Algbre Linaire Semestre 2 Bachelor 1 2009 - 2010

Fiche de TD N6

Valeurs propres, Vecteurs propres et diagonalisations de matrices

Exercice 1:

Calculer le spectre des matrices suivantes :

2.5 0.50.5 2.5 ; 28 1648 28 ; 9 10 26 5 26 2 1 ;

4 6 60 2 01 1 1

Exercice 2:

Trouver une base et diagonaliser les matrices suivantes

8 15 2 ; 15 6 124 10 24 8 7 ;

8 11 34 1 34 10 6 ; 2 12 1 ;

19 742 16 ;

Exercice 3:

Calculer A = P-1 AP . Trouver les vecteurs propres y de Aet vrifier que Py est un vecteur propre de A :

1. 1 22 4 ; 1 33 0 2. 1 02 1 ; 7 510 7 2. 7 0 32 1 12 0 2 ;

0 1 01 0 00 0 1

Exercice 4:

Ces matrices sont-elles hermitienne, anti-hermitiennes ou unitaires ? Dterminer leurs spectres.

2 3 43 4 2 ; 1 1 0 ; 12 3434 12 !!

!!" ;

4 0 0 0 0 4 ; 0 00 0 0 0 ;

0 1 01 0 1 0 1 0

Exercice 5:

Trouver une base de vecteurs propres et diagonaliser les matrices suivantes :

43 7713 93 ; 11 ; 0 33 0 ; 4 1 1 4