Poutre mécanique des structures tome 2

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Mécaniquedes structures

Tome 2Poutres

Serge LAROZE

© CEPAD 2005 ISBN : 2.85428.712.6

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Dépôt légal : septembre 2005 N° éditeur : 712

CHEZ LE MÊME ÉDITEUR

Le GRAFCET ............................................................................................................................................... ADEPA/AFCETOptimisations en fabrication.............................................................................................................................. Agullo M.Robustesse et commande optimale ......................................................................................................... Alazard D. et al.Cours de mécanique générale ...............................................................................................................................Bellet D.Problèmes de mécanique rationnelle ...................................................................................................................Bellet D.Problèmes de mécanique des solides ....................................................................................................................Bellet D.Problèmes d’élasticité ............................................................................................................................................Bellet D.Cours d’élasticité ................................................................................................................................Bellet D., Barrau J.-J.Comprendre, maîtriser et appliquer le GRAFCET .......................................................................................Blanchard M.Tables de détente ou compression isentropique de choc m = 1,400 ................................................Bonnet A., Luneau J.Vous avez dit « Résistance des matériaux ” ? Qu’en savez-vous ? ..................................................Boudet R., Stephan P.Que faut-il savoir en mécanique ? .....................................................................................................Boudet R., Sudre M.La stratégie productique ............................................................................................. Brzakowski S., Delamalmaison R.Produits et analyse de la valeur ......................................................................................................................Chevallier J.Conduite et gestion de projets ...............................................................................................Chvidchenko I., Chevallier J.Elasticité linéaire .................................................................................................................................................Dartus D.Précis de résistance des matériaux .................................................................................................................. Datas J.-M.7 facettes du GRAFCET.............................................................................................................................. Gendreau et al.Introduction à la dynamique des structures .................................................................................................. Gourinat Y.Le GRAFCET : de nouveaux concepts .....................................................................................................GREPA (ADEPA)Concepts et outils pour les systèmes de production ...............................................................................Hennet J.-C. et al.Optimisation des vibrations des structures mécaniques .............................................................................Marcelin J.-L.Conception optimale des engrenages cylindriques .....................................................................................Marcelin J.-L.Mécanique élastoplastique de la rupture ...................................................................................................... Pluvinage G.120 exercices de Mécanique élastoplastique de la rupture .......................................................................... Pluvinage G.La rupture du bois et de ses composites ........................................................................................................ Pluvinage G.Fuite et rupture des tubes endommagés .............................................................................. Pluvinage G.., Sapunov V.-T.Ingénierie & Ergonomie ...........................................................................................Pomian J.-L., Pradère T., Gaillard I.Leçons sur les grandes déformations ................................................................................................................Souchet R.Les Nouvelles rationalisations de la production .................................................................de Terssac G., Dubois P. et al.

SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 1

SOMMAIRE

SOMMAIRE

pages

CHAPITRE PREMIER

GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES

1 – DÉFINITIONS .............................................................................................................................................................................................................................. 7

2 – ÉTUDE DE LA LIGNE MOYENNE ........................................................................................................................................................... 8

2.1 – Théorème du repère mobile ...................................................................................................................................................................... 9

2.2 – Repère de Frenet ................................................................................................................................................................................................... 10

2.3 – Formules de Frenet ........................................................................................................................................................................................... 10

3 – ÉTUDE DES SECTIONS DROITES......................................................................................................................................................... 13

3.1 – Centre de section .................................................................................................................................................................................................. 13

3.2 – Moments quadratiques de la section droite ..................................................................................................................... 14

3.3 – Tenseur des moments quadratiques ........................................................................................................................................... 15

3.4 – Repère de Frenet et repère principal de la section droite ............................................................................. 17

4 – EFFORT SUR UNE SECTION DROITE............................................................................................................................................ 18

4.1 – Définition du visseur ...................................................................................................................................................................................... 18

4.2 – Calcul des composantes du visseur ............................................................................................................................................ 20

5 – ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE DES POUTRES........................................................................................................................ 24

5.1 – Cas général ................................................................................................................................................................................................................... 24

5.2 – Poutre à plan moyen (xoy) chargée dans ce plan ................................................................................................... 25

5.3 – Poutre rectiligne à plan moyen (xoy) ........................................................................................................................................ 26

2 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II

SOMMAIRE

CHAPITRE II

EFFORT NORMAL

1 – ÉTUDE DE LA BARRE ............................................................................................................................................................................................ 31

2 – TREILLIS DE BARRES ............................................................................................................................................................................................ 32

3 – TREILLIS PLANS .............................................................................................................................................................................................................. 33

3.1 – Isostaticité et hyperstaticité ................................................................................................................................................................... 33

3.2 – Equilibre des nœuds ........................................................................................................................................................................................ 33

3.3 – Déplacements des nœuds .......................................................................................................................................................................... 34

3.4 – Calcul d’un treillis plan .............................................................................................................................................................................. 35

3.5 – Exemple d’application ................................................................................................................................................................................. 35

4 – TREILLIS TRIDIMENSIONNELS ............................................................................................................................................................. 37

4.1 – Isostaticité et hyperstaticité ................................................................................................................................................................... 37

4.2 – Equilibre des nœuds ........................................................................................................................................................................................ 37

4.3 – Déplacements nodaux ................................................................................................................................................................................... 38

4.4 – Méthode générale de calcul ................................................................................................................................................................... 38

5 – EFFORT NORMAL DANS UNE POUTRE QUELCONQUE ........................................................................... 38

5.1 – Formules fondamentales ........................................................................................................................................................................... 38

5.2 – Mesure de l’effort normal par jauges extensométriques ............................................................................... 39

5.3 – Exemples de poutres en traction ou compression .................................................................................................. 40

6 – STATIQUE DES CABLES .................................................................................................................................................................................... 43

CHAPITRE III

MOMENT DE FLEXION

1 – FLEXION PURE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE .................................................................................................... 53

2 – FLEXION GAUCHE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE ....................................................................................... 56

3 – MOMENT FLÉCHISSANT DANS UNE POUTRE QUELCONQUE ................................................... 56

4 – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE CIRCULAIRE À PLAN MOYEN ......................................... 57


SOMMAIRE

5 – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE RECTILIGNE À PLAN MOYEN ......................................... 58

6 – MESURE DES MOMENTS DE FLEXION PAR JAUGES ................................................................................... 64

7 – FORMULAIRE DE LA FLEXION PLANE DES POUTRES PRISMATIQUES ................... 67

8 – DOMAINE DE VALIDITÉ DES FORMULES ........................................................................................................................ 75

CHAPITRE IV

TORSION DES POUTRES

1 – TORSION PURE D’UNE POUTRE CYLINDRIQUE DE RÉVOLUTION ................................... 77

2 – MESURE DU COUPLE DE TORSION SUR UN ARBRE ..................................................................................... 80

2.1 – Insensibilité à la température .............................................................................................................................................................. 82

2.2 – Insensibilité à l’effort normal ............................................................................................................................................................. 82

2.3 – Insensibilité au moment de flexion ............................................................................................................................................ 82

2.4 – Insensibilité à l’effort tranchant ...................................................................................................................................................... 82

3 – TORSION D’UNE POUTRE PLEINE PRISMATIQUE OU CYLINDRIQUEDE SECTION DROITE QUELCONQUE ........................................................................................................................................ 83

3.1 – Equilibre local .......................................................................................................................................................................................................... 83

3.2 – Loi de Hooke ............................................................................................................................................................................................................. 84

3.3 – Les conditions aux limites ...................................................................................................................................................................... 84

3.4 – Relations déformations-déplacements et rotations-déplacements ................................................... 85

4 – FLUX ET CIRCULATION DU VECTEUR CISSION .................................................................................................. 88

4.1 – Formule du flux de cission ..................................................................................................................................................................... 88

4.2 – Formule de la circulation .......................................................................................................................................................................... 89

4.3 – Energie potentielle élastique de torsion ............................................................................................................................... 89

4.4 – Cas des poutres prismatiques creuses ..................................................................................................................................... 90

5 – EXEMPLES D’APPLICATIONS ................................................................................................................................................................. 91

5.1 – Section droite elliptique pleine ......................................................................................................................................................... 91

5.2 – Section triangulaire équilatérale pleine.................................................................................................................................. 92

5.3 – Section rectangulaire pleine ................................................................................................................................................................... 93


SOMMAIRE

6 – TORSION DES TUBES PRISMATIQUES MINCES ..................................................................................................... 94

7 – POUTRES NON PRISMATIQUES ........................................................................................................................................................... 99

CHAPITRE V

EFFORT TRANCHANT

1 – THÉORIE DE SAINT-VENANT .............................................................................................................................................................. 103

2 – FLUX ET CIRCULATION DU VECTEUR CISSION .............................................................................................. 109

2.1 – Formule du flux ................................................................................................................................................................................................. 109

2.2 – Formule de la circulation ...................................................................................................................................................................... 109

3 – ÉNERGIE ET FLÈCHE D’EFFORT TRANCHANT ................................................................................................... 110

4 – EXEMPLES D’APPLICATION .................................................................................................................................................................. 112

4.1 – Section circulaire pleine ......................................................................................................................................................................... 112

4.2 – Section pleine rectangulaire ............................................................................................................................................................. 113

5 – POUTRE PRISMATIQUE CREUSE ................................................................................................................................................... 115

6 – FLEXION AVEC EFFORT TRANCHANT : CAS GÉNÉRAL ................................................................... 116

7 – APPLICATIONS DE LA FORMULE DE BREDT ......................................................................................................... 119

8 – CISAILLEMENT DES POUTRES MINCES .......................................................................................................................... 120

9 – DÉTERMINATION DU CENTRE DE TORSION .......................................................................................................... 126

10 – POUTRES NON PRISMATIQUES .................................................................................................................................................... 126

11 – MESURE DES EFFORTS TRANCHANTSPAR JAUGES EXTENSOMÉTRIQUES .................................................................................................................................... 127

CHAPITRE VI

SOLLICITATIONS COMBINÉES

1 – CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS ....................................................................................................................................... 131

2 – DÉPLACEMENTS ET RIGIDITÉS ...................................................................................................................................................... 132


SOMMAIRE

3 – FORMULES DE BRESSE .................................................................................................................................................................................. 134

4 – ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLASTIQUE .................................................................................................................................... 135

5 – CALCUL D’UNE OSSATURE .................................................................................................................................................................... 137

6 – OSSATURES PLANES ........................................................................................................................................................................................... 139

7 – EXEMPLES D’APPLICATION................................................................................................................................................................... 140

7.1 – Anneau dynamométrique ..................................................................................................................................................................... 140

7.2 – Calcul d’un cadre ............................................................................................................................................................................................. 142

7.3 – Calcul d’un portique .................................................................................................................................................................................... 143

7.4 – Calcul d’une potence .................................................................................................................................................................................. 144

8 – CONCENTRATION DE CONTRAINTES ................................................................................................................................. 146

CHAPITRE VII

FLAMBEMENT

1 – STRUCTURES DISCRÈTES .......................................................................................................................................................................... 153

1.1 – Equilibre – Stabilité ..................................................................................................................................................................................... 153

1.2 – Théorème de Lejeune-Dirichlet .................................................................................................................................................. 154

1.3 – Instabilité – Flambement ...................................................................................................................................................................... 155

2 – FLAMBEMENT D’EULER .............................................................................................................................................................................. 158

2.1 – Etude du cas parfait ...................................................................................................................................................................................... 158

2.2 – Influence de la déformation initiale ....................................................................................................................................... 160

2.3 – Influence de l’excentricité de la charge ............................................................................................................................ 162

2.4 – Influence de l’effort tranchant ....................................................................................................................................................... 163

3 – GÉNÉRALISATION DU FLAMBEMENT D’EULER ............................................................................................ 164

3.1 – Cas se ramenant au problème d’Euler ................................................................................................................................ 164

3.2 – Cas général ............................................................................................................................................................................................................... 165

4 – MÉTHODES PRATIQUES DE CALCUL DES CHARGES CRITIQUES.................................... 170

4.1 – Marche à suivre générale ...................................................................................................................................................................... 170

4.2 – Méthodes approchées ................................................................................................................................................................................ 172


SOMMAIRE

5 – DÉVERSEMENT LATÉRAL ........................................................................................................................................................................ 175

6 – FLAMBEMENT DES POUTRES COURBES ....................................................................................................................... 181

7 – FORMULAIRE POUR LE FLAMBEMENT DES POUTRES ...................................................................... 185

7.1 – Flambement par flexion plane des poutres droites comprimées .................................................... 186

7.2 – Déversement latéral ...................................................................................................................................................................................... 189

7.3 – Flambement par flexion plane d’arcs comprimés .............................................................................................. 191


CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES

CHAPITRE PREMIER

GÉOMÉTRIE ET STATIQUEDES POUTRES

1. – DÉFINITIONS

On appelle poutre le solide engendré par une surface plane S lorsque son centre de gravité Gdécrit un arc de courbe 10 GG , le plan de S étant normal en G à cet arc.

10 GG est la ligne moyenne de la poutre, S la section droite. Le diamètre D de S est la distanceséparant les deux points de S les plus éloignés l’un de l’autre.

La définition ci-dessus peut s’appliquer à n’importe quel solide ; on la complète donc enimposant les deux conditions suivantes :

– le diamètre D de chaque section droite S est faible devant la longueur L de la lignemoyenne 10 GG , ainsi que devant le rayon de courbure R et le rayon de torsion T de cetteligne moyenne en G.

– si la section droite S est évolutive (non constante), ses variations (taille, forme, calage) enfonction de l’abscisse curviligne s de G sur 10 GG , sont très lente S0.

Une poutre est rectiligne si sa ligne moyenne est un segment de droite ; si de plus sa section Sest constante (dimensions, forme, calage constants), elle est dite prismatique (ou cylindrique).Une poutre non rectiligne est une poutre courbe (plane ou gauche).

Un anneau est une poutre dont la ligne moyenne est une courbe fermée : dans ce cas, lessections droites origine et finale, confondues, peuvent être choisies arbitrairement.

On nomme tube toute poutre creuse (une ou plusieurs cavités).

Une poutre mince possède une section droite S formée d’une ou plusieurs bandes dont lalargeur e est faible devant le diamètre D de S.

Une fibre longitudinale est un tube infiniment délié engendré par un élément dS de S quand Gdécrit 10 GG .

Nous supposerons que le matériau de la poutre est homogène, élastique et isotrope.



– Figure 1 –Exemples de poutres

2. – ÉTUDE DE LA LIGNE MOYENNE

Soit { }zyx,O une base orthonormée liée à la poutre ; on peut se donner la ligne moyenne

10 GG par une représentation paramétrique :

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

)u(zz

)u(yy

)u(xx

G

Nous supposerons que la correspondance entre le point générique G et le paramètre u estbijective ; lorsque u décrit le segment [ ]10 u,u , G décrit l’arc 10 GG , toute position de Gcorrespondant à une seule valeur de u et réciproquement. Nous supposerons de plus les troisfonctions x(u), y(u), z(u) dérivables autant de fois que nécessaire sur [ ]10 u,u .

Enfin, nous choisirons une origine (en général 0G ), et un sens positif en orientant la ligne

moyenne de 0G vers 1G , et associerons de façon bijective le point générique G à son abscissecurviligne s.



– Figure 2 –Triède de Frenet

Le dérivé du vecteur-espace OG par rapport à s est tangent en G à 10 GG , unitaire et orientédans le sens des abscisses curvilignes croissantes. On le note :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

sdzdsdydsdxd

sdOGd

e

On a donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22222222 udzyxzdydxdsd ′+′+′=++=

et

u

u

22210

0

duzyxGGs , avec le signe + si le sens des u croissants correspond au

sens positif choisi sur 10 GG et le signe – dans le cas contraire.

2.1. – Théorème du repère mobile

Soit { }321 e,e,e une base orthonormée dont les vecteurs de base sont des fonctions dérivables

d’un paramètre u. Appelons [A] la matrice qui fait correspondre aux trois vecteurs ie les troisvecteurs dérivés, telle que l’on ait :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

e

e

e

AAA

AAA

AAA

e

e

e

udd

(1)



Théorème : si la base { }ie reste orthonormée quand u varie, la matrice [A] estantisymétrique.

En effet, on a : ijji ee δ=⋅ (symbole de Kronecker) et ji

ij euded

A ⋅= . En dérivant la première

de ces deux formules, il vient : 0ud

edee

uded j

iji =⋅+⋅ , c’est-à-dire 0AA jiij =+ .

2.2. – Repère de Frenet

Définissons un repère orthonormé d’origine G, lié à l’arc de courbe 10 GG . Prenons commepremier vecteur de base le tangent unitaire e ; ce vecteur étant de longueur constante, le

vecteur sded

lui est perpendiculaire. On peut donc poser Rn

sded = avec :

• n unitaire, normal à e , nommé vecteur normal principal, que nous prendrons commesecond vecteur de base.

•R1

, scalaire de dimension 1L− , nommé courbure de l’arc 10 GG en G.

Le troisième vecteur de base b , défini par : neb ∧= , se nomme binormal. Le repère

orthonormé direct { }b,n,e,G est le repère de Frenet de la courbe 10 GG au point G.

2.3. – Formules de Frenet

Appliquons la formule (1) à la base de Frenet considérée comme fonction de s. On obtient lesformules de Frenet :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

b

n

e

0T1

0

T1

0R1

0R1

0

b

n

e

sdd

(2)

En effet la matrice A étant antisymétrique, elle est définie par ses trois composantes strictesA12, A13, A23.

Ayant posé Rn

sded = , on a posé

R1

A12 = et 0A13 = .



On pose alors T1

A23 = , scalaire nommé torsion de la courbe 10 GG en G.

Remarque 1

L’orientation du vecteur n est arbitraire ; le changement de n en – n change R en – R. Lesigne de la courbure n’a donc pas de signification géométrique.

En général, dans le cas des courbes planes, on prend n directement perpendiculaire à e ,

c’est-à-dire ( )2

n,eπ+= ; R est alors un nombre positif si n est orienté vers la concavité de la

courbe 10 GG , négatif dans le cas contraire. Dans le cas des courbes gauches, on impose en

général à n d’être orienté vers la concavité de 10 GG , ce qui revient à prendre R > 0.

Le centre de courbure I de l’arc 10 GG en G défini par la formule nRGI = ; R se nomme

rayon de courbure de l’arc 10 GG en G.

Remarque 2

Le point J défini par bTGJ = se nomme centre de torsion de l’arc 10 GG en G, et T rayon detorsion. Le signe de T a la signification géométrique suivante : lorsque G se déplace dans lesens positif sur 10 GG , le repère de Frenet tourne autour de e dans le sens positif, si T estpositif et dans le sens négatif, si T est négatif.

Remarque 3

Les trois plans contenant G et normaux à e , n , b se nomment plan normal, plan rectifiant,plan osculateur (respectivement).

Remarque 4

Une courbe a une torsion identiquement nulle, si et seulement si elle est plane. Une courbe aune courbure identiquement nulle, si et seulement si, elle est rectiligne.

Remarque 5

En un point d’inflexion, on a 0sded = , 0

R1 = (courbure locale nulle) ; le vecteur n y est

indéterminé. On peut alors de définir par continuité.

En chaque point d’un segment de droite, par contre, on a 0R1 = et n indéterminé ; on se

donne alors un plan osculateur contenant ce segment de droite et les normales principales.



Exemple : ressort hélicoïdal

– Figure 3 –

La ligne moyenne est une hélice circulaire, de représentation paramétrique, dans les axes de lafigure 3 :

⎪⎩

⎪⎨⎧

θλ=θ=θ=

az

sinay

cosax

G

λ est le pas réduit (positif sur la figure), a le rayon du cylindre porteur, θ l’angle polaire par

rapport à ox du vecteur GO ′ , projection de OG sur le plan (xoy). L’origine A est un pointfixe de l’axe des x : l’extrémité B est soudée à une barre BC de longueur a, c se trouvant surl’axe z’z. On applique en C une force F portée par z’z. Le sens positif choisi sur l’hélice estcelui des θ croissants.

On trouve : ( )21aR λ+= , a1

T2

λλ+= , θλ+= d1asd 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

λθθ−

⋅λ+ cos

sin

e1 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ−θ−

0

sin

cos

n⎪⎩

⎪⎨⎧

θλ−θλ

⋅λ+1

cos

sin

b1 2



3. – ÉTUDE DES SECTIONS DROITES

3.1. – Centre de section

C’est le centre de gravité G de la section droite S ; si le plan de S est rapporté à deux axesperpendiculaires oy et oz, les coordonnées de G sont données par les formules :

∫∫ ⋅=⋅s

SdyyS G et ∫∫ ⋅=⋅s

SdzzS G

y et z désignant les coordonnées du point courant P de S, centre de l’élément dS (figure 4).

– Figure 4 –

Si S possède un axe de symétrie, G est sur cet axe ; si S possède deux axes de symétrie, G estleur intersection (centre de symétrie). Rappelons les théorèmes de Guldin qui permettent detrouver la position de G dans un certain nombre de cas :

1er théorème

l désignant la longueur d’un arc de courbe, de centre de gravité G, dessiné dans le demi-plan0z ≥ , la surface de révolution d’axe y’y admettant cet arc de courbe comme méridienne a

pour aire lz2A G⋅π= .

2e théorème

S désignant l’aire d’un domaine, de centre de gravité G, situé dans le demi-plan 0z ≥ , lesolide de révolution d’axe y’y admettant ce domaine comme section méridienne a pourvolume Sz2V G⋅π= .



Exemples d’application

– Figure 5.a – – Figure 5.b –

1er théorème

La section droite mince est une bande demi-circulaire, d’épaisseur e et de rayon moyenea >> (figure 5.a). La première formule de Guldin s’écrit ici :

az2a4 G2 π⋅π=π

On en tire : a2

zG π=

2e théorème

La section droite est le domaine S demi-elliptique de la figure 5.b ; les longueurs des demi-axes sont notées a (suivant oz) et b (suivant oy). La deuxième formule de Guldin s’écrit ici :

2ba

z2ba34

G2 π⋅π=π

On en tire : a34

zG π=

3.2. – Moments quadratique de la section droite

La section droite S étant rapportée aux axes oy et oz de la figure 4, on appelle :

– moment quadratique de S par rapport à l’axe oy, le scalaire positif :

∫∫ ⋅=s

2y SdzI

– moment quadratique de S par rapport à l’axe oz, le scalaire positif :

∫∫ ⋅=s

2z SdyI

– moment quadratique de S par rapport à l’axe ox, le scalaire positif :

zys

2

x IISdOPI +=⋅= ∫∫



– moment produit de S par rapport aux axes oy et oz, le scalaire positif, négatif ou nul :

∫∫ ⋅=s

yz SdzyI

Remarque 1 :Ces moments sont de dimension L4 et s’expriment donc en m4.

Remarque 2 :Ces moments égalent les moments d’inertie définie en Mécanique Générale, en considérant Scomme une plaque plane mince de masse surfacique unité.

Remarque 3 :Si Gx, Gy, Gz désignent les axes issus de G et parallèles à ox, oy, oz on a les formules deHuygens pour ce changement d’origine :

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=++=

⋅+=⋅+=

GGGyzyz

2G

2GGxox

2GGzoz

2GGyoy

zySII

zySII

ySII

zSII

(4)

Remarque 4 :

On peut écrire 2yy SI ρ= , 2

zz SI ρ= , 2xx SI ρ= définissant ainsi les rayons de giration yρ , zρ ,

xρ .

3.3. – Tenseur des moments quadratiques

Revenons à la figure 4 et considérons une droite Δ du plan de S, issue de o, portant un unitaireu d’angle polaire α à partir de l’axe oy. Exprimons le moment quadratique ΔI de S parrapport à cette droite ; en appelant H la projection du point courant P sur Δ, on a :

( ) ( )∫∫∫∫∫∫ α−α=∧==Δs

2

s

2

s

2SdsinycoszSdOPuSdPHI

En développant, il vient :

α⋅+αα⋅−α⋅=Δ2

zzy2

y sinIcossinI2cosII

Cette forme quadratique définie positive s’écrit matriciellement :

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

αα

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−αα=Δ sin

cos

II

IIsincosI

zzy

zyy(5)

On introduit ainsi la matrice carrée symétrique du tenseur des moments quadratiques de S

en o. Cette matrice est diagonalisable par rotation des axes d’un angle θ, défini modulo 2π

par

l’équation zy

zy

II

I22tg

−−

=θ .



Ses valeurs propres sont les moments quadratiques principaux, c’est-à-dire les momentsquadratiques par rapport aux axes principaux d’inertie, qui valent :

( ) ( ) 2zy

2zyzy I4II

21

II21 +−±+

Dans ce cours, nous utiliserons exclusivement les axes principaux centraux d’inertie, issus deG et notés GX, GY, GZ. Les moments quadratiques centraux principaux correspondantsseront notés IX, IY, IZ.

RemarqueLorsque la section droite S possède un axe de symétrie, celui-ci est axe principal centrald’inertie.

Exemples : moments quadratiques centraux principaux de quelques sections droites usuelles :

3Y ba

34

I =4a

I4

Y

π=

ba34

I 3Z = 4

aI

4

Z

π=

( )22X baba

34

I +=2a

I4

X

π=

( )ba3be34

I 2Y += eaI 3

Y π=

( )ab3ae34

I 2Z += eaI 3

Z π=

( )3X bae34

I += ea2I 3X π=

– Figure 6 –



3.4. – Repère de Frenet et repère principal de la section droite

En un point G de la ligne moyenne, centre de la section droite S, nous avons défini deuxrepères orthonormés ayant même origine G et même premier axe GX, d’unitaire e .

Le repère principal { }Z,Y,X,G se déduit donc du repère de Frenet { }b,n,e,G par une

rotation autour de l’axe longitudinal GX, d’un angle ϕ appelé angle de calage de la sectiondroite (figure 7).

– Figure 7 –

Les formules de passage entre les deux repères sont données par le tableau ci-après.

I J K

e 1 0 0(6)

n 0 cos ϕ – sin ϕ

b 0 sin ϕ cos ϕ

Compte tenu des formules de Frenet (2), du tableau (6), et du théorème du repère mobile, lesdérivés des vecteurs de base principaux par rapport à s sont donnés par la formule :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕ−−ϕ

ϕ+ϕ−

ϕ−ϕ

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

K

J

I

0sd

d

T

1

R

sinsd

dT1

0R

cosR

sinR

cos0

K

J

I

sdd

(7)



Remarque 1Dans la majorité des cas, les deux repères coïncident pour toutes les sections droites et lecalage ϕ est identiquement nul.

Remarque 2Lorsque les moments quadratiques IY et IZ sont égaux, cas notamment d’une section circulaireou carrée, toute droite passant par G est axe principal d’inertie. Les axes GY et GZ sont alorsarbitraires et l’on peut prendre 0=ϕ .

Remarque 3

On dit qu’une poutre admet un plan moyen (π) si :– sa ligne moyenne appartient au plan (π).– l’un des axes principaux, GY par exemple, reste dans le plan (π) quand G décrit l’arc 10 GG .

On a encore 0=ϕ

Dans la grande majorité des cas, les poutres à plan moyen (π) sont des poutres admettant ceplan comme plan de symétrie.

4. – EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE

4.1. – Définition du visseur

Toute section droite S divise la poutre en deux parties :

– la partie amont (I) entre la section origine S0 et la section S.

– la partie aval (II) entre la section S et la section finale S1.

La poutre étant soumise à un système de forces extérieures, données et de liaison, enéquilibre, la partie (II) exerce sur la partie (I) suivant (S), un torseur de forces ayant pouréléments de réduction en G :

– une résultante générale R .

– un moment résultant .

Ce torseur se nomme visseur relatif à la section S et se note { }V ; il est caractérisé par six

composantes (trois pour R et trois pour ).

La projection de R sur GX est l’effort normal N , de mesure algébrique N, positive dans lecas d’une traction et négative dans le cas d’une compression.

La projection de R sur le plan de section droite S est l’effort tranchant (ou cisaillement) T ,de composantes TY et TZ sur les axes principaux.

La projection de sur GX est le moment longitudinal de mesure algébrique MX.

La projection de sur le plan de S est le moment de flexion f de composantes MY et MZ.



– Figure 8 –

Remarque 1Si l’on coupe la poutre suivant S, on fait apparaître les deux lèvres (S –) et (S +) de lacoupure, limitant respectivement partie amont (I) et partie aval (II). Il faut alors, pour quel’équilibre de chaque partie demeure inchangé, appliquer sur (S –) un torseur de forceséquivalent à { }V et sur (S +) le torseur opposé.

– Figure 9 –

Remarque 2Dans certains ouvrages, on appelle visseur relatif à la section S, l’action de (S –) sur (S +),c’est-à-dire de la partie amont (I) sur la partie aval (II).

Bien entendu, on passe d’une convention à l’autre par simple changement de signe.

Remarque 3

Le torseur { }V est un système de forces de surface appliquées sur (S –). Si dS est un élémentd’aire de centre P, soumis à la force Sdc , le vecteur contrainte c ayant une composantenormale σ et une composante tangentielle τ , on a les relations suivantes entre contraintes etcomposantes du visseur :

∫∫σ=s

SdN ; ∫∫τ=s

SdT ; ∫∫ τ∧=s

SdGP ; f ∫∫ σ∧=s

SdGP



– Figure 10 –

Remarque 4

Les efforts internes agissant au niveau d’une section S peuvent être considérés comme lasuperposition de quatre sollicitations simples : l’effort normal, l’effort tranchant, le momentlongitudinal, le moment de flexion. L’étude des contraintes, déformations et déplacementsdus à ces sollicitations, fera l’objet des quatre chapitres qui suivent.

4.2. – Calcul des composantes du visseur

Décomposons le torseur { }F des forces extérieures, données et de liaison, appliquées à la

poutre, en torseur { }IF appliqué à la partie amont (I) et torseur { }IIF appliqué à la partieaval (II).

Ecrivons alors l’équilibre du tronçon II ; pour ce tronçon, les forces extérieures sont :

– d’une part, celles qui constituent le torseur { }IIF ;

– d’autre part, celles qui constituent le visseur { }V− , comme le montre la figure 9b.

On obtient donc : { } { } { }0FII =−+ V , soit : { } { }IIF=V et l’on peut énoncer :



Théorème fondamental : le visseur régnant sur une section droite de poutre égale le torseurde toutes les forces extérieures, données et de liaison, appliquées à la poutre au delà de cettesection.

La règle pratique de calcul du visseur sur S est donc la suivante :

– la résultante R est égale à la somme du toutes les forces extérieures appliquées à la poutreau delà de S ;

– le moment résultant est égal au moment en G, centre de S, de toutes les forcesextérieures appliquées à la poutre au delà de S.

Remarque 1

Dans certains cas, il est plus commode d’écrire l’équilibre du tronçon amont (I) ; R et sontalors opposés respectivement :

– à la résultante des forces extérieures appliquées à la partie (I) ;

– au moment résultant en G de ces mêmes forces.

Remarque 2

Parmi les forces extérieures constituant les torseurs { }IF et { }IIF peuvent se trouver desréactions de liaison hyperstatiques, donc a priori inconnues.C’est le cas en particulier des anneaux, poutres fermées que l’on « coupe » suivant unesection arbitraire ; les deux lèvres de la coupure constituent les sections origine et finale surlesquelles les sollicitations sont des inconnues hyperstatiques.

1er exemple

Poutre prismatique de longueur 4 L, de plan de symétrie vertical X O Y, soumise à son proprepoids Lp4P = et reposant sur deux appuis horizontaux de même niveau, comme l’indique lafigure 11.

Sur une section droite S d’abscisse X, les seules composantes non nulles du visseur sontl’effort tranchant TY et le moment de flexion MZ, que l’on propose de calculer pour endessiner les diagrammes ( YO TX ⎯→⎯ et ZO MX ⎯→⎯ ).



– Figure 11 –



Les réactions d’appuis, égales, valent : Lp22P

RR BA ===

En appliquant le théorème fondamental, on a donc :

– Pour L2XL ≤< :

( )XL2pTY −−= et ( )2Z XL2p21

M −−=

– Pour LXL <<− :

XpTY = et 2Z Xp

21

M −=

– Pour LXL2 −<≤− :

( )XL2pTY += et ( )2Z XL2p21

M +−=

Ces formules permettent de tracer les diagrammes d’effort tranchant et de moment de flexion,donnés par la figure 11 et qui nous inspirent deux remarques.

– les réactions d’appui introduisent des discontinuités de première espèce dans le diagrammed’effort tranchant ;

– l’effort tranchant est la dérivée, changée de signe, du moment de flexion, par rapport à X.

Nous aurons l’occasion de revenir sur ces deux points.

2e exemple

Revenons au ressort hélicoïdal de la figure 3. L’application du théorème fondamental nouspermet de calculer les composantes du visseur sur une section droite quelconque et dans lesaxes de Frenet de cette section droite. On trouve :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λ+λ=⋅=

=⋅=

λ+λ=⋅=

F1

bFT

0nFT

F1

eFN

R

2b

n

2

( )( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λ+λ==

==

λ+==

2b

n

2X

1

Fab,F,GCM

0n,F,GCM

1

Fae,F,GCM

Les six composantes ont mêmes valeurs sur toute section droite de la poutre.



5. – ÉQUATION D’ÉQUILIBRE DES POUTRES

5.1. – Cas général

Considérons une tranche élémentaire de poutre, comprise entre les sections droites voisines Set S’, d’abscisses curvilignes s et s + ds de centres G et G’.

Supposons que les forces et couples extérieurs appliqués à la poutre au niveau de cette tranchesoient tous répartis ; appelons sdp ⋅ et sd⋅ leur résultante générale et leur momentrésultant en G.

Les efforts appliqués à (S +) ont pour résultantes : )s(R− et pour moment résultant en G :

. Sur ( −′S ) la résultante générale est sdRd

R + et le moment résultant sd

MdM .

L’équilibre de la tranche s’écrit alors, en négligeant les termes du second ordre (en 2sd )devant ceux du premier ordre (en sd ) :

sdeGGavec,OsdmRGGsdsdMd

MM

OsdpsdsdRd

RR

Ceci donne, après simplifications :

0sdRd

p =+ et sd

Mdm ORe =∧+ (8)

Ces deux équations vectorielles d’équilibre de la tranche élémentaire équivalent à sixéquations scalaires que nous nous proposons d’écrire dans le repère principal { }ZYX,G . Ona dans cette base :

⎪⎩

⎪⎨⎧

Z

Y

X

p

p

p

p ⎪⎩

⎪⎨⎧

Z

Y

X

m

m

m

⎪⎩

⎪⎨⎧

Z

Y

T

T

N

R ⎪⎩

⎪⎨⎧

Z

Y

X

M

M

M

Compte tenu des formules de dérivations (7) nous obtenons

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ++ϕ−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ+−+ϕ+

=ϕ+ϕ−+

0sd

Td

sd

d

T

1T

R

sinNp

0sd

d

T

1T

sd

Td

R

cosNp

0R

sinT

R

cosT

sd

Ndp

ZYZ

ZY

Y

ZYX

(9)



⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ++ϕ−

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ+−+ϕ+

=ϕ+ϕ−+

0Tsd

Mdsd

dT1

MR

sinMm

0Tsd

dT1

Msd

MdR

cosMm

0R

sinM

Rcos

Msd

Mdm

YZ

YXZ

ZZY

XY

ZYX

X

(10)

5.2. – Poutre à plan moyen (xoy) chargée dans ce plan

On a, dans le cas de ce problème plan (figure 12) :

0M,0M,0T,0m,0m,0p,0T1

,0 YXZYXZ ========ϕ

Trois équations d’équilibre ne sont pas identiquement vérifiées : les équations d’équilibre desforces suivant GX et GY et l’équation d’équilibre des moments suivant GZ. Ces troiséquations s’écrivent :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=−+

0Tsd

Mdm

0sdTd

RN

p

0RT

sdNd

p

Y

X

(11)

avec T = TY ; M = MZ ; m = mZ

– Figure 12 –



5.3. – Poutre rectiligne à plan moyen (xoy)

On a alors 0T1

et0R1

,0 ===ϕ .

Sous un chargement tridimensionnel, on a :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

0xd

Tdp

0xd

Tdp

0xdNd

p

ZZ

YY

X

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=−+

=+

0Txd

Mdm

0Txd

Mdm

0xd

Mdm

YZ

Z

ZY

Y

XX

(12)

– Figure 13 –

Remarque 1

Dans la majorité des problèmes de statique des structures, on a 0= : pas de couple réparti.

Dans ce cas, les deux dernières formules (12) donnent :

xdMd

T YZ = et

xdMd

T ZY −=

La troisième formule (11) donne :

sdMd

T ZY −=

Remarque 2

Sur une section où est appliqué un chargement ponctuel (force ou couple), certainescomposantes du visseur subissent des discontinuités de première espèce et ne sont pasdérivables : c’était le cas de l’effort tranchant au droit des sections d’appuis de la figure 11.

Remarque 3

Nous avons donné au § 4.2. une méthode directe de calcul du visseur. L’intégration deséquations d’équilibre constitue une deuxième méthode.

Ces équations sont intégrables sur tout tronçon de poutre où ne s’applique aucun effortponctuel (force ou couple).

� ��

��

��

��

�

��

�� !"#��#!�$��%��"%��&��'� ()* + === �� θ= �,�� %��&��-��&��.)�/�.��0(�/�0�1�

+,.�0�

�+�.�

2�+.�2� =+

θ=

θ+=−

θ�

3��%�� .�� 4��1�

� +2�

2�5

5

=+θ

��"�'� θ+θ= ��&��2 � ��#!�� +� >θ �

� �� θ+θ= ��"&��"�2 � ��!"#�� +� <θ �



θ+θ−=θ

= cosbsinad

NdT pour )0( >θ

et θ+θ−=θ

= cos’bsin’ad

NdT pour )0( <θ

enfin, la troisième équation RTdMd −=θ

donne :

( )csinbcosaRM +θ+θ−= pour )0( >θ

et ( )’csin’bcos’aRM +θ+θ−= pour )0( <θ

Les conditions aux limites, en A et A’, et les conditions de raccordement en C, permettent decalculer les constantes d’intégration.

On a :

– En A, 2π=θ : T = 0,

2F

N −= , 0a0M =⇒= , 2F

b −= , 2F

c += .

– En A’, 2π−=θ : T = 0,

2F

N −= , 0’a0M =⇒= , 2F

’b = , 2F

’c = .

– En C, 0=θ , continuité pour N et M, discontinuité pour T avec un saut égal à F− .

D’où les fonctions cherchées :

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ−−=θ−=θ−=>θ

θ+−=θ=θ=<θ

sin12

RFM;cos

2F

T;sin2F

N:0

sin12F

RM;cos2F

T;sin2F

N:0

et les diagrammes correspondants :



– Figure 15 –


CHAPITRE II – EFFORT NORMAL

CHAPITRE II

EFFORT NORMAL

1. – ÉTUDE DE LA BARRE

Considérons une poutre prismatique (ou cylindrique) limitée par deux sections droites S0 et S1

distantes de L (figure 1).

– Figure 1 –

Appliquons sur S0 et S1 les forces axiales F− et F respectivement, uniformément réparties.Prenons x’x suivant la ligne moyenne, y’y et z’z liés à S0 et passant par G0. Une telle poutre,ainsi chargée est appelée barre. Sur la section droite courante S, le visseur se réduit au seuleffort normal N = F (positif en cas de traction, négatif en cas de compression). D’aprèsl’expérience de traction simple décrite au chapitre III du tome I, on a les résultat suivants :

– En contraintes :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡σ=Σ

000

000

00x

avec SF

x =σ (1)

– En déformations :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εε

ε=

z

y

x

00

00

00

E avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

εν−=ε=ε

=σ=ε

xzy

xx SE

FE

(2)

– En translations, dans un repère lié à S0 =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ν−=

ν−=

=

zSE

Fw

ySEF

v

xSE

Fu

PP 10 et (3)



L’énergie potentielle élastique emmagasinée par la tranche comprise entre les sections S et S’

d’abscisses x et x + dx, est : xdSE

N21

udN21

Wd2

=⋅= , d’où :

SEN

21

xdWd 2

= et SELN

21

W2

= (4)

Le rapport entre l’effort F et l’allongement Lx ⋅ε est la rigidité globale LSE

de la barre ; son

inverse SE

L est la souplesse.

SE est la rigidité linéique.

Remarque

– Figure 2 –Biellette

En général, les forces F et F− sont appliquées à la barre par l’intermédiaire d’embouts,comme le montre la figure 2. D’après le principe de Saint-Venant, les résultats précédentssont valables, sauf au voisinage de ces extrémités où le champ de contraintes est perturbé.

2. – TREILLIS DE BARRES

On appelle ainsi tout assemblage de barres reliées entre elles, en leurs extrémités, par desrotules constituant les nœuds. On suppose de plus :

– les liaisons du treillis avec l’extérieur, également réalisées au moyen de rotules, au niveaude certains nœuds ;

– les forces extérieures, appliquées exclusivement aux nœuds ;

– les poids propres des barres négligeables devant ces forces extérieures.

Dans ces conditions, chaque barre travaille bien en traction pure ou en compression pure. Il

suffit pour s’en assurer d’écrire l’équilibre d’une barre AB ; en appelant AF et BF lesrésultantes des forces extérieures appliquées en A et B, on obtient le système :

OFF BA =+ , OFAB B =∧

qui implique que AF et BF sont opposées sur le support commun AB.

Remarque 1De nombreuses structures sont réalisées par assemblage de poutres prismatiques longues, cesassemblages étant réalisés par soudage, boulonnage ou rivetage ; c’est le cas par exemple des



grues, des bâtis-moteurs d’avions en tubes d’acier soudés, des ponts et viaducs métalliques,des pylônes de lignes électriques, des mâts porte-antennes, etc. De telles structures nerépondent pas exactement à la définition que nous avons donnée des treillis puisque les nœudsne sont pas des articulations et peuvent donc transmettre des couples. Cependant, les calculsmontrent que les effets de l’effort normal (déformations, contraintes, déplacements) y sonttout à fait prépondérants devant ceux des autres sollicitations. Ces structures peuvent doncêtre considérées et calculées comme des treillis avec une très bonne approximation.

Remarque 2Au niveau de la conception d’une structure, on doit penser en premier lieu à la solutiontreillis : celle-ci est en effet légère, simple et économique.

3. – TREILLIS PLANS

Un treillis est dit plan si les lignes moyennes des barres et les forces extérieures sont situéesdans un même plan, noté (xoy).

3.1. – Isostaticité et hyperstaticité

Considérons un treillis plan, débarrassé de toutes ses liaisons avec l’extérieur. Appelons b lenombre de ses barres et n le nombre de ses nœuds.

S’il est intérieurement isostatique, il constitue un solide, l’immobilisation des barres les unespar rapport aux autres est assurée et la suppression de l’une quelconque d’entre elles le rendhypostatique. Le positionnement du treillis dans son plan, défini par 3 paramètresindépendants, peut aussi être assuré par celui de ses nœuds, c’est-à-dire par 2n paramètres liéspar b relations indépendantes ; on a alors la relation :

3bn2 =− ou 3n2b −=

Si le treillis est intérieurement hyperstatique de degré p, il possède p barres surabondantes etl’on a :

p3n2b +−=

En ce qui concerne le système des liaisons avec l’extérieur, celui-ci est isostatique s’il bloquetrois degrés de liberté nodaux, ce qui introduit trois réactions scalaires pour trois équationsd’équilibre. Le treillis est extérieurement hyperstatique de degré q, si les liaisons externesbloquent (3 + q) degrés de liberté nodaux, créant (3 + q) réactions inconnues pour 3 équationsd’équilibre.

3.2. – Equilibre des nœuds

Soit A un nœud du treillis relié à d’autres nœuds Ai par les barres AAi (figure 3). Appelons

( )Y,XF la résultante des forces extérieures, données et de liaison, appliquées au nœud A, iϕl’angle polaire de iAA par rapport à l’axe ox, Ni l’effort normal, algébrique, dans la barre

AAi. Si iN est la force appliquée par la barre AAi sur le nœud A, on vérifie que Ni est sa

mesure algébrique sur l’unitaire de iAA .



– Figure 3 –

L’équilibre des forces appliquées au nœud A s’écrit : ONF i =Σ+ , la sommation étantétendue à toutes les barres issues du nœud A.

En projection sur les axes, ox et oy, on obtient :

⎩⎨⎧

=ϕΣ+=ϕΣ+

)oysuivant(0sinNY

)oxsuivant(0cosNX

ii

ii (5)

En écrivant ainsi l’équilibre des n nœuds, on obtient un système linéaire de 2n équations.

3.3. – Déplacements des nœuds

Considérons la barre AiAj, de caractéristiques Lij, Sij, Eij et soit ijϕ l’angle polaire du vecteur

jiAA par rapport à ox.

Dans l’état initial (o), on a la relation de Pythagore :

2ij

2ij

2ij L)yy()xx( =−+−

où xi, yi et xj, yj désignent les coordonnées des nœuds Ai et Aj. Ces coordonnées subissent,sous l’action du chargement, les variations ui, vi et uj, vj petites devant Lij, telles que, pardifférentiation de la relation ci-dessus, on ait l’égalité :

ijijijijijij LL)vv()yy()uu()xx( δ⋅=−−+−−

En divisant les deux membres par Lij, on obtient, compte tenu de la loi de Hooke :

ijij SE

LNL ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=δ :

ijijijijij SE

LNsin)vv(cos)uu( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ϕ−+ϕ− (6)

On peut écrire une telle équation aux déplacements nodaux pour chaque barre du treillis.



3.4. – Calcul d’un treillis plan

On se donne :– la géométrie du treillis, en particulier les coordonnées des nœuds, les longueurs et sections

des barres ;– les modules d’Young des matériaux constituant les différentes barres ;– les liaisons avec l’extérieur.

On appelle p et q les degrés d’hyperstaticité intérieur et extérieur, respectivement.

On dispose :– des 2n équations d’équilibres nodaux ;– des b équations aux déplacements nodaux ;– des (3 + q) conditions imposées aux déplacements nodaux par les liaisons extérieures.

La résolution de ce système linéaire de (2n + b + 3 +q) équations permet de calculer, danstous les cas, les (2n + b + 3 +q) inconnues du problème, à savoir :– les 2n déplacements nodaux ;– les b efforts normaux dans les barres ;– les (3 + q) réactions de liaison scalaires extérieures.

Ces paramètres étant déterminés, on en déduit aisément les contraintes, déformations etdéplacements en tout point du treillis.

3.5. – Exemple d’application

Considérons le treillis plan de la figure 4 : les barres ont pour longueur L ou 2L , poursection droite S et pour module d’Young E. Les axes ox, oy et les liaisons externes sontdonnés par la figure 4 ainsi que le chargement, constitué par les deux forces de mêmeintensité F, et la numérotation des barres et nœuds.

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==−−=

==

1q

13n2bp

6b

4n

– Figure 4 –



Les (2n + b + 3 + q = 18) équations du problème s’écrivent :

nodauxéquilibres

4nœud

022

NN

022

NNF

3nœud

0N22

NF

022

NNX

2nœud

02

2NNY

022

NNX

1nœud

0N22

NY

022

NNX

64

63

25

533

622

612

451

511

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−−

=++

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−−

=−−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=++

=−−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=++

=++

( ) ( )

( ) ( )

nodauxtsdéplacemen

6barreSE

2LN22

vv22

uu

5barreSE

2LN22

vv22

uu

4barreSELN

vv

3barreSELN

uu

2barreSELN

vv

1barreSELN

uu

62442

51313

414

343

223

112

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−+−

=−+−

=−

=−

=−

=−

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

==

0u

vu

0v0u

3

22

11

équations imposées par les liaisons externes

La résolution du système donne :

( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−=

−=−=

−−=−=

F2

235X

XY;F2

235X

F1223

Y;FX

3

222

11

réactions de liaison



( ) ( )

( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−=−=

−=−−=

−=−=

F2

22N;F22N

F2

12N;F

223

N

F22N;F22N

65

43

21

efforts normaux algébriques dans les barres

( )( ) ( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−=−==

−==−==

SELF

212

v,SELF

222v,SELF

22v,0v

SELF

223

u,0u,SELF

22u,0u

4321

4321

déplacements nodaux

Remarque 1Nous venons de donner une méthode générale de calcul d’un treillis ; on peut bien entenduappliquer d’autres méthodes, en utilisant par exemple les théorèmes de Castigliano etMenabrea. L’énergie potentielle élastique totale du treillis, s’écrit, d’après (4) :

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

b

1i i

2

SElN

21

W (i, numéro des barres)

Remarque 2Dans la plupart des cas, les barres ont toutes même section droite et même module d’Young.

4. – TREILLIS TRIDIMENSIONNELS

Nous allons étendre au cas tridimentionnel les résultats que nous venons d’obtenir pour lestreillis plans.

4.1. – Isostaticité et hyperstaticité

Si le treillis est intérieurement hyperstatique de degré p (p = 0 dans le cas isostatique), on a larelation : b = 3n – 6 + p, entre le nombre de barres b et le nombre de nœuds n.

Si le treillis est hyperstatique extérieurement de degré q, on a 6 + q réactions scalaires pour6 équations d’équilibre global ; les liaisons extérieures bloquent (6 + q) degrés de liberténodaux.

4.2. – Equilibre des nœuds

{ }zyx,o désignant un repère orthonormé lié au treillis, soient :

– A un nœud relié au nœud voisin Ai par la barre AAi ;

– αi, βi, γi les cosinus directeurs du vecteur iAA ;

– Ni l’effort normal dans la barre AAi ;

– ( )Z,Y,XF la résultante des forces extérieures, données et de liaison, appliquées au nœud A.



L’équilibre du nœud A s’écrit :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=γΣ+=βΣ+=αΣ+

0NZ

0NY

0NX

ii

ii

ii

(7)

4.3. – Déplacements nodaux

AiAj désignant une barre, de caractéristiques Lij, Sij, Eij, notons αij, βij, γij les cosinus

directeurs du vecteur jiAA et ui, vi, wi les déplacements du nœud Ai suivant ox, oy, oz,

respectivement.

On obtient, pour cette barre, l’équation aux déplacements nodaux.

( ) ( ) ( )ij

ijijijijijij SELN

wwvvuu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=γ−+β−+α− (8)

4.4. – Méthode générale de calcul

p et q désignant les degrés d’hyperstaticité intérieur et extérieur, on écrit :– les 3n équations d’équilibre nodaux (7)– les b équations aux déplacements nodaux (8)– les 6 + q conditions imposées par les liaisons externes aux déplacements nodaux.

La résolution de ce système linéaire donne :– les 3n composantes ui, vi, wi des déplacements nodaux– les b efforts normaux Ni dans les barres– les 6 + q composantes de réactions de liaisons externes.

5. – EFFORT NORMAL DANS UNE POUTRE QUELCONQUE

5.1. – Formules fondamentales

Dans les paragraphes précédents, nous avons étudié les barres et assemblages de barres ; nousallons maintenant étendre les formules (1) à (4) du § 1. au cas d’une poutre de formequelconque soumise à un chargement quelconque donnant sur la section courante S,d’abscisse curviligne s un visseur { }V et donc un effort normal N(s) (figure 5).

– Figure 5 –

La sommation est étendueà toutes les barresissues du nœud A.



Une tranche mince de poutre, comprise entre les sections droites voisines S et S’ d’abscissescurviligne s et s + ds, peut être considérée comme prismatique, compte tenu des hypothèsesde définition des poutres : diamètre de chaque section droite S faible devant la longueur de laligne moyenne et devant les rayons de courbure et de torsion de celle-ci en G. On peut doncétendre les résultats obtenus pour une barre. Dans le repère principal { }ZYX,G lié à S, on aalors :

– la matrice des contraintes :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡σ=Σ

000

000

00X

avec SN

X =σ (9)

– la matrice des déformations :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εε

ε=

Z

Y

X

00

00

00

E avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ν−=ε=ε

=σ=ε

SEN

SEN

E

ZY

XX

(10)

– le déplacement de S’ par rapport à S, translation de vecteur directeur.

sdSE

Nesd

SEN

d =⋅=Λ (11)

– l’énergie potentielle élastique emmagasinée dans cette tranche :

sdSE

N21

Wd2

= (12)

5.2. – Mesure de l’effort normal par jauges extensométriques

Nous nous limiterons au cas où la section droite S, sur laquelle on désire mesurer l’effortnormal, possède un axe de symétrie Z’Z (figure 6).

– Figure 6 –



L’axe principal Y’Y de S coupe la poutre en deux points symétriques P et P’, commel’indique la figure. En ces points, on colle deux jauges (j) et (j’) identiques, dans la directionaxiale X’X, et on en fait les résistances R1 et R3 du pont de Wheatstone. Si les résistances R2

et R4 sont constituées par deux jauges de compensation thermique (identiques à (j) et (j’)), lepont est insensible aux variations de température. V désignant la tension d’alimentation et

AC VVv −=δ la tension de déséquilibre du pont qui apparaît lorsque les jauges se dilatentsous l’action du chargement, on a :

( )314K

Vv ε+ε=δ

avec K = facteur de jauge

ou, puisque SE

N31 =ε=ε :

SEN

2K

Vv =δ

d’où Vv

KSE2

Nδ= (13)

Les théories de la flexion, de la torsion et du cisaillement développées dans les trois chapitressuivants, montrent que ce montage est insensible aux composantes du visseur autre que Npouvant s’appliquer sur S.

RemarqueSi les jauges actives (j) et (j’) sont autocompensées pour le matériau de la poutre, R2 et R4

peuvent être des boîtes de résistances étalonnées et l’on peut mesurer l’effort normal N parune méthode de zéro.

Pour cela, on annule vδ en se donnant des variations 2Rδ et 4Rδ c’est-à-dire enrééquilibrant le pont.

On a alors :4

4

2

2

3

3

1

1

RR

RR

RR

RR δ+δ=δ+δ

soit : ( )4

4

2

231 R

RRR

SEN

K2Kδ+δ==ε+ε d’où :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ+δ=4

4

2

2

RR

RR

K2SE

N (14)

5.3. – Exemple de poutres en traction ou compression

Exemple 1 : hélice d’avion

– Figure 7 –



Considérons une pale constituant une poutre rectiligne, de section droite évolutive (aire S(x) àla distance x de l’axe de rotation), réalisée en un matériau de masse volumique ρ. La rotationrapide, de vitesse angulaire ω, crée un champ de force centrifuges dans chaque pale (forcevolumique xf 2

x ωρ= ), d’où un effort normal de traction, variable avec x :

∫ ξξ⋅ξωρ=L

x

2 d)(S)x(N

(L désigne la distance entre l’axe de rotation et l’extrémité de la pale).

Remarque 1Les efforts aérodynamiques induisent moment de flexion, moment de torsion et efforttranchant.

Remarque 2Les pales de rotors d’hélicoptères ont en général une section constante. Dans ce cas, enappelant m la masse linéique de la pale, on a :

( )222 xLm21

)x(N −ω=

Exemple 2 : château d’eau

Un poids P est placé au sommet d’une colonnede hauteur h, axisymétrique (d’axe ox,vertical), faite d’un matériau de poidsvolumique ρg.

Quelle doit être la loi d’évolution de la sectiondroite ( ))x(Sx ⎯→⎯ , pour que la contrainte de

compression σx soit uniforme dans la colonneet égale une valeur donnée σ (négative) ?

L’effort normal dans la colonne vaut, àl’abscisse x :

∫ σ⋅=ξξρ−−=h

x)x(Sd)(SgPN

– Figure 8 –

Cette formule donne par dérivation l’équation différentielle :

xdg

SSd

σρ=

On en déduit :x

g

O eSS σρ

=



La section de base SO est alors donnée par la formule :

σρ

σ−=

hg

O eP

S

Exemple 3 : voûte circulaire sous pression uniforme

– Figure 9 –

On considère une poutre à plan moyen (xoy), de section droite constante S, de ligne moyenneAB (arc de cercle de rayon R, de longueur α= R2L , de centre 0). Les liaisons, indiquéessur la figure, permettent aux sections extrêmes de tourner, et d’effectuer des translationsradiales. Le chargement consiste en une force radiale centripète, uniformément distribuée,d’intensité p par unité de longueur de la ligne moyenne.

Calculons les réactions d’appuis, en A et B, ainsi que le visseur sur la section droite couranteS repérée par l’angle polaire θ.

Les équations d’équilibre (1.-(11)) s’écrivent :

0TRdMd

,Rpd

TdN,

dNd

T =+θ

−=θ

+θ

=

(N = effort normal ; T = TY = effort tranchant ; M = MZ = moment de flexion, en G).

Leur intégration donne, A, B, C désignant des constantes :

( )1sinBcosARpN −θ+θ=

( )θ+θ−= cosBsinARpT

( )CsinBcosARpM 2 +θ+θ−=



Les conditions aux limites s’écrivent :

T = 0, M = 0 et impliquent donc : A = B = C = 0

On a ainsi, sur S : T = 0, M = 0, N = – pR.

La voûte travaille donc en compression pure, d’intensité uniforme pR ; les réactions en A et Bont aussi pour intensité pR.

La longueur L et le rayon moyen R de la poutre subissent des variations relatives égales à

SERp− .

6. – STATIQUE DES CÂBLES

On nomme câble une poutre infiniment flexible et torsible. Nous supposerons également :

– que le câble est peu extensible (allongements relatifs sous charge LLδ

très faible devant 1).

– que le chargement consiste en forces (ponctuelles et réparties) à l’exclusion de tout couple.

Dans ces conditions, à l’équilibre, le moment résultant du visseur est identiquement nul etles équations d’équilibre (1.-(8)) s’écrivent :

ORe;ORdsdp =∧=+

Elles impliquent que le visseur se réduit, sur chaque section droite, au seul effort normal N ,et équivalent à la seule équation :

OsdpNd =+ (15)

L’effort normal N est d’ailleurs nécessairement positif et se nomme tension. Un câble nesupporte en effet aucun effort de compression.

Le problème général de statique des câbles consiste à déterminer, pour un chargement et unsystème de liaisons donnés :

– la courbe constituée par la ligne moyenne ;

– la tension N au niveau de chaque section droite ;

– les efforts de liaison.

Remarque

On peut dire qu’un câble est une poutre n’ayant pas de forme déterminée au repos, et quiprend, sous l’action du chargement, une forme d’équilibre telle, que les efforts internes seréduisent, sur chaque section droite, à une tension pure.



En fonction du type de chargement (forces ponctuelles et/ou réparties), nous distingueronstrois cas :

1er cas : chargement par des forces ponctuelles

On a alors partout, Op = ; le poids propre du câble est en particulier négligé. On appellenœuds A0A1 … AnAn + 1 les points d’application des forces ponctuelles (données et deliaison) ; A0 et An + 1 désignent les extrémités du câble.

Entre deux nœuds consécutifs Ai et Ai + 1, l’équation d’équilibre (15) s’écrit ONd = : N estconstant en direction et intensité. Chaque tronçon AiAi + 1 est donc rectiligne et la tension y estconstante.

On doit alors déterminer :– la ligne polygonale A0A1 … AnAn + 1 ;– la tension dans chaque tronçon ;– les efforts de liaison.

Pour cela on résout le système d’équations obtenu en écrivant, à chaque nœud :– l’équilibre des forces appliquées ;– les contraintes géométriques imposées.

Exemple

– Figure 10 –

Dans le plan vertical (xoy), où oy est la verticale ascendante, on a deux poulies fixes sansfrottement, d’axes parallèles à oz ; leurs diamètres sont suffisamment petits devant lalongueur du câble pour qu’on puisse les considérer comme ponctuelles. Elles constituent alorsles nœuds ( )111 y,xA et ( )222 y,xA , fixés dans le plan xoy.



Sur le câble de longueur L, on considère les trois nœuds : A0 (origine du câble), A2 (à ladistance L02 de A0 sur le câble), A4 (extrémité du câble, à la distance L24 de A2 sur le câble).Comme indiqué sur la figure :

– le nœud A0 est fixé au sol par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k ;

– le câble passe sur les poulies (A1) et (A3) ;

– un poids P2 est suspendu au nœud A2 ;

– un chariot de poids P4 libre de se déplacer sur un rail du plan (xoy) faisant l’angle γ avec laverticale, est fixé à l’extrémité A4. Le segment A3A4 est constamment parallèle à ce rail.

Lorsque le ressort est au repos, on suppose que son extrémité A0 se trouve sur l’axe des x.

On cherche à déterminer, à l’équilibre :

– la ligne polygonale A0A1A2A3A4, en particulier les coordonnées de A0, A2, A4 ainsi que lesangles α et β ;

– les tensions du câble dans les différents tronçons AiAi + 1 ;

– les réactions des poulies, soit R1 et R3.

Les équations d’équilibre des nœuds s’écrivent :

– Pour A0 : 001 ykN = .

– Pour A1 : 1201 NN = et 2

cosN2R 011

α= .

– Pour A2 : β+α= cosNcosNP 23122 et β=α sinNsinN 2312 .

– Pour A3 : 3423 NN = et 2

cosN2R 233

γ+β= .

– Pour A4 : γ= cosPN 434 .

Les conditions imposées aux nœuds s’écrivent :

– Pour A0 : valeur de x0 donnée, avec x0 = x1.

– Pour A1 : valeur de x1 et y1 données.

– Pour A2 : 022110 LAAAA =+ (donné)

soit 0221

01 Lcos

yyyy =

α−+− avec ( ) α−=− tgyyxx 2112

et 244332 LAAAA =+ (donné)

soit 244323 L

cosyy

cosyy =

γ−+

β−

avec ( ) β−=− tgyyxx 2323

– Pour A3 : valeurs de x3, y3 données.

– Pour A4 : ( ) γ−=− tgyyxx 4334 .



Cet ensemble de conditions, statiques et cinématiques, constitue un système non linéaire quipermet de calculer les inconnues : tension N, coordonnées des nœuds A0, A2, A4, angles αet β, réactions R1 et R3 des poulies.

Elles permettent également de déterminer la valeur minimale de P4 au-dessous de laquelle iln’existe pas de configuration d’équilibre.

2e cas : chargement par des forces réparties

Soit )s(p la densité linéique, supposée continue, au point courant ( )z,y,xG de la ligne

moyenne 10 AA . Les seules forces ponctuelles sont les réactions aux extrémités.

L’équation d’équilibre OsdpNd =+ est intégrable sur l’arc 10 AA . En projection sur lesaxes x, y, z, elle équivaut aux trois équations scalaires :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0sdpsdzd

Nd

0sdpsdyd

Nd

0sdpsdxd

Nd

z

y

x

avec ⎪⎩

⎪⎨⎧

z

y

x

p

p

p

p et

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

sdzdsdydsdxd

e (16)

En adjoignant aux trois équations (16), les deux équations suivantes : 222 zdydxdsd ++=

et ∫=1

0

A

AsdL (L = longueur du câble), on forme un système dont l’intégration, compte tenu des

conditions aux limites en A0 et A1, donne la figure d’équilibre et la tension N(s).

Remarque

Dans le repère de Frenet { }b,n,e,G lié au point G, l’équation vectorielle d’équilibre a pourprojections :

⎪⎩

⎪⎨⎧

==+=+

0p

0pRN

0sdpNd

b

n

e

avec ⎪⎩

⎪⎨⎧

b

n

e

p

p

p

p (17)

R désigne le rayon de courbure en G.

1er exemple : câble sous son propre poids, chaînette

On ancre les extrémités d’un câble en deux points A0 et A1 du plan vertical (xoy). On notep le poids linéique du câble, et L sa longueur (supérieure à la distance A0A1) puis x0, y0

et x1, y1 les coordonnées de A0 et A1, avec x0 < x1 et on oriente la ligne moyenne du câble deA0 vers A1.



– Figure 11 –

Pour déterminer cette ligne moyenne ainsi que la tension N, partons des équationsd’équilibre :

0sdxd

Nd =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ et 0sdp

sdyd

Nd =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Une première intégration donne :

xNsdxd

N = , projection constante de N sur ox.

et ctespsdyd

N +=

L’élimination de N entre ces deux relations donne ensuite xx N

ctes

Np

xdyd += , puis par

dérivation :

xdsd

Np

xdyd

x2

2

= soit 2

x2

2

xdyd

1Np

xdyd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Enfin, par deux intégrations successives, on obtient :

( )axNp

hsxdyd

x

−= et ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−=− ax

Np

chp

Nby

x

x (18)

10 AA est donc un arc de chaînette.

On en déduit immédiatement :

( )axNp

chxdsd

x

−= et ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−= ax

Np

chNNx

x (19)



Les constantes d’intégration Nx, a et b se déterminent grâce aux relations :

( ) ( ) ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−

−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=−= ∫

axNp

chp

Nby

axNp

chp

Nby

axN

pshax

N

psh

p

Nxdax

N

pchL

1x

x1

0x

x0

x

x0

x1

x

x

x

1

0

qui expriment que la chaînette a pour longueur L et passe par les points A0, A1.

On remarque que a et p

Nb x+ sont les coordonnées du sommet de la chaînette (situé

éventuellement hors de l’arc A0A1), où le rayon de courbure vaut p

Nx .

2e exemple

Câble ancré en ses extrémités et soumis à une force linéique verticale descendante sdxd

fp = ,

avec f constant.

C’est le cas d’un câble porteur de pont suspendu, si le tablier a un poids linéique f et que lessuspentes, supposées infiniment rapprochées, sont toutes également tendues.

– Figure 12 –

On suppose de plus les poids du câble porteur et des suspentes négligeables devant celui dutablier, et x0 < x1.



On a les équations d’équilibre d’un élément de câble :

0sdxd

Nd =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ et 0xdf

sdyd

Nd =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Une première intégration donne :

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

=

faxsdyd

N

)Nde constante ehorizontal e(composantNsdxd

N x

puis l’élimination de N : ( )axNf

xdyd

x

−= , d’où :

( )2x

axNf

21

by −=− et ( )22x

2

x axN

f1NN −+= (20)

La forme d’équilibre est donc parabolique.

Les constantes d’intégration Nx, a et b se déterminent grâce aux trois relations :

– ( ) ( )[ ]∫ ++++=−+=1

0

1

2

x

x

u

u

22x2

2x

2

u1uLogu1uf2

Nxdax

N

f1L

avec ( )axNf

ux

−=

– ( )20x

0 axNf

21

by −=− (le câble passe par A0)

– ( )21x

1 axNf

21

by −=− (le câble passe par A1)

qui expriment que le câble a pour longueur L et passe par les points A0, A1.

On note que a et b sont les coordonnées du sommet de la parabole (situé éventuellement en

dehors de l’arc 10 AA ), où le rayon de courbure vaut f

Nx .

3e cas : chargement mixte (forces ponctuelles et forces réparties)

Dans ce cas, on décompose l’arc n+10 AA en tronçon notés 10 AA , 21 AA , … , n+1n AA tels quesur chaque tronçon ;

– la force linéique p soit continue ;

– il n’y ait pas de force ponctuelle.

Ces forces ponctuelles ne peuvent donc être appliquées qu’aux nœuds Ai.

L’intégration des équations d’équilibre sur chaque tronçon donne, avec des constantesd’intégration, l’arc de courbe i+1i AA et la tension qui y règne.



L’écriture en chaque nœud, de l’équilibre des forces et des contraintes géométriques imposéespermet enfin de raccorder les différents tronçons et de déterminer les constantes d’intégration.

Exemple : le téléférique

– Figure 13 –

Un câble porteur de téléférique a son origine ancrée en un point )y,x(A 000 . A un instant

donné, la benne, de poids P1 est suspendue en un point )y,x(A 111 . Enfin le câble, après

passage sur une poulie )y,x(A 222 , supposée ponctuelle, est tendu par un contrepoids P3 fixéà son extrémité A3.

Les tronçons seront notés (1), (2), (3) ; p désigne toujours le poids linéique du câble.Rappelons que le tangent unitaire e en un point G de la ligne moyenne a pour composantes :

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−==ϕ

−==ϕ

x

x

Naxp

thsdyd

sin

Naxp

ch

1sdxd

cos

e



Sur le tronçon (1), ou 10 AA , on a :

– l’équation de l’arc 10 AA( )

1

1

x

1x1 N

axpch

p

Nby

−=−=

– la tension ( )

1

1

x

1x1 N

axpchNN

−=

– la longueur ( ) 1

21

1

x

xx

1x1 N

axpsh

p

NL

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

– le passage par A0 et A1 :( )

1

1

x

10x10 N

axpch

p

Nby

−=− et ( )

1

1

x

11x11 N

axpch

p

Nby

−=−

Sur le tronçon (2), on a les formules analogues.

Enfin sur le tronçon rectiligne, on écrit :

( ) 32323333 xxx,yyL,yypPN ==−=−+= .

L’équilibre du nœud A1 donne :

– suivant l’horizontale : xxx NNN21==

– suivant la verticale : ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=x

11

x

22x1 N

axpsh

Naxp

shNP

Celui de A2 donne :

xx2 NR = et ( ) ( )323

x

22xy2 yypP

Naxp

shNR −++−=

Enfin on a LLLL 321 =++ (longueur totale)

La résolution de ce système non linéaire d’équations permet de calculer :

– les constantes d’intégration a1, b1, a2, b2, Nx ;

– les coordonnées de )y,x(A 111 ;

– les équations des arcs de chaînette 10 AA et 21 AA ;

– la tension N en chaque point du câble ;

– les réactions de liaison en A0 et A2, soit 0R et 2R .

Il permet aussi de calculer la valeur minimale du contrepoids P3, au-dessous de laquelle iln’existe pas de configuration d’équilibre.


CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION

CHAPITRE III

MOMENT DE FLEXION

1. – FLEXION PURE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE

On considère une poutre prismatique, pleine ou creuse, limitée par deux sections droites S0

et S1 distantes de L ; on travaille dans le repère principal central d’inertie { }zyx,G0 de lasection droite initiale S0 ; on nomme IX, IY, IZ les moments quadratiques principaux de lasection droite courante S, d’abscisse x. ( )z,y,xP désigne la particule courante.

Sur la section finale S1, on applique le champ de contraintes normales yI

M−=σ ; xσ=σ ;

ZMM = ; ZII = .

Compte tenu du choix des axes et de la définition de IZ, ce champ de forces possède unerésultante générale nulle et un moment résultant égal à M.

Sur la section S0, on applique le chargement opposé, c’est-à-dire le couple – (figure 1).

– Figure 1 –

Sur chaque section S, le visseur se réduit donc à la seule composante MZ du moment deflexion. La poutre est dite en flexion pure dans le plan principal (xoy).



On vérifie aisément que la solution de ce problème d’élasticité est constituée par les champssuivants :

( )[ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+β−α+ν=

+α−γ+−ν+=

+γ−β+−=

cxyzyIE

Mw

bzxzyxIE2

Mv

ayzyxIE

Mu

PP 22210

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ+=ω

β=ω

α+ν=ω

xIE

M

zIE

M

Z

Y

X

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡σ=Σ

000

000

00x

avec yI

Mx −=σ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εε

ε=

z

y

x

00

00

00

E avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ν=ε=ε

−=ε

yIE

M

yIE

M

zy

x

Les constantes d’intégration a, b, c sont les composantes d’une translation d’ensemble ;α, β, γ sont celles d’une rotation d’ensemble. Ces six constantes sont nulles si l’on prend unrepère { }zyx,G0 entraîné dans la translation et la rotation du voisinage de G0, ce que noussupposerons.

Conclusions

1)Un domaine élémentaire de centre ( )o,o,xG subit une translation suivant oy de valeur

2G x

IE2M

v = et une rotation autour de GZ de valeur xd

vdx

IEM G==ω . Il est non contraint

et ne subit aucune déformation

2)Les sections droites restent planes et normales à la ligne moyenne déformée (figure 2).

– Figure 2 –



En effet, la section droite courante S d’abscisse x, subit :

– une translation vG, appelée flèche ;

– une rotation ω, autour de GZ, avec ω==ωxd

vd GZ ;

– une déformation dans son plan.

Il n’y a pas de gauchissement : le déplacement axial de P, ω⋅−= yu , résulte uniquement

de la rotation ω.

3)La fibre moyenne déformée est un arc de cercle, de courbure

xdd

IEM

xdvd

2G

2 ω==

4) La rigidité globale de la poutre, en flexion dans le plan (xoy), est par définition le rapport :

LIEM

01

=ω−ω

Pour deux sections droites voisines, distantes de dx, on définit la rigidité de flexion linéiquepar la formule :

ZZ

Z IE

xdd

M =ω

Les inverses de ces rigidités de flexion se nomment flexibilités.

5) Dans un élément de fibre longitudinale, de centre ( )z,y,xP , de longueur dx et de sectiondroite dS, l’énergie potentielle élastique emmagasinée vaut :

xdSdyIE

M21

xdSd21

xdSd 22

Z

2Z

xx =εσ=U

Dans une tranche de poutre d’épaisseur dx, cette énergie a donc pour valeur :

xdIE

M21

SdyIE

M2xd

WdS Z

2Z2

2Z

2Z ∫∫ ==

6) On obtiendrait bien sûr des formules analogues pour une flexion pure dans le plan (xoy), cequi permet d’écrire le tableau résumé :

zI

M

Y

Yx =σ

xzyx

x ;E

εν−=ε=εσ=ε

2G

2

Y

YY

xdwd

IEM

xdd −==ω

Y

2Y

IEM

21

xdWd =

yI

M

Z

Zx −=σ

xzyx

x ;E

εν−=ε=εσ=ε

2G

2

Z

ZZ

xdvd

IEM

xdd ==ω

Z

2Z

IEM

21

xdWd =

(1)



2. – FLEXION GAUCHE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE

C’est le cas, par définition, où MY et MZ sont tous deux non nuls. Les déplacements,déformations, contraintes, énergies s’obtiennent alors par superposition des deux cas simples.Sur chaque section droite S, les points non contraints sont alignés sur une droite appelée axe

neutre, d’équation 0x =σ soit 0yI

Mz

IM

z

z

Y

Y =− . C’est autour de cette droite que s’effectue

la rotation d’ensemble de S, due à la flexion de la poutre.

Appelons α et β les angles polaires, à partir de GY, du moment de flexion et de l’axeneutre GY1, respectivement (figure 3). Par changement d’axes on obtient les formules de laflexion gauche dans la base { }11 Z,Y,G :

( )1

Yx Z

IcosM

1

β−α=σ ; ( )

1Y

1

IEcosM

xdd β−α=ω

; ( )1Y

22

IEcosM

21

xdWd β−α= (2)

– Figure 3 –

on a, de plus :

Y

Z

MM

tg =α ; α=β tgII

tgZ

Y ; β+β= 2Z

2YY sinIcosII

1

3. – MOMENT FLÉCHISSANT DANS UNE POUTRE QUELCONQUE

Considérons une poutre de forme quelconque soumise à un chargement quelconque. Comptetenu des hypothèse de poutre (diamètre de chaque section droite S faible devant longueur dela ligne moyenne, rayons de courbure et de torsion de celle-ci en G), on peut considérercomme prismatique chaque tranche mince comprise entre les section droites voisines S et S’d’abscisses curvilignes s et s + ds et lui appliquer les résultats précédents. Si l’on a, sur S, unmoment de flexion , de composantes MY et MZ sur les axes principaux GY et GZ de cettesection, il induit :



– un champ de contraintes Σ dont la seule composante non nulle est : ZI

MY

IM

Y

Y

z

zX +−=σ ,

d’où l’on déduit les composantes non nulles de la déformation : E

XX

σ=ε , XZY εν−=ε=ε .

– une rotation de S’ par rapport à S autour de G, définie par = + avec :

etsdIE

M

Y

Y sdIE

M

Z

Z (3)

De plus l’énergie élastique emmagasinée par unité de longueur a pour expression :

Z

2Z

Y

2Y

IEM

21

IEM

21

sdWd += (4)

4. – FLEXION D’UNE POUTRE CIRCULAIRE A PLAN MOYEN

Une poutre à plan moyen (xoy) a pour ligne moyenne 10 GG un arc de cercle de centre o et derayon R (figure 4) – ou un cercle complet –.

– Figure 4 –



On la charge dans son plan ce qui donne dans le cas général, sur la section droite courante Sd’angle polaire θ : un effort normal N, un effort tranchant TY et un moment de flexion MZ.Appelons U et V les composantes suivant X et Y du déplacement de G induit par N et MZ ;nous justifierons, au chapitre V, que les déplacements dus à TY sont négligeables.

D’après les résultats du § 1, le déplacement suivant X d’une particule P de S, d’ordonnée Y

est : ω⋅− YU , la rotation ω satisfaisant à l’équation : IEMR

dd =θω

.

D’après le formulaire en coordonnées cylindriques donné au tome 1 (formule 1.-(19)), on a :

– d’une part : ( ) ( )SE

Nd

UdR1

RV

GXG =θ

+−=ε=εθ

d’où l’on tire : SERN

Vd

Ud +=θ

– d’autre part : ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ

+⋅ω−∂∂−=ω

dVd

R1

YURU

21

Y

d’où l’on tire : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

+=ωd

VdU

R1

On en déduit :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

+θ

==θω

2

2

dVd

dUd

R1

IEMR

dd

soit :

SENR

Vd

Udavec

SENR

IEMR

Vd

Vd 2

2

2

+=θ

−=+θ

(5)

L’intégration des équations (5) lorsqu’on connaît N et MZ donne alors la flèche V(θ) et ledéplacement axial U(θ).

5. – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE RECTILIGNE A PLAN MOYEN

Une poutre rectiligne a pour plan moyen (xoy) ; sa ligne moyenne G0G1 est portée par l’axedes x ; on lui applique des forces parallèles à oy et des couples parallèles à oz. Sur la sectiondroite courante S, les seules composantes non nulles du visseur sont TY et MZ.

La flèche v(x) prise par le centre G de la section droite courante d’abscisse x, et due aumoment de flexion, satisfait à l’équation fondamentale :

Z

Z2

2

IEM

xdvd = (6)

On l’établit par élimination de ωZ entre les deux équations : xdvd

Z =ω et Z

ZZ

IE

M

xd

d=

ω.



Remarque 1Si le plan moyen est (xoz), on a les formules analogues, w(x) désignant la flèche de G :

xdwd

Y −=ω , Y

YY

IEM

xdd =ω

d’où Y

Y2Y

2

IEM

xdwd = (7)

Remarque 2Si une courbe du plan (xoy) a pour équation )x(vy = , sa courbure au point courant )y,x(P

vaut ( ) 2

32v1v

R1 −

′+⋅′′= ; dans notre cas, la pente de la tangente à la ligne moyenne déformée,

soit Zxdvd

v ω==′ est, en module, faible devant l’unité. Z

Z

IEM

représente donc la courbure

algébrique prise par la ligne moyenne au point courant G.

Remarque 3On démontrera au chapitre V que la flèche due à l’effort tranchant est négligeable devant celledue au moment de flexion. La formule (6) suffit alors pour calculer la déformation d’unepoutre rectiligne en flexion plane.

Remarque 4La flexion plane des poutres constituant un sujet très important, nous allons donner quatreexemples illustrant les principales méthodes utilisées dans les cas hyperstatiques. L’influencede l’effort tranchant sur la flèche sera négligée.

1er exemple : poutre prismatique sur trois appuis alignés, soumise à son propre poids (figure 5)

On note 2L la longueur de la poutre, p son poids linéique ; ox, oy, oz sont les axes principauxde la section droite médiane.

Nous appliquerons la méthode dite « de la double intégration ».

– Figure 5 –

A cause de la symétrie il nous suffit de raisonner sur le tronçon O < x < L, sur lequel on a :

( )xLpRT A −−= et ( ) ( )2A xLp21

xLRM −−−=

Les équations d’équilibre donnent, d’autre part :

BA RR = et Lp2RRR OBA =++



La structure est extérieurement hyperstatique de degré 1 ; il y a un appui surabondant.

L’équation différentielle aux flèches s’écrit :

( ) ( )2A2

2

xLIE

p21

xLIE

Rxdvd −−−=

Une première intégration donne, compte tenu de la condition 0)0(v =′ :

( )[ ] ( )[ ]3322A LxLIE6

pLxL

IE2R

xdvd −−+−−−=

Une nouvelle intégration donne, compte tenu de la condition 0)0(v = :

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−−−= 434323A L

41

xLxL41

IE6p

L31

xLxL31

IE2R

)x(v

La condition 0)L(v = donne enfin : Lp83

RA =

On en déduit : Lp83

RR AB == ; Lp45

RO = ; ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

85

Lx

LpT ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= 1

Lx

5Lx

4Lp81

M 2

22 et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= 2

2

3

3

4

44

Lx

3Lx

5Lx

2IE84

Lp)x(v

Par symétrie, on obtient sur le tronçon OB :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

85

Lx

LpT ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= 1

Lx

5Lx

4Lp81

M2

22 et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= 2

2

3

3

4

44

Lx

3Lx

5Lx

2IE84

Lp)x(v

2e exemple

Reprenons le cas précédent, en remplaçant l’appui central par un appui élastique de raideur k(figure 6). Résolvons-le par la méthode énergétique (Menabrea).

– Figure 6 –



Appelons structure l’ensemble de la poutre et du ressort. On raisonnera sur le tronçon

O < x < L, où l’on a : ( )xLpRT A −−= et ( ) ( )2O xLp21

xL2

RLpM −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −= avec

BA RR = , Lp2RRR OBA =++ et )o(vkRO −= .

L’énergie potentielle élastique emmagasinée par la structure est la somme :

– de celle du ressort : k

R21

vk21 2

O2O = ;

– de celle de la poutre : ∫L

O

2

xdIE

M

Compte tenu des équations d’équilibre et prenant RO pour inconnue hyperstatique, on trouvel’énergie :

( ) ( )∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

L

O

22O

2O

O xdxLp21

xL2

RLp

IE1

kR

21

)R,p(W

Le théorème de Menabrea nous donne l’équation supplémentaire :

( )[ ] 0Lp3Lp2R4IE24

Lk

RRW

O

3O

O

=+−+=∂∂

d’où l’on tire :

3

O

Lk

IE61

Lp45

R+

=

puis : OBA R21

LpRR −== et

IE6Lk

1

1IE

Lp245

v 3

4

O

+−=

On trouve bien entendu les deux cas particuliers extrêmes :

• 0k1 = , appui infiniment rigide de la figure 6 ;

• 0k = , absence d’appui central.

3e exemple : poutre prismatique encastrée – appuyée –

La poutre, prismatique de longueur L, est encastrée suivant la section droite d’origine SO,simplement appuyée suivant la section finale SA, comme l’indique la figure 7. Elle est

soumise à un chargement réparti vertical descendant de densité variable Lx

pp = .

Le chargement proposé, noté (1) peut être considéré comme la superposition des chargements(2) et (3), avec la condition de flèche résultante nulle en A.

Dans le cas (2), isostatique, on trouve la flèche en A : IE

Lp12011

)L(v4

2 −= ; dans le cas (3)

également isostatique :

IE3LR

)L(v3

A3 =



En écrivant la nullité de la flèche résultante en A, soit )L(v)L(v)L(v 32 += , on obtient :

Lp4011

RA = .

Les équations d’équilibre, dans le cas (1) : Lp21

RR AO =+ et 2AO Lp

31

LRM =+

donnent alors :

Lp409

RO = ; Lp4011

RA = ; 2O Lp

1207

M =

– Figure 7 –

Sur la section droite courante, d’abscisse x, on a alors :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 9

Lx

20Lp401

T2

2

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 7

Lx

27Lx

20120

LpM

3

32

Z

et la flèche :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= 2

2

3

3

5

54

Lx

27

Lx

29

Lx

IE120Lp

)x(v



4e exemple : flexion d’une potence

On considère la structure représentée sur la figure 8, admettant (xoy) comme plan moyen etconstituée par deux poutres prismatiques identiques de longueur L, soudées entre elles suivantla section A.

– Figure 8 –

La poutre OA est verticale, d’axe oy, encastrée suivant sa section origine (SO) ; la poutre ABhorizontale et parallèle à ox, est soumise, à son extrémité B, à une force verticale descendanted’intensité P ; { }ZYX,G désigne le repère principal de la section droite courante (S). Lesréactions de liaison se réduisent à :– un effort vertical YO = P (en valeur algébrique sur oy)– un moment d’encastrement MO = PL (en valeur algébrique sur oz)

Le visseur sur la section droite courante entre O et A a pour seules composantes non nulles :PN −= et LPMZ −= ; sur AB, seuls sont non nuls : PTY −= et ( )xLPMZ −−=

En négligeant les déplacements dus à l’effort tranchant, on calcule sur les deux poutres :courbures, rotations et translations.– sur OA ; au niveau de la section S de coordonnées (o, y) :

courbure IELP

ydud

R1

2

2

−=−= (constante)

rotation yIELP

ydud −=−=ω ; (

IELP 2

A −=ω )

flèche 2yIE2

LPu = ; (

IE2LP

u3

A = )

déplacement axial ySE

Pv −= ; (

SELP

vA −= )



– sur AB, au niveau de la section S de coordonnées (x, L) :

courbure ( )

IE

xLP

xd

vd

R

12

2 −−==

rotation ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−==ω 2

2

L2x

xLIE

Pxdvd

flèche SELP

xL6x

2x

LIE

Pv 2

32

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

déplacement axial IE2

LPuu

3

A ==

La section SB subit ainsi :

– une translation suivant x : IE2

LPu

3

B =

– une translation suivant y : SELP

IELP

34

v3

B −−=

– une rotation d’angle IE

LP23 2

B −=ω

6. – MESURE DES MOMENTS DE FLEXION PAR JAUGES

Proposons nous de mesurer la composante MZ du moment de flexion régnant sur la sectiondroite S d’une poutre quelconque, en supposant cependant que cette section droite admetteGZ comme axe de symétrie (figure 9).

– Figure 9 –



L’axe principal Y’Y de S coupe la poutre en deux points symétriques A et A’ d’ordonnées aet – a ; sur la poutre au repos, on colle en ces deux points, deux jauges identiques j et j’ dansla direction axiale X’X et on en fait les résistances R1 et R2 d’un pont de Wheatstone. Ondonne de plus aux résistances étalonnées R3 et R4 des valeurs égales pour assurer l’équilibredu pont ( 0VVv AC =−=δ ).

Sous l’action du chargement, on a sur S un moment de flexion MZ et les jauges subissent les

dilatations linéaires relatives opposées Z

Z

IEMa−=ε et

Z

Z

IEMa=ε′ donc les variations relatives

de résistance opposées : ε=δK

RR

1

1 et ε−=δK

RR

2

2 , K désignant le facteur de jauge. La

tension de déséquilibre qui apparaît satisfait à l’équation :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−δ+δ−δ=δ

4

4

3

3

2

2

1

1

RR

RR

RR

RR

41

Vv

soit :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−δ+−=δ

4

4

3

3

Z

Z

RR

RR

41

IEM

2aK

Vv

(8)

V désigne ici la tension d’alimentation du pont, δR3 et δR4 des petites variations imposéeséventuellement aux résistances étalons R3 et R4.

On dispose alors de deux méthodes pour déterminer MZ.

1) Lecture de la tension de déséquilibre

On ne touche pas à R3 et R4 ( 43 R0R δ==δ ), et la formule (8) donne :

Vv

aKIE

2M ZZ

δ−=

2) Rééquilibrage du pont

On se donne des variations connues δR3 et δR4 annulant δv, ce qui donne, d’après (8) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−δ=4

4

3

3ZZ R

RRR

aK2IE

M

Remarque 1

Le montage de la figure 9 est insensible aux variations de température ; en effet sous l’actiond’une telle variation (T – T0), les deux jauges subissent la même variation de résistance

( )0

th2

2

th1

1 TTKRR

RR −α=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ, ce qui n’affecte pas la valeur de δv ; α désigne le

coefficient de dilatation thermique du matériau de la poutre.



Remarque 2

Le montage est insensible à l’effort normal ; en effet sous l’action d’un effort normal Nrégnant sur S, les deux jauges subissent le même allongement, donc la même variation derésistance.

Remarque 3

Le montage est insensible au moment de flexion MY puisque celui-ci ne produit aucunedilatation dans les fibres longitudinales du plan X G Y.

Remarque 4

La théorie développée dans les deux chapitres suivants, montre que le montage est égalementinsensible à l’effort tranchant et au moment de torsion.

Remarque 5

On peut aussi utiliser un montage en pont complet utilisant quatre jauges identiques ;en A, deux jauges bout à bout constituant les résistances R1 et R3 puis en A’ deux jaugesbout à bout constituant les résistances R2 et R4 du pont. La tension de déséquilibre δv qui

apparaît sous l’action du chargement satisfait à l’équation : Z

Z

IEM

aKVv −=δ

d’où l’on tire :

Vv

aKIE

M ZZ

δ−= . Un tel montage est donc deux fois plus sensible au moment de flexion MZ

que le montage en demi-pont de la figure 9 ; il est également insensible à la température, àl’effort normal, au moment de flexion MY, à l’effort tranchant et au moment de torsion.

Remarque 6

Bien entendu, on détermine le moment de flexion MY par des méthodes analogues, si GY estaxe de symétrie pour la section droite S. Z’Z coupe alors la poutre aux points B et B’ de côtesb et – b où l’on colle les jauges j et j’, parallèlement à X’X.

On a alors :

– par lecture de la tension de déséquilibre ( 43 R0R δ==δ ) :

Vv

bKIE

2M YY

δ=

– par rééquilibrage du pont )0v( =δ : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−δ−=4

4

3

3YY R

RRR

bK2IE

M

– par montage en pont complet (deux jauges bout à bout en B constituant les résistances R1 etR3 puis deux bout à bout en B’ constituant R2 et R4) :

Vv

bKIE

M YY

δ=



7. – FORMULAIRE DE LA FLEXION PLANE DES POUTRES PRISMATIQUES

(xoy) désigne le plan moyen, également plan de chargement, ox la ligne moyenne, oy laverticale ascendante, O le centre de la section origine, EI la rigidité locale de flexion,

T l’effort tranchant, M le moment de flexion, v la flèche et xdvd=ω la rotation.

chargements,diagrammes

effortsdes liaisons

T et M v et ω

2Lp

RA =

2Lp

RB =

2L

AC =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lx

21

LpT

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

Lx

1Lx

Lp21

M 2

2C Lp

81

M =

0TC = , 2L

AC =

⋅−=Lx

IELp

241

v4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 3

3

2

2

Lx

Lx

21

⋅−=ωIE

Lp241 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 3

3

2

2

Lx

4Lx

61

IELp

3845

v4

C −=

Lp61

R BA =

Lp31

R BB =

L33

AC =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

2

B Lx

31Lp61

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 3

32

B Lx

Lx

Lp61

M

0TC =

2BC Lp

273

M =

⋅−=IE360

Lpv

4B

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 5

5

3

3

Lx

3Lx

10Lx

7

⋅−=ωIE360

Lp 3B

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 4

4

2

2

Lx

15Lx

307

2F

RA =

2F

RB =

2L

AC =

2F

TAC −=

2F

TBC =

xF21

MAC =

( )xLF21

MCB −=

4LF

MC =

⋅−=IE48

LFv

3

AC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3

3

Lx

4Lx

3

⋅−=ωIE16

LF 2

AC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

Lx

41

IE48LF

v3

C −=

IE16LF 2

A −=ω




effortsdes liaisons

T et M v et ω

FLb

RA =

FLa

RB =

FLb

TAC −=

FLa

TCB =

xLFb

MAC =

( )xLLFa

MCB −=

FLba

MC =

⋅−=LIE6

FvAC

[ ( ) 3xbxaL2ba −− ]

( )bLLIE6baF

A +−=ω

( ) ⋅−−=LIE6xLF

vCB

[ ( ) ( )2xLaaLba −−+ ]

( )aLLIE6baF

B +=ω

LIE3baF

v22

C −=

FR A =

FRB =

L21

IA =

FTAC −=

0TCD =

FTDB =

xFMAC =

aFMCD ⋅=

( )xLFMDB −=

⋅−=IE6xF

vAC

[ ( ) 2xaLa3 −− ]

⋅−=IE6

aFvCD

[ ( ) 2axLx3 −− ]

( )a4L3IE6

aFv

2

C −−=

( )22I a4L3

IE24aF

v −−=

( )aLaIE2

FA −−=ω

⋅=21

RA

( )a2Lp +

⋅=21

RB

( )a2Lp +

xpTOA =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−= x

2L

apTAB

( )xa2LpTBD −+−=

2OA xp

21

M −=

⎢⎣

⎡−=

2x

pM2

AB

⎥⎦⎤−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

2La

ax2L

a 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

C a4L

2p

M

⋅−=IE24

apvO

( )323 LLa6a3 −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

22

C a24L5

IE16Lp

v

⋅=ωIE

p241

O

( )323 LLa6a4 −+




effortsdes liaisons

T et M v et ω

Lp83

RA =

Lp45

RB =

Lp83

RC =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= L

83

xpTAB

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

Lx

34

1xLp83

MAB

2B Lp

81

M −=

T = 0 pour L83

x =

M = 0 pour L43

x =

2Lp128

9M =

pour Lp8

3x =

⋅−=IE

Lp481

v4

AB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 4

4

3

3

Lx

2Lx

3Lx

⋅−=ωIE

Lp481 3

AB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 3

3

2

2

Lx

8Lx

91

IELp

481 3

A −=ω

FR A =

FR B =

FTOA =

xFMOA ⋅−=

0TAB =

aFMAB ⋅−=

FTBC −=

( )xa2LFMBC −+−=

⋅=ωIE2

FOA

( )22 aLax ++−

( )⋅−−= axIE6

FvOA

( )La3a2xax 22 −−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−=ω

2L

axIEFa

AB

( )⋅−= axIE2

FavAB

( )xLa −+

( )L3a2IE6

aFv

2

O +−=

IE8LaF

v2

I =




effortsdes liaisons

T et M v et ω

FRO =

LFMe ⋅=

FT −=

( )xLFM −−=

LFMmax ⋅−=

( )xL2IE2

xF −−=ω

IE2LF 2

A −=ω

( )xL3IE6

xFv

2

−−=

IE3

LFv

3

A −=

LpRO =

2e Lp

21

M =

( )xLpT −−=

( )2xLp21

M −−=

LpTmax −=

2max Lp

21

M −=

⋅=ωIE

p61

[ 33 L)xL( −− ]

⋅−= 2xIE24

pv

( )22 L6xL4x +−

IE8Lp

v4

A −=

Lp2

1R OO =

2Oe Lp

61

M =

2

O Lx

1Lp21

T ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

32

O Lx

1Lp61

M ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lp21

T Omax −=

2Omax Lp

61

M −=

⋅=ω 3O Lp

241

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 1

Lx

14

⋅−=IE120

xLpv

22O

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− 3

3

2

2

Lx

Lx

5Lx

1010

IE30Lp

v4

OA −=




effortsdes liaisons

T et M v et ω

Lp21

R AO =

2Ae Lp

31

M =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

2

A Lx

1Lp21

T

⋅−= 2A Lp

61

M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 3

3

Lx

Lx

32

Lp21

T Amax −=

2Amax Lp

31

M −=

⋅−=ωIE

Lp

241 3

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 4

4

2

2

Lx

Lx

6Lx

8

⋅−=IELp

1201

v4

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 5

5

3

3

2

2

Lx

Lx

10Lx

20

IE8Lp 3

AA −=ω

IE120Lp11

v4

AA −=

Lp21

RO =

Lp21

RA =

12Lp

M2

eO =

12Lp

M2

eA −=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

2L

xpT

⋅−= 2Lp121

M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

Lx

6Lx

61

2I Lp

241

M =

2max Lp

121

M −=

0M = pour

L63

21

x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

⋅=ωIE12

Lp 3

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Lx

21Lx

1Lx

2

2

24

Lx

1Lx

IE24Lp

v ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

IELp

3841

vv4

Imax −==




effortsdes liaisons

T et M v et ω

2F

RO =

2F

RA =

8LF

MeO =

8LF

MeA −=

2F

TOC −=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lx

418LF

MOC

2F

TCA =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

Lx

438LF

MCA

8LF

MC =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=ω

Lx

21IE8xLF

OC

⋅−=IE48

LFv

3

OC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3

3

2

2

Lx

4Lx

3

⋅−=ωIE8

LF 2

CA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

Lx

2Lx

31

⋅−=IE48

LFv

3

CA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− 1

Lx

6Lx

9Lx

4 2

2

3

3

IELF

1921

v3

C −=

=OR

( )F

La3bb

3

2 +

=AR

( )F

Lb3aa

3

2 +

FLba

M 2

2

eO =

FL

baM 2

2

eA −=

( )Fba3Lb

T 3

2

OC +−=

⋅−= 3

2

OC LbF

M

[ ( )xba3La +− ]

( )F

Lb3aa

T 3

2

CA

+=

⋅= 3

2

CA L

aFM

[ ( ) ( )b3axb2aL +−+ ]

FLba

2M 3

22

C =

⋅−=ω 3

2

OC LIE2bF

[ ( ) 2xa3bxLa2 +− ]

⋅−= 23

2

OC xLIE6

bFv

[ ( )xa3bLa2 +− ]

( ) ⋅−=ω 3

2

CA LIE2

xLaF

[ ( )xb3aL2 ++− ]

( ) ⋅−−= 3

22

CA LIE6xLaF

v

[ ( ) xb3aLa ++− ]

( )baLIE2baF

3

22

C −=ω

3

33

C LIE3Fba

v −=




effortsdes liaisons

T et M v et ω

L1030

Lp203

R AO =

Lp207

R AA =

=eOM

2A Lp

301

=eAM

2A Lp

201−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

2A

Lx

10320

LpT

⋅=60

LpM

2A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− 3

3

Lx

10Lx

92

2Amax Lp

30010303

M−=

pour L1030

x =

⋅=ωIE120

Lp 3A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− 4

4

2

2

Lx

5Lx

9Lx

4

⋅−=IE120

Lpv

4A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 5

5

3

3

2

2

Lx

Lx

3Lx

2

IELp

0013,0v4

Amax −=

pour L5247,0x =

FRO =

FR A =

=eOM

( )F

LaLa −

=eAM

( )F

LaLa −−

FTOB −=

0TBC =

FTCA =

⋅−= LFMOB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Lx

La

La

2

2

LaF

M2

BC =

⋅−= LFMCA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

Lx

1La

La

2

2

⋅=ωLx

IE2LF 2

OB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

La

2La

2Lx

⋅= 2

23

OB Lx

IE6LF

v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

La

3La

3Lx

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=ω 1

Lx

2IE2

aF 2

BC

⋅=IE6LaF

v2

BC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

La

Lx

3Lx

3 2

2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= 3

La

4IE24

LaFv

2

I


effortsdes liaisons

T et M v et ω

Lp85

RO =

Lp83

RA =

8Lp

M2

eO =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lx

85

LpT

⋅−=8Lp

M2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

Lx

4Lx

51

Pour L85

x = :

0T = et

2max Lp

1289

M =

⋅−=ωLx

IE48Lp 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

Lx

8Lx

156

⋅−= 2

24

Lx

IE48Lp

v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

Lx

2Lx

53

Pour L584,0x = :

IELp

00542,0v4

max −=

F1611

RO =

F165

RA =

LF163

MeO =

F1611

TOI −=

F165

TIA =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lx

11316

LFMOI

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

Lx

116

LF5MIA

LF325

MI =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=ω

Lx

116Lx

IE32LF 2

OI

⋅−=ωIE32

LF 2

IA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

2

Lx

5Lx

104

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lx

119Lx

IE96LF

v 2

23

OI

⋅−=IE96

LFv

3

IA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+− 3

3

2

2

Lx

5Lx

15Lx

122

Pour L553,0x = :

IELF

00932,0v3

max −=

=OR

( )3

22

L2bL3bF −

=AR

( )3

2

L2aL3aF −

=eOM

( )2L2

bLbaF +

FRRT AOOC −=−=

ACA RT =

⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Lx

Lb

32Fb

M2

2

OC

⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

Lb2a

La

⋅= 2

2

CA La

2LF

M

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Lx

1La

3

FbaL2

b3a2M 2

3C

+=

xIE

M2x

IER eO

2O

OC −=ω

aIE

M2a

IER eO

2O

C −=ω

( ) A2A

CA xLIE2

R ω+−−=ω

IE2bR 2

ACA +ω=ω

2x

IEM

6x

IER

v2

eO3

OOC −=

2a

IEM

6a

IER

v2

eO3

OC −=

( )3ACA xL

IE6R

v −=

( )xLA −ω−



8. – DOMAINES DE VALIDITÉ DES FORMULES

Dans la majorité des problèmes de flexion des poutres, toutes les hypothèses de petitesse sontsatisfaites ; petits déplacements (translations et rotations) et petites déformations ; c’est le cas,notamment, du problème de Saint-Venant, exposé au premier paragraphe.

Toutes les formules du présent chapitre où ne figurent pas les composantes u, v, w, du vecteurdéplacement, restent valables en grands déplacements (grandes translations et rotations) avecpetites déformations. Dans ce cas, les équations d’équilibre doivent être écrites dans laconfiguration déformée (ou finale) de la structure, celle-ci ne pouvant plus être confondueavec la configuration initiale (non chargée, non déformée). Donnons un exemple simple d’untel problème de flexion, plane, en petites déformations avec grands déplacements.

Exemple :

On considère une poutre prismatique très longue, très flexible dans son plan moyen (xoy),encastrée suivant sa section origine SO et soumise à un couple de flexion de moment sur sasection finale (SA) – figure 10 –.

Toutes les fibres subissent des petites déformations, tous les llδ

étant petits, en module,

devant l’unité ; par contre, les translations subies par les centres G ne sont pas petites devantla longueur L de la poutre et les rotations subies par les sections droites ne sont pas petitesdevant un radian.

– Figure 10 –



Sur la section droite courante, en configuration déformée, le visseur se réduit au moment deflexion MZ = M, ce qui donne au point courant P(Y, Z) de cette section droite, la contrainte

YI

MX −=σ .

Les sections droites restent normales à la fibre moyenne déformée ; celle-ci est un arc de

cercle de rayon R tel que sd

dIE

MR1 ω== . La section droite courante S, d’abscisse initiale x et

d’abscisse curviligne finale s = x, subit une rotation sIE

Mx

IEM ==ω . Le point G subit la

translation 10 GG , les coordonnées de G0 étant (x, o) et celles de G1 ( ω= sinRx1 et

ω−= cosRRy1 ), avec sIE

M=ω et M

IER = .

D’autre part, la rigidité globale de la poutre, en flexion, est L

IEM

1

=ω

.


CHAPITRE IV – TORSION DES POUTRES

CHAPITRE IV

TORSION DES POUTRES

1. – TORSION PURE D’UNE POUTRE CYLINDRIQUE DE RÉVOLUTION

Dans de nombreux mécanismes, les transmissions de puissance sont effectuées par des arbresde torsion, cylindres circulaires creux ou pleins : citons les arbres de turbomachines, lesarbres porte-hélices de bateaux et avions, les arbres de transmission de véhicules terrestres,les arbres d’accouplement...

Si Mt est la valeur du couple de torsion dans un tel arbre tournant à la vitesse angulaire

tddϕ

(rad/s), la puissance transmise est :

tdd

Mt ϕ⋅=P

L’étude de la torsion axisymétrique d’un arbre cylindrique a été faite en Elasticité (tome I –chapitre 4).

Rappelons-en les résultats, en coordonnées cylindriques d’axe x’x.

– Figure 1 –

On appelle :– L la longueur du cylindre, x’x son axe.– Ri et Re les rayons intérieur et extérieur.– S0 et S1, les sections droites initiale et finale, de centres G0 et G1.



On applique sur la section S1 un champ de forces surfaciques circonférentielles τ satisfaisantà :

rIM

x

t

=τ )( xθτ=τ (1)

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ=

−π=

=τ=τ

règneoùPcourantpointduaxe’làdistancer

x’xaxe’ldeautourdroitesectionladeequadratiqumoment:RR2

I

x’xdeautourtorsiondemomentM

deleorthoradiaalgébriquemesure

4i

4ex

t

et sur la section S0 le chargement opposé.

La poutre travaille donc en torsion pure ; le moment de torsion Mt est le même sur toutes lessections droites.

Les matrices de contrainte et de déformation ont pour expressions au point courant)x,,r(P θ :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ=

θ

θΣ00

00

000

x

x [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γγ=

θ

θ

00

00

000

x

xE

avec rIM

x

t

x =τ=τ θ et θθθ τ=τν+=γ xxx G21

E1

( ( )ν+=μ=12E

G : module d’élasticité de glissement).

Les sections droites tournent autour de l’axe x’x les unes par rapport aux autres, sans gauchir,sans se déformer.

Si l’on prend, pour fixer les idées, la section initiale S0 comme solide de référence, on trouveque la section courante D d’abscisse x tourne autour de x’x d’un angle :

xIG

M

x

t

x =ω (2)

La section droite S’ d’abscisse x + dx tourne donc par rapport à sa voisine S d’abscisse x,d’un angle :

xdIG

Md

x

t

x =ω (3)

La section droite finale S1 d’abscisse L tourne par rapport à S0 d’un angle :

x

t

1 IGLM=ω (4)

Le coefficient GIx se nomme rigidité linéique de torsion de la poutre.



Le coefficient 01

tx M

LIG

ω−ω= désigne la rigidité de torsion (globale) de la poutre.

Le déplacement d’une particule P est purement circonférentiel, sa valeur algébrique étant :

xrIG

Mrv

x

t

x ⋅=⋅ω= (5)

L’énergie potentielle élastique de déformation emmagasinée dans une tranche d’épaisseur dxvaut :

xdIG

M21

dM21

Wdx

t

xt

2

=ω⋅= (6)

L’énergie potentielle emmagasinée dans la poutre vaut :

LIG

M21

Wx

t 2

= (7)

Remarque 1Tous les résultats que nous venons d’obtenir pour un arbre creux s’étendent à un arbre pleinen faisant : 0Ri = et RRe = (rayon de l’arbre plein) (figure 2).

Remarque 2

L’arbre est dit mince si son épaisseur ie RRe −= est faible devant le rayon moyen

2RR

R ei += .

Dans ce cas le moment quadratique Ix vaut :

eR2I 3x π= (8)

et la contraire θτx , uniforme, vaut :

eR2M

2

t

x π=τ θ (figure 3) (9)

arbre plein arbre mince– Figure 2 – – Figure 3 –



2. – MESURE DU COUPLE DE TORSION SUR UN ARBRE

Considérons le tenseur de déformation E en un point P de la frontière extérieure de l’arbre,surface cylindrique de rayon Re. La direction radiale (ou normale) est direction principaleassociée à la valeur propre zéro. Dans le plan tangent en P, plan principal, les directions à

°± 45 de la génératrice sont directions principales associées aux dilatations principales.

x

et

xI IRM

G21=γ=ε θ

et

x

et

xII IRM

G21−=γ−=ε θ

On peut tracer le cercle de Mohr (figure 4) relatif à ce plan principal, en considérant le cas0Mt > pour fixer les idées.

– Figure 4 – – Figure 5 –

Les fibres axiales et circonférentielles ne subissent aucune dilatation ( 0=ε dans lesdirections à °± 45 des directions principales).

Les plus grandes dilatations linéaires sont les dilatations principales Iε et IIε des fibreshélicoïdales inclinées à °± 45 sur les génératrices.

Une jauge de déformation collée suivant la direction principale 1 (figure 5) donne donc lemoment de torsion, par la formule :

Ie

xt

RI

G2M ε= ; ( I3t RGM επ= pour l’arbre plein) (10)

suivant la direction 2, on aurait :

IIe

xt

RI

G2M ε−= ; ( II3t RGM επ−= pour l’arbre plein) (10’)



En pratique, pour une mesure précise du moment de torsion, on utilise un montage de quatrejauges en pont complet (pont de torsion) qui élimine les dilatations pouvant proveniréventuellement de la température, de l’effort normal N, du moment de flexion fM , de l’efforttranchant T.

Un tel pont est constitué de quatre jauges identiques, notées j1, j2, j3, j4, de résistance nominaleR et de facteur de jauge K.

Les jauges j1 et j2 sont collées en P suivant les directions I et II ; j3, j4 sont collées en P’,diamétralement opposé à P, suivant les directions principales I et II de ce point (figure 6).Elles sont câblées de façon à constituer les quatre résistances d’un pont de Wheatstone,comme le montre la figure 7.

Sur l’arbre au repos la tension est nulle entre les points A et C : sous l’action du chargement,l’arbre se déforme et les jauges subissent des allongements relatifs ε1, ε2, ε3, ε4, liés aux

variations relatives de résistance par les formules i

i RR

K ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ δ=ε⋅ ; i = 1, 2, 3, 4.

Si DB VVV −= est la tension d’alimentation du pont et AC VVv −=δ la tension dedéséquilibre du pont qui apparaît du fait de ces variations de résistance, on a :

( )43214K

Vv ε−ε+ε−ε=δ

(11)

Effectivement, la tension de déséquilibre vδ , est liée au moment de torsion tM par laformule :

t

x

e MIG

R2K

Vv =δ

(12)

puisque, d’après (10) et (10’), on a :

x

te

31 IG2MR=ε=ε et

x

te

42 IG2

MR−=ε=ε

– Figure 6 – – Figure 7 –



Cette tension de déséquilibre n’est altérée ni par une élévation de température, ni par laprésence dans la section de mesure d’un effort normal, d’un moment de flexion, ou d’uneffort tranchant.

2.1. – Insensibilité à la température

Une élévation uniforme 0TT − de température produit des allongements identiques dans les

quatre jauges : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0th4th3th2th1 TT −α=ε=ε=ε=ε si α désigne le coefficient de dilata-tion thermique, ce qui donne d’après (11) :

( ) 0v th =δ

2.2. – Insensibilité à l’effort normal

Sous l’action d’un effort normal N, les quatre jauges subissent le même allongement et l’ona :

( ) ( ) ( ) ( )SE

N2

1N4N3N2N1

ν−=ε=ε=ε=ε d’où ( ) 0v N =δ

2.3 – Insensibilité au moment de flexion

Sous l’action d’un moment de flexion , les jauges j1 et j2 subissent le même allongementrelatif :

( ) ( ) θν−=ε=ε sinRMIE

1e

xM2M1

et de même :

( ) ( ) θν−=ε=ε sinRMIE

1e

xM4M3

D’où : ( ) 0v M =δ(θ désigne ici l’angle polaire du point P à partir du vecteur )

2.4. – Insensibilité à l’effort tranchant

Sous l’action d’un effort tranchant T , on peut affirmer, en anticipant sur le chapitre suivant,que l’on a : ( ) ( )T4T1 ε=ε et ( ) ( )T3T2 ε=ε

d’où : ( ) 0v T =δ

Remarque :Si l’arbre tourne, il est impossible de relier par câbles les jauges aux appareilsd’enregistrement. Dans ce cas, relativement fréquent, on utilise :

– soit des contacts tournants (voir référence [1], page 222 à 224) ;

– soit un système de télé-extensométrie, un signal proportionnel à vδ étant émis par uneantenne liée à l’arbre tournant, puis reçu et transmis aux enregistreurs par une antenne fixe.



3. – TORSION D’UNE POUTRE PLEINE PRISMATIQUE OU CYLINDRIQUEDE SECTION DROITE QUELCONQUE

Nous appelons encore S0 et S1, les sections droites initiale et finale, S la section droitecourante d’abscisse x, L la longueur, – Mt et Mt les couples de torsion appliqués sur S0 et S1,respectivement.

Les axes sont ox, oy et oz, o étant une particule de S0 et ox une parallèle aux génératrices.

– Figure 8 –

La méthode de Saint-Venant permet de déterminer dans la poutre les champs dedéformations, de contraintes, de rotations et de translations, en supposant que la matrice descontraintes est en tout point de la forme :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ

ττ=Σ

00

00

0

xz

xy

xzxy

les composantes xyτ et xzτ dérivant d’une fonction de contraintes ϕ, à déterminer, par les

formules :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ϕ∂=τ

∂ϕ∂−=τ

τ

y

z

xz

xy

(13)

(la fonction ϕ est supposée pourvue de dérivées partielles d’ordre trois continues sur S).

Nous savons que ces champs constituent la solution, si et seulement si, ils vérifient en toutpoint :

– l’équilibre local (soit 0divf =Σ+ )

– la loi de Hooke– les conditions aux limites– les relations déformations-déplacements (et rotations-déplacements)

Examinons chacune de ces quatre conditions.

3.1. – Equilibre local

Il est traduit ici, en l’absence de forces de volume, par les trois équations :

0zyxzxy =

∂τ∂+

∂τ∂

; 0xxy =

∂τ∂

; 0xxz =

∂τ∂



La première est identiquement vérifiée, d’après (13) ; les deux autres impliquent que le champde contraintes ne dépende pas de x. On pourra donc prendre ( )z,yϕ=ϕ .

3.2. – Loi de Hooke

Elle implique que la matrice de déformation soit la forme :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γγ

γγ=

00

00

0

xz

xy

xzxy

E

avec :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ=γ

τ=γ

xzxz

xyxy

G21G21

( )ν+=μ=12E

G est le module d’élasticité transversal ou second module de Lamé.

3.3. – Les conditions aux limites

– Sur la surface latérale S2 : le vecteur contrainte est nul (pas de forces de surface appliquéessur S2), ce qui s’écrit :

ou encore :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=ϕ=∂ϕ∂+

∂ϕ∂

=τ+τ−

0dzdz

ydy

0ydzd xzxy

sur le contour Γ de S

La fonction ( )z,yϕ est donc constante sur Γ, frontière de S ; cette fonction n’est définie parles formules (13) qu’à une constante additive près ; nous prendrons :

( ) 0z,y =ϕ sur la frontière Γ de S.

– Sur les sections droites extrêmes S0 et S1, on doit avoir :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=τ=

=τ=

∫∫∫∫

Sxz

Sxy

0SdTz

0SdTy pas d’effort tranchant

( )∫∫ τ−τ=S

xyxzt SdzyM

La formule de Riemann permet d’écrire les deux premières intégrales :

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ϕ=∂ϕ∂−

=ϕ=∂ϕ∂−

∫∫ ∫

∫∫ ∫

Γ

Γ

S

S

0zdzdydy

0ydzdydz

puisque 0=ϕ sur Γ



La troisième s’intègre par parties et donne :

( )∫∫ ϕ−=S

t zdydz,y2M (14)

3.4. – Relations déformations-déplacements et rotations-déplacements

Ce sont les relations tensorielles :

10t

10 PPgradPPgrad2 +=E et 10t

10 PPgradPPgrad2 −=Ω

Les premières sont équivalentes aux équations de compatibilité qui se réduisent ici à :

0zyyxyxz =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

−∂τ∂

∂∂

et 0yzzxzxy =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂−

∂τ∂

∂∂

soit, en introduisant la fonction ( )z,yϕ :

( ) 0y

=ϕΔ∂∂

et ( ) 0z

=ϕΔ∂∂

La fonction ( )z,yϕ est donc solution de l’équation du type de Poisson :

B=ϕΔ

Cette constante B est déterminée à l’aide de la formule (14) ; elle est donc proportionnelle aumoment de torsion Mt et fonction de la géométrie des sections droites S.

On notera ainsi J

M2B

t

= , J ayant la dimension L4 d’un moment quadratique.

L’intégration des relations rotations-déplacements donne :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂ϕ∂=ω

β+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂ϕ∂=ω

α+=ω

zJ

M2

zG21

yJ

M2

yG21

xJG

M

t

z

t

y

t

x

(15)

Les constantes d’intégration α, β, γ sont les composantes d’une rotation d’ensemble de lapoutre autour de 0.

L’intégration des relations déformations-déplacements donne enfin :

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+β−α+=

+α−γ+−=

+γ−β+χ=

cxyyxJG

Mw

bzxzxJG

Mv

ayzz,yG1

u

PP

t

t

10 (16)



Les constantes d’intégration a, b, c, sont les composantes d’une translation d’ensemble.

La fonction ( )z,yχ est définie à une constante près par les formules :

zJ

Mzy

t

+∂ϕ∂−=

∂χ∂

et yJ

Myz

t

−∂ϕ∂=

∂χ∂

(17)

On la nomme fonction de gauchissement. Nous la définirons complètement en ajoutant lacondition :

( ) 0o,o =χ

Résolution pratique du problème de Saint-Venant :

1) On détermine la fonction ( )z,yϕ par résolution d’un problème de Dirichlet :

JM

2t

=ϕΔ sur S avec 0=ϕ sur la frontière Γ de S

2) On détermine la constante J par application de l’équation (14) puis la fonction ( )z,yχ parles formules (17).

3) On en déduit :– les contraintes par les formules (13)– les déformations par la loi de Hooke– les rotations par les formules (15)– les translations par les formules (16)

1re conclusion : gauchissement

Les sections droites gauchissent puisque le déplacement axial )z,y(u est une fonction nonlinéaire de y et z.

De plus, u étant indépendant de x, ce gauchissement est le même sur toutes les sectionsdroites.

Seules font exception les poutres de révolution étudiées au § 1, pour lesquelles le gauchis-sement est nul.

2e conclusion : axe de torsion et centre de torsion

Nous allons voir que les sections droites tournent les unes par rapport aux autres autour d’unaxe, parallèle aux génératrices, appelé axe de torsion de la poutre, et qui coupe la sectiondroite courante S en un point C, appelé centre de torsion. Supposons, pour fixer les idées, quele voisinage de la particule O ne subissent ni translation, ni rotation ; on a alors :

0cba ====α puis ( )0xz

0yG2

1 γ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂−=β et ( )

0xy

0zG2

1 γ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂−=γ .



Le déplacement transversal de la particule courante P a alors pour composantes :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+−=

ozsuivant xyJG

Mw

oysuivant xzJG

Mv

t

t

(18)

Le point C de coordonnées :

β= tC MJG

y et γ= tC MJG

z

a un déplacement nul )0wv( CC ==

Dans le repère { }zyx,Co ′′′ parallèle à { }zyx,o mais d’origine oC , le déplacement trans-versal de P a pour composantes :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′⋅ω=′⋅′=′

′⋅ω−=′⋅′−=′

yyxJG

Mw

zzxJG

Mv

x

t

x

t

avec xx =′ (19)

Comme le montre la figure 9, un tel champ de déplacements dans le plan de S est celui d’unerotation d’angle xω (petit) autour du point C.

En coordonnées polaires de pôle C, le déplacement radial de P est nul, son déplacement

circonférentiel valant xrJG

Mr

t

x ⋅=ω .

– Figure 9 –

Toute section droite S subit donc en plus du gauchissement )z,y(u une rotation d’ensembleautour de l’axe de torsion xC ′ , d’angle

xJG

Mt

x =ω



Remarque

Si la section droite S possède un axe de symétrie, il porte nécessairement le point C.

Si S possède deux axes de symétrie, leur intersection G est aussi centre de torsion.

4. – FLUX ET CIRCULATION DU VECTEUR CISSION τ

L’étude qui précède nous permet de faire les remarques suivantes :

– Les formules (13) qui font dériver le vecteur scission τ de la fonction de torsion )z,y(ϕ

montrent que ce vecteur se déduit du vecteur ϕgrad par rotation de 2π+ dans le plan de S ;

les lignes cte=ϕ dites lignes de cisaillement, sont les lignes de force du champ τ .

– La divergence du vecteur τ est nulle )0div( =τ ; ce vecteur est donc un rotationnel ; ildérive d’un potentiel vecteur.

– La mesure algébrique τrot du pseudo-vecteur rot sur l’axe x’x égale ϕΔ ;

)J

M2rot(

t

=τ=ϕΔ .

4.1. – Formule du flux de cission

– Figure 10 –

Soit C une courbe fermée quelconque tracée sur la section droite courante S. Le vecteur τétant un rotationnel, son flux sortant à travers C est nul, d’après la formule de Riemann. Il

s’ensuit en particulier que le même flux traverse toutes les demi-droites issues d’un point Ωquelconque de S.

On note :

∫ =⋅τ=ΦC

C 0ldn avec ⎪⎩

⎪⎨⎧

===τ

CC

surlongueurdeélémentld

àPenunitairenormalen

Pencissionvecteur



4.2. – Formule de la circulation

La formule de Stokes montre que la circulation du vecteur τ sur la courbe fermée C(parcourue dans le sens positif) égale le flux du vecteur rot à travers de domaine D, limité

par C (dans le sens de x’x).

Cette formule s’écrit, A désignant l’aire de D :

∫ ∫∫ ⋅=⋅=ϕΔ=τC D J

MA2ABzdydld

t

(21)

La rotation de torsion xd ω de la section droite S’ d’abscisse xdx + par rapport à Sd’abscisse x, satisfait, d’après (15), à l’égalité :

JGM

xdd t

x =ω(22)

La formule de la circulation (21) peut alors s’écrire :

∫ ω=⋅=τC xd

dAG2

JMA

2ld xt

(23)

Le rapport

xddM

JGx

t

ω= se nomme rigidité de torsion linéique (ou locale) de la poutre. Son

inverse JG

1 est la torsibilité linéique.

Le rapport O1

tML

JG

ω−ω= est la rigidité de torsion globale de la poutre ; son inverse la

torsibilité globale.

RemarqueDans le cas de la poutre de révolution étudiée au § 1, le coefficient géométrique J n’est autre

que le moment quadratique ( )4i

4ex RR

2I −π= de la section droite autour de l’axe de torsion

x’x.

4.3. – Energie potentielle élastique de torsion

Considérons une tranche de poutre entre les sections droites S et S’ d’abscisses x et xdx +(figure 11).

Lorsque le moment de torsion passe de la valeur initiale O à la valeur finale Mt, S’ tourne parrapport à S autour de l’axe de torsion, d’un angle xdω .

Le travail ainsi effectué vaut donc :

xt dM

21

Wd ω=



On en tire l’énergie linéique emmagasinée :

JGM

21

xdWd

2t

= puisque JG

Mxd

d tx =ω

(24)

4.4. – Cas des poutres prismatiques creuses

Dans les paragraphes 3 et 4, nous avons supposé que la poutre étudiée était pleine, poursimplifier les calculs.

Dans le cas d’une poutre creuse (un ou plusieurs trous), la section droite S constitue undomaine multiplement connexe ; sa frontière Γ est la réunion de plusieurs courbes ferméesdisjointes : un contour extérieur ΓO et n contours intérieurs Γ1, Γ2, … , Γn (figure 11).

– Figure 11 –

Tous les résultats acquis restent valables :

– On impose la valeur zéro à la fonction )z,y(ϕ sur ΓO ; les valeurs ϕ1, ϕ2, … , ϕn,

constantes, de ϕ sur Γ1, Γ2, … , Γn s’en déduisent, différant en général d’un contour à unautre.

– La formule (14) permettant de calculer la valeur de J, devient :

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ++ϕ+ϕ−= ∫∫ nn11

t AAzdyd)z,y(2M (25)

où A1, A 2, … , A n désignent les aires enfermées par Γ1, Γ2, … , Γn.

– La formule (20) du flux de cission et la formule (21) de la circulation, restent valables,même si la courbe C entoure une cavité. Il en est de même des formules (22) (rotation detorsion) et (24) (énergie de torsion).



5. – EXEMPLES D’APPLICATIONS

5.1. – Section droite elliptique pleine

– Figure 12 –

Solution :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=ϕ 2

2

2

2t

bz

ay

1S

M

t33

22

22

33

Mbaba

2Bbaba

Jπ+=⇒

+π=

)Ben(Sb

M2

yaSM2

zbSM2

t

max

2

t

xz

2

t

xy

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=τ⇒=τ

−=ττ

zyGM

baba

ut

33

22

π−−=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π−=ω

π−=ω

=ω

zGM

ba1

yGM

ba1

xJG

M

t

3z

t

3y

t

x

RemarquesLa contrainte est maximale aux sommets du petit axe, où elle vaut :

SbM2 t

max =τ

– la contrainte τ varie linéairement le long de toute radiale issue du centre C ;

– en faisant Rba == , on retrouve les formules de la poutre de section circulaire pleine.



5.2. – Section triangulaire pleine

– Figure 13 –

Le centre de gravité est manifestement centre de torsion.

En appelant 3a la hauteur du triangle, les trois côtés sont portés par des droites d’équations :

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+−

=+

=+−−

)CA(0a33

2y33

z

)BC(0ay

)AB(0a33

2y33

z

dans le repère { }zy,O de la figure

Solution :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=ϕ a

332

y33

za33

2y33

zayaM

5435

5

t

4

t4

aM

27310

Ba5

39J =⇒=

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−=τ

+−=ττ

ya2yzaM

5435

zaya

M

54

310

225

t

xz

5

t

xy

τ est maximal au milieu des côtés où il vaut :

)côté3a2C(C

M20aM

1835

3

t

3

t

max ====τ

– τ est nul au centre et aux sommets.



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

3z

yaz

JGM

21

u2

2t

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=ω

−−=ω

=ω

zayaJG2

M

ya2yzaJG4

M

xJG

M

t

z

22t

y

t

x

5.3. – Section rectangulaire pleine

– Figure 14 –

La fonction )z,y(ϕ est la somme d’une double série :

( )a2yn

cos

a2bn

ch

a2zn

ch1

n1

JMa32

)z,y(5,3,1n

2

1n

3

t2

3

π

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

π

π

−−π

=ϕ ∑∞

=

−

On en déduit :

( )∑∞ −

π

ππ

⋅−π

=∂ϕ∂−=τ

5,3,1

2

1n

2

t

2xy

a2bn

ch

a2yn

cosa2zn

sh

n1

JaM16

z

( )a2yn

sin

a2bn

ch

a2zn

ch1

n1

JaM16

y,3,1

2

1n

2

t

2xz

π

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

π

π

−−π

=∂ϕ∂=τ ∑

∞ +



⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ππ

−= ∑∞

= 3,1n

553

a2bn

thn1

ba192

1ba3

16J

La contrainte est maximale au milieu du grand côté où elle vaut (en supposant b >> a pourfixer les idées) :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ππ−=τ ∑

∞

= 3,1n2

2

t

max

a2bn

chn

181

JMa

2

Elle est nulle aux sommets du rectangle et au centre.

Les deux coefficients importants, en pratique sont J et maxτ . Donnons-en quelques valeurs en

fonction du rapport ab

.

ab

1 1,2 1,5 2 2,5 3 4 5 10 100

( ) ( )22 b2a2

J0,141 0,139 0,131 0,115 0,099 0,088 0,070 0,058 0,031 0,003

( ) ( )t

2

max Mb2a2⋅τ 4,801 4,572 4,326 4,061 3,888 3,745 3,548 3,433 3,205 3

– Dans le cas d’une section carrée ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =1

ab

, on a :

( )2S141,0J = et Sa2

M801,4

t

max ⋅=τ

(où 2a4S = est la surface du carré)

– Dans le cas d’un rectangle mince (b >> a), on a :

( )2Sba

31

J = et Sa2

M3

t

max ⋅=τ ( ba4S = )

6. – TORSION DES TUBES PRISMATIQUES MINCES

Comme nous venons de le voir, la détermination des contraintes tangentielles sur une sectiondroite constitue un problème relativement complexe.

Cette détermination redevient simple pour les tubes minces, poutres dont la section droite secompose d’une ou plusieurs bandes, de largeur faible devant le diamètre de la section droite.

Cette épaisseur e est en général uniforme, le tube étant obtenu par pliage d’une tôlerectangulaire, mais elle peut aussi varier, de façon continue et progressive.



Sur chaque bande, on considère la ligne médiane orientée C, de point courant P, d’élément delongueur ld .

Nous distinguerons trois cas :

1er cas : tube fermé simple

La section droite S est formée d’une seule bande, fermée sur elle-même, de ligne médiane Corientée dans le sens trigonométrique autour de x’x, axe de torsion.

– Figure 15 –

On appelle coupure le segment de droite porté par S, de longueur e (épaisseur du profil en P),normal en P à la ligne médiane (figure 15).

Aux deux extrémités de la coupure, τ est tangent au contour de S ; e étant, de plus, faible,nous pouvons considérer τ comme uniforme sur la coupure et dirigé suivant la tangente en Pà C.

D’après les résultats de § 4.1., le même flux Φ traverse toutes les coupures : on a donce⋅τ=Φ , Φ et τ étant comptés positifs dans le sens de la ligne C.

La formule de la circulation (4.2.) donne alors :

∫∫∫ Φ==Φ=τCCC e

ldJ

MA2ld

eld

t

où A désigne l’aire délimitée par la courbe C.

Exprimons maintenant le moment de torsion :

( ) ldCPe∫ τ∧=C

En coordonnées polaires ),r( θ de pôle C, on a :

⎩⎨⎧

0

rCP et

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

θτ

ττ

ldd

r

ldrd



d’où :

A2drldld

dreM 22t Φ=θΦ=θτ= ∫∫ CC

Ces deux formules donnent :

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

===

=τ=Φ

∫)cteesi

lAe4

J(

eld

A4J:tcoefficienle

Ae2M

où’dA2

M:fluxle

22

tt

C

(26)

Exemple : tube mince de section rectangulaire (caisson)

– Figure 16 –

Considérons une poutre caisson, d’épaisseur uniforme e, de côtés 2a et 2b, de longueur L.

L’aire enfermée par la ligne moyenne est A = 4 ab.

La contrainte tangentielle τ, uniforme, vaut : bae8

Mt

=τ .

La rigidité différentielle de torsion est : baba16

GJG22

+= .

2e cas : tube fermé cloisonné

La poutre est constituée d’une paroi cylindrique (ou prismatique) extérieure et d’une ouplusieurs cloisons intérieures, l’ensemble délimitant ainsi n cavités. La section droite Scomporte plusieurs branches se rencontrant aux nœuds. Sur toute coupure, comme dans le casprécédent, τ est uniforme et l’on a l’égalité e⋅τ=Φ . Sur S, nous associons à la cavité n° i

)n,,2,1i( = la courbe fermée orientée Ci qui l’entoure, et le flux iΦ , positif dans le sens

de Ci.

e



– Figure 17 –

Ce flux est défini de telle sorte que, dans une branche limitant la cavité n° i, le flux réelcompté algébriquement sur Ci, soit :

iΦ , si cette branche est comprise entre l’extérieur et la cavité n° i.

ji Φ−Φ , si cette branche sépare les cavités n° i et j.

La nullité du flux total quittant chaque nœud, démontrée au § 4.1. est ainsi assurée.

Pour calculer les n flux iΦ et le coefficient J , on dispose alors des (n + 1) équations linéairesindépendantes :

( )nn2211t

i

tx

AAA2M

)n,,2,1i(ldAG2

1

JG

M

xd

d

Φ++Φ+Φ=

=Φ==ω ∫iC (27)

Cette dernière équation exprime que le moment de torsion Mt résulte des n moments de

torsion iit

i A2M Φ= associés au n flux iΦ , iA désigne l’aire limitée par la courbe Ci.

Exemple : caisson rectangulaire avec deux cloisons

– Figure 18 –

)surncirculatioladeformule( iCe



On considère la poutre représentée sur la figure 18, où toutes les cloisons et parois ont lamême épaisseur e.

Les formules (27) s’écrivent ici :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Φ−Φ+Φ

⋅= a

e2a

e4

a221

JM 211

2

t

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Φ+Φ−Φ+Φ−Φ

⋅= a

e2a

e2a

e2

a221

JM 23212

2

t

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Φ−Φ+Φ

⋅= a

e2a

e4

a221

JM 233

2

t

( ) 2321

t a22M Φ+Φ+Φ=

La résolution donne :

2

t

31 aM

131=Φ=Φ et

2

t

2 a

M

52

5=Φ

puis ea7

104J 3=

On en déduit les flux résultants dans les différentes branches.

3e cas : profil ouvert simple

La section droite S comporte une seule bande, ouverte, de ligne moyenne C, orientée, et delongueur l.

Le flux Φ étant :– le même à travers toutes les coupures,– nul sur les coupures extrêmes,

est donc nul sur toute coupure.

– Figure 19 –



Nous ne pouvons alors plus adopter une distribution uniforme de τ . On a une distributionsymétrique par rapport au centre P de la coupure. La valeur exτ de τ aux extrémités de lacoupure varie avec la position de celle-ci, s’annulant sur les coupures initiale et finale.

On considère dans ce cas que le champ de contraintes et la rigidité de torsion sont inchangéssi l’on développe la poutre, en la déroulant, pour en faire une plaque plane rectangulaire decôtés L et l (l désigne la longueur de la ligne médiane C).

Dans le cas d’une épaisseur uniforme e, nous obtenons une poutre de longueur L, de sectiondroite rectangulaire mince (hauteur l, épaisseur e), étudiée au § 5.3.

Nous avons trouvé :

médiane) coupure la(sur le

M3etel

31

J 2

t

max3 =τ= (28)

Exemple : tube circulaire mince fendu suivant une génératrice :

On trouve, R désignant le rayon moyen :

3eR3

2J

π= et 2

t

max eRM

23

π=τ

au lieu, dans le cas du tube circulaire mince fermé, de :

eR2J 3π= et eR

M21

2

t

max π=τ

Le rapport des rigidités de torsion est : 1Re

31

2

<<⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Le rapport des maxτ vaut : 1eR

3 >>

Le tube ouvert est beaucoup moins rigide que le tube fermé ; le même moment de torsion yproduit des contraintes et des gradients de contraintes beaucoup plus élevés.

7. – POUTRES NON PRISMATIQUES

Dans tout ce qui précède, nous avons supposé notre poutre prismatique (ou cylindrique).

Lorsqu’il n’en est pas ainsi, considérons une tranche mince comprise entre les sections droitesS et S’ d’abscisses curvilignes s et sds + (figure 20).

D’après les hypothèses des poutres minces :

– le diamètre de S est petit devant la longueur de la ligne moyenne, son rayon de courbure etson rayon de torsion en G, centre de S.

– la forme, les dimensions, le calage de S varient de façon lente et continue avec s (ou nevarient pas).



Une telle tranche peut donc être considérée comme prismatique (ou cylindrique) et on peut luiappliquer les résultats acquis dans ce cas.

– Figure 20 –

Rappelons les principaux, désignant le moment de torsion sur S :

– Obtention sur S du champ de contraintes τ , du centre de torsion C et de la rigidité detorsion GJ par la méthode de Saint-Venant.

– Formules du flux et de la circulation du vecteur τ sur une courbe fermée C dessinée sur S.

– Rotation d’ensemble de S’ par rapport à S autour de l’axe de torsion parallèle à l’axelongitudinal local CX, de l’angle :

sdJG

Mdt

– Valeur de l’énergie potentielle élastique de torsion dans la tranche d’épaisseur ds :

sdJG

M21

Wd2t

= .

– Formules obtenues dans le cas des tubes minces (flux, cission et rigidité).

Remarques générales :

1) La théorie que nous venons de développer suppose que toutes les sections droites puissentgauchir librement. Cette condition peut ne pas être réalisée pour certaines sections droites,telles que les sections encastrées.Les résultats de cette théorie ne sont alors pas valables au voisinage de ces sections ; enparticulier, les rigidités de torsion y sont plus fortes.

2) Nous avons également supposé les couples de torsion appliqués au sections extrêmes sousforme de champs de contraintes τ bien précis ; en pratique les couples de torsion peuventêtre appliqués différemment et sur plus de deux sections droites ; au voisinage de cessections de chargement, les résultats de la théorie générale ne sont pas exacts.

3) Si l’on a sur une section droite de poutre un effort tranchant T et un moment longitudinal

, le champ des forces de cission sdτ sur S a pour résultante générale T et pour

moment résultant en G, . Le moment de torsion est le moment résultant de ces

mêmes efforts sdτ , mais en C, centre de torsion de S.



Le moment de torsion est donc lié au moment longitudinal par la formule detransport des moments :

= TCG ∧+ (29)

tM et XM sont identiques lorsque le produit vectoriel TCG est nul, c’est-à-dire dans lescas suivants :– C et G confondus– T nul

– CG et T parallèles

4) Dans le cas d’une poutre prismatique très longue (tige d’un pendule de torsion parexemple), ωX, v et w ne restent pas nécessairement petits.Toutes les formules demeurent cependant valables, à l’exception de celles concernant lesdéplacements transversaux v et w (formule 5), (16,2), (16,3), (18), (19).


CHAPITRE V – EFFORT TRANCHANT

CHAPITRE V

EFFORT TRANCHANT

On a un effort tranchant pur dans une section droite S de poutre si effort normal, moments deflexion et de torsion y sont nuls ; ceci ne peut avoir lieu que sur quelques sectionsparticulières. Sur une poutre droite à plans moyens XOY et XOZ par exemple, les deuxdernières équations d’équilibre des moment s’écrivent :

0Txd

Mdm Z

YY =−+ et 0T

xdMd

m YZ

Z =++

et montrent que l’effort tranchant y est lié au moment de flexion.

La figure 1 donne deux exemples de sections droites SO ainsi sollicitées en cisaillement pur.

Poutre saisie entre Rivet assemblant deux tôlesles mâchoires d’une cisaille chargées dans leur plan

– Figure 1 –

Dans ce chapitre, nous étudierons les contraintes, déformations et déplacements produits parl’effort tranchant T ; il nous suffira d’ailleurs d’étudier les effets de la seule composante

principale TY, le cas général se traitant par décomposition de T en YT et ZT puissuperposition des résultats.

1. – THÉORIE DE SAINT-VENANT

Considérons une poutre prismatique (ou cylindrique) pleine, limitée par les sections droitesextrêmes SO et S1, et rapportée au repère principal { }zyx,GO de SO ; S est la section droitecourante, d’abscisse x et L la longueur de la poutre.



– Figure 2 –

Appliquons lui le chargement suivant :

– Sur S1, une distribution de contraintes tangentielles τ (précisée plus loin) ayant une

résultante générale YFF = , parallèle à GO y et un moment résultant (de torsion) Mt nul enC1 (centre de torsion de S1).

– Sur SO, la distribution de forces tangentielles opposée et une distribution de contraintes

normales yILF

Zx −=σ , assurant l’équilibre global des moments ( ZI désigne le moment

quadratique principal de S autour de GZ et y l’ordonnée du point courant).

– Sur S le visseur a deux composantes non nulles :– l’effort tranchant FTY = ;

– le moment de flexion ( ) ( )xLFxLTM YZ −=−= .

La théorie de Saint-Venant permet de déterminer les contraintes, déformations, rotations ettranslations en supposant que la matrice des contraintes est en tout point de la forme :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ

ττσ=Σ

00

00

xz

xy

xzxyx

avec ( ) yxLIT

yI

M

Z

Y

Z

Zx −−=−=σ (1)

les composantes xyτ et xzτ de τ dérivant d’une fonction de contraintes ϕ, à déterminer, par

les formules :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ϕ∂−=τ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+

∂ϕ∂=τ

τ

y

yz1I2

Tz

xz

22

Z

Yxy

(2)

(la fonction ϕ est supposée pourvue de dérivées partielles d’ordre trois continues sur S).

Nous savons que les champs calculés constituent la solution, si et seulement si, ils vérifient entout point de la poutre :– la loi de Hooke ;

– l’équilibre local : 0divf =Σ+ ;



– les conditions aux limites ;– les relations déformations-déplacements et rotations-déplacements.

Examinons ces quatre types de conditions :

1) Loi de Hooke : elle impose que la matrice de déformation ait la valeur :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εγεγ

γγε=

zxz

yxy

xzxyx

0

0E avec

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ=γ

τ=γ

εν−=ε=ε

−−=σ=ε

xzxz

xyxy

xzy

Z

Yxx

G21G21

yxLIE

TE

( )ν+=12E

G désigne le module d’élasticité de glissement (2e module de Lamé).

2) Equations d’équilibre local

Elles s’écrivent ici :

0zyxxzxyx =

∂τ∂+

∂τ∂

+∂σ∂

; 0xxy =

∂τ∂

; 0xxz =

∂τ∂

La première est identiquement vérifiée en vertu des formules (1) et (2) ; les deux autresimpliquent que xyτ et xzτ ne dépendent pas de x ; il en est de même de xyγ , xzγ et ϕ.

3) Conditions aux limites

– sur la surface latérale S2, le vecteur contrainte C est nul puisque cette surface n’est paschargée. Ceci implique :

ou

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ν+ν−=ϕ

=τ−τ

zdz1

yI2

Td

0ydzd

22

Z

Y

xzxy

sur le contour Γ de S (3)

L’intégration de cette équation sur Γ y donne les valeurs de ϕ à une constante additive près.

– sur les sections droites extrêmes SO et S1, les conditions aux limites sont égalementsatisfaites, car on vérifie sur toute section droite les égalités :

S

t

SZxz

SYxy

0MSdCP

0TSd

FTSd

⎩⎨⎧

==

Ssur torsion demoment M

S de torsion de centre Ct



Vérifions la première équation :

zdydyz1I2

Tz

SdS

22

Z

Y

Sxy ∫∫∫∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+

∂ϕ∂=τ (d’après (2))

∫∫∫ Γ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+ϕ−=τ ZY

Z

Y

Sxy II

1I2T

ydSd (formule de Riemann)

∫∫∫ Γ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+ϕ=τ ZY

Z

Y

Sxy II

1I2T

dySd (intégration par parties)

∫∫∫

∫∫∫

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ν+ν−=τ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ν+ν−=τ

Γ

SZY

Z

Y22

Z

Y

Sxy

ZYZ

Y22

Z

Y

Sxy

II1I2

Tzdydz

1y3

I2T

Sd

II1I2

Tzdyz

1y

I2T

Sd

(d’après 3)

YZYYZZ

Y

Sxy TII

1I

1I3

I2T

Sd =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν+

ν+ν−=τ∫∫

La deuxième équation se vérifie de la même façon.

Quant à la troisième, qui exprime la nullité du moment de torsion tM induit par les effortsSdτ , nous montrerons plus loin qu’elle est aussi vérifiée, en établissant l’absence de rotation

de torsion des sections droites les unes par rapport aux autres.

Sur la section SO, les contraintes xσ donnent bien un moment de flexion égal à FL,d’après (1).

4) Relations déformations-déplacements et rotations-déplacements

Leur intégration donne les trois composantes du pseudo-vecteur rotation et celles duvecteur déplacement .

On trouve, tous calculs faits :

( )

( )[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ+−−+∂ϕ∂ν+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂=ω

β+ν+∂ϕ∂ν+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂=ω

α+−ν=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂=ω

22

Z

Yz

Z

Yy

Z

Yx

xLyIE2

TzE

1yu

xv

21

zyIE

TyE

1xw

zu

21

zxLIE

Tzv

yw

21

(4)

où α, β, γ désignent les composantes d’une rotation solide, et :



( )

( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+β−α+−ν=

+α−γ+−+−−ν=

+γ−β+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν+−ν+−+χν+=

cxyzyxLIET

w

bzxxLIE6

TzyxL

IE2T

v

ayzy3

2zyyxL

IE2T

)z,y(E

12u

PP

Z

Y

3

Z

Y22

Z

Y

322

Z

Y

1O (5)

où a, b, c, désignent les composantes d’une translation solide.

La fonction )z,y(χ est définie, à une constante additive près, par les formules :

zy ∂ϕ∂=

∂χ∂

et yz ∂ϕ∂−=

∂χ∂

Résolution pratique du problème de Saint-Venant

Montrons d’abord que la fonction )z,y(χ est harmonique.

Partons pour cela des équations de compatibilité, qui se réduisent ici à : ( ) 0y

=ϕΔ∂∂

et

( ) 0z

=ϕΔ∂∂

et équivalent donc à : B=ϕΔ .

Cette constante est nulle, on a en effet :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂=ω

zv

yw

21

x

d’où, l’on tire :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

∂∂=

∂ω∂

yu

xv

z21

xw

zu

y21

xx

zyxxyxzx

∂γ∂

−∂γ∂=

∂ω∂

(formules (1. 13) du tome I)

τ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

−∂τ∂=

∂ω∂

rotG2

1zyG2

1x

xyxzx (loi de Hooke)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

ν+ϕΔ−=∂ω∂

z1I

TG21

x Z

Yx (d’après (2))

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

ν+−=∂ω∂

z1I

TB

G21

x Z

Yx (puisque B=ϕΔ )

xdG2

B∗ est donc la rotation d’ensemble de torsion de la section droite S’ d’abscisse xdx +

par rapport à S d’abscisse x ; en l’absence de moment de torsion, elle s’annule. D’où : 0B = .



Marche à suivre :

1)On détermine pour commencer la fonction de contrainte )z,y(ϕ par résolution d’unproblème de Dirichlet :

0=ϕΔ sur S avec )z,y(ϕ connue sur le contour Γ de S, calculée à partir de la formule(3) :

zdz1

yI2

Td 22

Z

Y ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ν+ν−=ϕ sur Γ

On en déduit la fonction harmonique conjuguée )z,y(χ , par les conditions de Cauchy :

yz ∂ϕ∂−=

∂χ∂

et zy ∂ϕ∂=

∂χ∂

2)On a alors la matrice de contrainte [ ]Σ par les formules (1) et (2), puis la matrice dedéformations par la loi de Hooke.

3)On calcule ensuite les rotations par les formules (4) et les translations par les formules (5).

1re conclusion : gauchissement : les sections droites gauchissent puisque le déplacementaxial u sur S est une fonction non linéaire de y et z.

2e conclusion : rotations des sections droites

La troisième formule (4) permet d’écrire : ( )

Z

Z

Z

Yz

IEM

IExLT

x=−=

∂ω∂

La section droite S’ tourne donc par rapport à S d’un angle xdIE

Md

Z

Zz =ω , autour de l’axe

G Z, rotation due exclusivement au moment fléchissant ZM

3e conclusion : courbure des fibres axiales déformées

La 2e formule (5) donne : ( )

xIEM

IExLT

xv z

Z

Z

Z

Y2

2

∂ω∂==−=

∂∂

Chaque fibre axiale prend donc, à l’abscisse x, une courbure :

Z

Z2

2

IEM

xv

R1 =

∂∂=



2. – FLUX ET CIRCULATION DU VECTEUR CISSION τ

2.1. – Formule du flux

– Figure 3 –

Appelons C une courbe fermée quelconque dessinée sur S, orientée dans le sens positif autour

de X’X, et délimitant un domaine D d’aire A.

Le flux du vecteur τ sortant du domaine D à travers C, et noté CΦ peut être calculé grâce à laformule d’Ostrogradski :

∫∫∫∫∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂+

∂τ∂

=⋅τ=ΦDDCC Sdy

IT

zdydzy

ldnZ

Yxzxy

En posant )(Sdy Z DAD

=∫∫ , moment statique du domaine D par rapport à l’axe Z, on a la

formule de Bredt :

)(IT

ZZ

Y DAC −=Φ (6)

2.2. – Formule de la circulation

La circulation du vecteur τ sur la courbe fermée C peut être calculée grâce à la formule deStokes :

∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

−∂τ∂=τ=τ

DDCzdyd

zySdrotld xyxz

soit, en vertu de (2) et sachant que 0=ϕΔ :

∫∫∫ ν+ν−=⋅τ

DCzdydz

1IT

ldZ

Y



et finalement :

)(IT

1ld Y

Z

Y DAC ν+

ν−=⋅τ∫ (7)

en appelant ∫∫=D

DA Sdz)(Y le moment statique de D par rapport à l’axe GY.

Remarque

Les moments statiques )(Y DA et )(Z DA du domaine D par rapport aux axes GY et GZ

(resp.) sont homogènes à un volume (dimension 3L ) et peuvent être positifs, négatifs ou nuls.

)(Y DA est nul lorsque le centre de D est sur GY,

)(Z DA lorsque ce centre est sur GZ.

Flux et circulation sont donc nuls si C est la frontière Γ de S.

D’autre part, on peut calculer les moments statiques YA et ZA d’un domaine D par lesformules :

Ω⋅= ZA)(Y DA et Ω⋅= YA)(Z DA (8)

où ΩY et ΩZ sont les coordonnées du centre Ω de D, et A l’aire de D.

3. – ÉNERGIE ET FLÈCHE D’EFFORT TRANCHANT

Considérons une tranche de poutre, entre les sections droites voisines S et S’ d’abscisses x etxdx + (figure 4).

L’énergie potentielle élastique emmagasinée par unité de volume au voisinage du pointcourant P est :

( ) xzxzxyxyxx21

rt21 γτ+γτ+εσ=⋅Σ= EU

Ou encore, en vertu des formules de Hooke :

G21

E21 22

x τ+σ=U

Cette énergie volumique est donc la somme de deux termes :

E21 2

xσ induit par le moment de flexion ZM

G21 2τ

induit par l’effort tranchant YT

L’énergie emmagasinée dans un élément de fibre, de longueur xd et de section droite Sdvaut :

xdSdG2

1Sd

E21

Sdxd22

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+σ=⋅U



Pour la tranche entière, cette énergie vaut :

xdSdG2

1Sd

E21

WdS S

22x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+σ= ∫∫ ∫∫d’où, avec y

IM

Z

Zx −=σ :

TMS

2

Z

2Z

xdWd

xdWd

SdG2

1IE

M21

xdWd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=τ+= ∫∫

Enfin, la cission τ au point courant étant proportionnelle à l’effort tranchant YT , on peutécrire le deuxième terme :

SGT

k21

xdWd 2

YY

T = (9)

Le coefficient sans dimension Yk , dépendant de la géométrie de la section droite et du

coefficient de Poisson, se nomme coefficient de section réduite. Le rapport Yk

S se nomme

section réduite.

– Figure 4 –

Ayant sur chaque section droite un moment fléchissant ZM et un effort tranchant YT ,

nous venons de leur faire correspondre une énergie de flexion MW et une énergie d’effort

tranchant TW .

Il en est de même pour la flèche v prise par le centre G que l’on peut écrire :

TM vvv +=

Mv satisfait l’équation à :

Z

Z2M

2

IEM

xdvd =

Montrons que Tv satisfait à :

SGT

kxdvd Y

YT = (10)



Il suffit pour cela d’appliquer le théorème de Castigliano à l’énergie TWd emmagasinée dans

la tranche S-S’ (figure 4), en prenant comme repère { }ZYX,G supposé entraîné dans lemouvement d’ensemble de la section S ; on obtient :

( ) xdxdvd

WdT

TT

Y

=∂∂

soit :

xdxdvd

xdSG

Tk TY

Y =

4. – EXEMPLES D’APPLICATION

4.1. – Section circulaire pleine

– Figure 5 –

La fonction de cisaillement est :

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −ν+

ν+=ϕ ZR23Z

31

ZY211I8

T)Z,Y( 232

Z

Y

On en déduit le vecteur cission τ :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π=ν+ν+−=τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+ν−−−

ν+ν+=τ

τ4

ZZ

Yxz

222

Z

Yxy

R4

IavecZYIT

121

41

Z2321

YRIT

123

81



La cission est maximale au centre G où elle vaut :

2

Z

YmaxG R

IT

123

81

ν+ν+=τ=τ

Sur l’axe Z’Z, τ est parallèle à YT et vaut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+ν−−

ν+ν+==τ 2

22

Z

Y

RZ

2321

1RIT

123

81

)0Y(

En particulier, aux extrémités du diamètre porté par Z’Z, on a :

2

Z

Y RIT

121

41

)R,O(ν+ν+=τ

τ est nul aux extrémités du diamètre porté par Y’Y.

La fonction )Z,Y(χ s’écrit d’autre part, en posant 0)O,O( =χ :

YZY31

2321

1RIT

123

81

)Z,Y( 222

Z

Y⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ν+ν++

ν+ν+=χ

Enfin, en égalant les deux expressions de l’énergie linéique d’effort tranchant :

∫∫ τ==S

22

YY

T SdG21

SGT

k21

XdWd

on obtient l’expression du coefficient de section réduite :

( ) ⎩⎨⎧

=ν==ν=

⇒ν++ν+ν=

30,0pour176,1k

25,0pour173,1k

16

7148k

Y

Y2

2

Y

Le cisaillement des sections droites circulaires est très important puisque c’est le casnotamment des rivets et des boulons.

4.2. – Section pleine rectangulaire

– Figure 6 –



Désignons par 2a et 2b les longueurs des côtés parallèles à Y’Y et Z’Z ; on a alors

ba34

I 3Z = .

La fonction de contrainte )Z,Y(ϕ se présente sous la forme d’une double série de Fourier :

( ) ( )

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

ππ+−

ν+ν

π+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

ν−=ϕ1m 0n 2

2

22

nm

Z

Y4

332

Z

Y

na4

b1m2n1m2

bZn

sina2

Y1m2cos1

IT

1b8

3z

1za

I2T

On en déduit, par les formules (2) les composantes de τ :

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

ππ+−

ν+ν

π=τ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

ππ+−

ν+ν

π+−=τ

τ

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=

+

1m 0n 22

22

nm

Z

Y3

3XZ

0m 1n 22

22

nm

Z

Y3

222

Z

YXY

na4

b1m2n

bZn

sina2

Y1m2sin1

IT

1ab4

na4

b1m21m2

bZn

cosa2

Y1m2cos1

IT

1b8

YaI2

T

• τ a pour valeur en G :

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

π−

π+

ν+ν−=τ ∑

∞

=1n2

n

22

2Y

G

ban

chn

1431

ab

11

ST

23

• XZτ est nul sur les axes de symétrie Y’Y et Z’Z.

• τ est nul aux points A et C. Aux points B et D, il est maximal et vaut :`

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ππ−

ν+ν+=τ=τ ∑

∞

=1n2

22

2Y

DB

ban

chn

1432

ab

11

ST

23

En posant :

( )∑∞

=

+

π−=

1n2

1n

1

ban

chn

1k et ∑

∞

= π=

1n2

2

ba

nchn

1k

on peut écrire :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

π−

ν+ν+=τ=τ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

π−

ν+ν−=τ

222

2Y

DB

122

2Y

G

k4

32

ab

11

ST

23

k4

31

ab

11

ST

23



Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de 1k et 2k pour différents rapports ba

.

ba

0,1 0,5 1 1,5 2 2,5

1k 0,7981 0,3787 210535,8 −⋅ 210793,1 −⋅ 310733,3 −⋅ 410764,7 −⋅

2k 1,3018 0,4223 210721,8 −⋅ 210801,1 −⋅ 310737,3 −⋅ 410764,7 −⋅

Lorsque ba

est supérieur à 2,5, 1k et 2k sont négligeables et pratiquement égaux au premier

terme de la série, soit 1

ba

ch−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

. On a alors pratiquement :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

ν−=τ 2

2Y

G ab

131

1S

T23

et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

ν+=τ 2

2Y

B ab

132

1S

T23

Pour un rectangle très mince ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ >>1

ba

, on a :

ST

23 Y

DBG =τ=τ=τ

5. – POUTRE PRISMATIQUE CREUSE

Dans ce qui précède, nous avons supposé pour simplifier les calculs que la poutre était pleine.

Dans le cas d’une poutre creuse (une ou plusieurs cavités), la section droite S constitue undomaine plan multiplement connexe ; sa frontière Γ est la réunion de plusieurs courbesfermées disjointes : un contour extérieur OΓ et n contours intérieurs n21 ,,, ΓΓΓ (figure 7).

Tous les résultats acquis s’étendent aisément à la poutre creuse.

1)La fonction )Z,Y(ϕ est déterminée par les conditions :

0=ϕΔ sur S et zdZ1

YI2

Td 22

Z

Y ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ν+ν−=ϕ sur

n

0i

i

=

Γ=Γ (Problème de Dirichlet)

2)La formule de Bredt reste vérifiée :

)(IT

ZZ

Y DAC −=Φ

Si la courbe fermée C dessinée sur S entoure une ou plusieurs cavités, le domaine D est

l’intersection de S et du domaine limité par C : les cavités sont exclues.



– Figure 7 –

3)Si la courbe fermée C n’entoure pas une cavité, la formule (7) de la circulation demeureinchangée.Si elle entoure une ou plusieurs cavités, par exemple les cavités 1, 2, ..., p de frontières

p21 ,,, ΓΓΓ , la formule s’écrit :

)(IT

1ldldld Y

Z

Y

p1

DAC ν+

ν−τ++τ=τ ∫∫∫ ΓΓ

où D désigne le domaine plan multiplement connexe d’ordre p, limité par C, p1 ,, ΓΓ(comme pour la formule de Bredt (figure 7)).

4)Les formules (9) et (10) de l’énergie et de la flèche d’effort tranchant sont inchangées.

6. – FLEXION AVEC EFFORT TRANCHANT : CAS GÉNÉRAL

Au chapitre III, nous avons étudié la flexion pure d’une poutre prismatique. Nous venonsd’étudier un cas particulier de flexion avec effort tranchant d’une poutre prismatique : celuioù cet effort tranchant est constant.

Dans les deux cas, nous avons obtenu les mêmes formules concernant le moment de flexion,rappelons-les :

– contrainte normale induite : YI

MX −=σ ;

– rotation d ’ensemble de S’ par rapport à S : XdIE

Md Z =ω ;

– énergie de déformation linéique : IE

M21

XdWd 2

M = ;

– courbure prise par les fibres longitudinales : IE

MXd

vd2

2

= .



Il existe bien sûr d’autres cas de chargement, où sur chaque section droite, on a un efforttranchant T associé à un moment de flexion M, avec la relation d’équilibre :

0TXdMd

m =++

Par extension, on applique les résultats de la théorie de Saint-Venant en particulier :

– M induit sur la section S les contraintes normales :

YI

MX −=σ (d’où

EX

X

σ=ε et )XZY εν−=ε=ε

– T induit les cissions XYτ et XZτ que l’on calcule par l’intermédiaire de la fonction de

contraintes )Z,Y(ϕ ; (d’où XYXY G21 τ=γ et XZXZ G2

1 τ=γ ).

– La flèche v(X) prise par le point G de la ligne moyenne s’écrit :

)X(v)X(v)X(v TM +=

)X(vM est la flèche due à M et satisfait à : IE

MXdvd

2M

2

=

)X(vT est la flèche due à T et satisfait à : SG

Tk

Xdvd T =

– M produit une rotation de S’ d’abscisse XdX + par rapport à S d’abscisse X, autour deGS, de l’angle (en radian) :

XdIE

Md =ω

– Les énergies potentielles élastiques de flexion et de cisaillement, par unité de longueur,valent respectivement :

IEM

21

XdWd 2

M = et SG

Tk

21

XdWd 2

T =

Cette dernière formule permet de calculer le coefficient k de section réduite.

Les formules de flux et de la circulation restent valables.

Exemple : poutre circulaire pleine sur deux appuis

La poutre a pour longueur L, pour rayon a, pour section droite 2aS π= ; elle repose suivant

ses sections extrêmes OS et 1S sur des appuis de niveau ; elle est soumise à son poids propre

LpP = (figure 8).



– Figure 8 –

Sur S d’abscisse X, on a : 2L

pXpTY −= et ( )XLXp2L

MZ −=

D’où : ( )XLXIE2

p

IE

M

Xd

vd2M

2

−==

et ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −==

2L

XSG

pk

SGT

kXdvd T avec ( )ν+=

12E

G

L’intégration donne : TM vvv += :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−++−= BXA

SGXL

kSG

Xk

IEGXL

IE12X

2p

v234

Les constantes A et B se déterminent par les conditions : )L(v0)O(v == (flèche nulle au

droit des appuis) 0B =⇒ et IE12

LA

3

−= . D’où finalement :

( )( ) ( )

TM

22

v

XLXSG2

kp

v

LXLXXLXIE24

p)X(v −−++−−−=

La flèche est maximale en 2L

X = où elle vaut :

T

2

M

4

MAX

vSG

Lpk

81

v

IELp

3845

v −−=

Application numérique

Poutre circulaire en acier ( 33 m/kg108,7 ⋅=ρ , GPa200E = , 29,0=ν ), de longueur L = 4 m,de rayon a = 1 cm.

On a alors gap 2 ρπ= ( 2s/m81,9g = ) et on a trouvé, pour une poutre de section circulaire

( )22

16

7148k

ν++ν+ν= . De plus ( )ν+=

12E

G , 2aS π= et 4a4

Iπ= .



On en tire :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

+ν+ν+ρ−= 2

22

2

4

MAX La

17148

54

1aELg

965

v

et numériquement :( ) cm10,5m00018,01051,0vMAX =+−=

Conclusion : comme nous l’avions annoncé au chapitre III, consacré à la flexion, la flèchedue à l’effort tranchant est négligeable pour les poutres longues devant celle due au momentde flexion.

7. – APPLICATIONS DE LA FORMULE DE BREDT

Nous avons vu que la détermination du champ de contraintes tangentielles τ , à partir de lafonction )Z,Y(ϕ était complexe.

Une méthode approchée, basée sur l’utilisation de la formule de Bredt, permet de déterminerce champ.

– Figure 9 –

Supposons que l’on connaisse sur la section droite S, les lignes de cisaillement, de façonexacte ou approchée (figure 9). Ces lignes sont tangentes, en chacun de leurs points, auvecteur cission τ existant en ce point.

Deux lignes de cisaillement voisines et une perpendiculaire commune de longueur edéfinissent un domaine D (comme le montre la figure), pour lequel la formule de Bredts’écrit :

)(IT

e ZZ

Y DA−=⋅τ=Φ (11)

ce qui donne τ.



Exemple d’un rectangle :

Pour un rectangle de longueur 2a, de largeur 2b avec a > b, on peut considérer avec une bonneapproximation que les parallèles à GY sont lignes de cisaillement, et que les cissions τ ont unprofil uniforme sur toute parallèle à Z’Z (figure 9b).

Dans ce cas, on écrit :

( )2

aYaYb2

IT

b2b2Z

YXY

−+−=⋅τ=⋅τ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=τ=τ⇒ 2

2Y22

Z

YXY a

Y1

ST

23

YaI2

T

On en déduit pour le coefficient de section réduite la valeur (indépendante de ν ) :

2,156

kY ==

Ces résultats sont d’autant plus justes que a est grand devant b.

8. – CISAILLEMENT DES POUTRES MINCES

Comme dans le cas de la torsion, la détermination du champ τ dû à l’effort tranchantredevient un problème simple dans le cas des poutres minces. Nous adopterons les mêmesnotations que dans la cas de la torsion et nous supposerons encore le vecteur τ commeuniforme suivant l’épaisseur du profil. On raisonnera sur le flux de cisaillement e⋅τ=Φ aupoint courant P de la ligne médiane orientée.

1er cas : section droite ouverte

– Figure 10 –

Orientant la ligne moyenne C du profil, appelons D le domaine compris entre la coupureorigine et la coupure courante, de centre P, d’épaisseur e.

La formule de Bredt donne :

)(IT

e ZZ

Y DA−=τ=Φ (12)



Exemple : profil mince en demi-cercle (figure 10)

Soit a le rayon moyen et e l’épaisseur (uniforme).

On a : a2

OGπ

= , eaS π= , ea2

8I 2

2

Z π−π= et ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ α−α

π−= cos

21ae)( 2

Z DA . On en

déduit : ee1cos2

ST

82 Y2

2

⋅τ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −α+απ−π

π=Φ , d’où τ.

puis : ( ) 537,28

48532

k 222

2

Y =π−π−π=

2e cas : section droite fermée simple

Orientons la ligne médiane du profil, dans le sens positif autour de X’X, et choisissons unecoupure origine, de centre OP . En désignant par D le domaine compris entre cette coupureorigine et la coupure courante de centre P, la formule de Bredt s’écrit :

)(IT

ZZ

YO DA−=Φ−Φ (13)

Pour pouvoir déterminer le flux Φ, il faut donc connaître OΦ : le problème est hyperstatique.

– si l’axe Y’Y est axe de symétrie pour la section S, on a 0O =Φ en prenant la coupure

origine sur l’axe de symétrie et le calcul de Φ est immédiat ;

– sinon, on lève l’hyperstaticité grâce à l’équation supplémentaire (de la circulation) :

ld)(Ie

Te

0lde Z

Z

YO∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−Φ==Φ

CCDA (14)

équation qui s’écrit, dans le cas courant d’une épaisseur e constante et l désignant la longueurde la ligne médiane C :

ld)(Il

TZ

Z

YO ∫=Φ

CDA (15)

Pour démontrer la formule (14), on considère une tranche d’épaisseur dX (figure (11). On lafend parallèlement à X’X et suivant la coupure origine, puis on introduit sur les deux lèvresles efforts ainsi supprimés, soit XdOΦ± , efforts parallèles à X’X. Ces deux lèvres ont undéplacement relatif nul, ce qui se traduit, d’après le théorème de Castigliano, par la formule :

0Xd

Wd T

O

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∂∂

avec :

∫∫ ⋅τ=S

2T SdG21

XdWd

et ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−Φ=τ )(

IT

e1

ZZ

YO DA

On obtient ainsi la formule cherchée (14).



– Figure 11 –

Exemple 1 : profil circulaire mince

– Figure 12 –

En prenant la coupure origine sur l’axe de symétrie Y’Y, on a immédiatement, avecea2S π= et eaI 3

Z π= :

θ=−=Φ sinS

Te2)(

IT Y

ZZ

Y DA

ST

22

sinS

T2 Y

maxY =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ πτ=τ⇒θ=τ

On en déduit : 2kY = .

a = rayon moyene = épaisseur (uniforme)



Exemple 2 : profil mince en D

– Figure 13 –

a = rayon moyen

e = épaisseur (uniforme)

a389,0a2

2OG ≈

π+=

ea237,2ea6

43I 33

Z ≈+π=

( ) ea142,5ea2S ≈π+=

Prenons la coupure origine en A.

– sur la partie circulaire, on a : θ−Φ=Φ sinaeIT 2

Z

YA ;

– sur la partie droite, on a : ( )22

Z

YA Ya

2e

IT −+Φ=Φ .

On détermine le flux AΦ par la formule (15) et on trouve :

( ) eS

T596,0

IT

ae259,0IT

ae23

4 Y

Z

Y2

Z

Y2A ≈≈

+π=Φ

3e cas : section fermée cloisonnée

Pour calculer les flux de cisaillement et en déduire les cissions τ, on utilise les trois loissuivantes :

Loi des nœuds

Ecrivons la formule de Bredt pour le domaine D représenté sur la figure 14a, en orientant leslignes médianes à partir du nœud N :



– Figure 14a – – Figure 14b –

)(IT

ZZ

Yn21 DA−=Φ++Φ+Φ

Ces flux sont les flux de cisaillement sortant du domaine D à travers les coupures

n21 e,,e,e . Lorsque ce domaine tend vers zéro, c’est-à-dire que les coupures tendent vers lenœud N, on obtient à la limite :

0n21 =Φ++Φ+Φ (16)

D’où la loi des nœuds : la somme algébrique des flux de cisaillement quittant un nœud estnulle.

Loi des mailles

Appelant Ci la ligne médiane fermée entourant la cavité numéro i, nous avons la formule de lacirculation démontrée plus haut :

∫ =Φi

0ldeC

(17)

Ce résultat constitue la loi des mailles.

Loi des branches

Considérons deux coupures Oe et e sur une même branche (entre deux nœuds) telles que l’on

aille de Oe vers e en suivant le sens positif choisi sur la ligne médiane (figure 14b).

Ces deux coupures définissent un domaine D pour lequel la formule de Bredt s’écrit :

)(IT

ZZ

YO DA−Φ=Φ (18)

Ce résultat constitue la loi des branches.

En écrivant ces trois lois pour les différents nœuds, mailles et branches de la section droite, onobtient un système d’équations linéaires dont la résolution donne les flux.



Exemple :

– Figure 15 –

On a ici : a = rayon moyen

e = épaisseur (uniforme)

( ) ea283,8ea12S =+π=

ea808,3ea32

I 33Z ≈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+=

On trouve :

– Dans la partie rectiligne :

( )( )( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π+π+−

π+π+π+π+=τ=Φ

2

2Y

2

2Y

aY

088,1900,1S

TaY

321

3432

3281S

Te

– Dans la partie circulaire gauche :

( )( )( )

( ) ( )θ−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ

π+π+−

π+π+π+=τ=Φ

sin175,2406,0S

Tsin

3216

32418

ST

eYY

– Dans la partie circulaire droite :

( )( )( )

( ) ( )θ−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ

π+π+−

π+π+π+−=τ=Φ

sin175,2406,0S

Tsin

3216

32418

ST

eYY



9. – DÉTERMINATION DU CENTRE DE TORSION

Rappels : le centre de torsion d’une section droite est le point C autour duquel s’effectue larotation de torsion. Le champ de forces Sdτ régnant sur S, dans le cas le plus général, admet

T pour résultante générale et pour moment résultant en C ( XM est le moment résultanten G).

Conséquences : si l’on considère le champ de forces Sdτ induit par l’effort tranchant seul,ce champ a un moment résultant nul en C, c’est-à-dire satisfait l’équation :

S

0SdCP

où P désigne le point courant de S.

Cette équation permet donc de trouver la position du point C, en utilisant la théorie de l’efforttranchant.

Exemple : reprenons le cas de la figure 13. Le point C se trouve nécessairement sur l’axe desymétrie GZ et il est défini par l’équation :

S

t 0M SdCP CO TOM

soit en mesure algébrique sur X’X :

0TOCM YO =⋅+avec

Z

Y4

O

2O I

Tae

26

32

daM+π+π−=θΦ= ∫

π

On en déduit, puisque ea6

43I 3

Z

+π= :

( )( ) a530,0a432

64OC ≈

+π+π+π=

10. – POUTRES NON PRISMATIQUES

Jusqu’ici nous n’avons considéré que des poutres prismatiques (ou cylindriques).

Pour une poutre de forme quelconque, la théorie des poutres longues suppose :– d’une part que le diamètre de chaque section droite S est petit devant la longueur de la ligne

moyenne, son rayon de courbure et son rayon de torsion en G ;– d’autre part que la géométrie et le calage de S ne varient que de façon continue et lente avec

l’abscisse curviligne s.

Dans ce cas, toute tranche mince de poutre limitée par les sections S et S’ voisines,d’abscisses s et s + ds, peut être considérée comme prismatique et on peut lui appliquer lesrésultats précédents, en particulier :– la méthode de Saint-Venant pour la détermination des contraintes, déformations, rotations,

gauchissements, sections réduites ;



– les formules du flux, de la circulation et de l’énergie.

De plus, toutes les formules obtenues pour YTT = se transposent aisément au cas où ZTT =par simple permutation des indices Y et Z.

Rassemblons ces formules dans un tableau :

Formule YTT = ZTT =

Bredt )(IT

ZZ

Y DAC −=Φ )(IT

YY

Z DAC −=Φ

Circulation )(IT

1ld Y

Z

Y DAC ν+

ν−=⋅τ∫ )(IT

1ld Z

Y

Z DAC ν+

ν−=⋅τ∫ (19)

EnergieSG

Tk

21

sdWd 2

YY

T =SG

Tk

21

sdWd 2

ZZ

T =

Flèche(poutre droite) SG

Tk

xdvd Y

YT =

SGT

kxd

wd ZZ

T =

Rappelons enfin que la théorie de Saint-Venant, qui nous a servi de base, suppose que lessections droites puissent gauchir librement ; si, sur certaines sections ce gauchissement estempêché ou gêné, les résultats ci-dessus ne sont pas exacts au voisinage des sectionsconcernées.

11. – MESURES DES EFFORTS TRANCHANTS PAR JAUGES EXTENSOMÉTRIQUES

Nous nous limiterons au cas où la section droite sur laquelle on veut mesurer l’effort tranchantcomporte deux axes de symétrie GY et GZ.

Nous supposerons de plus qu’aucun effort ponctuel n’est appliqué à cette section de mesure.

Enfin nous donnerons la méthode de mesure de la composante YT , celle de ZT s’en déduisantsimplement.

L’axe de symétrie Z’Z coupant la frontière extérieure de la section droite S en P et P’, on ycolle les quatre jauges identiques j1, j2, j3, j4 comme l’indique la figure 16.



– Figure 16 –

Ces jauges constituent les quatre résistances R1, R 2, R 3, R 4 d’un point complet.

Si V désigne la tension d’alimentation, la tension de déséquilibre δv qui apparaît lorsque lesjauges se dilatent sous l’action du chargement, satisfait à la formule :

( )43214K

Vv ε−ε+ε−ε=δ

(20)

où K désigne le coefficient de jauge et iε la dilatation linéaire relative de la jauge n° i.

D’autre part, on a en P et P’, sous l’action de YT et ZM , les matrices suivantes de contrainteset de déformations :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡τ

τ=Σ

000

00

00

XY

XY

et [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡γ

γ=

000

00

00

XY

XY

E

avecS

TYXY β=τ et XYXY G2

1 τ=γ

On en déduit, par la formule (1.-(4)) du tome I :

ST

G2Y

31

β=ε=ε et S

TG2

Y42

β−=ε=ε

La formule (20) nous donne alors :

ST

G2K

Vv Yβ=δ

d’où : Vv

KSG2

TY

δβ

= (21)



On vérifie aisément, comme nous l’avons fait dans le cas de la torsion, que la tension dedéséquilibre δv est insensible aux composantes de N, TZ, MY, MZ, Mt du visseur pouvantexister sur S.

La méthode suppose que l’on connaisse la valeur du coefficient sans dimension β, c’est-à-direl’expression de XYτ en P et P’ en fonction de TY.

Dans le cas de la section droite circulaire pleine étudiée plus haut en (1.-(1)), on a par

exemple ν+ν+=β

121

.


CHAPITRE VI – SOLLICITATIONS COMBINÉES

CHAPITRE VI

SOLLICITATIONS COMBINÉES

Dans les quatre chapitres précédents, nous avons étudié séparément les contraintes,déformations, déplacements... liés à chacune des quatre sollicitations simples pouvants’exercer sur une section droite de poutre : effort normal, moment fléchissant, moment detorsion, effort tranchant. Nous examinerons maintenant le cas général où chaque section estsoumise aux quatre sollicitations.

1. – CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS

Sur une section droite (S), de centre G, d’axes principaux GX, GY, GZ, soit (dS) la sectiond’une fibre longitudinale et )Z,Y(P le centre de (dS).

– Figure 1 –

Sur (dS) est appliquée la force de surface SdC , le vecteur contrainte C ayant unecomposante normale σ (due à l’effort normal et au moment fléchissant) et une composantetangentielle τ (due au moment de torsion et à l’effort tranchant). On a, pour Xσ=σ ,l’expression linéaire très simple :

ZI

MY

IM

SN

Y

Y

Z

Z +−=σ (1)



en désignant par YI et ZI les moments quadratiques de S par rapport aux axes principauxcentraux Y’Y et Z’Z.

Pour ),( XZXY τττ , par contre, il n’existe pas d’expression générale simple en fonction descoordonnées de P. Dans le cas important des profils minces, la recherche du champ τ estrelativement aisée, par l’intermédiaire des flux de cisaillement et circulations des vecteurscissions. Dans les autres cas, le calcul de XYτ et XZτ se fait par l’intermédiaire d’une fonctionde Saint-Venant )Z,Y(ϕ ou d’une fonction de gauchissement )Z,Y(χ .

Les dilatations Xε , Yε , Zε de la fibre en P sont proportionnelles à Xσ , avec E

XX

σ=ε et

XZY εν−=ε=ε .

Les glissements XYγ et XZγ sont proportionnels à XYτ et XZτ , avec : XYXY G21 τ=γ ,

XZXZ G21 τ=γ et ( )ν+=μ=

12E

G .

2. – DÉPLACEMENTS ET RIGIDITÉS

Considérons une tranche mince de poutre, d’épaisseur ds, comprise entre les sections droitesvoisines de (S) et (S’) ; imaginons-la décomposée en feuillets infiniment minces, commel’indiquent les figures 2, et examinons les déplacements (translations et rotations) de (S’) parrapport à (S) :




– Figure 2c – – Figure 2d –

– Sous l’action de l’effort normal N (figure 2a), tous les feuillets voient leur épaisseur

multipliée uniformément par ( )X1 ε+ avec SE

NX =ε ; la section (S’) subit une translation,

parallèle à l’axe longitudinal, de vecteur directeur sdSE

Nd =Λ .

– Sous l’action de l’effort tranchant YT (figure 2b), les feuillets glissent les uns sur les autres,parallèlement à l’axe GY : (S’) subit une translation, parallèle à GY, de vecteur directeur :

sdSG

Tkd Y

Y=Λ ; Yk désigne le coefficient de section réduite et G le module d’élasticité

transversal (ou second module de Lamé).

– Sous l’action du moment fléchissant ZM (figure 2c), les feuillets tournent les uns parrapport aux autres, autour d’axes parallèles à GZ, ce qui a pour effet de comprimer

certaines parties et de tendre les autres ; (S’) subit une rotation d’angle

sdIE

Md

Z

Z .

– Sous l’action du moment de torsion (figure 2d), les feuillets tournent les uns par rapport

aux autres autour de l’axe de torsion ; (S’) subit une rotation d’angle

sdJG

Md

t

.

Pour simplifier les figures, nous avons représenté une section droite rectangulaire, l’axe detorsion est alors confondu avec l’axe longitudinal GX. D’autre part, nous n’avons considéréque les déplacements d’ensemble des feuillets, laissant de côté leurs gauchissementséventuels et leurs déformations planes.

Rappelons que les coefficients ES, YkSG

, ZIE , GJ désignent les rigidités linéiques de la

poutre, rigidités d’effort normal, de cisaillement, de flexion, de torsion, respectivement.



3. – FORMULES DE BRESSE

Elles permettent d’exprimer les déplacements (translations et rotations) d’une section droiteS2, en fonction :

– d’une part, des déplacements subis par une autre section droite, notée S1 ;

– d’autre part, du visseur régnant sur les sections droites S situées entre S1 et S2.

– Figure 3 –

Considérons une poutre, de forme quelconque, dont nous orientons la ligne moyenne. Soit S1

une section droite, d’abscisse curviligne s1 et S2 une autre section droite d’abscisse curvilignes2, avec s2 > s1. S désigne la section droite courante entre S1 et S2, s son abscisse curviligne,{ }ZYX,G son repère principal central, C son centre de torsion ; on note S’ la section droite

voisine d’abscisse s + ds ;{ }zyx,o désigne le repère global lié au solide de référence.Notons que S1 et S2 ne sont pas nécessairement les sections extrêmes de la poutre.Cette poutre est liée au bâti (solide de référence), directement ou par l’intermédiaired’autres éléments de structure. Sous l’action du chargement, on a sur S un visseur

{ } { }ZYXZY M,M,M,T,T,N=V ; tM désigne le moment de torsion et XM le momentlongitudinal.

Les sections S1, S, S2 subissent les rotations , , , et leurs centres G1, G, G2 les

translations 1Λ , Λ , 2Λ .

Un déplacement d’ensemble (sans déformation) du tronçon S1—S2 donne :

= et 2Λ = 1Λ + 21GG∧



Une déformation pure de la seule tranche S—S’ (voir le paragraphe précédent) provoque pourS2, en supposant fixe le tronçon S1—S :

– une rotation telle que : JG

MIE

MIE

Msd

d t

Z

Z

Y

Y ;

– une translation 2dΛ de 2G , telle que :

+++=ΛSG

Tk

SGT

kSE

Nsd

d ZZ

YY

2

IEM

IEM

Z

Z

Y

Y +∧ 2GGJG

Mt

2GC∧

Sous l’action des déplacements d’ensemble et des déformations du tronçon S1—S2, on adonc :

=

2

1

s

sJG

MIE

MIE

M t

Z

Z

Y

Y sd (2)

+Λ=Λ 12 21GG∧2

1

s

s

dsSG

Tk

SGT

kSE

N ZZ

YY ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(3)2

1

s

s

22 sdGCGGIE

MIE

M

Z

Z

Y

Y

JGMt

Les relations vectorielles (2) et (3) constituent les formules de Bresse ; la première concerneles rotations ; la seconde, les translations. Elles ne sont applicables que si l’hypothèse despetits déplacements est vérifiée pour le tronçon S1—S2.

Elles permettent le calcul de et 2Λ , lorsque l’on connaît , 1Λ et le visseur { }V .

Elles permettent aussi de calculer les inconnues hyperstatiques figurant dans les expressions

des composantes de { }V lorsqu’on connaît , ou (et) 1Λ , 2Λ .

On verra plus loin des exemples d’utilisation.

4. – ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLASTIQUE

L’énergie linéique emmagasinée par une poutre, au niveau de S, a pour expression :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++=

JG)M(

SGT

kSG

Tk

IEM

IEM

SEN

21

sdWd 2t2

ZZ

2Y

YZ

2Z

Y

2Y

2

(4)

Il n’y a pas de terme rectangle, chacune des six sollicitations ne travaillant que dans ledéplacement qu’elle produit ; ceci est dû au choix des axes principaux pour l’expression des

composantes de { }V .



L’énergie emmagasinée par la poutre entre les sections S1 et S2, vaut donc :

sdJG)M(

SGT

kSG

Tk

IEM

IEM

SEN

21

W2

1

s

s

2t2Z

Z

2Y

YZ

2Z

Y

2Y

2

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++= (5)

On utilisera cette expression de l’énergie pour appliquer les théorèmes de Castigliano,Menabrea et Maxwell-Betti.

Notons que pour dériver W, par exemple par rapport à une force appliquée F, on aura le plussouvent intérêt à dériver sous le signe somme.

Exemple d’application : reprenons l’étude du ressort hélicoïdal, commencée au chapitrepremier, sous l’action de la force F , en supposant indéformable les bras d’extrémités OA etBC.

Supposons la section droite circulaire pleine de rayon r (cas le plus courant) et prenons le

repère principal { }ZYX,G confondu avec le repère de Frenet { }b,n,e,G .

On a alors : 4r

J21

II4

ZY

π=== et kkk ZY == (voisin de 1,175 pour l’acier à ressort).

Nous avons donc trouvé pour composantes du visseur, les quantités constantes :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λ+=

=

λ+λ=

2Z

Y

2

1

FT

0T

1

FN

R

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λ+λ−=

=

λ+==

2Z

Y

2

tX

1

FaM

0M

1

FaMM

On a donc :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++λ+λ

λ+=

JGa

SGk

IEa

SE1FL

21

W2222

2

2

Les quatre termes entre parenthèses sont associés à N, ZM , ZT , XM respectivement.

Puisque le module d’élasticité transversal G égale ( )ν+12E

, cette énergie s’écrit aussi :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ν++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+λ

λ+= 2

2

2

22

2

2

ra

2k12ra

41SE)1(

LF21

W

La longueur L de la ligne moyenne vaut : a1n2L 2λ+π= , n désignant le nombre despires.

Le déplacement du point C, ou allongement axial du ressort, vaut donc, en vertu du théorèmede Castigliano :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ν++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+λ

λ+=

∂∂=Λ 2

2

2

22

2 ra

2k12ra

41SE)1(

LFFW



Pratiquement a plus grand devant r ; il s’ensuit que la contribution des efforts normal ettranchant est négligeable. Il reste alors :

( )[ ]ν++λλ+

=Λ 1ra

SE)1(LF4 2

2

2

2

Si de plus les spires sont serrées, le pas est faible ( 1<<λ ), et le terme de flexion est

négligeable devant celui de torsion, d’où :

( ) Fra

Gn4

SGLF

ra

2SELF

ra

14 4

3

2

2

2

2

==ν+=Λ

et 3

4

ar

n4GF

K =Λ

= (raideur du ressort)

5. – CALCUL D’UNE OSSATURE

Nous exposons maintenant une méthode générale de calcul des ossatures (ou assemblages depoutres), utilisable dans le cas le plus simple (une seule poutre) comme dans les cascomplexes.

1re étape : étude géométrique de l’ossature

1) Repère global

On définit un repère orthonormé global { }zyx,o , lié à la structure, dans lequel onexprimera, plus tard, les réactions de liaison (forces et moments) ainsi que les déplacements(translations et rotations).

2) Lignes moyennes des poutres

Pour chaque poutre de l’ossature, on étudie la géométrie de la ligne moyenne, c’est-à-direque l’on détermine :

– les coordonnées du point courant G en fonction d’un paramètre ;

– les rayons de courbure et de torsion en G ;

– le repère de Frenet { }b,n,e,G en G.

3) Sections droites des poutres

Pour chaque section droite, on doit déterminer :

– les axes principaux GY et GZ, et l’angle de calage ϕ ;

– la position du centre de torsion C ;

– les rigidités locales : SE , YIE , ZIE , YkSG

, ZkSG

, JG .



2e étape : statique de l’ossature

1) Analyse des liaisons

Pour chaque liaison (interne ou externe), on note :– les degrés de liberté autorisés,– les degrés de liberté bloqués,– les composantes (forces et moments) de liaison non nulles,– dans le cas de liaisons élastiques, les raideurs (rapport effort / déplacement, en général

force / translation ou couple / rotation),– le nombre de réactions scalaires indépendantes à calculer.

2) Analyse des efforts

On dresse le bilan des forces extérieures données, constituant le chargement appliqué à lastructure.

3) Equilibre

On écrit les équations, en forces et en moments :– de l’équilibre global de l’ossature,– de l’équilibre de chaque poutre.

Dans le cas isostatique, on en déduit les expressions des réactions de liaisons, internes etexternes, en fonction des seules forces extérieures données (chargement).

Dans le cas hyperstatique (intérieurement d’ordre p, extérieurement d’ordre q), on exprimetoutes les réactions de liaisons, en fonction des forces extérieures données et de (p + q)d’entre elles choisies comme inconnues hyperstatiques.

3e étape : expression des visseurs

Sur la section droite courante S de chaque poutre, on exprime les six composantes du visseurV, à savoir N, YT , ZT , XM , YM , ZM en fonction du chargement et des inconnues hyper-

statiques éventuellement ; on en déduit l’expression du moment tM .

On rappelle les deux méthodes qui permettent de calculer ce visseur :– la méthode directe exprime que le visseur sur S égale le torseur de toutes les forces

appliquées à la poutre en aval de S ;– la méthode indirecte consiste à intégrer le système des équations d’équilibre local de la

poutre (formules 9 et 10 du chapitre premier).

4e étape : détermination des inconnues hyperstatiques

Toutes les méthodes permettant de lever l’hyperstaticité (théorème de Menabrea, formules deBresse…) ne font qu’exprimer les conditions imposées à certains déplacements (translationsou rotations) par des liaisons surabondantes. Nous en donnerons des exemples plus loin.

5e étape : calcul des contraintes, déformations, déplacements

Les inconnues de liaisons hyperstatiques étant déterminées, on peut alors exprimer lescomposantes du visseur en fonction du seul chargement, puis en déduire les contraintes que



chacune de ces composantes introduit dans la section droite ; grâce aux méthodes exposéesdans les quatre précédents chapitres.

La loi de Hooke permet ensuite de déterminer le tenseur des déformations E en tout point.

Les translations et rotations subies par chaque section droite de poutre peuvent enfin êtrecalculées, à l’aide des formules de Bresse, ou du théorème de Castigliano, ou encore deséquations différentielles liant déplacements et composantes du visseur.

6. – OSSATURES PLANES

Supposons les lignes moyennes des poutres situées dans un même plan (xoy) qui soitégalement plan de symétrie pour l’ossature et pour les liaisons ; supposons de plus que lechargement ne comporte que des forces situées dans ce plan : on dit, dans ce cas, que leproblème est plan.

Les efforts de chaque liaison ont alors leur résultante située dans (xoy) et leur momentrésultant perpendiculaire à ce plan.

Pour l’ossature complète, ou une partie quelconque de celle-ci, on a au plus trois équationsscalaires d’équilibre indépendantes :– équilibre des forces suivant x et suivant y,– équilibre des moments suivant z.

En prenant les axes principaux GX et GY de la section droite courante S dans le plan desymétrie (xoy), on peut affirmer la nullité des composantes ZT , XM , YM du visseur, donc

aussi du moment de torsion tM . Les équations d’équilibre d’une tranche mince de poutre(1.-(11)), au nombre de trois s’écrivent :

0RT

sdNd

pX =−+ ; 0sdTd

RN

pY =++ ; 0TsdMd

m =++ (6)

Leur intégration permet de calculer les trois composantes du visseur : l’effort normal N,l’effort tranchant YTT = et le moment de flexion ZMM = .

La section droite courante S d’une poutre subit une translation Λ parallèle à (xoy) et une

rotation autour d’un axe parallèle à oz.

Les formules de Bresse (2) et (3) s’écrivent, en projection sur les axes, pour une poutrequelconque :

)ozsur(sdIE

M2

1

s

s12 ∫+ω=ω

( ) ( ) )oxsur(sdIE

Myy

SGsinT

kSE

cosNyyuu

2

1

s

s212112 ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−ψ−ψ+−ω−= (7)

( ) ( ) )oysur(sdIE

Mxx

SGcosT

kSE

sinNxxvv

2

1

s

s212112 ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+ψ+ψ+−ω+=



– Figure 4 –

u et v désignent les composantes suivant x et y du déplacement Λ de G, s1 et s2 les abscissescurvilignes des sections extrêmes S1 et S2 du tronçon de poutre considéré, avec s1 < s2.

Comme le montre la figure 4, ψ désigne ( GX,Ox ) ; enfin, k est le coefficient de sectionréduite.

7. – EXEMPLES D’APPLICATION

Etudions maintenant quelques cas plans de poutres et d’ossatures très souvent rencontrés dansla pratique.

7.1. – Anneau dynamométrique

Un anneau, de section droite constante S, a pour ligne moyenne un cercle de centre O, derayon R, située dans le plan de symétrie (xoy) ; il est soumis à deux forces diamétralementopposées d’intensité F, comme le montre la figure 5 qui donne également les notations etaxes. La symétrie par rapport à l’axe x’x permet de n’étudier que de demi-anneau ABC. Lapoutre étant fermée, le problème est hyperstatique intérieurement, c’est-à-dire qu’il fautd’abord déterminer le visseur sur une section droite, pour pouvoir le déterminer ensuite surtoutes les autres. Le problème étant plan, les trois composantes non identiquement nullessont :

N, YTT = , ZMM =

Choisissons de déterminer d’abord le visseur sur la section SC. Coupons l’anneau suivant SA

et SC, puis isolons le demi-anneau ABC.

La symétrie par rapport à l’axe x’x implique la nullité de l’effort tranchant T sur SA et SC.

L’équilibre suivant oy du demi-anneau impose sur SA et SC un effort normal égal à 2F

.

Enfin la symétrie par rapport à l’axe y’y implique l’égalité des moments fléchissants sur SA etSC.



– Figure 5 –

Appelons Γ ce moment fléchissant, qui constitue donc l’inconnue hyperstatique.

Sur le tronçon AB, (2

0π<θ< ), on a :

θ= cos2F

N ; θ−= sin2F

T ; ( ) Γ+θ−= cos12RF

M

Sur le tronçon BC, ( π<θ<π2

), on a :

θ−= cos2F

N ; θ= sin2F

T ; ( ) Γ+θ+= cos12RF

M

Les sections SA et SB ne tournant pas dans la déformation, appliquons la première formule deBresse (7) au tronçon AB, avec 0A1 =ω=ω et 0B2 =ω=ω ; il vient :

( )∫ ∫π π

θ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Γ+θ−==θ2

0

2

0dcos1

2RF

0dM

d’où l’on tire : RF1817,0RF2

2MM CA −=

π−π−===Γ

Appliquons enfin les deux autres formules de Bresse (7) au même tronçon AB, avec

2π+θ=ψ , θ= cosRx et θ= sinRy ; on obtient :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +π+

π−π=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

ππ−−=

SFR

Gk

E1

393,0IEFR

074,0SFR

Gk

E1

8IEFR

88

v

SFR

Gk

E1

25,0IEFR

068,0S4FR

Gk

E1

IEFR

44

u

332

B

33

A



Plus l’anneau est mince, plus le terme de flexion (en IEFR3

) est prépondérant.

7.2. – Calcul d’un cadre

Un cadre carré, de section droite constante S, admet (xoy) comme plan de symétrie ; il estréalisé par soudage de quatre poutres prismatiques identiques de longueur 2a.

Il est soumis au efforts opposés uniformément répartis sur les côtés A’B’ et C’D’ comme lemontre la figure 6, qui donne aussi les notations et axes.

– Figure 6 –

Le problème est symétrique par rapport à x’x et y’y ; il nous suffit d’isoler le demi cadresupérieur, pour calculer les trois composantes non identiquement nulles du visseur : N, T, M.

La symétrie par rapport à x’x entraîne la nullité de l’effort tranchant T sur les deux sections decoupure SA et SC ; de plus l’équilibre des forces suivant y’y donne les efforts normaux de cessections : apNN CA −== . Les moments fléchissants Γ− sur SA et Γ sur SC sont inconnus :la structure est une fois hyperstatique.

Exprimons les composantes du visseur :

sur ⎪⎩

⎪⎨⎧

Γ==−=

M

0T

apN

’AA sur

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−Γ=

==

22 xap21

M

xpT

0N

’B’A sur ⎪⎩

⎪⎨⎧

Γ==−=

M

0T

apN

C’B

Calculons l’inconnue hyperstatique Γ grâce au théorème de Menabrea ; l’énergie potentielleélastique du demi-cadre a pour expression :

IEap

32

IEa2

IEap

152

SGap

3k

SEap

W32523232 Γ−Γ+++=



La section SC ne tournant pas dans la déformation, on a :

0W =Γ∂

∂ soit : 2

3

ap61

0IE

ap31

IEa2 =Γ⇒=−Γ

On en déduit le visseur sur la section droite courante :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

−=

2ap61

M

0T

apN

’C’B

et

’A’D

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

=

=

22 xp21

ap31

M

xpT

0N

’B’A

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

−=

=

22 xp21

ap31

M

xpT

0N

’D’C

On peut ensuite calculer les contraintes en chaque point, puis par la loi de Hooke lesdéformations, enfin par les formules de Bresse les déplacements (translations et rotations) dechaque section S.

7.3. – Calcul d’un portique

On considère le portique représenté sur la figure 7, constitué de trois poutres prismatiquesidentiques de longueur a, soudées entre elles ; la figure donne également les axes, les liaisons(un encastrement, un appui simple), le chargement (une force F ) ; (xoy) est plan de symétrie.

– Figure 7 –



L’équilibre global s’écrit :

FXO −= , 0YY CO =+ , 0YaFaM Ce =+−

Le problème donc est extérieurement hyperstatique de degré 1 ; choisissons la réaction YC

comme inconnue hyperstatique (XO et YO désignant les composantes de la réaction OR , eMle moment d’encastrement en O). Les composantes du visseur ont pour expression S :

sur OA

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−=

=

FyaYaM

FT

YN

C

C

sur AB

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−===

C

C

YxaM

YT

FN

sur ⎪⎩

⎪⎨⎧

==−=

0M

0T

YN C

L’énergie potentielle élastique de déformation a pour expression :

( )2C

222C YF

SGak

21

FSE

a21

YSE

a +++=W

( )[ ] ( )∫∫ −++−+a

0

2C

2a

0

2C xdYxa

IE21

ydFyFYaIE2

1

L’effort de liaison YC ne travaillant pas, on a : 0YC

=∂∂W

, ce qui donne, tous calculs faits :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

=

Gk

E2

SaIE

43

1

1F

83

Y

2

C

Les termes d’effort normal (Sa

I23

2 ) et d’effort tranchant (SGaIEk

43

2 ) sont d’autant plus

négligeables devant 1, que les poutres sont longues, c’est-à-dire que 2aS est grand devant lemoment quadratique I.

L’hyperstaticité étant levée, on calcule les visseurs, contraintes, déformations etdéplacements.

7.4. – Calcul d’une potence

On considère la potence représentée sur la figure 8, constituée de trois poutres prismatiques,et admettant (xoy) comme plan de symétrie ; la figure donne également les axes, les liaisonset le chargement (force F ). Ces trois poutres ont même section S et même rigidité linéique deflexion EI.



2aAC

aCDBCABOA

– Figure 8 –

Les poutres sont articulées entre elles. L’équilibre global donne : FYO = et Fa2Me = ,réaction et moment d’encastrement en O. l’équilibre de chaque poutre, prise séparément,donne le visseur sur la section droite courante :

sur OA ⎪⎩

⎪⎨⎧

−==−=

Fa2M

0T

FN

sur AB

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−=

=

ya2F2M

F2T

FN

sur AC ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=

0M

0T

F22N

sur BC ⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−===

xFM

FT

F2N

sur CD

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−=

=

Fxa2M

FT

0N

La structure est isostatique intérieurement et extérieurement. Calculons la flèche prise par le

point d’application D de la force F , au moyen du théorème de Castigliano. L’énergiepotentielle élastique emmagasinée par la potence, a pour expression :

( )IEFa

3SG

Fak3

SEFa

243W2322

+++=



et la flèche prise par D :

( )IEFa

6SGFa

k6SEFa

286FW 3

+++=∂∂

Les deux premiers termes, dus respectivement à l’effort normal et à l’effort tranchant, sontd’autant plus négligeables devant le troisième, dû au moment fléchissant, que les poutres sontlongues, c’est-à-dire que 2aS est grand devant I.

8. – CONCENTRATION DE CONTRAINTES

Les formules de la théorie des poutres, qui permettent de calculer les contraintes en un pointP, ne sont valables que si ce point P est suffisamment éloigné :

– des zones d’application d’efforts concentrés, efforts de chargement ou de liaison (principede Saint-Venant) ;

– des zones de variations brutales de sections droites.

Ces zones sont nommées zones de concentration de contrainte, car elles sont le siège decontraintes élevées et de gradients de contraintes élevés.

Dans une telle zone, on nomme facteur (ou coefficient) de concentration de contrainte, lerapport :

nom

maxKσσ= , pour une contrainte normale

nom

maxKττ= , pour une contrainte tangentielle.

maxσ (resp. maxτ ) désigne la contrainte normale (resp. tangentielle) maximale dans la zone.

nomσ (resp. nomτ ) désigne la contrainte normale (resp. tangentielle) nominale, au même point,c’est-à-dire la contrainte calculée à l’aide de la théorie des poutres.

En pratique, les facteurs de concentration de contrainte sont obtenus :

– soit par le calcul (équations de l’élasticité, méthode des éléments finis…) ;

– soit par l’expérience (photoélasticité, Moiré, jauges extensométriques…).

Un ouvrage très complet et très pratique sur ce sujet est celui de R.E. Peterson : StressConcentration Factors, édité par John Wiley and Sons à New-York.

Nous donnons maintenant quelques exemples de concentration de contraintes avec les valeurscorrespondantes du facteur K, empruntées à cet ouvrage.



1er exemple : barre rectangulaire mince avec échancrures semi-circulaires opposées

– Figure 9 –

Les sections extrêmes sont chargées uniformément : hL

F=σ , h désignant l’épaisseur de la

poutre, faible devant L.

La théorie des poutres donnerait sur la section droite moyenne ( 0x = ) une contrainte

uniforme nomx hlF σ==σ .

En réalité, cette contrainte, non uniforme, est maximale en fond d’échancrure, où elle vaut

nommax K σ⋅=σ . Le facteur K est donné par la courbe expérimentale de la figure 10.

– Figure 10 –



2e exemple : plaque rectangulaire mince avec trou circulaire central

– Figure 11 –

Les sections extrêmes sont chargées uniformément : hL

F=σ , l’épaisseur h étant faible

devant la largeur L.

La théorie des poutres donnerait sur la section droite moyenne ( 0x = ) une contrainte

uniforme ( ) nomx hr2LF σ=

−=σ .

En réalité, cette contrainte non uniforme est maximale en A et B où elle vaut nommax K σ⋅=σ .Le facteur K est donné par la courbe de la figure 12, obtenue expérimentalement, et bien

représentée par l’équation 3

Lr2

12K ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+= .

– Figure 12 –



3e exemple : arbre de torsion plein avec gorge torique

– Figure 13 –

En fond de gorge, la théorie de la torsion des poutres cylindriques, donne la contraintetangentielle :

3

t

nom dM16

π=τ avec r2dD =−

En réalité, cette contrainte vaut nommax K τ⋅=τ . Le facteur K est donné par la courbe de lafigure 14.

– Figure 14 –



4e exemple : flexion d’une poutre cylindrique avec changement de sectionet congé de raccordement torique

– Figure 15 –

La poutre représentée sur la figure 15 est composée de deux parties cylindriques derévolution, coaxiales, pleines. Le changement de section se fait au moyen d’un congé de

raccordement torique de rayon r ; on se limite, pour fixer les idées, à 2

dDr

−= . Les

contraintes normales xσ dues à la flexion pure de moment M sont maximales en A et B. Lathéorie des poutres donne :

– en A : 3nom d

M32

π−=σ ;

– en B : 3nom dM32

π=σ .

En réalité, cette contrainte vaut, en module :

nommax K σ⋅=σ

La valeur du facteur K, en fonction du rapport Dd

, est donnée par la courbe expérimentale de

la figure 16.

Signalons que, lorsque le rayon r du congé diminue, pour d et D fixés, le facteur K augmenteconsidérablement.



– Figure 16 –


CHAPITRE VII – FLAMBEMENT

CHAPITRE VII

FLAMBEMENT

1. – STRUCTURES DISCRÈTES

1.1. – Equilibre – Stabilité

Nous appelons structure discrète tout assemblage de solides indéformables, lié à un bâticonstituant le solide de référence, lui-même rapporté à un repère orthonormé { }zyx,o .

Nous supposons que toutes les liaisons, intérieures et extérieures, sont bilatérales,conservatives et que certaines d’entre elles possèdent une rigidité élastique linéaire.

Nous supposons également que les forces extérieures données (constituant le chargement)dérivent d’un potentiel scalaire indépendant du temps.

Toute configuration d’une telle structure est déterminée par n paramètres indépendants, notés,q1, q2, … , qn et appelés paramètres de configuration (ou coordonnées généralisées).

Sous le chargement considéré, une configuration particulière est dite configurationd’équilibre, si lorsqu’on y abandonne la structure, sans vitesse, elle y demeure. Une telleconfiguration est caractérisée par les valeurs iq des iq , que l’on prendra égales à zéro chaquefois que cela sera possible.

Une configuration est dite stable si, lorsqu’on écarte la structure suffisamment peu de cetteconfiguration et qu’on lui communique des vitesses initiales suffisamment faibles, on peutêtre assuré que son mouvement se fera dans le voisinage de cet équilibre.

Donnons une définition plus mathématique de la stabilité, en utilisant la notion d’écart E de lastructure par rapport à l’équilibre considéré.

On pose : ( ) ( ) ( )[ ]∑ −+−+−= 20

20

20 zzyyxxme

La sommation est étendue à toutes ses particules P, de masse m, de coordonnées courantes x,y, z et de coordonnées x0, y0, z0 à l’équilibre.

La configuration d’équilibre est dite stable si, quel que soit ε positif, donné, arbitrairementpetit, on peut trouver 1η et 2η tels que, en prenant 1oe η< (écart initial) et 2coE η< (énergie

cinétique initiale), on est assuré que e restera inférieur à ε.



1.2. – Théorème de Lejeune-Dirichlet

On appelle énergie potentielle totale de la structure, la quantité ( )n21T q,...,q,qVE =( )n21 q,...,q,qW+ , somme des énergies potentielles extérieure et intérieure.

V désigne le potentiel des forces de chargement et W l’énergie potentielle élastique de lastructure ; dans le cas présent d’une structure discrète, cette énergie W est totalementemmagasinée dans les liaisons élastiques.

On démontre en Mécanique générale le théorème de Lejeune-Dirichlet :

Une configuration correspondant à un minimum strict de l’énergie potentielle totale TE estune configuration d’équilibre stable.

Remarque 1

A partir d’une configuration d’équilibre, notée (o), donnons-nous une variation virtuelle deconfiguration ( )n21 q,...,q,q δδδ . Il lui correspond une variation de l’énergie totale :

n

0n

T1

01

TT q

qE

...qqE

E δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂++δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂=δ

D’après le théorème des travaux virtuels, rappelé au tome I (chap V, § 4.6.), on a 0ET =δ ,

n1 q...q δδ∀ . On en déduit :

0qE

01

T =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

, 0qE

02

T =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

, … , 0qE

0n

T =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Remarque 2

Dans la configuration d’équilibre (o), prenons 0qi = et 0)o(ET = , ce qui est toujourspossible.

Un développement limité au second degré de TE au voisinage de (o) s’écrit alors :

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=n

1j,i

ji

0ji

T2

T qqqq

E21

E (1)

Si cette forme quadratique est définie positive, c’est-à-dire que ses valeurs propres sont toutesstrictement positives, TE atteint un minimum strict en (o), qui est alors configurationd’équilibre stable.

Remarque 3

La réciproque du théorème de Lejeune-Dirichlet n’est pas exacte dans toute sa généralité ; ontrouve en effet des exemples où l’équilibre stable ne correspond pas à un minimum strict de

TE . De tels cas sont rares en pratique et ne peuvent se rencontrer que lorsque le potentiel Vprésente des singularités au voisinage de (o).

Si par contre, TE se met sous la forme quadratique (1), la condition de stabilité de Lejeune-

Dirichlet est alors nécessaire et suffisante (minimum strict TE ).



Remarque 4Si la structure est soumise, en plus du chargement conservatif, à des forces dissipatives(frottement sec ou visqueux) et à des forces perpendiculaires aux vitesses (forces de Coriolispar exemple), le théorème de Lejeune-Dirichlet reste valable.

1.3. – Instabilité – Flambement

Si l’on fait croître le chargement appliqué à une structure en configuration d’équilibre notée(o), il se peut que pour une valeur critique de la charge, cet équilibre devienne instable : il seproduit alors un flambement de la structure, qui s’éloigne brutalement de la configuration (o).

Un chargement critique de flambement constitue un cas limite entre stabilité et instabilité ; ilcorrespond à un équilibre indifférent.

Pour une structure à n degrés de liberté, soumise à un certain type de chargement, il existe nmodes propres de flambement, chacun correspondant à une configuration d’équilibreindifférent, voisine de (o), et à une valeur de la charge.

En général, on s’intéresse surtout au mode propre associé à la plus petite charge critique,puisque c’est cette charge limite qu’il ne faudra pas dépasser ; on le nomme premier modepropre de flambement ou mode fondamental.

Indiquons les principales méthodes qui permettent de déterminer les charges critiques deflambement et les modes associés, puis illustrons-les par des exemples.

La méthode directe consiste à placer la structure dans une configuration très voisine de (o) età déterminer le chargement capable de l’y maintenir, si on l’y abandonne sans vitesse initiale.

La méthode énergétique, basée sur le théorème de Lejeune-Dirichlet, permet de trouver lesconditions de stabilité d’un équilibre, donc à la limite les équilibres indifférents et leschargements critiques correspondants.

Exemple 1




On considère la structure plane représentée sur la figure 1, comportant une poutreindéformable prismatique (longueur L, poids P = pL) et un ressort de raideur k, de poidsnégligeable ; la liaison avec le bâti en O est un pivot. La figure 1a représente la configuration(o) d’équilibre, la poutre étant verticale et le ressort au repos, et la figure 1b une configurationtrès voisine.

Cette structure possède un degré de liberté et nous pouvons prendre l’angle θ commeparamètre de configuration ; étudions la stabilité de l’équilibre.

La méthode directe consiste à chercher quelle doit être la valeur PC du poids P pour que lastructure, abandonnée dans la configuration de la figure 1b, sans vitesse initiale y demeure(équilibre indifférent). Il faut et il suffit pour cela que le moment en O du poids et de la forcede rappel du ressort soit nul, c’est-à-dire :

k2pLk2LpP0LkLP21

CCC2

C =⇒==⇒=θ−θ

si le poids linéique p de la barre est supérieur à pC, la configuration de la figure 1a estinstable, le couple de rappel étant inférieur au couple dû au poids qui tend à éloigner la barrede sa position verticale.

La méthode indirecte consiste à calculer l’énergie totale )(V)(WET θ+θ= , dans la

configuration (θ) voisine de (o). On a ici :2222 Lk

21

sinLk21

W θ≈θ=

et ( )2

Lp21

cos1L2P

V2

2 θ−≈θ−−= (en prenant 0)o(V = )

d’où : 22T 2

pkL

21

WVE θ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=+=

La configuration ( 0=θ ) est stable si elle correspond à un minimum strict TE donc si p est

inférieur à k2pC = ; elle est instable si p est supérieur à k2pC = . Le cas limite, pour Cpp =correspond à l’équilibre indifférent.

Exemple 2

On considère la structure plane à deux degrés de liberté représentée sur la figure 2 ; les troisbarres, identiques, indéformables sont de longueur L.

Les liaisons sont des pivots ; les ressorts spirales, identiques ont une raideur k ; les poidspropres sont négligeables. On se propose d’étudier la stabilité de cette structure sous l’actiond’une force de compression d’intensité F.

– Figure 2a –



– Figure 2b –

La figure 2a représente la structure en configuration d’équilibre (o), ressorts au repos ; lafigure 2b correspond à une configuration très voisine.

La méthode directe consiste à écrire qu’une configuration du type de la figure 2b, voisine de(o) est une configuration d’équilibre :

( )( ) )BCbarreladeéquilibre(

)OAbarreladeéquilibre(

),,liantrelation(

0kFL

0kFL

0LLL 321

323

121

321 θθθ

⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ−θ+θ=θ−θ+θ=θ+θ+θ

Nous avons là un système linéaire homogène en 1θ , 2θ , 3θ ; sa solution triviale est :

0321 =θ=θ=θ ; elle nous rappelle qu’une configuration du type de la figure 2b ne peut pasêtre d’équilibre pour une valeur arbitraire de F. Par contre, à chaque valeur FC de F rendantnul le déterminant du système, correspond une solution non triviale { }321 ,, θθθ , définie à uneconstante multiplicative près, c’est-à-dire une configuration d’équilibre indifférent du type dela figure 2b.

La nullité du déterminant s’écrit : ( ) ( ) 0k3FLkFL =−− . On en déduit les charges critiques :

Lk

F1C = et

Lk3

F2C = . A la charge critique fondamentale

1CF correspond le mode fondamental

)0,0( 312 =θ+θ=θ de la figure 3a ; à 2CF correspond le mode )

21

( 231 θ−=θ=θ , représenté

sur la figure 3b.


Par la méthode énergétique, on calcule d’abord l’énergie totale VWET += ; en prenant 1θet 3θ comme paramètres de configuration, on trouve :

( ) ( )[ ] [ ]( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

θ+θθ+θ−=

θ+θθ+θ=θ+θ+θ+θ=

2331

21

2331

21

231

231

222LF21

V

585k21

22k21

W



d’où : ( ) ( ) ( )[ ]2331

21T LF2k5LFk42LF2k5

21

E θ−+θθ−+θ−=

Si l’on diagonalise cette forme quadratique, on obtient :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ θ+θ−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ θ−θ−=

2

31

2

31T

2LFk33

2LFk

21

E

ses valeurs propres étant : LFk − et ( )LFk33 −

Si ces deux valeurs propres sont positives, c’est-à-dire si l’on a kLF < et k3LF < , la formequadratique est définie positive, et par conséquent la configuration (o) est stable puisquecorrespondant à un minimum strict de TE .

On retrouve les deux équilibres indifférents qui rendent TE identiquement nul :

LFk = pour 031 =θ+θ (mode fondamental)

LFk3 = pour 31 θ=θ (harmonique)

Nous laissons maintenant les structures discrètes pour passer aux structures continues, c’est-à-dire comportant des poutres déformables ; les définitions, théorèmes et méthodesprécédents restent valables, mais le nombre de degrés de liberté devient infini. On aura enparticulier une suite infinie de modes propres de flambement, le plus important étant lefondamental, associé à la plus petite charge critique.

2. – FLAMBEMENT D’EULER

On nomme ainsi le flambement par flexion plane d’une poutre prismatique (ou cylindrique)longue, chargée en compression pure sur ses sections extrêmes simplement appuyées.

2.1. – Etude du cas parfait

On nomme L la longueur de la poutre, IY et IZ ses moments quadratiques principaux, avecIY > IZ. La figure 4a représente la poutre non chargée.

On se pose alors le problème suivant : ayant imposé à la poutre une petite déformation deflexion, dans le plan (xoy), à n demi-ondes (3 sur la figure 4b, pour fixer les idées), quelle est

l’intensité FC de la force de compression F capable de maintenir une telle déformation ?

– Figure 4a –



– Figure 4b –

On doit écrire que la configuration 4b, infiniment voisine de 4a, est une configurationd’équilibre, sous la charge F .

Sur la section droite courante, d’abscisse x, qui possède une flèche v(x), on a un moment deflexion FvMZ ⋅−= , la réaction RA étant nulle. D’autre part, comme nous l’avons vu au

chapitre III, cette flèche satisfait à l’équation : IE

Mxdvd2

2

= , ZMM = et ZII = et on peut la

calculer par intégration de l’équation :

0vIE

F

xd

vd2

2

=+ (2)

La solution générale de (2) s’écrit :

xIE

FsinBx

IEF

cosAv +=

Les conditions aux limites imposent :

– pour x = 0, v = 0 d’où A = 0,

– pour x = L, v = 0 d’où 0LIE

FsinB =

c’est-à-dire : 0LIE

Fsin = , puisque la flèche v(x) n’est pas identiquement nulle.

Le coefficient LIE

F égale donc un multiple entier de π, à savoir πn puisque l’on a imposé

une ligne moyenne déformée à n demi-ondes.

Celle-ci a ainsi pour équation :

Lx

nsinB)x(v π= puisque L

nLIE

F π=

La charge critique correspondante est : ( ) 222

nC LIE

nF π=



Conclusionsa) Suivant le mode fondamental de flambement, on a n = 1 arceau, et une charge critique :

( ) 22

1C LIE

F π=

b)A chaque mode de flambement correspond une charge critique, mais la ligne moyennedéformée n’est définie qu’à une constante multiplicative près B, qui reste indéterminée :l’équilibre trouvé est bien différent.

c) En pratique, si l’on applique à la poutre rectiligne de la figure 1a une force de compressionF que l’on fait croître :

– pour 2

2

LIE

F π< , il y a équilibre stable ;

– pour 22

LIE

F π= , il y a équilibre indifférent : si l’on impose une flèche à une section

droite quelconque, cette flèche demeure et un faible effort transversal suffit à la modifier.

– pour 22

LIE

F π> , la flexion augmente jusqu’à rupture de la poutre : c’est l’instabilité.

Nous venons d’étudier le flambement d’Euler dans le cas parfait, c’est-à-dire en supposantque la poutre non chargée était parfaitement rectiligne et que les forces de compressionétaient rigoureusement portées par la ligne moyenne de la poutre ; de plus, dans le calcul de laflèche, nous avons négligé l’influence de l’effort tranchant.

Examinons les perturbations apportées au cas parfait par la non satisfaction de ceshypothèses.

2.2. – Influence de la déformation initiale

Supposons que la ligne moyenne de la poutre non chargée possède une flèche, dans le plan

moyen xoy, notée )x(v0 . Prenons par exemple Lx

sinB)x(v 00 π= pour fixer les idées et

cherchons la configuration d’équilibre prise sous l’action d’une force de compression F

inférieure à 22

C LIE

F π= .

– Figure 5a –

– Figure 5b –



Dans cette configuration, on a sur la section d’abscisse x, un moment fléchissant FvM 1 ⋅−= .

D’autre part la variation de courbure, à l’abscisse x, est :

( )IE

Mxd

vvd2

012

=−

La flèche finale )x(v1 satisfait donc l’équation :

Lx

sinBL

vIE

Fxdvd

02

2

121

2

ππ−=+

qui admet pour solution générale :

Lx

sin

FF

1

Bx

IEF

sinBxIE

FcosA)x(v

C

01 π

−++=

Les conditions aux limites imposent :

– pour x = 0, 0v1 = , d’où A = 0 ;

– pour x = L, 0v1 = , d’où 0LIE

FsinB = , c’est-à-dire B = 0 puisqu’on a : π<L

IEF

.

On a ainsi :

Lx

sinB

FF

1

1v 0

C

1 π−

=

Représentons graphiquement la flèche maximale ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2L

vf 1 en fonction de la charge F,

variant de 0 à FC.

– Figure 6 –

Nous constatons que la charge critique de flambement est la même que dans le cas d’unepoutre parfaitement prismatique, mais que toute charge F induit une flèche, celle-ci croissanttrès rapidement quand F tend vers FC.

fo



2.3. – Influence de l’excentricité de la charge

Supposons maintenant que la ligne moyenne de la poutre non chargée soit rectiligne, mais que

les forces de compression F et F− soient appliquées à une distance h de cette ligne commele montre la figure 7.

– Figure 7a –

– Figure 7b –

A l’équilibre, sous l’action de la force de compression F supposée inférieure à 2

2

LIEπ

(figure 7b), l’équation différentielle de la flèche s’écrit :

IEF

vIE

Mxdvd2

2

−== ou 0vIE

Fxdvd2

2

=+

La solution générale s’écrit : xIE

FsinBx

IEF

cosAv +=

Les conditions aux limites sont :

– pour x = 0, hAhv =⇒= ;

– pour x = L, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

2L

IEF

tghBhv .

Et par conséquent la flèche maximale vaut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

CFF

2cos

h

2L

IEF

cos

h2L

vf

La figure 8 donne les variations de cette flèche en fonction de F, variant de 0 à 2

2

C LIE

Fπ= .



– Figure 8 –

La charge critique est encore 2

2

LIEπ

; toute charge F produit une flèche ; celle-ci croît très

rapidement si F se rapproche de FC. Notons que la pente de la courbe à l’origine est h8

2π.

2.4. – Influence de l’effort tranchant

Reprenons l’étude et les figures du cas parfait (2.1.), mais écrivons que la flèche v(x) estinduite par le moment de flexion MZ et l’effort tranchent TY. On a dans ce cas :

xdTd

SGk

IEM

xdvd2

2

+= avec FvM ⋅−= et xdvd

FxdMd

T =−=

c’est-à-dire : 0v

SGFk

1

1IE

Fxdvd2

2

=−

+

Compte tenu des conditions aux limites (v = 0 pour x = 0 et x = L), on trouve :

Lx

nsinBvπ= et ( )

SGL

kIEn1

1L

IEnF

2

222

22

nC π+⋅π=

En tenant compte de l’effort tranchant, on trouve donc une charge critique très légèrementplus faible. Pour fixer les idées, calculons le coefficient correctif, dans le cas d’une barrecylindrique (longueur L = 2 m), de section circulaire pleine (rayon r = 1 cm), en acier( Pa10210E 9⋅= , 29,0=ν ).

On a alors k = 1,175 (voir chapitre V, § 4.1.) ; d’où, pour le mode fondamental (n = 1) :

Newtons4070L

IEF 2

2

C =π= et 9998,0SGL

IEnk1

1

2

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+−



Conclusion : après examen de ces perturbations, nous ne pouvons que confirmer la validité et

l’importance de la valeur critique trouvée par Euler : 22

LIEπ

3. – GÉNÉRALISATION DU FLAMBEMENT D’EULER

Nous nous proposons maintenant de reprendre le flambement par flexion plane d’une poutreprismatique chargée en compression uniforme, mais en considérant divers types de liaisons.

3.1. – Cas se ramenant au problème d’Euler

Donnons-en quelques exemples, en nous limitant au premier mode.

Exemple 1 : poutre encastrée – libre

– Figure 9 –

La figure 9 qui représente la poutre donnée de longueur L et sa symétrique (en pointillés) parrapport au plan d’encastrement (yoz), montre que sa charge critique fondamentale estidentique à celle d’Euler pour une poutre de longueur 2L.

On a donc ici :2

2

C L

IE

4F

π=

Exemple 2 : poutre sur trois appuis

La poutre de longueur L est articulée en son centre O et simplement appuyée aux extrémitéscomme le montre la figure 10.

– Figure 10 –

Cette figure représente le mode fondamental, qui est identique au deuxième mode d’Eulerpour une poutre de longueur L. On a donc ici :

22

C LIE

4F π=



Exemple 3 : poutre bi-encastrée

La poutre, de longueur L, est encastrée suivant sa section origine ; la section d’extrémité SA

ne possède qu’un degré de liberté en translation suivant la direction axiale.

Comme le montre la figure 11, représentant le mode fondamental, on a deux points

d’inflexion B et C, où 2

2

xdvd

, donc aussi, M sont nuls.

En posant OB = CA = L′ et BC = L ′′ , on peut alors affirmer :

– le tronçon BC constitue une poutre de longueur L ′′ bi-appuyée (cas fondamental d’Euler),

d’où : 2

2C L

IEF

′′π=

– le tronçon OB constitue une poutre encastrée libre de longueur L′ , traitée dans l’exem-

ple 1 ; d’où : 2

2

C LIE

4F

′π= (même chose pour CA).

On peut donc écrire :

CFIE

2L

π=′ ; CFIE

L π=′′ ; CF

EI2LL2L π=′′+′=

On en tire :

22

C LIE

4F π= ; L41

L =′ ; L21

L =′′

– Figure 11 –

3.2. – Cas général

Traitons par la méthode directe quelques exemples.

Exemple 1 : poutre encastrée-appuyée

La poutre, de longueur L, est encastrée suivant la section origine ; la section extrémité SA

possède deux degrés de liberté (en translation suivant x’x et en rotation), comme le montre lafigure 12.



– Figure 12 –

On cherche à déterminer l’intensité de la force de compression capable de maintenir uneconfiguration du type de la figure 12. La structure possède un degré d’hyperstaticitéextérieure puisqu’on a trois efforts de liaison à calculer ( AeO Y,,Y M ) pour deux équations

d’équilibre indépendantes : 0YY AO =+ , 0YL Ae =⋅+M . Prenons AY comme inconnuehyperstatique et calculons la flèche v(x).

On a ici : ( ) AYxLFvM −+⋅−=

d’où l’équation différentielle de la flèche :

( )xLIE

Yv

IEF

xdvd A2

2

−=+

sa solution générale s’écrit :

( )xLF

Yx

IEF

sinBxIE

FcosAv A −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Les conditions aux limites : v = 0 pour x = 0 et x = L, v’ = 0 pour x = 0 donnent le systèmelinéaire homogène :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−ωω

ωω

0

0

0

Y

B

A

1IE0

L0IE

0LsinLcos

A3

2 avec IE

F=ω

Pour que ce système admette d’autres solutions que la solution triviale ( 0YBA A === ), ilfaut et il suffit que le déterminant soit nul, c’est-à-dire que l’on ait :

( ) 0LcosLLsinIE2 =ωω−ωω

F doit donc satisfaire à l’équation : LLtg ω=ω

La plus petite racine positive est 4934,4L =ω ; elle correspond au mode fondamental de la

figure avec ( )2

2

2CL7,0

IE

L

IE1906,20F

π≈= ; A2226,0B −= ; AL

IE20,20Y

3A −= .

Le point d’inflexion B se trouve donc à 0,05 L de l’encastrement et à 0,95 L de l’appui.



Les forces critiques suivantes valent :

( ) ( )2

2

22CL407,0

IE

L

IE72,59F

π≈= , ( ) ( )2

2

23CL288,0

IE

L

IE9,118F

π==

puis ( ) 22

2

nC L

IE

2

1n2F π⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +≈

Exemple 2 : poutre encastrée à l’origine, appuyée au milieu

La figure 13 donne les axes et les liaisons. Ecrivons qu’elle représente une configurationd’équilibre (indifférent) sous la charge de compression F.

– Figure 13 –

Les équations d’équilibre, outre FXO = , donnent :

0YY AO =+ et 0vF2YL BA =⋅+ d’où FLv

2Y BA −=

– Pour 2L

x0 << , on a :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= )x(vv

Lx

2FM B1 , d’où Lx

vIEF2

vIE

Fxdvd

B121

2

=+ ,

d’où enfin :Lx

v2xsinBxcosAv B111 +ω+ω= avec IE

F2 =ω


0A0)O(v 11 =⇒= et 0v2L

sinB02L

v B11 =+ω⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

– Pour Lx2L << , on a :

[ ])x(vvFM B2 −= , d’où B222

2

vIE

Fv

IEF

xdvd =+ ,

d’où enfin : B222 vxsinBxcosAv +ω+ω=




0v2L

sinB2L

cosA02L

v B222 =+ω+ω⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

0vL

22L

cosB2L

sinA2L

cosB2L

v2L

v B22121 =ω

+ω−ω+ω⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛′=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛′

0LsinBLcosAv)L(v 22B2 =ω+ω⇒=

Les constantes d’intégration satisfont donc au système linéaire homogène :

{ }0

v

B

A

B

L2

2L

cos2L

sin2L

cos

0LsinLcos0

12L

sin2L

cos0

1002L

sin

B

2

2

1

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω−ωω

ωω

ωω

ω

Celui-ci admet des solutions non triviales si son déterminant Δ est nul. On a donc pour cela :

02L

cosL2L

sinL

2L

sin2=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ωω−ω

ω

ω

=Δ

Cette équation admet deux groupes de solutions positives :

– celles de 02L

sin =ω,

– celles de L2L

tg ω=ω.

La plus petite est la première du deuxième groupe :

1655,12L =ω

qui donne ( ) ( )2

2

21CL3477,1

IEL

IE4336,5F

⋅π==

Elle correspond au mode fondamental représenté sur la figure 13.

La suivante est la première du premier groupe :

π=ω 2L qui donne ( )2

2

2C LIE4

Fπ=

Elle correspond au flambage suivant le deuxième mode d’Euler, avec deux demi-ondes et Acentre de symétrie.



Exemple 3 : poutre bi-appuyée avec force de compression appliquéesur la section médiane

La figure 14 représente une configuration d’équilibre sous l’action de la force F à déterminer :les tronçons OA et OB sont en compression uniforme d’intensités respectives F et O.

Les équations d’équilibre s’écrivent :

0XO = , 0YY AO =+ et FLv

Y0vFYL BABA −=⇒=⋅+

– Figure 14 –

– sur le tronçon OB, on a : Lx

vFvFM B⋅+⋅−= , d’où : Lx

vIE

Fv

IEF

xdvd

B2

2

=+ qui admet

pour solution :

Lx

vxsinBv B+ω= avec 2

v2L

sinB B=ω compte tenu des conditions :

0)0(v = et Bv2L

v =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ , avec

IEF2 =ω .

– sur le tronçon BA, on a ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅−=

Lx

1vFM B , d’où : ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

Lx

1vIE

Fxdvd

B2

2

qui admet pour

solution :

( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

−+−ω=81

L

2Lx

L

22411

Lx

21

Lx

61

Lvv 222

2

3

32

B

avec ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

−+−ω= 22

22B

L

22411

Lx

Lx

21

LLv

xdvd

compte tenu des conditions : Bv2L

v =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ et 0)L(v = .

La continuité des pentes en B donne enfin l’équation caractéristique :

92L

2L

3

2L

tg 2

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ω

ω

=ω



La plus petite racine positive est 2L

IEF

16,22L ==ω

; elle donne la charge critique

fondamentale :

( )2

2

2CL727,0

IEL

IE66,18F

π== , qui correspond au mode de la figure 14.

4. – MÉTHODES PRATIQUES DE CALCUL DES CHARGES CRITIQUES

4.1. – Marche à suivre générale

Avant d’étudier d’autres problèmes d’instabilité des structures, nous allons étendre au casgénéral d’un assemblage de poutres, la démarche suivie dans le cas d’Euler.

1re étape : partant de la structure en équilibre, on la considère sous charge et dans uneconfiguration infiniment voisine, compatible avec les liaisons.

2e étape : dans cette nouvelle configuration, on écrit son équilibre, puis on exprime, surchaque section droite, le visseur, qui est alors fonction du chargement, des éventuellesinconnues hyperstatiques et de la nouvelle position de cette section.

3e étape : on en déduit le système d’équations différentielles auxquelles doivent satisfaire lesdéplacements (translations et/ou rotations) subis par la section droite courante.

4e étape : on intègre ce système puis on écrit les conditions imposées par les liaisons.

5e étape : on détermine les valeurs particulières du chargement donnant des solutions nontriviales, c’est-à-dire rendant possible cet équilibre indifférent : on obtient ainsi la suite descharges critiques. A chacune d’elles correspond un mode de flambement.

Remarque 1 – en général, on ne s’intéresse qu’au mode fondamental, associé à la plus petitecharge critique.

Remarque 2 – chaque mode de flambement correspondant à un équilibre indifférent, n’estdéfini qu’à une constante multiplicative près.

Remarque 3 – les charges critiques constituent les valeurs propres du problème ; les modes deflambement correspondants en sont les vecteurs propres.

Exemple : flambement par flexion plane d’un portique soumis à un chargementde compression

La figure 15a représente le portique au repos ; la figure 15b le représente sous charge(configuration déformée infiniment voisine).




L’équilibre du portique donne :

FL

h21FXA ≈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

′−= ; F

Lh2

1FXD ≈⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

′+= ; AD YY −=

Le moment de flexion a pour expressions, en orientant dans le sens ABCD, avec YA commeinconnue hyperstatique :

– sur AB : LYhFMxYvFM ABA ⋅+⋅−=⇒⋅+⋅−=

– sur BC : LYyFLh

2M A+′

=

– sur CD : LYhFMxYvFM ACA ⋅+⋅−=⇒⋅+⋅=

Exprimons la flèche v(x) sur les deux montants AB et CD, en posant IE

F2 =ω et en tenant

compte de la condition 0)0(v = .

– sur AB : – sur CD :

⇒=ω+ xIE

Yv

xdvd A22

2

⇒−=ω+ xIE

Yv

xd

vd A22

2

xF

Yxsina)x(v A+ω= x

FY

xsinb)x(v A−ω=

avec : avec :

hLF

YLsina)L(v A =+ω= hL

FY

Lsinb)L(v A =−ω=

)L(vF

YLcosa A

B ′=+ωω=ωF

YLcosb A

C −ωω=ω

Sur la traverse BC, les formules de Bresse pour les rotations et les flèches donnent :

( )LY3hFIE6

LAB −

′′

=ω et ( )LY3hFIE6

LAC +

′′

=ω



En égalant ces expressions de ωB et ωC à celles calculées plus haut, on obtient les deuxéquations :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

′−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

+−ωω

=′

′−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

++ωω

0IE6

FLh

IELL

21

F1

YLcosb

0IE6

FLh

IELL

21

F1

YLcosa

A

A

Les quatre constantes a, b, YA, h qui caractérisent la configuration d’équilibre indifférent de lafigure 15b, satisfont donc au système linéaire homogène :

{ }0

h

Y

b

a

IE6FL

IE2LL

F1

Lcos0

IE6FL

IE2LL

F1

0Lcos

1FL

Lsin0

1F

L0Lsin

A

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

−′′

−−ωω

′′

−′′

+ωω

−−ω

−ω

Ce système admet des solutions non triviales si son déterminant est nul, ce qui s’écrit, touscalculs faits :

0L12LtgLI

LIL234Ltg

LI

LIL2

LI

LIL 22222 =ω+ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

ω+−ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

ω+′′

ω

On tire de cette équation du second degré en Ltg ω , deux groupes des solutions :

– celles de LILI

6LtgL′

′=ω⋅ω

– celles de

LILI

L2

L2Ltg

22

′′

ω+

ω=ω

La plus petite solution positive est la première du premier groupe.

Dans le cas où les trois barres sont identiques ( II ′= et LL ′= ), elle vaut 3496,1L =ω d’où

2

2

2C LIE

1846,0L

IE8216,1F

π== .

4.2. – Méthodes approchées

L’intégration des équations différentielles du problème, objet de la 4e étape, est souventimpossible analytiquement. La difficulté provient du fait que l’on doit exprimer le visseur surchaque section droite de poutre en configuration déformée a priori inconnue.

Dans ce cas, on peut calculer le chargement critique, avec une très bonne précision, tant par laméthode directe que par celle de l’énergie en se donnant a priori une configuration déforméeapprochée respectant les conditions imposées par les liaisons, le chargement et les limites.



Exemple : flambement par flexion plane d’un mât prismatique vertical,encastré à sa base, sous l’action de son propre poids


On note : L la longueur du mât ; p son poids par unité de longueur, constant ; ZII = son

moment quadratique de section droite, avec YZ II < .

La figure 16a représente la poutre au repos (non chargée, non déformée) ; la figure 16b lareprésente dans une configuration d’équilibre indifférent correspondant au 1er mode deflambement, sous charge.

L’équilibre du mât donne : LpXO = , 0YO = , ∫ ξξ−=L

OeO d)(vpM .

Le moment fléchissant, à l’abscisse x, a pour expression :

[ ]∫ ξ−ξ=L

xd)x(v)(vpM

La flèche v(x) satisfait donc à l’équation intégro-différentielle :

[ ] ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ξξ−=ξ−ξ= ∫∫

x

L

L

x2

2

)x(vxLd)(vpd)x(v)(vpxd

vdIE

En dérivant les deux membres, on obtient l’équation différentielle :

( ) 0xdvd

xLIE

pxdvd3

3

=−+



La fonction xdvd

)x(u = satisfait à l’équation différentielle linéaire et homogène du second

ordre : ( ) 0uxLIE

p

xd

ud2

2

=−+ , qui peut être résolue à l’aide des fonctions de Bessel, ce qui

donne les valeurs critiques cherchées :

3C LIE

837,7p = , d’où : 3C pIE

986,1L = (longueur critique)

Nous allons maintenant calculer ces valeurs critiques par la méthode directe, en nous donnantune expression approchée )x(v1 de la flèche, satisfaisant aux quatre conditions imposées :

0)0(v1 = ; 0)0(v1 =′ ; h)L(v1 = ; 0)L(v1 =′′ (M = 0 en A).

Le polynôme de plus bas degré qui convient est :

[ ]3231 xxL3

L2h

)x(v −=

A cette flèche 1v correspond, à l’abscisse x, le moment fléchissant :

[ ] ( )432243

L

x111 xxL4xL4L

Lhp

83

d)x(v)(vpM −+−=ξ−ξ= ∫

On calcule alors une deuxième valeur approchée )x(v2 de la flèche en intégrant l’équation :

( )432243

122

2

xxL4xL4LLIE

hp

8

3

IE

M

xd

vd −+−==

On obtient, compte tenu des conditions )0(v0)0(v 22 ′== :

( )65422432 xxL6xL10xL15

LIEhp

801

)x(v −+−=

La condition h)L(v2 = donne alors une première approximation des valeurs critiques :

3C LIE

8p = d’où 3C pIE

2L = . L’erreur relative commise, par excès, est de 2 % sur le poids

linéique critique pC et de 0,7 % sur la longueur critique LC.

Une deuxième itération, en partant de )x(v2 et en suivant la même démarche nous conduiraità une seconde approximation pour pC et LC, encore meilleure.



5. – DÉVERSEMENT LATÉRAL

Présentation du phénomène

Considérons la poutre prismatique de la figure 17a de section droite rectangulaire, telle que larigidité de flexion ZIE soit grande devant la rigidité de flexion YIE et devant la rigidité detorsion GJ.

On applique à l’extrémité A de la ligne moyenne une force F parallèle à oy devant laquelle lepoids propre est supposé négligeable.

La poutre est ainsi sollicitée en flexion plane de moment ( ) FxLMZ −−= avec effort

tranchant FTY −= , à l’abscisse x. Faisons croître progressivement F : pour une valeurcritique FC, la flexion cesse d’être plane pour se composer avec une flexion dans (xoz) et unetorsion comme le montre la figure 17b : c’est un déversement latéral.

D’une façon générale, nous appelons ainsi le flambement par flexion gauche avec torsiond’une poutre à plan moyen (xoy) chargée dans ce plan, de rigidités YIE et GJ faibles

devant ZIE .

– Figure 17a –



– Figure 17b –

Ce type d’instabilité s’étudie par la méthode générale exposée au § 4. Notons { }0000 ZYX,G

et { }ZYX,G le repère principal de la section droite S d’abscisse x, en configuration de repos

et en configuration déformée infiniment voisine (resp.), [ ]P la matrice de passage.

On a, en réduisant chaque terme à sa partie principale :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω

ω−

−−

=

1xdwd

1xdvd

xdwd

xdvd

1

x

xP et [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω−−

ω−=−

1xdwd

1xdvd

xdwd

xdvd

1

x

x

1P

Ces matrices permettent d’écrire les différentes équations du problème dans { }ZYX,G ,c’est-à-dire en configuration déformée.

Nous allons maintenant traiter quelques cas importants, en nous limitant à des poutresprismatiques, et en négligeant l’influence de l’effort tranchant.



Exemple 1 : calcul de la force critique FC (cas de la figure 17)

Le moment du visseur sur S est FGA ∧= .

Ses composantes dans { }0000 ZYX,G sont

[ ]

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

−

xLF

0

)x(w)L(wF

A l’aide de [ ] 1P −, on calcule ses composantes dans { }ZYX,G ; on trouve, en ne retenant

que la partie principale :

[ ] ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=

ω−−=

−−−==

xLFM

xLFM

xdwd

xLF)x(w)L(wFMM

Z

XY

tX

On se rappelle de plus les relations :

xdd

JGM xt ω= , 2

2

YY xd

wdIEM −= , 2

2

ZZ xdvd

IEM = où v(x) et w(x) sont les composantes de

la flèche GG0 sur oy et oz, et )x(xω l’angle de torsion.

La troisième de ces équations s’intègre immédiatement et donne :

( )xL2xIE2

Fxdvd

ZZ −−=ω= et ( )xL3x

IE6F

)x(v 2

Z

−−=

Les deux autres s’écrivent :

[ ] ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω−=

−−−=ω

X2

2

Y

X

xLFxd

wdIE

xd

wdxLF)x(w)L(wF

xd

dJG

(1)

En dérivant la première, on obtient :

( ) 2

2

2X

2

xdwd

xLFxd

dJG −−=ω

L’élimination de w donne alors :

( ) 0xLJGIE

Fxd

dX

2

Y

2

2X

2

=ω−+ω

La solution générale de cette équation est :

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=ω −

225,0

225,0X xL

2

kJBxL

2

kJAxL



où 25,0J et 25,0J− désignent les fonctions de Bessel de première espèce, d’ordre 41

et

41− (resp.), avec

JGIEF

kY

22

⋅= .

– Pour x = L, on a 0Mt = donc 0xd

d X =ω, ce qui impose A = 0

– Pour x = 0, on a 0X =ω donc 02Lk

JB2

25,0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ − , équation dont la plus petite racine est

0063,22Lk 2

= .

On en tire : 2Y

C L

JGIE0126,4F =

Exemple 2 : poutre console sous son propre poids

Nous considérons maintenant la poutre précédente mais soumise à son propre poids P = pL,dans le plan vertical (xoy), la force F étant supprimée ; l’axe ox de la poutre au repos esthorizontal.

Cherchons à déterminer le poids linéique critique pC, ou, pour p donné, la longueur critique LC.

Sur la section droite courante, d’abscisse x, en configuration déformée et dans les axes{ }ZYX,G , on obtient :

[ ] ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−−=

−=ω−−=

ω=−−ξ−ξ== ∫

2

2

Z2

Z

2

2

YX2

Y

L

x

X2tX

xdvd

IExLp21

M

xdwd

IExLp21

M

xd

dJG

xd

wdxLp

2

1d)x(w)(wpMM

En dérivant la première équation, on trouve :

( ) 2

22

2X

2

xdwd

xLp21

xdd

JG −−=ω

d’où, en tirant 2

2

xdwd

de la seconde :

( )0

IEJG4xLp

xdd

XY

42

2X

2

=ω−+ω

L’intégration, par des fonctions de Bessel, puis l’écriture des conditions aux limites, donnentune équation transcendante dont les solutions sont les charges linéiques critiques.

La plus petite est le poids linéique critique fondamental :

3Y

C L

JGIE85,12p = d’où

6

1

2Y

C pJGIE

34,2L ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



Exemple 3 : poutre horizontale soumise à son propre poids,liée au bâti en ses extrémités par des glissières

La section droite, en , a son centre de torsion C sur l’axe principal GZ, comme le montre la

figure 18, avec δ=GC .

Les réactions de liaison ont pour composantes, dans { }zyx,o :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

0

2L

p

0

RA

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Az

Ay

Ax

M

M

M

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

0

2

Lp

0

RB

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

Az

Ay

Ax

M

M

M

Trois est donc le degré d’hyperstaticité extérieure.

px21

RR A ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

et pour moment résultant :

= ξ∧′+∧+ ∫ dpGGRGA 2

L

xA

en désignant par G′ le centre de la section d’abscisse ξ .

– Figure 18a –

– Figure 18b –

Le visseur, à l’abscisse x a pour résultante :



En utilisant la matrice [ ] 1P − et en se limitant aux parties principales, on trouve les

composantes de , dans la base { }ZYX,G pour la poutre en configuration déformée(figure 18b) :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ω+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ξξ++= ∫

22

ZAZ

22

ZAXYAY

2

L

x

22

ZAXAX

x4L

2p

MM

x4L

2p

MMM

x4L

2p

Mxdwd

d)(wp)x(wxpMM

On en déduit le moment de torsion : δ+= xpMM Xt

Le calcul de ZAM , v(x) et Zxdvd ω= est immédiat et donne :

12Lp

M2

ZA −= , 2

2

2

Z

4

Lx

41

IE24Lp

)x(v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ω= 2

2

Z

3

Z Lx

41

Lx

IE6Lp

xdvd

.

Les relations entre efforts internes et déplacements s’écrivent alors :

[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−ω+=−=

−+ξξ++δ+=ω= ∫24

x12LpM

xdwd

IEM

24x12L

pxdwd

d)(wp)x(wxpMxd

dJGM

22

XYA2

2

YY

2

L

x

22

XAXt

En dérivant la première, on obtient :

2

222

2X

2

xd

wd

24

x12L

xd

d

p

JG −+δ=ω

ou encore, compte tenu de la seconde :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−δ=ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ω24

x12LIE

MJG

p24

x12LIEJG

pxd

d 22

Y

YAX

222

Y

2

2X

2

On ne sait pas écrire la solution générale de cette équation différentielle.

Par la méthode approchée déjà utilisée plus haut, en partant de ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ω=ω 2

2

01X Lx

41 comme

première approximation de la fonction )x(Xω , on obtient :

3Y

C L

IEJG33,110p = d’où

6

1

2Y

C pIEJG

80,4L ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



Exemple 4

Reprenons l’exemple précédent, en accrochant en O, centre de la section médiane, un poids Pdevant lequel le poids propre de la poutre est supposé négligeable.

A cause de la symétrie du problème, il nous suffira de raisonner sur la partie 2L

x0 << . On

trouve, à l’abscisse x :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ω−=

δ−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+=

4L

x2F

M

4L

x2F

MM

2F

M4L

x2F

xdwd

M)x(w2F

M

Z

XYAY

tXAX

Les équations différentielles en w(x) et )x(Xω sont :

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ω+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−++δ=ω

4L

x2F

Mxdwd

IE

4L

xxdwd

2F

M)x(w2F

xdd

JG

XYA2

2

Y

XAX

L’élimination de w(x) donne :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅=ω⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−ω

4L

xJGIE2

MF4L

xJGIE4

Fxd

d

Y

YAX

2

Y

2

2X

2

La résolution donne le poids critique, indépendant de δ :

2Y

C L

JGIE77,45p =

Remarque : dans ce paragraphe, nous avons supposé la rigidité de torsion GJ constante ; ceciest réalisé si toutes les sections droites peuvent gauchir librement. Si certaines sections droitesne le peuvent pas, cette rigidité devient fonction de x et plus importante en moyenne : larésistance au déversement latéral s’en trouve augmentée.

6. – FLAMBEMENT DES POUTRES COURBES

Il n’est pas possible de faire une étude exhaustive du flambement des poutres courbes, pasplus que des poutres prismatiques ; les modalités de flambement, les cas de chargement, lesformes des poutres sont en nombre trop important. Par contre, la méthode générale exposéeau § 4. est toujours valable ; nous allons l’appliquer à l’étude du flambement par flexion planede deux poutres courbes à plan moyen chargées en compression pure.

Exemple 1 : anneau circulaire sous pression extérieure uniforme

On appelle p la force de compression, par unité de longueur de la ligne moyenne ; on supposeIII ZY => .




Pour trouver la charge critique fondamentale pC, imposons à l’anneau une très légèreovalisation, d’axes principaux ox et oy (volontairement amplifiée sur la figure 19b) etcalculons la valeur pC de p capable de la maintenir.

Les figures (a) et (b) représentent l’anneau dans les configurations initiale et finale,respectivement ; entre ces deux configurations, l’effort normal N est resté inchangé et unmoment fléchissant )(M θ est apparu, provoquant pour la section droite courante unetranslation de composantes )(U θ et )(V θ , sur les axes GX et GY respectivement.

Les formules (5) du chapitre III s’écrivent ici :

IERM

Vd

Vd 2

2

2 ⋅=+θ

et Vd

Ud =θ

Pour calculer )(M θ , effectuons une coupure suivant la section origine SA sur laquelle on a :

OApN ⋅−= , T = 0 et OMM = , inconnue hyperstatique.

L’effort linéique p sur l’arc étant statiquement équivalent au même effort linéique répartisur la corde AG, on a :

)HAOA2AG(p21

MM2

O ⋅−+= , ou encore :

)OGOA(p2

1MM

22

O −−= , compte tenu de la relation métrique :

OAOH2OAOGAG222

⋅−+=

Enfin, avec )0(VROA −= et )(VROG θ−= , et en négligeant les termes du second ordre :

[ ])(V)0(VRpMM O θ−+=



Il reste à déterminer OM , par la première formule de Bresse :

[ ] ∫∫ππ

θθ−+π=θ⋅= 2

0O

2

0d)(VRp)0(VRpM

2dM0

La relation Vd

Ud =θ

, rappelée plus haut, donne :

0)0(U2

Ud)(V2

0=−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π=θθ∫

π

, donc :

)0(VRpMO −= et )(VRpM θ−=

L’équation différentielle de la flèche s’écrit alors :

0Vkd

Vd 22

2

=+θ

avec IE

Rp1k

32 +=

sa solution générale est : θ+θ= ksinBkcosAV

Les conditions ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π′==′

2V0)0(V imposent B = 0 et 0

2k

sin =π, donc k = 2 (plus petite

solution positive). On a finalement :

3C RIE

3p = ; θ=θ 2cosA)(V et θ=θ 2sin2A

)(U

Exemple 2 : arc de parabole sous chargement réparti

On considère l’arc parabolique de la figure 20, de plan moyen xoy, de section droiteconstante, avec YZ III <= , articulé en ses extrémités au bâti autour d’axes parallèles à z’z.

– Figure 20 –

oy désigne la verticale ascendante ; la ligne moyenne est orientée de A vers B. Le chargementconsiste en une force verticale descendante d’intensité p par unité de longueur de l’axe x’x,constante ; le poids propre est supposé négligeable.

Un tel arc travaille en compression pure, c’est-à-dire que sur chaque section droite, la seule

composante non nulle du visseur est l’effort normal N . En effet, comme nous l’avons vu



chapitre II, § 4., la figure d’équilibre d’un câble fixé en ses extrémités A et B et soumis à untel chargement est un arc de parabole.

Ici la parabole a pour équation ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

ax

1cy , x et y désignant les coordonnées du point

courant G de la ligne moyenne ; 2a est la longueur de la corde AB et c la distance OC. Enutilisant les résultats obtenus pour le câble, on peut affirmer :

– la réaction AR a pour composantes c2

apX

2

A = et apYA =

– la réaction BR a pour composantes c2

apX

2

B −= et apYB =

– l’effort normal N a pour composantes c2

apN

2

x −= et xpNy =

Nous voulons calculer la charge critique fondamentale pC au delà de laquelle l’équilibredevient instable.

Dans une configuration infiniment voisine, le point courant de la ligne moyenne G a pourcoordonnées x et [ ])x(v)x(y + et l’on a un moment fléchissant d’expression :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ξ+−= 2

22

ax

1c)x(vca

p21

M

si l’on note ( )ξ+1c2ap 2

la nouvelle réaction horizontale en A.

Nous nous limiterons au cas d’un arc très surbaissé, c’est-à-dire tel que c << a, de telle sorteque la variation de courbure de la ligne moyenne soit :

IEM

xdvd2

2

= , ce qui s’écrit aussi :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ξω−=⋅ω+ 2

222

2

2

ax

1cvxdvd

avec IEc2

ap 22 =ω

La solution générale de l’équation complète est :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+−ξ−ω+ω= 222

2

a2

ax

1cxsinBxcosA)x(v

Les coefficients A, B, ξ , se déterminent grâce aux conditions : 0)a(v =− ; 0)a(v = ;

0uu AB =− (Bresse), qui s’écrivent, tous calculs faits :

{ }0B

A

a1

3a

c20asin

ac2

asinacos

ac2

asinacos

22

22

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ξ

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω−ω

ω−ωω

ω−ω−ω



La nullité du déterminant, nécessaire à l’existence de solutions non triviales, s’écrit :

0acos3

a1aasinasin

22

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+ω−ωω

Ces solutions sont celles :

– d’une part de : 0asin =ω ;

– d’autre part de : ( )

3a

aatg3ω+ω=ω .

La plus petite solution positive est π=ωa , qui donne : 42

C aIEc

2p π= et a

xsinB)x(v

π= .

Il s’agit donc d’un mode antisymétrique, qui n’introduit aucun supplément de réactiond’appui ( 0=ξ ).

7. – FORMULAIRE POUR LE FLAMBEMENT DES POUTRES

Nous nous limiterons au chargement critique fondamental, pour des poutres à plan desymétrie (xoy) et de section droite constante (au moins par morceaux).



7.1. – Flambement par flexion plane des poutres droites comprimées

1 2 3 4

2

2

C LIE

Fπ=

2

2

C L

IE4Fπ=

2

2

C L

IE4Fπ= 2

2

C LIE

046,2Fπ=

5 6 7 8

2

2

C L

IE551,0F

π=2

2

C L

IE891,1F

π=2

2

C L

IE

4

1F

π= LL

OCLtg ω⋅=ω

IEF 2C ω=



9 10 11 12

2

2

C L

IE008,2F

π= ( )2

2

C L

IE794,0Lp

π= ( )2

2

C L

IE996,1Lp

π=

⋅ω+ω )bcotgacotg(

a1

aKEI

12

ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−

13 14 15 16

btg

asin

acos

aK

IE

asin

btg

acos

12

IE

F

3

2C ( )ω+

+ω

basinba

ba

bsinasin ω⋅ω=

( ) 12

11 IEF ω=

( ) 22

22 IEF ω=

2211 LtgLtg ω⋅ω

22

11

II

ωω−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+ω

−ω 0K

IELtg

1L

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+ω

−ω 1K

IE

Ltg

1

L

1

2

Lsin

1

L

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

−ω

=



17 18 19 20

p = résistance élastique du milieu

×π= 2

2

C LIE

F

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

+IEm

Lkm 42

42

1

2

22

11

II

LtgLtg −=

ωω

( ) 12

1C IEF ω=

( ) 22

2 IEω=

1

22211 LtgLtg

ωω=ω⋅ω

21 LtgLtg ω+ω

( )21 LL +ω=

IEF 2C ω=

Remarques

8 Le support de la force passe pour le point fixe C de l’axe Oy. OC est algébrique.

9 Le support de F est la tangente en A à la ligne moyenne déformée.

11 et 13 Le ressort est au repos lorsque la poutre est non chargée, sa ligne moyenne étantalors portée par l’axe Ox.

15, 18 et 19 La poutre se compose de deux poutres soudées bout à bout et de momentsquadratiques I différents.

16 Des ressorts spirales de raideurs K0 et K1 appliquent aux sections extrêmes S0 et S1 descouples de rappel ΓO et Γ1 proportionnels aux rotations ω0 et ω1 subies par ces sections :

000 K ω−=Γ et 111 K ω−=Γ .

17 La poutre est plongée dans un milieu élastique qui oppose une résistance linéique à laflexion )x(vkp −= , v(x) désignant la flèche ; m désigne le nombre de demi-ondes de laligne moyenne déformée.



7.2. – Déversement latéral

Nous nous limiterons au cas où centre de gravité et centre de torsion coïncident. Le momentquadratique de flexion IY est supposé inférieur à IZ. Il est important de noter les degrés deliberté autorisés au niveau des liaisons. On suppose que toutes les sections droites sont libresde gauchir.

1 2

Section SA : 6 D.D.L autorisés

L2

JGIEM Y

C

π=

Section SA : Xω imposé nul

L

JGIEM Y

C

π=

3 4

Section SA : Xω et Yω imposés nuls

L

JGIE2M Y

C

π=

Section SA : 6 D.D.L autorisés

2Y

C L

JGIE013,4F =

5 6

3Y

C L

JGIE85,12p =

Section SA : seul D.D.L autorisé : u

3Y

C L

JGIE33,110p =



7 8

Section SA : seul D.D.L autorisé : u

2Y

C L

JGIE77,45F =

Sections SO et SA : 3 D.D.L autorisés :u, Yω , Zω

2Y

C L

JGIE93,16F =

9 10

Sections SO et SA : 3 D.D.L autorisés :u, Yω , Zω

3Y

C L

JGIE30,28p =

⎭⎬⎫

==

rayonR

longueurL de la ligne moyenne

Section SA : Xω imposé nul

( )2Y

2

2

2Y

C LJGIE

R2JGIE

Mπ+−=

Remarques

1 , 2 , 3 et 10 : le moment reste parallèle à l’axe fixe z’z.

4 , 7 et 8 : la force F , reste parallèle à Oy, et s’applique au centre de la section.

5 , 6 et 9 : la force linéique p, par exemple le poids propre, reste parallèle à l’axe fixe y’yet s’applique sur la ligne moyenne.



7.3. – Flambement par flexion plane d’arcs comprimés

ZII = est supposé inférieur à YI .

1 2

3C RIE

3p =

R = rayon de l’arc

2α = angle ou centre < π

( )3

2C R

IE1kp −=

α=α ktgtgk

RpR CC ⋅= : réaction critique d’appui

3 4

R = rayon de l’arc

2α = angle ou centre < π

32

2

C RIE

1p ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

απ=

RpR CC ⋅= : réaction critique d’appui

OA = OB = a ; COC =p d x = effort sur l’arc ds

4

2

C a

IEc2p

π=

2

22

CC aIE

c2a

pRπ==

(réaction horizontale d’appui critique)

Remarque : le cas 4 est celui d’un arc parabolique de faible courbure (c << a).

Si A et B sont des encastrements – et non plus des pivots – on a alors : 4

2

C a

IEc092,4p

π= et

2

2

C aIE

046,2Rπ= .

Achevé d’imprimer en Franceen mars 2010 chez Messages SAS

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Poutre mécanique des structures tome 2