CHAPITRE 10 Fonctions affines – Fonctions linéaires

CHAPITRE 10 

Fonctions affines – Fonctions linéaires

Objectifs:- Savoir déterminer la forme algébrique d’une fonction linéaire ou d’une fonction affine.

- Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction donnée.

- Représenter graphiquement des fonctions et

exploiter les graphiques.

I. Exemples de fonctions affine et linéaire

Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée

Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€1) Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6 entrées, 11

entrées puis 15 entrées.Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant ?

Nombre d’entrées

x Dépense avec

Tarif 1

Dépense avec Tarif 2

x = 6

48 €

64 €

88 €

x = 11 x = 15

120 €

84 € 100 €

2) Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x la

dépense pour la saison pour chaque tarif.

Tarif 1 : 8x

A chaque nombre x, on associe le nombre 8x.

On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note:

f: x 8x ou f(x)= 8x

Remarques : f(x) se lit « f de x »

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

Tarif 2 : 4x + 40

A chaque nombre x, on associe le nombre 4x + 40.

On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note:

g: x 4x + 40 ou g(x)= 4x + 40

DéfinitionsSoient a et b deux nombres fixés

x a x + b est appelée fonction affinex a x est appelée fonction linéaire

Remarque: Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0.

3) a) Avec le tarif 2, calculer le prix dépensé pour 18 entrées.

Avec x = 18 on a g(18) = 4x18 + 40 = 112

Avec le tarif 2, 18 entrées coûtent 112€.

On dit que : L’ IMAGE de 18 par la fonction g est 112

b) Calculer de même : f(2), g(4), g(7) et f(10).

f(2) = 8x2 = 16 g(4) = 4x4 + 40 = 56

g(7) = 4x7 + 40 = 68 f(10) = 8x10 = 80

c) Trouver x tel que g(x) = 84. Interpréter le résultat.

g(x) = 844x + 40 = 84

4x = 44 x = 11

Avec le tarif 2, une somme de 84€ permet 11 entrées.

On dit que :

L’ ANTECEDENT de 84 par la fonction g est 11

Définition

Soit f une fonction affine ou linéaire, on a:

f: antécédent image

ou encore f(antécédent) = image

car g(x)= 4x + 40

4) a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la

dépense en fonction du nombre d’entrées.

Pour construire les représentations graphiques, on utilise le tableau de la question 1).

x entrées x = 6 x = 11 x = 15

Tarif 1 48 € 88 € 120 €

Tarif 2 64 € 84 € 100 €

Remarque : Si on ne dispose pas d’un tel tableau, il faut en construire un.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10Nombre

d’entrées

Prix en €

x entrées

x = 6 x = 11 x = 15

Tarif 1 48 € 88 € 120 €Tarif 2 64 € 84 € 100 €

Représentation de la

fonction f

Représentation de la

fonction g

Remarque : Les représentations graphiques sont des droites.

Propriétés-Toute fonction affine est représentée par une droite d’équation y = a x + b-Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine d’équation y = a x

Ici, f est représentée par la droite d’équation y = 8x et g par la droite d’équation y = 4x + 40.

b) Répondre en utilisant le graphique :

Dans quels cas vaut-il mieux choisir un tarif plutôt qu’un autre ? 

Entre 0 et 10 entrées : le tarif 1 est plus avantageux.

Pour plus de 10 entrées : c’est le tarif 2.

x

y

O I

J

II. Lecture graphique d’images et d’antécédents

Voici la représentation graphique de la fonction f tel que f(x) = 3x – 5 dans le repère (O,I,J).

y = 3x - 5 L’image de 4 par f est

4

7

7

on a f(4) = 7

L’image de -1 par f est

-1

- 8

-8

on a f(-1) = -8

L’antécédent de 4 par f est

4

33

on a f(3) = 4

III. Détermination de la formealgébrique d’une fonction

1) Fonction linéaire

Déterminer la forme algébrique de la fonction linéaire f vérifiant : f(5) = 6

Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a dans f(x) = a x .

or f(5) = 6

donc a x 5 = 6 car f(5) = a x 5

soit a = 6/5 = 1,2

Donc la forme algébrique de f est f(x) = 1,2 x

2) Fonction affine

Déterminer la forme algébrique de la fonction affine g vérifiant : f(2) = 4 et f(5) = 1

Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a et la valeur de b dans f(x) = a x + b

Pour déterminer la valeur de a nous disposons de la formule suivante:

f (m) f(n)a

m n

f (2) f(5)ici a

2 5

4 12 5

3

13

Donc la forme algébrique partielle de f est f(x) = -1 x + b

Il reste à trouver la valeur de b dans f(x) = -1 x + b

or f(2) = 4

donc -1 x 2 + b = 4 car f(2) = -1 x 2 + b

soit -2 + b = 4

soit b = 4 + 2 = 6

Donc la forme algébrique de f est f(x) = -1 x + 6

ou encore f(x) = -x + 6