55Chapitre

LOIS DE PROBABILITÉ,LOI BINOMIALELOIS DE PROBABILITÉ,LOI BINOMIALE

1 POURQUOI CE CHAPITRE ?

Le hasard possède certaines lois. L'étude des probabilités permet de mieux comprendre ces loiset ainsi de prendre des décisions dans divers domaines : �nance, assurances, pharmacologie,météorologie, politique, jeux de hasard...

2 VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS DE PROBABILITÉ

20 118

4

13

6

10

152

173197

16

8

11

14

912

5

On lance une �échette au hasard, les yeux fermés,vers la cible.Lorsqu'une �échette arrive sur la cible, on note Xle nombre de points du secteur dans lequel elle s'estplantée.Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?

20 118

4

13

6

10

152

173197

16

8

11

14

912

5

On lance une �échette au hasard, les yeux fermés,vers la cible.Lorsqu'une �échette arrive sur la cible, on note Xle nombre de points du secteur dans lequel elle s'estplantée.Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?

Exercice 1

On lance deux dés cubiques classiques. On note X la sommedes points obtenus.Quelles valeurs peut prendre X ?

On lance deux dés cubiques classiques. On note X la sommedes points obtenus.Quelles valeurs peut prendre X ?

Exercice 2

Une urne contient 5 boules rouges et 4 boules bleues indiscer-nables au toucher.On prélève au hasard 6 boules de l'urne et on note X le nombrede boules rouges prélevées.Donner les valeurs possibles de X.

Une urne contient 5 boules rouges et 4 boules bleues indiscer-nables au toucher.On prélève au hasard 6 boules de l'urne et on note X le nombrede boules rouges prélevées.Donner les valeurs possibles de X.

Exercice 3

LYCÉE BLAISE PASCAL

1S.DELOBEL

2 Chapitre 5. Lois de probabilités

On a trempé un cube dans la peinture rouge. En-suite, on l'a découpé en 27 petits cubes (comme lemontre le schéma ci-contre), indiscernables au tou-cher, que l'on a mis dans un sac.On prend un petit cube au hasard dans le sac et onnote X le nombre de faces peintes de celui-ci.Faire la liste des valeurs possibles de X.

On a trempé un cube dans la peinture rouge. En-suite, on l'a découpé en 27 petits cubes (comme lemontre le schéma ci-contre), indiscernables au tou-cher, que l'on a mis dans un sac.On prend un petit cube au hasard dans le sac et onnote X le nombre de faces peintes de celui-ci.Faire la liste des valeurs possibles de X.

Exercice 4

100100

Antoine joue au jeu suivant : il lance une pièce de monnaie � normale �.Il gagne 10 e s'il obtient pile, et perd 5 e s'il obtient face.Il lance la pièce deux fois de suite.X désigne le gain (éventuellement négatif si c'est une perte...) obtenu.Quelles valeurs peut prendre X ?

100100

Antoine joue au jeu suivant : il lance une pièce de monnaie � normale �.Il gagne 10 e s'il obtient pile, et perd 5 e s'il obtient face.Il lance la pièce deux fois de suite.X désigne le gain (éventuellement négatif si c'est une perte...) obtenu.Quelles valeurs peut prendre X ?

Exercice 5

Dans chacun des exercices précédents, on dit que X est une variable aléatoire, car on nesait pas d'avance quelle valeur elle va prendre parmi ses valeurs possibles.

Vocabulaire

P (X = k) désigne la probabilité que X prenne la valeur k.

Notation

Dans l'exercice 1, P (X = 17) = 120 ; dans l'exercice 2, P (X = 2) = 1

36 ; et dansl'exercice 5, P (X = 20) = 1

4 .Dans l'exercice 1, P (X = 17) = 1

20 ; dans l'exercice 2, P (X = 2) = 136 ; et dans

l'exercice 5, P (X = 20) = 14 .

Exemple 1

Donner la loi de probabilité de X, c'est donner la probabilité de chacune des valeurs quepeut prendre X, c'est-à-dire donner P (X = k) pour tous les k possibles.Souvent, on présente la loi de probabilité de X dans un tableau du type

k x1 x2 ... xnP (X = k) p1 p2 ... pn

Vocabulaire

Pour chacun des exercices 1,2, 4 et 5 donner la loi de X.Pour chacun des exercices 1,2, 4 et 5 donner la loi de X.

Exercice 6

Pour savoir si un jeu est équitable ou non (par exemple dans l'exercice 5), on peut calculer lamoyenne des gains, coe�cientée 1 par les probabilités associées.

Le nombre obtenu est la moyenne que l'on peut espérer avoir sur un grand nombre de parties(ici, le gain moyen) : c'est l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. On la note E(X).

Il existe aussi des indicateurs qui permettent de mesurer la dispersion de X autour de sonespérance : la variance V (X), et l'écart-type σ(X).

1. on dit aussi � pondérée �.

Cours de Première STI 2D 3

On donne les formules générales :

E(X) = p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn.

V (X) = p1x21 + p2x

22 + · · ·+ pnx

2n − E(X)2.

σ(X) =√V (X).

Calculer E(X), V (X) et σ(X) pour la variable X de l'exercice 5.

On donne les formules générales :

E(X) = p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn.

V (X) = p1x21 + p2x

22 + · · ·+ pnx

2n − E(X)2.

σ(X) =√V (X).

Calculer E(X), V (X) et σ(X) pour la variable X de l'exercice 5.

Exercice 7

3 ÉPREUVE DE BERNOULLI, SCHÉMA DE BERNOULLI

Une urne contient 2 boules blanches et 1 noire indiscernables au toucher.On tire au hasard une boule, on la remet dans l'urne, puis on e�ectue undeuxième tirage.

1. Représenter la situation par un arbre.

2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules noires.

Une urne contient 2 boules blanches et 1 noire indiscernables au toucher.On tire au hasard une boule, on la remet dans l'urne, puis on e�ectue undeuxième tirage.

1. Représenter la situation par un arbre.

2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules noires.

Exercice 8

Dans l'exercice ci-dessus, on peut représenter l'arbre de deux manières di�érentes :

Version � éclatée � Version � pondérée �

N

N (N ; N)

B (N ; B)

B (N ; B)

B

N (B ; N)

B (B ; B)

B (B ; B)

B

N (B ; N)

B (B ; B)

B (B ; B)

N

N P (N ; N) =1

913

B P (N ; B) =2

923

13

B

N P (B ; N) =1

913

B P (B ; B) =4

923

23

Il est en général préférable (car plus économique et plus pratique) d'utiliser un arbre pondéré.

On appelle épreuve de Bernoulli (de paramètre p) toute expérience aléatoire qui n'aque deux issues possibles :� l'une appelée succès, noté S, dont la probabilité est p ;� l'autre appelée échec, noté E (ou S), dont la probabilité est q = 1− p.

Dé�nition 1.

Chacun des deux tirages de l'exercice 8 est une épreuve de Bernoulli. Le succès est parexemple l'événement � tirer une boule noire �, sa probabilité est p = 1

3 .Chacun des deux tirages de l'exercice 8 est une épreuve de Bernoulli. Le succès est parexemple l'événement � tirer une boule noire �, sa probabilité est p = 1

3 .

Exemple 2

4 Chapitre 5. Lois de probabilités

Un schéma de Bernoulli (de paramètres n,p) est une expérience aléatoire qui consiste àrépéter n fois, de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli (de paramètre p).

Dé�nition 2.

S

S (S ; S)p

E (S ; E)1− p

p

E

S (E ; S)p

E (E ; E)1− p

1− p

� La somme des probabilités portées sur lesbranches issues d'un même n÷ud est égale à 1.

� La probabilité d'un événement est le produit desprobabilités portées sur les branches du cheminaboutissant à cet événement.

Propriété 3.

� la situation de l'exercice 8 ;� lancer une même pièce de monnaie plusieurs fois de suite et observer si on obtientpile ou face ;

� répondre au hasard aux questions d'un vrai/faux ;� prélever (et remettre) plusieurs pièces au hasard dans une chaîne de fabrication etobserver si elles sont défectueuses ou non.

� la situation de l'exercice 8 ;� lancer une même pièce de monnaie plusieurs fois de suite et observer si on obtientpile ou face ;

� répondre au hasard aux questions d'un vrai/faux ;� prélever (et remettre) plusieurs pièces au hasard dans une chaîne de fabrication etobserver si elles sont défectueuses ou non.

Exemple 3 Exemples de schémas de Bernoulli

Si dans l'exercice 8 les tirages se font sans remise, la situation ne correspond plus à unschéma de Bernoulli (car les épreuves successives ne sont plus identiques).

I p.201 ex 23, 24, 22 ; TP : p.201 ex 26

4 LA LOI BINOMIALE

Un candidat à un jeu télévisé doit répondre à deux questions successives.Chaque question o�re quatre possibilités de réponse, dont une seule est correcte.Le candidat, ne connaissant aucune des réponses, répond totalement au hasard à chaquequestion.

1. Justi�er que cette expérience correspond à un schéma de Bernoulli dont vouspréciserez les paramètres, et illustrer la situation par un arbre pondéré.

2. SoitX la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat.

a. Quelles valeurs peut prendre X ?

b. Dans un tableau, présenter la loi de X.

c. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait au moins une bonne ré-ponse ?

d. Calculer l'espérance mathématique de X.

Un candidat à un jeu télévisé doit répondre à deux questions successives.Chaque question o�re quatre possibilités de réponse, dont une seule est correcte.Le candidat, ne connaissant aucune des réponses, répond totalement au hasard à chaquequestion.

1. Justi�er que cette expérience correspond à un schéma de Bernoulli dont vouspréciserez les paramètres, et illustrer la situation par un arbre pondéré.

2. SoitX la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat.

a. Quelles valeurs peut prendre X ?

b. Dans un tableau, présenter la loi de X.

c. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait au moins une bonne ré-ponse ?

d. Calculer l'espérance mathématique de X.

Exercice 9

Cours de Première STI 2D 5

Reprendre l'exercice 9 dans le cas où le candidat doit répondre à quatre questionssuccessives.Reprendre l'exercice 9 dans le cas où le candidat doit répondre à quatre questionssuccessives.

Exercice 10

Dans l'exercice précédent, le schéma de Bernoulli a pour paramètres n = 4 et p = 14 . L'arbre est

déjà grand !

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

1− p

p

E

S

Pour calculer P (X = 3) par exemple :on ajoute les probabilités des cheminscontenant 3 succès et 1 échec.Il y a 4 chemins contenant 3 succès et1 échec (SSSE, SSES, SESS et ESSS).Chaque chemin a pour probabilitép3 × (1− p).Ce qui donne :P (X = 3) = 4× p3 × (1− p).

Lorsque l'arbre est encore plus grand, il n'est pas facile � voire impossible � de le dessiner. Ildevient di�cile aussi de compter le nombre de chemins comportant k succès, et donc de calculerà la main P (X = k).

Pour ce genre de calculs, nous aurons donc recours à la calculatrice ou l'ordinateur. Et plutôtque de donner toutes les valeurs de P (X = k) pour décrire la loi de X, donnons lui un nom quinous permet de l'identi�er totalement :

SoitX la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoullide paramètres n et p.La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.

Dé�nition 4.

X ∼ B (n; p).

Notation

Voir la �che � calculatrice � pour savoir comment calculer P (X = k) à la machine.Avec GeoGebra, choisir l'outil � Calculs probabilités �.

6 Chapitre 5. Lois de probabilités

Reprendre l'exercice 9 en utilisant la calculatrice.Reprendre l'exercice 9 en utilisant la calculatrice.

Exercice 11

On peut représenter graphiquement une loi binomiale.

Par exemple ici, la loi binomiale de l'exercice 9, mais avec 20 questions :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k

0.05

0.1

0.15

0.2

P (X = k)

0

B (20 ; 0, 25)

Notons que, bien sûr, aucune des probabilités P (X = k) n'est parfaitement nulle, mais pour cer-taines valeurs de k, P (X = k) est tellement proche de 0 qu'on ne voit pas le bâton correspondantdans le diagramme en barre ci-dessus.

On considère la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n = 10 etp = 0, 5367.

1. Représenter par un diagramme cette loi binomiale (avec GeoGebra ou un tableur).

2. Calculer les probabilités suivantes (donner une valeur approchée à 10−3 près) :

a. P (X = 2)

b. P (X = 7)

c. P (X 6 2)

d. P (X < 5)

e. P (X > 6)

f. P (X > 3)

g. P (2 < X 6 6)

h. P (1 6 X 6 8)

On considère la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n = 10 etp = 0, 5367.

1. Représenter par un diagramme cette loi binomiale (avec GeoGebra ou un tableur).

2. Calculer les probabilités suivantes (donner une valeur approchée à 10−3 près) :

a. P (X = 2)

b. P (X = 7)

c. P (X 6 2)

d. P (X < 5)

e. P (X > 6)

f. P (X > 3)

g. P (2 < X 6 6)

h. P (1 6 X 6 8)

Exercice 12

I p.203 ex 31, 32, 34 ; p.204 ex 36, 38

1. On reprend l'énoncé de l'exercice 9. Répondre aux deux questions suivantes sansaucun calcul, juste en faisant appel à votre � bon sens � :

a. Si le questionnaire comporte 4 questions successives, combien le candidatpeut-il espérer en moyenne avoir de bonnes réponses ?

b. Et pour un questionnaire de 20 questions successives ?

2. Véri�er les deux résultats ci-dessus en faisant calculer l'espérance mathématiquedes lois binomiales concernées grâce à un tableur ou à Algobox.

3. Conjecturer une formule très simple permettant d'obtenir l'espérance d'une loibinomiale B (n; p).

1. On reprend l'énoncé de l'exercice 9. Répondre aux deux questions suivantes sansaucun calcul, juste en faisant appel à votre � bon sens � :

a. Si le questionnaire comporte 4 questions successives, combien le candidatpeut-il espérer en moyenne avoir de bonnes réponses ?

b. Et pour un questionnaire de 20 questions successives ?

2. Véri�er les deux résultats ci-dessus en faisant calculer l'espérance mathématiquedes lois binomiales concernées grâce à un tableur ou à Algobox.

3. Conjecturer une formule très simple permettant d'obtenir l'espérance d'une loibinomiale B (n; p).

Exercice 13

Cours de Première STI 2D 7

Soit X ∼ B (n; p). Alors :

E(X) = np

V (X) = np(1− p)

σ(X) =√np(1− p).

Propriété 5.

Preuve

Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un auto-mobiliste rencontre deux feux tricolores.Si lorsqu'il parvient à leur niveau le signal est vert, il passe ; si le signal est orange ourouge, il s'arrête.Les feux sont réglés de telle sorte que lorsque l'automobiliste se présente à l'un d'eux,la probabilité que le signal soit orange ou rouge est 1

5 .On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de feux du trajet où le signal estorange ou rouge.

1. Quelle est la loi de X ? Justi�er.

2. Donner la probabilité que l'automobiliste ait tous les feux au vert.

3. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X.

4. Supposons cette fois-ci que son trajet comporte cinq feux.

a. Quelle est la loi de X ?

b. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre au moins un feurouge ?

c. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X.

Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un auto-mobiliste rencontre deux feux tricolores.Si lorsqu'il parvient à leur niveau le signal est vert, il passe ; si le signal est orange ourouge, il s'arrête.Les feux sont réglés de telle sorte que lorsque l'automobiliste se présente à l'un d'eux,la probabilité que le signal soit orange ou rouge est 1

5 .On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de feux du trajet où le signal estorange ou rouge.

1. Quelle est la loi de X ? Justi�er.

2. Donner la probabilité que l'automobiliste ait tous les feux au vert.

3. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X.

4. Supposons cette fois-ci que son trajet comporte cinq feux.

a. Quelle est la loi de X ?

b. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre au moins un feurouge ?

c. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X.

Exercice 14

I p.204 ex 39d), 40 ; p.205 ex 41

I Problèmes : p.208 ex 56, 57, 59, 62

5 PREUVES

Preuve de 5.

Nous allons simplement donner ici une idée de la démonstration de E(X) = np.Appelons X1 la variable aléatoire qui vaut 1 ou 0 selon qu'on a obtenu un succès ou un échec lors de la

première épreuve de Bernoulli. Même chose pour X2 lors de la deuxième épreuve, X3 lors de la troisième,

... ,Xn lors de la n−ième.

Alors, comme X compte le nombre de succès lors des n épreuves, on a : X = X1 +X2 + · · ·+Xn.

Il est facile de voir que l'espérance de chacune des variables Xi est 0× (1− p) + 1× p = p.Et donc, par � linéarité de l'espérance �, on a E(X) = p+ p+ · · ·+ p︸ ︷︷ ︸

n termes

= np.