alors s’expliquer presque entièrement par la variation due à S.
Dans le cas contraire, elle doit dépendre du « vrai » facteur : V.
Pour le savoir, nous utilisons une anova particulière, dont le principe est le même que pour l’anova simple : l’anova pour plans à mesures répétées.
Tableau des données brutesA B C D E F
S1 10 2 0 9 6 0
S2 10 5 4 10 8 2
S3 9 8 3 9 7 1
S4 10 5 1 9 5 2
S5 8 6 1 8 4 5
S6 8 5 0 10 8 1
S7 9 5 0 10 3 0
S8 10 3 2 8 5 0
S9 7 1 1 7 9 1
Tableau
Source SC dl CM F
S 14124 110 128 128
Intra 4816 555
Erreur 554 550 1
V 4262 5 852 852
Total 18940 665
Interprétation Les F se comparent à ceux de la table. Pour le F (S), il faut lire 110 et 550 dl (soit
1.57) Pour le F (V), il s’agira de 5 et 550 dl (soit
3.05) Dans les deux cas, les F observés sont
significatifs à 1% (et même, en fait, à 0.01%)
Interprétation
On en déduit tout naturellement que :1. La note dépend « certainement » (et
non pas « fortement ») du visage présenté
2. Elle dépend également du sujet (juge)Il faudra affiner pour pouvoir répondre à la
question de départ
Remarques
On ne teste habituellement pas TOUT. En général, il faut bien réfléchir avant
l’expérience à ce qui sera nécessaire et ce qui ne le sera pas. Plus on calcule de statistiques F, moins le résultat final est fiable, pour un risque par test fixé.
Dans notre cas, il faut calculer les deux F possibles, mais on ne calcule habituellement que le F (facteur), car la variation inter-sujet ne nous intéresse pas.
Grandeur des effets Comme dans le cas général, on peut
affiner la compréhension des effets en calculant les grandeurs des effets.
Par exemple SC(S)/SC(total)=75%, ce qui indique que 75% de la variation totale (sur l’échantillon) pour les notes est attribuable au facteur sujet
D’autre part, SC(V)/SC(total)=23%, si bien que 23% de la variation totale est attribuable au facteur visage.
Grandeur des effets Cela laisse penser que la notion de beauté est
avant tout personnelle, car les facteurs individuels expliquent une plus grande partie de la variation.
Mais il faudrait en réalité étudier les rangs plus que les notes.
Les différences inter-sujet observées sont en effet en partie dues à l’interprétation des codes de jugement. (notes attribuées).
L’étude avec les rangs constituent le test de Friedman, et il montre que la beauté est plutôt culturelle ou universelle.
5. Régression
Vers la moyenne
Eau et fièvre Sélectionnons un échantillons de patients
ayant de la fièvre (au moins 38°). Donnons-leur de l’eau de source. Nous les
informons qu’ils boivent de l’eau de source (il n’est pas ici question d’effet placebo).
Reprenons, deux jours plus tard, leur température.
Dans la plupart des cas, la température a baissé! Halte aux coûteuses aspirines! Sus au paracétamol!
Eau et fièvre
Comment expliquer ce résultat surprenant, déjà constaté pour les tailles par Galton?
Il s’agit de la régression vers la moyenne, un phénomène purement mécanico-statistique.
Eau et fièvreExplication intuitive
La température dépend de plusieurs facteurs (virus, etc.) dont la plupart sont aléatoires et varient au cours du temps.
En sélectionnant des personnes ayant de la fièvre, on choisit un moment où ces facteurs vont tous dans le sens d’une augmentation de température. Il est probable que quelques heures plus tard, certains auront changé.
Explication mathématiqueOn note T la température en
début d’expérience, et T’ en fin d’expérience.
L’évolution de température est évidemment liée négativement à T, surtout si T et T’ sont indépendants…
'T T T
6. A la main
Évolution de la dépression en cure
Présentation
Des patients dépressifs suivent une thérapie. On relève chaque mois un score X de gravité de la dépression
Le but est de savoir si l’évolution est plutôt positive au cours du temps
On a une VD numérique : X Un facteur S (sujet) et T (temps) catégoriel (on
mesure X quatre fois, T a donc quatre modalités)
Chaque patient passe plusieurs fois le test donnant X.
Question Nous sommes dans le cadre d’une anova
pour plans à mesure répétées. La question est de savoir si T a un effet
sur X. L’hypothèse nulle serait « X ne présente
en moyenne aucune modification au cours du temps »
L’hypothèse alternative « X varie au cours du temps »
Données brutes
sujet mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 total1 120 125 110 115 4702 80 72 73 59 2843 70 69 58 55 2524 69 69 69 70 2775 67 63 62 50 2426 61 65 64 58 2487 58 59 60 52 2298 46 47 43 42 1789 37 36 35 28 136
10 30 29 27 26 112total 638 634 601 555 2428
Mieux vaut répéter
Si on étudiait seulement les moyennes de la VD chaque mois, sans tenir compte du facteur sujet, on aurait à comparer les moyennes de distributions très étalées
En effet, les valeurs diffèrent beaucoup d’un sujet à l’autre
Grâce à l’anova pour plans à mesures répétées, on peut annuler la variation sujet
Intuitivement, on peut comprendre les choses de la manière suivante :
Méthode simple
0
20
40
60
80
100
120
140
mois 1 mois 2 mois 3 mois 4
Méthode répétée
50
55
60
65
70
75
1 2 3 4
Chaque courbe représente un sujet. On suit
l’évolution pour chaque sujet
Conditions On supposera
L’indépendance des sujets La normalité L’homogénéité des covariances et des
variances
Plan Le but est de calculer F pour le
facteur temps (T) Notre question est en effet de savoir
si T a un effet sur la VD X. Pour cela, on doit faire presque tous
les calculs, en commençant par les SC
FC
Commençons par calculer le facteur de correction FC.
2428²147380
40FC
sujet mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 total1 120 125 110 115 4702 80 72 73 59 2843 70 69 58 55 2524 69 69 69 70 2775 67 63 62 50 2426 61 65 64 58 2487 58 59 60 52 2298 46 47 43 42 1789 37 36 35 28 136
10 30 29 27 26 112total 638 634 601 555 2428
SC total
On peut ensuite calculer SC total
²
170092 147380
22712
totalSC X FC
sujet mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 total1 120 125 110 115 4702 80 72 73 59 2843 70 69 58 55 2524 69 69 69 70 2775 67 63 62 50 2426 61 65 64 58 2487 58 59 60 52 2298 46 47 43 42 1789 37 36 35 28 136
10 30 29 27 26 112total 638 634 601 555 2428
SC inter-sujet
Le SC inter-sujet se calcule facilement
470² 112²...
4 421875
SSC FC
sujet mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 total1 120 125 110 115 4702 80 72 73 59 2843 70 69 58 55 2524 69 69 69 70 2775 67 63 62 50 2426 61 65 64 58 2487 58 59 60 52 2298 46 47 43 42 1789 37 36 35 28 136
10 30 29 27 26 112total 638 634 601 555 2428
SC(T)
Un autre SC est facile : le SC entre les mois SC(T)
638² 555²...
10 10443
TSC FC
sujet mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 total1 120 125 110 115 4702 80 72 73 59 2843 70 69 58 55 2524 69 69 69 70 2775 67 63 62 50 2426 61 65 64 58 2487 58 59 60 52 2298 46 47 43 42 1789 37 36 35 28 136
10 30 29 27 26 112total 638 634 601 555 2428
Autres SC
Les autres SC se déduisent par différences.
Degré de libertés
Il est clair que dl(tot) = 39 dl(S) = 9 dl(T) = 3
Les autres s’en déduisent par différence
Tableau
Source SC dl CM FInter 21875 9Intra 837 30erreur 394 27 14,59 10,12facteur 443 3 147,67total 22712 39
Le F est calculé avec 3 et 27 dl. La table donne 4.64 On peut donc conclure et rejeter H0 pour
H1 au risque de 1%. Ainsi, les patients présentent une
évolution. Sur l’échantillon, l’évolution semblant
positive (baisse du score de gravité), on pense que la thérapie est efficace.
Source SC dl CM FInter 21875 9Intra 837 30erreur 394 27 14,59 10,12facteur 443 3 147,67total 22712 39
Remarques En réalité, il faudrait comparer à un
groupe témoin, à cause de l’effet de régression vers la moyenne.
On peut préciser la grandeur de l’effet du facteur en calculant
SC(T)/SC(tot) = 2%… La thérapie explique seulement 2% des
variations observées.
Remarques On peut vouloir supprimer l’effet sujet,
dû au fait que certains patients sont plus gravement dépressifs que d’autres.
Pour cela, on peut calculer SC(T)/(SC(tot)-SC(S)) = 53% et dire que « la thérapie explique 53% des variations de score indépendamment du sujet »…
7. Un bonne blague
C’est quoi?
Présentation On demande à des
chercheurs en mathématiques, lettres, ou musicologie, de noter sur 10 la qualités de 3 blagues.
On a ainsi une variable « note », un facteur intra-sujet blague (1,2, ou 3)
Mais également un facteur inter-sujet groupe (maths, lettres, musicologie)
On peut traiter ces données d’un coup par ordinateur, ici SPSS.
Test de sphéricité de Mauchly
Mesure: MEASURE_1
,899 2,766 2 ,251Effet intra-sujetsBLAGUE
W de MauchlyKhi-deuxapproché ddl Signification
Teste l'hypothèse nulle selon laquelle la matrice de covariance des erreursdes variables dépendantes orthonormées est proportionnelle à la matriceidentité.
Si on suppose la normalité, le reste des conditions
d’application est justifié par le test de Mauchly.
BLAGUE
321
Mo
yen
ne
s m
arg
ina
les
est
imé
es
8
7
6
5
4
3
2
GROUPE
Mathématiques
Musique
Lettres
Il semblerait y avoir des blagues de
matheux (1), de musiciens
(2) et de lettreux (3). Cela devrait se traduire
par une interaction
entre le groupe et la
blague.
Tests des effets intra-sujets
Mesure: MEASURE_1
9,756 2 4,878 2,251 ,115
210,578 4 52,644 24,297 ,000
117,000 54 2,167
SourceBLAGUE
BLAGUE * GROUPE
Erreur(BLAGUE)
Sommedes carrésde type III ddl
Moyennedes carrés F Signification
on ne s’intéresse pas aux variations dues aux
facteur sujet.
il n’y a pas de différence significative entre les blague.L’interaction a en revanche un effet significatif sur la note, ce
qui confirme notre diagnostique.
Tests des effets inter-sujets
Mesure: MEASURE_1
Variable tranformée: Moyenne
9,156 2 4,578 3,768 ,036
32,800 27 1,215
SourceGROUPE
Erreur
Sommedes carrésde type III ddl
Moyennedes carrés F Signification
l’effet principal du groupe est
peu significatif — compte tenu
du nombre de F calculés…
ici, on fait une anova
simple sur les moyennes
Conclusion
Il y a des blagues pour matheux, d’autres pour lettreux, d’autres pour musiciens.
Les différentes blagues ne sont ni plus drôles ni moins drôles dans l’absolu, mais elles correspondent plus ou moins bien à l’auditeur.
Enfin, les trois groupes semblent juger globalement les blagues de la même manière : les matheux, les lettreux, les musiciens ne sont ni meilleur ni moins bon public les uns que les autres.