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4. La transformée en z
Définition
Un formalisme adapté au filtrage et à l’analyse en fréquencedes signaux échantillonnés et à l’automatique numérique
problèmes liés à la convergence :
importance du domaine de définition
t
tztxzX )()(
en général une couronne incluant le cercle de rayon 1
1
Re(z)
Im(z)t entier : pas d’échantillonnage égal à 1
jz explien avec la transformée de Fourier
x(t) signal étudiéz variable complexe
t
jtj etxeX )()(
2
10 5 0 5 10 15 200
0.6
1.2
.
Exemple
1 )(:0 bbtxt t
1 )(:0 aatxt t
1)(00
t
tt
t
tt zbzazX
convergence si
1
Re(z)
Im(z)
|a| 1/|b|
bza /1
séries géométriques
1.1
1
.1
1)(
1
zbza
zX
(fractions rationnelles)
x(t)
t(entier)
ggggg
t
t
1
11 32
0
a et b peuvent être complexes
1g
3
0
)(t
tt zazH 1.1
1)(
zazH
équivalente numérique de l’équation différentielle linéraire à coefficients constant du premier ordre
)()(. txtyct
y
tath )(
associée à une équation récurrente (filtrage)
t
0)( th
)()1(.)( txtyaty
4
exponentielle divergente si a>1
1
Re(z)
Im(z)
|a|
1.1
1)(
zazH
0 50 1000
0.5
1
at
t
a 0.98
0 50 1000
5
10
at
t
a 1.02
0 50 1000
0.5
1
at
t
a 0.5
0 50 1001
0
1
at
t
a 0.95
)(:0 tatht 0)(:0 tht
oscillations à ½ fréq. d’éch.
très amorti :
a proche de zéro
peu amorti
a proche de 1
a négatif a > 1
Effet de la valeur de a
5
2210
01
.).cos(.21
)cos(..)cos()(
zaza
zazH
0 0
0pour ).cos(.)( 0
t
ttwath t
20 0 20 40 60 80 100 1201
0
1
.
fractions rationnelles : pôles et zéros
1
Re(z)
Im(z)
|a|
convergence si za
racines du dénominateur et du numérateur
1a
)(th
t
6
équivalente numérique de l’équation différentielle linéaire à coefficients constant du deuxième ordre de la forme
)()(..2
2
txtyt
y
t
y
20 0 20 40 60 80 100 1201
0
1
.
0 0
0pour ).cos(.)( 0
t
ttwath t
associée à une équation récurrente (filtrage)
)()2(.)1().cos(.2)( 20 txtyatyaty
t
7
Argument des pôles et fréquence des oscillations
1Re(z)
Im(z)
1
Re(z)
Im(z)
Oscillations lentes(basses fréquences)
Oscillations rapides(hautes fréquences)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2.0
-0.8
0.4
1.6
2.8
4.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-3.0
-1.9
-0.8
0.3
1.4
2.5
2210 .).cos(.21
1)(
zazazH
t t
8
Module des pôles et amortissement
pôles près du cercle de rayon 1pôles proches de l’origine
1Re(z)
Im(z)
|a|
1
Re(z)
Im(z)
|a|
Très oscillantTrès amorti
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1.2
-0.7
-0.2
0.3
0.8
1.3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.2
0.1
0.4
0.7
1.0
1.3
2210 .).cos(.21
1)(
zazazH
tt
9
Module des pôles et stabilité
pôles extérieurs au cercle 1pôles intérieurs au cercle 1
1 Re(z)
Im(z)
|a|
1
Re(z)
Im(z)
|a|
instable (divergence)stable (convergence)
0 50 1001
0
1
at
cos 0.5 t( )
t
a 0.95
0 50 10020
0
20
at
cos 0.5 t( )
t
a 1.03
2210 .).cos(.21
1)(
zazazH
t t
10
La transformée d’une séquence de durée finie
Le retard de k échantillons est associé à z -k
L
t
tt zazX0
)(
est un polynôme
La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=0est une constante )0()( xzX
La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=1est 1)1()( zxzX
Quelques propriétés immédiates de la transformée en z
11
Transformée d’une convolution discrète
)()()()()( txhthxty
Même démonstration que dans le cas de la transforméede Fourier d’une convolution
(commutativité)
)()()( zXzHzY
12
Transformée d’une convolution discrète
)()()( thxty
)()()( zXzHzY
cf : produit de polynômes
2
0
)()()(
thxtyles coefficients du produits’obtiennent en calculant uneconvolution discrète
x0
x1
z1 x
2z
2
h
0h
1z
1 h2
z2
x0
h0
x0
h1
x1
h0
z1 x
0h
2 x
1h
1 x
2h
0 z
2 x1
h2
x2
h1
z3 x
2h
2 z
4
13
Inversion de la transformée en z
dans les cas simples : décomposition en fractions rationnelles du premier degré : le signal x est une somme d’exponentielles
la transformée inverse d’un polynôme est une séquence de durée finie
1.1
1)(
zazX 0pour )( tatx t
Attention au domaine de convergence !
alors
En traitement du signal ce domaine contient le cercle de rayon 1
deeX
z
dzzzX
jtx jtj
Ct )(
2
1)(
.2
1)(
C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1
(expression donnant l’amplitude de l’harmonique d’une série de Fourier)
0pour 0)( ttx
(a peut être complexe)
14
Lien avec la transformée de Fourier
Lien avec la transformée de Laplacel’intérieur du disque de rayon 1se transforme dans le demi planpartie réelle négative
fréq.
graduation linéaire en angledu cercle de rayon un correspond à une graduationlinéaire de l’axe des fréquences
Re(z)
Im(z)
15
Re(z)
t
x(t)
n
y(n)=x(t) pour n=t
signal à temps continu signal échantillonné
X()
transformée de Fourier
X()
périodisation
transformée en z
échantillonnage
X()= Y(ej)
- -
Im(z)
Y(z)
-
Y(z)
dom
aine
tem
pore
l
dom
aine
fr
éque
ntie
l
z=ej
enroulement sur le cercle 1
gf
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