Chapitre 1 Théorie de la firme et de la production

Chapitre 1

Théorie de la firme et de la production

Qu’est-ce qu’une entreprise ? Cette question n’est pas aussi saugrenue qu’elle

ne le paraît. Une entreprise (firme) se présente comme un

réseau de relations contractuelles entre individus organisées autour de la production.

Relations contractuelles: propriétaires vs managers, managers vs travailleurs, propriétaires vs créanciers, etc.

Production: transformation de certains biens (travail, machine, espace, électricité, etc.) en d’autres biens.

Deux approches de l’entreprise Approche néo-classique: s’en tient à la définition

descriptive de la firme comme institution qui produit (transforme certains biens (inputs) en d’autres biens (outputs).

Approche institutionnelle (Williamson, prix Nobel 2009): essaie d’expliquer la constitution du réseau de relations contractuelles sous-jacents à l’entreprise.

Exemple: Renault: plusieurs usines fabriquent des voitures à partir de composantes parfois fabriquées en interne, parfois achetées à des entreprises externes.

Qu’est-ce qui explique la décision de fabriquer en interne plutôt que d’acheter à une autre entreprise (intégration) ?

Intégration de l’entreprise

Verticale: Une entreprise achète certains de ses fournisseurs ou de ses détaillants pour intégrer le processus de production de l’amont à l’aval.

Horizontale: L’entreprise achète ses concurrents ou des entreprises produisant des biens complémentaires.

Exemple: Orange fait produire ses « Live box » par Sagem ou Thomson. Il s’agit d’une décision de (dés) intégration verticale.

Exemple: Air France et KLM décide de fusionner (intégration horizontale).

Les 2 approches de l’entreprise se distinguent par l’importance qu’elles attachent à

ces aspects complémentaires. L’approche néo-classique prend l’existence de la

firme comme donnée (le fait que Renault soit organisée en plusieurs branches intégrées ou en une seule, qu’elle sous-traite certaines unités à d’autres firmes ou non est négligé).

L’approche institutionnelle explique l’intégration et la désintégration des firmes au moyen de l’économie des coûts de transaction.

Ce cours privilégiera l’approche néo-classique).

L’approche Néo-classique (1) Décrit la production d’outputs (produits) au moyen

d’inputs (facteurs, intrants). Exemples d’inputs. Le travail (en fait différents types, qualifié, peu qualifié,

travail ouvrier, travail d’ingénieur). Mesuré naturellement en flux (e.g. heures par mois/ par semaine, etc.)

Le capital (les machines, l’équipement) (stock, dure plusieurs période, doit être mesuré par flux de service produit par période).

Distinguer capital physique et capital financier. Les matières premières (fer, bois, etc.). Energie Espace (terre) Etc.

L’approche Néo-classique (2) On considère pour simplifier une firme ne produisant

qu’un seul bien (output) (la généralisation à plusieurs biens ne posant pas de problèmes particuliers).

La firme utilise n inputs pour produire cet output. L’ensemble des activités productives que la firme peut

mettre en œuvre est décrit au moyen d’une fonction F: n+

+ qu’on appelle fonction de production. Cette fonction associe à toute combinaison d’inputs (x1,

…,xn) n+ la quantité maximale y =F(x1,…,xn) d’output qu’il

est techniquement possible de produire pour la firme avec cette combinaison d’inputs.

La fonction F est donnée à la firme; elle décrit sa technologie.

Fonction de production à un facteur La notion de fonction de production se

conçoit aisément en supposant qu’il n’y ait qu’un seul facteur (e.g. le travail).

Supposons une entreprise installée dans un certain bâtiment, avec certaines machines, un abonnement électrique donné, etc.

Voyons comment la production de cette entreprise dépend de son emploi de travail (mesuré par exemple en heures/mois)

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteurQuantité de travail

Production totale

(unités/mois)

Productivité moyenne

Productivité marginale

0 0 - -

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 95 19 15

6 108 18 13

7 112 16 4

8 112 14 0

9 108 12 -4

10 100 10 -8

Fonction de production à un facteur

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Production totale

Productivité marginale

productivité moyenne

Fonction de production à un facteur

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Production totale

Productivité marginale

productivité moyenne

Fonction de production

Fonction de production à un facteur

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Production totale

Productivité marginale

productivité moyenne

La productivitémoyenne

croît, puis décroît

Fonction de production à un facteur

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Production totale

Productivité marginale

productivité moyenne

La productivité marginale: en haut de

la productivité moyenne quand celle-

ci croît.

Fonction de production à un facteur

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Production totale

Productivité marginale

productivité moyenne

La productivité marginale: en bas de

la productivité moyenne quand celle-

ci décroît.

Fonction de Production à un output (cas général)

y = F(x)

x’ xQuantité d’input

Quantité d’Output

y’ y’ = F(x’) est la quantité maximale d’output que peut produire la firme avec x’ unités d’input.

La loi des rendements décroissants

Lorsque l’utilisation d’un facteur de production augmente par accroissements successifs égaux et que les niveaux d’utilisation des autres facteurs restent les mêmes, les suppléments successifs de production obtenus décroissent.

Loi importante: s’applique à un grand nombre de technologies connues.

On peut éviter cette loi en modifiant la technologie (progrès technique).

Technologies à plusieurs inputs

Comment décrire la technologie lorsqu’il y a plusieurs inputs?

Considérons le cas où il n’y a que deux inputs, dont les quantités sont notées x1 et x2. La quantité d’output est notée y.

Supposons que la fonction de production soit

y f x x x x ( , ) .1 2 11/3

21/32

Technologies à plusieurs inputs E.g. le niveau maximal d’output

possible à partir de la combinaison d’ input(x1, x2) = (1, 8) est

Alors que le niveau maximal d’output possible à partir de (x1,x2) = (8,8) est

y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3

21/3 1/3 1/3 .

y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3

21/3 1/3 1/3 .

Technologies avec plusieurs inputs

Output, y

x1

x2

(8,1)(8,8)

Technologies à plusieurs Inputs

L’isoquante associée à la quantité y d’output est l’ensemble de toutes les combinaisons de quantités d’inputs permettant de produire exactement y.

Les isoquantes permettent une description géométrique commode des technologies impliquant plusieurs inputs.

Isoquantes avec deux inputs

y

y x1

x2

Isoquantes avec deux inputs

Les isoquantes peuvent être représentées graphiquement en ajoutant un axe pour les niveaux d’output et en « découpant » chaque isoquante à la hauteur du niveau d’output associée à la dite isoquante.

Isoquantes avec deux inputs

Output, y

x1

x2

y

y

Isoquantes avec deux inputs

L’ajout d’isoquantes supplémentaires fournit une information de plus en plus précise sur la technologie de la firme.

Isoquantes avec deux inputs

y

y

x1

x2

y

y

Isoquantes avec deux inputs

Output, y

x1

x2

y

y

y

y

Technologies à plusieurs inputs La collection complète des

isoquantes est parfois appelée la carte d’isoquantes.

La carte d’isoquantes est équivalente à la fonction de production.

E.g. 3/12

3/1121 2),( xxxxfy

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

Analogie avec la théorie du consommateur

D’un point de vue mathématique, la fonction de production ressemble à la fonction d’utilité du consommateur

La carte d’isoquantes ressemble à la carte d’indifférence

Analogie avec la théorie du consommateur

Il y a toutefois une différence essentielle: Les nombres associés par la fonction d’utilité aux courbes d’indifférence n’ont pas d’autre signification que d’ordonner ces courbes de manière conforme aux préférences du consommateur

Par contre les nombres associés aux isoquantes par la fonction de production ont une signification plus précise (cardinale) : ce sont des niveaux physiques d’output.

Propriétés des isoquantes

La plupart des technologies étudiées en sciences économiques admettent des isoquantes à pente négative croissante.

Ces isoquantes sont donc convexes. Comment interpréter la pente

d’une isoquante ?

Le taux marginal de substitution technique

La pente d’une isoquante correspond au taux auquel la technologie permet de substituer un facteur à un autre.

On appelle taux marginal de substitution technique ce taux.

Illustrons graphiquement ce concept (pour une firme qui utilise x1 unités d’input 1 et x2 unités d’input 2).

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

plus d’output

moinsd’output

Isoquante

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

Supposons que la firmeenvisage d’augmenter son

utilisation d’input 1 d’un montant

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

Supposons que la firmeenvisage d’augmenter son

utilisation d’input 1 d’un montant

x1+

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

Quelle quantité maximale d’input 2 pourrait

économiser l’entreprise Si elle continuait de produire au

même niveau ?

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

x2- a

Quelle quantité maximale d’input 2 pourrait

économiser l’entreprise Si elle continuait de produire au

même niveau ?

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

x2- a

Quelle quantité maximale d’input 2 pourrait

économiser l’entreprise Si elle continuait de produire au

même niveau ?

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

x2- a

On appelle taux marginal de substitution technique

le rapport -a/ lorsque “tend” vers 0

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

x2- a

On appelle taux marginal de substitution technique

le rapport -a/ lorsque “tend” vers 0

-a/

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

x2- a

On appelle taux marginal de substitution technique

le rapport -a/ lorsque “tend” vers 0

-a/

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

x1+

x2- a

On appelle taux marginal de substitution technique

le rapport -a/ lorsque “tend” vers 0

-a/

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

On appelle taux marginal de substitution technique

le rapport -a/ lorsque “tend” vers 0

-a/

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

On appelle taux marginal de substitution technique

le rapport -a/ lorsque “tend” vers 0

Tauxmarginal desubstitutiontechnique

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

Tauxmarginal desubstitutiontechnique

Ce taux dépend de la combinaison d’inputs

où il est calculé

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

x2

x1

Input 2

Tauxmarginal desubstitutiontechnique

Il est plus élevé ici (en valeur absolue) …

Taux marginal de substitution technique (2 inputs)

Input 1

Input 2

…que là

Tauxmarginal desubstitutiontechnique

Le taux marginal de substitution technique

Est négatif pour la plupart des technologies (si la productivité marginale de chaque facteur est positive).

Est décroissant (en valeur absolue) le long de toute isoquante.

Cette décroissance (convexité des isoquantes) est impliquée par la loi des rendements décroissants.

En revanche, une isoquante peut être convexe même si la loi des rendements décroissants n’est pas vérifiée.

La technologie

Dépend de l’entreprise En économie, on suppose

parfois que la technologie présente une structure particulière.

Considérons des exemples de telles structures.

Technologie Cobb-Douglas

Une fonction de production Cobb-Douglas est de la forme

y Ax x xa anan 1 2

1 2 .

Technologie Cobb-Douglas

Une fonction de production Cobb-Douglas est de la forme

Par exemple:

y Ax x xa anan 1 2

1 2 .

y x x 11/3

21/3

Technologie Cobb-Douglas

Une fonction de production Cobb-Douglas est de la forme

Par exemple:

avec

y Ax x xa anan 1 2

1 2 .

y x x 11/3

21/3

.3

1

3

1,1,2 21 aetaAn

x2

x1

Les isoquantes sont toutes des hyperboles assymptotiquesaux axes

Technologies Cobb-Douglas

x x ya a1 21 2 "

y x xa a 1 21 2

x x ya a1 21 2 '

Technologies à coefficient de proportion fixe

Une fonction de production à coefficients de proportion fixe à la forme:

Technologies à coefficient de proportion fixe

Une fonction de production à coefficients de proportion fixe à la forme: y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

Technologies à coefficient de proportion fixe

Une fonction de production à coefficients de proportion fixe à la forme:

E.g.

avec

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

y x xmin{ , }1 22

n a and a 2 1 21 2, .

Technologie Léontieff

Technologie Léontieffx2

x1

min{x1,2x2} = 14

4 8 14

247

min{x1,2x2} = 8min{x1,2x2} = 4

x1 = 2x2

y x xmin{ , }1 22

Parfaite complémentarité entre facteurs

Technologies à substituabilité parfaite

Une fonction de production avec substituabilité parfaite est de forme:

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

Technologies à substituabilité parfaite

Une fonction de production avec substituabilité parfaite est de forme:

Par exemple:

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

y x x 1 23

Technologies à substituabilité parfaite

Une fonction de production avec substituabilité parfaite est de forme:

Par exemple:

avec

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

y x x 1 23

n a and a 2 1 31 2, .

Technologie à substitution parfaite

9

3

18

6

24

8

x1

x2

x1 + 3x2 = 9

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 24

Isoquantes linéaireset parallèles

y x x 1 23

Productivité Marginale Physique

La productivité marginale de l’input i mesure le taux de variation de l’output maximal qu’entraîne une variation infinitésimale de l’input i, en gardant fixées les quantités des autres inputs.

Formellement,

),,( 1 nxxFy

ii x

FPM

Produit Marginal Physique

3/22

3/21

11 3

1xx

x

FPM

Par exemple si:3/2

23/1

121 ),( xxxxFy le PM1 est:

et le PM2 est:

.3

2 3/12

3/11

22

xxx

FPM

Produit Marginal PhysiqueLe produit marginal physique d’un input dépend du niveau utilisé des autres inputs. Par exemple avec:

3/22

3/211 3

1xxPM

3/21

3/23/211 3

48

3

1 xxPM

Alors que si x2 = 27 on a:

si x2 = 8,

MP x x1 12 3 2 3

12 31

327 3 / / / .

Produit Marginal Physique

Le produit marginal de l’input i est décroissant s’il diminue lorsque le niveau d’emploi du facteur augmente:

.02

2

iiii

i

x

y

x

y

xx

MP

Produit Marginal Physique

MP x x1 12 3

22 31

3 / / MP x x2 1

1/321/32

3

et

e.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Produit Marginal Physique

MP x x1 12 3

22 31

3 / / MP x x2 1

1/321/32

3

et

donc:MPx

x x1

115 3

22 32

90 / /

e.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Produit Marginal Physique

MP x x1 12 3

22 31

3 / / MP x x2 1

1/321/32

3

et

donc MPx

x x1

115 3

22 32

90 / /

MPx

x x2

211/3

24 32

90 / .

et

e.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Produit Marginal Physique

MP x x1 12 3

22 31

3 / / MP x x2 1

1/321/32

3

et

donc MPx

x x1

115 3

22 32

90 / /

MPx

x x2

211/3

24 32

90 / .

et

les deux produits marginaux sontdécroissants.

e.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Produit Marginal Physique

MP x x1 12 3

22 31

3 / / MP x x2 1

1/321/32

3

et

donc MPx

x x1

115 3

22 32

90 / /

MPx

x x2

211/3

24 32

90 / .

et

Loi des rendements décroissants: les produits marginaux de tous les facteurssont décroissants.

e.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Rendements d’échelle

La notion de produit marginal concerne l’impact d’une variation du niveau d’emploi d’un seul input sur l’output produit.

Le concept de rendements d’échelle décrit l’impact d’une variation proportionnelle du niveau d’emploi de tous les inputs sur l’output produit.

Rendements d’échelleSi, pour un niveau d’emploi (x1,…,xn) des n inputs,

),,,(),,,( 2121 nn xxxkFkxkxkxF alors la technologie décrite par lafonction de production F fait l’objet de rendements d’échelle constants.

Rendements d’échelleSi, pour un niveau d’emploi (x1,…,xn) des n inputs,

),,,(),,,( 2121 nn xxxkFkxkxkxF alors la technologie décrite par lafonction de production F fait l’objet de rendements d’échelle constants.E.g. (k = 2) doubler tous les niveauxd’emploi d’inputs double le niveaud’output produit.

Rendements d’échelle

y = F(x)

x’ Niveau d’input

Niveau d’output

y’

un input, un output

2x’

2y’

rendementsd’échelle constants

Rendements d’échelleSi, pour un niveau d’emploi (x1,…,xn) des n inputs,

),,,(),,,( 2121 nn xxxkFkxkxkxF alors la technologie décrite par lafonction de production F fait l’objet de rendements d’échelle décroissants.

Rendements d’échelleSi, pour un niveau d’emploi (x1,…,xn) des n inputs,

),,,(),,,( 2121 nn xxxkFkxkxkxF alors la technologie décrite par lafonction de production F fait l’objet de rendements d’échelle décroissants.E.g. (k = 2) doubler tous les niveauxd’emploi d’inputs fait moins que doubler le niveau d’output produit.

Rendements d’échelle

y = F(x)

x’ Niveau d’input

Niveau d’Output

F(x’)

un input, un output

2x’

F(2x’)

2F(x’)

Rendements d’échelledécroissants

Rendements d’échelleSi, pour un niveau d’emploi (x1,…,xn) des n inputs,

),,,(),,,( 2121 nn xxxkFkxkxkxF alors la technologie décrite par F fait l’objet de rendements d’échelle croissants.E.g. (k = 2) doubler tous les niveauxd’emploi d’inputs fait plus que doubler le niveau d’output produit.

Rendements d’échelle

y = F(x)

x’ Niveau d’input

Niveau d’output

F(x’)

Un input, un output

2x’

F(2x’)

2F(x’)

Rendements d’échellecroissants

Les rendements d’échelle

Sont importants en économie. L’existence de rendements d’échelle

croissants encourage les firmes à devenir « grandes » (voire à absorber leurs concurrents)

Rendements d’échelle

Comme pour le produit marginal physique, la notion de rendement d’échelle est une notion locale.

Les rendements d’échelle dont fait l’objet une technologie dépendent donc du niveau d’emploi d’inputs.

Une même technologie peut donc faire l’objet de différents rendements d’échelle suivant son niveau d’emploi de ses inputs.

Rendements d’échelle

y = F(x)

Niveau d’input

Niveau d’output

Un input, un output

Rendements d’échelledécroissants

Rendements d’échelle croissants

Exemples de Rendements d’échelle

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est

Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la quantité d’output:

a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )

Exemples de Rendements d’échelle

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est

Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la quantité d’output:

a kx a kx a kx

k a x a x a xn n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )

Exemples de Rendements d’échelle

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est

Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la quantité d’output:

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )

.

Cette technologie fait donc l’objet de rendements d’échelle constants.

Exemples de rendements d’échelle

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

La fonction de production Léontieff:

L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:

min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2

Exemples de rendements d’échelle

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

La fonction de production Léontieff:

L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

a kx a kx a kx

k a x a x a xn n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

Exemples de rendements d’échelle

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

La fonction de production Léontieff:

L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

.

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

La technologie Léontieff fait donc l’objetde rendements d’échelle constants.

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( )kx kx kxa an

an1 2

1 2

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

nn

n

aaaaaa

an

aa

xxxkkk

kxkxkx

2121

21

1

21 )()()(

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

k x x x

a an

a

a a a a a a

a a a a ana

n

n n

n n

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

.

)()()(

1

2121

2121

21

21

21

21

yk

xxxk

xxxkkk

kxkxkx

n

nn

nn

n

aa

a

n

aaaaa

a

n

aaaaa

a

n

aa

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1décroissants si a1+ … + an < 1.

Exemples de Rendements d’échelle

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

1 2 1

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1décroissants si a1+ … + an < 1.

Rendements d’échelle

Q: Une technogie dont les produits marginaux physiques de tous ses inputs sont décroissants peut-elle avoir des rendements d’échelle croissants ?

Rendements d’échelle

Q: Une technogie dont les produits marginaux physiques de tous ses inputs sont décroissants peut-elle avoir des rendements d’échelle croissants ?

R: oui.E.g. .),( 3/2

23/2

121 xxxxF

Long-terme vs court-terme On distingue parfois l’entreprise suivant

qu’elle opère dans le long terme ou le court terme.

Long terme: horizon dans lequel la firme est supposée capable de modifier les quantités de tous les facteurs de production qu’elle utilise.

Court terme: horizon dans lequel certains inputs (bâtiments, machines, etc.) sont supposés disponibles dans des quantités fixées et non modifiables.

Long Terme Vs Court-terme

De quelle manière le rétrécissement au court terme de l’horizon affecte-t-il la technologie de la firme?

Supposons que la quantité de l’input 2 soit fixée dans le court terme.

L’nput 2 sera alors considéré comme un input fixe dans le court terme et l’input 1 comme l’input variable.

Long-Terme vs Court-Termex2

x1y

x2

x1y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x2 x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x1

y

Long-Terme vs Court-Terme

x1

y

4 fonctions de production de court terme.

Long-Terme vs Court-Terme