16/10/07

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Treizième cours

16/10/07

Rappel du dernier cours

• Détermination de la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

16/10/07

Rappel du dernier cours

• Détermination de la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

• Détermination de la valeur accumulée d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

16/10/07

Considérons une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. Le terme de l’annuité sera de n périodes de capitalisation. Les paiements sont de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Il y a (n/k) paiements.

Rappel du dernier cours

16/10/07

Rappel du dernier cours:

Le diagramme d’entrées et sorties est:

16/10/07

Rappel du dernier cours:

La valeur actuelle L est

16/10/07

Rappel du dernier cours:

Le diagramme d’entrées et sorties est:

16/10/07

Rappel du dernier cours:

La valeur accumulée X est

16/10/07

Considérons une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. Le terme de l’annuité sera de n périodes de capitalisation. Les paiements sont de 1$ au début de chaque période de paiement. Il y a (n/k) paiements.

16/10/07

Notons par

la valeur actuelle de cette annuité. Nous avons le diagramme suivant:

16/10/07

Algébriquement nous obtenons que

cette valeur actuelle est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

16/10/07

Notons par

la valeur accumulée de cette annuité au dernier paiement. Nous avons le diagramme suivant:

16/10/07

Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée au dernier

paiement est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

16/10/07

Exemple 1:

Anastasia a gagné 125000$ à la loterie. Elle utilise ce capital pour l’achat d’une rente consistant en 20 versements de R dollars à tous les six mois suivi de 20 versements de 2R dollars, le premier paiement fait immédiatement en recevant son lot. Elle recevra ainsi 40 versements dans sa rente. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(4) = 8% capitalisé

trimestriellement. Déterminer R.

16/10/07

Exemple 1: (suite)

Le taux d’intérêt par trimestre est (i(4)/4) = 8%/4 =

2%. Nous avons deux annuités: les 20 premiers paiements au montant de R dollars et les 20 derniers au montant de 2R dollars. Cette dernière est une annuité différée. Nous allons calculer la valeur actuelle de chacune à t = 0 (c’est-à-dire au moment de recevoir le lot de 125000$)

16/10/07

Exemple 1: (suite)

Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

16/10/07

Exemple 1: (suite)

L’équation de valeur à t = 0 est:

Nous obtenons que R = 4655.26$ .

16/10/07

Exemple 1: (suite)

Si nous avions plutôt utilisé la première approche. Nous calculons que le taux nominal i(2) d’intérêt par année capitalisé semestriellement équivalent à i(4) = 8%. Ce taux est i(2) = 8.079999992% par année, c’est-à-dire (8.079999992%/2) = 4.039999996% par six mois.

16/10/07

Exemple 1: (suite)

L’équation de valeur à t = 0 est alors:

Nous obtenons aussi que R = 4655.26$

16/10/07

Considérons une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. Les paiements sont de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Notons par L : la valeur actuelle de cette rente perpétuelle.

16/10/07

Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

16/10/07

Algébriquement nous obtenons que

cette valeur actuelle est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

16/10/07

Considérons une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. Les paiements sont de 1$ au début de chaque période de paiement. Notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par

16/10/07

Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

16/10/07

Algébriquement nous obtenons que

cette valeur actuelle est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

16/10/07

Exemple 2:

Bernard a hérité de 250000$ et il s’achète deux rentes perpétuelles dont les paiements sont faits une fois par an. La première rente verse un montant de R dollars, le premier versement est fait au moment de l’héritage et la seconde verse un montant de (R + 1000) dollars, le second versement est fait six mois plus tard. Le taux d’intérêt pour la première rente est i(4) = 6% par année capitalisé à tous les trimestres; alors que celui de la seconde rente est i(12) =6% par année capitalisé à tous les mois. Déterminer R.

16/10/07

Exemple 2: (suite)

La première rente est une rente perpétuelle de début de période. Dans ce cas, k = 4 et le taux d’intérêt par trimestre est (i(4)/4) = (6%/4) = 1.5%. Avec ce que nous venons de voir, sa valeur actuelle est

16/10/07

Exemple 2: (suite)

La deuxième rente est une rente perpétuelle de début de période différée pour 6 mois. Dans ce cas, k = 12 et le taux d’intérêt par mois est (i(12)/12) = (6%/12) = 0.5%. Avec ce que nous venons de voir, sa valeur actuelle est

16/10/07

Exemple 2: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

16/10/07

Exemple 2: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

Nous obtenons que R = 6861.16$

16/10/07

Exemple 2: (suite)

Nous aurions aussi pu utiliser l’approche par conversion de taux d’intérêt. Ainsi pour la première rente, si i(4) = 6%, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est 6.13635506% et le taux effectif d’escompte équivalent est 5.781576969%. Alors que pour la deuxième rente si i(12) = 6%, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est 6.167781182% et le taux effectif d’escompte équivalent est 5.809466029%.

16/10/07

Exemple 2: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

Nous obtenons aussi que R = 6861.16$

16/10/07

Nous allons maintenant considérer les annuités pour lesquelles la période de

paiement est plus courte que celle de la capitalisation de l’intérêt. Nous

supposerons qu’il y a m périodes de paiement dans une période de

capitalisation de l’intérêt . L’exemple 2 du cours du douzième cours est dans cette

situation.

16/10/07

Nous noterons le terme de l’annuité, c’est-à-dire sa durée, par n et celui-ci est

mesuré en périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt par période de

capitalisation sera noté par i et (1 + i) est le facteur d’escompte.

16/10/07

Ainsi n et i sont définis comme précédemment, celle pour laquelle la

période de capitalisation est plus courte que la période de paiement.

16/10/07

Il y aura (mn) paiements parce qu’il y a m périodes de paiement dans une période

de capitalisation de l’intérêt.

16/10/07

Considérons maintenant une annuité consistant en (mn) paiements de (1/m)

dollars faits à la fin de chacune des périodes de paiement, c’est-à-dire à la fin

de chacune des m-ièmes périodes de capitalisation.

16/10/07

Ainsi le total des paiements fait pendant une période de capitalisation est 1$.

16/10/07

Nous noterons la valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement par

16/10/07

Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où i(m) est le taux nominal d’intérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule

16/10/07

Nous noterons la valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement par

16/10/07

Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où i(m) est le taux nominal d’intérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule

16/10/07

Exemple 3:

Céline veut accumuler 10000$ en faisant 260 dépôts de R dollars dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé à tous les six mois. Les dépôts sont faits à la fin de chaque semaine pendant 5 ans. Déterminons R.

16/10/07

Exemple 3: (suite)

Dans cet exemple, la période de paiement est la semaine et la période de capitalisation est six mois. Le taux d’intérêt par six mois est (i(2)/2) = (6%/2) = 3%. Donc nous avons

n = 5 x 2 = 10 périodes de capitalisation

i = 3% est le taux d’intérêt par six mois

m = 26 périodes de paiement dans une période de capitalisation

26R est le total des paiements dans une période de capitalisation

16/10/07

Exemple 3: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison: la fin de la cinquième année au dernier paiement est

16/10/07

Exemple 3: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison: la fin de la cinquième année au dernier paiement est

Ici i = 3% et en conséquence i(26) = 2.957561069%

16/10/07

Exemple 3: (suite)

Nous obtenons donc

16/10/07

Exemple 3: (suite)

Nous obtenons donc

Nous obtenons que R = 33.08$

16/10/07

Exemple 4:

Damien a emprunté 15000$. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements de R dollars pendant 2 ans à tous les trimestres et ensuite des paiements de 2R dollars à tous les semestres pendant les 3.5 années suivantes. Le premier paiement est fait 3 mois après le prêt. Le premier paiement de 2R dollars après les 2 premières années est fait 6 mois après le dernier paiement de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux effectif i = 10% par année. Déterminons R.

16/10/07

Exemple 4: (suite)

Pour la première annuité, la période de paiement est le trimestre et la période de capitalisation est une année. Le taux d’intérêt par année est i = 10%. Donc nous avons

n = 2 x 1 = 2 périodes de capitalisation

i = 10% est le taux d’intérêt par six mois

m = 4 périodes de paiement dans une période de capitalisation

4R est le total des paiements dans une période de capitalisation

16/10/07

Exemple 4: (suite)

La valeur actuelle de la première annuité est alors

Ici i = 10% et conséquemment i(4) = 9.645475629%

16/10/07

Exemple 4: (suite)

Pour la seconde annuité, la période de paiement est le semestre et la période de capitalisation est une année. Le taux d’intérêt par année est i = 10%. Il s’agit d’une annuité différée. Donc nous avons

n = 3.5 x 1 = 2 périodes de capitalisation

i = 10% est le taux d’intérêt par six mois

m = 2 périodes de paiement dans une période de capitalisation

4R est le total des paiements dans une période de capitalisation

16/10/07

Exemple 4: (suite)

La valeur actuelle de la seconde annuité est alors

Ici i = 10% et conséquemment i(2) = 9.76176963%

16/10/07

Exemple 4: (suite)

L’équation de valeur à t = 0 est alors

Nous obtenons ainsi que R = 892.70$.