Éléments de mathématiques appliquées

1. 2014 Vincent ISOZ Sciences.ch 22 janvier 2014 Sciences.ch lments de mathmatiques appliques 3me dition revue et corrige La science au cur des savoirs, toutes disciplines confondues: des mathmatiques la mdecine, de l'astrophysique l'histoire des sciences

2. Les opinions mises dans cet ouvrage n'engagent que son rdacteur Le pictogramme qui figure ci-contre mrite une explication. Son objet est d'alerter le lecteur sur la menace que reprsente pour l'avenir de l'crit et de la connaissance le dveloppement massif du brevetage et du droit la proprit intellectuelle tout va. Toute reproduction partielle ou totale du prsent support lectronique est fortement recommande (vitez le papier quand mme pour des raisons cologiques videntes) sans autorisation de l'auteur. Le concept de proprit intellectuelle est un crime contre l'humanit...! Pour les personnes souhaitant citer le prsent document dans leurs travaux voici si besoin un exemple inspir de la norme ISO 690/AFNOR: ISOZ Vincent, lments de mathmatiques appliques, Lausanne, d. Prives, 2012, 3me version, (1re version 2001, 2me version 2005), 729 p., 1'897 nb p., PDF, 2129.7 cm (ISBN 978-2-8399-0932-7) Nouvelle prsentation dition Prive Sciences.ch 22 Chemin de Chandieu 1006 Lausanne Suisse Avant d'imprimer, pensez l'environnement Le code de la proprit intellectuelle ne s'applique en aucun cas sur le contenu de ce document quels que soient les avis divergents des diffrents auteurs du prsent PDF. Toute reprsentation ou reproduction du prsent document par quelque procd que ce soit constitue un pas vers l'acquisition de la connaissance motive par les auteurs au droit de tout chacun d'accder l'information. DANGER La copie permet l'accs pour tous la connaissance et favorise l'innovation

3. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: I TABLE DES MATIRES Introduction................................................................................................................1 Mthodes .................................................................................................................................................5 Mthode de Descartes ........................................................................................................................9 Vocabulaire .............................................................................................................................................10 Sur les sciences...................................................................................................................................10 Terminologie......................................................................................................................................12 Science et foi......................................................................................................................................14 Arithmtique...............................................................................................................17 Thorie de la dmonstration...................................................................................................................17 La crise des fondements .....................................................................................................................18 Paradoxes ......................................................................................................................................21 Raisonnement hypothtico-dductif...................................................................................................22 Calcul propositionnel .........................................................................................................................23 Propositions...................................................................................................................................23 Connecteurs...................................................................................................................................25 Procdures de dcision..................................................................................................................31 Procdures de dcisions non axiomatises...............................................................................32 Procdures de dcisions axiomatises......................................................................................32 Quantificateurs..............................................................................................................................36 Calculs des prdicats..........................................................................................................................36 Grammaire ....................................................................................................................................37 Langages .......................................................................................................................................37 Symboles..................................................................................................................................38 Termes ................................................................................................................................39 Formules .............................................................................................................................41 Dmonstrations...................................................................................................................................44 Rgles de dmonstration ...............................................................................................................45 Nombres (scalaires)................................................................................................................................59 Bases numriques...............................................................................................................................61 Types de nombres...............................................................................................................................63 Nombres entiers (nombres naturels) .............................................................................................63 Axiomes de Peano....................................................................................................................65 Nombres pairs, impairs, et parfaits ..........................................................................................66 Nombres premiers....................................................................................................................66 Nombres entiers relatifs ................................................................................................................67 Nombres rationnels .......................................................................................................................69 Nombres irrationnels.....................................................................................................................71 Nombres rels ...............................................................................................................................73 Nombres transfinis...................................................................................................................75 Nombres complexes......................................................................................................................78 Interprtation gomtrique.......................................................................................................84 Plan de Gauss...........................................................................................................................84 Formule d'Euler........................................................................................................................86 Vecteur tournant.......................................................................................................................88 Transformations dans le plan ........................................................................................................89

4. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: II Nombres quaternions ....................................................................................................................94 Nombres algbriques.....................................................................................................................110 Nombres transcendants .................................................................................................................111 Nombres abstraits..........................................................................................................................112 Alphabet Grec ..........................................................................................................................112 Domaine de dfinition..............................................................................................................113 Oprateurs ............................................................................................................................................120 Relations binaires...............................................................................................................................120 galits..........................................................................................................................................121 Comparateurs ................................................................................................................................122 Relations binaires rflexives, symtriques, antisymtriques....................................................124 Classes d'quivalences ..................................................................................................................125 Lois fondamentales de l'arithmtique.................................................................................................128 Addition ........................................................................................................................................129 Soustraction...................................................................................................................................131 Multiplication................................................................................................................................133 Division.........................................................................................................................................136 Polynmes arithmtiques ...................................................................................................................141 Valeur absolue....................................................................................................................................141 Rgles de calcul..................................................................................................................................143 Thorie des nombres...............................................................................................................................152 Principe du bon ordre.........................................................................................................................152 Principe d'induction............................................................................................................................153 Divisibilit..........................................................................................................................................155 Division euclidienne......................................................................................................................156 Plus grand commun diviseur (P.G.C.D)...................................................................................161 Algorithme d'Euclide ...............................................................................................................162 Plus petit commun multiple (P.P.C.M.)...................................................................................165 Thorme fondamental de l'arithmtique.................................................................................167 Congruences..................................................................................................................................168 Classes de congruences............................................................................................................171 Fractions continues........................................................................................................................174 Thorie des ensembles............................................................................................................................187 Axiomes de ZF (Zermelo-Frankel) ....................................................................................................191 Cardinaux......................................................................................................................................197 Produit cartsien............................................................................................................................199 Bornes ...........................................................................................................................................200 Oprations ensemblistes.....................................................................................................................201 Inclusion........................................................................................................................................201 Intersection....................................................................................................................................202 Runion/Union..............................................................................................................................203 Diffrence......................................................................................................................................205 Diffrence symtrique...................................................................................................................205 Produit...........................................................................................................................................206 Complmentarit...........................................................................................................................206 Fonctions et applications....................................................................................................................208 Loi de composition........................................................................................................................209 Loi interne/externe...................................................................................................................209 Image et noyau..............................................................................................................................209

5. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: III Fonction surjective........................................................................................................................210 Fonction injective..........................................................................................................................211 Fonction bijective..........................................................................................................................212 Fonction compose........................................................................................................................213 Thorme de Cantor-Bernstein .....................................................................................................213 Structures............................................................................................................................................216 Magma ..........................................................................................................................................218 Monodes.......................................................................................................................................218 Groupes.........................................................................................................................................221 Groupe ablien.........................................................................................................................221 Groupe cyclique.......................................................................................................................221 Anneaux ........................................................................................................................................226 Anneau ablien (commutatif)...................................................................................................227 Anneau intgre.........................................................................................................................227 Anneau factoriel.......................................................................................................................227 Sous-anneau .............................................................................................................................229 Corps ............................................................................................................................................229 Corps commutatif.....................................................................................................................229 Espaces vectoriels .........................................................................................................................231 Sous-espaces vectoriels............................................................................................................233 Algbres ........................................................................................................................................233 Homomorphismes ..............................................................................................................................234 Homomorphisme de magma .........................................................................................................234 Homomorphisme de monode.......................................................................................................234 Homomorphisme d'anneau............................................................................................................234 Homomorphisme de groupe..........................................................................................................235 Homomorphisme de corps ............................................................................................................236 Isomorphisme................................................................................................................................237 Endomorphisme ............................................................................................................................237 Automorphisme.............................................................................................................................237 Idal...............................................................................................................................................237 Probabilits ............................................................................................................................................246 Univers des vnements.....................................................................................................................246 Axiomatique de Kolmogorov.............................................................................................................248 vnements disjoints.....................................................................................................................248 vnements quiprobables............................................................................................................249 vnements conjoints....................................................................................................................250 Probabilits conditionnelles ...............................................................................................................254 Formule des probabilits composes ............................................................................................256 Formules de Bayes........................................................................................................................257 Esprance conditionnelle ..............................................................................................................259 Rseaux baysiens.........................................................................................................................262 Martingales....................................................................................................................................274 Analyse combinatoire..............................................................................................................................276 Arrangements simples avec rptition ...............................................................................................276 Permutations simples sans rptition .................................................................................................278 Permutations simples avec rptition.................................................................................................279 Arrangements simples sans rptition................................................................................................280 Combinaisons simples........................................................................................................................281

6. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: IV Coefficient binomial......................................................................................................................281 Formule de Pascal .........................................................................................................................282 Chanes de Markov..................................................................................................................................283 Types de processus stochastiques.......................................................................................................284 Matrice de transition...........................................................................................................................284 Statistiques ............................................................................................................................................292 chantillons........................................................................................................................................294 Moyennes ...........................................................................................................................................294 Moyenne arithmtique ..................................................................................................................295 Mdiane.........................................................................................................................................297 Moyenne quadratique....................................................................................................................305 Moyenne harmonique....................................................................................................................306 Moyenne gomtrique...................................................................................................................306 Moyenne mobile/glissante ............................................................................................................307 Moyenne pondre........................................................................................................................309 Moyenne fonctionnelle..................................................................................................................309 Lissage de Laplace........................................................................................................................309 Proprit des moyennes.................................................................................................................311 Types de variables..............................................................................................................................316 Variables discrtes ........................................................................................................................316 Fonction de rpartition.............................................................................................................317 Esprance discrte....................................................................................................................318 Dviation standard discrte......................................................................................................320 Relation de Huyghens.........................................................................................................323 Variable centre rduite ...........................................................................................................325 Covariance discrte..................................................................................................................326 Esprance et variance de la moyenne (erreur standard et fcp).................................................331 Coefficient de corrlation.........................................................................................................333 Variables continues.......................................................................................................................340 Densit de probabilit ..............................................................................................................337 Esprance contfinue.................................................................................................................338 Variance continue ....................................................................................................................338 Postulat fondamental de la statistique ................................................................................................338 Indice de diversit ..............................................................................................................................339 Fonctions de distribution....................................................................................................................341 Fonction discrte uniforme ...........................................................................................................342 Fonction de Bernoulli....................................................................................................................344 Fonction gomtrique....................................................................................................................345 Fonction binomiale........................................................................................................................348 Fonction binomiale ngative.........................................................................................................355 Fonction hypergomtrique ..........................................................................................................359 Fonction multinomiale ..................................................................................................................365 Fonction de Poisson ......................................................................................................................372 Fonction de Gauss-Laplace...........................................................................................................375 Somme de deux v.a. normales .................................................................................................382 Produit de deux v.a. normales..................................................................................................383 Loi normale centre rduite .....................................................................................................385 Droite de Henry........................................................................................................................386 Diagramme quantile-quantile...................................................................................................390

7. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: V Fonction log-normale....................................................................................................................391 Fonction uniforme continue..........................................................................................................395 Fonction triangulaire.....................................................................................................................398 Fonction de Pareto ........................................................................................................................401 Fonction exponentielle..................................................................................................................407 Fonction de Cauchy.......................................................................................................................409 Fonction bta.................................................................................................................................412 Fonction Gamma...........................................................................................................................415 Fonction de Khi-Deux...................................................................................................................420 Fonction de Student.......................................................................................................................424 Fonction de Fisher-Snedecor.........................................................................................................429 Fonctions de Benford....................................................................................................................431 Estimateurs de vraisemblance ............................................................................................................436 Estimateurs de la loi Normale.......................................................................................................437 Estimateurs de la loi de Poisson....................................................................................................441 Estimateurs de la loi Binomiale (et gomtrique).........................................................................442 Estimateurs de la loi de Weibull ...................................................................................................443 Estimateurs de la loi Gamma ........................................................................................................446 Facteur de correction sur population finie..........................................................................................447 Intervalles de confiance......................................................................................................................450 I.C. sur la moyenne avec variance thorique connue (test Z) .......................................................451 I.C. sur la variance avec moyenne thorique connue....................................................................455 I.C. sur la variance avec moyenne empirique connue (test du Khi-2) ..........................................460 I.C. sur la moyenne avec variance empirique connue (test-T)......................................................461 Test binomial exact .......................................................................................................................465 I.C. pour une proportion................................................................................................................468 Test de l'galit de deux proportions........................................................................................471 Test des signes ..............................................................................................................................473 Test de la mdiane de Mood .........................................................................................................476 Test de Poisson ( un chantillon) ................................................................................................479 Test de Poisson ( deux chantillons) ...........................................................................................479 Intervalle de confiance/tolrance/prdiction ......................................................................................481 Loi faible des grands nombres............................................................................................................483 Ingalit de Markov ......................................................................................................................484 Ingalit de Bienaym-Tchebychev..............................................................................................484 Fonction caractristique .....................................................................................................................488 Thorme central limite .....................................................................................................................492 Tests d'hypothses et d'adquation.....................................................................................................498 Orientation du test d'hypothse.....................................................................................................501 Puissance d'un test.........................................................................................................................506 Puissance du test Z 1 chantillon ..........................................................................................507 Puissance du test p 1 et 2 chantillons ..................................................................................510 Analyse de la variance (ANOVA 1 facteur)...............................................................................511 Test de Fisher...........................................................................................................................514 Test-t homoscdastique (test d'galit de moyennes avec variances gales)...........................520 Test-t htroscdastique (test d'galit de moyennes avec variances non gales) ...................521 Analyse de la variance (ANOVA deux facteurs sans rptition) ...............................................525 Analyse de la variance (ANOVA deux facteurs avec rptition)...............................................539 ANOVA multifactorielle mesures rptes................................................................................545

8. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VI Test C de Cochran.........................................................................................................................546 Test d'ajustement du Khi-2 ...........................................................................................................549 Test d'ajustement de Kolmogorov-Smirnov..................................................................................553 Test de normalit de Ryan-Joiner .................................................................................................559 Robustesse..........................................................................................................................................563 Statistiques de rangs...........................................................................................................................564 Tests de rangs (non paramtriques)...............................................................................................564 L-Statistiques ................................................................................................................................568 Test de la somme des rangs de Wilcoxon .....................................................................................569 Test de la somme des rangs signs de Mann-Withney..................................................................579 Traitement des galits..................................................................................................................585 Test de la somme des ranges signs de Wilcoxon pour 1 chantillon ..........................................587 Test de la somme des rangs signs de Wilcoxon pour 2 chantillons apparis ..........................590 Test de Kruskal-Wallis..................................................................................................................592 Test de Friedman...........................................................................................................................596 Statistiques des valeurs extrmes (bases sur les rangs)...............................................................599 Test de l'tendue de Tukey.......................................................................................................603 Coefficient de corrlation des rangs de Spearman........................................................................606 Calculs d'erreurs.................................................................................................................................610 Incertitudes relatives et absolues...................................................................................................610 Erreurs statistiques ........................................................................................................................611 Rptabilit ...................................................................................................................................613 Propagation des erreurs.................................................................................................................614 Chiffres significatifs......................................................................................................................615 Algbre ........................................................................................................................621 Calcul algbrique....................................................................................................................................622 quations et inquations.....................................................................................................................623 quations.......................................................................................................................................624 Inquations....................................................................................................................................626 Identits remarquables ..................................................................................................................631 Triangle de Pascal....................................................................................................................633 Binme de Newton...................................................................................................................633 Polynmes..........................................................................................................................................635 Division euclidienne des polynmes.............................................................................................637 Thorme de factorisation des polynmes....................................................................................638 quations diophantiennes..............................................................................................................640 Polynmes de degr 1 ...................................................................................................................640 Polynmes de degr 2 ...................................................................................................................641 Discriminant.............................................................................................................................642 Relations de Vite....................................................................................................................643 Nombre d'or .............................................................................................................................646 Polynmes de degr 3 ...................................................................................................................646 Polynmes de degr 4 ...................................................................................................................650 Polynmes trigonomtriques.........................................................................................................652 Polynmes cyclotomiques.............................................................................................................653 Polynmes de Legendre................................................................................................................654 Algbre ensembliste................................................................................................................................664 Algbre et gomtrie corporelle.........................................................................................................664

9. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VII Groupes cycliques.........................................................................................................................665 Groupe des racines de l'unit ...................................................................................................666 Groupe des transformations ..........................................................................................................668 Groupe linaire.........................................................................................................................668 Groupe des transformations affines .........................................................................................668 Groupe spcial linaire.............................................................................................................670 Groupe orthogonal ...................................................................................................................670 Groupe cercle...........................................................................................................................671 Groupe unitaire ........................................................................................................................671 Groupe spcial linaire............................................................................................................672 Groupes de symtries....................................................................................................................675 Groupe didral..........................................................................................................................677 Orbite et stabilisateur ...............................................................................................................678 Groupe des permutations...............................................................................................................679 Groupe altern..........................................................................................................................685 Calcul diffrentiel et intgral .................................................................................................................690 Calcul diffrentiel...............................................................................................................................690 Pente moyenne ..............................................................................................................................690 Drive premire...........................................................................................................................691 Fonction drive............................................................................................................................691 Point d'inflexion............................................................................................................................692 Thorme de Rolle........................................................................................................................694 Thorme des accroissements finis...............................................................................................695 Rgle de l'Hospital ........................................................................................................................696 Diffrentielles................................................................................................................................697 Diffrentielles partielles...........................................................................................................699 Diffrentielle totale exacte..................................................................................................699 Diffrentielle totale inexacte...............................................................................................702 Thorme de Schwarz.........................................................................................................702 Drives usuelles...........................................................................................................................705 Drive d'une somme...............................................................................................................709 Drive d'un produit.................................................................................................................709 Formule de Leibniz.............................................................................................................709 Drive d'une fonction compose ............................................................................................712 Drive d'un quotient ...............................................................................................................714 Calcul intgral ....................................................................................................................................718 Intgrale dfinie ............................................................................................................................718 Intgrale de Riemann ...............................................................................................................719 Somme de Darboux..................................................................................................................720 Intgrale indfinie .........................................................................................................................724 Thorme fondamental du calcul intgral................................................................................725 Relation de Chasles..................................................................................................................730 Intgrale double.............................................................................................................................730 Thorme de Fubini .................................................................................................................733 Intgration par changement de variable ........................................................................................734 Jacobien....................................................................................................................................738 Matrice jacobienne..............................................................................................................738 Intgration par parties ...................................................................................................................741 Primitives usuelles ........................................................................................................................742

10. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VIII Fonction de Dirac...............................................................................................................................764 Fonction Gamma d'Euler....................................................................................................................765 Expression de la factorielle ...........................................................................................................767 Constante d'Euler-Mascheroni ......................................................................................................768 Intgrales curvilignes .........................................................................................................................769 Intgrale curviligne d'un champ scalaire.......................................................................................769 Intgrale curviligne d'un champ vectoriel.....................................................................................771 Champ conservatif ...................................................................................................................771 quations diffrentielles.....................................................................................................................774 quations diffrentielles du 1er ordre ............................................................................................775 quations diffrentielles d'ordre 1 variables spares...........................................................775 quations diffrentielles linaires (E.D.L)....................................................................................775 quations homogne ESSM.....................................................................................................776 Mthode du polynme caractristique ..........................................................................................777 Rsolution de l'quation homogne de l'E.D.L coefficients constants d'ordre 1...................777 Rsolution de l'quation homogne de l'E.D.L coefficients non constants d'ordre 1............778 Rsolution de l'quation homogne de l'E.D.L coefficients non constants d'ordre 2............779 Mthode du facteur intgrant (d'Euler) .........................................................................................785 Mthode de sparation des variables.............................................................................................787 Mthode de variation de la constante............................................................................................788 Systmes d'quations diffrentielles .............................................................................................790 Mthode rgulire des perturbations.............................................................................................790 Thore perturbative des quations algbriques........................................................................795 Thorie perturbative des quations diffrentielles ...................................................................795 Suites et sries.........................................................................................................................................806 Suites..................................................................................................................................................806 Suites arithmtiques ......................................................................................................................807 Suites harmoniques .......................................................................................................................809 Suites gomtriques ......................................................................................................................810 Suite de Cauchy ............................................................................................................................811 Suite de Fibonacci.........................................................................................................................814 Sries..................................................................................................................................................815 Srie numrique ............................................................................................................................815 Srie de Gauss...............................................................................................................................816 Nombres et polynmes de Bernoulli........................................................................................820 Sries arithmtiques ......................................................................................................................825 Sries gomtriques ......................................................................................................................826 Fonction zta et identit d'Euler...............................................................................................827 Sries de Taylor et de MacLaurin .................................................................................................831 Srie de Maclaurin ...................................................................................................................832 Srie de Taylor.........................................................................................................................833 Dveloppements de Maclaurin usuels......................................................................................836 Sries de Taylor d'une fonction 2 variables...........................................................................844 Forme quadratique ...................................................................................................................846 Reste de Lagrange....................................................................................................................848 Formule de Taylor avec reste intgral......................................................................................850 Sries de Fourier ...........................................................................................................................851 Coefficients de Fourier.............................................................................................................857 Phnomne de Gibbs................................................................................................................869

11. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: IX Puissance d'un signal................................................................................................................871 Thorme de Parseval..............................................................................................................871 Transforme de Fourier............................................................................................................872 Sries de Bessel.............................................................................................................................880 Fonction de Bessel d'ordre 0....................................................................................................880 Fonction de Bessel d'ordre N ...................................................................................................886 quation diffrentielle de Bessel d'ordre N .............................................................................886 Critres de convergence .....................................................................................................................887 Test de l'intgrale ..........................................................................................................................887 Rgle d'Alembert...........................................................................................................................888 Rgle de Cauchy ...........................................................................................................................888 Thorme de Leibniz.....................................................................................................................889 Convergence absolue ....................................................................................................................889 Thorme du point fixe.................................................................................................................890 Calcul vectoriel.......................................................................................................................................897 Notion de flche .................................................................................................................................897 Ensemble de vecteurs.........................................................................................................................898 Pseudo vecteurs.............................................................................................................................899 Multiplication par un scalaire........................................................................................................900 Rgle de trois ...........................................................................................................................900 Espaces vectoriels ..............................................................................................................................902 Combinaisons linaires .................................................................................................................903 Sous-espaces vectoriels.................................................................................................................903 Familles gnratrices.....................................................................................................................903 Dpendances et indpendances.....................................................................................................904 Bases d'un espace vectoriel...........................................................................................................905 Angles directeurs......................................................................................................................906 Dimensions d'un espace vectoriel .................................................................................................907 Prolongements d'une famille libre.................................................................................................908 Rang d'une famille finie................................................................................................................909 Sommes directes ...........................................................................................................................909 Espace affine.................................................................................................................................910 Espace vectoriel euclidien.............................................................................................................912 Norme d'un vecteur..................................................................................................................912 Produit scalaire vectoriel..........................................................................................................913 Projection orthogonale........................................................................................................914 Ingalit de Cauchy-Schwartz ............................................................................................917 Ingalit triangulaire...........................................................................................................918 Produit scalaire (gnral) .........................................................................................................919 Produit vectoriel.......................................................................................................................920 Produit mixte............................................................................................................................925 Espaces vectoriels fonctionnels.....................................................................................................926 Espaces vectoriels hermitiens .......................................................................................................927 Produit hermitien......................................................................................................................929 Types d'espaces vectoriels .......................................................................................................930 Systme de coordonnes ...............................................................................................................930 Systme cartsien.....................................................................................................................931 Systme sphrique....................................................................................................................932 Systme cylindrique.................................................................................................................936

12. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: X Systme polaire........................................................................................................................938 Oprateurs diffrentiels.................................................................................................................940 Gradient d'un champ scalaire...................................................................................................940 Gradient d'un champ de vecteurs .............................................................................................944 Divergences d'un champ de vecteurs .......................................................................................945 Rotationnels d'un champ de vecteurs.......................................................................................952 Laplaciens d'un champ scalaire................................................................................................959 Laplacien d'un champ vectoriel................................................................................................964 Identits....................................................................................................................................965 Algbre linaire ......................................................................................................................................975 Systmes linaires ..............................................................................................................................976 Transformations linaires...................................................................................................................979 Matrices ............................................................................................................................................980 Matrice associe............................................................................................................................982 Oprations sur les matrices ...........................................................................................................984 Types de matrice ...........................................................................................................................986 Matrice unit ............................................................................................................................981 Matrice chelonne ..................................................................................................................983 Matrice inversible ....................................................................................................................986 Matrice transpose ...................................................................................................................986 Matrice adjointe .......................................................................................................................987 Matrice hermitique (self-adjointe) ...........................................................................................988 Matrice nilpotent......................................................................................................................988 Matrice orthogonale.................................................................................................................988 Matrice symtrique ..................................................................................................................989 Matrice anti-symtrique...........................................................................................................989 Matrice triangulaire..................................................................................................................989 Matrice diagonale.....................................................................................................................990 Matrice de passage...................................................................................................................990 Dterminants ......................................................................................................................................991 Proprits des dterminants...........................................................................................................997 Drive d'un dterminant ..............................................................................................................1003 Inverse d'une matrice ....................................................................................................................1005 Changements de base .........................................................................................................................1006 Matrice de passage........................................................................................................................1006 Valeurs et vecteur propres..................................................................................................................1008 Spectre...........................................................................................................................................1008 Polynmes caractristique.............................................................................................................1009 Matrices de rotation.......................................................................................................................1010 Thorme spectral.........................................................................................................................1012 Calcul tensoriel.......................................................................................................................................1021 Tenseur ............................................................................................................................................1021 Notation indicielle..............................................................................................................................1023 Sommation sur plusieurs indices...................................................................................................1025 Symbole de Kronecker..................................................................................................................1025 Symbole d'antisymtrie.................................................................................................................1026 Mtrique et signature..........................................................................................................................1032 Dterminant de Gram....................................................................................................................1035 Composantes contravariantes et covariantes......................................................................................1040

13. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XI Oprations dans les bases...................................................................................................................1042 Mthode d'orthogonalisation de Schmidt......................................................................................1043 Changements de bases...................................................................................................................1043 Bases rciproques..........................................................................................................................1044 Tenseurs euclidiens ............................................................................................................................1046 Tenseurs fondamental ...................................................................................................................1046 Produit tensoriel de deux vecteurs ................................................................................................1047 Espace tensoriel........................................................................................................................1049 Combinaisons linaires de tenseurs ..............................................................................................1053 Contractions des indices................................................................................................................1054 Tenseurs particuliers ..........................................................................................................................1057 Tenseur symtrique.......................................................................................................................1057 Tenseur anti-symtrique................................................................................................................1059 Tenseur fondamental.....................................................................................................................1062 Coordonnes curvilignes....................................................................................................................1063 Repre naturel en coordonnes sphriques ...................................................................................1066 Repre naturel en coordonnes polaires........................................................................................1067 Repre naturel en coordonnes cylindriques.................................................................................1068 Symboles de Christoffel.....................................................................................................................1069 Symboles de 2me espce ...............................................................................................................1072 Symboles de 1re espce ................................................................................................................1072 Thorme fondamental de la gomtrie riemanienne ...................................................................1075 Thorme de Ricci .............................................................................................................................1078 Drive de covariante....................................................................................................................1079 Identit de Ricci ............................................................................................................................1081 Tenseur de Riemann-Christoffel ........................................................................................................1085 Identits de Bianchi.......................................................................................................................1088 Tenseur de Ricci.................................................................................................................................1089 Scalaire de Ricci............................................................................................................................1089 Tenseur d'Einstein ..............................................................................................................................1101 Identit de Bianchi contracte.......................................................................................................1102 Identit d'Einstein..........................................................................................................................1102 Tenseur d'Einstein.........................................................................................................................1102 Calcul spinoriel.......................................................................................................................................1109 Spineur unitaire ..................................................................................................................................1110 Proprits gomtriques................................................................................................................1114 Symtries planes ......................................................................................................................1115 Rotations ..................................................................................................................................1118 Matrices de Pauli ................................................................................................................1121 Produit spinoriel..................................................................................................................1122 Proprits des matrices de Pauli....................................................................................................1123 Thorie des nuds..................................................................................................................................1135 Reprsentation des tresses..................................................................................................................1135 Groupe de tresses ..........................................................................................................................1137 Reprsentation des noeuds .................................................................................................................1140 Groupe de noeuds..........................................................................................................................1143 Nud de tait .......................................................................................................................................1146 Formalisation mathmatique..............................................................................................................1149 Invariant du noeud.........................................................................................................................1151

14. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XII Support du noeud ..........................................................................................................................1152 Noeud trivial .................................................................................................................................1153 Noeuds isotopes ............................................................................................................................1154 Noeuds quivalents .......................................................................................................................1154 Isotopie..........................................................................................................................................1155 Mouvements de Reidemeister..................................................................................................1155 Reprsentation planaire.................................................................................................................1158 Analyse fonctionnelle.............................................................................................................................1165 Reprsentations ..................................................................................................................................1165 Reprsentation tabulaire................................................................................................................1166 Reprsentations graphiques...........................................................................................................1166 Reprsentations planes.............................................................................................................1167 Reprsentations spatiales .........................................................................................................1169 Reprsentations vectorielles.....................................................................................................1175 Proprits des reprsentations graphiques ...............................................................................1177 Reprsentations analytiques..........................................................................................................1183 Domaine naturel de dfinition..................................................................................................1184 Fonctions............................................................................................................................................1185 Dpendances .................................................................................................................................1185 Domaine d'existence .....................................................................................................................1185 Croissance et dcroissance............................................................................................................1185 Priodicit .....................................................................................................................................1185 Parit .............................................................................................................................................1186 Composition..................................................................................................................................1188 Types de fonctions ........................................................................................................................1188 Fonction puissance...................................................................................................................1188 Fonction exponentielle.............................................................................................................1188 Fonction logarithmique............................................................................................................1189 Fonctions trigonomtriques......................................................................................................1189 Fonctions polynomiales ...........................................................................................................1189 Fractions rationnelles...............................................................................................................1189 Fonctions algbriques ..............................................................................................................1189 Fonctions en escalier................................................................................................................1189 Limite et continuit .......................................................................................................................1190 Asymptotes ..............................................................................................................................1194 Logarithmes........................................................................................................................................1198 Base nprienne ............................................................................................................................1200 Fonction exponentielle naturelle...................................................................................................1203 Produit scalaire fonctionnel................................................................................................................1205 Analyse complexe ...................................................................................................................................1213 Applications linaires.........................................................................................................................1213 Fonction complexe........................................................................................................................1213 Fonctions holomorphes ......................................................................................................................1221 Thorme de Cauchy-Riemann.....................................................................................................1222 Conditions de Cauchy..............................................................................................................1222 Orthogonalit des iso-courbes relles et imaginaires.........................................................................1227 Transformation conforme..............................................................................................................1228 Logarithme complexe.........................................................................................................................1230 Intgration de fonctions complexes....................................................................................................1231

15. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XIII Thorme de Cauchy.....................................................................................................................1233 Fonctions mromorphes................................................................................................................1235 Thorme intgral de Cauchy .......................................................................................................1235 Thorme intgral de Cauchy gnralis ......................................................................................1237 Srie de Laurent puissances positives ........................................................................................1237 Convergence d'une srie................................................................................................................1238 Dcomposition en chemins ................................................................................................................1246 Chemin inverse .............................................................................................................................1248 Sries de Laurent................................................................................................................................1249 Singularits.........................................................................................................................................1257 Singularit apparente.....................................................................................................................1258 Singularit essentielle....................................................................................................................1258 Ple................................................................................................................................................1259 Thorme des rsidus.........................................................................................................................1260 Ple l'infini .................................................................................................................................1265 Topologie ............................................................................................................................................1270 Espace topologique ............................................................................................................................1270 Espace de Hausdorff .....................................................................................................................1271 Espace mtrique et distance ...............................................................................................................1272 Semi-distance................................................................................................................................1272 Distance ultramtrique ..................................................................................................................1273 Distance euclidienne .....................................................................................................................1274 Distance hlderienne.....................................................................................................................1274 Distance discrte ...........................................................................................................................1275 Distances quivalentes ..................................................................................................................1275 Fonctions lipchitziennes................................................................................................................1276 Ensembles ouverts et ferms..............................................................................................................1277 Boules............................................................................................................................................1278 Parties............................................................................................................................................1279 Boules gnralises.......................................................................................................................1281 Diamtre........................................................................................................................................1282 Varits...............................................................................................................................................1283 Varits diffrentiables .................................................................................................................1284 Thorie de la mesure ..............................................................................................................................1290 Espaces mesurables............................................................................................................................1290 Tribu..............................................................................................................................................1290 Tribu borlienne.......................................................................................................................1293 Thorme de la classe monotone........................................................................................................1296 Gomtrie....................................................................................................................1303 Trigonomtrie .........................................................................................................................................1304 Radian ................................................................................................................................................1304 Trigonomtrie du cercle .....................................................................................................................1305 Relations remarquables..............

Education

Éléments de mathématiques appliquées