Document de travail

Objectifs :

• approcher la notion de fonction ;

• acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures.

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Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de fonctions.

Notion de fonction

Capacités développées :Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée, par une courbe, un tableau de données ou une formule.

Commentaires :

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La notion d’antécédent est introduite (et le terme antécédent utilisé), par lecture directe dans un tableau, ou sur une représentation graphique.La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

Objectif : la résolution de problèmes

Plus précisément : rendre les élèves capables d’étudier :

• un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème divers aspects d’une fonction.• un problème d’optimisation ou un problème du type f(x) > k et de le résoudre, selon les cas, en utilisant les potentialités des logiciels, graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une fonction.

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2009 : Fonctions :La résolution de problèmes vise à progresser dans la maîtrise du calcul numérique et à approfondir la connaissance des différents types de nombres.

2000 : Calcul et fonctions :Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration.

Objectifs :

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2000 : Calcul et fonctions :Les définitions formelles d’une fonction croissante, d’une fonction décroissante sont attendues.

2009 : Fonctions :Les définitions formelles d’une fonction croissante, d’une fonction décroissante sont progressivement dégagées. Leur maîtrise est un objectif de fin d’année. Document de

travail

Nombres premiers Valeur absolue d’un

nombre Fonctions sinus et

cosinus

Études de fonctions • Les fonctions polynômes

de degré deux : Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 et la propriété de symétrie de leurs courbes

Ces résultats peuvent être partiellement ou totalement admis.

Savoir mettre un tel polynôme sous forme canonique n’est pas un attendu du programme

• les fonctions homographiques :

Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique

Hormis le cas de la fonction inverse, la connaissance générale des variations d’une fonction homographique et sa mise sous forme réduite ne sont pas des attendus du programme

En plus :

En moins :

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Objectif essentiel : donner sens à la notion de fonction monotone sur un intervalle

Les définitions doivent être dégagée très progressivement et formalisées bien plus tard.Leur maîtrise est un objectif de fin d’année.Cette maîtrise des définitions est attestée si :• connaissant les variations d’une fonction monotone sur un intervalle, l’élève est capable de comparer les images de deux nombres donnés de cet intervalle.• l’élève sait que, disposer des variations d’une fonction sur un intervalle, ne lui permet pas de comparer les images de n’importe quel nombre.Le programme ne fixe pas comme objectif que l’élève devienne capable d’étudier, dans le cas général, les variations d’une fonction en mobilisant l’effet sur l’ordre d’un enchaînement de fonctions de référence.En revanche, les élèves doivent être en mesure de mobiliser de façon autonome leurs connaissances des variations des fonctions polynômes de degré 2 lors de la résolution de problèmes. Document de

travail

L’apprentissage du calcul algébrique se poursuit et se situe toujours dans la perspective d’une résolution de problème (pour lui donner du sens)Objectifs en terme d’autonomie :• Associer à un problème une formule• Anticipation de la forme de l’expression utile pour résoudre le problèmeExemples : Forme factorisée pour résoudre les équations de la forme f(x) = 0 Écriture sous la forme k – (nombre toujours positif) pour prouver que, pour tout réel x, f(x) < kQuand la complexité du calcul algébrique nécessaire à la résolution du problème devient trop grande, un recours à des logiciels de calcul formel est possible et à favoriser

La notion de fonction en progression spiralée

La notion de fonction est une notion à travailler dans la durée

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Une programmation centrée sur les problèmes que les élèves doivent savoir résoudre

Le développement de l’autonomie de l’élève nécessite une

confrontation fréquente à des problèmes posés sous forme

ouverte

Problème de référence 1 (sources : doc. ressources pour la classe de seconde)

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ABCD carré dont les côtés ont pour longueur 8 cm.M est un point du segment [AB]. AMEF est un carré le triangle MBG est isocèle en G et la hauteur issue de G a la même mesure que la longueur des côtés du carré AMEF.Question 1 : Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré ? Et si oui, dans quels cas ?

Question 2 : Est-il possible que l'aire du triangle soit plus grande que l'aire du carré ? Et si oui, dans quels cas ?

Question 3 : Est-il possible que le motif constitué par le carré AMEF et le triangle MBG ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD ? Et si oui, dans quels cas ?

Question 4 : Est-il possible que l'aire du triangle soit la plus grande possible ? Et si oui, dans quels cas ?

Question 5 : Comment évolue l'aire du motif en fonction de la longueur AM ?

Capacités mises en œuvre : Question 1 : Traduire le lien entre deux quantités par une formule Identifier la variable et l’ensemble de définition Représenter graphiquement la fonction carré sur un intervalle Déterminer l’image d’un nombre Associer à un problème une expression algébrique Mettre le problème en équation Identifier la forme la plus adéquate en vue de la résolution du

problème Factoriser une expression polynomiale simple Résoudre une équation se ramenant au premier degré

Question 2 : Modéliser un problème par une inéquation Résoudre graphiquement une inéquation de la forme f(x) <

g(x) Résoudre algébriquement l’inéquation nécessaire à la

résolution d’un problème à partir de l’étude du signe d’une expression produit

Document de travail

Capacités mises en œuvre : Question 3 : Mettre le problème en équation Identifier la forme la plus adéquate (forme canonique) en

vue de la résolution du problème Résoudre une équation se ramenant au premier degré

Questions 4 et 5 : Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de

variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe

Résoudre graphiquement un problème d’optimisation Identifier la forme la plus adéquate (forme canonique) en

vue de la résolution du problème Résoudre algébriquement le problème

• Logiciel de géométrie dynamique

Outils utilisés : • Logiciel de calcul formel• Calculatrice graphique

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Problème de référence 2Soit un quart de cercle de centre A et de rayon 10 cm, délimité par les points B et C.M est un point quelconque de l’arc.Il se projette orthogonalement en P sur [AB] et en Q sur [AC]. On s’intéresse à l’aire du rectangle APMQ

Question 1 : Comment évolue l'aire du rectangle en fonction de la position du point M ?Question 2 : Comment procéder pour déterminer la valeur exacte (ou approchée) de l’abscisse du point M où se produit le changement de variation de l'aire du rectangle ? Etablir la « meilleure » conjecture possible

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Capacités mises en œuvre : Questions 1 et 2 : Réinvestissement des connaissances de géométrie du collège Donner l’expression algébrique d’une fonction Identifier la variable et l’ensemble de définition Déterminer l’image d’un nombre Établir un tableau de valeurs Représenter graphiquement une fonction Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le

comportement d’une fonction définie par une formule ou une courbe Résoudre graphiquement un problème d’optimisation (maximum) Résoudre graphiquement une équation de la forme f(x) = k Résoudre graphiquement une inéquation de la forme f(x) ≥ k Encadrer la solution du problème grâce à un algorithme Utiliser une fonction de référence : la fonction « carré » Comparer deux nombres, signe de la différence Logique : proposition conditionnelle Ecriture d’un algorithme simple permettant d’afficher le plus grand de

deux nombres

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Outils utilisés : • Logiciel dédié à l’élaboration et à l’exécution d’algorithmes• Calculatrice graphique programmable• Logiciel de géométrie dynamique• Logiciel de calcul formel

Le tailleur de pierreUn tailleur de pierre dispose d'une pierre brute en forme de prisme droitCe prisme droit ABCDQN a pour bases deux triangles ABC et DQN rectangles et isocèles respectivement en A et D. De plus, AB = AC = 20 cm. La longueur AD de cette pierre est de 50 cm. L’artisan décide de tailler cette pierre de manière à obtenir un nouveau prisme droit AMEFDSTR . Comment doit-il procéder lorsque son volume est imposé ? Lorsque l’on souhaite qu’il soit le plus grand possible ?

Objectifs : • Réinvestir les connaissances sur les solides usuels étudiés au collège• Mobiliser plusieurs champs des mathématiques• Modéliser et s’engager dans une activité de recherche

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Outils utilisés : • Logiciel de géométrie dynamique du plan ou de l’espace• Logiciel de calcul formel

La Poutre (source : d’après hyperbole 2nde )

Un menuisier dispose d'un morceau de bois en forme de prisme droit. Ce prisme droit a pour base un triangle rectangle isocèle. Le menuisier souhaite découper dans ce morceau une poutre parallélépipédique (pavé droit).Comment peut-il s'y prendre pour obtenir une telle poutre sachant qu'il aimerait obtenir celle qui a le volume maximal.

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Objectifs : • Réinvestir les connaissances sur les solides usuels étudiés au collège• Mobiliser plusieurs champs des mathématiques• Modéliser et s’engager de manière autonome dans une activité de rechercheOutil utilisé : • Logiciel de géométrie dynamique du plan ou de l’espace (choix 1 ou choix 2)

Étude des variations des fonctions définies pour tout nombre réel x par : f(x) = (x - a)2 + b, en fonction des valeurs de a et b

Pré-requis : • Représentation graphique et variations de la fonction carré• Définition de la translation• Notion de vecteur

Objectif : o Déterminer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, la

translation qui transforme la parabole représentative de la fonction carré en la courbe représentative de la fonction f

o Établir le tableau de variations de la fonction f en fonction des valeurs de a et b

Prolongements possibles : Étude des variations des fonctions définies pour tout nombre réel x par :

f(x) = [(x - a)2 + b], en fonction des valeurs de , a et b (avec non nul)

Détermination des variations des fonctions polynômes du second degré à partir de leur forme canonique (donnée ou obtenue à l’aide d’un logiciel de calcul formel) Document de

travail