Universite Larbi ben M’hidi Oum EL Bouaghi

Departement de sciences et de la technologieExamen de Rattrapage : MATHS 040

2ieme annee ST

La date : 17− 06− 2013

Duree : 1h : 30m

Exercice 1 :(7 points)

Montrer que les fonctions avec une variable complexe suivantes sont holomorphes :

a) z 7→

sin z sur Cb) z 7→ chz sur Cc) z 7→

2z2 − 3z + i sur C

.

Exercice 2 : (7 points)

Calculer les integrales suivantes :

1) ∫γ

z

z2 − 6z + 8dz

ou γ designant le cercle | z |= 3.

2) ∫γ

zez

(z − 12)2

dz

ou γ designant le cercle unite | z |= 1.

3) ∫ +∞

−∞

dx

x4 + 1.

Exercice 3 : (6 points)

Soit les series entieres suivantes :

S(z) =+∞∑n=0

(√

3 + i)n zn

n!et T (z) =

+∞∑n=0

(√

3− i)n zn

n!

1) Calculer le rayon de convergence des series entieres S et T .

2) Calculer la somme des series entieres S et T .

3) En deduire le developpement en serie entiere les fonctions suivantes

e√

3z cos z et e√

3z sin z.

Bon courage

Responsable de module D jeddi K amel.