Analysed’une structure

caténaire parune méthode

graphique

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

Qu’est-ce qu’une structure caténaire ?

Une structure caténaire est une structure qui, lorsqu’elle est soumise à un ensemble de charges donné, est sollicitée uniquement en tension ou en compression.

Une corde à linge représente un bon exemple de structure caténaire. Sous le poids des vêtements qui y sont suspendus, la corde va se déformer pour adopter une géométrie qui assure son équilibre statique mais en ne générant que des efforts de tension car elle possède une résistance nulle en compression ou en flexion.

2

Forme caténaire

On distingue deux types de formes caténaires. D’une part, les câbles suspendus qui sont sollicités uniquement en traction et, d’autre part, les arches qui sont sollicitées uniquement en compression.La forme caténaire est associée à une combinaison de charges donnée. Dans le cas des structures tendues, elles ne peuvent supporter aucun effort de flexion ce qui signifie que toute variation des charges amène une modification de géométrie. Quant aux structures comprimées, elles sont rigides et doivent résister aux efforts de flexion qui peuvent être causés par des variations de charge.

3

Équilibre statiqued’une structure

caténaire

4

5Équilibre statique des forcesà chacun des noeudsLa figure ci-dessous montre la vue en élévation d’un câble qui supporte trois charges concentrées sur une portée de 26 m.

200 kN150 kN

300 kN

G

D

10 m 6 m 6 m4 m

ab c

200 kN

a

noeud a

150 kN

b

noeud b

300 kN

c

noeud c

200 kN

a

150 kN

b

300 kN

c

polygone de forces

On peut trouver les efforts dans le câble en faisant l’équilibre des forces à chacun des noeuds.En regroupant les polygones de forces obtenus à chacun des noeuds, on peut tracer un polygone de forces pour la structures entière.

6Méthode graphiqueOn peut utiliser la méthode graphique pour tracer le polygone de forces. Par convention, on désignera par la lettre O l’espace en-dessous du câble et par des lettres les intervalles entre les forces au-dessus le câble.

200 kN

150 kN300 kN

G

D

10 m 6 m 6 m4 m

Polygone de forces

O

A B C D

a

b

c

d

o

diagramme de forme

7Méthode graphiqueSi on inverse le polygone de forces en plaçant le point O à gauche de l’axe vertical des charges externes sur le polygone de forces, on obtient alors une arche de forme caténaire où toutes les membrures sont sollicitées en compression.

D

Polygone de forces

O a

b

c

d

o

200 kN

150 kN300 kN

G10 m 6 m 6 m4 m

A B C D

diagramme de forme

8Réactions d’appuiLe polygone de forces nous permet de trouver les réactions d’appui aux extrémités du câble. On pourrait décomposer ces réactions en deux composantes orthogonales, l’une verticale, l’autre horizontale.

200 kN

150 kN300 kN

G

D

10 m 6 m 6 m4 m

Polygone de forces

O

A B C D

a

b

c

d

o

D

Dh

Dv

G

Gh

Gv

résultantedes forcesexternes

diagramme de forme

9Multiplicité des formes caténairesEn déplaçant le point o sur le polygone de forces, on obtient une autre forme caténaire pour le câble.

200 kN

150 kN300 kN

10 m 6 m 6 m4 m

Polygone de forces

O

A B C D a

b

c

d

o

G

D

diagramme de forme

10

En déplaçant le point o sur le polygone de forces, on obtient une autre forme caténaire pour le câble.

200 kN

150 kN300 kN

10 m 6 m 6 m4 m

Polygone de forces

O

A B C Da

b

c

d

o

G

D

Multiplicité des formes caténaires

diagramme de forme

11Corde de fermeture et point zQuelle que soit la forme caténaire retenue, la corde de fermeture croisent toujours l’axe vertical du polygone de forces au même point z

Polygone de forces

a

b

c

d200 kN

150 kN300 kN

10 m 6 m 6 m4 m

O

A B C D

G

D

D

D

corde de fermeture

corde de fermeturecorde de fermeture

z

diagramme de forme

12

Polygone de forces

a

b

c

d

z

250 kN

400 kN

Signification physique du point z

Toutes les formes caténaires associées au même cas de charge possèdent le même point z. Physiquement, ce point définit les réactions d’appui d’une poutre simplement appuyée qui supporterait les mêmes charges.

200 kN150 kN

300 kN

10 m 6 m 6 m4 m250 kN 400 kN

Sur le polygone de forces, le point o est toujours situé sur une ligne parallèle à la corde de fermeture et passant par le point z.

o

o

o

Résultante des forces 13

200 kN

150 kN300 kN

10 m 6 m 6 m4 m

corde de fermeture650 kN

200 kN

150 kN300 kN

10 m 6 m 6 m4 m

corde de fermeture

650 kN

Comme la résultante des forces externes (650 kN) forme avec les deux réactions d’appui un ensemble de 3 forces non-parallèles, ces trois forces convergent vers un même point.

200 kN

150 kN300 kN

10 m 6 m 6 m4 m

corde de fermeture

650 kN

Forme caténairepassant pardeux points

14

Exemple 15

On souhaite construire un voile de béton qui épouse une forme caténaire pour recouvrir un gymnase annexé à une école secondaire. Le voile de béton fait 10 cm d’épaisseur et on souhaite que ce voile passe par les deux points d’appui illustrés à la figure ci-dessous. Sachant que la charge totale majorée (wf) est égale à 8 kN/m2 et que la contrainte admissible dans le béton est égale à 5 MPa, tracez la forme du voile caténaire qui passe par les deux points d’appui illustrés sur la figure ci-dessous.

50 m

10 m

Exemple - étape 1 16

On subdivise notre structure, par exemple, en 10 intervalles de 5 m de largeur (plus le nombre d’intervalles sera élevé, plus la courbe tracée sera précise). Si on considère une bande de toiture de 1 m de largeur (dans la direction perpendiculaire à l’illustration), on trouve alors que le voile supporte 9 charges concentrées Pf = 8 kN/m2 x 5 m x 1 m = 40 kN.

50 m

10 m

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

diagramme de forme

Exemple - étape 2 17

50 m

10 m

a

b

cd

ef

gh

ijA B C D E F G H I J

Oz

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

On place le point o arbitrairement sur le polygone de forces et on trace une courbe caténaire associée à ce polygone.

On trace la corde de fermeture et on trouve le point z sur le polygone de forces.

o

polygone de forcesdiagramme de forme

Exemple - étape 3 18

50 m

10 m

a

b

cd

ef

gh

ij

A B C D E F G H I J

Oz

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

No

polygone de forces

o

On trace une corde de fermeture entre les deux points d’appui sur le diagramme de forme et on rapporte sur le polygone de forces une ligne parallèle à cette corde et passant par le point z.

diagramme de forme

Exemple - étape 4 19

L’effort maximal de compression dans le voile de béton ne doit pas dépasser Pr :

b

cd

ef

gh

ij

polygone de forces

o

aPr = ϕ σadm x A = 0,6 x 5 N x 1000 mm x 100 mm mm2 1000 = 300 kN

On place un nouveau point o sur le polygone de forces de telle sorte qu’il soit situé sur la corde de fermeture et que l’effort maximal dans l’arche (i.e. la force oa dans ce cas-ci) soit égale à 300 kN.

o

300 k

N

Exemple - étape 5 20

50 m

10 m

a

b

cd

ef

gh

ijA B C D E F G H I J

O o

z

polygone de forces

Finalement on trace un nouveau polygone de force ainsi que le profil de la structure caténaire correspondante.

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

40 k

N

o

diagramme de forme

Passerelle Traversina I

La passerelle Traversina I est un pont piétonnier construit dans les Alpes suisses en 1996. Le tablier s’appuie sur une structure formée de 23 triangles de bois de hauteur variable supportés par deux câbles paraboliques.Malheureusement cette structure spectaculaire n’a été en service que très peu de temps car elle a été détruite par une avalanche de pierres en 1999.

21

Une structure légèreLa finesse des câbles confèrent une grande légèreté à la structure qui semble flotter au-dessus du vide. Le site étant peu accessible, la passerelle est si légère (4 300 kg) qu’elle a pu être entièrement préfabriquée avant d’être transportée et déposée sur place à l’aide d’un hélicoptère.

22

23

La structure est constituée de trois parties:

Le pontage laminé en bois qui contribue à la reprise des charges latérales de vent et une main courante en contreplaqué qui contribue à rigidifier la structure verticalement.

La structure lenticulaire constitue des câbles caténaires ainsi que des cadres triangulaires en bois. L’ajout de tirants en forme de X contribue à contreventer cette structure dans la direction longitudinale de la passerelle.

Un assemblage de pièces de bois en forme de H qui unit le pontage à la structure lenticulaire. 24

25

Ces photographies illustrent quelques détails d’assemblage de la structure

26

47 m

34 m

Vue en élévation de la structure

27

s

s

Une propriété des structures caténaires supportant une charge uniformément répartie

Le «sag» d’une structurecaténaire désigne la distancemaximale entre la corde defermeture et le point le plus basde la structure (s).

Si une structure caténaire supporte une chargeuniformément répartie, les deux réactions d’appui se croisent au centre de la structure à une distance égale à 2s sous la corde de fermeture.

diagramme de forme

polygone de forces

oz

28

s

s

Réactions d’appui

Les réactions d’appui aux extrémités de la passerelle peuvent être décomposées en une force verticale, qui est transmise aux fondations, et une force parallèle au tablier qui va induire une force de compression dans le pontage en bois.

réaction d’appui

effo

rt v

ertic

al tr

ansm

is a

ux fo

ndat

ions

effort de compression dans le tablier

vue en coupe de la passerelle

Résistante aux efforts horizontaux provoqués par le vent

29

vue en plan de la passerelle

W(poids de la structure)

H (charge de vent)

charge de vent

H

W

polygone de forcesef

fort

de tr

actio

n

dans

le c

âble

cat

énai

re

effort dansle tablier

Forme caténairepassant partrois points

30

Passerelle Traversina II

31

Après la destruction de la passerelle Traversina I par une avalanche en 1999, on a décidé de reconstruire une autre passerelle, 70 m plus loin, en 2005.Cette passerelle reprend également une forme caténaire, différente de la première passerelle, mais tout aussi spectaculaire.

Passerelle Traversina II

32

La passerelle est en fait constituée d’un escalier en bois qui descend de la rive nord vers la rive sud et qui est suspendu à deux câbles caténaires. L’escalier franchit 56 m au-dessus du vide et les câbles font 95 m de portée. Les câbles de suspente qui unissent l’escalier au câble caténaire sont inclinés ce qui confère une plus grande stabilité à l’ouvrage. L’ancrage du câble caténaire au massif rocheux nécessite des culées de béton importantes.

33

56 m

95 m

Vues de l’escalier

34

Culée en béton

35

Détails d’assemblage

36

37Étape 1Sur la figure ci-dessous, nous avons identifié trois points par lesquels nous voulons que passe notre forme caténaire (les deux points d’appui ainsi que le point le plus bas).

P P P P P

Nous allons subdiviser le tablier en 6 intervalles de même largeur avec 5 charges concentrées de même intensité (P) puisque la charge est uniformément répartie sur le tablier.

38Étape 2Nous allons tracer un premier polygone de forces, et la forme caténaire correspondante, en plaçant le point o arbitrairement sur le polygone de forces.

P P P P P

diagramme de forme polygone de forces

O

A B C D E

a

b

c

d

e

f

o

En traçant la corde de fermeture sur le diagramme de forme, nous trouvons le point z sur le polygone de forces.

z

F

39Étape 3À partir du diagramme de forme nous allons tracer deux lignes reliant les trois points de notre forme caténaire situés à la verticale des trois points par lesquels nous voulons que passe notre courbe.

diagramme de forme polygone de forces

Si on ramène ces deux lignes sur le polygone de forces, l’interception de ces lignes avec l’axe vertical nous permet de placer les points x et y qui, comme le point z sont une caractéristique de toute la famille de courbes caténaires soumises au même chargement.

P P P P P

O

A B C D E

a

b

c

d

e

f

o

z

Fx

y

o-x

o-y

40Étape 4Sur le diagramme de forme, on trace maintenant deux lignes reliant les trois points par lesquels on veut faire passer notre forme caténaire et on les ramène sur le polygone de forces à l’intersection des point x et y.

diagramme de forme

L’intersection de ces deux lignes nous donnent la position finale du point o.

polygone de forces

P P P P P

O

A B C D E

a

b

c

d

e

f

oF

o-x

x

o-y

y

z

o

On peut vérifier que la corde de fermeture (o-z) passe aussi par le point o.

o-z

41Étape 5À partir du point o, on trace notre polygone de forces et on le diagramme de forme de notre structure caténaire qui passe par les trois points souhaités.

diagramme de forme polygone de forces

P P P P P

O

A B C D E

a

b

c

d

e

f

oF

o-x

x

o-y

y

z

oo-z

42

Stabilitédes structures

caténaires

Stabilité 43

Comme nous l’avons mentionné, une forme n’est caténaire que pour uncas de charge donné. Dans la réalité, les charges varient avec le temps et une structure doit être en mesure de résister à divers types de chargement.

Dans le cas des structures caténaires tendues, la forme du câble va se modifier selon la répartition des charges qui le sollicitent. L’enjeu de stabilité consiste alors à s’assurer que les déformations que subiront la structure demeurent en-deçà de limites acceptables et que cette même structure ne soit pas soumise à des vibrations excessives.

Dans le cas des structures caténaires comprimées, la rigidité de la structure fait en sorte que sa forme ne varie pas beaucoup selon la répartition des charges qui le sollicitent. En revanche, toute variation de la répartition de la charge entraînera des efforts de flexion à l’intérieur de la structure. L’enjeu de stabilité consiste alors à s’assurer que la structure est en mesure de résister à ces efforts de flexion.

44

Une forme caténaire est associée à un cas de charge donné (généralement une charge uniformément répartie). Si la sollicitation varie, la forme varie également.

Par exemple la figure ci-contre montre un pont suspendu qui se déforme avec le passage d’un piéton.

Bien souvent, le principal défi qui se pose au concepteur n’est pas d’assurer à la structure une résistance suffisante aux efforts externes mais plutôt de lui conférer une rigidité suffisante pour que les déformations demeurent en-deçà d’un seuil acceptable.

On peut assurer la stabilité d’une structure caténaire de différentes façons.

L’une d’entre elles consiste à alourdir volontairement la structure de manière à ce que les variations de la charge vive demeurent relativement petites comparativement à la charge totale.

Cette méthode simple permet souvent de maintenir les déformations de la structure en-dessous d’un seuil acceptable. Elle présente cependant l’inconvénient majeur d’accroître les efforts internes dans la structure. 45

tablier plus lourd

46

L’aéroport de Dulles à Washington représente un bel exemple de cette stratégie. La toiture est entièrement supportée par des câbles suspendus de 66 m de portée. Des dalles de béton armé de 10 cm d’épaisseur recouvrent la toiture et leur poids (250 kg/m2) qui confère à cette toiture une grande stabilité sous les charges de vent. Les poteaux inclinés qui supportent la toiture sont très massifs pour pouvoir résister aux très grands efforts de flexion qui les sollicitent.

Exemple d’une passerelle piétonne soutenue par un câble caténaire où le poids du tablier en béton assure la stabilité de la structure.

47

48

Une autre solution consiste à rigidifier le tablier qui est supporté par la structure caténaire.

Ainsi lorsque la charge vive ne correspond pas à la charge ayant servi à définir la forme caténaire (généralement une charge uniformément répartie), une partie de la charge est reprise par la structure caténaire et l’autre partie par le tablier qui se comporte alors comme une poutre.

Dans ce cas, le tablier doit être suffisamment rigide pour reprendre une partie significative des charges externes appliquées à la structure.

49

La figure ci-contre illustre schématiquement un pont suspendu.Le câble caténaire supporte les charges uniformément réparties.Dans le cas où la structure devrait supporter une charge concentrée, la poutre en treillis qui supporte le tablier du pont sera sollicitée en flexion pour résister à cette charge.

diagramme de moment

Photographie montrant les déformations du tablier du Lion Gates Bridge à San-Francisco sous l’action du vent. Des modifications structurales ont ultérieurement été apportées pour accroître la rigidité du tablier.

50

La photographie de gauche montre le pont Georges Washington à New York peu après sa construction. On constate que le tablier est très mince et que toute les charges est reprise par les câbles suspendus. La photographie de droite montre le même pont après que le tablier ait été profondément modifié pour accroître sa rigidité et assurer une plus grande stabilité de la structure.

51

Exemple d’une arche caténaire qui supporte un tablier de pont. Dans cet ouvrage, on a choisi d’accroître la rigidité du tablier pour assurer la stabilité de l’arche.

52

Infante Bridge, Portugal

53

Federal Reserve BankMinneapolis

54

Tout le bâtiment est supporté par une structure caténaire pour libérer une esplanade de 82 m de portée sous le bâtiment.

Federal Reserve Bank, Minneapolis

55

56

Federal Reserve BankMinneapolis

Le treillis au sommet de bâtiment assure la stabilité de la structure en plus de résister aux forces horizontales importantes imposées aux points d’appui de la structure caténaire.

New River George BridgeVirginie, États-Unis

57

Contrairement aux exemples précédents, on a choisi ici de donner plus de volume à l’arche pour accroître sa rigidité et assurer sa stabilité.

58

Cold Springs BridgeCalifornie

Dans cet exemple on a voulu amincir le tablier au maximum et conférer aux deux arches en acier une rigidité suffisante pour assurer la stabilité de la structure.

Cold Springs Bridge, Californie

59

Salginatobel Bridge, Suisse

60

Conçu par Robert Maillart à l’aide de la méthode graphique, le Salginatobel Bridge est un ouvrage très célèbre qui franchit une portée de 90 m dans les montagnes suisses.Toutes les charges sont supportées par une arche en béton de 30 cm d’épaisseur.La stabilité de l’ouvrage est assurée pour un mince voile de béton placé au-dessus de l’arche et capable de résister aux efforts de flexion qui pourraient être causés par divers cas de charge.

61

Salginatobel Bridge, Suisse

62

Salginatobel Bridge, Suisse

voile de bétonstabilisateur

63

voile de bétonstabilisateur

Salginatobel Bridge, Suisse

64

Une troisième stratégie consiste à ajouter des diagonales entre la structure caténaire (câble ou arche) et le tablier. La structure acquiert alors la capacité de travailler comme un treillis pour reprendre les efforts de flexion qui pourraient être associés à différents profils de charge qui sollicitent la structure.

65

Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence de diagonales permet de réduire la taille des membrures.

Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence de diagonales permet de réduire la taille des membrures.

66

Passerelle Traversina I

67

Passerelle Traversina II

68

69

Une quatrième stratégie consiste à retenir certains points de la structure caténaire pour prévenir son déplacement latéral.

Plus le nombre de points de retenue sera élevé, plus la structure sera stable

Dans cette structure, la voûte en verre se comporte comme une arche caténaire et une série de câbles radiaux lui confère une grande stabilité en limitant le déplacement des noeuds

70

Broadgate Office BuildingLondres

71cette membrure travaille en tension pour ne transmettre

que des charges verticales aux fondations

ces membrures restreignent les déformations del’arche et réduisent sa longeur de flambement

72

Broadgate Office Building, Londres

Une cinquième stratégie consiste à utiliser des câbles stabilisateurs qui adoptent une forme caténaire de courbure inversée p/r à la structure porteuse. Le câble porteur supporte toutes les charges orientées vers le bas alors que le câble stabilisateur reprend toutes les charges dirigées vers le haut

Cette méthode offre l’avantage de préserver la légèreté de la structure et, par conséquent, de réduire les efforts internes.

73

câble porteur

câble porteur

câble stabilisateur

câble porteur

câble stabilisateur

câble stabilisateur

(a) le câble stabilisateur est placé sous le câble porteur

(b) le câble stabilisateur est placé au-dessus câble porteur

(c) les deux câbles se croisent

74

La photographie ci-contre montre un pont suspendu en acier avec un tablier très mince qui est rigidifié à l’aide d’un câble stabilisateur qui adopte une forme caténaire de courbure inversée p/r au câble porteur.

câble porteur

câblestabilisateur

Exemple du toiture en verre conçue par Renzo Piano et qui utilise le principe d’une structure caténaire constituée d’un câble porteur jumelé à un câble stabilisateur.

75

câble porteur

câble stabilisateur

76

77

Passerelle Simone de Beauvoir, Paris

78

Passerelle Simone de Beauvoir, Paris

79

Passerelle Simone de Beauvoir, Paris

80

Optimisationde treillis

81

82

a

b

c

g

d

e

f

1

2,3

4,5

6,7

8,9

10

On peut optimiser la forme d’un treillis en s’inspirant des formes caténaires.Par exemple, pour le treillis illustré ci-contre, l’aile inférieure du treillis suit une forme caténaire. L’effort de compression est donc constant sur toute les membrures de l’aile supérieure et les efforts internes sont nuls dans les diagonales (qui pourraient alors être supprimées).

BA EC

2

G

FD

1 43 5

786

9 10

polygone de forces

diagramme de forme

forme idéale

Alamodome Stadium, San Antonio, Texas

83

Alamodome Stadium, San Antonio84

Alamodome Stadium,San Antonio, Texas

Toute la toiture du stade repose sur deux immenses treillis de 110 m de portée. La forme de ces treillis a été optimisée pour la corde inférieure reproduise une forme caténaire.

110 m

Alamodome Stadium, San Antonio, Texas

85

Alamodome Stadium, San Antonio, Texas

86

Alamodome Stadium, San Antonio, Texas

87

On pourrait également souhaiter que la charge soit uniforme sur toute la membrure inférieure du treillis.Dans ce cas, on tracerait un arc de cercle sur le polygone de forces de façon à ce que la force soit la même sur toute l’aile inférieure du treillis.Cela signifie que l’on devrait incliner les membrures verticles et que les efforts sont toujours nuls dans les diagonales. 88

1

a

b

cg

d

e

f

1

2,3

4,5

6,7

8,9

10polygone de forces

A B C D E F

G

12 3

45 6

78 9

10

diagramme de forme

forme idéale

Exemple d’un pont en arche où l’on a incliné les membrures verticales pour que la force de compression soit uniforme tout au long de l’arche.

89

Passerelle Solferino, Paris

90

Passerelle Solferino, Paris

91

92

Passerelle Solferino, Paris

forme idéale

On peut souhaiter que les deux ailes de treillis adopte une forme caténaire.Dans ce cas, on obtient une structure dite lenticulaire.Encore une fois les membrures diagonales ne reprennent aucun effort.

93

1

BA

C D E F

1 23

45 6

78

9 10

polygone de forces

diagramme de formea

b

c

gd

e

f

1

10

2,3

4,56,78,9

égal

égal

Exemple de pont adoptant une forme lenticulaire

94

Treillis lenticulaire soutenant une toiture

95

En applicant la même logique d’optimisation pour concevoir une ferme de toiture à deux versants inclinés, on obtiendrat les figures illustrées ci-contre.C’est exactement la démarche adoptée par Robert Maillart pour la conception de son Magazzini Generali.

96

A

B

C D

E

F

1 23 4

5 6

7 89 10

forme idéale

diagramme de forme

f

a

b

cg

d

e

1

10

6,7

8,92,3

4,5

polygone de forces

Magazzini Generali, Suisse

97

Magazzini Generali, Suisse

98

Magazzini Generali, Suisse

99

On pourrait appliquée la même logique à une tour soumise à des charges horizontales de vent et on obtiendrait alors... la tour Eiffel.

100

A

B

C

D

E

F

G

12

34

56

789

1011

diagrammede forme

a b c d e f gh,

1,12

3,4

5,6

7,8

9,10

11

polygonede forces

formeidéale

Tour Eiffel, Paris

101