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Analyse NumériqueProblèmes Pratiques
DérivationIntégration
Ph. Leray Analyse Numérique 2
Introduction
f connue sur un certain nb de points ou analytiquement
besoin de connaître f' sur ces points sans faire le calcul analytique.
besoin de calculer l'intégrale sans calculer la primitive (quadrature)
bt
at
dt)t(f
Ph. Leray Analyse Numérique 3
Dérivation numérique 1/5
Méthode "naïve" :
en théorie, la formule est vraie pour h 0
en pratique, attention au choix de h ! h trop grand : calcul trop approximatifh trop petit : problèmes d'arrondis
h
xfhxfxf
Ph. Leray Analyse Numérique 4
Dérivation numérique 2/5
Méthode des différences centrales : Taylor :
On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}h = xi+1 - xi
f(x+h)
f(x-h)
...xf!3
hxf
!2
hxfhxfhxf
32
...xf!3
hxf
!2
hxfhyy i
3
i
2
ii1i
...xf!3
hxf
!2
hxfhyy i
3
i
2
ii1i
Ph. Leray Analyse Numérique 5
Dérivation numérique 3/5
Méthode des différences centrales (suite) :
f(x+h) - f(x-h)
en négligeant les termes en h3 :
meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2)
...xf!3
h2xfh2yy i
3
i1i1i
h2
yyxf 1i1i
i
Ph. Leray Analyse Numérique 6
Dérivation numérique 4/5
Méthode des différences centrales (suite) : calcul des dérivées d'ordre supérieur :
f"(xi) ?
...xf!3
hxf
!2
hxfhyy i
3
i
2
ii1i
...xf!3
hxf
!2
hxfhyy i
3
i
2
ii1i
Ph. Leray Analyse Numérique 7
Dérivation numérique 5/5
Méthode des différences centrales (fin) : calcul des dérivées d'ordre supérieur :
en négligeant les termes en h4 :
et pour les autres dérivées ?
...xf!2
h2y2yy i
2
i1i1i
2
1ii1ii h
yy2yxf
Ph. Leray Analyse Numérique 8
Intégration numérique 1/
Plusieurs méthodes : a et b finis
On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
polynôme d'interpolation sur n+1 pointsNewton-Cotes
On connaît f sur autant de points que l'on veutpolynôme d'interpolation + choix de n+1 points
Gauss-Legendre
a ou b infiniGauss-Laguerre, ...
bt
at
dt)t(fI
Ph. Leray Analyse Numérique 9
Intégration numérique 2/
Méthodes polynomiales On connaît la fonction sur n+1 points 2 solutions :
calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n
problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément
regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points
(avec p+1 faible)calculer les polynômes d'interpolation de degré psommer les intégrales de chaque sous-intervalle
Ph. Leray Analyse Numérique 10
2
yy
2
yhI n
1n
1ii
0
Intégration numérique 3/
Méthode des trapèzes : p+1=2 points polynôme d'interpolation=droite
A =
soit h = xi+1 - xi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
A
bfaf2
ab
1n
0i1ii
i1i yy2
xxI
Ph. Leray Analyse Numérique 11
Intégration numérique 4/
Méthode de Simpson: p+1=3 points polynôme d'interpolation de degré 2
i va de 0 à n-2 avec un pas de 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
A
2n
0i2i1ii yy4y
3
hI
Ph. Leray Analyse Numérique 12
Intégration numérique 5/
Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x)
comment trouverles i ?
p
0
xt
xt
p dt)t(PA
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
A
p
0iii yA
Ph. Leray Analyse Numérique 13
Intégration numérique 6/
Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points calcul des i = décomposition de l'intégrale
dansla base {1, t, … tp}
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
A
p
1
0
p
1
0
pp
p1
p0
p10
vxxx
xxx
111
p
0
xt
xt
kk dtt
Ph. Leray Analyse Numérique 14
Intégration numérique 7/
Exercice : Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :
retrouver la méthode des trapèzesretrouver la méthode de Simpsontrouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)
Ph. Leray Analyse Numérique 15
Intégration numérique 8/
Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :
erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]
erreur de quadrature :
x
!1p
xfxe
)1p(
dxx
!1p
xfdxxeE
n
0
p
0
x
x
)1p(x
x
n
0
n
0
x
x
)1p(x
x
)1p(
dxx!1p
fdxx
!1p
xfE
n
0
x
x
dxx!1p
ME M majorant de |f (p+1)|
Ph. Leray Analyse Numérique 16
Intégration numérique 9/
Erreur de quadrature pour :
les trapèzes
Simpson
f12
hE
3
45
f90
hE
Ph. Leray Analyse Numérique 17
Intégration numérique 10/
Méthodes polynomiales récursives : ex pour la méthode des trapèzes
découpage récursif de la surface en trapèzes
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
I(0) I(1)
Ph. Leray Analyse Numérique 18
Intégration numérique 11/
Bornes infinies ? Méthode de Gauss-Laguerre
Ph. Leray Analyse Numérique 19
Intégration numérique 12/
Intégrales multiples ? Ex avec la méthode de Simpson
en dimension 2 : zij = f(xi, yj) 2
0
2
0
x
x
y
y
dxdyy,xfA
2
0
x
x
210 dxy,xfy,xf4y,xf3
kA
dxy,xfdxy,xf4dxy,xf
3
kA 21
x
x
0
2
0
112112100122200200 z16zzzz4zzzz9
hkA
h = xi+1 - xi
k = yi+1 - yi
Ph. Leray Analyse Numérique 20
Sujet de TD
Ph. Leray Analyse Numérique 21
Conclusion
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