A1 RDM chapitre 2

Chapitre 2 :

Equilibre interne, éléments de réduction sur une poutre

2.1 Actions de liaison

Une structure est souvent formée d’un ensemble de sous-structures assemblées entre elles par des liaisons.Ces liaisons assurent un blocage relatif de deux sous-structures (ou plus)

En 2D on distingue:

La liaison articulée simple caractérisée par

une rotation relative libre des deux extrémités de barres

une translation relative nulle des deux extrémités de barres

Dans le cas de deux barres l’effort de liaison est réduit à une force ( deux composantes ou deux inconnues)

Attention à la représentation de cette force de liaison, elle n’apparaît que lorsque la structure est coupée

R

R

α

α

ou

Ry

Rx Rx

Ry

Ne jamais représenter les deux solides liés avec les

efforts

La liaison articulée multiple: plus de deux solides sont liés entre eux au niveau de cette articulation

une rotation relative libre des extrémités de toutes les barres liées à l’articulation

une translation relative nulle des extrémités de toutes les barres liées à l’articulation

Dans ce cas les inconnues de liaison sont plus difficiles à calculer.

Prenons l’exemple d’une liaison articulée à 3 barres

On peut la transformer en

R1y

R1xR2y

R2x

R1x

R1y

R2x

R2y

R3y

R3x

R1x

R1y

R2x

R2y

Avec R3y = R1y + R2y

et R3x = R1x + R2x

Il y a 4 inconnues de liaisons avec 3 barres

On peut ajouter R1x et R1y d’une part et R2x et R2y

si NB est le nombre de barres liées au niveau de l’articulation

le nombre d’inconnues de liaison sera 2(NB - 1)

Si la liaison articulée est fixée sur un appui le nombre d’inconnues de liaison se calcule ainsi:

2 inconnues 4 inconnues

3 inconnues

2

0

2

22

1

on distingue ensuite :

La liaison encastrement simple caractérisée par

une rotation relative nulle des deux extrémités de barres

une translation relative nulle des deux extrémités de barres

Dans le cas de deux barres les efforts de liaison sont composés d’une force (deux composantes) et d’un couple soit 3 inconnues de liaison

Attention comme dans le cas précédent les efforts de liaison n’apparaissent que lorsque la structure est coupée

ou

R

R

α

αM

M

Ry

RxRx

Ry

MM

Ne jamais représenter les deux solides liés avec les

efforts

La liaison encastrée multiple: plus de deux solides sont liés entre eux au niveau de cette liaison

une rotation relative nulle des extrémités de toutes les barres liées à l’articulation

une translation relative nulle des extrémités de toutes les barres liées à l’articulation

si NB est le nombre de barres liées au niveau de la liaison encastrée

le nombre d’inconnues de liaison sera 3(NB - 1)

Si la liaison encastrée est fixée sur un appui le nombre d’inconnues de liaison se calcule ainsi:

3 inconnues 6 inconnues

5 inconnues 4 inconnues

3

0

3

3

2

3 3

1

2.2 Degré d’hyperstaticité d’un système

Un système est hyperstatique lorsque le nombre d’équations issues du principe fondamental de la statique est inférieur au nombre d’inconnues de liaison

Le degré d’hyperstaticité correspond à la différence entre le nombre d’inconnues de liaison et le nombre d’équations, il est indépendant du chargement.

Pour déterminer le degré d’hyperstaticité d’un système il faut :

Compter le nombre de barres, soit n ce nombre

En déduire le nombre d’équations de la statique 3n (trois équations par barre pour un cas plan)

Calculer le nombre d’inconnues de liaison par la méthode indiquée en 2.1, soit i ce nombre

Si i < 3n le système est hypostatique, c’est un mécanisme

Si i = 3n le système est isostatique, les équations de la statique sont suffisantes pour calculer les inconnues de liaison. Ce sont les structures que nous étudierons cette année.

Si i > 3n le système est hyperstatique, les équations de la statique ne sont plus suffisantes pour calculer les inconnues de liaison. Il faut écrire d’autres équations pour résoudre le problème. Ce sont les structures que nous étudierons l’année prochaine

Le degré d’hyperstaticité vaut i – 3n

Voyons quelques exemples de détermination du degré d’hyperstaticité sur des structures

3

2

2Nb d’inconnues de liaison

3+2+2 = 7

Nb d’équations

3*2 = 6

Hyperstatique de degré 1

3

2

3Nb d’inconnues de liaison

3+2+3 = 8

Nb d’équations

3*2 = 6

Hyperstatique de degré 2

3

3

3Nb d’inconnues de liaison

3+3+3 = 9

Nb d’équations

3*2 = 6

Hyperstatique de degré 3

2

2

2Nb d’inconnues de liaison

2+2+2 = 6

Nb d’équations

3*2 = 6

Isostatique portique à trois articulations

2

2

3

Nb d’inconnues de liaison

2+2+2+3 = 9

Nb d’équations

3*3 = 9

Isostatique

2

3

3

3

Nb d’inconnues de liaison

3+3+3+3 = 12

Nb d’équations

3*3 = 9

Hyperstatique de degré3

3

arbalétrier

2 2

33

3

Nb d’inconnues de liaison

2+3+3+3+2 = 13

Nb d’équations

3*4 = 12

Hyperstatique de degré 1

Portique simple articulé en pied

On peut aussi reprendre le problème en considérant que les 4 barres ne forment qu’un seul solide

Nb d’inconnues de liaison

2+2 = 4

Nb d’équations

3*1 = 3

Hyperstatique de degré 1

2 2

Voici un autre type de portique

Nb d’inconnues de liaison si on considère un ensemble de 3 barres

3+2+3+2 = 10

Nb d’équations

3*3 = 9

Hyperstatique de degré 1

3 2

2 3

Poteau en béton

Portique en lamellé collé

On peut aussi prendre le problème différemment, en ne considérant que deux solides

Nb d’inconnues de liaison si on considère un ensemble de 2 solides

3+2+2 = 7

Nb d’équations

3* 2 = 6

Hyperstatique de degré 1

3 2

2

On retrouve le même résultat

2

6

Nb d’inconnues de liaison

2+1+6+9+6+2+2 = 28

Nb d’équations

3*7 = 21

Hyperstatique de degré 7

2

1

2

6

9

Nb d’inconnues de liaison

2+1+4+6+4+2+2 = 21

Nb d’équations

3*7 = 21

Isostatique1

2

4 4

62

2

Treillis plan isostatique

Nb d’inconnues de liaison

1+3+3+3+3+2 = 15

Nb d’équations

3*4 = 12

Hyperstatique de degré 31

3

2

3 3

3

Si on fait une coupure complète d’une barre on retrouve un système isostatique

3

3 3

3

21

Nb d’inconnues de liaison

1+3+3+3+3+2 = 15

Nb d’équations

3*5 = 15

Si on fait une coupure complète d’une barre on libère trois degrés de liberté

2.3 Exemples de calculs d’actions de liaison

2m

1m

3m1m

A

B

C

D

E

8kN/ml

12kN/ml

Vérifier l’isostaticité du système

Calculer les actions de liaisons en A B C D et E

2.4 Eléments de réduction sur une poutre:

Définition d’une poutre

C’est un élément dont une dimension est prépondérante par rapport aux deux autres.

C’est pourquoi on peut la représenter par un simple trait

Il faut que sa section ne varie pas brusquement , sinon problème de concentration de contrainte

Il faut aussi que son rayon de courbure ne soit pas trop petit

Pour voir ce qui se passe dans une poutre, il faut la couper et remplacer la partie coupée par des efforts et des moments équivalents placés au point de coupure.

Le moment de toutes les « forces » à gauche de la coupure par rapport à la coupure s’appelle le moment fléchissant

M

La projection sur l’axe de la poutre de toutes les forces situées à gauche de la coupure s’appelle l’effort normal

N

La projection sur la perpendiculaire à l’axe de la poutre de toutes les forces situées à gauche de la coupure s’appelle l’effort tranchant

V

N,V et M portent le nom d’éléments de réduction (vient de réduire un système de forces) ou de sollicitations.

Nous venons de donner les définition de N,V et M en conservant la partie droite et en coupant la partie gauche: on dira dans ce cas qu’on prend les efforts de gauche

Mais d’après le principe d’action réaction on peut faire le contraire, conserver la partie gauche et couper la partie droite : on dira dans ce cas qu’on prend les efforts de droite

Attention au convention de signe qui sont opposées...

pas si opposé que cela, dans les deux cas un effort normal de compression sera positif

Et pour le moment fléchissant il suffira de retenir:

moment fléchissant positif si la fibre inférieure est tendue

Fibre tendue

Fibre tendue

Pour l’effort tranchant c’est moins facile à retenir

On repère la position de la coupure par son abscisse sur la poutre

par exemple x

x

Les valeurs de N, V et M, en ce point de coupure, sont donc des fonctions de x que l’on représente par des courbes dans un repère dont l’axe des abscisses est l’axe de la poutre, l’axe des ordonnées permet de tracer N(x), V(x) et M(x).

x

V(x), N(x) ou M(x)

Si la structure n’est pas une simple droite le repère va suivre l’allure de la ligne moyenne de la structure.

L’effort normal et l’effort tranchant sont tracés dans un repère direct ,

par contre les ingénieurs génie civil, surtout ceux qui font du béton armé, aiment bien représenter le moment fléchissant dans un repère indirect

(axe des ordonnées dans l’autre sens)

Pourquoi?

La convention de signe du moment est

moment positif = fibre inférieure tendue

les armatures sont placées du côté de la fibre tendue, en bas de la poutre pour un moment positif , alors que la courbe est tracée au dessus de la ligne moyenne.

Il est apparu plus judicieux de choisir une autre convention de représentation permettant de placer plus simplement les armatures

M(x)

Tout le monde ne partage pas ce point de vue , dans beaucoup d’ouvrages de rdm le moment fléchissant est tracé dans un repère direct.

Ces choix de conventions sont plutôt des habitudes, si on combine toutes les possibilités de convention, même en se limitant au 2D, on trouve 8 conventions possibles:

N> 0 en compression ou N >0 en traction

V>0 vers le haut ou ou V>0 vers le bas pour les efforts de gauche

M>0 pour fibre inférieure tendue ou M>0 pour fibre supérieure tendue

Aucune n’a la suprématie sur les autres, il faut savoir jongler avec chacune, si on veut comprendre les ouvrages écrits. Préciser si besoin au début de la note de calcul la convention choisie.

Pour éviter de répéter à chaque fois cette convention nous utiliserons celle utilisée par les ingénieurs BA. N> 0 en compression V>0 vers le haut pour les efforts de gauche M>0 pour fibre inférieure tendue, représenté dans un repère indirect