Aurélien CROC Cécilia GIOVANETTI

LA BILLE QUI REBONDIT, UNE EXPERIENCE SIMPLE DE

PHYSIQUE DU CHAOS- du 14/03/05 au 17/05/05 –

encadrant M Boissel

Aurélien CROCCécilia GIOVANETTI

Anica LEKICCéline RICHARD

Introduction au chaos

• le chaos déterministe définition : - classe de phénomènes où l’imprédictibilité est présente- ordre sous-jacent

• Réalisation du chaos pour notre expérience :- une bille sur un pot vibrant- fréquence des oscillations entre 20 et 30 Hz- apparition du chaos en augmentant l’amplitude- mouvement de la bille enregistré par un cristal piézoélectrique

• Les thèmes étudiés :

- la transition vers le chaos- le mouvement de la bille- les attracteurs étranges- la sensibilité aux conditions initiales

- le contrôle du chaos- la simulation numérique

Décomposition de l’expérience

Ordinateur 1 création d’un

signal sinusoïdal

Pont diviseur et am-plification du signal

carte d’acqui- sition

Electronique

pot vibrant

La bille rebondit surle cristal piézoélectrique. La pression exercée déclenche un signalélectrique.

Voltmètre

Oscilloscope

Ordinateur 2acquisition des données

carte d’acqui- sition

ordinateur 2 : acquisition des données

Bille et pot vibrant

montage électronique

amplificateur commandépar le 1er ordinateur

Décomposition de l’expérience : montage

carte d’acquisition

pont diviseur

oscilloscope et voltmètre ordinateur1

LA TRANSITION VERS LE CHAOS : DIAGRAMMES DE

BIFURCATION

La transition vers le chaos : le diagramme de bifurcation

• diagramme de bifurcation : définition

- tracé de la différence de temps entre deux chocs relatifs de la bille en fonction de l’amplitude du pot vibrant

- il permet de suivre l’évolution du système

• Etude théorique du système

- bifurcations : valeurs propres

fenêtres d’ordre dans le chaos

régimes périodiques stables

deuxième bifurcation (deuxième attracteur)

doublement et quadruple -ment de période

chaos

d’une matrice caractéristique du système (matrice de Floquet)- bifurcations par hystérésis : bifurcations de Hopf (2 valeurs propres complexes

conjuguées) - bifurcations par doublement de période : cascades sous-harmoniques (valeur

propre = -1)

en jaune : amplitude montanteen vert : amplitude descendante

Diagramme de bifurcation

régimes périodiquesstables

doublement et quadruplementde périodique

fenêtres d’ordre dans le chaos

deuxième attracteur

transition vers le chaos du deuxième attracteur

1er hystérésis

2ème hystérésis

Bistabilité, hystérésis

La mesure du rapport d’échelle

• Rapport d’échelle : définition - grandeur universelle pour les systèmes chaotiques : identique quel que soit le diagramme de bifurcation étudié

- il tend asymptotiquement vers

- il est donné par la formule

avec Ai = ordre de la ième bifurcation

1

1

qq

qq

AA

AA

• Résultat expérimental:

1/ 4.6692016

δ = 1/ 4 ± 0.3

A2 A4 A8

Calcul du coefficient d’élasticité µ de la bille

2

2

1

12)(cotan

2

)sin( 22

cAA

• coefficient d’élasticité :- opposé du rapport des vitesses

relatives finales et initiales- calcul du coefficient d’élasticité :

avec τ2 = la phase pour le doublement de période ω = la pulsation

On obtient alors

cotan(ωτ2) étant calculé grâce à la formule

• Résultat expérimental :

pour valeur théorique de 0.5

)(cotan2

)(cotan2

2

2

A2Ac

μ = 0.52

LA TRAJECTOIRE DE LA BILLE

La trajectoire de la bille.

régime périodique doublement de période

chaos fenêtre d’ordrequadruplement de période

ExpérimentalementExpérimentalement : une cellule photoélectrique est placée au dessus de la bille.

Résultats :Résultats : mouvement de la bille (jaune) mouvement du pot vibrant (vert) en parallèle.

La trajectoire de la bille en régime périodique

Trajectoire pour le doublement de période

Trajectoire pour un quadruplement de période

Trajectoire en régime chaotique

Trajectoire pour une fenêtre d’ordre

ATTRACTEUR ETRANGE : INTRODUCTION

Etude mathématique de l’attracteur étrangeEspaceEspace des phases des phases : espace mathématique : E

Coordonnées : les variables dynamiques indépendantes du système, degrés de libertéComportant autant de dimensions que de paramètres à considérer.

ici à 2 D à t donné {position + vitesse}.

Attracteur étrangeAttracteur étrange : :

C’est un attracteur car :

C’est une région finie de l’espace des phases,

Les trajectoires de la bille y sont attirées vers un ou des bassins d’attractions,

1 condition initiale dans bassin d'attraction = 1 trajectoire dans E + 1 façon unique de parcourir l'attracteur.

Il est étrange car :

Phénomène sensible aux conditions initiales,

Phénomène chaotique malgré des équations déterministes,

Fractal (dimension non entière), les points ne repassent jamais au même endroit.

Sections de Poincaré et Portraits de Phase

Section de PoincaréSection de Poincaré::

Intersection entre un attracteur d’un système à n degrés de liberté et un sous ensemble de l’espace de Rn .

Lieu particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du temps.

Tracé de l’attracteur obtenu pour une amplitude donnée.

On étudie le temps au choc n par rapport au temps au choc (n – 1).

Portrait de PhasePortrait de Phase::

C’est l’ensemble des trajectoires de phase ( = courbes de l’espace des phases) l’évolution dynamique du système {bille + pot vibrant} .

On observe le chaos en représentant la vitesse en fonction de la position (amplitude du pot vibrant).

Sert à vérifier la contraction des aires pour les systèmes dissipatifs.

SECTIONS DE POINCARE

Attracteur de la bille lorsqu’elle est presque collée

Attracteur pour le régime périodique

Attracteur pour le doublement de période

Attracteur étrange pour le quadruplement de période

Attracteur étrange du premier chaos

Attracteur étrange d’une fenêtre d’ordre

Attracteur étrange pour les 2 chaos

PORTRAITS DE PHASE

Portraits de phase : vitesse en fonction de la position

régime périodique

doublement de période

quadruplement de période

chaos: 1er attracteur

1ère fenêtre d’ordre

Dimension fractale de l’attracteur étrange

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

m=2.017l=1.196

m=1.143l=3.299

axes des x en log 10 : nombre de points dans le cercle de rayon r

axe

de

s y

en

log

10

: r

ayo

n d

u c

erc

le

Courbe permettant de mesurer la dimension de l'attracteur

surface

dimension de l’attracteurentre ligne et surface

au delà de dimension

attracteur

Expérimentalement: - découpage de l’attracteur en petits cercles - augmentation de la taille des cercles

Résultats : - petit rayon : dimension d’une surface - rayon moyen : dimension de l’attracteur - grand rayon : tout l’attracteur est dans le cercle

Conclusions : - dimension entre ligne et surface (entre 1 et 2) - c’est une dimension fractale : dimension non entière

axe

des

y e

n lo

g10

: r

ayo

n d

u c

ercl

e

SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES

Sensibilité aux conditions initiales.

La propriété de S.C.I. se traduit par :

La divergence exponentielle des trajectoires dans l’espace des phases.

Distance entre 2 attracteurs pour 2 conditions initiales très proches :

Le tracé en échelle log : la distance croit de manière exponentielle.

On peut lire la pente de la droite : valeur de l’exposant de Lyapunov λ.

Le système chaotique quand λ >0.

CONTRÔLE DU CHAOS

Contrôle du chaosPourquoiPourquoi ? ?

On agit sur le système dans le but de l’amener à évoluer d’une certaine manière.

Il y a plusieurs formes de contrôle :

Forcer le système à rester dans chaos. Imposer une évolution périodique au système.

MéthodesMéthodes:

Le contrôle doit toujours être :

Réalisable, la transition chaos / contrôle rapide, durable et non destructif.

MoyensMoyens :

Un électro-aimant « commandé » par l’ordinateur.

RésultatsRésultats :

La mise en place du contrôle.

La diminution de la correction maintien du régime contrôlé.

-1

0

1

2

3000 4500 6000

-2

0

2

4

0 2000 4000 6000 8000 10000

nombre de points

ampl

itude

Passage de la periode 1 a la période 2 et au chaos

Passage du régime chaotique au régime périodique simple

Contrôle d’une fenêtre Contrôle d’une fenêtre d’ordred’ordre

SIMULATION NUMERIQUE

Capture d’écran de la simulation numérique

Théorie de la simulation

• Plateau :

- mouvement

- accélération

• Bille :

- mouvement

- accélération

• Coeficient d’élasticité :

ftz 2cos

ftfAa 2cos2 2

002

2

1ztvgtz

ga

pbpb VVVV '

Conclusions• Aborder une expérience dans sa globalité :

- sur la durée

- en effectuant un travail de recherche

- en développant la simulation numérique du phénomène

• L’utilisation de nos connaissances théoriques pour une expérience concrète

- en informatique

- en électronique

• Une expérience simple pour aborder le chaos

• La physique chaos : un domaine vaste

- une façon d’accéder à la topologie

- des applications multiples (la météo, les fluides, la thermodynamique, les populations, la mécanique céleste,...)

- une physique assez récente qui ouvre de multiples horizons

Attracteur de Gurmonski

Etude théorique du système, complément

• La théorie de Floquet, principe :

- c’est l’étude de la stabilité d’une solution périodique (cycle limite)

- on introduit un faible écart initial à la solution périodique

- au bout d’une période, on a avec M = matrice de Floquet

- si l’écart par rapport à la solution périodique :

* a diminué, il y a stabilité

* a augmenté, il y a instabilité

- la perte de stabilité de la solution périodique se traduit par une bifurcation

• Le type de la bifurcation :

- déterminé grâce aux valeurs propres de la matrice de Floquet

- il y en a trois types :

* la bifurcation par noeud col ( valeur propre = + 1)

* la bifurcation par cascade sous-harmonique (valeur propre = -1)

* la bifurcation de Hopf (2 valeurs propres complexes conjuguées)

0

0

Schéma du montage

ordinateur : recueil les

données

ordinateur : contrôle de

l’alimentation du pot vibrant

Ch II

oscilloscope

Ch I

amplificateur

carte d’acquisition

résistance variable : pont diviseur

carte d’acquisition

montage électronique

pot vibrant

cristal piézoélectrique

scotch

Pâte à fixe

aimant

Schéma de principe du montage

Ordinateur 1 création d’un

signal sinusoïdal

Ordinateur 2acquisition des données

Voltmètre

Oscilloscope

Electronique

Pont diviseur et am-plification du signal

pot vibrant et bille

carte d’acqui- sition

carte d’acqui- sition

La carte d’acquisition est unconvertisseur analogique/numérique et inversement

Schémas de l’électronique

+

+

-

-

Montage du côté bille

Montage du côté générateur

ordinateur

ordinateur

alimentation de la labdec

bille

générateur

R3

optocoupleur

optocoupleurR1

R1R2

R2 = 3 x 106 ΩR1 = 103Ω R3 = 2 x 103Ω

Le montage électronique pour le portrait de phase (vitesse/position)

+-

R1

R3

R4

R2

VsV+ V-

Ve1

Ve2

R1 = 5,1 kΩ R2 = 100 kΩ

R3 = 10 kΩ R4 = 10 kΩ

Ve1 ~ 3 V Ve2 ~ 15 V

V+ = (Ve2 × R4) / (R3+R4)

Vs – V_ = R2 × i

V_ - Ve1 = R1 × i

V+ = V_ G = 10

R2 et R4 sont variables

R1 × ( Vs – V_) – R2 × ( V_ - Ve1) = 0Vs = ( R2 / R1 ) × ( V_ - Ve1) + V_Vs = V_ × ( R2 / R1 + 1 ) – ( R2 / R1 ) × Ve1Vs = Ve2 × ( ( R4 ) / (R4 + R3) ) × ( ( R2 + R1) / R1) – ( R2 / R1 ) × Ve1 Vs = - ( ( R2 / R1 ) × Ve1 - α × Ve2 )

Schéma de l’alimentation de l’électro-aimant utilisé pour le contrôle du chaos

entrée

+-

+15 V -15 V

électro-aimant

transistors sur radiateur

AOP

capacité céramique

capacités100 nF

potentiomètre

diodes qui protègent de l’inversion de courant

carte d’acquisition de l’ordinateur

Capacités électrolytiques

170μF

Bille

+-

Schéma de l’alimentation de l’électro-aimant utilisé pour le contrôle du chaos

VSS

VCC

S1

M1

M2

E1

M

VS

VC VCC

VSS

Documents internet : attracteurs

L’attracteur de GurmonskiAnimation d’un attracteur