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Analyse des valeurs extrêmes :Estimation de bornes pour la période de retour

Pierre Ribereau

e-mail: pierre.ribereau@cea.fr

Laboratoire des Sciences du Climat et de l’Environnement

CEA/CNRS/IPSL

Seminaire de Statistiques Appliquees, Montpellier, 20 Mars 2006

Analyse des valeurs extremes :Estimation de bornes pour la periode de retour – p. 1/57

Motivations

Motivation

• Objectifs : Produire des périodes de retour à Fort Collins.(Actuellement utilisation des atlas de 1973)

• Définition : La période de retour zt est le niveau que l’ons’attend à dépasser, en moyenne, une fois toutes les tannées.

• Bornes pour la période de retour ?

• Données de précipitations à Fort Collins de 1948 à 2001.

Introduction

X1,n ≤ ... ≤ Xn,n

Comportement Moyen ⇒ TCL

Comportement “Extrême"

(Xn,n − bn

an≤ x

)= Fn(an x + bn)

d−→ Hγ(x), n → ∞,

Hγ(x) =

exp(− (1 + γx)−

)si γ 6= 0

exp(− exp(−x)

)si γ = 0

Convergence du max

Domaine d’attraction

γ > 0 Fréchet, distribution de type Pareto 1 − F (x) = x−1

γ ℓF (x),

Fréchet, Burr, Pareto...

γ = 0 Gumbel, queues à décroissance exponentielle.Lognormale, Normale, Exponentielle...

γ < 0 Weibull, X admet un point terminal fini,Weibull, ReverseBurr, Beta...

Deuxieme approche

• Fun(y) =

Fun(un + y) − F (un)

1 − F (un)

• supx∈[0,τF−un[

∣∣Fun(x) − Gγ,σ(un)(x)

∣∣→ 0, quand n → ∞.

• Gγ,σ(x) :=

)−1/γsi γ 6= 0, σ > 0,

1 − exp(−x/σ) si γ = 0, σ > 0,

Approche POT

X17X18

Approche POT

X17X18

Approche POT

−> GPD

Estimation quantile extreme

• F−1(1 − p) := inf{y|F (y) ≥ 1 − p}

• de Haan (1984) CNS

limtց0

F−1(1 − tx) − F−1(1 − t)

x−γ − 1

⇒ F−1(1 − p) ∼ F−1(1 − t) + a(t) (p/t)−γ−1γ

Estimation de l’indice des valeurs extremes

• Hill (1975) :HX,kn,n =1

log Xn−j+1,n − log Xn−kn,n.

• Moments (Dekkers et al., 1989)

MX,kn,n = HX,kn,n + 1 − 1

(1 −

H2X,kn,n

SX,kn,n

où SX,kn,n =1

(log Xn−j+1,n − log Xn−kn,n

• Pickands (1975)

PX,kn,n =1

log 2log

Xn−⌊ kn4⌋,n − Xn−⌊ kn

2⌋,n

Xn−⌊ kn2⌋,n − Xn−kn,n

Estimateurs de Hill, Pickands et Moments

0 50 100 150 200

E(a) (b)

(a) Medians et (b) erreurs en moyenne quadratique empiriques des estimateurs de Hill (trait plein), des

moments (tirets) et de Pickands (traits pointilles) bases sur 500 echantillons de taille 500 de loi Frechet (1).

Estimation de (γ, σ) de la GPD

• Méthode des moments

γMOM =1

(1 − x2

)et σMOM =

2x( x2

s2+ 1),

• Maximum de vraisemblance

log L(γ, σ) = −n log σ − 1 + γ

log(1 +

• MP et MPG

Estimation de quantiles extremes

• xp = F−1(1 − p) = inf {y : F (y) ≥ 1 − p}• Weissmann (1978)

xHp,k := Xn−k,n

(k + 1

(n + 1)p

)HX,k,n

• Moments (Dekkers et al., 1989)

xMp,k = Xn−k,n + a

) ( knp)MX,k,n − 1

MX,k,n

)= Xn−k,nHX,k,n max(1 − MX,k,n, 1).

Estimateur POT

Fu(x) ≈ Gγ,σ(u)(x)

• X1,X2, ...,Xn ⇒ Seuil u ⇒ Nu excès Yj ⇒ σ et γ

• Comme F (x) = F (u) × F u(x − u) si x > u alors

F (x) =nu

(1 + γ

x − u

)−1/γ

⇒ Par inversion xp = u + σ

)bγ− 1

• En pratique u = Xn−k,n, donc pour p < kn

xPOTp,k := Xn−k,n + σPOT

)bγP OTk

γPOTk

Estimateur POT

X17X18

Estimateur POT

X(10)X(9)

Estimateur POT

X(10)X(9)

Estimateur POT

⇒ σ et γ

Estimateur POT

⇒ σ et γ

xPOTp,k := Xn−k,n + σPOT

)bγP OTk

γPOTk

Simulations

Comparaisons entre:• Estimateur des moments (rouge)• Estimateur de Weissman (bleu)• Estimateurs POT ML (vert) et MPG (noir)

Figures (a): Medians

Figures (b): MSE adaptées : MSE∗(xp) := E

Droite horizontale = vraie valeur du paramètre avec p = 1/10n etn = 50 ou 100Distributions:

• Burr (β, τ, λ)

• Lognormal (µ, σ)

• ReverseBurr (β, τ, λ, τF )

Burr (1, 12 , 2) avec n = 50

(a) (b)

Burr (1, 12 , 2) avec n = 100

(a) (b)

Lognormale (0, 1) avec n = 50

(a) (b)

Lognormale (0, 1) avec n = 100

(a) (b)

ReverseBurr (1, 8, 1/2, 10) avec n = 50

(a) (b)

ReverseBurr (1, 8, 1/2, 10) avec n = 100

(a) (b)

Periode de retour : Exemple

1950 1960 1970 1980 1990 2000

• Période de retour = zt = F−1(1 − 1/t)

• Quelle est la valeur que l’on peut s’attendre à dépasser aucours de t années ?

Objectifs

• TVE basée sur des arguments asymptotiques : Quid avecn = 53

• TVE pas applicable pour des variables discrètes.

• Solutions : Proposer des bornes faciles à calculer ayant debonnes propriétés.

• Pas d’hypothéses sur la queue de distribution

⇒ bornes pas forcément proches de zt (scénario catastropheraisonnable).

Outil : Inegalite de Markov

F (z) ≤ IE[h(X)]

→ Exemples :• Borne de Chernoff avec h(z) = exp(λz) et λ ≥ 0 :

infλ≥0

{e−λz

∫eλxdF (x)

• Moment bound avec h(z) = zn et n ≥ 0 :

infn≥0

IE(Xn)

• Dans notre cas, on choisit h(z) = u(z)v(F (z)) avec :

(u, v) : IR+ × [0, 1] → IR+ × IR+

• Θ(u, v) := IE[h(X)] = IE[u(X)v(F (X))] (GPWM)

• Si u(x) = xs et v(x) = xr → MP

• zt défini comme F (1/t) = zt alors :

zt ≤ bt(u, v) := u←[

tΘ(u, v)

v(1 − 1/t)

]où u ↑ v ↑

⇒ zt ≤ inf{bt(u, v) : u(.) et v(.) croissantes }

Autre borne

• v croissante et u décroissante

Θ∗(u, v) = IE[u(X)v(F (X))1l(X ≤ zt)]

+IE[u(X)v(F (X))1l(X > zt)]

= T1 + T2

T1 ≤ u(zt)v(1/t)

tT2 ≤ [Θ∗(up, vp)]1/p (1 − 1/t)1/q

zt ≤ b∗(u, v) = u←[t

Θ∗(u, v) − (1 − 1/t)(1 − 1/p) [Θ∗(up, vp)]1/p

v(1/t)

Borne inferieure

• v(.) décroissante et u(.) croissante

T2 ≤ (1 − 1/t)u(zt)v(1/t) et T1 ≤ t−1/q[Θ∗(up, vp)

zt ≥ l∗t (u, v) = u←[

Θ∗(u, v) − t1/p−1 [Θ∗(up, vp)]1/p

v(1/t)(1 − 1/t)

zt ≥ sup

l∗t (u, v) : u(.) ≥ 0, v(.) ≥ 0, u(.) ↑, v(.) ↓ et p > 1

Estimateurs

• Comme Θ(u, v) = E[u(X)v(F (X))]

Θn(u, v) =1

u(Xi)v(Fn(Xi))

Θn(u, v) =1

u(Xi,n)v

⇒ L-statistiques.

Theoreme 1 : convergence en distribution

Si v(.) est lipschitzienne d’ordre 1 sur [0, 1] et u(.) est telle que∫|u(x)|dF (x) et

∫v2(F (x))u2(x)dF (x) sont finis alors

√n(θn(u, v) − θ(u, v))

converge en distribution vers une variable gaussienne centréede variance

σ2 = E

−v(U)u(F←(U))+θ(u, v)−∫ 1

(1l(U ≤ t)−t

)v′(t)u(F←(t))dt

où U suit une loi uniforme sur (0, 1).

Theoreme 2 : convergence ps

θn(u, v) = θ(u, v) + O

(√log log n

presque sûrement

Theoreme 3 : vitesse de convergence en proba

Si u ∈ C1(0,∞) et v ∈ C1[0, 1] sont des fonctions positives etcroissantes telles que u(0) = 0 et

u′(x) = O(xa−1), pour x grand et a > 0.

Supposons que F vérifient

xa−1 [F (x)]3

2−ζ−ν

f(x)= O(1), pour ζ ∈ (0, 1) et ν ∈

), quand x → ∞.

Alors, il existe un pont brownien B tel que quelque soitβn = o

(nmin(ν,ζ)

), on a

n(θn(u, v)−θ(u, v)

)+∫∞0 u′(x)B(F (x))v(F (x))dx

= oP(1)

Intervalles de confiance

Théorème 1 + Méthode Delta ⇒

√n(bt(u, v)−bt(u, v)

)d−→ N

v2(1 − 1t )

[(u←)′

( tθ(u, v)

v(1 − 1t )

bt(u, v) = u←[

tθn(u, v)

v(1 − 1/t)

bt(u, v) ∈[

bt(u, v) ± q1−α/2 t bσ√n v(1− 1

t)(u←)′

(tbθn(u,v)v(1− 1

où σ est la version empirique de σ et q1−α/2 le quantile d’ordre1 − α

2 de la loi normale centrée réduite.

Simulations

zt ≤ inf

{u←[

tΘ(u, v)

v(1 − 1/t)

]: u(.) ↑ and v(.) ↑

zt ≥ sup

Θ∗(u, v) − t1/p−1 [Θ∗(up, vp)]1/p

v(1/t)(1 − 1/t)

: u(.) ↑ and v(.) ↓}

• Ici, u(x) = xa et v(x) = xb pour la borne supérieure etu(x) = xa et v(x) = x−b pour la borne inférieure.

Simulations

• Distributions :

◦ Frechet avec γ = 0.25◦ Valeur absolue de la loi normale centrée réduite◦ Beta de paramètres 3 et 4◦ Binomiale de paramètres 100 et 0.8◦ Poisson de paramètre 10

• 500 répétitions pour n = 50 et n = 500

Frechet γ = 1/4 avec n = 50

0 50 100 150 200 250 300

MSE pour la Frechet γ = 1/4 avec n = 50

0 50 100 150 200 250 300

Frechet γ = 1/4 avec n = 500

400 500 600 700 800 900 1000 1100

MSE pour la Frechet γ = 1/4 avec n = 500

400 500 600 700 800 900 1000 1100

|Normale| avec n = 50

0 50 100 150 200 250 300

MSE pour la |Normale| avec n = 50

0 50 100 150 200 250 300

|Normale| avec n = 500

400 500 600 700 800 900 1000 1100

MSE pour la |Normale| avec n = 500

400 500 600 700 800 900 1000 1100

Beta(3,4)

150200

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Analyse

desvaleurs

extremes

:Estim

ationde

bornespour

laperiode

deretour

–p.44/57

Beta(3,4)

500600

700800

9001000

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Analyse

desvaleurs

extremes

:Estim

ationde

bornespour

laperiode

deretour

–p.45/57

Poisson λ = 10 avec n = 50

50 100 150 200 250

Poisson λ = 10 avec n = 500

500 600 700 800 900 1000

iale(100,0.8)

100150

200250

70 80 90 100 110

70 80 90 100 11070 80 90 100 11070 80 90 100 110

70 80 90 100 110

70 80 90 100 11070 80 90 100 110

70 80 90 100 110

Analyse

desvaleurs

extremes

:Estim

ationde

bornespour

laperiode

deretour

–p.48/57

iale(100,0.8)

400500

600700

800900

10001100

70 80 90 100 110

70 80 90 100 11070 80 90 100 110

70 80 90 100 110

Analyse

desvaleurs

extremes

:Estim

ationde

bornespour

laperiode

deretour

–p.49/57

Exemple

• Données constituées de maxima

⇒ GEV

⇒ zt = µ − γ

[1 − (− log(1 − 1/t))−

bξ]• Intervalles de confiance :

• A partir du théorème 1 pour les bornes

• Avec le profile likelihood pour la GEV

Bornes estimees

50 100 150 200 250

Bornes estimees avant 1997

50 100 150 200 250

Autre exemple

• Nombre maximal de journées consécutives sans pluie paran

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Bornes estimees

50 100 150 200 250

Bornes estimees avant 1991

50 100 150 200 250

Conclusions

• Bornes faciles à calculer• Méthode très générale, peut être appliquée aux mélanges

de loi, aux lois discrètes...• Valable pour toutes les valeurs de n et de t

• Les simulations semblent montrer qu’elles sont“compétitives"

Futurs extensions• Comment optimiser le choix de u et v ?• Comment étendre au cas stationnaire ?• Passer au cas multivarié?

Bibliographie

• Beirlant et al. (2004) Statistics of Extremes: Theory and Applications.Wiley.

• Coles (2001) An Introduction to Statistical Modeling of ExtremeValues. Springer.

• Diebolt et al. (2005) Approximation of the distribution ofexcesses through a generalized probability weightedmoment method, Statist. Plann. Inference.

• Diebolt et al. (2005) Asymptotic normality of extremequantile estimators based on the peaks-over-thresholdapproach, soumis.

• Li et al. (2001) The law of the iterated logarithm and centrallimit theorem for L-statistics, J. Multivariate Anal.

• Diebolt et al. Return level bounds for extreme values, soumis.

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