ACOUSTIQUE Denis Duhamel - · PDF fileVibrations de poutres et de plaques. 2 ......

Module: ACOUSTIQUEResponsable du module: Denis Duhamel

Pierre Argoul

Vibrations de poutres et de plaques

INTRODUCTION

VIBRATIONS DE POUTRES MINCES DROITES

VIBRATIONS DE PLAQUES MINCES

Plaques vibrantes pour figures de Chladni

Ernst Chladni1756-1827

Lignes nodales pour une plaque carré fixée en son milieu

Exemplaire du lycée Champollion, Grenoble

Banc de trois plaques après expérience:le sable forme d'élégantes figures géométriques.

Académie des Sciences (France) en 1808

dessins originaux de la publication originale de Chladni

Sophie Germain remporta le prix en 1816

Sophie Germain 1776 - 1831

∂∂+

∂∂∂+

∂∂+

∂∂

Equation aux dérivées partielles gérant les vibrations transverses d’une plaque d’épaisseur h, masse volumique ρρρρ, de module d’Young E et de coefficient de Poisson νννν.

( )yxW ,

avec ( )2

112 ν−= hE

G. Kirchoff donna une théorie plus correcte en 1850

Plaque rectangle encastrée suivant ses quatre côtés

0sinsin =

xm ππ

Equation gérant les lignes nodales (zéros des ondes stationnaires)

( côtés de longueur et )

Lignes nodales

1=n 2=n

3=n 4=n

Plaque carrée encastrée suivant ses quatre côtés

0sinsin =

xm ππ

Lignes nodales

0coscoscoscos =

xn ππππ

Plaque carrée encastrée en son milieu

Equation gérant les lignes nodales (zéros des ondes stationnaires)

m et n entiers

Lignes nodales

( côté de longueur )

1=n 2=n 3=n 4=n

5=m 5=m5=m

4=m 2=n

Plaque carrée encastrée en son milieu

0coscoscoscos =

xn ππππ

Lignes nodales

Equations du mouvement des milieux continus

FELVVVV ∂∪∂∪∂=∂

∅=∂∩∂EL

VV∅=∂∩∂FL

VV∅=∂∩∂FE

3Surface encastrée

Surface libre Surface où les forces extérieures

sont données

Rappels de MMC

Equations du mouvement des milieux continus

ijiji f

W +=∂

σρ dans ] [10 , ttV ×

lkijklij WC ,=σ dans ] [10,ttV ×

0=jij nσ

Equations de mouvement

Relation de comportement

Conditions aux limites

sur ] [10 , ttL

V ×∂

ii DW = sur ] [10 , ttE

V ×∂

jjij Fn =σ sur ] [10 , ttF

V ×∂

FELVVVV ∂∪∂∪∂=∂

Conditions initiales à 0tt =( )

∅=∂∩∂EL

∅=∂∩∂FL

∅=∂∩∂FE

Résolution des équations du mouvement des milieux continus

Résolution approchée complexité

numérique

Résolution analytique

+ hypothèses supplémentaires simplificatrices

Milieux continus mono ou bi-dimensionnels

poutres, plaques, coques

Méthodologie

Approche variationnelle

Aspect local

des équilibres des forces

Aspect énergétique global

Bases théoriques pour la construction

de modèles de Milieux Continus solides élastiques condensés

Dérivation directionnelle d’une fonctionnelle

Restriction des espaces fonctionnels sur lesquels s’effectue l’extrémalisation

Calculs d’extremums de fonctionnelles d’énergie

−−

∂∂

i dvft

σρ ] [10 , ttV ×famille d’ensembles

d’ouverts denses dansFD∈

−−

∂∂

∫ ∫ dtdvWft

t Viijij

i σρ ] [( )10

** , ttVWi ×Ω∈∀

=−σ−∂

ijiji f

Présentation locale

Présentation globale

Rappels

iW déplacements virtuels

Formulation variationnelle

∫ =D

dvMf 0)(FD∈∀famille d’ensembles D denses dans V

0)( ≡Mf dans V

Dérivée directionnelle

dérivée directionnelle de la fonctionnelle ( )iji

W σΨ ,

( )iji

par rapport ài

au point

( ) ( )ijiiiijiW WWd

dWW σλ

λσδ

* +Ψ=Ψ=

iii WWW λ+=*

iW Champ de déplacement virtuel

ijσchamp de déplacement vérifiant l’équation de mouvement

pour un champ de contraintes iW

Rappels

En utilisant la dérivée directionnelle

−−

∂∂

∫ ∫ dtdvWft

t Viijij

i σρ

dérivée directionnelle d’une fonctionnelle ( ),i ijW σΨ

( )iji

W σΨ ,:Ψ ( )

ijiW σ,

Σ×Ω IR

≡fonctionnelle

dtdvWft

t Viijij

i∫ ∫1

−−

∂∂

Formulation variationnelle

Autre écriture

Recherche extrémum de cette fonctionnelle ( )iji

W σΨ , par rapport ài

iii WWW λ+=

( ) ( )* *

, , , 0W i ij i i i ij

dW W W W

δ σ λ σλ =

Ψ = Ψ + =

Champ de déplacement virtuel *

iW∀( ) 0=*,, iijiW WW σΨδ

( ) dt

dvSWft

Vklijklijiiijij

iji ∫∫

∂∂

σσεσρσ

Fonctionnelle de Reissner

klijklijS σ=ε

( )ijiWR σ,

1( )iji

W σ,RR

Σ×Ω IR] [( )10ttV

R,×Ω

] [( )10ttV

R,×Σ

( ) ),(, tMDtMWii

= sur ] [10 , ttE

V ×∂

),(),(

tMWtMW

=VM ∈∀

type mixte (1874-1967)

Hans Jacob Reissner

Les fonctionnelles usuelles

( ) dt

dvSWft

Vklijklijiiijij

iji ∫∫

∂∂

σσεσρσ

( ) ( ) 0,

( ) RRijiW Σ×Ω∈σ,

ijiji f

W +=∂

σρ ] [10 , ttV ×dans

klijklij S σε = dans ] [10 , ttV ×

0=jij nσ sur ] [10 , ttL

V ×∂

ii DW = sur ] [10 , ttE

V ×∂

ijij Fn =σ sur ] [10 , ttF

V ×∂

Imposé a priori

( ) dt

dvWfCt

Viiklijklij

i ∫∫

∂∂

εερ

Fonctionnelle de Hamilton

( )iWH 1( )iW

RΩ IR

] [( )10 , ttVR ×Ω

( ) ),(, tMDtMW ii = sur ] [10 , ttE

V ×∂

),(),(

tMWtMW

=VM ∈∀

type déplacement

( ) dt

dvWfCt

Viiklijklij

i ∫∫

∂∂

εερ

Fonctionnelle de Hamilton

( ) 01 =iW WHδ

( ) ijklijkl

W +=∂

0=jklijkl nC ε

ii DW =

ijklijkl FnC =ε

] [10 , ttV ×dans

sur ] [10 , ttL

V ×∂

sur ] [10 , ttE

V ×∂

sur ] [10 , ttF

V ×∂

INTRODUCTION

VIBRATIONS DE POUTRES MINCES DROITES

VIBRATIONS DE PLAQUES MINCES

2 1 2 3( , , , )W x x x t

1 2 3( , , , )ij x x x tσ

1 1 2 3( , , , )W x x x t

3 1 2 3( , , , )W x x x t

Vibrations des poutres droites

• Définition d’une poutre droite:

b et h << L (<L/10)

• Champ des déplacements

• Tenseur des contraintes

1842 –1929

Joseph Boussinesq

axe 1 priviligié : (x2=0 et x3=0)

2 1( , )ix W x t

développement en série de Taylor

1 2 3 1 2 1 3 1

2 2 2 22

321 1 2 3 12 2

2 3 2 3

( , , , ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, )

( ,0,0, ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, )2 2

i ii i

W WW x x x t W x t x x t x x t

W x W Wxx t x t x x x t

x x x x

∂ ∂= + +∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + +∂ ∂ ∂ ∂

composantes du déplacement

• Hypothèses simplificatrices (ou de condensation)

passage d’un milieu tridimensionnel

à un milieu monodimensionnel

),,( 321 xxx

limitation aux termes linéaires

3 1( , )ix W x t

(0) (2) (3)

1 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +(0) (2) (3)

2 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +(0) (2) (3)

3 1 2 3 3 1 2 3 1 3 3 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +

1( , )iW x t(2) (3)

2 1 3 1( , ) ( , )i ix W x t x W x t+

1( , )iW x t (2)

1( , )iW x t

1 1( , )W x t (2)

1 1( , )W x t (3)

1 1( , )W x t(2)

2 1( , )W x t(0)

2 1( , )W x t (3)

2 1( , )W x t(2)

3 1( , )W x t (3)

3 1( , )W x t(0)

3 1( , )W x t

(0) (2) (3)

Champ de déplacement

( ) dt

dvWfCt

Viiklijklij

i ∫∫

∂∂

εερ

Fonctionnelle de Hamilton ( )iWH 1( )iWRΩ IR

] [( )10 , ttVR ×Ω iW

( ) ),(, tMDtMW ii = sur ] [10 , ttE

V ×∂

),(),(

tMWtMW

=VM ∈∀

type déplacement

Vibrations des poutres droitesChamp de déplacement

( ) 01 =iW WHδ

Extrémalisation de la fonctionnelle de H

champ de déplacement virtuel ( ) 0=*,, iijiW WW σΨδ *

Rappel

Vibrations longitudinales

des poutres droites

),(),,,(

333213

223212

txWxtxxxW

txWtxxxW

Effet Poisson

0),,,(

),(),,,(

txWtxxxW

(plusieurs approximations)

• Equation de vibrations longitudinales des poutres

droites

Vibrations longitudinales des poutres droites

Au niveau des contraintes

)1,1(),(0),,,(

),(),,,(

1132111

jisitxxx

txtxxx

ijσσσ

Au niveau des déplacements

2 txWh

2 txWh−

3 txWb−

3 txWb

Effets des différents termes correspondant aux déplacements

Effet Poisson

( ) dt

dvSWft

Vklijklijiiijij

iji ∫∫

∂∂

σσεσρσ

Vibrations libres0

1dxSdv =

( ) dtdxSSWSt

∫ ∫

∂∂= 1

111111

1, σσσρσ

( ) ( ) 0,

WRW ( ) 0)0(

=∂∂−

∂∂ σρ S

Equation du mouvement longitudinal de la poutre

relation de comportement de la poutre

1 =+∂

∂− SSx

] [1, 0,t x L∀ ∀ ∈

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( ))0(

11 ,σWR

∂∂

∂∂−

∂∂

Equation du mouvement longitudinal de la poutre

relation de comportement de la poutre1

∂∂=σ

11111 =

Equations de la poutre en variables déplacement

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

( )(0)

W x tES

conditions aux limites

Extrémité libre ( ) 0,1

1 =txW

Extrémité encastrée ( )(0)

11 1, 0S x tσ =

3 types de conditions

Encastrée-encastrée

Encastrée-libre

Libre-libre

( ) 0,0)0(

1 =tW ( ) 0,)0(

1 =tLW

( ) 0,0)0(

1 =tW ( ) 0,)0(

11 =tLSσ

( ) 0,0)0(

11 =tSσ ( ) 0,)0(

11 =tLSσ

=x Lx =1

Vibrations transverses

des poutres droites

0),,,(

),(),,,(

223211

∂∂−=

txWtxxxW

WxtxxxW

Hypothèses

),,(),,,(

0),,,(

),,(),,,(

1232112

11232111

txxtxxx

txxxtxxx

σσσ

Champ de contraintes

(2,2)et)2,1(),1,1(),(0),,,( 321 ≠= jisitxxxijσ

Poutre d’Euler-Bernoulli

rotation de la section droite

Daniel Bernoulli Leonhard Euler(1707 –1783) ( 1700 –1782)

Vibrations transverses des poutres droites

Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( ))0(

11 ,σWR

( ) ( ) dtdxSIx

∫ ∫

∂−

∂∂+

∂∂∂= 1

11111132

11 , σσρρσ

Equation du mouvement

relation de comportement de la poutre

( ) ( ) ( )( ) 0,,,

=∂∂−

∂∂∂

∂∂+

∂∂− txI

txWS σρρ

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

11111132

3 =+∂

∂− σSIx

txWI ] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

conditions aux limites

( ) 0,1

2 =txWsoit ( ) 01

∂ txIx

2 =∂

txW ( )2

3 11 1 , 0I x tσ =

effort tranchant

moment fléchissant ( )txIM ,1

113 σ=

( )( )txIx

σ∂∂=

soit soit

conditions aux limites ( ) 0,1

2 =txW ( )0

2 =∂

∂∂

∂∂=

Equations de la poutre en variables déplacement

( ) ( )1

,,1),,(

∂∂=

∂∂=σ

( ) ( ) ( )0

∂∂

∂∂−

∂∂∂

∂∂+

∂∂−

txWS ρρ

31 =∂

txWIEM

relation de comportement

de la poutre

effet d’inertie rotationnelle

0),,,(

),(),,,(

123211

txWtxxxW

txWxtxxxWHypothèses

),,(),,,(

0),,,(

),,(),,,(

1232112

11232111

txxtxxx

txxxtxxx

σσσ

(2,2)et)2,1(),1,1(),(0),,,( 321 ≠= jisitxxxijσ

Poutre de Timoshenko

1878 –1972

Stephen Timoshenko

Extremum de la fonctionnelle de ReissnerCas d’un matériau orthotrope , poutre homogène

=∂∂

+−∂

∂+∂

WS ρρρ

11111 =

11212 =

Module d’YoungModule de Coulomb

Equation du mouvement de vibration de flexion transverse

de la poutre de Timoshenko

Poutre de Timoshenko

( ) ( )0

∂+∂

txWSρ

simplification d’écriture

Poutre homogène de section constante

( ) ( )0

∂+∂

txWSρ

encastrée

=∂∂x

appuyée

0=W( )

∂∂

∂∂=

txWEIM ( )

txWEIM

=∂∂x

0=x Lx =ou

Technique de séparation des variables ( ) )()(, tfxtxW φ=0

xdtfEI

φφρ

Cstedt

EI =−=2

1 φφρ

Etude suivant le signe de la constante 2

ω=Cste

tttf ωβωα cossin)( += xFxExDxCx ββββφ coshsinhcossin)( +++=

Sωρβ =

0)()( 2

=+ tfdt

tfd ω 0)()( 2

=− xEI

xd φωρφ

Calcul des fréquences et des modes propres

Vibrations transverses des poutres droitesPoutre d’Euler-Bernoulli

Utilisation des conditions aux limites

Encastrée-libre

Appuyée-appuyée

Équation transcendante aux valeurs propres

Libre-libre

Encastrée-appuyée

Libre-appuyée

0coscosh1 =+ XX

0sin =X

0coscosh1 =− XX

XX tanhtan =

nn XL =β S

X nnn ρρ

Équation transcendante aux valeurs propres

1A516.3

φvaleurs propres vecteurs propres

4A2A 3A

Vibrations libres de flexion des poutres droites Poutre d’Euler-Bernoulli

nnn AXL ==βS

X nnn ρρ

==)(xnφ

valeurs propresvecteurs propres

( )( )( )xFxExDxCtt

tfxtxW

nnnnnnnnnnnn

ββββωβωαφ

coshsinhcossincossin

++++==

( ) ( )

( )( )1 1

, , ( ) ( )

sin cos sin cos sinh cosh

n n n n n n n n n n n n

W x t W x t x f t

t t C x D x E x F x

α ω β ω β β β β

∞ ∞

= + + + +

∑ ∑

Solutions élémentaires

Solution générale

nα nβetConditions initiales

Modes propres - Orthogonalité

1er mode 2ème mode 3ème mode 4ème mode

Encastrée-libre

Ann ρ

pulsations propres

)(xnφdéformées modales

noeudsventres

Cx nnℓ

πφ sin)( =

Appuyée-appuyée

Ann ρ

pulsations propres

Libre-libre

Encastrée-appuyée

Ann ρ

pulsations propres

Vibrations libres de flexion des poutres droites

)()( 2

i φωρφ =

j φωρφ=

intégration suivant

2 fréquences propres différentes ji ωω ≠

∫∫ =L

Li dxxx

)()()()( φφωρφφ

∫∫ =L

L jdxxx

)()()()(

φφωρφφ

intégration par parties (2 fois)

[ ]Lx,0

∫∫ =L

jLi dxxx

∫∫ =L

jLi dxxx

2 fréquences propres différentes ji ωω ≠

0)()(0

ji dxxx φφ

=∫ dxdx

xd jLi

φφOrthogonalité des modes propres

0 0( ) ( ) ( ) ( )

j i j i i jx x dx x x dxω φ φ ω φ φ=∫ ∫

2 20 0

( )( )( ) ( ) 0

L Ljii i j

d xd x Sdx x x dx

dx dx EI

ϕϕ ρ ω ϕ ϕ= =∫ ∫

0( ) ( ) 0

i jx x dxφ φ =∫

)()( 2

i φωρφ = )(xiφ×+ intégration suivant [ ]Lx ,0∈

∫∫ =L

Li dxx

)()()( φωρφφ

intégration par parties (2 fois)

i dxdx

2 )(φ∫=

i dxxSmi0

2 )(φρmasse modale du mode i

rigidité modale du mode i

Rigidité et masse modales

Vibrations forcées de flexion des poutres droites

Réponse à une excitation extérieure : superposition modale

( ) ( )),(

txWS =

∂∂+

∂∂ρ ] [Lx ,0∈∀

Conditions initiales

0>∀t

Par exemple : appui simple aux extrémités x=0 et x=L

0),0( =tW

0),( =tLW

)()0,( 0 xdxW = )()0,(

xW =∂

Ann ρ

=)(xnφ Base de l’espace fonctionnel des solutions

( )∑

∑∞

coshsinhcossin)(

nnnnnnnnn

xFxExDxCta

taxtxW

ββββ

ρ ωβ =

xFxExDxCx nnnnnnnnn ββββφ coshsinhcossin)( +++=

( ) ( )),(

txWS =

∂∂+

∂∂ρOn reporte dans

( ) ∑∞

)()(,n

nn taxtxW φ avec

i dxdx

2 )(φ∫=

i dxxSmi0

2 )(φρ

Orthogonalité des modes propres

puis intégration sur )(xiφ× [ ]Lx ,0∈

)()()( tPtaktam iiiii =+ɺɺ

i dxxtxpPi0

)(),( φ

( ) ∑∞

)()(,n

nn taxtxW φ

i dxdx

2 )(φ ∫=L

i dxxSmi0

2 )(φρ

)()()( tPtaktam iiiii =+ɺɺ

i dxxtxpPi0

)(),( φ

Conditions initiales)()0()()0,( 0

xdaxxWn

nn∑∞

)()0()()0,(

nn∑∞

∂ɺφ

i dxxdxm

i00 )()()0( φρ

Orthogonalité des modes propres

i dxxvxm

i00 )()()0( φρ

)()0,( 0 xdxW =

)()0,(

xW =∂

∂avec

INTRODUCTION

VIBRATIONS DE POUTRES DROITES

VIBRATIONS DE PLAQUES

• Définition d’une plaque mince:

h << L et b

• plan priviligié : (x3=0)

développement en série de Taylor

⋯+∂∂+= ),0,,(),0,,(),,,( 21

321321 txxx

WxtxxWtxxxW i

⋯+∂∂

+= ),0,,(),0,,(),,,( 21

321321 txxx

xtxxtxxxij

σσσ

composantes de déplacement

composantes du tenseur de contraintes

Vibrations des plaques minces

),,(),,(),,,( 21

321 txxWxtxxWtxxxW iii +=• Approximation des champs sous les formes

• Séparation des états vibratoires en mouvements indépendants

vibrations dans le plan de la plaque

vibrations transverses

),(),(),(),,,( 1

321 txxtxxtxtxxx ijijijij σσσσ ++=

passage d’un milieu tridimensionnel

à un milieu bidimensionnel

),,( 321 xxx

),( 21 xx

le plan moyen (équivalent de la courbe moyenne des poutres) est initialement plan

Hypothèses

Théorie usuelle des plaques minces, ou théorie de Love-Kirchhoff,

modèle de Kirchhoff :

les sections normales au feuillet moyen

restent normales lors de la déformation ;

en conséquence, on peut négliger le cisaillement ;

l'épaisseur est faible ;

en conséquence,

les contraintes dans le sens de l'épaisseur

sont supposées nulles ;

le feuillet moyen (équivalent de la fibre neutre des poutres)

ne subit pas de déformation dans son plan ;

on ne considère que le déplacement transversal w des points du feuillet moyen

on reste en petites déformations.

Déformation d'une plaque mince

plaque mince

élément de matière

feuillet moyen

fibre normale

Vibrations dans le plan

0),,,(

),,(),,,(

txxWtxxxW

),,(),,,(

1232112

2232122

1132111

txxtxxx

σσσσσσ

(2,2)et)2,1(),1,1(),(

0),,,( 321

txxxijσ

Hypothèses

),,(),,,(

233212

133211

txxWtxxxW

txxWxtxxxW

0),,,(

),,(),,,(

2332123

1332113

12332112

22332122

11332111

txxtxxx

txxxtxxx

σσσσσ

σσσσσσ

Hypothèses de Mindlin

prise en compte du cisaillement transversal

),,(),2

232123

132113

=±0),

En réalitéIncompatibilité des contraintes de cisaillement avec les conditions de surface libre pour

23hx ±=

Raymond D. Mindlin(1906 – 1987)

),,(),,,(

333212

333211

txxWtxxxW

txxWxtxxxW

∂∂=

0),,,(

),,(),,,(

12332112

22332122

11332111

txxxtxxx

σσσ

σσσσσσ

Hypothèses de Love-Kirchoff

cisaillement transversal nul

rotation de la section droite

Gustav Kirchhoff

(1824-1887) (1863-1940)

A. E. H. Love

Fonctionnelle de Reissner ( )ijiWR σ,

matériau homogène et isotropeépaisseur de plaque constante et égale à h

( ) ( )( ) ( )

tiji ∫ ∫

+−++

∂∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂

σσνσσσ

σσσ

Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( )ijiWR σ,

relation de comportement de la plaque

∂∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂∂+

∂∂∂−

∂∂

σσσρρ

∂∂∂

∂∂

−−

−−=

ννν

σσσ

Conditions aux limites 0)0(

3 =Wsoit

( ) ( )( )2

2 nnnns

nT −+−

∂∂+

∂∂−= σσσρ

effort tranchant

moment fléchissant

11 2 nnnnIM σσσ ++=

3 =∂

∂∂+

∂∂∂+

∂∂−

∂∂∂+

∂∂−

Wh ρρ

( )21 ν−= EI

∂∂+

∂∂∂−+

∂∂+

∂∂= 2

WDM ννν

( ) ( ) ( )

∂∂∂−++

∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂= 2

141 nnxx

nT ννρ

bilaplacien

∆−

∂ρ−

( ) ( )2

2 1121 νν −=

−= hEEI

bilaplacien

( ) 02

=∆+∂

Encastrée sur le bord x=00),,0( =

∂∂

0),,0( =tyW

Simplement appuyée sur le bord y=0

0),0,( =txW

0),0,(),0,(

),0,(2

∂∂+

∂∂=

txWDtxM υ

0),0,(

∂∂

Libre sur le bord x=L0

),,(),,(),,(

∂∂+

∂∂=

tLxWDtLxM υ

)2(),,(

∂∂∂−+

∂∂=

tLxWDtLxT υ

),,( tyxW

bilaplacien

Difficile à résoudre par voie analytique

Plaques de géométrie rectangulaire ou circulaire

Conditions aux limites particulières

Séparation des variables temps et espace

Séparation des variables d’espace

Décomposition en équation produit

)(),(),,( tgyxftyxW =

)()(),( 21 yfxfyxf =

1 équation différentielle en temps

1 équation aux dérivées partielles en espace

112 ν−= hE

D( ) 02

=∆+∂

Résolution par séparation des variables

Csteyxfh

∂∂∂+

∂∂+

∂∂

−=),(

Constante nulle 0)(

=∂∂

∂+∂∂+

∂∂

f yExDCyxf ++=),(

BAttg +=)(

( )( )yExDCBAttyxW +++=),,(

temps / espace

3 cas Constante nulle Constante négative Constante positive

( ) 02

=∆+∂

Whρ ( )2

112 ν−= hE

Constante négative

0)()( 2

=+ tgdt

tgd ω

2ω−=Cste

0),(2),(22

∂∂∂+

∂∂+

∂∂+− yx

fDyxfhρω

)sin()cos()( tBtAtg ωω +=

1ère technique : séparation des variables d’espace

)()(),( 21 yfxfyxf = 0),(22

+++− yx

fdDffhρω

xkeAxf 1)(1 =

ykeAyf 2)(2 =

( ) 022

2 =++− kkDhρω ( )h

ω±=+ 2

ωγγ +=+ 2

ωδγ −=+ 2

xxebeaxf 11

111 )(γγ −+=

yyyyedecebeayf 2222

22222 )(δδγγ −− +++=

2ème technique : factorisation de l’équation aux dé rivées partielles

0),(2),(22

∂∂∂+

∂∂+

∂∂+− yx

fDyxfhρω

∂⋅∂+

∂⋅∂

∂⋅∂+

∂⋅∂

ρωρω

∂⋅∂+

∂⋅∂ + yxf

∂⋅∂+

∂⋅∂ − yxf

),(),( yxfyxf −+ +

est solution de (1)

recherche de la solution de 0),(2

∂⋅∂+

∂⋅∂ + yxf

sous la forme ykxkeeyxf 21),( =+

ωγ −=

( )( )yyxxebeaebeayxf 2211

2211),(γγγγ −−+ ++=

de même pour 0),(2

∂⋅∂+

∂⋅∂ − yxf

( )( )yyxxebeaebeayxf 2211

2211),(δδγγ −−− ++=

ωδ −−=

),(),(

yxfyxf

−+ +=

PLAQUES RECTANGULAIRES

( ) 02

=∆+∂

)1(12 2

υ−= hE

211 /1002,2 mNE = 3.0=υ3/85.7 mKg=ρ mh 3105 −=

Encastrée sur le bord x=00),,0( =

∂∂

0),,0( =tyW

Simplement appuyée sur le bord y=0

0),0,( =txW

0),0,(),0,(

),0,(2

∂∂+

∂∂=

txWDtxM υ

0),0,(

∂∂

( ) 02

=∆+∂

)1(12 2

υ−= hE

Plaque appuyée sur deux bords opposés

appuyée sur le bord x=0

appuyée sur le bord x=L

0),,0( =tyW

0),,( =tyLW

0),,0(

)sin()cos()( tBtAtg ωω +=

)()(),( 21 yfxfyxf =xx

ebeaxf 11

111 )(γγ −+=

yyyyedecebeayf 2222

22222 )(δδγγ −− +++=

( ) ( )( )

+== yb

ntBtAtgyxftyxW nmnmnmnmnmnm

ππωω sinsinsincos)(),(),,(

Plaque appuyée sur ses quatre bords

ππρ

∑∑∞

),,(),,(n m

nm tyxWtyxW

( ) 02

=∆+∂

)1(12 2

υ−= hE

Libre sur le bord y=b0

),,(),,(),0,(

∂∂+

∂∂=

tbxWDtxM υ

0),0,(

∂∂

(1,1)(2,1)

(3,1)(1,2)

MODES de PLAQUES RECTANGULAIRES

PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE

Hzf 40,131 =Hzf 42,172 =

Hzf 12,243 =Hzf 58,496 =

mode 1 mode 2

mode 3mode 6

nCtyxW nmnm

ππsinsin),,(

(b = 1 m)

(2,2) (3,2)

Hzf 30,608 =Hzf 60,537 =

Hzf 04,14222 =

mode 7

mode 8

mode 22

PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE

nCtyxW nmnm

ππsinsin),,(

Mode multiple

),,(),,(),,( 1,622,31 tyxWKtyxWKtyxW +=

Dnm ρ

bnm ρ

(b = 1 m)

( )412

2,3 +=h

b ρπω

( )142

1,6 +=h

b ρπω

même fréquence

PLAQUE ENCASTREE

Hzf 321 = Hzf 3,352 =

PLAQUE LIBRE

(1,1)(2,1)

mode 1 mode 2

mode 3

Hzf 91.21 =

Hzf 42.52 =

Hzf 10.82 =

PLAQUE ENCASTREE LIBRE

Hzf 2441

,= Hzf 0511

,= Hzf 2601

Analogie avec les poutres Mode de flexion

mode 1

1=bL 2=

Hzf 38102

,= Hzf 5142

,= Hzf 6312

Analogie avec les poutres

Mode de torsion

mode 2

(b = 1 m)

Mode de flexion Mode de torsion

Lignes nodales

1=bL 2=

Hzf 08263

,=Hzf 556

3,= Hzf 102

Analogie avec les poutres

mode 3

(b = 1 m)

Mode de flexion Mode de torsion

Lignes nodales

Mode de flexion

PLAQUE EN L

(b = 1 m)

mode 1

mode 2

mode 3

Hzf 38102

Hzf 7001

Hzf 8843

encastrée sur AB et libre ailleurs

ACOUSTIQUE Denis Duhamel - · PDF fileVibrations de poutres et de plaques. 2 ......

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