Simuler la physique avec un ordinateur

Simuler la physique avec un ordinateur

Bruno Lévy

Bruno LévyProgrammeur Mathématique

ALICE Géométrie & Lumière

CENTRE INRIA Nancy Grand-Est

De quoi va-ton parler ?



De physique

De mathématiques

La musique: un langage pour parler

- du temps


- du temps

- du rythme


- du temps

- du rythme

- de la hauteur des sons

Ut queant laxi,

Resonare fibris,

Mira gestorum,

Famuli tuorum,

Solve polluti,

Labii reatum.

Ut queant laxi,

Resonare fibris,

Mira gestorum,

Famuli tuorum,

Solve polluti,

Labii reatum.

Afin que tes serviteurs

Puissent chanter

à gorge déployée

Tes accomplissements merveilleux

Ote le péché

De leurs lèvres souillées

Saint Jean.


- du temps

- du rythme

- de la hauteur des sons

-

La physique: un langage pour parler

- du temps


- du temps

- de la matière


- du temps

- de la matière

- de


- du temps

- de la matière

- de

- de la lumière


- du temps

- de la matière

- de

- de la lumière

-

René Descartes - 1663

Des tourbillons

dans ?

Isaac Newton

1623-17271687

Principia Mathematica

Un langage mathématique pour

parler de la physique:

Le calcul différentiel

Les principes de Newton

(1) Inertie

(2) Principe fondamental de la dynamique

(3) Action réciproque

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie



(1) Inertie

En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie



(1) Inertie


x position

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie



(1) Inertie


x position

x vitesse

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie



(1) Inertie


x position

x vitesse

x = constante

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

x position

x vitesse

x = cte = 1mm/s

Comment simuler ce comportement sur un ordinateur ?

A chaque seconde

Décaler le rond vert

vers la droite

http://scratch.mit.edu

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie




Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces

x position

x vitesse

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie





x position

x vitesse

x accélération

F = m x

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie





x position

x vitesse

x accélération

F = m xForce

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie





x position

x vitesse

x accélération

F = m xForce

Masse

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = gComment simuler ce comportement

sur un ordinateur ?

A chaque seconde

soustraire 9.81 m/s de la

composante verticale de la vitesse

déplacer le point vert suivant

la vitesse

http://scratch.mit.edu

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g

On fait les calculs avec une certaine précision

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g


On peut augmenter cette précision

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g


On peut augmenter cette précision

Peut-on inventer un langage pour parler de ce

qui se passerait avec une précision infinie ?

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g



Les dérivées

df(t)

dtdf(x)

dx

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g



Les dérivées

df(t)

dtdf(x)

dxVariation de quelquechose

par rapport au temps

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g



Les dérivées

df(t)

dtdf(x)


par rapport au tempsVariation de quelquechose

par rapport à

Gravité

F = m g = m x

9.81 m / s / s

x = g



Les dérivées Le calcul différentiel

fantômes de quantités disparues

Newton et Leibniz

Les dérivées

df(t)

dtdf(x)


par rapport au tempsVariation de quelquechose

par rapport à

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie




Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale

mais de sens opposé.

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie






F = -FAB BA

Isaac Newton

1623-17271687






(1) Inertie






F = -F = -G mA mBAB BAd2

Gravitation

Des cordes qui vibrent et des ondes

2u

2= c2

2u

2

F = m x


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde

en temps


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde

en tempsDérivée seconde

en espace


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace

vitesse (célérité)


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace


Corde fixée à ses deux extremités

onde stationnaire

2A

2= constante x A


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace



onde stationnaire

2A

2= constante x A

A : amplitude


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace



onde stationnaire

2A

2= constante x A

A : amplitude

sin( x)


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace



onde stationnaire

2A

2= constante x A

A : amplitude

sin( x) cos( x)


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace



onde stationnaire

2A

2= constante x A

A : amplitude

sin( x) cos( x) - 2 sin( x)


2u

2= c2

2u

2

F = m x

Dérivée seconde


en espace



onde stationnaire

2A

2= constante x A

A : amplitude

sin( x) cos( x) - 2 sin( x)

Euler Lagrange

t1

t2

L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action

Hamilton, Legendre, Maupertuis

Euler Lagrange

t1

t2



Lois de la nature = minimiser

Euler Lagrange

t1

t2



Lois de la nature = minimiser = de X du temps

t1

t2


Lois de la nature = minimiser = de X du temps

t1

t2


Lois de Newton

Lois de Kepler

t1

t2


Lois de Newton

Lois de Kepler

Conservation de

t1

t2


Lois de Newton

Lois de Kepler

Conservation de

Conservation de la quantité de mouvement (p = mv)

t1

t2


Lois de Newton

Lois de Kepler

Conservation de

Conservation de la quantité de mouvement (p = mv)

Conservation du moment cinétique en rotation (gyroscope)

t1

t2


Lois de Newton

Lois de Kepler

Relativité

E=mc2

t1

t2


Lois de Newton

Lois de Kepler

Relativité

E=mc2

Physique Quantique

(Intégrale de chemins)

t1

t2


Equations (simplification)

Fluide incompressible

Mécanique des Fluides

.v = 0

t1

t2





.v = 0

Vitesse du fluide en un point

t1

t2





.v = 0

Opérateur

t1

t2





.v = 0

t1

t2





.v = 0

Si je regarde un

patatoïde

autant de fluide

qui rentre dedans et

t1

t2



Variation en espace

de la pression


t1

t2



Variation en espace

de la pression

densité


t1

t2



Variation en espace

de la pression

Gravité

densité


t1

t2



Variation en espace

de la pression

GravitéVariation en

temps de la

vitesse

densité


t1

t2



Variation en espace

de la pression

GravitéVariation en

temps de la

vitesse

densité

F = m x


Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes



https://haxiomic.github.io/GPU-Fluid-Experiments/html5/

Ampère, -aimant et le bonhomme

André-Marie Ampère

1775 - 1836

Ampère, -aimant et le bonhomme

André-Marie Ampère

1775 - 1836

Expériences

Maxwell et le champ éléctromagnétique

James Clerk Maxell

1831 - 1879


James Clerk Maxell

1831 - 1879

Avertissement: Les équations de Maxwell existent

sous plusieurs formes, décrit

ici une forme simplifiée qui met en évidence leur

symétrie.

Merci à Marie-Christine Haton qui

pointé une erreur dans la version précédente

de ces slides.


x E = -

Champ électrique


Champ électriqueVariations en temps

du champ magnétique

x E = -




Opérateur tourbillon rotationnel)

x E = -





E

x E = -





E

var. temp.

de H

x E = -


Hx H =

var. temp.

de Hx E = -


.E = 0

.H = 0

Dans patatoide élémentaire,

ce qui rentre est égal à ce qui sort

(valable pour Electricité et Magnétisme)

x E = -

x H =


2E

2

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =

= 2E1

Constantes unités relatives utilisées en

éléctricité et en magnétisme


2E

2

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =

= 2E= 2E1

c2

Leur produit vaut 1/c2

(c: vitesse de la lumière)


Dérivée seconde


en espace

2E

2=c2 2E

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =


Dérivée seconde


en espace

!!!2E

2=c2 2E

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =


Dérivée seconde


en espace

!!!2E

2=c2 2E

2H

2=c2 2H

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =


Dérivée seconde


en espace

!!!

Vitesse de propagation: c

2E

2=c2 2E

2H

2=c2 2H

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =


Dérivée seconde


en espace

!!!

Vitesse de propagation: c

LA LUMIERE EST UNE ONDE

ELECTROMAGNETIQUE !!!!!

2E

2=c2 2E

.E = 0

.H = 0

x E = -

x H =

Géométrie différentielleCarl Friedrich Gauss 1800

Bernhard Riemann 1850

courbe

courbe La relativité

Anselme Lanturlu Jean-Pierre Petit - http://www.savoir-sans-frontieres.com/

Le Geometricon / Le Topologicon / Le trou noir / Tout est relatif

http://www.savoir-sans-frontieres.com/





Simuler tout dans un ordinateur

Cédric Villani

Optimal Transport Old & New

Topics on Optimal Transport

Yann Brenier

The polar factorization theorem

(Brenier Transport)

Le Transport Optimal De Monge a Villani

Le Transport Optimal

ANR TOMMI Workshop

Mon autre présentation plus détaillée sur le transport optimal (avec les maths):http://www.slideshare.net/BrunoLevy4/optimal-transport-for-a-computer-programmers-point-of-view

Video: cf liens depuis: www.loria.fr/~levy

http://www.slideshare.net/BrunoLevy4/optimal-transport-for-a-computer-programmers-point-of-view


















http://www.loria.fr/~levy

Le Transport OptimalGaspard Monge - 1784

ANR TOMMI Workshop


Le problème de Monge:

Trouver une application T qui minimize C(T) = || x T(x) ||2 d (x)

Une application T est une application de transport entre et si

(préservation de la masse):

(T-1(B)) = (B) pour tout ss. ens. B mesurable (Borelien)


Le problème de Monge:

Trouver une application T qui minimize C(T) = || x T(x) ||2 d (x)


(préservation de la masse):

(T-1(B)) = (B) pour tout ss. ens. B mesurable (Borelien)

Principe de moindre action Lois de conservation


(T-1(B)) = (B) pour tout sous-ens. de Borel B

BT-1(B)

(X; ) (Y; )



(T-1(B)) = (B) pour tout sous-ens. de Borel B

(ou = T# le poussé en avant de )

BT-1(B)

(X; ) (Y; )


Le Transport Optimal - Kantorovich

Problème de Monge:

Trouver une app. de transport T qui min. C(T) = || x T(x) ||2 d (x)

Problème de Kantorovich (1942):

Trouver une mesure sur x

telle que x in d (x,y) = d (y)

et y in d (x,y) = d (x)

qui minimise x || x y ||2 d (x,y)

Le Transport OptimalReconstruction de primordial

Les données

The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik

pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)Le Transport Optimal

Le Transport OptimalReconstruction de primordial de

universelle

Le Transport OptimalInverser les équations de Newton / Einstein pour remonter

le temps de 14 milliards

The millenium simulation project,

Max Planck Institute fur Astrophysik

pc/h : parsec (= 3.2 light years)


The millenium simulation project,

Max Planck Institute fur Astrophysik

pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)

En 2002: 5 heures de calcul

sur un super-ordinateur / 5000 points

Peut-on faire le calcul avec

1 000 000 points ?

Oui si ans !!)

René Descartes - 1663

Diagrammes

de Voronoi

X = (x1, x2, xn) ens. de points

xi = (xi,yi points

Diagrammes de Voronoi

X = (x1, x2, xn) ens. de points

xi = (xi,yi

Vor(i) = { x / d(x,xi) < d(x,xj) } j









hi






Expérience numérique - translation




Expérience numérique: Un disque devient deux disques


Expérience numérique: Une sphère devient un cube


Expérience numérique: Armadillo devient une sphère


Expériences numériques: Autres exemples


Expérience numérique: densité variable


Il y a quelques années(2002), 5 heures de calcul sur un super-ordinateur

Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 10 secondes sur un PC portable !

Expériences numériques: performances


Calcul pour 5000 points (5000 amas

Prendrait 4500 ans (même sur un ordinateur actuel), algorithme en O(n3)

Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins sur un PC portable !

Expériences numériques: performances


Calcul pour 1000000 points

Epilogue des forêts de symboles

Le dernier tableau noir de Richard Feynmann

http://castor-informatique.fr

http://www.mathkang.org/

Apprendre à programmer, facile:

http://www.loria.fr/~quinson/Teaching/PLM/

http://www.python.org

© Ras-TECH

(Rosières-aux-Salines Technology Club)

http://castor-informatique.fr/



http://www.loria.fr/~quinson/Teaching/PLM/

http://www.python.org/

Education

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