Chap5 Exmple d'Aplication de Cacul Des Remous

C h a p i t r e 5Écoulements à surface libre

C h a p i t r e 5Écoulements à surface libre

• Objectifs– Savoir calculer les propriétés géométriques et

hydrauliques d’un écoulement à surface libre.– Définir les critères d’optimalité de la section et

d’érosion pour le dimensionnement des conduites et des canaux.

– Être capable de classifier un écoulement selon son régime et la variation des propriétés géométriques et hydrauliques.

– Savoir calculer la courbe de remous pour un écoulement variant graduellement.

– Connaître les propriétés du ressaut hydraulique et les principes de construction d’un bassin d’amortissement.

Écoulements permanents et non permanents

• Un écoulement est dit permanent lorsque ses caractéristiques hydrauliques demeurent constantes en fonction du temps dans toutes les sections du cours d’eau.

• Les propriétés hydrauliques peuvent, cependant, varier d’un point à un autre (écoulement non uniforme=écoulement varié)

Types d’écoulementsUnif. Grad. Var. Rap. Var Grad. Var. Rap. Unif. Rap. Var

Decel. Decel. Dec. Accel.

Sw

S0

h(x)

Déversoir

RessautSw

S0Changement de pente

Unif.

x

Classification des écoulements

graduellementVariantUniforme Variant

brusquement

ÉCOULEMENT

Permanent(chapitres 5 et 6) (chapitres 7, 8, 9, 10)

Non permanent

Critique TorrentielFluvial

Section mouillée

surface libre

section mouillée (A)

Périmètre mouillé

surface libre

périmètre mouillé (P)

Rayon hydraulique

H

AR

P

Profondeur ou tirant d’eau

y

surface libre

Largeur au plan d’eau

Bsurface libre

Largeur au radier

b

surface libre

Pente d’un canal

ligne d’énergiesurface libre

fond du canal

L

section 1 section 2

J1 12V

2g2 2

2V2g1

y

2y

1y cos

2y cos

1z2z

origine des charges

Dimensionnalité d’un écoulement

• La dimensionnalité est le nombre de coordonnées spatiales indépendantes nécessaires pour décrire les variables de l’écoulement :x (uni-dim);x et y(bi-dim);x,y et z(tri-dim).

Les écoulements à surface libre sont tridimensionnels

• La vitesse longitudinale est nulle aux berges et elle est maximale au centre, donc elle varie avec y.

• La vitesse longitudinale est nulle au fond du cours d’eau et elle est maximale légèrement en dessous de la surface libre, donc elle varie avec z.

• L’écoulement est généralement non uniforme, donc la vitesse longitudinale varie le long de l’écoulement au gré de la pente, et de la rugosité , donc elle varie avec x.

Directionnalité d’un écoulement

• L’écoulement peut être unidirectionnel, bidirectionnel ou tridirectionnel selon que le vecteur vitesse possède une seule composante (vx), deux composantes (vx et vy) ou trois composantes (vx, vy et vz).

• D’une manière générale, on considère l’écoulement unidirectionnel dans les tronçons droits de la rivière.

Canal prismatique

• Un canal prismatique est un canal dont la pente et la géométrie de la section restent constantes dans la direction longitudinale du canal.

• Les cours d’eau naturels peuvent rarement être considérés prismatiques.

Variation de la vitesse dans une section transversale

Variation de la vitesse dans une section composée

1

1,51,52 2

Calcul du débit d’écoulement

A1

A2

An

n

i ii=1

Q vdA V A

Variation de la pression

P1

P2hécoulement

Variation de la pression avec la profondeur

Vh

2

2Vh

g

2

2

s

d

p ghVp

g

Surface libre de l’eau (Patm)

Fond du canal

=pression totale

Équation d’énergie pour les écoulements à surface libre

2 21 2

1 1 1 2 2 2V Vz y α z y α J2 g 2 g

ligne d’énergiesurface libre

fond du canal

L

section 1 section 2

J1 12V

2g2 2

2V2g1

y

2y

1y cos

2y cos

1z2z

origine des charges

Écoulement uniforme

ligne d’énergiesurface libre

fond du canal

L

section 1 section 2

J1 12V

2g 2 22V

2g1

y1y cos

2y cos

1z2z

origine des charges

1y2y =

f

JS s in θ

L

. sin() tan() So, et donc que Sf = So en écoulement uniforme.

Équation de Manning

2 / 3 1/ 2fH

1V R S

n 2 /3 1 / 2

fHA

Q R Sn

Valeurs de n Description du canal

minimum normale maximumCONDUITES FERMÉES PARTIELLEMENT PLEINES Métalliques Laiton lisse Acier soudé Acier riveté Fonte enduite Fonte brute Fer forgé Fer forgé galvanisé Tôle ondulée, drain inférieur Tôle ondulée, drain pluvial Non métalliques Lucite Verre Ciment à surface finie Ciment : mortier Béton : ponceau droit et propre Béton : avec coudes, connexions et quelques débris Béton fini Béton : égout droit avec regards etc. Béton non fini, coulé dans des formes d’acier Béton non fini, coulé dans des formes en bois lisse Béton non fini, coulé dans des formes en bois rugueux Bois : douve Bois : laminé, traité Terre cuite : tuile commune de drainage Terre cuite : égout vitrifié Terre cuite : égout vitrifié avec regards etc. Terre cuite : drain vitrifié avec joints ouverts Briques émaillées Briques enduites de mortier de ciment Égouts sanitaires tapissés de dépôts, avec coudes et connexions Égout pavé avec fond lisse Maçonnerie de gravats, cimentée CANAUX CONSTRUITS OU TAPISSÉS Surface métallique

Acier lisse non peint

0,009 0,010 0,013 0,010 0.011 0,012 0,013 0,017 0,021

0,008 0,009 0,010 0,011 0,010 0,011 0,011 0,013 0,012 0,012 0,015 0,010 0,015 0,011 0,011 0,013 0,014 0,011 0,012 0,012 0,016 0,018

0 011

0,010 0,012 0,016 0,013 0,014 0,014 0,016 0,019 0,024

0,009 0,010 0,011 0,013 0,011 0,013 0,012 0,015 0,013 0,014 0,017 0,012 0,017 0,013 0,014 0,015 0,016 0,013 0,015 0,013 0,019 0,025

0 012

0,013 0,014 0,017 0,014 0,016 0,015 0,017 0,021 0,030

0,010 0,013 0,013 0,015 0,013 0,014 0,014 0,017 0,014 0,016 0,020 0,014 0,020 0,017 0,017 0,017 0,018 0,015 0,017 0,016 0,020 0,030

0 014

Calcul du débit par l’équation de manning

B = 5m

Q = ?

Un canal à section rectangulaire fait en béton (n = 0,013) a une largeur de B = 5,0m et une pente deS0 = 5 x10-4. La profondeur normale est hn = 1,0m.1) Calculer le débit d’écoulement.

  2/3 1/ 2H

AQ R Sn

  5 1 5

2 5 2 1 7n

Hn

B hRB h

2 /31/ 24 35 1 5 . 5 10 6,87 /

0,013 7Q m s

Calcul de la profondeur par manning

B = 5m

Q = 13,74 m3/s

Un canal à section rectangulaire fait en béton (n = 0,013) a une largeur de B = 5,0m et une pente deS0 = 5 x10-4. La profondeur normale est hn = 1,0m.

2) Calculer la profondeur pour un débit égal au double du débit trouvé en 1).

  2/31/ 2

2 13,742

n n

n

B y B yQ Sn B y

  2/31/ 25 513,74 0,0005

0,013 5 2n n

n

y yy

  2355 7,99 0

5 2n

nn

yyy

1,62ny m

Calcul de la profondeur normale

d0y

1z

b

d0

c irculaire

rectangulaire (z=0)z=0,5

z=1,0

z=1,5z=2,0

z=2,5z=3,0

z=4,0

Valeu

rs de

y/b

et y/

d O

0,0001 0,001 0,01 0,1 1,0 100,01

0,1

1,0

10

Valeurs de et 1/2 8/ 3

nQS bo

1/ 2 8/3

nQS doo

Cas de la conduite circulaire coulant pleine

2 /3 1 /2p f

0 ,3 9 6 9V D S

n

8 / 3 1 / 2p f

0 , 3 1 1 7Q D S

n

Cas de la conduite circulaire coulant partiellement pleine

yD

p

AA

H

Hp

RR

p

VV

p

QQ

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,0187 0,0520 0,0941 0,1424 0,1955 0,2523 0,3119 0,3735 0,4346 0,5000 0,5635 0,6265 0,6880 0,7476 0,8045 0,8576 0,9059 0,9480 0,9813 1,0000

0,1302 0,2541 0,3715 0,4824 0,5865 0,6838 0,7740 0,8569 0,9323 1,0000 1,0595 1,1105 1,1526 1,1849 1,2067 1,2167 1,2131 1,1921 1,1458 1,0000

0,2569 0,4011 0,5168 0,6151 0,7007 0,7761 0,8430 0,9022 0,9544 1,0000 1,0393 1,0724 1,0993 1,1198 1,1335 1,1397 1,1374 1,1243 1,0950 1,0000

0,0048 0,0209 0,0486 0,0876 0,1370 0,1968 0.2629 0,3370 0,4165 0,5000 0,5857 0,6718 0,7564 0,8372 0,9119 0,9775 1,0304 1,0658 1,0745 1,0000

Tableau 5.3 Propriétés géométriques et hydrauliques d’une conduite

coulant partiellement pleine

Cas particulier de la forme circulaire

1,0

0,5

0,5

1,0

00

Q /Q P

V / PVy

D

yD

V / VPQ / Q P et

Application

Une conduite d’égout coule à 75% pleine avec un débit de 0.14 m3/s. Sa pente 32,1.10S .

Il faut trouver le diamètre de cette conduite (n = 0,015).

 0,75 5.3 0,91

p

Qh D TableauQ

yD

p

AA

H

Hp

RR

p

VV

p

QQ

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,0187 0,0520 0,0941 0,1424 0,1955 0,2523 0,3119 0,3735 0,4346 0,5000 0,5635 0,6265 0,6880 0,7476 0,8045 0,8576 0,9059 0,9480 0,9813 1,0000

0,1302 0,2541 0,3715 0,4824 0,5865 0,6838 0,7740 0,8569 0,9323 1,0000 1,0595 1,1105 1,1526 1,1849 1,2067 1,2167 1,2131 1,1921 1,1458 1,0000

0,2569 0,4011 0,5168 0,6151 0,7007 0,7761 0,8430 0,9022 0,9544 1,0000 1,0393 1,0724 1,0993 1,1198 1,1335 1,1397 1,1374 1,1243 1,0950 1,0000

0,0048 0,0209 0,0486 0,0876 0,1370 0,1968 0.2629 0,3370 0,4165 0,5000 0,5857 0,6718 0,7564 0,8372 0,9119 0,9775 1,0304 1,0658 1,0745 1,0000

  30,14 0,154 /0,91pQ m s

0,5D m

8/3 1/2p f

0,3117Q D S

n

8/3 1/20.31170.154 D

0.015.0.002134

Application

Dans une conduite d’égout à section circulaire de diamètre D, la profondeur de l’eau est h = 0,75Dlorsque le débit qui y circule est Q = 0,14m3/s. Quand la conduite transporte le débit minimum de temps sec Q = 0,03m3/s, la vitesse d’écoulement est V = 0,6m/s. Il faut trouver le diamètre de cette conduite, sa pente ainsi que le débit maximum qu’elle peutvéhiculer à surface libre (n = 0,015).

 0,75 5.3 0,91

p

Qh D TableauQ

yD

p

AA

H

Hp

RR

p

VV

p

QQ

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,0187 0,0520 0,0941 0,1424 0,1955 0,2523 0,3119 0,3735 0,4346 0,5000 0,5635 0,6265 0,6880 0,7476 0,8045 0,8576 0,9059 0,9480 0,9813 1,0000

0,1302 0,2541 0,3715 0,4824 0,5865 0,6838 0,7740 0,8569 0,9323 1,0000 1,0595 1,1105 1,1526 1,1849 1,2067 1,2167 1,2131 1,1921 1,1458 1,0000

0,2569 0,4011 0,5168 0,6151 0,7007 0,7761 0,8430 0,9022 0,9544 1,0000 1,0393 1,0724 1,0993 1,1198 1,1335 1,1397 1,1374 1,1243 1,0950 1,0000

0,0048 0,0209 0,0486 0,0876 0,1370 0,1968 0.2629 0,3370 0,4165 0,5000 0,5857 0,6718 0,7564 0,8372 0,9119 0,9775 1,0304 1,0658 1,0745 1,0000

  30,14 0,154 /0,91pQ m s

3 min minmin 0,03 / 0,195 5.3 0,776

p p

Q VQ m s tableauQ V

min 0,6 / 0,77 /pV m s V m s

220,154 0,198

0,77 4p

p

Q DA mV

0,5D m

2

32/3 2/3

0,015 0,77 2,1 100,54

H

n VpSR

32,1.10S

3maxmax1,0745 0,166 /

p

Q donc Q m sQ

Notion d’énergie spécifique

E = y + V2/2g.

2gV2

ypente S0

2

2

QE y2 g A

Régimes d’écoulement dans les canaux

Écoulementfluvial

Éco

ule

men

tto

rren

tiel

E

y

V2g

21

V2g

2C

V2g

22

yc

yc

y2

y1

supercritique infracritique

Q fixe

Edonnée

Eminimale

droite

E = y

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

Éner

gie

Profondeur

Variation de l'énergie spécifique E(y)

E=yE

Une rivière de largeur B=10m transporte un débit Q=10m3/s. Tracer

Profondeur Énergiey (m) E(y)

0,10 1,37

0,15 0,720,20 0,520,25 0,450,30 0,440,35 0,450,40 0,480,45 0,510,50 0,550,55 0,590,60 0,640,65 0,680,70 0,730,75 0,770,80 0,820,85 0,870,90 0,920,95 0,961,00 1,011,05 1,061,10 1,111,15 1,161,20 1,211,25 1,261,30 1,311,35 1,361,40 1,41

2

2

QE y2 g A

gV c

2

2

myc 3,0

cy

minE

Types d’écoulementsU n if . G ra d . V a r. R a p . V a r G r a d . V a r . R a p . U n i f . R a p . V a r

D e ce l . D e c e l . D e c . A c c e l .

S w

S 0

h ( x)

D é v e rs o i r

R e s s a u tS w

S 0C h a n g e m e n t d e p e n te

U n i f .

x

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

Éner

gie

Profondeur

Variation de l'énergie spécifique E(y)

E

E=y

Écoulement fluvial

pente du fond du canal S < S critique0

yn yc

Fr < 1

yn yc>

Écoulement critique

pente du fond du canal S = S critique

ynyc

Fr = 1

yn yc=

0

Écoulement torrentiel

pente du fond du canal S > S critique0

ynyc

Fr > 1

yn yc<

Écoulement uniforme fluvial ou torrentiel

Écoulement fluvial, critique et torrentiel

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,50 1,00 1,50

Éner

gie

Profondeur

Variation de l'énergie spécifique E(y)

E

E=y

Profondeur critique pour canal rectangulaire

46

Pour calculer la profondeur critique dans un canal rectangulaire on utilise la formule suivante:

Et la relation entre la profondeur critique et l’énergie critique est donnée par:

Profondeur critique pour les canaux à ciel ouvert

circulaire

rectangulaire (z=0) z=1,0

z=2,0z=3,0z=4,0

0,0001 0,001

0,001

0,01

0,01

0,1

0,1

1,0

1,0

10

10 100

0,01

0,1

1,0

10

1z

b

yC

d0yC

Valeurs de Q/( g b )2,5

Valeurs de Q/( g d )02,5

Vale

urs d

e y

/b e

t y /d c

oc

Pente critique pour les canaux à ciel ouvert

c

c

2

2 /3c H

n QS

A R

Énergie spécifique – Exemple Déterminez la profondeur critique pour un canal rectangulaire de 4 m de largeur qui véhicule un débit de 20 m³/s. Les parois du canal sont en béton fini et la pente est de 1%. Dites également si l’écoulement est critique, sous-critique ou supercritique.

50

B = 4m

Q = 20 m³/s

S = 0,01

Parois en béton fini

Un débit de 10 m³/s s’écoule dans un canal à section rectangulaire de largeur B = 10 m. La profondeur d’écoulement au point 1 est de 2 mètres.

Si on introduit une surélévation de 1 m au point 2, quelle sera la profondeur à cet endroit ?

50

Application 1

Solution numérique

  2 21 2

1 2

V Vy ΔZ

2g 2gy

 1 1 2 2V y V y q

 3 2 22 2 1 2

1

yq

2g y 2g×ΔZ 2gy q 0y

V /2g21 V /2g ?2

2

Z=1m

Es

Z=1m

(1)

22’

(1) (2)

o

ooy20

1

3

4

0 1 2 3 4

2

y

y1=2my2 ?

E = y

s

y2 = 0,958, y2’ = 0,2573, y2

’’ = -0,2028.

Solution graphiqueLa profondeur critique yc se calcule par le relation (5.25) :

2

c

1/3q

yg

où q = Q/B = (10m3/s) /10m = 1,0m3/s/m

yc = 0,46m

Emin = (3/2)yc = 0,69m.

On prend deux profondeurs plus faibles que yc et deux plus élevées que yc pour tracer la courbe Es(y).

Ainsi : y = 0,2m V = 5,0m/s V2/2g = 1,25m Es = 1,45m

y = 0,3m V = 3,33m/s V2/2g = 0,55m Es = 0,85m y = 2,0m V = 0,50m/s V2/2g = 0,0125m Es = 2,013m

y = 4,0m V = 0,25m/s V2/2g = 0,002m Es = 4,002m

V /2g21 V /2g ?2

2

Z=1m

Es

Z=1m

(1)

22’

(1) (2)

o

ooy20

1

3

4

0 1 2 3 4

2

y

y1=2my2 ?

E = y

s

Un débit de 10 m³/s s’écoule dans un canal à section rectangulaire de largeur B = 10 m. La profondeur d’écoulement au point 1 est de 2 mètres.

Quelle serait la hauteur z pour atteindre la profondeur critique au point 2 ?

53

Application 2

z

1 2 3

V /2 g21

Z=1,3225m

Es

Z=1,3205m

(1)

(1) (2)

o

yc0

1

3

4

0 1 2 3 4

2

y

y1=2m

E = y

s

yc

V /2gc2

La profondeur en (2), y2 , est par conséquent égale à la profondeur critique yc = 0,46m

Quelle serait la hauteur z pour atteindre la profondeur critique au point 2 ?

E1= 2,0125 m et Emin=0,69m

Donc ∆z= E1-Emin= 1,3225 m

Un débit de 10 m³/s s’écoule dans un canal à section rectangulaire de largeur B = 10 m. La profondeur d’écoulement au point 1 est de 2 mètres.

Que se passe-t-il si on introduit un obstacle de z = 1,5 m ?

55

Application 3

V /2g21

Z=1,5m

(1) (2)

y1 =2mQ=10m /s3

Q=6,3m /s3yc = 0,63m

Que se passe-t-il si l’on introduit une surélévation Z = 1,5m, comme illustré sur la figure 5.23c ?

L’énergie spécifique au point (2) est E2 = E1 – Z = 2,0125m –1,5m = 0,5125m.

La nouvelle profondeur d’écoulement est yc = (2/3)E2 = 0,3417m. Le débit unitaire réduit est 3

cq gy = 0,63m3/s/m.

Le débit d’écoulement estQ = Bq = 10m 0,63m3/s/m = 6,3m3/s alors que le débit de

la rivière est Q = 10m3/s

V /2g21

Z=1,5m

Es

Z=1,5m

(1)

(1) (2)

o

0

1

3

4

0 1 2 3 4

2

y

y1 =2m

E = y

s

Q=10m /s3

Q=10m /s3

Q=6,3m /s3

Q=6,3m /s3

yc = 0,63m

0,51m 0,69m

• (Calcul analytique ou graphique)

L’énergie spécifique amont devient alors E’1 = Emin + z = 0,69 + 1,5 = 2,19m.

La profondeur amont y1 passe alors de y1 = 2,0m à y1 = 2,18m.

Que se passe-t-il si l’on introduit une surélévation Z = 1,5m, comme illustré sur la figure 5.23c ?

On conclut donc que : 1- tant que la surélévation du fond reste inférieure ou égale à une

certaine limite, en l’occurrence Z = 1,3225m, il n’y a pas de refoulement,

2- quelle que soit la hauteur de l’obstacle, supérieure à Z = 1,3225m, la profondeur y2 sera toujours égale à la profondeur critique qui ne dépend que du débit; dans ce cas il y a refoulement

Le coefficient de Manning du canal d’écoulement suivant est de 0,02 et la pente longitudinale du fond (So) est de 4 x 10-4 m/m.

a) Quelle est la largeur minimale permissible B2 qui ne produit aucun changement sur les conditions d’écoulement en amont ?

b) Calculez la nouvelle profondeur en amont si la largeur B2 est égale à la moitié de la valeur trouvée en a).

59

Rétrécissement – exemple 6

B1 = 10 m B2 = ?Q = 10 m³/s

Déterminer le régime d’écoulement en 1

  2/32 /3 1/ 2 1/ 21 1

0 1 1 01 1

1 12 2H

B yQ AR S B y Sn B y

 21

1 1 11

101 10 2 10 010 2

yy soit y yy

 1 1,1y m

  22

1 2 3

10 0,0769,81 10 1,1

Fr

1 0, 275 11

Frécoulement fluvial en

B1 B210m

Q=10m /s3

Imposer un écoulement critique en 2

En 2, il faut que l’écoulement soit critique, donc 2 1Fr

  2 2

1 2 22 2 2 211 1 2 22 2 c

Q QE y E y Eg B y g B y

2

2 2

101,1 1,1422 9,81 10 1,1cE m m

  3 2 1,142 0,762 3c c cE y donc y m

  2 2 2 223 3 2 3

/c

c

q Q B Qy donc Bg g gy

2 4,82B m

B1 B210m

Q=10m /s3

Effet d’un étranglement

  1 22 2,41

2BB m

1 12

3 1,812C cE y m

2 2

1 1 1 11 1 12 22 1 2 1

1 1 1

10 1,812 2 9,81 10

CQE E y y m

g B y y

  3 21 11 11,81 0,051 0y y 1

1 1,79y m

B1 B210m

Q=10m /s3

1 1,1y m

q2=10/2.41

y12c=1,2m

Calcul de la courbe de remousUnif. Grad. Var. Rap. Var Grad. Var. Rap. Unif. Rap. Var

Decel. Decel. Dec. Accel.

Sw

S0

h(x)

Déversoir

RessautSw

S0Changement de pente

Unif.

x

Calculer la courbe de remous =Trouver la position de la surface libre

• Ceci revient à calculer les profondeurs de l’eau le long d’une conduite ou d’un cours d’eau

Unif. Grad. Var. Rap. Var Grad. Var. Rap. Unif. Rap. VarDecel. Decel. Dec. Accel.

Sw

S0

h(x)

Déversoir

RessautSw

S0Changement de pente

Unif.

x

Équation d’énergie pour les écoulements à surface libre

2 21 2

1 1 1 2 2 2V Vz y α z y α J2 g 2 g

ligne d’énergiesurface libre

fond du canal

L

section 1 section 2

J1 12V

2g2 2

2V2g1

y

2y

1y cos

2y cos

1z2z

origine des charges

Équation de la courbe de remousBernoulli

2 21 2

1 1 2 2 f

V Vz y z y S Δx

2g 2g

2

f

Δz Δy Δ VS

Δx Δx Δx 2g

2

f

d z d y d VS

d x d x d x 2 g

0

d zS

d x

2 2d V d V dydx 2g dy 2g dx

22d V

Frdy 2g

ligne d’énergiesurface libre

fond du canal

L

section 1 section 2

J1 12V

2g2 2

2V2g1

y

2y

1y cos

2y cos

1z2z

origine des charges

0 f2

S - Sdydx 1- Fr

Résolution directe de l’équation différentielle

0 f2

d y S - Sd x 1 - F r

2 2

0 2 4 / 3

2

3

n QSy A R

Q Bx 1g A

2

3

2 2

0 4 / 32H

Q B1 -

g AΔ x Δ yn Q

S -A R

1 2m oy

y yy

2

Types de courbe de remous

yn yn

yc yc

yc

aucunprofil

H

yn

yc

M1

yn

yc H3

2

yn

yc

M2 yn

yc M 3

y ny c

=

C 2

yn yc=

C1

yn yc= C3yn yc=

yn

yc

S1

yn

yc

S3

ycA3

Profils de la zone 1 Profils de la zone 2 Profils de la zone 3y > y ; y > yy > y ; y > y

nn cc y > y > y ; y > y > ynn____

cc

Fond

hor

izon

tal

y ny c

>

Pen t

e do

uce

y ny c

>

Pent

e cr

itiqu

ePe

nte fo

rte

y ny c

<Pe

nte ad

vers

e

ref ref ref ref refref

Étapes de calcul de la courbe de remous

1) Calculer yc et yn afin de caractériser la pente S0 du canal. 2- Identifier le type de courbe de remous à l’aide de la profondeur yref qui

doit être connue soit à l’amont soit à l’aval du bief de canal sur lequel sefait l’intégration.

3- Si yref est connue à l’amont, on procède comme suit : a) y1 = yref.

a) y2 = y1 y ( le signe dépend du type de courbe de remous).

b) ymoy = (y1 + y2)/2.

c) Calculer Amoy, RHmoy.

d) Calculer x à l’aide de la relation ymoy, Amoy, RHmoy.

e) Ajouter x aux x cumulés jusqu’à cette étape. Si la somme est inférieure à la longueur L du biefd’intégration, on continue : y2 devient y1 pour l’étape suivante d’intégration et on recommence en b).

2

3

2 2

0 2 4/3H

Q B1-

gAΔx Δyn Q

S -A R

Application 5.12 Il faut trouver le type de courbe de remous pour le canal de section rectangulaire ayant les propriétés suivantes : So = 0,005 n = 0,025 B = 5,0m yref = 4,0m Le débit est de 20,0m3/s.

• Un canal rectangulaire de largeur B = 15m et de pente S0 = 1,0 x 10-5m/m véhicule un débit Q = 50m3/s. À un point du canal, on a observé une profondeur y1 = 3,0m. Le coefficient de Manning est n = 0,025.

•• À quelle distance de ce point doit-on se

déplacer pour trouver la profondeur y2 = 3,25m?

• Doit-on chercher cette profondeur vers l’amont ou vers l’aval du point d’observation?

•

Méthode pour les canaux non prismatiques

2 2

1 1 0 2 2 f s2 21 2

Q Qy α S Δx y α S Δx h

2gA 2gA

Quand l’écoulement est fluvial, on doit procéder de l’aval vers l’amont commesuit, en posant :

y2 = yref

Quand l’écoulement est torrentiel, on doit calculer les profondeurs d’eau en allant de l’amont vers l’aval.

1- attribuer une valeur à y1, 2- utiliser y1 et y2 pour calculer A1, A2, hs, Sf1 et Sf2, à l’aide de l’équation de

Manning, puis Sf = (Sf1 + Sf2)/2,

3- si l’équation de Bernoulli est vérifiée à une tolérance près, on arrête lescalculs; sinon, on modifie y1 et on recommence à l’étape 2.

ligne d’énergiesurface libre

fond du canal

L

section 1 section 2

J1 12V

2g2 2

2V2g1

y

2y1y cos

2y cos

1z2z

origine des charges

Ressaut hydraulique

Coursier d’évacuateur

Ressaut hydraulique

V2g

21

V2g

22

H

h

h L

y1

y2

x

1 2

Profondeurs conjuguées

31 21 2 c

y + yy y y

2

bloc de seuilbloc de chutey1

y2

Pertes de charge dans un ressaut

2 1

1 2

3

Ly y

h4 y y

bloc de seuilbloc de chutey1

y2

Longueur d’un ressaut

L = 6y2 tant que

4,5 < Fr <13

bloc de seuilbloc de chutey1

y2

Bassin d’amortissement

bloc de seuilbloc de chutey1

y2

LII = D2 [4 + 0,0055 (Fr + 4,5)] si 4,5 < Fr < 10; LII = 4,35 D2 si Fr > 10

Ce bassin doit être utilisé pour des chutes inférieures à 65m et des débits unitaires inférieurs à 45m2/s.

La longueur du ressaut peut être réduite de 70%.

LIII = D2 [2,4 + 0,073 (Fr – 4,5)] LIII = 2,8 D2 si Fr > 10

On utilise ce bassin quand la vitesse en amont du ressaut est inférieure à 18m/s et le débit unitaire inférieur à 18m2/s.

h3 = D1 [1,30 + 0,164 (Fr – 4)] h4 = D1 [1,25 + 0,056 (Fr – 4)]

Pour les nombres de Froude plus modérés (2.5 < Fr1, < 4.5), le bassin de type IV est préconisé pour contenir un ressaut oscillant. La longueur du bassin de type IVse calcule par la formule suivante :

LIV = D2 [5,2 + 0,4 (Fr1 – 2,5)]