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Exemples de structures
caténaires tendues
ARC-2007 Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
Exemple 1
Passerelle piétonne Suransuns
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Cette passerelle piétonne, conçue par Jürg Conzett et construite en 1999, franchit une portée de 40 m au-dessous d'un cours d'eau dans les Alpes suisses. Le dénivellé entre les deux points d'appui est de 4 m et le concepteur a voulu réduire la flèche au maximum pour créer une silhouette mince et élancée qui donne l'impression de flotter au-dessus du cours d'eau.
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Le tablier de la passerelle est constitué de plaques de granit de 6x25x110 cm alignées bout-à-bout et simplement déposées sur deux rubans d'acier inoxydable de 15x180 mm. Le garde-corps, minimaliste, est constitué de minces tiges d'acier (16 mm de diamètre) espacées à 30 cm c/c.
Puisque le granit possède une masse volumique de 2700 kg/m3 (2,7 kN/m3), le poids du tablier est égal à 1,62 kN/m2 (i.e. 2,7 kN/m3 x 0,06 m). On estime le poids de l'acier (rubans + garde-corps) à environ 38 kg/m2 ce qui donne une charge morte (wD) de 2 kN/m2 (i.e. 1,62 + 0,38 kN/m2).
La charge d'utilisation pour ce type de passerelle est égale à 2,5 kN/m2 selon les normes suisses et la charge de neige dans cette région est évaluée à 3 kN/m2. Comme charge vive (wL) nous retenons la plus élevée de ces deux valeurs i.e. 3 kN/m2.
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La charge totale majorée (wF) est donc donnée par:
La charge totale supportée par la passerelle (W) est égale à:
Le concepteur veut que le tablier de la passerelle soit tangent à l'horizontale en son point le plus bas (l'extrémité droite). Sur le diagramme de forme, on peut donc tracer la ligne de fermeture (qui relie les deux points d'appui et une ligne horizontale passant par l 'appui droit . On peut ensuite reporter des droites parallèles à ces deux lignes sur le polygone de forces et le croisement de ces droites nous permet de localiser le point focal o.
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On peut alors diviser arbitrairement la structure en dix tranches de 4 m et appliquer une force verticale de 31 kN au centre de chacune de ces tranches. Après avoir compléter le polygone de forces, on peut finalement tracer le profil de la structure caténaire sur le diagramme de forme. Le polygone de forces nous indique que l'effort de tension maximale dans la structure caténaire est égal à 1630 kN ce qui est 5 fois plus élevé que la charge totale supportée par la passerelle (310 kN).
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Le profil très plat du polygone de forces témoigne du fait que la structure est fortement sollicitée p/r aux charges qu'elle supporte. Sur le diagramme de forme on peut aussi mesurer que la flèche n'est que de 1 m pour une portée de 40 m ce qui nous donne un profil très élancé (s/L = 1/40). On aurait pu accroître la flèche pour réduire les efforts de tension... mais c'est justement l'aspect très plat et élancé du tablier qui confère à la passerelle toute son élégance.
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L'effort résistant en traction (Tr) des deux rubans d'acier qui supportent le tablier est égal à:
Si l'acier possède une contrainte admissible (Ft) de 350 MPa, on trouve alors que:
Comme l'effort résistant (Tr) est plus grand que l'effort maximal appliqué (Tf), la structure est donc capable de supporter les charges qui lui sont imposées.
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Le polygone de forces indique que la réaction d'appui horizontale est élevée (1600 kN) aux extrémités de la structure. Pour transférer cette charge aux appuis, on a choisi de les ancrer directement au roc qui est affleurant à la surface. Cela nécessite l'installation de tirants d'ancrage en acier de 15 m de longueur aux deux extrémités de la passerelle.
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Reste à assurer une stabilité suffisante à la structure. Le garde-corps est trop léger pour offrir un quelconque soutien. Pour cet ouvrage, le concepteur a choisi d'utiliser la technique du tablier post-contraint pour accroître la stabilité de la structure. Dans un premier temps, le tablier en granit vient buter sur une plaque d'acier ancrée dans la fondation en béton. Puis, à l'aide d'un vérin hydraulique portable fixé à un crochet en forme de C, on applique une force de tension sur le ruban en acier, qui s'étire, et on place alors une plaque en acier pour combler l'espace vide créé entre la plaque d'acier encastrée dans le béton et le crochet. On termine en relâchant la tension et en retirant le vérin hydraulique. En voulant reprendre sa longueur initiale, le ruban vient buter sur le tablier en granit pour lui imposer une effort de compression. Le tablier agit alors comme une arche inversée qui est beaucoup plus rigide qu'un câble suspendu. Toute charge additionnelle qui sera imposée au tablier diminuera la compression dans les dalles de granit sans modifier la tension dans les rubans en acier.
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Passerelle Suransuns
Passerelle Suransuns
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Exemple 2
Passerelle piétonne Traversina I
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Comme second exemple, nous analyserons une autre passerelle piétonne conçue par le même ingénieur, Jürg Conzett, et construite à proximité de la passerelle Suransuns, la passerelle Traversina I est juchée à 34 m au-dessus d'une vallée étroite sur un site de montagne peu accessible. Pour cette raison, il a été décidé au départ que la passerelle serait entièrement préfabriquée puis transportée par hélicoptère et déposée sur le site. Ainsi, le poids de chacune des composantes ne devait pas excéder 4300 kg, ce qui correspond à la capacité de levage du plus gros hélicoptère disponible. On a ainsi séparé la structure en deux composantes.
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D'abord une sous-structure, de forme lenticulaire, constituée de deux câbles porteurs de forme caténaire unis par des cadres triangulaires en bois et des tirants en acier en forme de X qui confèrent à l'ensemble une bonne rigidité. Puis, une superstructure constituée de cadres en bois en forme H déposée sur la sous-structure.
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Un pontage en bois et des panneaux de contreplaqué servant de garde-corps sont ensuite installés sur place pour compléter la superstructure. Cette superstructure permet le passage des piétons et sa géométrie en forme de U confère à l'ensemble une grande rigidité qui procure une meilleure rigidité à la structure portante lenticulaire et réduit les vibrations occasionnées par le passage des piétons.
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Le poids total est estimé à 12 tonnes ce qui signifie que la charge morte linéaire est égale à:
La charge vive correspond à la charge maximale de neige dans cette région (3 kN/m2) ce qui donne:
La charge totale majorée est donc égale à:
Pour le câble caténaire, le concepteur a choisi un rapport flèche/portée (s/L) de 1/10 ce qui signifie que la flèche au centre du câble est égale à:
La charge totale supportée par la passerelle (W) est égale à:
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Cela signifie que chacun des deux câbles supporte une charge de 180 kN (360 kN/2). Puisque la charge verticale est uniformément répartie sur toute la longueur de la structure, on peut localiser directement le point focal o sur le polygone de forces en faisant se croiser les deux segments d'extrémité à une distance égale à 9,4 m (i.e. 2 x 4,7 m) en-dessous de la corde de fermeture au centre de la portée.
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on divise la portée en 10 intervalles de 4,7 m et, au centre de chaque intervalle, on place une charge verticale de 18 kN (i.e. 180 kN/10). On peut alors compléter le polygone de forces et tracer le diagramme de forme du câble caténaire. Le polygone de forces nous indique que l'effort de tension maximal dans le câble est égal à 245 kN et qu'i l est situé à l'extrémité gauche de la passerelle. Contrairement à la passerelle Suransuns, la composante horizontale de la réaction d'appui aux extrémités de la passerelle n'est pas transmises aux fondations mais reprise par le tablier en bois qui est sollicité en compression
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La passerelle doit aussi résister à une charge latérale de vent qui est estimée à 1,3 kN/m. C'est pour cette raison que le concepteur a choisi de ne pas placer les deux câbles caténaires dans un plan vertical mais de les incliner pour créer une structure lenticulaire. La vue en plan de la passerelle montre que, dans le plan horizontal, les deux câbles agissent aussi comme une structure caténaire pour résister aux charges de vent. Si, comme précédemment, on divise la portée en 10 intervalles de 4,7 m, on peut placer, au centre de chaque intervalle, une charge horizontale (P) égale à:
La flèche horizontale du câble (s) est donnée par:
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Comme la charge est uniformément répartie on peut localiser facilement le p o i n t f o c a l o s u r l e polygone de forces en faisant se croiser les deux segments d'extrémité à une distance de 3,7 m (i.e. 2 x 1,85 m) sous la corde de fermeture au centre de la portée. Il suffit alors de compléter le polygone de forces et de tracer le diagramme de forme du câble. On mesure alors que l'effort de tension maximal induit dans le câble caténaire par l'action des forces horizontales est égal à 290 kN.
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L'effort de tension maximal dans le câble (Tf) est obtenu en additionnant l'effort causé par la charge verticale à celui causé par la charge horizontale:
Si les câbles porteurs sont construits avec un acier qui possède une contrainte admissible (Ft) de 1200 MPa, leur diamètre (d) est égal ou supérieur à:
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La passerelle est constituée de 24 cadres verticaux espacés d'environ 2 m c/c. Pour dimensionner les membrures en bois qui relient les câbles porteurs au tablier de la passerelle, on peut isoler l'un de ces cadres (nous choisirons celui du milieu où les membrures sont les plus longues) et tracer le diagramme de corps libre d'un point a situé au centre du tablier. Quatre charges convergent vers ce point: une charge verticale correspondant à la somme du poids de la structure et de la charge d’utilisation (Pf), une charge horizontale causée par le vent (Hf) ainsi que deux forces de compression, F1 er F2, dans les membrures diagonales qui relient les câbles porteurs au tablier.
F1 F2
4,7 m
4,7 m
4,1 m
a
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La charge verticale (Pf) et la charge horizontale causée par le vent (Hf) sont respectivement égales à: À partir du diagramme de corps libre, on peut tracer le polygone de forces au point a pour trouver les deux forces inconnues F1 er F2. On trouve alors que la charge maximale de compression dans les poteaux (Pf) est égale à 15,4 kN.
(b) polygone de forces(a) diagramme de corps libre
F1
3,9 kN
F2
4,7 m
4,7 m
4,1 m 15
,4 k
N
3,9 kN
= 13
,1 kN
F 1
a
15,4 kN= 4,1 kN
F2
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Pour faciliter les assemblages, les membrures diagonales sont constituées de 4 pièces de bois carrées. Chacune de ces pièces doit donc résister à une charge de compression de 3,3 kN (i.e. 13,1 kN/4). Puisque l'on utilise du bois de sciage de très bonne qualité (de type Sapin Douglass select structural), on consulte le tableau 2.8 et on trouve que la contrainte admissible en compression (Fc) est égale à 9,5 MPa et que le module élastique (E) est égal à 8,5 MPa. En utilisant la feuille EXCEL conçue pour le dimensionnement des profilés sur mesure on en conclut que les membrures diagonales peuvent être constituées par l'assemblage de 4 profilés de 65 x 65 mm (3" x 3").
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Passerelle Traversina I
Passerelle Traversina I
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Exemple 3
Passerelle piétonne Traversina II
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En 1999, trois ans seulement après sa construction, la passerelle Traversina I s'est effondrée, emportée par une avalanche de neige. Pour la remplacer une seconde passerelle a été construite 70 m plus loin en 2005 et sa conception a été confiée au même ingénieur que la précédente, Jürg Conzett. Cette nouvelle passerelle est en fait constituée d'un escalier en bois suspendu à deux câbles caténaires. L'escalier franchit une portée de 56 m avec 23 m de dénivelé.
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Deux systèmes ont été combinés pout assurer la stabilité de la structure et lui donner une grande rigidité. On a d'abord choisi d'utiliser des suspentes inclinées plutôt que verticales pour créer un effet de triangulation qui donne à la structure plus de rigidité dans l'axe vertical.
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Pour assurer la stabilité horizontale de la structure, et lui conférer une bonne résistance aux charges de vent, on a par la suite choisi de disposer quatre poutres en bois assez massive de chaque côté de la voie piétonne. Ces poutres sont liées par des profilés en acier en forme de I dans l'axe perpendicula i re et des t i rants formant un juxtaposi t ion de contreventements en forme de X sous le tablier. Cette structure agit comme une grosse poutre placée à plat qui reprend tous les efforts horizontaux alors que tous les efforts verticaux sont transférés aux câbles porteurs via les câbles de suspente inclinés. La série de huit poutres placées de part et d'autre du tablier éloigne aussi le piéton du vide et, par son aspect massif, dégage un sentiment de sécurité propre à rassurer le promeneur.
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La charge morte de la structure (wD) est estimée à 5 kN/m et la charge vive (wL) est toujours égale à 3 kN/m (i.e. la charge de neige à cet endroit). La charge totale majorée (wF) est donnée par:
La charge totale supportée par chacun des deux câbles porteurs (W) se calcule facilement:
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On connaît l'inclinaison souhai-tée du câble à l'appui gauche (une pente de 5:12) et on sait que la force externe résultante (300 kN) est située dans l'axe vertical au milieu de la portée de l'escalier. Sur le diagramme de forme, ces deux droites se croisent au point u. Puisque la force externe forme, avec les deux réactions d'appui, un système de trois forces non-parallèles, ces forces sont situées sur 3 axes qui se croisent forcément en un même point ( le point u ) . Sur le diagramme de forme on peut donc tracer une ligne qui relie le point u au point d'appui à droite de la structure pour trouver l' incl inaison de la réaction d'appui à cet endroit. En repor tant les deux l ignes pointillées sur le polygone de forces, on trouve la position du point focal o.
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On divise alors la portée de l'escalier en bois en dix intervalles de 5,6 m (56 m/10) et on place une force concentrée de 30 kN (300 kN/10) au centre de chacun de ces intervalles. On peut ainsi compléter le polygone de forces et tracer le diagramme de forme du câb le caténa i re . Le polygone de force nous révèle que la force de tension maximale dans le câble (Tf) est égale à 445 kN et qu'elle se situe à l'extrémité droite de la structure.
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En supposant que la contrainte admissible de l'acier (Ft) est égale à 1200 MPa. on peut alors calculer le diamètre minimal du câble (d) qui est donné par:
Reste à considérer la réaction d'appui horizontale aux extrémités du câble. Comme pour la passerelle Suransuns, cette composante est transmise à l'assise rocheuse mais la force d'ancrage requise est environ deux fois plus élévée que celle de la passerelle Suransuns. Cela nécessite la construction de fondations importantes en béton qui sont en partie enfouies dans le sol.
Passerelle Traversina II
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Passerelle Traversina II
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Passerelle Traversina II
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Passerelle Traversina II
Exemple 4
Terminal de l’aéroport de Dulles
à Washington
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Inauguré en 1962, le terminal de l'aéroport Dulles à Washington a été conçu par Eero Saarinen. Le toit est constitué de dalles de béton de 10 cm d'épaisseur supportées par une série de câbles caténaires espacé à 1,5 m c/c. L'extrémité des câbles est fixée à une poutre de rive en béton armé qui ramène les efforts sur une série de poteaux inclinés en béton armé espacés à 12 m c/c. La portée du toit caténaire est de 65 m.
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On peut évaluer la charge morte de la toiture de la façon suivante: dalles de béton: 24 kN/m3 x 0,1 m = 2,4 kN/m2 membrane imperméable : 0,3 kN/m2
revêtement de plafond : 0,3 kN/m2 mécanique : 0,25 kN/m2
wD =3,25 kN/m2
Le poids la toiture (325 kg/m2) permet de stabiliser la toiture et de la rendre peu sensible à l'effet de soulèvement causé par le vent. C'est un choix délibéré car il aurait été possible de construire une toiture beaucoup plus légère.
À Washington, la charge de neige est évaluée à 0,95 kN/m2. On prendra donc en considération une charge vive de 1 kN/m2 ce qui correspond à la charge minimale d'utilisation sur les toitures selon le C.N.B. (c.f. tableau 2.4). La charge totale pondérée (wF) est donc égale à :
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Comme les poteaux sont espacés à 12 m c/c, la charge totale supportée par chacun des axes structuraux (W) est égale à:
Cette force résultante forme avec les deux réactions d'appui aux extrémités du câble un système de trois forces non-concourantes qui se croisent en un point. À partir de cette prémisse, Saarinen a envisagé diverses combinaisons de hauteur et d'inclinaison des poteaux, jumelées à diverses inclinaisons des câbles aux points d'appui, avant de retenir la géométrie illustrée à la figure ci-dessous qui montre des proportions harmonieuses. Le sommet des poteaux possède une forme arrondie et la géométrie retenue fait en sorte que les câbles sont tangents à la courbe des poteaux à leur point d'appui ce qui confère une grande élégance à cet assemblage.
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Pour déterminer la forme caténaire de la toiture, on peut la diviser en 10 inter-valles égaux de 6,5 m de largeur et placer une charge concentrée de 437 kN (i.e. 4370 kN/10) au centre de chacun de ces intervalles. En reprenant l'inclinaison des câbles aux points d'appui définie précédemment, on peut construire le polygone de f o r c e s e t t r a c e r l e diagramme de forme de la structure (figure 3.136). On constate que la forte maximale de tension dans la toiture caténaire est égale à 7880 kN.
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Puisque les câbles porteurs sont espacés de 1,5 m c/c et que la largeur tributaire de la structure est égale à 12 m, la force de tension maximale dans un câble (Tf) est donnée par:
En supposant que l'acier utilisé pour les câbles possède une contrainte admissible de 1200 MPa, la diamètre minimal des câbles est égal à:
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Pour cette structure, la composante horizontale des câbles porteurs à leurs points d'appui est transmise aux fondations par l'intermédiaire de poteaux inclinés encastrés au sol. La figure ci-contre montre les forces qui s'exercent sur le plus long des poteaux inclinés. La force de tension dans le câble au sommet du poteau (7880 kN) peut être remplacer par deux composantes: l'un parallèle (5250 kN) et l'autre perpendiculaire (5430 kN) à l'axe du poteau qui les transfèrent à la fondation. La force de tension dans le câble est excentrée p/r à la base du poteau et génère un moment d'encastrement qui est égal à la force multipliée par son bras de levier (M = F x d):
Pour résister à ce gigantesque moment de flexion, Saarinen a conçu des poteau en béton armé très massifs avec un profil sculptural dont l'épaisseur atteint 6 m à la bas. Ces éléments se comportent comme des poteau-poutres puisqu'ils doivent résister à l'action combinée des effort de compression et de flexion qui les sollicitent.
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Le dimensionnement des pièces en béton armé nécessitent l'acquisition de connaissances plus poussées qui ne sont pas abordées dans cet ouvrage. Pour les fins de la démonstra-tion on peut cependant dimen-sionner ce poteau comme s'il était constitué d'un tube évidé en acier fabriqué sur mesure. En utilisant les feuilles EXCEL prévues à cet effet notre choix s ' a r r ê t e s u r u n p r o fi l é rectangulaire de 0,6 x 4 m avec des parois de 50 mm d’épais-seur. L’équation d'interaction nous donne que:
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On constate que la membrure se comporte beaucoup plus comme une poutre que comme un poteau puisque elle est sollicitée à 94% de sa résistance à la flexion et seulement à 4% de sa résistance à la compression. On constate aussi que l'effort tranchant résistant du profilé (Vr = 54059 kN) est environ 10 fois supérieur à l'effort tranchant causé par l'application des charges externes (Vf = 5430 kN). I l aura i t é té poss ib le d'accro î t re t rès significativement l'efficacité structurale des poteaux en ajoutant un tirant qui vient contrebalancer l'effort horizontal transmis par les câbles caténaires au sommet du poteau. En traçant le polygone des forces qui convergent vers le sommet du poteau, on trouve que le poteau supporterait une charge de compression deux fois plus élevée (Pf = 10 500 kN) mais que, en revanche, on éliminerait complètement le moment de flexion.
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En utilisant la feuille EXCEL conçue pour les poteaux on constate que l'on pourrait utiliser, par exemple, un poteau circulaire en acier de 850 mm de diamètre avec une paroi de 20 mm d'épaisseur pour lequel on obtient Pr =10 640 kN > Pf). La section du poteau (A = 50 580mm2) serait alors presque 9 fois inférieure à celle du poteau choisi précédemment (A = 450000 mm2) ce qui représente une économie de matériau très importante... mais qui ne servirait pas le parti architectural du projet.
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En effet, c'est l'aspect massif et sculptural des poteaux en béton armé supportant un mince voile flottant au-dessus de l'espace qui confère à l'ouvrage tout son potentiel d'expression architecturale. À cet égard l'alternative envisagée serait moins intéressante. Cela montre bien que, parfois, la recherche de la plus grande efficacité structurale n'offre pas pas la meilleure solution architecturale.
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Terminal de Dulles à Washington
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Terminal de Dulles à Washington
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Terminal de Dulles à Washington
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Terminal de Dulles à Washington
Exemple 5
Le centre de foire Hall 26
à Hanover
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Construit en 1996 à Hanovre en Allemagne, le Hall 26 est un centre de foire conçu par Thomas Herzog. Le bâtiment est constitué de trois toitures caténaires d’environ 55 m x 115 m supportées par des cadres triangulés en acier de 22,5 m de hauteur. La forme de bâtiment a été choisie, non seulement pour sa grande efficacité structurale qui permet de dégager de grands espaces sans appuis verticaux, mais aussi parce qu'elle facilite la ventilation et l'éclairage naturels.
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La toiture est constituée de panneaux sandwich en bois supportés par une série de câbles caténaires espacés à 4,5 m c/c. Ces panneaux sont remplis de gravier pour l'alourdir et lui conférer une bonne stabilité. Dans chacune des trois travées, deux câbles stabilisateurs relient la toiture aux treillis verticaux. Ces câbles restreignent la déformation de la toiture et sont particulièrement efficaces lorsqu'il y a un amoncellement de neige au point bas de la structure. Le poids de la toiture est estimé à environ 100 kg/m2. Puisque la charge maximale de neige à Hanover est de 0,85 kN/m2, on choisira comme charge vive la charge minimale d'utilisation prévue par le C.N.B. qui est égale à 1 kN/m2. La charge totale majorée (wF) est donc égale à:
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La charge supportée par chacun des câbles caténaires est donnée par:
Pour trouver la forme du câble, on peut le subdiviser arbitrairement en 10 intervalles égaux et placer une charge concentrée de 68 kN (i.e. 680 kN/10) au centre de chacun de ces inter-valles. Sur le diagramme de forme on place d'abord les deux points d'appui que l'on relie par la corde de fermeture et on trace une ligne hori-zontale pointillée correspondant à l'élévation du point le plus bas de la courbe caténaire recherchée. On place ensuite les points a à k sur le polygone de forces.
K10 forces de 68 kN
A B C G I JD E F H
abcd
efg
h
ij
k
(a) diagramme de forme
(b) polygone de forces
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Sachant que la charge est uniformément distribuée sur la structure, on en déduit que les réactions d'appui verticales sont les mêmes aux deux extrémités du câble. Cela signifie que la corde de fermeture croisera l'axe vertical des charges externes à mi-hauteur, ce qui signifie que le point z est superposé au point f. À partir de ce point on trace une ligne parallèle à la corde de fermeture (c'est la ligne pointillée bleue) et on place arbitrairement le point focal o sur celle ligne. Après avoir complété le polygone de forces, on trace le diagramme de forme pour constater qu'il passe bien par les deux points d'extrémité, mais que son point le plus bas est situé en-dessous de la ligne pointillée. Ce point le plus bas est situé juste en-dessous de la force qui sépare les intervalles G et H. Sur le diagramme de forces on trace alors deux cordes qui relient le point le plus bas aux deux points d'appui (ce sont les deux lignes pointillées vertes). Sur le polygone de forces on trace, à partir du point o, deux l ignes para l lè les à ces cordes qu i interceptent l'axe vertical aux points x et y.
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On retourne alors au diagramme de forme pour tracer deux cordes qui relient le point le plus bas recherché aux deux points d'appui (ce sont les lignes pointillées rouge sur la figure). Sur le polygone de forces on trace deux lignes pointillées rouge qui sont parallèles à ces deux cordes et qui interceptent les points x et y sur l'axe vertical. Ces deux lignes ainsi que le prolongement de la corde de fermeture se croisent en un point o qui est le point focal recherché. Il ne reste plus qu'à compléter le polygone de forces et à tracer le diagramme de forme pour obtenir le profil de la toiture caténaire. On constate que la force de tension maximale dans le câble est égale à 1070 kN et qu'elle est située à l'appui gauche.
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Il ne reste plus qu'à compléter le polygone de forces et à tracer le diagramme de forme pour obtenir le profil de la toiture caténaire. On constate que la force de tens ion maximale dans le câble est égale à 1070 kN et qu'elle est située à l'appui gauche. En supposant que Ft = 1200 MPa, on peut calculer le diamètre minimal du câble (d) nécessaire pour supporter cette charge:
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Tâchons maintenant de dimensionner le cadre triangulé qui supporte la toiture et dont on assume que les points d'appui sont rotulés. On constate que chaque cadre supporte une largeur tributaire de 11,25 m([18+4,5]m/2). Les charges transmises au cadre par la toiture caténaire sont donc respectivement égales à 2675 kN (i.e. 1070 kN x 11,25m/4,5m) et 2440 kN (i.e. 975 kN x 11,25m/4,5m). Dans un premier temps on trace le diagramme de corps libre de la structure en indiquant les trois réact ions d'appui inconnues R1, V2 et H2. Pour calculer la réaction d'appui H2, on fait la somme des moments au point a et on trouve que:
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Pour obtenir les deux autres réactions inconnues (R1 et V1), on trace simplement le polygone des forces qui sollicitent le cadre et on trouve:
R1 = 2525 kN et V2 = 4025 kN.
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M a i n t e n a n t q u e l e s réactions d'appui sont connues, on peux tracer le diagramme de forme en y indiquant la notation par intervalles. À partir de ce diagramme, on trace le polygone de forces pour obtenir les efforts internes dans les membrures. Sur ce polygone, les efforts externes sont représentés en rouge ce qui nous permet de constater que les efforts internes dans les membrures sont importants compa ra t i vemen t aux charges externes. Ces efforts sont représentés sur le diagramme des efforts internes.
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Contrairement aux autres, le cadre triangulé à l'extrémité gauche du bâtiment ne supporte qu'une seule série de câbles caténaires. En répétant l'analyse graphique de la structure pour ce chargement on obtient les résultats présentés à la figure ci-contre.
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On constate que la charge de compression maximale dans la membrure verticale est égale à 7000 kN alors que la charge de tension maximale dans les membrures diagonales est égale à 6375 kN. Le concepteur a choisi d'utiliser des profilés évidés carrés en acier pour construire les cadres triangulés. En consultant le tableau de profilés standard on constate que le plus gros profilé disponible sur le marché nord-américain (HSS305x305x13) possède une résistance à la compression (Pr) de 1881 kN pour les conditions données (k =1 et L = 12 m) ce qui est nettement inférieure à la charge appliquée (Pf = 7000 kN). On utilise donc la feuille de calcul EXCEL destinée à calculer la résistance à la compression de profilés sur mesure. Notre choix s'arrête sur un profilé carré de 450x450x19 mm pour lequel on trouve que Pr = 7311 kN > 7000 kN. Pour les membrures sollicitées en tension on choisira un profilé de même dimension (450x450 mm) mais avec une paroi plus mince. Comme les membrures tendues ne sont pas sujettes au flambement, on peut utiliser la feuille EXCEL conçue pour les poteaux mais en utilisant une valeur de flambement Lx = Ly = 0. On choisit alors un profilé de 450x450x12 mm pour lequel Tr = 6622 kN > 6325 kN.
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