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TP 4 : Résolution des équations non linéaires

L'étude générale des fonctions à variables réelles nécessite de temps à autre la résolution d'équations de type f(x) = 0. Autrement dit, nous sommes amenés à trouver les zéros de fonctions non linéaires, c'est-à-dire les valeurs réelles telles que

ou, ce qui est équivalent, à résoudre une équation de type g(x) = x La fonction g est une fonction dépendante de f non unique comme le montre l'exemple suivant: Exemple : Si la fonction g peut être

ou

Les instructions Matlab suivantes permettent de tracer les représentations graphiques de ces fonctions, y compris celle de la droite y = x:

Code Matlab

x = [0:0.001:1]; f = inline('sin(2*x)-1 + x'); g1 = inline('1-sin(2*x)'); g2 = inline('1/2*(asin(1-x))'); h = inline('x'); plot(x, f(x), '--.b', x, g1(x), '-.b', x, g2(x), ' --b', x, h(x),'b'); legend('f', 'y=1-\sin(2x)', 'y=1/2*(Arcsin(1-x))', 'y=x'); grid on; ylabel('y(x)'); xlabel('x');

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On voit bien que f admet un unique zéro et que les graphes des fonctions

se coupent en . En général x ne peut pas être calculé explicitement. On cherche donc à calculer x de façon approchée.

1. La méthode de Bissection (dichotomie) L’agorithme suivant permet de résoudre une équation avec la méthode de bissection

• Traduire cet algoritme en une fonction matlab qu’on appelera bissection.m • Application :

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Considérant l’équation :

F(x) = x3 +x2‐3x‐3 a) Dessinez la courbe de f(x) sur l’intervalle [‐2,2], puis trouvez des intervalles

convenables pour appliquer la méthode de bissection.

b) Pour chaque intervalle (un pour chaque racine), appliquez la fonction Matlab

‘bissection.m’ sur f(x), en considérant : tol=0.001.

2. La méthode du point fixe

• Traduire cet algoritme en une fonction matlab qu’on appelera pointfixe.m • Application :

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3. La méthode de newton

• Traduire cet algoritme en une fonction matlab qu’on appelera newton.m • Application :