5 Lois de probabilité discrètes

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5. Quelques lois discretes

MTH2302D

S. Le Digabel, Ecole Polytechnique de Montreal

A2017(v2)

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Plan

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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Epreuve de Bernoulli

DefinitionUne epreuve de Bernoulli est une experience aleatoire dont leresultat peut etre soit un succes, soit un echec, mais pas les deuxsimultanement.

Exemple 1

On lance une piece une fois et on note le resultat. On appellesucces le fait d’obtenir PILE et echec le fait d’obtenir FACE.

Exemple 2

On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pourdetecter les defectuosites. La piece peut etre defectueuse (succes)ou conforme (echec).

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Loi de Bernoulli

Contexte

Lors d’une epreuve de Bernoulli, soit p la probabilite d’un succes etq = 1− p la probabilite d’un echec.

Soit X le nombre de succes. Alors RX = {0, 1} et

pX(x) ={

1− p si x = 0 ,p si x = 1 .

Si X suit une loi de Bernoulli de parametre p alors on noteX ∼ Bernoulli(p) (ou Bern(p)).

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Loi de Bernoulli (suite)

TheoremeLa fonction de repartition d’une variable X ∼ Bernoulli(p) est

FX(x) =

0 si x < 0 ,

1− p si 0 ≤ x < 1 ,

1 si x ≥ 1.

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Esperance et variance

Si X ∼ Bernoulli(p), alors

1. E(X) = p.

2. V(X) = p(1− p).

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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Loi binomiale

Contexte

On effectue n repetitions independantes d’une epreuve de Bernoullidont la probabilite de succes est p.

Soit X le nombre de succes parmi les n resultats.

Alors X suit une loi binomiale de parametres n et p, denoteX ∼ B(n, p).

On a RX = {0, 1, 2, . . . , n}.

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Loi binomiale (suite)

La fonction de masse d’une variable aleatoire X ∼ B(n, p) est

pX(x) =(nx

)px(1− p)n−x

pour x ∈ {0, 1, 2, . . . , n}.

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Loi binomiale (suite)

La fonction de repartition de la loi binomiale est

FX(x) =x∑

k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k si x ∈ {0, 1, 2, . . . , n}.

Si a ≤ x < a+ 1 avec a entier, alors FX(x) = FX(a).

Comme le calcul de FX(x) est fastidieux lorsque que n est grand,on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale(disponible sur le site web du cours).

Exemple 3

Prouver que FX(n) = 1.

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Autres caracteristiques

Si X ∼ B(n, p), alors :

1. E(X) = np.

2. V(X) = np(1− p).

3. Mediane : x = bnpc.4. Mode : x∗ = b(n+ 1)pc.

Exemple 4

Demontrer que E(X) = np.

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Exemple 5

Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. Onpige avec remise 7 articles du lot.

Calculer

1. La probabilite d’observer exactement un article defectueux.

2. La probabilite d’observer au moins 4 articles defectueux.

3. La moyenne et la variance du nombre d’articles defectueux.

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Loi binomiale : calcul avec des logiciels

I Excel :pX(x) = LOI.BINOMIALE(x, n, p, 0).FX(x) = LOI.BINOMIALE(x, n, p, 1).

I R :pX(x) = dbinom(x, n, p).FX(x) = pbinom(x, n, p).

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Loi binomiale : traces en R

Soit X ∼ B(n = 50, p = 0.2).

I Fonction de masse pX(x) :x=seq(0,50,1) ;px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ) ;plot ( x, px, type=”h”, xlab=”x”, ylab=”p(x)”,

main=”fonction de masse de X ∼ B(n=50,p=0.2)”).

I Fonction de repartition FX(x) :x=seq(0,50,0.1) ;Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 ) ;plot ( x, Fx, type=”s”, xlab=”x”, ylab=”F(x)”,

main=”fonction de repartition de X ∼ B(n=50,p=0.2)”).

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1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0 10 20 30 40 50

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2)

x

p(x)

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1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fonction de répartition de X~B(n=50,p=0.2)

x

F(x)

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Proportion de succes

Soit X ∼ B(n, p) et p =X

nla proportion de succes parmi les n

epreuves.

Alors p est une variable aleatoire et

1. E(p) = p.

2. V(p) =p(1− p)

n.

Exemple 6

Un procede de fabrication produit 5% d’articles non conformes. Unechantillon de 50 unites de cet article est preleve.

Quelle est la probabilite qu’il y ait plus de 7% d’articles nonconformes dans l’echantillon ?

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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Loi geometrique

Contexte

On repete continuellement et de facon independante une epreuvede Bernoulli dont la probabilite de succes est p.

Soit X le nombre d’epreuves necessaires pour obtenir un premiersucces. Alors X suit une loi geometrique de parametre p, denoteX ∼ Geom(p).

On a RX = {1, 2, 3, . . .}.

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Loi geometrique (suite)

La fonction de masse d’une variable aleatoire X ∼ Geom(p) ouX ∼ G(p) est

pX(x) = (1− p)x−1p pour x = 1, 2, 3, . . . .

La fonction de repartition d’une variable aleatoire X ∼ Geom(p)est

FX(x) =

{1− (1− p)a si x ∈ [a; a+ 1[ avec a ∈ N et a ≥ 1 ,

0 sinon.

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Loi geometrique (suite)

Exemple 7

Montrer que pX est une fonction de masse.

Exemple 8

Montrer que FX(x) = 1− (1− p)x si x est entier.

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Loi geometrique (suite)

Si X ∼ Geom(p) alors

1. E(X) =1p

.

2. V(X) =1− pp2

.

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Loi geometrique : calcul

I Excel : faire les calculs directement.

I R (avec RX = {1, 2, . . . , }) :pX(x) = dgeom(x, p).FX(x) = pgeom(x, p).

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1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

fonction de masse de X~G(p=0.2)

x

p(x)

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1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fonction de répartition de X~G(p=0.2)

x

F(x)

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Exemple 9

On lance un de continuellement jusqu’a l’obtention d’un six. SoitX le nombre de lancers necessaires.

Quels sont la moyenne, la variance, et l’ecart-type de X ?

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Loi geometrique (suite)

TheoremePropriete d’absence de memoire : si X ∼ Geom(p) alors pour toust, s > 0

P (X > s+ t|X > t) = P (X > s).

Exemple 10

Prouver le theoreme.

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Exemple 11

On lance un de continuellement jusqu’a l’obtention d’un 6. Soit Xle nombre de lancers necessaires.

1. Quelle est la probabilite d’obtenir un premier 6 au deuxiemelancer ?

2. Quelle est la probabilite qu’il faille plus de 10 lancers pourobtenir un 6 ?

3. Si aucun 6 n’a ete obtenu lors des 8 premiers lancers, quelleest la probabilite qu’au moins deux autres lancers soientnecessaires ?

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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Loi hypergeometrique

Contexte

On tire sans remise n objets d’un ensemble de N objets dont Dpossedent une caracteristique particuliere (et les autres N −D nela possedent pas).

Soit X le nombre d’objets de l’echantillon qui possedent lacaracteristique.

Alors X suit une loi hypergeometrique de parametres n,N,D,denote X ∼ H(N,D, n).

On a RX = {max{0, n−N +D}, . . . ,min(n,D)}.

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Loi hypergeometrique (suite)

La fonction de masse d’une variable aleatoire X ∼ H(N,D, n) est

pX(x) =

(Dx

)(N −Dn− x

)(Nn

)pour x ∈ RX .

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Loi hypergeometrique (suite)

Si X ∼ H(N,D, n) alors

1. E(X) = nD

N.

2. V(X) = nD

N

(1− D

N

)(N − nN − 1

).

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Loi hypergeometrique : calcul

I Excel :pX(x) = LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x, n, D, N , 0).FX(x) = LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x, n, D, N , 1).

I R :pX(x) = dhyper(x=x, m=D, n=N −D, k=n).FX(x) = phyper(q=x, m=D, n=N −D, k=n).

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Exemple 12

Une boıte contient 8 composants parmi lesquels 2 sont defectueux.Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la boıte.Soit X le nombre de composants defectueux dans l’echantillon.

Donner la fonction de masse de X, ainsi que E(X) et V(X).

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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Loi de Poisson

Une variable aleatoire X suit une loi de Poisson de parametrec > 0 si

pX(x) =e−ccx

x!si x = 0, 1, 2, . . . .

Ceci est denote X ∼ Poi(c).

Le parametre c correspond a la moyenne de la loi de Poisson.

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Loi de Poisson : calcul

I Livre page 473 (2eme edition) / page 509 (3eme edition) etsite web du cours.

I Excel :pX(x) = LOI.POISSON (x, c, 0).FX(x) = LOI.POISSON (x, c, 1).

I R :pX(x) = dpois (x=x, lambda=c).FX(x) = ppois (q=x, lambda=c).

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1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0 2 4 6 8

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

fonction de masse de X~Poi(c=2)

x

p(x)

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1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fonction de répartition de X~Poi(c=2)

x

F(x)

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Exemple 13

Une machine utilisee dans une chaıne de production tombe enpanne en moyenne 2 fois par mois.

Soit X le nombre de pannes par mois.

En supposant que X suit une loi de Poisson, quelle est laprobabilite que dans un mois donne la machine

1. Ne tombe pas en panne ?

2. Tombe en panne au moins deux fois ?

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Loi de Poisson

Si X ∼ Poi(c), alors

1. E(X) = c.

2. V(X) = c.

Exemple 14

Demontrer que E(X) = c.

Exemple 15

Trouver la mediane de X ∼ Poi(c = 2).

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Processus de Poisson

Considerons un type d’evenement survenant dans le temps. Lecomptage du nombre de realisations de l’evenement est unprocessus de Poisson si

I Pour deux intervalles de temps disjoints, le nombre derealisations dans l’un et l’autre intervalle sont independants.

I Pour tout intervalle de temps de duree t, le nombre derealisations suit une loi de Poisson de parametre c = λt, ouλ > 0 est le nombre moyen de realisations par unite de temps.

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Exemples supplementaires

Autres situations ou la v.a. suit une loi de Poisson :

1. Le nombre de voitures arrivant a un feu de circulation en 5minutes.

2. Le nombre de defauts sur une piece usinee.

3. Le nombre d’erreurs typographiques sur une page d’un livre.

4. Le nombre de clients entrant dans un magasin en une journee.

5. Le nombre de particules alpha emises par un materiauradioactif en une minute.

Remarque : On suppose, dans tous ces exemples, que le nombremoyen de realisations de l’evenement d’interet par unite de temps,dimension, nombre d’epreuve, etc., est modere.

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Approximations

Approximation d’une loi hypergeometrique par une binomiale

Soit X ∼ H(N,D, n). Si n/N est petit alors X suitapproximativement une loi binomiale B(n, p), ou p = D

N :

P (X = x) =

(Dx

)(N −Dn− x

)(Nn

) '(nx

)(D

N

)x(1− D

N

)n−x

pour x = 0, 1, 2, . . . , n

(on suggere n/N < 0.1).

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Approximations (suite)

Approximation d’une loi binomiale par une Poisson

Soit X ∼ B(n, p). Si n est grand et p est petit (de sorte que npest modere) alors X suit approximativement une loi de PoissonPoi(c), ou c = np :

P (X = x) =(nx

)px(1− p)n−x ' e−np(np)x

x!

pour x = 0, 1, 2, . . .

(on suggere n > 20 et p < 0.05).

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