Aide mémoire traitementdu signal par [ electromcanique.com](1)
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- 1. SCIENCES SUPAide-mmoire IUT Licence Master coles dingnieurs
AIDE-MMOIRE TRAITEMENT DU SIGNAL Francis Cottet
- 2. TRAITEMENT DU SIGNAL
- 3. Illustration de couverture : Lionel Auvergne Nouvelle
prsentation, 2005 Dunod, Paris, 2000 ISBN 2 10 049690 5
- 4. Seuls les esprits cultivs sont libres pictte, 1er sicle mes
parents, Franoise, Joseph et Maza
- 5. Table des matiresAVANT-PROPOS XINOTATIONS ET ABRVIATIONS
XIII PARTIE 1 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUESCHAPITRE 1
DFINITIONS ET REPRSENTATION DES SIGNAUX 31.1 Dnitions 31.2
Reprsentation des signaux 7CHAPITRE 2 TRANSFORMATIONS DE FOURIER
132.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 132.2 Analyse
spectrale des fonctions non priodiques 24
- 6. VIII Table des matiresCHAPITRE 3 SYSTMES DE TRANSMISSION.
FILTRAGE 313.1 Systmes de transmission 313.2 Filtrage 363.3
Corrlation 50CHAPITRE 4 MODULATION DES SIGNAUX 574.1 Introduction
574.2 Modulation damplitude 604.3 Modulation exponentielle
69CHAPITRE 5 SIGNAUX ALATOIRES. BRUIT 915.1 Signaux alatoires 915.2
Le bruit 100 PARTIE 2 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX NUMRIQUESCHAPITRE
6 NUMRISATION DES SIGNAUX 1116.1 chantillonnage 1116.2 Quantication
du signal chantillonn 1316.3 Restitution du signal 135CHAPITRE 7
ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX DISCRETS 1497.1 Les diffrentes
reprsentations frquentielles 1497.2 Transforme de Fourier discrte
1517.3 Transforme de Fourier rapide 1567.4 Convolution et
corrlation numriques 1637.5 Les fentres de pondration 167
- 7. Table des matires IXCHAPITRE 8 FILTRAGE NUMRIQUE 1798.1
Introduction 1798.2 Synthse des ltres numriques rponse
impulsionnelle innie 1878.3 Synthse des ltres numriques rponse
impulsionnelle nie 2028.4 Ralisation des ltres numriques 2058.5
Techniques avances de ltrage numrique 210ANNEXES 213A.1 Impulsion
de Dirac 213A.2 Fonctions mathmatiques utilises en traitement du
signal 216A.3 Transforme de Laplace 224BIBLIOGRAPHIE 227LEXIQUE
ANGLAIS-FRANAIS 229INDEX 231
- 8. Avant-proposLe contenu et lorganisation de ce livre ont t
dvelopps partir de lidedirectrice selon laquelle, dans une
application de mesures, de tests ou decontrle dun procd physique,
le concepteur se trouve confront deschoix de traitements des
signaux mettre en uvre an de rpondre ces besoins. Lefcacit, leffet
produit, la ncessit, la validit du rsultatsont autant de questions
auxquelles il est difcile de rpondre sans uneconnaissance et une
pratique minimum de la discipline que constitue letraitement du
signal. Ce livre est compos de deux grandes parties : le traitement
des signauxanalogiques (partie 1) et le traitement des signaux
numriques (partie 2).Les cinq premiers chapitres sont consacrs aux
bases du traitement dessignaux analogiques et les trois suivants
traitent des signaux numriques. Le chapitre 1 prsente les dnitions
ncessaires la comprhensionde louvrage. Il permet de plus de prciser
les diffrentes reprsentationsdes signaux et de xer les notations
utilises par la suite. Le chapitre 2 est
- 9. XII Avant-proposconsacr aux transformations de Fourier des
signaux analogiques prio-diques et non priodiques qui constituent
la base du traitement des signaux.Cette analyse spectrale des
signaux analogiques permet de bien dcrire lareprsentation duale de
tous signaux : temps et frquence. Le chapitre 3prsente la thorie
gnrale des systmes de transmission et traite du l-trage analogique.
Cette prsentation permet ainsi une extension tous lestypes de ltres
et de sollicitations de ces ltres. Le chapitre 4 tudie undes
aspects importants du traitement des signaux : la modulation. Les
m-thodes les plus utilises y sont prsentes. Le chapitre 5 aborde le
traite-ment des signaux alatoires en particularisant ltude au
signal de bruit . La transformation des signaux analogiques en
signaux numriques esttudie en dtail au chapitre 6. Ce chapitre, qui
prsente en particulier lethorme dchantillonnage, est sans doute le
plus important de cet ou-vrage. Le chapitre 7 est consacr lanalyse
spectrale des signaux num-riques. Le chapitre 8 prsente les
concepts de base du domaine trs richeque constitue le ltrage
numrique avec des applications simples de di-verses mthodes.
Laspect thorie du signal a volontairement t limit au strict
n-cessaire pour la comprhension des modles utiliss. Les bases
mathma-tiques indispensables et utiles sont rappeles avec un
maximum de simpli-cit et de concision en annexe. Ce livre na pas
pour but dtre un ouvrage exhaustif. Dans cet ouvrage,nous nous
contenterons dune approche pragmatique. En effet, il existe
denombreux ouvrages qui dcrivent de faon complte toutes les
mthodeset techniques utilises dans le domaine du traitement du
signal, sujet trsvaste et en constante volution. Par contre, il est
destin aux tudiants quidsirent acqurir une formation de base dans
les techniques du traitementdu signal. De plus cet ouvrage offre un
outil de base tous les technicienset ingnieurs qui travaillent dans
le domaine du test, de la mesure ou ducontrle de procds. Ainsi cet
ouvrage permettra son lecteur de sinitierrapidement aux bases du
traitement des signaux an de les mettre en uvrede faon
pertinente.
- 10. Notations et abrviationsxy Produit de convolutionArctg (x)
Fonction arctangenteb(t) Signal bruitcos(x) Fonction
cosinusodaleCAN Convertisseur analogique-numriqueCNA Convertisseur
numrique-analogiqueCovxy (t) Fonction de covarianceCxx (t) Fonction
dautocorrlationCxy (t) Fonction dintercorrlation xe Fonction
exponentielle nEsp [x ] Esprance de xn ou moment dordre n de la
variable xf Frquence
- 11. XIV Notations et abrviationsF Transforme de FourierFFT
Transforme de Fourier rapidegfen (t) Fonction de la fentre de
pondrationh(t) Rponse impulsionnelle ou percusionnelle dun ltreH(f
), H(p) ou H(z) Fonction de transfert dun ltreJn (x) Fonction de
Bessel de premire espce dordre nL Transforme de Laplacelog(x)
Fonction logarithme base 10Ln (x) Fonction logarithme nprienm
Moyenne temporelleOMA Onde module en amplitudeOMF Onde module en
frquencep Frquence complexe (oprateur de Laplace)PgnT0 (x) Peigne
de Dirac (suite de pic de Dirac)q Quantum de conversionrxy
Coefcient de corrlations(t) Signal temporels (t) Complexe conjugu
de la variable s(t)s (t) Moyenne temporelle du signal s(t)se (t)
Signal temporel chantillonnse,P (t) Signal temporel chantillonn
tronqu ou limit tem- porellementS(f ) Transforme de Fourier du
signal s(t)Se (f ) Transforme de Fourier du signal chantillonn se
(t)Se,P (f ) Transforme de Fourier du signal chantillonn tron- qu
se,P (t)
- 12. Notations et abrviations XVsin(x) Fonction
sinusodalesinc(x) Fonction sinus cardinal [sin(px)/(px)]sind (t)
Rponse indicielle (rponse au signal u(t))Sxx (f ) Densit spectrale
ou spectre en puissanceSxy (f ) Densit spectrale dinteractiont
TempsTz Transforme en zTFD Transforme de Fourier discrteTe (= 1/Fe
) Priode dchantillonnage dun signalT0 (= 1/F0 ) Priode dun
signalu(t) chelon unit ou fonction de HeavisideVe Tension dentreVs
Tension de sortiewmk N Fonction ej2pkm/Nd(x) Pic de DiracGxy (t)
Fonction de corrlation statistiqueLt (t) Fonction triangle de base
gale tv, V Pulsation (= 2pf )Pt (x) Fonction porte de largeur tsx
cart type de la variable x
- 13. PARTIE 1 Le traitementdes signaux analogiques
- 14. Chapitre 1 Dnitions et reprsentation des signaux1.1
DFINITIONS1.1.1 Dnitions de baseUn signal est la reprsentation
physique de linformation quil transportede sa source son
destinataire. Il sert de vecteur une information. Ilconstitue la
manifestation physique dune grandeur mesurable (courant,tension,
force, temprature, pression, etc.). Les signaux, considrs dansce
livre, sont des grandeurs lectriques variant en fonction du temps
s(t)obtenues laide de capteurs. Mais le traitement du signal
sapplique tousles signaux physiques (onde acoustique, signal
optique, signal magntique,signal radiolectrique, etc.). Le
traitement dimages peut tre considrcomme une extension du
traitement du signal aux signaux bidimensionnels(images).
- 15. 4 1 Dnitions et reprsentation des signaux Le bruit est dni
comme tout phnomne perturbateur gnant la per-ception ou
linterprtation dun signal, par analogie avec les
nuisancesacoustiques (interfrence, bruit de fond, etc.). La
diffrentiation entre lesignal et le bruit est articielle et dpend
de lintrt de lutilisateur : lesondes lectromagntiques dorigine
galactique sont du bruit pour un ing-nieur des tlcommunications par
satellites et un signal pour les radioas-tronomes. La thorie du
signal a pour objectif fondamental la description ma-thmatique des
signaux. Cette reprsentation commode du signal per-met de mettre en
vidence ses principales caractristiques (distributionfrquentielle,
nergie, etc.) et danalyser les modications subies lors dela
transmission ou du traitement de ces signaux. Le traitement du
signal est la discipline technique qui, sappuyant surles ressources
de llectronique, de linformatique et de la physique appli-que, a
pour objet llaboration ou linterprtation des signaux. Son
champdapplication se situe donc dans tous les domaines concerns par
la percep-tion, la transmission ou lexploitation des informations
vhicules par cessignaux. Le traitement de linformation fournit un
ensemble de concepts per-mettant dvaluer les performances des
systmes de transfert dinforma-tions, en particulier lorsque le
signal porteur de message est bruit. Celainclut les mthodes de
codage de linformation dans le but de la r-duction de redondance,
de la correction des erreurs, de la condentialit(cryptage).
Lensemble des concepts et mthodes dvelopps dans le trai-tement de
linformation et du signal forme la thorie de la
communica-tion.1.1.2 Principales fonctions du traitement du
signalLes fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en
deux catgo-ries : llaboration des signaux (incorporation des
informations) et linter-prtation des signaux (extraction des
informations). Les principales fonc-tions intgres dans ces deux
parties sont les suivantes :
- 16. 1.1 Dnitions 5 laboration des signaux : synthse : cration
de signaux de forme approprie en procdant par exemple une
combinaison de signaux lmentaires ; modulation, changement de
frquence : moyen permettant dadapter un signal aux caractristiques
frquentielles dune voie de transmission ; codage : traduction en
code binaire (quantication), etc. Interprtation des signaux :
ltrage : limination de certaines composantes indsirables ; dtection
: extraction du signal dun bruit de fond (corrlation) ;
identication : classement dun signal dans des catgories prala-
blement dnies ; analyse : isolement des composantes essentielles ou
utiles dun signal de forme complexe (transforme de Fourier) ;
mesure : estimation dune grandeur caractristique dun signal avec un
certain degr de conance (valeur moyenne, etc.).1.1.3 Les systmes
numriquesLes qualits actuelles du traitement numrique de
linformation conduisent son dveloppement pour rsoudre les problmes
de contrle/commandede procds industriels. Le systme de traitement
numrique, schmatissur la gure 1.1, va raliser la saisie de
linformation, traiter ces informa-tions suivant un programme de
contrle (rgulation, ltrage numrique,etc.) et daprs des valeurs de
consignes entres par lutilisateur, envoyerdes signaux de commande
au processus industriel pour atteindre le com-portement recherch.
Le systme numrique prsente, en effet, un grandnombre davantages par
rapport un contrle de processus par un systmeanalogique :
- 17. 6 1 Dnitions et reprsentation des signaux reproductibilit
des systmes (circuits logiques) ; stabilit : pas de drive en temps
ou en temprature ; adaptabilit et souplesse demploi (modication du
programme) ; abilit : circuits trs grande intgration ; rapidit :
jusqu 10 ms environ en temps rel. Les grandeurs physiques
(mouvement mcanique, variation de temp-rature, etc.) lies aux
procds physiques contrls mis en jeu doivent tretransformes en
signaux analogiques lectriques (courant ou tension) : celaest le
rle des capteurs ou transducteurs (quartz, thermocouple,...) dans
lecas de la mesure. Inversement, la commande au niveau du processus
estfaite laide dactionneurs ou rcepteurs (moteur, vanne,...) qui
trans-forment le signal analogique lectrique reu en grandeurs
physiques (ner-gie mcanique, chaleur, etc.). Procd Actionneur
physique Capteur signal signal analogique analogique Interface de
conversion Interface de conversion numrique/analogique
numrique/analogique signal signal numrique numrique Systme numrique
de contrle/commande Figure 1.1 Chane dacquisition et de restitution
de donnes dun procd physique pilot par un systme numrique. Dans le
cas des traitements par des systmes numriques, ces
signauxanalogiques transmis ou reus seront transforms en signaux
numriques.Ce rle est rempli par des interfaces lectroniques
spcialises qui sontcomposes de diffrents lments : les
convertisseurs analogiques-num-riques et numriques-analogiques, les
chantillonneurs-bloqueurs, les
- 18. 1.2 Reprsentation des signaux 7multiplexeurs, les
amplicateurs gain programmable, etc. Les fonctionsdu traitement
numrique sont trs nombreuses : ltrage, analyse
spectrale,modulation, dtection, estimation, transcodage, gnration
de signaux, re-connaissance, correction, etc.1.2 REPRSENTATION DES
SIGNAUX1.2.1 Modlisation des signauxUn signal exprimental est une
grandeur physique et doit donc tre phy-siquement ralisable. Les
mesures macroscopiques analogiques, ralises partir dappareils de
mesures comme un oscilloscope, fournissent descourbes tension en
fonction du temps du type de celle reprsente surla gure 1.2. Ces
signaux physiques sont reprsents par des fonctions s(t) valeurs
relles dune variable relle t. Par consquent, le signal possdeles
caractristiques suivantes : nergie borne ; amplitude borne ;
continu temporellement ; causal (s(t) = 0 pour t < 0) ; spectre
du signal born (tend vers 0 lorsque f tend vers ). Mais sur le plan
thorique, pour la commodit du calcul et ltude decertains phnomnes,
les signaux sont reprsents par des fonctions : nergie thorique
innie ; avec des discontinuits (signal carr) ; dnies sur R (signaux
non causaux) ; spectre du signal inni ; valeurs complexes : s(t) =
Ae jvt = A (cos vt + j sin vt) (1.1)
- 19. 8 1 Dnitions et reprsentation des signaux signal : s(t )
amplitude borne temps : t support born Figure 1.2 Reprsentation dun
signal physique rel. Remarque : il est important de noter que
lintroduction de tels mo- dles mathmatiques ncessite une
interprtation des rsultats ob- tenus aprs traitement pour retrouver
ensuite la ralit.1.2.2 Classication des signauxPour faciliter ltude
des signaux, diffrents modes de classication peuventtre envisags :
reprsentation temporelle des signaux ; reprsentation spectrale ;
caractristique morphologique (signal continu ou discret).a)
Reprsentation temporelle des signauxLa premire classication, base
sur lvolution du signal en fonction dutemps, fait apparatre deux
types fondamentaux : les signaux certains (ou dterministes) dont
lvolution en fonction du temps peut tre parfaitement dcrite par un
modle mathmatique. Ces signaux proviennent de phnomnes pour
lesquels on connat les lois physiques correspondantes et les
conditions initiales, permettant ainsi de prvoir le rsultat ;
- 20. 1.2 Reprsentation des signaux 9 les signaux alatoires (ou
probabilistes) dont le comportement tempo- rel est imprvisible et
pour la description desquels il faut se contenter dobservations
statistiques. Parmi les signaux dterministes, on distingue les
signaux priodiquesdont les signaux sinusodaux sont un cas
particulier : s(t) = A sin 2p/T t + w (1.2)avec T la priode du
signal et w la phase. Les signaux non priodiques se composent dune
part des signaux pseudo-priodiques forms dune somme de sinusodes de
priodes diffrentes etdautre part des signaux transitoires dont
lexistence est limite dans letemps. Ces signaux certains peuvent en
principe tre reproduits rigoureuse-ment identiques eux-mmes. Dans
cet ouvrage nous nous intresseronsprincipalement ce type de
signaux, except le signal dit de bruit, qui faitpartie de la
deuxime catgorie. En ce qui concerne les signaux alatoires, ils
sont dits stationnaireslorsque leur valeur moyenne est indpendante
du temps, cest--dire queles rsultats de leur analyse statistique
restent les mmes quel que soitle moment o lon en observe une partie
dtermine. De plus ces signauxalatoires stationnaires sont
ergodiques sil est identique de faire unemoyenne statistique un
instant donn sur diffrents essais ou de faireune moyenne temporelle
sufsamment longue sur un seul de ces essais.b) Classication
spectraleUn signal peut tre class suivant la distribution de son
amplitude, sa puis-sance ou son nergie en fonction de la frquence
(spectre du signal). Ledomaine des frquences occup par son spectre
est aussi appel la largeurde bande spectrale du signal DF (cf. gure
1.3) : DF = Fmax Fmin
- 21. 10 1 Dnitions et reprsentation des signaux puissance du
signal F frquence : f Fmin Fmax Figure 1.3 Distribution spectrale
dun signal avec la dnition de la largeur de bande spectrale D F.
Cette caractristique, exprime en hertz (Hz), est absolue. Aussi il
estncessaire de la comparer au domaine de frquences dans lequel se
situele signal. En considrant la frquence moyenne Fmoy = (Fmax +
Fmin )/2, onpeut distinguer deux types de signaux : les signaux
bande troite avec DF/Fmoy petit (soit Fmax # Fmin ) ; les signaux
large bande avec DF/Fmoy grand (soit Fmax Fmin ). Pour les signaux
bande troite, il est possible de les classer par ledomaine de
variation de la frquence moyenne Fmoy : Fmoy < 250 KHz signaux
basses frquences (BF) 250 KHz < Fmoy < 30 MHz signaux hautes
frquences (HF) 30 MHz < Fmoy < 300 MHz signaux trs hautes
frquences (VHF) 300 MHz < Fmoy < 3 GHz signaux ultra hautes
frquences (UHF) Fmoy > 3 GHz signaux super hautes frquences
(SHF) Lorsque la frquence du signal devient trs grande,
pratiquement su-prieure quelques trahertz (THz = 1012 Hz), la
longueur donde lest le paramtre de rfrence (l = c/F avec c :
vitesse de la lumire300 000 Km/s) : 700 nm < l < 0,1 mm
signal lumineux infrarouge 400 nm < l < 700 nm signal
lumineux visible 10 nm < l < 400 nm signal lumineux
ultraviolet
- 22. 1.2 Reprsentation des signaux 11c) Les signaux analogiques
et numriquesLe temps est un paramtre important de classication.
Comme nous ve-nons de le voir, le traitement numrique des signaux
conduit faire ladistinction entre les signaux dits temps continus
(signaux continus) etles signaux dits temps discrets (signaux
discrets ou chantillonns). Unautre paramtre des signaux traits est
prendre en compte, cest lampli-tude qui peut aussi tre continue ou
discrte (quantie). Ainsi quatre formes de signaux, qui se
retrouvent dans un systme nu-mrique de contrle dun processus
physique, peuvent tre distingues(cf. gure 1.4) : signal amplitude
et temps continus (signal analogique) : s(t) ; signal amplitude
discrte et temps continu (signal quanti) : sq (t). Ce signal
correspond celui qui est fourni la sortie dun circuit convertis-
seur numrique-analogique pour la commande dun actionneur ; signal
amplitude continue et temps discret (signal chantillonn) : s(nTe ).
Ce signal, obtenu laide dun circuit chantillonneur-bloqueur, est
transmis un circuit convertisseur analogique numrique pour obte-
nir un signal numrique utilisable par un ordinateur ; signal
amplitude discrte et temps discret (signal logique ou num- rique) :
sq (nTe ). Ce dernier cas correspond en ralit une suite de nombres
cods en binaire. Ces nombres, utiliss au sein dun ordina- teur, se
transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type num- rique
0 V (0 logique) ou 5 V (1 logique) se propageant en parallle : 8
signaux pour un nombre cod sur 8 bits. On appelle numrisation dun
signal lopration qui consiste faire passer un signal de la
reprsentation dans le domaine des temps et des amplitudes continus
au domaine des temps et des amplitudes discrets. Cette opration de
numrisation dun signal peut tre dcompose endeux tapes principales :
chantillonnage et quantication.
- 23. 12 1 Dnitions et reprsentation des signaux La restitution
(ou linterpolation) constitue le processus inverse qui in-tervient
lors du passage du signal numrique au signal analogique : com-mande
dun actionneur. Ces trois tapes sont indissociables. En effet, le
signal, tant le supportphysique dune information, doit conserver au
cours de ces modicationstout le contenu informatif initial. Cette
condition, ajoute la notion decot limite dun systme, va tre la base
de la numrisation des signauxet de ltude du traitement numrique.
signal analogique : s(t ) signal quantifi : sq (t ) amplitude
amplitude temps temps signal chantillonn : s (nTe) signal numrique
: s q (nTe ) amplitude amplitude temps temps Figure 1.4
Classication morphologique des signaux.
- 24. Chapitre 2 Transformations de Fourier2.1 ANALYSE SPECTRALE
DES FONCTIONS PRIODIQUES2.1.1 Dveloppement en srie de FourierSi
s(t) est une fonction priodique de t, de priode T0 (= 1/F0 ), elle
peutscrire sous la forme dune somme de fonctions sinusodales et
cosinu-sodales de frquences f multiple de la frquence F0 , dite
frquence fon-damentale. Soit : s(t) = a0 + (an cos 2pnF0 t + bn sin
2pnF0 t) (2.1) n=1o an et bn sont les coefcients de la srie de
Fourier. Ils se calculent partir des relations suivantes : T0 1 a0
= s(t) d t = s(t) (2.2) T0 0
- 25. 14 2 Transformations de Fourieravec a0 appel valeur moyenne
ou composante continue T0 2 an = s(t) cos(2pnF0 t) d t pour n 1
(2.3) T0 0et T0 2 bn = s(t) sin(2pnF0 t) d t pour n 1 (2.4) T0 0 En
introduisant la reprsentation complexe, nous pouvons donner
uneforme plus gnrale de lexpression de ce dveloppement en srie de
Fou-rier : + s(t) = S (nF0 ) e j2pnF0 t (2.5) n= T0 1 1avec S (nF0
) = (an j bn ) = s(t) e j2pnF0 t d t pour n 1 2 T0 0et S (0) = a0 =
s(t) (2.6) Le concept de frquence ngative na pas de signication
physique. Ilpeut tre vu comme la traduction du sens de rotation de
la vitesse angulaireou pulsation (v = 2p f ). Ainsi la fonction
relle cos (vt) ou cos (2pft) peuttre exprime comme la somme de deux
fonctions complexes dans le plancomplexe (cf. gure 2.1) : cos (vt)
= 1/2 e jvt + ejvt Ces valeurs ngatives de la frquence sont
introduites uniquement dansun but de rendre symtrique la fonction
de reprsentation des frquences.Dans le cas de signaux rels, nous
avons : an = an et bn = bn Les coefcients du dveloppement S(nF0 )
sont en gnral une grandeurcomplexe qui peut scrire sous la forme :
S(nF0 ) = |S(nF0 )| e jwn (2.7)
- 26. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 15avec pour
module : |S(nF0 )| = a2 + b2 n n (2.8)et pour phase wn : wn = Arctg
bn /an (2.9) Partie imaginaire e j t t Partie relle t e j t cos ( t
)Figure 2.1 Introduction des frquences ngatives dans lexpression
des signaux.2.1.2 Reprsentations frquentiellesLes coefcients S(nF0
) reprsentent les composantes du spectre en fr-quence de s(t). En
introduisant limpulsion de Dirac d(x) qui est dcriteen annexes, la
reprsentation frquentielle du signal est forme de pics deDirac de
poids |S(nF0 )| rparties sur tout laxe des frquences positiveset
ngatives (cf. gure 2.2). Par convention, on dessine chaque raie en
luidonnant une hauteur proportionnelle son poids |S(nF0 )| . Il est
importantde noter que ce spectre S( f ) est en gnral complexe, form
dune partierelle et dune partie imaginaire, et devrait donc tre
reprsent dans unsystme trois dimensions : axe des frquences f , axe
de la partie ima-ginaire Im {S( f )} et axe de la partie relle Re
{S( f )}. Lexpression duspectre est la suivante : + S( f ) = S(nF0
) d ( f nF0 ) (2.10) n= T0 1avec S (nF0 ) = s(t) e j2pnF0 t d t
pour n 1 et S (0) = s(t) T0 0
- 27. 16 2 Transformations de Fourier La reprsentation
frquentielle ou le spectre en frquence S( f ) du si- gnal s(t) est
constitu de la composante continue la frquence 0, du fondamental la
frquence F0 (ou harmonique dordre 1) et des diff- rents harmoniques
aux frquences f = n F0 . Il est important de remar- quer que le
spectre dune fonction priodique, de priode T0 (= 1/F0 ), est
discontinu et compos de raies dont lcart minimum est, sur laxe des
frquences, F0 . Cette reprsentation complexe du signal distribue
donc, dans le domainefrquentiel, les contributions du signal
symtriquement de part et dautrede lorigine sur laxe des frquences :
cest la reprsentation spectrale bi-latrale S( f) (frquences
positives et ngatives). S(f ) |S(F0 ) | |S(F0)| |S(nF0) | |S(2 F0)
| |S(2 F0) | |S(nF0) | F0 |S(0)| f nF0 2F0 F0 0 F0 2F0 nF0 Figure
2.2 Reprsentation frquentielle bilatrale dun signal priodique de
priode T0 (= 1/F0 ). Seule la reprsentation unilatrale Srel ( f )
(spectres composs de fr-quences positives uniquement), calcule
directement partir des quations2.1 2.4 (srie de Fourier), est une
reprsentation relle qui peut tre obte-nue partir danalyseurs de
spectres ou de transformateurs de Fourier quiprsentent le module de
ce spectre. partir de lexpression initiale 2.1,nous pouvons crire :
s(t) = a0 + cn cos(2pnF0 t + wn ) (2.11) n=1avec cn = 2 |S(nF0 )| =
2 a2 + b2 n n
- 28. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 17 Les
coefcients cn reprsentent les amplitudes des composantes duspectre
rel Srel ( f ) en reprsentation unilatrale (cf. gure 2.3). Il est
trsais de passer de lune lautre des reprsentations par la relation
suivante : S( f ) = k Srel ( f ) (2.12)avec k = {2 si f > 0 ; 1
si f = 0 ; 0 si f < 0}.2.1.3 Quelques propritsNous avons une
correspondance unique entre la fonction x(t), son dvelop-pement en
srie de Fourier et par consquent sa reprsentation spectraleX( f ).
Nous crirons donc cette rciprocit sous la forme : F x(t) X( f )a)
Proprit de linarit F Ftant donn x(t) X( f ) et y(t) Y( f ), nous
avons : F A x(t) + B y(t) A X( f ) + B Y( f ) avec A et B des
constantes S rel(f ) c1 cn a0 c2 frquence : f 0 F0 2F0 nF0 Figure
2.3 Reprsentation frquentielle unilatrale dun signal priodique de
priode T0 (= 1/F0 ).b) Proprit de paritSi la fonction x(t) est
paire, alors les coefcients bn sont nuls : T0 1 1 X (nF0 ) = an =
x(t) cos (2pnF0 t) d t 2 T0 0
- 29. 18 2 Transformations de Fourier Si la fonction x(t) est
impaire, alors les coefcients an sont nuls : T0 j j X (nF0 ) = bn =
x(t) sin (2pnF0 t) d t 2 T0 0 Soit la fonction x(t) et X( f) sa
reprsentation frquentielle, nous avons : Fonction x(t)
Reprsentation frquentielle X( f ) relle paire relle paire relle
impaire imaginaire impaire relle complexe (partie relle paire,
partie imaginaire impaire)c) Proprit de translation Ftant donn x(t)
X( f ), nous avons : F x(t u) X( f ) ej2pufet rciproquement : F X(
f n) x(t) e+j2pnt2.1.4 Exemples de dveloppements en srie de
FourierNous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions priodiques
(de p-riode T0 = 1/F0 ) et de leurs dveloppements en srie de
Fourier sousla forme dune reprsentation frquentielle bilatrale
(partie imaginaire Im {S( f )} ou partie relle Re {S( f )}). Ainsi,
partir de cette table et desproprits associes cette transformation,
il est possible de dterminerla reprsentation spectrale de la
plupart des fonctions priodiques usuellessans effectuer les calcul
donns par les relations 2.1 2.4.a) Signaux sinusodaux et
cosinusodaux Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale
Signal sinusodal :s(t) = A sin(2pF0 t) jA S( f ) = (d ( f + F0 ) d
( f F0 )) 2 (cf. gure 2.4)
- 30. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 19
Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal cosinusodal
:s(t) = A cos(2pF0 t) A S( f ) = (d ( f + F0 ) + d ( f F0 )) 2 (cf.
gure 2.5)b) Signaux carrs Reprsentation temporelle Reprsentation
spectrale Signal carr pair composante continuenulle : +s(t) = sc1
(t) 2A (1)p Sc1 ( f ) = d ( f (2p + 1) F0 )avec sc1 (t) = A pour t
[T0 /2, T0 /4] p p= 2p + 1et sc1 (t) = A pour t [T0 /4,T0 /4] (cf.
gure 2.6)et sc1 (t) = A pour t [T0 /4,T0 /2] Signal carr pair
composante continue Sc2 ( f ) = 1/2 Sc1 ( f ) + A/2 d ( f )non
nulle (= A/2) : As(t) = sc2 (t) Sc2 ( f ) = d ( f ) 2 +soit A (1)p
+ d ( f (2p + 1) F0 )sc2 (t) = 1/2 sc1 (t) + A/2 p p= 2p + 1 (cf.
gure 2.7) Signal carr impair composante continuenulle : Sc3 ( f ) =
Sc1 ( f ) e j2p(T0 /4) fs(t) = sc3 (t) Sc3 ( f ) +soit : 2A jsc3
(t) = sc1 (t + T0 /4) = d ( f (2p + 1) F0 ) p p= 2p + 1avec sc3 (t)
= A pour t [0,T0 /2] (cf. gure 2.8)et sc3 (t) = A pour t [T0 /2,T0
] Signal carr impair composante continue Sc4 ( f ) = 1/2Sc1 ( f )e
j2p(T0 /4) f +A/2d ( f )non nulle (= A/2) : A Sc4 ( f ) = d ( f
)s(t) = sc4 (t) 2 +soit : A j + d ( f (2p + 1) F0 )sc4 (t) = 1/2
sc1 (t + T0 /4) + A/2 p p= 2p + 1 (cf. gure 2.9)
- 31. 20 2 Transformations de Fourier Im{S(f )} Re{S(f )} A /2 A
/2 F0 f f F0 0 F0 0 F0 A/2 Figure 2.4 Reprsentation Figure 2.5
Reprsentation spectrale bilatrale dun signal spectrale bilatrale
dun signal sinusodal. cosinusodal. Re{Sc1(f )} Re{Sc 2(f )} A /2
2A/ A/ 3F0 3F0 f 3F0 3F 0 f F0 0 F0 F 0 0 F0 2A/3 A/3 Figure 2.6
Reprsentation Figure 2.7 Reprsentation spectrale bilatrale du
signal carr spectrale bilatrale du signal carr pair sc1 (t). pair
sc2 (t). Im{Sc3(f )} Im{Sc4(f )} A/2 2A/ A/ Re{Sc4(f )} 2A/3 A/3 F0
3F0 f F0 3F0 f 3F0 F0 0 3F0 F0 0 2A/3 A/3 2A/ A/ Figure 2.8
Reprsentation Figure 2.9 Reprsentation spectrale bilatrale du
signal carr spectrale bilatrale du signal carr impair sc3 (t).
impair sc4 (t).
- 32. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 21c) Signaux
impulsionnels Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale
Signal impulsionnel pair composante + 2At sin (pnF0 t)continue
nulle : Si1 ( f ) = d ( f n F0 )s(t) = si1 (t) pour t < T0 T0 n=
pnF0 t A d( f )avec si1 (t) = A pour t [T0 /2,t/2] sin (px)et si1
(t) = A pour t [t/2,t/2] (cf. annexes : fonction = sinc(x))et si1
(t) = A pour t [t/2,T0 /2] px 1 A Si2 ( f ) = Si1 ( f ) + d ( f )
Signal impulsionnel pair composante 2 2continue non nulle (= At/T0
) : Si2 ( f ) +s(t) = si2 (t) At sin (pnF0 t) 1 A = d ( f n F0
)soit : si2 (t) = si1 (t) + T0 n= pnF0 t 2 2 (cf. gure 2.10) Si3 (
f ) = Si1 ( f ) e j2p(t/2) f Signal impulsionnel composante conti-
+ 2At sin (pnF0 t)nue nulle: Si3 ( f ) = s(t) = si3 (t) T0 n= pnF0
tsoit : si3 (t) = si1 (t + t/2) e jpnF0 t d ( f n F0 ) A d( f )
Signal impulsionnel composante conti- 1 A Si4 ( f ) = Si1 ( f ) e
j2p(t/2) f + d ( f )nue non nulle (=At/T0 ) : 2 2 +s(t) = si4 (t)
At sin (pnF0 t) 1 A Si4 ( f ) = e jpnF0 tsoit : si4 (t) = si1 (t +
t/2) + T0 n= pnF0 t 2 2 d ( f n F0 ) Re{Si 2(f )} A /T0 sin( f ) f
4F0 4F0 3F0 3F0 f 6F0 F0 0 F0 6F0 2F0 2F0 2/ 1/ 1/ 2/Figure 2.10
Reprsentation spectrale bilatrale du signal impulsionnel pair si2
(t).
- 33. 22 2 Transformations de Fourier Remarque : le signal
impulsionnel pair composante continue non nulle si2 (t) a pour
limite la fonction peigne de Dirac PgnA (x) lorsque A tend vers
linni, t vers 0 et en conservant le produit At gal 1 (cf.
annexes).d) Signaux triangulaires Reprsentation temporelle
Reprsentation spectrale Signal triangulaire pair composantecontinue
nulle :s(t) = st1 (t) 4A + 1avec St1 ( f ) = d ( f (2p + 1) F0 ) p2
p= (2p + 1) 2 4Ast1 (t) = A + t pour t [T0 /2,0] T0 4Aet st1 (t) =
A t pour t [0,T0 /2] T0 Signal triangulaire pair composante St2 ( f
) = 1/2 St1 ( f ) + A/2 d ( f ) +continue non nulle (= A/2) : 2A 1
St2 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 )s(t) = st2 (t) p p= (2p + 1) 2soit
A + d(f)st2 (t) = 1/2 st1 (t) + A/2 2 Signal triangulaire impair
composantecontinue nulle : St3 ( f ) = St1 ( f ) e j2p(T0 /4) f
+s(t) = st3 (t) j4A (1) p St3 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 )soit : p
p= (2p + 1) 2st3 (t) = st1 (t + T0 /4) Signal triangulaire impair
composante 1 A St4 ( f ) = St1 ( f ) e j2p(T0 /4) f + d ( f
)continue non nulle (= A/2) : 2 2 +s(t) = st4 (t) j2A (1) p St4 ( f
) = 2 d ( f (2p + 1) F0 )soit : p p= (2p + 1) 2 1 A Ast4 (t) = st1
(t + T0 /4) + + d(f) 2 2 2
- 34. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 23e) Signaux
divers Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal
rampe impair composante conti-nue nulle : +s(t) = sr1 (t) jA (1) n
Sr1 ( f ) = d ( f nF0 )avec p n=,n=0 n 2Asr1 (t) = t pour t [T0
/2,T0 /2] T0 Signal rampe composante continue nonnulle (= A/2) : +
jA 1 Sr2 ( f ) = d ( f nF0 )s(t) = sr2 (t) 2p n n=,n=0avec A 1 A +
d(f)sr2 (t) = sr1 (t + T0 /2) + 2 2 2 Signal dent de scie ou rampe
inverse composante continue non nulle (= A/2) : + jA 1 Sr2 ( f ) =
d ( f + nF0 )s(t) = sr3 (t) 2p n n=,n=0avec A 1 A + d(f)sr3 (t) =
sr1 (t + T0 /2) + 2 2 2 2A Signal sinusodal redress double alter-
S( f ) = d(f)nance : p + 2A 1s(t) = A |sin(2pF0 t)| d ( f 2pF0 ) p
p=,p=0 4p2 1 Signal sinusodal redress simple alter-nance : A jAs(t)
= ssa (t) S( f ) = d(f) d ( f F0 ) p 4 +avec A 1 + d ( f 2pF0 ) ssa
(t) = A sin (2pF0 t) pour t [0,T0 /2] p p=,p=0 4p2 1et ssa (t) = 0
pour t [T0 /2,T0 ]
- 35. 24 2 Transformations de Fourier2.2 ANALYSE SPECTRALE DES
FONCTIONS NON PRIODIQUES2.2.1 Transforme de FourierOn peut
considrer la transforme de Fourier des fonctions
non-priodiquescomme une extension de la transformation prcdente
pour laquelle la p-riode est innie. Lintervalle de frquence F0 tend
alors vers zro et lespectre devient alors une fonction continue.
Do, la transforme de Fou-rier de s(t), note S( f ) ou F{s(t)}, et
la transforme de Fourier inverse,note F 1 {S( f )} : + S( f ) =
s(t) ej2pf t d t (2.13) et + s(t) = S( f ) e+j2pf t d f (2.14) S( f
) est une fonction de f , en gnral complexe, qui comprend doncune
partie relle Re [S( f )] et une partie imaginaire Im [S( f )] : +
Re [S( f )] = s(t) cos (2p ft) d t (2.15) et + Im [S( f )] = s(t)
sin (2p ft) d t (2.16) Pour que la transforme de Fourier de s(t)
existe et soit rciproque, ilsuft que s(t) soit une fonction de carr
sommable. Cela signie que s(t),ainsi que sa transforme de Fourier,
sont nergie nie. Toutes les fonc-tions existant physiquement vrient
ces conditions parce quon les ob-serve sur un temps ni.2.2.2
Proprits de la transforme de FourierNous avons une correspondance
unique entre la fonction x(t) et sa transfor-me de Fourier X( f )
ou reprsentation spectrale. Nous crirons donc cette
- 36. 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques
25rciprocit sous la forme : F x(t) X( f ) Nous retrouvons les mmes
proprits que pour le dveloppement ensrie de Fourier.a) Proprit de
linarit F Ftant donn x(t) X( f ) et y(t) Y( f ), nous avons : F A
x(t) + B y(t) A X( f ) + B Y( f ) avec A et B des constantesb)
Proprit de paritSoit la fonction x(t) et X( f ) sa reprsentation
frquentielle, nous avons : Fonction x(t) Reprsentation frquentielle
X( f ) relle paire relle paire relle impaire imaginaire impaire
relle complexe (partie relle paire, partie imaginaire impaire)
imaginaire paire imaginaire paire imaginaire impaire relle impaire
imaginaire complexe (partie relle impaire, partie imagi- naire
paire) F tant donn x(t) X( f ), nous avons : F x(t) X(f ) avec x
signiant le complexe conjugu
- 37. 26 2 Transformations de Fourierc) Proprit de translation
Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : F x(t u) X( f ) ej2pufEt
rciproquement : F X( f n) x(t) e+j2pntd) Proprit dhomothtie Ftant
donn x(t) X( f ), nous avons : F x(a t) 1/ |a| X(/a) avec a Re)
Proprit de drivation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : d x(t) F
(j2pf ) X( f ) dtet plus gnralement : d n x(t) F (j2pf )n X( f ) d
tn De cette proprit de drivation, on en dduit la transforme des
signaux valeur moyenne nulle qui facilite le calcul du spectre de
signaux commecelui de la fonction chelon unit u(t). Soit un signal
x(t) de la forme : x(t) = Ax + x0 (t) avec x0 (t) de valeur moyenne
nulle Nous pouvons crire : t d x0 (t) x(t) = Ax + dt avec Ax la
constante dintgration dt
- 38. 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 27 d x0
(t) F tant donn X0 ( f ), il vient : dt F x(t) 1/( j2p f ) X0 ( f )
+ Ax d ( f )2.2.3 Exemples de transformes de FourierNous prsentons
ci-aprs un ensemble de fonctions non priodiques et deleurs
transformes de Fourier. Ainsi, partir de cette table des
transfor-mes de Fourier et des proprits associes cette
transformation, il estpossible de dterminer la reprsentation
spectrale de la plupart des fonc-tions usuelles sans effectuer le
calcul intgrale donn par la relation 2.13. Reprsentation temporelle
Reprsentation spectrale Fonction porte : sin (p f t)s(t) = A.Pt (t)
S( f ) = A t = A t sinc ( f t) pf tavec Pt (t) = 1 pour t [t/2, +
t/2] sin (px) (cf. annexes : fonction = sinc(x))et Pt (t) = 0 pour
t [t/2, + t/2] px Fonction sinus tronque (limite linter- S( f
)valle [t/2, + t/2] : jAt sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 ))
s(t) = A sin (2pF0 t) Pt (t) = 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Fonction
cosinus tronque (limite lin- S( f )tervalle [t/2, + t/2] : A t sin
(pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) s(t) = A cos (2pF0 t) Pt (t) = +
2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Fonction sinus cardinal: A sin (p tt)
S( f ) = Pt ( f )s(t) = A sinc ( tt) = A t p tt Fonction sinusodale
de variable quadra- p ptique : S( f ) = A cos (pf )2 /a +s(t) = A
sin a t2 a 4 Fonction cosinusodale de variable quadra-tique : p p
S( f ) = A cos (pf )2 /a s(t) = A cos a t2 a 4
- 39. 28 2 Transformations de Fourier Reprsentation temporelle
Reprsentation spectrale Fonction triangle:s(t) = A L2t (t) S( f ) =
A t [sinc (t f )]2avec L2t (t) = 1 + t/t pour t [t,0] sin (pt f )
2L2t (t) = 1 t/t pour t [0, + t] =At pt fet L2t (t) = 0 pour t [t,
+ t] Fonction sinus cardinal quadratique : A sin (pnt) 2 S( f ) =
L2n ( f )s(t) = A [sinc (nt)]2 = A n pnt Fonction exponentielle
symtrique : 2Aa S( f ) =s(t) = A ea|t| avec a > 0 a2 + 4p2 f 2
Fonction rapport du second ordre : A As(t) = 2 avec a > 0 S( f )
= ea| f | a + 4p2 t2 2ado le cas particulier : As(t) = avec a >
0 S( f ) = A p e2p| f | 1 + t2 Fonction dHeaviside ou chelon unit
:s(t) = u(t) 1 1 S( f ) = + d(f)avec u(t) = 0 pour t < 0 j2p f
2et u(t) = 1 pour t 0 Fonction signe : ts(t) = sgn(t) = 1 |t| S( f
) =avec sgn(t) = 1 pour t < 0 et sgn(t) = 1 jp fpour t 0 Drive
de la fonction signe : d (sgn(t)) S( f ) = 2s(t) = = 2 d (t) dt
Fonction exponentielle dcroissante : As(t) = A u(t) eat avec a >
0 S( f ) = a + j2p f
- 40. 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 29
Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Fonction
impulsionnelle exponentielle : A (b a)s(t) = A u(t) eat ebt avec a
> 0 S( f ) =et b > 0 (a + j2p f ) (b + j2p f ) Fonction
sinusodale amortie : A (2pF0 ) S( f ) =s(t) = A u(t) sin (2pF0 t)
eat avec a > 0 (a + j2pf )2 + (2pF0 )2 Fonction cosinusodale
amortie : A (a + 2p f ) S( f ) =s(t) = A u(t) cos (2pF0 t) eat avec
a > 0 (a + j2p f )2 + (2pF0 )2 A Fonction cosinusodale causale :
S( f ) = d ( f + F0 ) + d ( f F0 ) 4s(t) = A u(t) cos (2pF0 t) 2f +
2 jp f 2 F0 jA Fonction sinusodale causale : S( f ) = d ( f + F0 )
d ( f F0 ) 4s(t) = A u(t) sin (2pF0 t) 2jf + 2 p f 2 F0 Fonction
rampe amortie par une gaus-sienne : 2 2s(t) = A t ept S( f ) = A j
f epf Fonction rampe centre :s(t) = 1 pour t t/2 1 sin (pt f ) 1 S(
f ) = + d(f)s(t) = 1/2 + t/t pour |t| < t/2 j2p f pt f 2s(t) = 0
pour t = t/2 Fonction gaussienne : 2 2s(t) = A ept S( f ) = A epf
Fonction gaussienne quelconque: p (pf )2 2 S( f ) = A e as(t) = A
eat a Pic de Dirac : S( f ) = 1s(t) = d(t)
- 41. 30 2 Transformations de Fourier Reprsentation temporelle
Reprsentation spectrale Pic de Dirac de poids A : S( f ) = As(t) =
A.d(t) Fonction constante : S( f ) = A d ( f )s(t) = A Peigne de
Dirac de priode T0 : S( f ) = F0 PgnF0 ( f ) + +s(t) = PgnT0 (t) =
d (t k T0 ) = F0 d ( f k F0 ) k= k= + +s(t) = T0 PgnT0 (t) = T0 d
(t k T0 ) S( f ) = PgnF0 ( f ) = d ( f k F0 ) k= k= Fonction
exponentielle complexe : S( f ) = A d ( f F0 )s(t) = A ej2pF0 t Pic
de Dirac en t = T0 : S( f ) = A ej2pT0 fs(t) = A d (t T0 )
Remarques : la fonction chelon unit u(t) permet en particulier de
rendre un signal quelconque s(t) causal en ralisant le produit s(t)
u(t). La fonction porte Pt (t) permet de dcouper dans un signal une
portion de dure nie. Cette opration conduit transfor- mer un signal
thorique (reprsentation mathmatique) en un signal rel nexistant que
pendant un temps ni de dure t, correspondant au temps de mesure ou
dobservation.
- 42. Chapitre 3 Systmes de transmission. Filtrage3.1 SYSTMES DE
TRANSMISSION3.1.1 Dnitions et propritsa) Comparaison des grandeurs
dentre et de sortieUn systme de transmission fait correspondre un
signal dentre e(t)quelconque un signal de sortie s(t), rponse du
systme de transmission,fonction du signal dentre e(t) et des
caractristiques du systme de trans-mission. Pour le systme de
transmission, on ralise une comparaison desgrandeurs dentre et de
sortie en exprimant le rapport des puissances desdeux grandeurs (de
mme nature). Le logarithme base 10 de ce rapport
- 43. 32 3 Systmes de transmission. Filtrageest alors exprim en
bel ; mais lunit pratique est le dcibel (abrvia-tion db) : Adb = 10
log10 s(t)/e(t) (3.1) Si on compare pour un appareil (par exemple
un amplicateur), les puis-sances dentre et de sortie, le rapport en
puissance est donn par : Adb = 10 log10 Ps /Pe (3.2)avec un gain si
Adb > 0 et un affaiblissement si Adb < 0. Si on exprime ce
rapport en puissance en fonction des tensions Ve et Vsaux bornes
des charges rsistives identiques, on obtient : Adb = 20 log10 Vs
/Ve (3.3) Cette convention permet dexprimer, par un mme nombre, le
rapport entension et le gain en puissance si les rsistances (ou
impdances) dentreet de sortie sont identiques. Quelques valeurs
utiles sont donnes dans letableau ci-aprs : Rapport des tensions Vs
/Ve 1/10 1/2 1/ 2 2 10 100 Gain ou affaiblissement en db 20 6 3 6
20 40b) Bande passanteCette comparaison des puissances ou tensions
dentre et de sortie dunsystme de transmission est utilise lorsque
lon veut tudier linuencedune autre grandeur : par exemple la
frquence. On considre une tension sinusodale, fournissant lentre
supposersistive (indpendante de la frquence), une puissance moyenne
constantequelle que soit la frquence : Pe constant. On tudie
lvolution de la puis-sance de sortie sur une charge rsistive en
fonction de la frquence :Ps = Ps ( f ). Ps passe par un maximum Psm
qui est considr comme unerfrence. La courbe ainsi obtenue reprsente
la rponse du systme detransmission une entre xe en fonction de la
frquence.
- 44. 3.1 Systmes de transmission 33 On appelle bande passante du
systme de transmission la zone de fr-quences pour lesquelles on a
Ps /Psm < 0,5 ou Adb = 3 db. Ainsi labande passante 3 db est la
tranche des frquences pour lesquelleslaffaiblissement de la
puissance de sortie, puissance entrante constante,est infrieur 3 db
par rapport sa valeur maximale (cf. gure 3.1).Si lon applique cette
dnition pour les tensions, on obtient un rapport tension sortie /
tension maximale (Vs /Vsm ) devant tre suprieur ou degal 1/ 2 (
0,7). On dnit galement une bande passante 6 db(Vs /Vsm = 0,5). Vs
/V sm Ps /Psm Adb Bande passante 3 db 1 1 0 f 0,7 0,5 -3 Figure 3.1
Bande passante 3 db dun systme de transmission.c) Proprit dun
systme de transmissionNous allons nous intresser des systmes de
transmission qui possdentles trois proprits suivantes : linarit,
continuit et stationnarit. Systmes linairesEn considrant s1 (t)
rponse e1 (t) et s2 (t) rponse e2 (t), le systme detransmission,
not S.T., est dit linaire si : S.T. a e1 (t) + b e2 (t) a s1 (t) +
b s2 (t) Il est important de remarquer que presque tous les systmes
sont li-naires pour les faibles signaux (premire approximation).
Dautre part,une des consquences de la linarit est que, pour prvoir
la rponse
- 45. 34 3 Systmes de transmission. Filtrageune action
quelconque, il suft de connatre la rponse pour une collec-tion
dnombrable de signaux dentre. Lextension de la proprit de li-
S.T.narit scrit de la faon suivante : si ei (t) si (t) , alors : +
+ S.T. e (t) = ai ei (t) s (t) = ai si (t) i=1 i=1 Systmes
continusSoit sn (t) la suite des rponses paramtres par n en (t), le
systme est ditcontinu si nous avons la proprit suivante S.T. lim en
(t) lim sn (t) n+ n+ Remarque : il est intressant de noter quun
intgrateur pur est un systme continu, mais pas un drivateur pur .
Systmes stationnairesUn systme est stationnaire si son comportement
est indpendant de lori-gine du temps, donc, si s(t) est la rponse
e(t) : S.T. e (t u) s (t u) Les ltres sont dnis comme des systmes
de transmission linaires, continus et stationnaires.3.1.2 La
convolutiona) DnitionUne impulsion brve, injecte lentre dun systme
de transmission li-naire, continu et stationnaire, donne en sortie
un signal de dure nie.Cette rponse est appele rponse impulsionnelle
(ou percussionnelle) dultre et note h(t). Dans le cas gnral,
cest--dire pour signal dentre
- 46. 3.1 Systmes de transmission 35quelconque, nous avons une
relation mathmatique qui lie le signal den-tre e(t) et le signal de
sortie s(t) pour un systme de transmission pos-sdant les trois
proprits vues prcdemment ou ltre, not S.T.-L.C.S.,soit : +
S.T.-L.C.S. e (t) s (t) = e (t) h (t t) d t = e (t) h (t) (3.4)
Cette opration, appele convolution et note , exprime la rponse un
signal quelconque partir de celle un signal type (rponse
impul-sionnelle) ; la rponse dpend du ltre, caractris par h(t), et
de lhis-toire du signal. Le calcul de la convolution est complexe.
Il ncessite denombreuses tapes de calculs : pour chaque point de la
rponse s(t), il estncessaire dlaborer la fonction h(t t), symtrique
de la rponse impul-sionnelle par rapport laxe des ordonnes et dcale
temporellement, puisle produit par le signal dentre e(t) et enn
lintgration sur la variable t. Les ltres, qui sont dnis comme des
systmes de transmission li- naires, continus et stationnaires, sont
des systmes de convolution.b) Proprits commutativit : x y = y x
associativit : x (y z) = (x y) z distributivit par rapport
laddition : x (y + z) = x y + x z lment neutre (pic de Dirac) : x d
= d x = xc) Thorme de PlancherelLa relation trs importante entre la
transforme de Fourier et le produit deconvolution snonce sous la
forme du thorme suivant : La transforme de Fourier dun produit de
convolution est un produit simple et rciproquement.
- 47. 36 3 Systmes de transmission. Filtrage Ainsi, pour deux
signaux x(t) et y(t) ayant pour transformes de Fourierrespectives
X( f ) et Y( f ), nous avons : F F x (t) y (t) X ( f )Y ( f ) et x
(t)y (t) X ( f ) Y ( f ) (3.5 et 3.6)d) Convolution des signaux
priodiquesPour deux signaux priodiques rels x(t) et y(t) de priode
T0 , on dnit laconvolution de la manire suivante : T0 1 Pconv (t) =
x (t) y (t t) d t (3.7) T0 03.2 FILTRAGE3.2.1 Fentrage temporela)
Principes gnrauxLe terme de ltrage est habituellement utilis dans
le domaine frquen-tiel. Aussi dans le domaine temporel, nous
parlerons plus de fentrage, quede ltrage, temporel qui peut tre dni
comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement
attnuer un signal. Ainsi, le signal desortie s(t) est le produit du
signal dentre e(t) et de la fonction temporelledu ltre ou de la
fentre g(t) : s (t) = e (t) g (t) La modication quentrane ce
fentrage temporel au niveau du spectrede e(t) est donne en
appliquant le thorme de Plancherel la relationprcdente : F s (t) =
e (t) g (t) S ( f ) = E ( f ) G ( f ) (3.8) Par consquent, pour un
ltre de fonction temporelle g(t) quelconque, lespectre du signal de
sortie sera diffrent de celui du signal dentre cons-quence du
produit de convolution. Ainsi les actions temporelles telles
que
- 48. 3.2 Filtrage 37le prlvement dun signal (cas de toutes
mesures ralises pendant untemps ni) ou linterruption (interrupteur
mont sur le circuit dun haut-parleur) ou encore lattnuation
(attnuation ralise pendant un temps ni laide dun potentiomtre
rglant le volume du son) sont des ltres oufentrages temporels qui
vont modier le spectre du signal. Dans le premier cas (dcoupage
dune tranche temporelle dun signal),si la dure t, dite dure de la
mesure, tend vers linni, nous pouvonsvrier la cohrence de la
relation 3.8 ; tant donn que g(t) = 1 pourtout t, il vient : F g
(t) = 1 G ( f ) = d ( f )donc s (t) = e (t) g (t) = e (t) pas de
modication du signalet S(f) = E (f)d(f) = E (f) pas de modication
du spectreb) Mesure dun signalLenregistrement par un appareil ou le
traitement par ordinateur dun signalimpose un temps ni au signal
quil soit analogique ou chantillonn. Ceproblme de la dure nie dun
signal est celui de la mesure. Pour modliser cette troncature
temporelle du signal, on utilise la fonc-tion porte temporelle Pt
(t) de largeur t. Comme nous lavons vu la trans-forme de Fourier de
cette fonction porte est la fonction sinus cardinalsinc(tf ) (cf.
chapitre 2). Ainsi, les relations de modications du signal dues la
mesure sur une dure nie t sont : sin (ptf ) s (t) = e (t) Pt (t) et
S(f) = E (f) ptf Linuence de cette fentre temporelle sur le signal
et sur son spectrepeut tre trs importante. Plus lobservation ou la
mesure du signal seralongue et plus le spectre du signal sera
prcis, cest--dire peu perturb parcette fentre temporelle
physiquement invitable. Prenons lexemple dun signal cosinusodal pur
de priode T0 . Le spectrede ce signal est reprsent par deux pics de
Dirac situs aux frquences F0
- 49. 38 3 Systmes de transmission. Filtrageet F0 . Soit : F 1
e(t) = cos(2pF0 t) E ( f ) = [d ( f + F0 ) + d ( f F0 )] 2 En
utilisant les relations prcdentes, on obtient le signal mesur
s(t)(cest--dire e(t) tronqu et limit t) et son spectre S( f ) : s
(t) = cos (2pF0 t) Pt (t)et t sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 ))
S( f ) = + 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Nous obtenons ainsi un
spectre form de deux fonctions de type sinccentres sur les
frquences F0 et F0 (cf. gure 3.2). Dans le cas gnral dun signal
priodique quelconque avec un spectreform dun ensemble de raies de
diverses importances, le fentrage tem-porel, cest--dire la mesure
dun tel signal, conduit un spectre formde la somme de toutes les
fonctions sinc places au niveau des frquencesexistantes avec une
amplitude proportionnelle limportance de la raie. Cersultat peut
conduire une interprtation errone du spectre :
distinctionimpossible de deux frquences proches, localisation dune
frquence sansexistence relle, etc. Remarque : il est donc important
de constater que le spectre dun signal tronqu temporellement,
cest--dire mesur sur un temps ni (cas rel), va tre modi dans le
sens o chaque composante du spectre sera transforme en une forme
sinc(x). Ce rsultat cor- respond au principe dincertitude : une
connaissance complte du signal sur laxe des temps conduit une
dtermination prcise dans le domaine frquentiel alors quune
connaissance limite temporel- lement du signal induit un ou sur la
dtermination du spectre de ce signal. Une tude complte de cet effet
de fentrage temporel et des moyens de le limiter est faite dans le
chapitre 7.
- 50. 3.2 Filtrage 39 S(f ) spectre modifi : /2 sinc( f ) spectre
initial f F0 0 F0 Figure 3.2 Modication du spectre en frquence dun
signal sinusodal par une troncature temporelle ou mesure.3.2.2
Filtrage frquentiela) Thorme fondamental des ltresLes termes de
ltre ou de ltrage sappliquent en gnral plus des sys-tmes dnis par
un produit dans lespace des frquences. De la mmemanire que dans le
domaine temporel, nous parlerons de ltrage frquen-tiel comme
lopration consistant prlever, interrompre ou seulement at-tnuer
tout ou partie des composantes frquentielles dun signal. Ainsi,
lespectre S( f ) du signal de sortie s(t) est le produit du spectre
E( f ) signaldentre e(t) et de la fonction frquentielle du ltre H(
f ) : S(f) = E (f) H (f) La modication quentrane ce ltrage
frquentiel au niveau de la re-prsentation temporelle e(t) est donne
en appliquant le thorme de Plan-cherel la relation prcdente : F S (
f ) = E ( f ) H ( f ) s (t) = e (t) h (t) (3.9) Le thorme
fondamental des ltres sappuie sur la dnition mme desltres comme
systmes de convolution. Le ltre est dni par sa
rponseimpulsionnelle, note h(t), et par sa fonction de transfert,
note H( f ) ou
- 51. 40 3 Systmes de transmission. FiltrageH(p) rciproquement
transforme de Fourier ou de Laplace de h(t) (cf. an-nexes). La
rponse s(t) dun tel ltre un signal dentre e(t) est donnepar les
oprations des relations 3.9, soit : Convolution dans lespace temps
+ s (t) = e (t) h (t) = e (t) h (t t) d t (3.10) Produit dans
lespace des frquences (transforme de Fourier ou deLaplace) : S(f) =
E (f) H (f) ou S (p) = E (p) H (p) (3.11) De plus, dans la
pratique, un ltre sera souvent caractris par sa r-ponse indicielle
sind (t), cest--dire sa rponse un chelon unit u(t) : + sind (t) = u
(t) h (t) = u (t) h (t t) d t (3.12) 0 La relation de base 3.10
peut prendre diffrentes formes suivant les ca-ractristiques
temporelles des signaux e(t) et h(t) : h(t) causal (ltre ralisable
: cf. paragraphe suivant) : t s (t) = e (t) h (t t) d t e(t) causal
(exemple du signal u(t) chelon unit ) : + s (t) = e (t) h (t t) d t
0 e(t) et h(t) causaux : t s (t) = e (t) h (t t) d t 0 partir de
ces relations, il est possible de dterminer la rponse uneaction ou
signal dentre quelconque. Mais il peut tre trs intressant de passer
dans le domaine frquentielpour dterminer la rponse, car lopration
raliser est alors un produit