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Chapitre 11Droites remarquables
dans un triangle
Énigme du chapitre : Soit (d) une droite du plan et A unpoint n’appartenant pas à la droite (d).
(d)A
Où faut-il placer les points B et C sur la droite (d) pour quele triangle ABC soit équilatéral ? Détailler la construction.
I/ Médiatrices d’un triangle
Propriétés
I Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupenten un même point : on dit qu’elles sont concourrantes.
I Ce point commun est le centre d’un cercle passant par lestrois sommets du triangle. On dit que ce cercel est lecercle circonscrit au triangle.
A
B
CI
J
K
O
A
B
C
I
J
K
O
Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .
Faire les exercices nos 1 � 2 � 3 4 F
5 F
II/ Hauteurs d’un triangle
DéfinitionUne hauteur d’un triangle est une droite qui passe par unsommet et est perpendiculaire au côté opposé.
Exemple
I (AP) est la hauteur issuede A ou relative à [BC ].
I P est le pied delahauteur.
I Le terme hauteurdésignera aussi bien ladroite (AP), le segment[AP] ou la longueur AP .
A
B
CP
Propriétés
I Les trois hauteurs d’un triangle sont concourrantes en unpoint H.
I On dit que ce point commun H est l’orthocentre dutriangle.
A
B
C
H
Le point H est l’orthocentre du triangle ABC
Faire les exercices nos 6 � 7 8 9 F
10 F
III/ Médianes d’un triangle
DéfinitionUne médiane d’un triangle est un droite qui passe par unsommet et le milieu du côté opposé.
A
B
C
K
Médiane issue du point A.
Propriétés
1. Les trois médianes d’un triangle sont concourrantes en unpont G .
2. On dit que ce point commun G est le centre de gravitédu triangle.
A
B
C
I
J
K
G
Le point G est le centre de gravité du triangle ABC .
RemarquesOn a les égalités de longueurs suivantes :
I AG = 23AK
I BG = 23BJ
I CG = 23CI
Faire les exercices nos 11 � 12 1314 F 15 F
Problèmes :
Faire les exercices nos 16 F 17 F
18 F 19 F 20 F
IV/ Une activité TICE pour les droites remarquables
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