LOIS DE PROBABILITE DISCRETES

Chapitre 5 Probabilités conditionnelles

Lois de probabilité discrètes P R O B A B I L I T E S C O N D I T I O N N E L L E S

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I. PROBABILITES CONDITIONNELLES

1. Définition Soient A et B deux événements. Alors la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé vaut :

𝑷𝑩(𝑨) =𝑷(𝑨∩𝑩)𝑷(𝑩)

où 𝑷(𝑩) ≠ 𝟎

Remarque

𝑃𝐵(𝐴) se lit probabilité de A sachant B.

Exemple

On lance un dé non truqué. On considère deux événements suivants :

A : Obtenir un nombre plus grand où égal à 3.

B : Obtenir 4

2. Indépendance Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire. On dit que A et B sont indépendants si et seulement si :

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)

Preuve

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Dans le cas général, on a :

3. Formules des probabilités totales Soient 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3,… , 𝐸𝑛 des événements qui forment une partition de E où E est l’univers d’une expérience aléatoire. Et soit A un événement de E, alors on a la représentation suivante :

Dans ces conditions, on a :

𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝟏) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝟏) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝟏) +⋯+𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝒏)

Exemple :

𝐸1

𝐸4 𝐸5

𝐸2

𝐸3 𝐸𝑛

𝐸…

𝐴

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II. VARIABLE ALEATOIRE

1. Définition d’une variable aléatoire Une variable aléatoire, notée X, est une fonction mathématique qui associe à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire un unique réel.

Exemple

2. Définition d’une loi de probabilité Donner la loi de probabilité d’une expérience aléatoire consiste à associer à chaque valeur de la variable aléatoire X une unique probabilité.

Une loi de probabilité est en présentée en général de la manière suivante :

Exemple

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3. Définition de l’espérance L’espérance d’une variable aléatoire X est donnée par :

𝑬(𝑿) =∑𝑷𝒊 × 𝑿𝒊

𝒏

𝒊=𝟎

Exemple

Propriété

L’espérance d’une variable aléatoire composée 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝐵 vaut :

𝑬(𝒀) = 𝑬(𝒂𝑿+ 𝒃) = 𝒂 × 𝑬(𝑿) + 𝒃

Démonstration

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4. Variance La variance d’une variable aléatoire se calcule ainsi :

𝑽(𝑿) =∑ 𝒊 × (𝑿𝒊 𝑬(𝑿))

𝒏

𝒊=𝟎

Exemple

Propriété

La variance d’une variable aléatoire composée se calcule ainsi :

𝑽(𝒂𝑿 + 𝒃) = 𝒂 × 𝑽(𝑿)

Démonstration

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5. Ecar t-type L’écart-type d’une variable aléatoire se calcule ainsi :

𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)

III. EXERCICE DE BAC TYPIQUE