1

4. La transformée en z

Définition

Un formalisme adapté au filtrage et à l’analyse en fréquencedes signaux échantillonnés et à l’automatique numérique

problèmes liés à la convergence :

importance du domaine de définition

t

tztxzX )()(

en général une couronne incluant le cercle de rayon 1

1

Re(z)

Im(z)t entier : pas d’échantillonnage égal à 1

jz explien avec la transformée de Fourier

x(t) signal étudiéz variable complexe

t

jtj etxeX )()(

2

10 5 0 5 10 15 200

0.6

1.2

.

Exemple

1 )(:0 bbtxt t

1 )(:0 aatxt t

1)(00

t

tt

t

tt zbzazX

convergence si

1

Re(z)

Im(z)

|a| 1/|b|

bza /1

séries géométriques

1.1

1

.1

1)(

1

zbza

zX

(fractions rationnelles)

x(t)

t(entier)

ggggg

t

t

1

11 32

0

a et b peuvent être complexes

1g

3

0

)(t

tt zazH 1.1

1)(

zazH

équivalente numérique de l’équation différentielle linéraire à coefficients constant du premier ordre

)()(. txtyct

y

tath )(

associée à une équation récurrente (filtrage)

t

0)( th

)()1(.)( txtyaty

4

exponentielle divergente si a>1

1

Re(z)

Im(z)

|a|

1.1

1)(

zazH

0 50 1000

0.5

1

at

t

a 0.98

0 50 1000

5

10

at

t

a 1.02

0 50 1000

0.5

1

at

t

a 0.5

0 50 1001

0

1

at

t

a 0.95

)(:0 tatht 0)(:0 tht

oscillations à ½ fréq. d’éch.

très amorti :

a proche de zéro

peu amorti

a proche de 1

a négatif a > 1

Effet de la valeur de a

5

2210

01

.).cos(.21

)cos(..)cos()(

zaza

zazH

0 0

0pour ).cos(.)( 0

t

ttwath t

20 0 20 40 60 80 100 1201

0

1

.

fractions rationnelles : pôles et zéros

1

Re(z)

Im(z)

|a|

convergence si za

racines du dénominateur et du numérateur

1a

)(th

t

6

équivalente numérique de l’équation différentielle linéaire à coefficients constant du deuxième ordre de la forme

)()(..2

2

txtyt

y

t

y

20 0 20 40 60 80 100 1201

0

1

.

0 0

0pour ).cos(.)( 0

t

ttwath t

associée à une équation récurrente (filtrage)

)()2(.)1().cos(.2)( 20 txtyatyaty

t

7

Argument des pôles et fréquence des oscillations

1Re(z)

Im(z)

1

Re(z)

Im(z)

Oscillations lentes(basses fréquences)

Oscillations rapides(hautes fréquences)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-2.0

-0.8

0.4

1.6

2.8

4.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-3.0

-1.9

-0.8

0.3

1.4

2.5

2210 .).cos(.21

1)(

zazazH

t t

8

Module des pôles et amortissement

pôles près du cercle de rayon 1pôles proches de l’origine

1Re(z)

Im(z)

|a|

1

Re(z)

Im(z)

|a|

Très oscillantTrès amorti

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1.2

-0.7

-0.2

0.3

0.8

1.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.2

0.1

0.4

0.7

1.0

1.3

2210 .).cos(.21

1)(

zazazH

tt

9

Module des pôles et stabilité

pôles extérieurs au cercle 1pôles intérieurs au cercle 1

1 Re(z)

Im(z)

|a|

1

Re(z)

Im(z)

|a|

instable (divergence)stable (convergence)

0 50 1001

0

1

at

cos 0.5 t( )

t

a 0.95

0 50 10020

0

20

at

cos 0.5 t( )

t

a 1.03

2210 .).cos(.21

1)(

zazazH

t t

10

La transformée d’une séquence de durée finie

Le retard de k échantillons est associé à z -k

L

t

tt zazX0

)(

est un polynôme

La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=0est une constante )0()( xzX

La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=1est 1)1()( zxzX

Quelques propriétés immédiates de la transformée en z

11

Transformée d’une convolution discrète

)()()()()( txhthxty

Même démonstration que dans le cas de la transforméede Fourier d’une convolution

(commutativité)

)()()( zXzHzY

12

Transformée d’une convolution discrète

)()()( thxty

)()()( zXzHzY

cf : produit de polynômes

2

0

)()()(

thxtyles coefficients du produits’obtiennent en calculant uneconvolution discrète

x0

x1

z1 x

2z

2

h

0h

1z

1 h2

z2

x0

h0

x0

h1

x1

h0

z1 x

0h

2 x

1h

1 x

2h

0 z

2 x1

h2

x2

h1

z3 x

2h

2 z

4

13

Inversion de la transformée en z

dans les cas simples : décomposition en fractions rationnelles du premier degré : le signal x est une somme d’exponentielles

la transformée inverse d’un polynôme est une séquence de durée finie

1.1

1)(

zazX 0pour )( tatx t

Attention au domaine de convergence !

alors

En traitement du signal ce domaine contient le cercle de rayon 1

deeX

z

dzzzX

jtx jtj

Ct )(

2

1)(

.2

1)(

C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1

(expression donnant l’amplitude de l’harmonique d’une série de Fourier)

0pour 0)( ttx

(a peut être complexe)

14

Lien avec la transformée de Fourier

Lien avec la transformée de Laplacel’intérieur du disque de rayon 1se transforme dans le demi planpartie réelle négative

fréq.

graduation linéaire en angledu cercle de rayon un correspond à une graduationlinéaire de l’axe des fréquences

Re(z)

Im(z)

15

Re(z)

t

x(t)

n

y(n)=x(t) pour n=t

signal à temps continu signal échantillonné

X()

transformée de Fourier

X()

périodisation

transformée en z

échantillonnage

X()= Y(ej)

- -

Im(z)

Y(z)

-

Y(z)

dom

aine

tem

pore

l

dom

aine

fr

éque

ntie

l

z=ej

enroulement sur le cercle 1

gf