BUSSETTA Philippe Directeur:M. Daniel Marceau, UQAC

Modélisation et résolutiondu problème de contact mécanique

et son applicationdans un contexte multiphysique

Soutenance de thèsede doctorat en ingénierie

BUSSETTA Philippe

Directeur: M. Daniel Marceau, UQAC

Codirecteur: M. Jean-Philippe Ponthot, ULg

Université du Québec à Chicoutimi

Département des sciences appliquées

3 Février 2009

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Plan

IntroductionMécanique du contact frottantMéthodes de résolutionLimites des méthodes habituellesMéthodes de résolution proposéesConclusion et recommandations

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Introduction

Introduction Mécanique du contact

frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes

habituelles Méthodes de résolution

proposées Conclusion et

recommandations

• Problématique• Objectifs• État des connaissances• Méthodologie

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Introduction…Problématique

Le contact, un phénomène de tous les jours…

Physique

Mathématique

Informatique

Numérique

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Introduction…Problématique…

Contrainte de ContactContraintes dans les solidesRésistance thermiqueRésistance électrique

Méthode de résolutionType de problèmeChoix de paramètres

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Introduction…Objectifs

Méthode de résolutionPolyvalenteFiableRapide

Algorithme de résolutionSystème d’équations

Discrétisation du contactDiscrétisation des frontièresLois de contact

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Introduction…État des connaissances

Modélisation mathématique Méthode de résolution

Pénalisation (Sh. Keshavarz 08, etc.)Multiplicateurs de Lagrange (H. Walter 99, etc.)Lagrangien augmenté (J.C. Simo 92, etc.)

Discrétisation du contact« Point-surface » (P. Goulet 04, etc.)« Surface-surface » (M. A. Puso 04, etc.)X-FEM (G. Legrain 05, etc.)Lissage des frontières (D. Chamoret 04, etc.)

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Introduction…Méthodologie

Technique de résolutionÉtude comparativeLimites des méthodes usuellesMéthode proposée

Discrétisation du contactÉtude comparativeLimites des méthodes usuellesMéthode proposée

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Mécanique du contact frottant

Introduction Mécanique du contact

frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes

habituelles Méthodes de résolution

proposées Conclusion et

recommandations

• Physique du problème• Contact frottant

Modélisation du contact Modélisation du frottement

• Principe des travaux virtuels

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Mécanique du contact frottant...Physique du problème

Représentation du contact entre deux solides

Statut de contact? Configuration déformée?

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Mécanique du contact frottant... Contact frottant

Modélisation du contact

Loi de contact unilatérale

Lois non différentiables

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Mécanique du contact frottant... Contact frottant…

Modélisation du frottement

Loi de frottement de Coulomb

Lois non différentiables

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Mécanique du contact frottant...Principe des travaux virtuels

Travaux virtuels des forces de contact

Travaux virtuels des forces externes

Travaux virtuels des forces internes

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Méthodes de résolution

Introduction Mécanique du contact

frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes

habituelles Méthodes de résolution

proposées Conclusion et

recommandations

• Système d’équations Pénalisation Lagrangien augmenté

• Discrétisation du contact « Point-surface » « Surface-surface »

• Algorithmes de résolution Pénalisation Pénalisation adaptative Lagrangien augmenté

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Méthodes de résolution…Système d’équations

Méthode de pénalisation

Loi de contact

Loi de frottement

Coefficients de pénalisation?

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Méthodes de résolution…Système d’équations…

Méthode du lagrangien augmentéLoi de contact

Loi de frottement

Augmentation des lagrangiens

Coefficients de pénalisation?

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Méthodes de résolution…Discrétisation du contact

Méthode « point-surface »Conditions d’admissibilité

Problèmes :Frontières irrégulièresDéplacements relatifs importants

Représentation du calcul de l’interpénétration au

point A

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Méthodes de résolution…Discrétisation du contact…

Méthode « surface-surface »Conditions d’admissibilité

Problème :

Pour chaque nœudVecteur normalVecteur tangent

Représentation du calcul de

l’interpénétration au noeud A

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Méthodes de résolution…Algorithmes de résolution

Méthode de pénalisation

Méthode de Newton-Raphson :

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Méthodes de résolution…Algorithmes de résolution…

Méthode de pénalisation adaptative

L’interpénétration doit respecter :

Calcul du coefficient de pénalisation normale :

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Méthodes de résolution…Algorithmes de résolution…

Méthode du lagrangien augmenté

Méthode de Newton-Raphson :

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Limites des méthodes habituelles

Introduction Mécanique du contact

frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes

habituelles Méthodes de résolution

proposées Conclusion et

recommandations

• Problème de Hertz Pénalisation Pénalisation adaptative Lagrangien augmenté

• Tubes concentriques

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz

Deux cylindres en acier

acier

Rayon : 25 cm

Module d’Young : 200 GPaCoefficient de Poisson : 0,3Limite d’élasticité (e): 472 MPaLoi d’écrouissage : e + K

K : 640

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz…

Méthode de pénalisation

Nombre d’itérations

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz…

Méthode de pénalisation

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élastique)

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élasto-plastique)

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz…

Méthode de pénalisation adaptative

Nombre d’itérations

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz…

Méthode de pénalisation adaptative

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élastique)

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élasto-plastique)

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz…

Méthode du lagrangien augmenté

Nombre d’itérations

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Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz…

Méthode du lagrangien augmenté

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élastique)

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élasto-plastique)

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Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques

Écrasement de deux tubes concentriques

Rayon de contact : 25 cmÉpaisseur (e) : 1 cmCoefficient de frottement : 0, 15

Module d’Young : 200 GPaCoefficient de Poisson : 0, 3Limite d’élasticité (e): 472 MPaLoi d’écrouissage : e + K

K : 640Frontière fixe

Déplacement U imposé

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Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques…

Maillage utilisés

Longueur : 10 cm

Frontières de contact

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Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques…

Nombre d’itérations en fonction du type de modélisation

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Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques…

Maillage 1 Maillage 2

Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation

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Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques…

Maillage 1 Maillage 2

Contrainte normale de contact avec la méthode du lagrangien augmenté

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Méthodes de résolution proposées

Introduction Mécanique du contact

frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes

habituelles Méthodes de résolution

proposées Conclusion et

recommandations

• Méthode « Surface-surface »• Pénalisation adaptative modifiée• Lagrangien augmenté adapté• Validation

Problème de Hertz Tubes concentriques Préchauffage de la cathode d’une

cuve d’électrolyse

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Méthodes de résolution proposées…Méthode « Surface-surface »

Conditions d’admissibilité

Solution :

Pour chaque nœudVecteur normal et tangent (élément maître)

Problème 3D

Représentation du calcul de

l’interpénétration au noeud A

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Méthodes de résolution proposées…Pénalisation adapté modifié

Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal

gi >> gi-1

gi ≈ gi-1

gi > gi-1

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Méthodes de résolution proposées…Lagrangien augmenté adapté

Algorithme de calcul de la force normale de contact :

Ai

Ai-1

2

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Méthodes de résolution proposées…Lagrangien augmenté adapté…

Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal

gi >> gi-1

gi ≈ gi-1

gi > gi-1

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Méthodes de résolution proposées…Lagrangien augmenté adapté…

Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation tangentiel

Initialisation

Adaptation

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Méthodes de résolution proposées…Validation

Problème de Hertz

acier

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Méthode de pénalisation adaptative modifiée

Nombre d’itérations

Problème de Hertz…

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Méthode de pénalisation adaptative modifiée…

Problème de Hertz…

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élastique)

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élasto-plastique)

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Méthode du lagrangien augmenté adapté

Nombre d’itérations

Problème de Hertz…

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Méthode du lagrangien augmenté adapté…

Problème de Hertz…

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élastique)

Contrainte normale de contact tn

(maillage 4 et comportement élasto-plastique)

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Écrasement de deux tubes concentriques

Maillage utilisés

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Méthode « surface-surface »

Maillage 1 Maillage 2

Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation (n = 105 et t = 104)

Écrasement de deux tubes concentriques…

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

Schéma d’un bloc cathodique Courbe de montée en température du dessus du bloc cathodique

acier

carbone

fonte

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse…Maillage d’un bloc cathodique

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté

Valeur maximale de l’interpénétration pour chaque pas de temps avec la

méthode du lagrangien augmenté adapté

Nombre d’itération en fonction du pas de temps

Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse…

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté…

Pénalisation Lagrangien augmenté adapté

Contrainte normale de contact au 6ème pas de temps (interface fonte-carbone)

Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté…

Pénalisation Lagrangien augmenté adapté

Première contrainte principale au 16ème pas de temps

Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

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Méthodes de résolution proposées…Validation…

Force normale de contact sur l’interface fonte-carbone

Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

Id1

Id2

Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté…

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Conclusion et recommandations

Méthodes usuelles de résolutionNon adaptées

Méthode de résolution proposée :

lagrangien augmenté adaptéPlus rapide (adaptation de la pénalité)Plus robuste (lagrangien augmentée)Contact avec frottement

Contexte multiphysique

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Conclusion et recommandations

Méthode « point-surface »Solution irrégulière / non représentativeValeur de l’interpénétration

Méthode « surface-surface »Solution plus régulièreContact non local

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Conclusion et recommandations

Lagrangien augmenté adaptéCalcul du contact frottantMultiplicateurs de Lagrange à incrément avant

Méthode « surface-surface »Amélioration de la programmation

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Questions