1. Chapitre II : Thorie des petits signaux27II.1 - Introduction :Les interactions de rgulation se prsentent sous forme dapparition ou damplificationdoscillations dans le rseau pouvant engendrer une instabilit. Par consquent, lanalyse deces phnomnes dinteraction prend place dans le cadre de la stabilit dynamique, et donc dela thorie des petits signaux.II.2 - Reprsentation dtat :Le comportement dynamique dun systme de puissance peut tre dcrit par un jeu de nquations diffrentielles non-linaires du premier ordre [SIG05] := (1, , , 1, , , ) = 1, , (13)fi : iime fonction non-linairexi : iime variable dtatn : nombre de variable dtat - ordre du systmeuj : jime variable dentrer : nombre de variables dentret : tempsEn crivant cette quation sous une forme vectorielle := (, , )(14)Avec : = |11| = || = |1|f : vecteur de fonctions non-linairesx : vecteur des variables dtatu : vecteur des variables dentreSine dpend pas explicitement du temps, alors le systme est dit autonome := (, ) (15) 2. Chapitre II : Thorie des petits signauxDe la mme manire, les variables de sortie peuvent tre exprimes suivant les variablesdtat et les variables dentre : = (, ) (16)28Avec : = |11| = ||y : vecteur des variables de sortieyk : kime variable de sortieg : vecteur de fonctions non-linairesgk : kime fonction non-linaireCette reprsentation est la reprsentation exacte du systme. Elle peut tre utilise parexemple dans le cas de ltude de stabilit transitoire par traitement numrique. Cependant,dans le cas de la stabilit dynamique, les perturbations sont faibles, ce qui permet de linariserle systme.II.3 - Linarisation du systme :La quasi-totalit des systmes dynamiques rels possde des caractristiques non-linaires. Lecomportement dynamique dun systme de puissance peut tre dcrit par un ensembledquations diffrentielles et algbriques (EDA). Sachant que le systme de puissance voluegnralement autour dun point de fonctionnement donn, lors des petites perturbations, il estpossible de linariser ces EDA autour de ce point.Le point de fonctionnement normal du systme se dfinit comme un point dquilibre ou unecondition initiale. Les drives des variables dtat en ce point sont donc gales zro.De lquation (15), on dduit :0= (0, 0) = 0 (17)x0 : vecteur dtat initialu0 : vecteur des variables dentre correspondant au point dquilibreUne perturbation dans le systme peut sexprimer sous la forme suivante : = 0 + 3. Chapitre II : Thorie des petits signaux29 = 0 + Si une petite perturbation se superpose aux valeurs dquilibre, lquation scrit := 0+ = [(0 + ), (0 + )] (18)Si cette dernire est sur lensemble des variables de faible amplitude, les fonctions non-linairesf(x,u) peuvent sexprimer sous la forme de sries de Taylor. Si les termes suprieursau premier ordre sont ngligs, alors nous obtenons pour chaque variable dtat : pour =1, , = 0 + = (0, 0) + 1. 1 + + . + 1. 1 + + (19)Lquation prcdente peut tre mise sous la forme suivante := 11 + + + 11 + + = 1, , (20)Nous pouvons appliquer les mmes tapes de linarisation sur lquation de la sortie : = 11 + + +11 + + = 1, , (21)Si le systme fonctionne avec de petites perturbations au voisinage du point dquilibre, nouspouvons supposer que toutes les drives premires (, ) sont constantes dans le domainede fonctionnement [ALK08], [PAS98], [SNY99], [MEK02].Par consquent, le systme linaris peut tre reprsent par les deux quations suivantes : = 11 + + + 11 + + = 1, , (22) = 11 + + + 1 1 + + = 1, , (23)En crivant ces deux quations sous forme matricielle, nous obtenons le modle dtat linairefinal suivant [INT], [ORT13], [CHE], [BAY] :{ = A. + B. = C. + D. (24) 4. Chapitre II : Thorie des petits signaux30A = | |f1f1x1x nfnfnx1xn| |f1 1B = | |f1u1| |g1xn gmx1C = | |g1x1gmxn| |D = | |g1g1u1ur gmu1gmur| |A : matrice des variables dtat de dimension nnx : vecteur des variables dtat de dimension nB : matrice des variables dentre de dimension nru : vecteur des variables dentre de dimension rC : matrice des variables de sortie de dimension mny : vecteur des variables de sortie de dimension mD : facteur de dpendance des variables dentre par rapport aux variables de sortie, matricede dimension mrLe nombre des variables dtat, n, dfinit : la longueur du vecteur dtat x, le nombre delignes et de colonnes de la matrice A, le nombre de lignes de la matrice B et le nombre descolonnes de la matrice C.Le nombre des variables dentre choisies, r, dfinit : la longueur du vecteur d'entre u et lenombre de colonnes des matrices B et D.Le nombre des variables de sortie choisies, m, dfinit : la longueur du vecteur de sortie y etle nombre de lignes des matrices C et D.La matrice A est appele matrice dtat ou matrice dvolution, car elle contient la descriptiondu comportement dynamique du systme. Elle rend compte aussi de lvolution du systme enrgime libre, c'est--dire commande nulle.La matrice B est appele matrice dentre ou matrice de commande. Elle rend compte ducomportement dynamique du systme en rponse une commande.La matrice C est appele matrice de sortie ou matrice dobservation. Elle permet de relier lasortie ltat.La matrice D est appele matrice daction directe qui relie directement la commande lasortie. Elle est en gnral nulle dans les systmes physiques : le systme est dit strictementpropre .Nous obtenons ainsi la reprsentation dtat linarise du systme. Il est alors possible decalculer les valeurs propres de la matrice dtat et dutiliser les proprits lies celle-ci[INT], [PAS98], [SNY99], [MEK02]. 5. Chapitre II : Thorie des petits signaux31II.4 - Analyse du modle linaire :Lanalyse des valeurs propres et lanalyse modale du systme de puissance linaris sont desoutils puissants pour tudier les proprits dynamiques du systme. Lvaluation prcisede la frquence des oscillations lectromcaniques et de lamortissement de ces oscillationspeut tre dtermine partir de lanalyse des valeurs propres, lanalyse modale permet quant elle dobtenir des informations supplmentaires plus approfondies telles que la nature desmodes (dominants ou non, ) [SIG05].II.4.1 - Analyse des valeurs propres :II.4.1.1 - Valeurs propres de la matrice dtat A :Aprs avoir tabli le modle dtat linaire A et ses valeurs propres (mthode indirecte deLiapounov), en utilisant la transformation de Laplace et depuis le systme (24), il rsulte lesquations suivantes dans le domaine frquentiel complexe :{. () (0) = A. () + B. ()() = C. () + D. ()(25)Si (0) = 0, ce systme peut se reprsenter par le schma bloc ci-dessous :Figure 10 : Schma bloc du systme (25) [INT], [ALK08], [ORT13], [CHE], [PAS98]Depuis le systme (25), on obtient la solution explicite de cet ensemble dquations qui estdonne comme suit : 6. Chapitre II : Thorie des petits signaux() = (. I A)1. [(0) + B. ()] (26)32Avec : I : matrice identit dordre n() = (.I A) (.IA)[(0) + B. ()] (27)De mme, on obtient :() = C. (.IA)(.IA)[(0) + B. ()] + D. () (28)Les transformes de Laplace, x et y, ont deux composantes : lune dpendant desconditions initiales et lautre des variables dentre.Les ples de () et () sont les racines de lquation :(. I A) = 0 (29)Les valeurs de s satisfaisant cette quation sont les valeurs propres de la matrice A.Les valeurs sont appeles les valeurs propres du systme. Elles dfinissent le mouvement dusystme li une frquence propre.Une valeur propre est caractrise par une frquence doscillation et un amortissement. Elleest reprsente gnralement par le nombre complexe suivant [PAS98] : = (30) : partie relle de la valeur propre (abscisse de convergence) : pulsation propre doscillation (rad/s)Cette relation est quivalente la relation dfinissant les valeurs propres dun systme dudeuxime ordre qui est donne comme suit [MEK02] : = 1 2 (31)n : pulsation naturelle doscillation (rad/s) : facteur damortissement doscillationUne matrice dtat de dimension nn est associe n valeurs propres. Lanalyse des valeurspropres permet dobtenir tout dabord la frquence doscillation et le facteur damortissement.La frquence naturelle doscillation est donne par la relation suivante : 7. Chapitre II : Thorie des petits signaux33 = 2(32)Le facteur damortissement dtermine la dcroissance de lamplitude doscillation. Il estdonn par la relation suivante : = 2+2 (33)Dans un modle linaire, la solution des quations linaires du systme dcrit lvolutionexponentielle au cours du temps de la perturbation. Ainsi, cette solution peut tre reprsentepar une combinaison de fonctions dexponentielles reprsentant les caractristiquestemporelles associes chaque valeur propre i. Les constantes de temps = 1| |caractrisentde faon gnrale lamortissement du systme. 8. Chapitre II : Thorie des petits signauxFigure 11 : Reprsentation des points singuliers correspondant aux six combinaisonspossibles de valeur propre [SIG05]34 9. Chapitre II : Thorie des petits signauxLinterprtation physique des signaux correspondants aux fonctions dont la forme est simpleest illustre par la Figure 12 qui reprsente dans le plan complexe lallure des variations detels signaux en fonction du temps, suivant la position du point reprsentatif de i.Figure 12 : Exemple de reprsentation des valeurs propres dans le plan complexe et analysepar lieu des ples de la stabilit dun systme [ALK08]Dans lexemple ci-dessus, une valeur propre relle correspond un mode non-oscillatoire.Si la valeur propre relle est ngative, les exponentielles apparaissant dans la rponsetemporelle sont des fonctions dcroissantes du temps. La rapidit de dcroissance est lie laconstante de temps damortissement. Plus la valeur de labscisse de convergence est grande,plus la constante de temps est faible et lamortissement rapide.Par contre, si la valeur propre relle est positive, le mode prsente une instabilit apriodique.Une valeur propre complexe, en paire conjugue, correspond un mode oscillatoire.Si la partie relle de la valeur propre est ngative, le mode oscillatoire est amorti : il est doncstable. Si la partie relle de la valeur propre est positive, le mode oscillatoire est divergent ; ilest donc instable.Cette analyse rvle quil est possible de dterminer la nature (stable ou instable) dunsystme linaire partir dune inspection de la position des ples de la fonction detransfert du systme dans le plan complexe. En outre, la connaissance de la position des plespeut fournir des renseignements sur le comportement du systme lors de rgimes transitoirestypiques tels que la rponse une impulsion, un chelon, .35 10. Chapitre II : Thorie des petits signauxDes modes instables ou mal amortis peuvent tre dominants : leurs contributions dterminentalors lallure de la rponse temporelle globale du systme.Dans les rseaux lectriques, il est videmment ncessaire que tous les modes du systmesoient stables, c'est--dire placs dans la partie gauche du plan complexe.Il existe une solution non-triviale (autre que = 0) pour les valeurs propres :A. = . (34)36A : matrice nn : vecteur n1Lquation (34) est lquation caractristique de la matrice A.En la factorisant par , on obtient :(A . I) = 0 (35)Pour une solution non-triviale, voici le thorme de Caley-Hamilton [CHE] :(A . I) = 0 (36)Les valeurs propres peuvent tre relles ou complexes. Si les coefficients de la matrice A sontrels (cas des systmes physiques et donc des grands rseaux lectriques), les valeurscomplexes sont conjugues. Une matrice et sa transpose ont les mmes valeurs propres.II.4.1.2 - Vecteurs propres associs une valeur propre :Le modle linaire dun systme de puissance peut tre reprsent par un modle dtat dcritpar le systme (24). Pour chaque valeur propre i, le vecteur i satisfaisant lquation (34) estle vecteur propre droite de A associ la valeur propre i. Ces vecteurs peuvent tre calculspar les quations suivantes :A. = . = 1, , (37)i : iime valeur propre - toutes les valeurs propres tant supposes distinctesi : iime vecteur propre droite de A associ iDe mme, le vecteur i satisfait lquation : . A = . = 1, , (38)i : iime vecteur propre gauche de A associ i 11. Chapitre II : Thorie des petits signauxPour une matrice dtat de dimension nn :Le vecteur propre droite est un vecteur colonne de dimension n1 :T: matrice nn (42)37 = |1|Le vecteur propre gauche est un vecteur ligne de dimension 1n : = |1 |Les vecteurs propres gauche et droite correspondant aux diffrentes valeurs propres sontorthogonaux. La relation caractristique entre les vecteurs propres gauche et droite estdtermine par leur produit matriciel.Le produit matriciel entre deux vecteurs propres, gauche et droite, associs deux valeurspropres diffrentes vaut zro :. = 0 (39)Par contre, lorsque les deux vecteurs propres, gauche et droite, correspondent la mmevaleur propre, leur produit matriciel normalis vaut un :. = 1 = (40)II.4.1.3 - Matrices modales :Lensemble des vecteurs propres, droite, du systme forme la matrice modale droite,donn : = |1 | : matrice nn (41)Le vecteur propre droite i montre linfluence relative de chaque variable dtat dans unmode excit donn. Ainsi, pour un vecteur propre droite complexe, lamplitude relative deslments du vecteur indique le degr de participation des variables dtat au mode considr.Quant la phase des lments du vecteur, elle donne le dphasage des variables dtat dans lemode donn [ALK08], [PAS98], [SNY99].De mme, la matrice modale gauche est forme de lensemble des vecteurs propres gauche : = |1T T| 12. Chapitre II : Thorie des petits signauxEn ce qui concerne le vecteur propre gauche i, il dtermine lensemble des variables dtatparticipant relativement la composition du iime mode. Il indique galement la contributionde chaque variable dtat dans lvolution du mode considr.Dans le plan complexe, le diagramme reprsentant les composantes dun vecteur propre droite i relatives aux diffrentes variables dtat est appel le mode shape .Dans un systme de puissance multi-machines, le mode shape indique la faon dont lesgnrateurs oscillent les uns par rapport aux autres. Les deux cas limites tant : les oscillationscohrentes et les oscillations en opposition de phase. Ainsi, les modes shapes du systmepeuvent identifier les groupes cohrents des gnrateurs. En outre, le mode shape peutconfirmer le type de chaque mode.38Posons [ORT13], [PAS98], [SNY99] :1000 = |000000000| : matrice diagonale de dimension nn dont les lments diagonaux sont 1, , Il est alors possible dcrire :A. = . (43)Or : . = ISoit : = 1 (44)La matrice carre est bien inversible : donc -1 existe.1. A. = (45)La rponse libre est donne par := A. (46)Soit la variable z telle que : = . (47)Depuis les quations (46) et (47), on obtient : 13. Chapitre II : Thorie des petits signaux=1 . (0). (54)=1 . C . (56)39 = A. . (48)= 1. A. . (49)De lquation (45), on en dduit := . (50)Cette dernire quation a lavantage sur lquation (45) de voir une matrice diagonale.Elle reprsente n quations du premier ordre non-couples := . = 1, , (51)Ces quations ont pour solution avec (0), valeur initiale de zi : () = (0). (52)Or : () = . ()Soit :() = [1 ]. |1()()| (53)Donc, depuis lquation (52) :() = Do :() = 1. () = . ()Et donc : () = . () (55)Pour = 0 : (0) = . (0) partir de lquation (54) :() = 14. Chapitre II : Thorie des petits signaux40Ci : produit scalaire . (0)La rponse temporelle de la iime variable dtat est donne par : () = 1. C1. 1 + + . C. (57)Lquation prcdente donne lexpression de la rponse libre dans le temps suivant les valeurspropres et les vecteurs propres. Ainsi, la rponse libre est donne par une combinaisonlinaire de n modes dynamiques correspondant aux n valeurs propres de la matrice dtat. Leproduit scalaire C = . (0) reprsente lamplitude dexcitation du iime mode. Lacaractristique temporelle dun mode correspondant une valeur propre i est donne par . Une valeur propre relle ngative correspond un mode non-oscillatoire. Une valeurpropre relle positive reprsente une instabilit apriodique. Les valeurs de C et lesvecteurs propres associs aux valeurs propres relles sont aussi rels. Les valeurs propres complexes viennent par paires, et chaque paire correspond unmode doscillation. Les valeurs de C et des vecteurs propres sont telles que ()soitrelle tout instant t.Par exemple : ( + ). () + ( ). (+) a la forme . ( + )La partie relle de la valeur propre donne lamortissement.La partie imaginaire donne la pulsation doscillation.Une partie relle ngative reprsente une oscillation amortie, alors quune partie rellepositive reprsente une oscillation damplitude croissante et donc une instabilit.II.4.2 - Analyse modale :Comme nous lavons vu, les valeurs propres du systme dterminent les caractristiquesdynamiques du systme (frquences et facteurs damortissement), ainsi que ltat de stabilitdu systme.Lanalyse des vecteurs propres, qui dcoule de lanalyse des valeurs propres, peut aussifournir dautres informations importantes.Lorsquune instabilit ou un mode mal amorti prend naissance dans un systme de puissance,il est trs intressant dexaminer les points suivants : les variables dtat lies aux modes dominants les lments du systme permettant dagir efficacement pour le stabiliser 15. Chapitre II : Thorie des petits signaux les groupes cohrents de gnrateurs prsentant des oscillations couples les signaux les plus efficaces appliquer aux contrleurs les paramtres des contrleurs ralisant un meilleur amortissement.Nous voyons donc ici que les valeurs propres de la matrice dtat nous permettent didentifierles diffrents modes doscillation prsents dans le rseau [PAS98], [SNY99], [MEK02].II.5 - Commandabilit et observabilit :Le systme a t reprsent prcdemment par lquation (24) :41{= A. + B. = C. + D. En utilisant la variable z dfinie par lquation (47), on obtient :{ = A. . + B. = C. . + D. (58)Ces quations peuvent tre rcrites sous une forme plus classique :{= A. + B. = C . + D. (59)Avec les matrices Bm et Cm dfinies par = 1. et = . .En examinant lquation (59), si la iime ligne de la matrice Bm est compose de valeurs nulles,alors les entres nont aucune action sur le iime mode. Dans un tel cas, le iime mode est ditincommandable.Toujours depuis lquation (59), on peut observer que la iime colonne de la matrice Cm montresi la variable zi intervient sur les variables de sortie. Si les valeurs de ce vecteur colonne sontnulles, le mode correspondant est inobservable.La matrice Bm, de dimension nr, est appele matrice de commandabilit. Llment Bm(i,j)de la matrice Bm est le facteur de commandabilit du mode i par le signal .La matrice Cm, de dimension mn, est appele matrice dobservabilit. Llment Cm(j,i) dela matrice Cm est le facteur dobservabilit du mode i par le signal .II.6 - Forme des modes et sensibilit :On a vu prcdemment, quations (53) et (55), que la rponse du systme est donne par : 16. Chapitre II : Thorie des petits signauxx(t) = . z(t) = [1 2 ]. z(t) (60)42Z(t)= . x(t) = [1T nT]T. x(t) (61)Les variables x1, , xn sont les variables dtat dorigine reprsentant les performancesdynamiques du systme. Les variables z1, , zn sont les variables dtat transformes tellesque chaque variable reprsente une seule et unique valeur propre.Lquation (60) montre que le vecteur propre de droite donne la forme du mode, c'est--direlactivit relative des variables dtat lorsquun mode est excit. Ainsi, le degr dactivit dela variable dtat xk pour le iime mode est fourni par llment ki du vecteur propre droite .Les normes des lments de i donnent ltendue de lactivit des 'n' variables dtat pour leiime mode, et les angles de ces lments donnent les dplacements de phase des variablesdtat par rapport au mode.Lquation (61) montre que le vecteur propre gauche i donne quelle combinaison desvariables dtat dorigine active le iime mode uniquement.Ainsi, le kime lment du vecteur propre droite quantifie lactivit de la variable xk pourle iime mode, alors que le kime lment du vecteur propre gauche pse la contribution decette activit sur le iime mode.Maintenant, il sagit dexaminer la sensibilit des valeurs propres aux lments de la matricedtat.Pour cela, il est possible dutiliser lquation (37) :A. i = i . i i = 1, , nSoit akj lment de la matrice A se situant la kime ligne et jime colonne. En diffrenciantlexpression prcdente :Aakj. i + A iakj= iakj. i + i . iakj(62)En multipliant les deux termes de lgalit par , et en rappelant que i . i = 1 et quei . (A i . I) = 0 : 17. Chapitre II : Thorie des petits signaux43iakj= ik. ji (63)Ainsi, la sensibilit de la valeur propre llment akj de la matrice dtat est gale auproduit de llment du vecteur propre de gauche ik par llment du vecteur propre dedroite ji.Les concepts de commandabilit, dobservabilit et de sensibilit peuvent tre appliqus parexemple afin de dterminer linfluence quaurait linsertion dans le rseau dun dispositifFACTS ce sur chaque mode doscillation.II.7 - Facteurs de participation :L'approche standard, habituellement employe pour valuer la participation dune variabledtat xk dans le iime mode, tudie les lments correspondants du vecteur propre droite i.Bien que cette mthode soit simple employer, elle prsente un dfaut trs srieux, savoirles valeurs numriques des lments des vecteurs propres droite dpendent des units desvariables dtat correspondantes. Il est donc difficile de comparer les valeurs obtenues pourdes variables dtat diffrentes. Par consquent, cette mthode est seulement exploitable pourdes variables dtat ayant les mmes units et jouant les mmes rles.Rappelons quun vecteur propre droite i mesure linfluence relative de chaque variabledtat xk dans un iime mode et quun vecteur propre gauche i indique la contribution delactivit de xk dans le iime mode. Par consquent, une "quantit" caractristique dun modedonn peut tre obtenue par produit, lment par lment, dun vecteur propre droite et dunvecteur propre gauche correspondant. Cette quantit, appele le facteur de participation, estcalcule par la relation suivante :Pki = ki . ik (64)Il permet de mesurer la participation relative de la kime variable dtat au iime modedoscillation, et vice-versa.Alors que ki mesure lactivit de xk dans le iime mode doscillation et que ik pse lacontribution de son activit sur ce mode, le facteur de participation mesure laparticipation "nette" ou effective.Le produit des lments des vecteurs propres de gauche et de droite rend le facteur departicipation sans dimension, c'est--dire indpendant du choix des units. 18. Chapitre II : Thorie des petits signauxAinsi, le facteur de participation peut fournir des informations fines sur le problme : ilreprsente une mesure relative de la participation de la kime variable dtat dans le iime mode,et vice-versa.Etant donn que les matrices modales, droite et gauche, et sont inverses, le facteur departicipation est donc une grandeur sans dimension. Ceci veut dire que le facteur departicipation, au contraire du vecteur propre droite, est indpendant des units des variablesdtat.Depuis lquation (63), il apparait que le facteur de participation Pki correspond la sensibilitde la valeur propre llment diagonal akk de la matrice dtat A :Pki = i44akk(65)Les facteurs de participation fournissent donc la participation relative des variables dtat surles diffrents modes. Et par consquent, de connatre quelles sont les variables dtat les plusimpliques dans chaque mode doscillation.Ils pourront donc tre utiliss pour la caractrisation des diffrents modes doscillation :P1iPniP= |P1 Pn | avec = || = |1i . i1ni . in| (66)ki : lment de la kime ligne et de la iime colonne de la matrice modale ik : lment de la iime ligne et de la kime colonne de la matrice modale Dans la matrice de participation P, comme le montre lquation (66), la jime colonne indiquecomment un jime mode participe relativement lvolution des variables dtat du systme,tandis que la iime ligne indique comment les diffrents modes participent relativement lvolution de la iime variable dtat. = [p11 p1m pn1 pnm]x1xn(67)1 Une autre proprit intressante du facteur de participation pij sinterprte souvent comme lasensibilit du jime mode aux changements des termes diagonaux aii de la matrice dtat A dusystme. 19. Chapitre II : Thorie des petits signauxPour les tudes de stabilit aux petites perturbations, linfluence dune sourcedamortissement appliqu un gnrateur peut tre dtermine par les facteurs departicipation, comme suit : Si, pour nimporte quel mode, le facteur de participation correspondant la vitesse dugnrateur est nul, lintroduction dune source damortissement au gnrateur nauraaucun effet sur le mode. Si le facteur de participation est rel positif, lajout damortissement ce gnrateur45augmentera lamortissement du mode. En revanche, si le facteur de participation est rel ngatif, lamortissement ajout augnrateur rduira lamortissement du mode.Les facteurs de participation, par leur proprit de pouvoir dterminer les variables dtatresponsables des modes indsirables, peuvent tre employs pour trouver les points les plusefficaces pour installer des contrleurs de stabilisation.La matrice de participation peut montrer aisment les variables dtat les plus impliques dansle mode indsirable : les termes de la matrice P de plus grande amplitude de la colonnerelative au mode considr indiqueront la participation en question.II.8 - Rsidus :Lefficacit du signal dentre dun contrleur de stabilisation ou lemplacement optimal dece dernier dans un systme de puissance multimachines peuvent tre identifis par la mthodedes rsidus. Cette mthode est drive de la relation entre la fonction de transfert et le modledtat.Le modle dtat dun systme reprsente la fois les proprits dentre/sortie du systme etle comportement interne du systme. linverse, la fonction de transfert du systme neconcerne que la relation entre-sortie du systme.Pour dterminer la relation entre la fonction de transfert et le modle dtat, nous prenons lesquations (24) pour un systme monovariable (Single Input - Single Output system), et nousconsidrons la fonction de transfert entre les variables y et u.Supposons que D = 0, les quations dtat scrivent comme suit :x = A. x + B. u (68)y = C. x (69)La fonction de transferty(s)u(s)scrit de la faon suivante : 20. Chapitre II : Thorie des petits signaux=1 = Ri46() = y(s)u(s)= C. (sI A)1. B (70)Pour un systme en boucle ouverte, la fonction G(s) peut tre dcompose en lmentssimples comme suit :() = R1(ss1 )+ R2(ss2)+ + Rn(s sn )= Ri(ssi )ni(si )ni=1 (71)O :s : oprateur de Laplaces1, s2,,sn : ples de G(s) - les valeurs propres du systmeRi : rsidu de G(s) au ple siLe rsidu peut sexprimer par la relation suivante :Ri = CiiB (72)Daprs cette relation, nous remarquons que le rsidu Ri pour un mode i donn mesure lasensibilit de ce mode un signal de contre-raction sortie-entre. Ainsi, les rsidus peuventdterminer les modes les plus affects par un signal de retour.La Figure 13 montre un systme G(s) quip dun contrleur H(s) en contre-raction defonction de transfert.Lorsquon ferme la boucle par un rgulateur H(s), les valeurs propres du systme initial G(s)vont se dplacer. Le dplacement de ces valeurs propres peut tre calcul par lquationsuivante :i = RiH(i) (73)Cette quation montre que le dplacement des valeurs propres, cr par le contrleur, estproportionnel aux amplitudes des rsidus correspondants.Figure 13 : Lensemble systme-contrleur en boucle ferme 21. Chapitre II : Thorie des petits signauxPour un systme multivariables, linfluence du mme contrleur H(s), (sans se soucier de sastructure et de ses paramtres) peut tre tudie en diffrents emplacements. Si le rsidu,associ un mode i donn, est calcul pour chaque emplacement, le rsidu le plus levindique donc lemplacement le plus efficace du contrleur. De mme, en changeant le signaldentre du contrleur, diffrentes valeurs des rsidus vont tre obtenues. Par consquent, lersidu le plus lev indique le signal dentre le plus efficace.47 22. Chapitre II : Thorie des petits signauxII.9 - Conclusion :Dans ce chapitre, nous avons prsent la modlisation du systme de puissance pour lestudes de la stabilit aux petites perturbations. Nous avons aussi prsent la linarisation dusystme avec lanalyse modale du modle linaire du systme.Les points dtude principaux de ce chapitre sont prsents ci-dessous :- Le systme de puissance est souvent soumis des petites perturbations qui seproduisent continuellement sous linfluence de faibles variations de charges et dessources. Ces perturbations sont considres comme suffisamment petites pourpermettre de linariser les quations du modle gnral du systme. La reprsentationdtat du systme est ensuite dduite.- La stabilit du systme est uniquement dfinie par le lieu des ples, dans le plan48complexe, de sa fonction de transfert.- Lanalyse modale du systme donne des informations importantes concernant lescaractristiques des modes doscillations, les variables dtat participant lvolutionde ces modes, .La thorie des petits signaux nous fournit donc des outils dtude des phnomnesdinteraction de rgulation. Les valeurs propres de la matrice dtat, provenant de lareprsentation linarise du systme, fournissent un outil dtude de ces oscillations en termesde frquence et damortissement. De plus, lutilisation de proprits lies ces valeurspropres permet, entre autres, de mesurer la participation des diffrentes variables dtat chaque mode doscillation.