3ème 2009-2010

Fonctions linéaires et affinesFonctions linéaires et affines

I. Fonctions linéaires

1/ Activités

Première étapeRevoyons d'abord, sur un exemple, en quoi consiste la proportionnalité. On considère pour cela un triangle équilatéral dont la longueur du côté est variable. Selon la valeur de cette longueur, on peut calculer le périmètre de ABC en la multipliant par trois. En effet, si AB mesure 2,5 cm , le périmètre de ABC est égal à ABBCCA=AB×3=2,5×3=7,5 cm .

Dans le tableau ci-dessous, d'autres exemples sont pris au hasard :

Le fait de toujours multiplier par un même nombre, ici le nombre 3 , correspond à une situation de proportionnalité. Ce tableau est appelé tableau de proportionnalité. Le nombre 3 est le coefficient de proportionnalité.

Deuxième étapeVoici un deuxième exemple. Tout près d'ici, un fromager vend, en plus de ses fromages, de la crème fraîche à 25 %. Cela signifie que la quantité de matière grasse pour cent gramme de crème fraîche est égale à 25 grammes. On remarque dans cet exemple que 25 représente le quart de 100.Ce fromager propose à ses clients des pots de 10 cl , 20cl , 50cl ou 100 cl . On trouve le tableau ci-dessous en prenant à chaque fois le quart de la quantité de crème fraîche donné dans un pot.

Ce tableau est aussi un tableau de proportionnalité. Le nombre 14=0,25 est le coefficient de

proportionnalité, il permet de « passer » de la première ligne à la deuxième ligne du tableau par une simple multiplication : on parle alors du processus calculatoire qui consiste à multiplier un nombre (ici la quantité de crème fraîche) par un coefficient (ici le nombre 0,25 ) afin d'obtenir un autre nombre (ici la quantité de matière grasse).

Longueur du côté (cm) 77 0,25 1,5 un tiers 1

Périmètre (cm) 21 0,75 4,5 1 3

x

3x

× 3

20 10 50 100 x 40 400400

5 2,5 12,5 25 10 100

Quantité de crème fraîche en clQuantité de matière grasse 0,25 x

× ?

A

B

C x représente la longueur commune

des côtés du triangle ABC.

3ème 2009-2010

Troisième étapeDe manière général, un coefficient est un nombre qui va servir à multiplier. Par exemple, le fait de prendre le double d'une quantité correspond au processus calculatoire de coefficient 2 : pour 5 , on obtient 10 ; pour 7,5 , on obtient 15 .On peut aussi imaginer un processus calculatoire qui consiste à multiplier par un coefficient −3 négatif : pour 4 , on obtient −12 ; pour −2 , on obtient 6 .Dans ce dernier exemple, on peut se demander d'où viennent les nombres 4 et −2 ? Ils sont, en fait, choisis au hasard ! Sans le savoir, nous sommes en train de parler de fonction affine ! C'est un processus calculatoire qui consiste à multiplier par un coefficient. Le nombre de départ, souvent choisi au hasard, est appelé la variable. Le nombre obtenu après multiplication par le coefficient est appelé l'image.

2/ Définition et notation

Définitiona représente un coefficient multiplicateur.La fonction linéaire de coefficient a est le procédé calculatoire qui consiste à multiplier un nombre x par le coefficient a .x est appelé la variable. Le nombre obtenu est appelé l'image.

Notation 1En général, une fonction linéaire est notée à l'aide d'une lettre minuscule f , g , h ... On chercher alors à résumer le procédé calculatoire par le schéma fléché suivant :f : x a x .On dit que « f est la fonction qui à x associe a x ». De plus, d'après la définition, a x est l'image de x .

Exemple 1On considère la fonction linéaire f de coefficient 2,5 . Cette fonction se schématise de la façon suivante : f : x 2,5 xC'est la fonction qui à x associe 2,5 x . Par exemple, l'image de 4 est 10 car 2,5×4=10 . Ou encore, l'image de −3 est −7,5 car 2,5×−3=−7,5 .

Quelques précisions• f est le nom de la fonction comme A serait le nom d'un point sur une figure.• Les deux points de ponctuation qui suivent f dans le schéma ont le même sens qu'en

français ; ils annoncent une explication : « à un nombre x , on va associer un nombre a x ». C'est l'explication du procédé calculatoire.

• La lettre x représente le nombre le départ (le nombre choisi ou donné). Il varie d'où le nom de « variable ».

• La flèche avec « origine » (comme pour une demi-droite) explique le procédé calculatoire que va subir le nombre x : peu importe le nombre de départ, on va le multiplier par a .

• Le mot « image » rappelle le vocabulaire utilisé dans les translations (seulement si le chapitre a déjà été vu !) où le « point d'arrivée » est l'image du point de « départ ».

3ème 2009-2010

Notation 2On utilise ici des parenthèses mais qui n'ont pas le sens connu jusqu'icif x=a x .On dit « f de x est égale à a x » et que a x est l'image de x

Exemple 2Reprenons le premier exemple de l'activité. On pourrait appeler cette fonction g . On note gx =0,25 x la fonction qui à x associe 0,25 x .

3/ Méthodes...

Pour calculer le coefficientOn considère une fonction linéaire f tel que f −5=12 . Quel est le coefficient ? Il suffit

d'écrire ce que l'on recherche : −5×?=12 ou encore −5×a=12 . On a donc a=12−5

De manière générale, il faut faire le quotient de l'image par l'antécédent (nombre de départ).

Pour calculer un antécédentOn considère une fonction linéaire g de coefficient a=−2 . On cherche le nombre dont l'image est 7,8 . Puisqu'on multiplie par la coefficient pour passer d'un nombre à son image, il suffit de diviser par ce même coefficient pour obtenir un antécédent (nombre de départ). Ici le nombre cherché

est 7,8−2

=−3,9 .

4/ Des fonctions linéaires à reconnaître

• f : x x a pour coefficient a=1 .

• g : x x2

a pour coefficient a=12

.

• h x =−2 x7 x a pour coefficient a=5 .

3ème 2009-2010

5/ Représentation graphique

a. Rappels

Repère, abscisse, ordonnée, coordonnées, axes...

• Un repère est constitué de deux droites graduée : l'axe des abscisses et l'axes des ordonnées (un axe est en fait une droite graduée).

• Le point A se repère grâce à deux nombres : son abscisse et son ordonnée. L'abscisse et l'ordonnée d'un point forment ce que l'on appelle les coordonnées. On note A2 ;3 . Attention, l'abscisse est toujours en première position.

• Dans la figure ci-dessous, on a : B 3; – 2 ; C – 2;1 ; D – 1; – 1 ; F – 1;3 ; G 4;3 et H 3;4 .

b. Sur des exemples

Exemple 1On souhaite construire la représentation graphique de la fonction h x =−2 x . Comment faire ?Lorsqu'on calcule l'image d'un nombre, on obtient un couple de nombres qui peut définir les coordonnées d'un point.Par exemple : h 7=–14 donne le point 7; – 14 .On peut ainsi obtenir une infinité de points de la représentation graphique de h .

• 1 ère étape : calcul de coordonnées de points

x ou abscisse – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5

h x ou ordonnée 10 8 6 4 2 0 – 2 – 4 – 6 – 8 – 10

3ème 2009-2010

• 2ème étape : placement des points dans un repère

On remarque les points sont alignés sur une droite passant par l'origine.

Exemple 1

Représenter la fonction gx =25

x .

x ou abscisse 0 5 – 5

g x ou ordonnée 0 2 – 2

3ème 2009-2010

c. Cas général

DéfinitionOn considère la fonction f : x a x .La représentation graphique de f est l'ensemble des points de coordonnées x ;ax .

Méthode pour construire rapidement la représentation d'une fonction linéaireConstruire les représentations de f x =– 2 x ; g x =3 x ; h x =– 5 x ; i x =1,5 x et k x =x .

Puisque f 1=– 2 , la représentation de f est une droite passant par l'origine et le point 1; – 2 .De même pour :

• g et le point 1;3 ;• h et le point 1; – 5 ;• i et le point 1;1,5 ;• k et le point 1;1 .

PropriétéLa représentation graphique d'une fonction affine de coefficient a est une droite passant par l'origine et le point de coordonnées 1; a .

6/ Lecture graphique

a. Images

On considère la fonction linéaire f dont la représentation est ci-contre.Le point de coordonnées 2;6 est sur la droite ; donc si x=2 alors f 2=6 . C'est à dire l'image de 2 est 6 .

Point méthodePour lire graphiquement l'image d'un nombre, je le place sur l'axe des abscisses, je lui fais correspondre, par l'intermédiaire de la droite ,un autre nombre sur l'axe des ordonnées : c'est l'image.

3ème 2009-2010

b. Antécédent

Le point A– 3,2 ;1,6 est un point de la représentation d'une fonction linéaire f . Donc f – 3,2=1,6 et l'antécédent de 1,6 est – 3,2 .

MéthodePour lire l'antécédent d'un nombre, on le place sur l'axe des ordonnées. En faisant correspondre par l'intermédiaire de la droite, on lit l'antécédent sur l'axe de abscisses.

De même : • l'antécédent de – 0,6 est 1,2• celui de 0,4 est – 0,8

c. Coefficient

De manière générale, l'image de 1 par une fonction linéaire est le coefficient a . Autrement dit, le point de coordonnées 1; a est sur la représentation.Par lecture graphique (ci-dessus), l'image de 1 est environ 0,5 . Donc le coefficient de f est environ 0,5 .Vérifions par le calcul. On sait que 2;6 est sur la droite, donc on a :– 3,2×a=1,6

a=1,6

– 3,2=–0,5

On a donc f : x – 0,5 x

Méthodes• Si on connaît un nombre et son image par une fonction linéaire f , on obtient son

coefficient en divisant l'image par son antécédent.

Par exemple : si f 45 =–

25

alors a=– 2

545

=– 25×

54=– 2×5

5×2×2=– 1

2.

• Si on connaît les coordonnées d'un point de la représentation de f , on obtient son coefficient en divisant l'ordonnée par l'abscisse.

Par exemple : si A– 0,5;100 alors a= 100– 0,5

=– 200 .

3ème 2009-2010

d. Équation de droite

On considère une fonction linéaire f de coefficient a . On a donc f : x ax .On considère aussi un point M de la représentation graphique de f . On note x son abscisse et y son ordonnée. On a donc M x ; y .On sait qu'en multipliant l'abscisse x par le coefficient a , on obtient l'ordonnée y ; autrement dit y=ax . Cette relation s'appelle une équation de droite.

ExempleOn considère la fonction g x =– 3 x . L'équation de la droite représentative de g est y=– 3 x (lien entre l'abscisse et l'ordonnée d'un point de la droite).

e. Cas selon le signe de a

ExemplesReprésente graphiquement f x =– 2 x ; g x =3 x ; h x =1,5 x et i x =– 5 x .

Remarque/VocabulaireOn remarque que l'inclinaison de la droite change en fonction de la valeur de a . On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite :

• si a0 , on dit que la fonction est croissante ;• si a0 , on dit que la fonction est

décroissante.

3ème 2009-2010

7/ Tableau récapitulatif

Nombre de départ Nombre d'arrivée

on multiplie par a

Fonction linéaire En général noté x et appelé

l'antécédent.

En général noté f x , il est

appelé l'image. On a

f x =ax . a est le

coefficient de f .

Représentation graphique Cela correspond à l'abscisse x

d'un point de la représentation

graphique

En général noté y , c'est

l'ordonnée d'un point de la

représentation graphique. On

a y=ax . a est le coefficient

directeur de la droite.

on divise par a

f. Une fonction non linéaire

l : x 0,5 x²−2

3ème 2009-2010

II. Fonctions affines

Exemple type « Brevet » Le gèrent d'une salle de cinéma propose deux options à ses clients :

• Option 1 : le client paie 7 € par séance• Option 2 : le client paie un abonnement annuel de 40 € puis 3 € par séance.

Comment traduire ce problème par des fonctions ?

La 1er option peut se traduire par la fonction linéaire f 1 : x 7 x et la 2ème par f 2 : x 3 x40 .Représentons ces fonctions et tentons une interprétation :

En utilisant le graphique, réponds à ces questions :• Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client qui assiste à 5 séances ?• Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client qui assiste à 12 séances ?• A partir de combien de séance, la 2ème option devient plus avantageuse ?

3ème 2009-2010

Définitiona et b représentent deux nombres fixésLa fonction affin e de coeffi cient a est le procédé calculatoire qui consiste à multiplier un nombre x par le coefficient a puis à ajouter b .

Notations• f : x a xb

On dit que « f est la fonction qui à x associe a xb ».a xb est l'image de x .

• f x=a xbOn dit « f de x est égale à a xb » et que a xb est l'image de x .

ExemplesOn considère f x =– 2 x8 .

• Dans cette fonction, on a a=– 2 et b=8 .• f 4 =– 2×48=– 88=0 ; f – 2=12 ; f 0=8 ; f – 1=10 .

Exemples de calcul d'images

On considère f x=3 x2 .

Pour cette fonction, après avoir choisi un nombre x , on le multiplie par 3 puis on ajoute 2 . Par exemple :

f 5=3×52=152=17

f 0=0×32=2

f −1=3×−12=−32=−1

Calcul d'antécédentAvec la même fonction f x=3 x2 , calcule les antécédents de −4 et 3,5 .

Pour calculer l'image d'un nombre, on multiplie par 3 puis on ajoute 2 . Logiquement, pour trouver un antécédent, on retranche 2 puis on divise par 3.

Donc l'antécédent de −4 est −4−2

3=−63=−2 .

Exercice en cours

gx =7 x−5

Calcule l'image de 2 et de −3 . Calcule l'antécédent de 5 et de −1 .

Pour calculer un antécédent, il faut ajouter 5 puis diviser par 7 .

L'antécédent de 5 est donc : 55÷7=

107 . De même l'antécédent de −1 est

47 .

3ème 2009-2010

Autre exempleOn considère g x =– 5 x – 3 . – 5 joue le rôle de a et – 3 celui de b . Donc g est le procédé calculatoire qui consiste à

multiplier par – 5 puis à retrancher 3 .• Calculs d'images : g 2=– 5×2 – 3=– 10–3=– 13

g 0=– 5×0 – 3=– 3 g – 1=– 5×– 1– 3=5 – 3=2

g – 10=– 5×– 10 – 3=50 – 3=47• Calculs d'antécédents :

Quel est l'antécédent de 3 ? On peut résoudre l'équation suivante :– 5 x – 3=3– 5 x – 33=33– 5 x=6

x= 6– 5

=– 65

MéthodesIl y a deux méthodes pour calculer un antécédent.

• Puisqu'on multiplie par a puis on ajoute b pour calculer une image, il suffit de faire « l'inverse » : on retranche b puis on divise par a .

• On résout une équation (voir exemple précédent)

Représentation graphique (exemples)f x =– 2 x4

Calculons des images afin d'obtenir des coordonnées de points.

Abscisses x – 2 – 1 0 1 2

Ordonnées f x 8 6 4 2 0

3ème 2009-2010

Remarques/MéthodeOn considère la fonction f : x a xb .La représentation graphique de f est l'ensemble des points de coordonnées x ;axb .La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point 0 ;b .Son équation est y=axb . a est toujours appelé coefficient directeur ; b est appelé l'ordonnée à l'origine.Le coefficient directeur, comme pour les fonctions linéaires, donne l'inclinaison de la droite : elle « monte » si a0 et elle « descend » si a0 .L'ordonnée à l'origine permet de savoir si la droite passe en dessous ( b0 ) ou au dessus ( b0 ) de l'origine du repère.Pour représenter graphiquement une fonction affine, on place l'ordonnée à l'origine sur l'axe des ordonnées puis on calcule les coordonnées de deux autres points. Pour cela, on choisit deux valeurs de x et on calcule leurs images.

Trouver la forme d'une fonction affine par lecture graphique

• Pour la fonction fOn lit facilement l'ordonnée à l'origine : c'est le nombre situé à l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées. C'est b=3 . La fonction f est de la forme f x =ax3 . Il reste donc à déterminer le coefficient a .Par lecture graphique, on a f 1=2 ; donc f 1=a×13=2 . Il faut résoudre

l'équation suivante :a×13=2a3=2a=– 1Donc f : x – 1 x3

• Pour la fonction gDe même, on lit graphiquement l'ordonnée à l'origine : c'est b=1 . De plus, g 1=4 donc a×11=4 ; ce qui donne a=3 .Donc g : x 3 x1 .

ExempleLa représentation graphique de g : x −2,5 x7 est la droite passant par 0 ;7 et 2;2 (par exemple).

Remarque importanteOn peut lire directement le coefficient de la fonction affine sur le graphique :

• on part d'un point de la droite ;• on se déplace d'une unité vers la droite ;• on se déplace verticalement pour retourner sur la droite : si on monte c'est positif,

sinon c'est négatif ; on compte le nombre d'unités.

3ème 2009-2010

Exemple

• f 1 : x – 13

x3

• f 2 : x −2 x3

• f 3 : x 1 x5

• f 4 : x 0,5 x0,5

MéthodeLe coefficient a se trouve graphiquement en divisant un déplacement vertical par un déplacement horizontal (voir le graphique ci-dessus pour la droite d 1 ).