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Université Ibn Khaldoun de Tiaret Tiaret le 15/05/2018Département Informatique Durée 1H : 30mn1 ère année licence en informatique
Examen �nal deuxième semestreanalyse 2
Exercice 1(6pts)1)Soient fet g deux fonctions dérivables au voisinage de a, a ∈ R.La proposition suivante est-elle vraie ?
limx→a
f(x)
g(x)= l⇒ lim
x→a
f ′(x)
g′(x)= l
Justi�er votre réponse2)Montrer en utilisant le théorème des accroissemet �nis, l'inégalité suivante
(1 + x)5 > 1 + 5x,∀x > 0
3) Monter que ∀x > 0
arctanx+ arctan1
x=π
2
Exercice 2(5pts)1)Trouver le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n = 3 de
f(x) =arcsinx√1 + x
2)En déduire le développement limité au voisinage de 0 à n = 4 de
g(x) = (arcsin x)2
3)Calculer la limite suivante
limx→0
arcsinx− xx3
Exxercice 3(4pts)Soit
In =
∫ 1
0
xne−xdx, n ∈ N
1)Calculer I0 et I1.2)En faisant une intégration par partie, trouver une relation entre In+1 et In.Exercice 4(5pts)
Calculer les intégrales suivantes :∫ x− 1
(x+ 2)2xdx,
∫x arcsinxdx,
∫sin2 xdx
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