04/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours
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- 04/10/07 MATHMATIQUES FINANCIRES I Dixime cours
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre
de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux
dintrt et les paiements
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre
de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux
dintrt et les paiements Dernier paiement gonfl
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre
de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux
dintrt et les paiements Dernier paiement gonfl Dernier paiement
rduit
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente
perptuelle de dbut de priode
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente
perptuelle de dbut de priode
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente
perptuelle de dbut de priode Nous avons aussi la formule
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours est gale la valeur actuelle
dune annuit de n paiements de 1$ en fin de priode auquel nous
ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait t = n + k de
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours est gale la valeur accumule t
= n + k dune annuit de n paiements de 1$ en fin de priode auquel
nous ajoutons un paiement fait t = n + k de
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont
donns, peut tre rsolue. Nous obtenons
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement gonfl, nous devons trouver X comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement rduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont
donns, peut tre rsolue. Nous obtenons
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement gonfl, nous devons trouver X comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
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- 04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement rduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
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- 04/10/07 Nous allons maintenant considrer la question de
dterminer le taux dintrt si nous connaissons les paiements, le
nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur
accumule. Nous avons dj vu pour ce type de problme la mthode de
bissection. Nous allons maintenant considrer la mthode de
Newton-Raphson.
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- 04/10/07 Comme nous avons vu au cinquime cours (mthode de
bissection), cette question de dterminer le taux dintrt revient
dterminer les zros dune fonction f connue, cest--dire les x tels
que f(x) = 0.
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- 04/10/07 Dans cette mthode, nous dbutons avec une premire
valeur x 0 et nous construisons rcursivement une suite: x 1, x 2, ,
x s, . Si tout va bien cette suite convergera vers un zro de
f.
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- 04/10/07 Gomtriquement la suite est obtenue de la faon
suivante:
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- 04/10/07 La rgle rcursive de la mthode de Newton-Raphson est la
suivante. Pour s = 0, 1, 2, , nous avons
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- 04/10/07 Exemple 1: Dterminons un zro de la fonction f(x) = x 3
- 8. Nous connaissons dj la rponse. Ce sera 2. Tentons de voir si
la mthode nous permet de converger vers cette valeur.
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- 04/10/07 Exemple 1: Dterminons un zro de la fonction f(x) = x 3
- 8. Nous connaissons dj la rponse. Ce sera 2. Tentons de voir si
la mthode nous permet de converger vers cette valeur. La drive de
f(x) est
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- 04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la rgle rcursive
est la suivante
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- 04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la rgle rcursive
est la suivante Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons
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- 04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0
= 3, nous obtenons
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- 04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0
= 3, nous obtenons
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- 04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0
= 3, nous obtenons
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- 04/10/07 Exemple 1: (suite) sxsxs 03 12.296296296 22.036587402
32.000653358 42.000000213 52.000000000
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- 04/10/07 Remarque 1: La mthode de Newton-Raphson ne fonctionne
pas toujours. Par exemple, considrons la fonction f(x) = x 3 - 5x.
La rgle rcursive est
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- 04/10/07 Remarque 1: La mthode de Newton-Raphson ne fonctionne
pas toujours. Par exemple, considrons la fonction f(x) = x 3 - 5x.
La rgle rcursive est
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- 04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commenons avec la valeur x
0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, et ainsi de
suite
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- 04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commenons avec la valeur x
0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, et ainsi de suite
Cette suite ne converge pas!
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- 04/10/07 Remarque 1: (suite) Graphiquement nous obtenons
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- 04/10/07 Exemple 2: Nous allons maintenant illustrer la mthode
de Newton-Raphson pour rsoudre lexemple 4 du 5 e cours, cest--dire
le premier exemple utilis pour illustrer la mthode de
bissection.
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- 04/10/07 Exemple 2: (suite) Dterminons le taux dintrt dun prt
dont le flux financier est reprsent par le diagramme dentres et
sorties suivant:
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- 04/10/07 Exemple 2: (suite) Lquation de valeur avec comme date
de comparaison t = 9 est
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- 04/10/07 Exemple 2: (suite) Lquation de valeur avec comme date
de comparaison t = 9 est Donc nous cherchons dterminer un zro de la
fonction
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- 04/10/07 Exemple 2: (suite) La rgle rcursive de la mthode de
Newton- Raphson est
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- 04/10/07 Exemple 2: (suite) La rgle rcursive de la mthode de
Newton- Raphson est Si comme point de dpart pour la mthode, nous
prenions x 0 = 6%, alors nous obtenons par la mthode
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- 04/10/07 Exemple 2 (suite): sxsxs 06% 15.232920189%
25.205343113% 35.205308625% 45.205308647% 55.205308669%
65.205308587%
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- 04/10/07 Considrons maintenant la question de dterminer le taux
dintrt dune transaction alors que nous connaissons la valeur
actuelle dune annuit simple constante de fin de priode, le nombre
de paiements et le montant des paiements de cette annuit.
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- 04/10/07 Nous voulons rsoudre lquation alors que nous
connaissons L, R et n. Nous voulons dterminer i.
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- 04/10/07 Nous voulons rsoudre lquation alors que nous
connaissons L, R et n. Nous voulons dterminer i. Ceci est quivalent
rsoudre lquation:
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- 04/10/07 Nous cherchons dterminer un zro de la fonction
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- 04/10/07 La rgle rcursive de la mthode de Newton-Raphson est
alors
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- 04/10/07 Pour complter la mthode de Newton- Raphson, il nous
faut une valeur initiale i 0 prs de la valeur recherche i. Une
bonne approximation est obtenue en considrant comme valeur
initiale
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- 04/10/07 Exemple 3: Dans un prt de 225 000$, lemprunteur
sengage verser 7500$ tous les trimestres pendant 10 ans. Dterminer
le taux nominal dintrt i (4) de ce prt.
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- 04/10/07 Exemple 3: Dans un prt de 225 000$, lemprunteur
sengage verser 7500$ tous les trimestres pendant 10 ans. Dterminer
le taux nominal dintrt i (4) de ce prt. Nous avons ainsi que L =
225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux dintrt
par trimestre.
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- 04/10/07 Exemple 3: (suite) La valeur initiale que nous pouvons
utiliser pour la mthode de Newton-Raphson est alors
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- 04/10/07 Exemple 3: (suite) La rgle rcursive pour la mthode de
Newton- Raphson est alors
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- 04/10/07 Exemple 3: (suite) En utilisant cette rgle et cette
valeur initiale, nous pouvons approximer le taux dintrt par
trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une
approximation du taux nominal recherch. Nous avons prsent ces
valeurs dans le tableau suivant.
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- 04/10/07 Exemple 3: (suite) s xsxs 4x s (Taux nominal)
01.6260163%6.5040652% 11.481978318%5.927913272%
21.484619406%5.9338477624% 31.484620352%5.93681408%
41.484620497%5.938481988% 51.484620377%5.938481508%
61.484620430%5.93848172% 71.484620287%5.938481148%
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- 04/10/07 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur
initiale i 0. Nous allons ainsi faire deux hypothses
simplificatrices pour obtenir cette premire approximation.
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- 04/10/07 Premire hypothse: Nous pouvons remplacer les n
paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars.
Idalement pour obtenir une situation quivalente celle des n
paiements, nous ferions ce paiement lchance moyenne. Faute de
connatre le taux dintrt i, nous allons utiliser lchance moyenne
approche.
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- 04/10/07 Deuxime hypothse: Nous allons supposer que lintrt est
simple plutt que compos.
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- 04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: Lchance
moyenne approche est car
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- 04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite)
Nous pouvons considrer notre transaction comme une entre au montant
de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t
= (n + 1)/2.
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- 04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite)
Nous notons par j: lapproximation lors que nous considrons le flux
prcdent et que nous supposons que lintrt est simple. Nous obtenons
alors lquation:
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- 04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite)
Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0
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- 04/10/07 Justification de lapproximation: Il est aussi possible
dobtenir une justification plus mathmatique, justification qui fait
appel la srie binomiale. Ceci est prsent dans le recueil de notes
de cours.