Théorie de l’information et codagepour les canaux de Rayleigh MIMO
Philippe Ciblat
École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France
Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Plan
1 Canal de RayleighModèleDiversitéSystème MIMO
2 Théorie de l’informationCanal déterministe (SISO et MIMO)Canal aléatoire (capacité ergodique, probabilité de coupure)Compromis « gain de multiplexage - gain de diversité »
3 Construction de codesCode d’AlamoutiCode V-BLASTCode d’Or
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Modèle de canal radio-mobile
Débit < Bande de cohérence
Temps symbole ≈ Temps de cohérence
Canal de Rayleigh
y(n) = h(n)x(n) + b(n)
avec
y(n) : signal reçu
x(n) : signal émis
h(n) : canal aléatoire de Rayleigh
b(n) : bruit additif gaussien
Modèle valide aussi pour l’OFDM
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Performances
Probabilité d’erreur
Pe = E[Pe(h)] ∝ 1Es/N0
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 5 10 15 20
Tau
x E
rreu
r S
ymbo
le
Eb/No (en dB)
Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No
BBGABBGA asymptotique
RayleighRayleigh asymptotique
Canal gaussien
Pe ≈ e−Es/N0
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Notion de diversité
Problème : lorsque l’évanouissement h(n) est faible, la qualité de latransmission est catastrophique.
Remarque
Si le même signal est reçu par plusieurs canaux indépendants, alorsla probabilité d’erreur va diminuer. Le nombre de versions reçuessera appelé ordre de diversité ou diversité.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 5 10 15 20
Canal 1Canal 2
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Performances (I)
yℓ(n) = hℓ(n)x(n) + bℓ(n), ℓ = 1, · · · , L
Récepteur optimal : détecteur à seuil sur la variable
z(n) =
L∑
ℓ=1
hℓ(n)yℓ(n) =
(L∑
ℓ=1
|hℓ(n)|2)
︸ ︷︷ ︸
G(n)
x(n) +
L∑
ℓ=1
hℓ(n)bℓ(n)
G(n) suit une loi du χ2 à 2L degrés de liberté.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 20 40 60 80 100
L=1L=5
L=10L=20
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Performances (II)
Probabilité d’erreur
Pe ∝ 1(Es/N0)L
à fort Rapport Signal-à-Bruit.
L = ordre de diversité
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010
−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No
Eb/No (en dB)
Tau
x E
rreu
r S
ymbo
le
BBGABBGA asymp.Rayleigh 1Rayleigh 1 asympRayleigh 2Rayleigh 2 asympRayleigh 4Rayleigh 4 asymp
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Types de diversité
Type 1 : ne nécessite pas de répétition de l’informationDiversité d’espace en réception (longueur de cohérence : λ/2)Diversité de trajets
Type 2 : nécessite la répétition (ou codage)Diversité de fréquence (bande de cohérence)Diversité de temps (temps de cohérence)Diversité d’espace en émission
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Exemples de diversité temporelle
La répétition revient à utiliser un code à répétition de rendement1/n. Cela induit une faible efficacité spectrale.Il convient d’employer un code de rendement k/n et de distanceminimale dmin. On aura
Pe ∝ 1(Es/N0)dmin
Observons y(1) = h(1)x(1) + b(1) et y(2) = h(2)x(2) + b(2),avec x(1) et x(2) des données indépendantes appartenant àune MDP-2. On a
y = Hx + b
avec y = [y(1), y(2)]T, H = diag(h(1), h(2)).
Système à diversité de 1.En lieu et place de x, transmettons Wx avec W une rotation.Système à diversité de 2 et pourtant code de rendement 1.
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Système MIMO
.
RX
RX
RX
RX
TX
TX
TX
TX
Mot de codeX Mot de codeY
H
(nt antennes) (nr antennes) .
Signal reçuYnr×T = Hnr×nt Xnt×T + Bnr×T
avec
H parfaitement connu au récepteur.
le canal à évanouissement par bloc
T la longueur temporelle du bloc (T > 1 nécessaire en MIMO !)
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Performances (I)
Probabilité d’erreur par paire
A fort Rapport Signal-à-Bruit, le maximum de vraisemblance donne
P(X → X′) ≈(
r∏
k=1
λk
)−nr (
1Es/N0
)rnr
avec λk les v.a.p. et r le rang de la matrice (X − X′).(X − X′)H.
Pseudo-distance :Gaussien : distance euclidienneCanal binaire symétrique : distance de HammingCanal de Rayleigh : distance produit
Diversité et gain de codage
d = rnr γ =
(r∏
k=1
λk
)nr
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Performances (II)
Construction de codes :
La diversité à la réception est acquise (nr )
La diversité à l’émission (nt ) est à récupérer
Critère du rang
Afin d’atteindre la diversité maximale nt nr , la matrice(X − X′).(X − X′)H doit être de rang plein (⇒ T > 1 si nt > 1).
Critère du déterminant
Afin de maximiser le gain de codage, le déterminant minimal de lamatrice (X − X′).(X − X′)H doit être maximiser.
Débit :
Rendement du code : nombre de symboles émis partemps-symbole (max. nt )
Performances à débit fixé bien connues
Quid du débit admissible ?Philippe Ciblat Théorie de l’information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 12 / 34
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Théorie de l’information : canal déterministe
Canaux discrets stationnaires sans mémoire
Entropie :
H(Z ) = −∑
k
Pr(Z = zk) log2(Pr(Z = zk ))
Information mutuelle :
I(X ; Y ) = H(X) − H(X |Y ) = H(Y ) − H(Y |X)
Exemple :Si Y = X , alors I(X , Y ) = H(X)Si Y et X ind., alors I(X , Y ) = 0
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Capacité de canal
Définition mathématique
Soit C la capacité d’un canal, alors
C = maxp(X )
I(X , Y )
Théorème de la capacité
Il existe un codage de taux d’information T et de longueur N tel queT < C pour lequel
limN→∞
Pe = 0
La limite fondamentale est le débit et non la performance
Théorème non constructif (a priori entrelacement longnécessaire)
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Exemple : canal BSC (I)
Canal binaire symétrique.
’1’
’0’
’1’
’0’1 − p
1 − p
p
p
.
C = 1 − H(p)
Canal représentant une transmission binaire avec décision dureSi le canal physique est gaussien, alors
p = Q
(√
2Ec
N0
)
= Q
(√
2EbCN0
)
≈ 12
e−EbC/N0
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Exemple : canal BSC (II)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Cap
acite
p
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cap
acite
Eb/N0 (en dB)
Capacité nulle pour p = 1/2.
Capacité nulle en dessous de Eb/N0 = 0, 4dB
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Capacité du canal gaussien
Canal gaussien à entrées et sorties continues :
y = x + b
avec
la contrainte E[|x |2] ≤ Px
b un bruit gaussien centré de variance 2N0 (par dim. complexe).
Information mutuelle
L’entropie de x et y est infinie.
On définit de manière plus générale l’information mutuelle
I(X ; Y ) =
∫
p(X , Y ) log2
(p(X , Y )
p(X)p(Y )
)
dXdY
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Exemple
Capacité
C = log2
(
1 +Es
2N0
)
Comme Es/2 = T × Eb et T < C,
Eb/N0 ≥ (2T − 1)/(T )T→0≥ ln(2) (−1.6dB)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Cap
acite
(bi
ts/s
/Hz)
Eb/N0 (en dB)
Capacite canal BBGA en fonction de Eb/N0
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Canal MIMO
Soit X et Y deux processus gaussiens
Information mutuelle
I(X ; Y ) ∝ log2 det(
Id +1
2N0HQHH
)
avecQ = E[XXH]
Cas particulier :Si
Q =PX
ntIdnt (E[Tr(XXH)] ≤ PX)
alors
I(X ; Y ) ∝ log2 det(
Id +PX
nt 2N0HHH
)
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Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Théorie de l’information : canal aléatoire
Canal inconnu à l’émetteur (car canal variant dans le temps)
Capacité ergodique
Si un mot de code visite toutes les réalisations du canal, alors
C = EH[log2 det
(Id + RSBHHH
)]
A fort Rapport Signal-à-Bruit, si H est i.i.d., alors
C = min(nt , nr ) log2(RSB) + O(1)
Remarques :
Gain de multiplexage : min(nt , nr )
le canal doit être de rang plein (min(nt , nr ))
le canal doit varier très rapidement
le code ne doit pas avoir de contraintes de latence
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Probabilité de coupure
Canal supposé constant sur un bloc
Equivalent à des contraintes de latence
Modèle plus proche des systèmes pratiques
Probabilité de coupure
L’information mutuelle
I(H) = log2 det(Id + RSBHHH
)
est vue comme une variable aléatoire.Les blocs pour lesquels l’information mutuelle I(H) est inférieure aurendement R du système sont dits en « coupure ».
Pout. = Pr(I(H) < R)
Remarque : la meilleure Pe est « équivalente » à Pout.
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Remarque (I)
Canal SISO
Constellation MAQ à M états
Probabilité d’erreur
Pe =12− 1
21
√
1 + 43
M−1RSB
A fort Rapport Signal-à-Bruit,
Pe =M − 13RSB
Remarque : A débit fixé, la diversité vaut d = 1
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Remarque (II)
Remarque
Lorsque le RSB augmente, la capacité de Shannon d’unecommunication SISO se comporte en log2(RSB).
Ainsi, on augmente la taille de la MAQ dans la même proportion,c’est-à-dire, m = r log2(RSB) avec m = log2(M).
A fort Rapport Signal-à-Bruit,
Pe ∝ 1
RSB1−r
Résultat : la diversité vaut d = 1 − r
Compromis entre la fiabilité (d) et le débit (r )
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Remarque (III)
.
1e−06
1e−05
1e−04
0.001
0.01
0.1
1
0 10 20 30 40 50
Pe
RSB (dB)
MDP2MAQ4
MAQ16MAQ64
MAQ128
r = 1 etd = 0
r = 0 etd = 1
.
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Compromis
On définit une séquence de codes vérifiant
Gain de multiplexage :
r = limRSB→∞
R(RSB)
log2(RSB)
Diversité :
d = − limRSB→∞
log Pe(RSB)
log(RSB)
Théorème
On suppose T ≥ nt + nr − 1. La courbe de compromis optimal d∗(r)est une fonction linéaire par morceaux avec les points de ruptured∗(k) pour k = 0, 1, · · · , min(nt , nr ) et où
d∗(k) = (nt − k)(nr − k)
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Illustrations
Exemple : nt = nr = 4.
rmax
dmax
Gai
nd
ed
iver
sitéd
∗(r
)
Gain de multiplexager
(3, 1)
2, 4)
(1, 9)
.
dmax = ntnr et rmax = min(nt , nr )
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Construction des codes
Constat
Des codes admettant la même diversité maximale (débit fixe)
ne gèrent pas nécessairement l’augmentation en débit de lamême manière
et donc n’admettent pas nécessairement le même gain demultiplexage
Critères de rang et du déterminant : débit fixe
« Critère » du compromis : débit variable
Critères de rang et du déterminant pas suffisant
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Code d’Alamouti (I)
Considérons nt = 2
Si T = 1, il n’y a aucun gain de diversité d’émission
Alors T > 1
X =
[s1 s2
−s2 s1
]
avec s1 et s2 deux symboles complexes
Décodage : exemple nr = 1Si {
r(1) = h(1)y(1) + h(2)y(2)
r(2) = −h(2)y(1) + h(1)y(2)
Alors {r(1) = (|h(1)|2 + |h(2)|2)s1
r(2) = (|h(1)|2 + |h(2)|2)s2
Ce décodage est en fait optimal (car XXH ∝ Id).
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Code d’Alamouti (II)
linéaire en fonction des symboles
rendement de 1 symbole par temps-symbole
dAlamouti(r) = 2nr (1 − r)+
Diversité maximale : 2nr
Rendement maximal : 1
Code d’Alamouti vérifie le compromis optimal ssi nr = 1
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Code V-BLAST
nr ≥ nt .Principe de multiplexage spatial
X =
s1 snt+1 s2nt +1 · · ·...
snt s2nt s3nt · · ·
linéaire en fonction des symbolesrendement de nt symboles par temps-symbole (plein)
dV−BLAST(r) = (2 − r)+, si (nt = nr = 2)
Diversité dmax maximale : nr
Rendement rmax maximal : nt (≤ nr )
Le code V-BLAST ne vérifie jamais le compromis optimal
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Codes orthogonaux
Codes tels que XXH ∝ Id
Décodage ML possible par transformation linéaire
Compromis « mauvais » (sauf Alamouti(1,2))
Résultats
nt = 2 :nr = 1 : optimalnr > 1 : pas optimal
nt > 2 :rendement de 1 maximumdiversité maximale de ntnr
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Code d’Or
Pour nt = nr = 2, on a
X =1√5
[α(s1 + s2θ) α(s3 + s4θ)
iα(s3 + s4θ) α(s1 + s2θ)
]
avec
θ = (1 +√
5)/2 et θ = (1 −√
5)/2
α = 1 + i − iθ et α = 1 + i − iθ
Extension possible pour nt = 3, 4 et 6 (codes parfait)
Adaptable aux cas nr > nt
Le code d’Or atteint le compromis optimal
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Performances : compromis
Exemple : nt = 2, nr = 2
.
1
3
4
1 2
2
Gai
nd
ed
iver
sitéd
∗(r
)
Gain de multiplexager
dmax
rmax
Code V-BLAST
Code d’Alamouti
Compromis optimal + code d’Or
.Philippe Ciblat Théorie de l’information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 33 / 34
Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes
Bibliographie
Théorie de l’information :
L. Zheng, D. Tse, "Diversity ans Multiplexing : a fundamental trade-off inmultiple antennas channels", IEEE Trans. on Information Theory, Mai 2003.E. Biglieri, J. Proakis, S. Shamai, "Fading channels : information-theoreticand communications aspects", IEEE Trans. on Information Theory, Oct.1998.I. Telatar, "Capacity of multi-antenna Gaussian channels", ETT, Nov. 1999.
Construction de code :
V. Tarokh, N. Shesadri, A. Calderbank, "Space-time codes for high data ratewireless communication : performance criterion ans code construction",IEEE Trans. on Information Theory, Mars 1998.S. Alamouti, "Space-time block coding : a simple transmitter diversitytechnique for wireless communications, IEEE JSAC, Oct. 1998.G. Foschini, "Layered space-time architecture for wireless communicationin a fading environment when using multiple antennas", Bell Labs TechnicalJournal, 1996.J.C Belfiore, G. Rekaya, E. Viterbo, "The Golden code : a 2 × 2 full ratespace time code with non vanishing determinants", IEEE Trans. onInformation Theory, Avril 2005.
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