01 Table des matieres Avant-Propos Geometrie 2 N-A...3.2.4 Droites remarquables du triangle 27 3.2.5 Intersection d’une droite avec un cercle 32 3.2.6 Équation de la tangente à

Picchione Serge 2017-2018

GÉOMÉTRIE 2ème année

3.1 Trigonométrie dans un triangle quelconque 1

3.1.1 Introduction 1

3.1.2 Rappels 2

3.1.3 Théorèmes relatifs aux triangles quelconques 4

3.1.4 Calcul d’aires 10

3.1.5 Ce qu’il faut absolument savoir 17

3.2 Géométrie analytique 18

3.2.1 Points, distances 18

3.2.2 Cercles 21

3.2.3 Droites 23

3.2.4 Droites remarquables du triangle 27

3.2.5 Intersection d’une droite avec un cercle 32

3.2.6 Équation de la tangente à un cercle passant par un point du cercle 34

3.2.7 Intersection de deux cercles 36

3.2.8 Ce qu’il faut absolument savoir 39

3.3 Solutions des exercices 40

Picchione Serge 2017-2018

AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en deuxième année, en géométrie. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 1 Géométrie / Trigonométrie / 2 N-A

3.1 Trigonométrie dans un triangle quelconque 3.1.1 Introduction

La trigonométrie (du grec trigônon triangle et metron mesure) était à l'origine l'art de préciser uniquement par le calcul les informations absentes. Avec suffisamment d'informations, la trigonométrie nous permet de calculer la longueur des côtés et les angles d'un triangle préalablement défini. Pourquoi des triangles ? Parce que ce sont les figures de base qui permettent de construire toutes les autres formes ayant des côtés rectilignes. Un polygone (carré, rectangle trapèze, pentagone, hexagone, etc.) peut être « divisé » en plusieurs triangles, en menant des lignes droites d'un sommet à tous les autres. Pour étudier les relations trigonométriques dans un triangle quelconque on a besoin de connaître les relations trigonométriques dans un triangle rectangle. En effet, on constate facilement que tout triangle quelconque peut être "décomposé" en deux triangles rectangles. Commençons donc par un rappel sur les relations de bases dans un triangle rectangle !

T1 T2


3.1.2 Rappels Définition Un triangle (quelconque) est un polygone à trois côtés.

Triangles particuliers

• Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. • Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 angles égaux (⇔ 2 côtés égaux). • Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 angles égaux (⇔ 3 côtés égaux). Théorème de la somme des angles d’un triangle

hypothèse conclusion

Dans un triangle la somme des angles vaut 180°. 180α +β + γ =

Démonstration i) On trace deux droites parallèles d et d’. ii) On a : δ + γ + ε = 180° Angle plat.

iii) On a : α = δ et β = ε Angles alternes-internes.

⇒ α + γ + β=180° (fin de la démonstration) Définition Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés (carré, rectangle, trapèze, etc.). Corollaire

hypothèse conclusion

Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360°.

Démonstration En exercice. Relations métriques dans un triangle rectangle Considérons un triangle ABC, rectangle en C avec des cotés de longueurs a, b et c. Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse. + =2 2 2a b c

Démonstration Voir cour de 1ère année du Collège.

b

c a

A

B

C

d

d’

ε

α β

γ δ


Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

À partir du triangle ABC rectangle en C, on définit les relations suivantes :

( )

( )

( )

1

1

1

a asin sin sin_opp_hyp >>c cb bcos cos cos_adj_hyp >>c ca atan tan tan_opp_adj >>b b

α α

α α

α α

−

−

−

⎛ ⎞= ⇔ = <<⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⇔ = <<⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⇔ = <<⎜ ⎟⎝ ⎠

Activité 1 a) Calculer la hauteur h de l'arbre sachant que la personne mesure 1,80 m.

b) On connaît x = 10 m et d = 60 m. Calculer l'angle θ. (le triangle PQR est isocèle en R)

b α

c a

A

B

C

β

h

50 m

20°

R •


3.1.3 Théorèmes relatifs aux triangles quelconques Il est possible d'étendre l'utilisation de la trigonométrie aux triangles quelconques c'est-à-dire aux triangles ne possédant pas forcément un angle droit grâce aux théorèmes suivants :

a) Le théorème du sinus. b) Le théorème du cosinus. a) Le théorème du sinus Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c dont les 3 angles qui ont pour valeurs α, β, γ sont aigus. Remarque : + + = ° 180α β γ . Alors on a :

sin( ) sin( ) sin( )a b cα β γ

= =

Exemple

Résoudre le triangle ABC, connaissant = ° = ° =48 , 57 et b 47. α γ

• Étant donné que la somme des angles d’un triangle vaut 180°, = ° − ° − ° = °180 48 57 75β .

• Utilisons maintenant le théorème du sinus pour calculer a :

⋅ ⋅= ⇔ = = ≅

sin( ) sin( ) b sin( ) 47 sin( 48 )a 36a b sin( ) sin(75 )α β α

β

• Ensuite, avec le théorème du sinus, calculons c :

⋅ ⋅= ⇔ = = ≅

sin( ) sin( ) b sin( ) 47 sin( 57 )c 41b c sin( ) sin(75 )β γ γ

β

Remarque : Résoudre un triangle, c'est calculer la mesure de ses côtés et de ses angles. Démonstration

• Construisons dans le triangle quelconque précédent la hauteur hc issue du sommet C, coupant le côté c en un point H.

• On obtient deux triangles rectangles en H.

• On a :

⎫⇒ = ⋅ ⎪⎪⎬⎪= ⇒ = ⋅⎪⎭

cc

cc

hsin( )= h b sin( )bhsin( ) h a sin( )a

α α

β β

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =sin( ) sin( )b sin( ) a sin( )

a bα βα β

• En faisant le même raisonnement pour une autre hauteur (hA ou hB), on obtient les égalités manquantes.

C

A B

ab

c α

γ

β

C

A B

a b

c

hc

H

α

γ

β


Remarques

a) ( ) ( ) ( )

=

= = ⇒ =

1

sin 90sin aSi 90 alors sina c cα

γ α

On retrouve la définition du sinus dans le triangle rectangle !

b) La démonstration du théorème du sinus, dans ce cours, est présentée avec un triangle ayant 3 angles aigus. Si on considère un angle obtus, on obtient les mêmes relations qu'avec 3 angles aigus.

c) La connaissance de ( )sin α ne permet pas de déterminer α de manière unique, puisque deux

angles supplémentaires ont même sinus. Autrement dit : ( ) ( )° − =sin 180 sinα α . Il faudra donc être prudent lors de l'utilisation du théorème du sinus, en envisageant toutes les solutions.

Exemple Théorème du sinus : ( ) ( )°

=sin 50 sin

7 6γ

( ) ( ) ( )°

− °⋅

⇔ = ⇔ = ≅ = − ≅16 sin 50sin sin 0.657 41 ou 180 41 139

7γ γ γ

On pourra ensuite éliminer la valeur indésirable en vérifiant que la condition + + = °180α β γ est satisfaite ou en utilisant le fait que dans un triangle, au plus grand angle est opposé le plus grand côté. b) Le théorème du cosinus Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c dont les 3 angles qui ont pour valeurs α, β, γ sont aigus. Remarque : + + = °180α β γ . Alors on a :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc cos( )

b a c 2ac cos( )

c a b 2ab cos( )

α

β

γ

= + − ⋅

= + − ⋅

= + − ⋅

Exemple

Résoudre le triangle ABC, connaissant = = = °a 5, c 8 et 77β .

• Utilisons le théorème du cosinus pour calculer b : ( ) ( )= + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⇔ ≅ ≅2 2 2 2 2b a c 2ac cos 5 8 2 5 8 cos 77 71 b 71 8,4β

• Ensuite, avec le théorème du sinus, calculons α :

( )−

⋅ ⋅= ⇔ = ≅ ⇔ ≅

⇔ ≅ ≅ = − =1 '

sin( ) sin( ) a sin( ) 5 sin(77 )sin( ) sin( ) 0,5782a b b 8,4

sin 0,5782 35 ou 180 35 145

α β βα α

α α

• Finalement sachant que + + = ° 180α β γ (théorème de la somme des angles), nous avons :

= ° − − ≅ − − =180 180 35 77 68γ α β ' 145 impossible sinon 42α γ= ≅ −

C

A B

ab

c α

γ

β


Démonstration

• Construisons dans le triangle quelconque précédent la hauteur hc issue du sommet C, coupant le côté c en un point H.

• On obtient deux triangles rectangles en H.

H divise le côté AB en deux parties : = = −1 1AH c et HB c c

• Appliquons le théorème de Pythagore aux triangles rectangles ACH et BCH :

( )

( )⎫= − ⎪⇒ − = − −⎬

= − − ⎪⎭

2 2 2c 1 22 2 2

1 122 2c 1

h b cb c a c c

h a c c

donc −2 21b c = − + −2 2 2

1 1a c 2cc c ⇔ = + −2 2 21a b c 2cc

• Finalement avec ( ) ( )= ⇒ = ⋅11

ccos c b cosb

α α on obtient : ( )= + − ⋅2 2 2a b c 2bc cos α

En faisant le même raisonnement pour une autre hauteur (ha ou hb), on obtient les égalités manquantes, à savoir : = + − ⋅ = + − ⋅2 2 2 2 2 2b a c 2ac cos( ) et c a b 2ab cos( )β γ Remarques

a) ( )=

= = + − ⋅ = +2 2 2 2 2

0

Si 90 alors c a b 2ab cos 90 a bγ

On retrouve le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle !

b) La démonstration du théorème du cosinus, dans ce cours, est présentée avec un triangle ayant 3 angles aigus. Si on considère un angle obtus, on obtient les mêmes relations qu'avec 3 angles aigus.

c) Si α est un angle d'un triangle, la connaissance de ( )cos α permet de déterminer sans ambiguïté

l'angle α : il n'y a qu'un angle compris entre 0° et 180° tel que ( ) = − ≤ ≤cos v si 1 v 1.α

Exemple : On cherche α.

Théorème du cosinus :

( )( )( )

( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

a b c 2bc cos

5 8 8,4 2 8 8,4 cos

5 8 8,4 134,4 cos

5 8 8,4 cos134,4

0.8152 cos

cos 0.8152 35

α

α

α

α

α

α −

= + − ⋅

⇔ = + − ⋅ ⋅ ⋅

⇔ − − = − ⋅

− −⇔ =

−⇔ =

⇔ = ≅

C

A B

a b

c1

hc

H

α

γ

β c− c1

C

A B

58,4

8 α

γ

β


Exercice 1

Démontrer que dans un quadrilatère (rectangle, losange, parallélogramme, etc.), la somme des angles vaut 360°. Exercice 2

Compléter les lignes du tableau suivant en utilisant les rapports trigonométriques : (2 décimales)

a b c α° β°

I 10,88 mm 16,31°

II 58,25 dm 81°

III 36,61 km 54°

IV 3m 4m 5m

V 2 mm 5 mm Exercice 3

Trouver la hauteur de l'antenne si α = 45°, β = 50° et b = 25 m. Exercice 4

Résoudre les triangles suivants : (réponses avec 2 décimales)

1) α = 28° et b = 40 , c = 60.

2) a = 11, b = 8 et c = 10.

3) γ = 70° et a = 18, c = 36.

4) α = 60°, γ = 45° et c = 20.

5) α = 15° et a = 8, b = 10 .

6) a = 4, b = 7 et c = 2.

7) α = 20°, β = 20° et c = 10.

8) α = 60°, β = 40° et γ = 80°. Exercice 5

Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c dont les 3 angles qui ont pour valeurs α, β, γ sont aigus. Remarque : α + β + γ =180°.

Démontrer que : a) =sin( ) sin( )

a cα γ (Théorème du sinus) Un dessin est exigé !

b) ( )= + − ⋅2 2 2c a b 2ab cos γ (Théorème du cosinus) Un dessin est exigé !

b α

c a

A

B

C

β

C

A B

ab

c α

γ

β


Trigonométrie : Applications Exercice 6

Un parallélogramme a des côtés de 30 cm et de 70 cm et un angle de 65°.

Calculer la longueur de chaque diagonale au cm près. Exercice 7 Calculer la hauteur h du phare à l'aide des données du problème.

Remarque : Le dessin est en perspective et on considère comme négligeable la hauteur du rocher sur lequel le phare est construit. Le triangle ACD est rectangle en C. Exercice 8

Les angles d’élévation d’un ballon à partir de deux points A et B au sol sont respectivement de α = 47° et β = 24°. Les points A et B sont distants de 8,4 km et le ballon se situe entre ces points, dans un même plan vertical. Calculer l’altitude h du ballon en mètre. Exercice 9

Un enfant est prisonnier au fond du puits d’une mine, dont le couloir mesure 13 m et forme un angle de 78° avec l’horizontale. Un tunnel de sauvetage est creusé à 15 m de l’ouverture de la mine (voir figure).

a) A quel angle θ , le tunnel de sauvetage doit-il être creusé ?

b) Si on peut creuser le tunnel de sauvetage à la vitesse de 10 m/h, combien d’heures seront nécessaires pour atteindre l’enfant ?


A C

B

D

E

F

G

H

10°16°

16°50°

Exercice 10

La figure représente une boîte de dimensions 8 cm × 6 cm × 4 cm.

Les faces sont perpendiculaires deux à deux.

Calculer l’angle θ formé par la diagonale de la base et la diagonale de la face 6 cm × 4 cm.

Remarque : ce dessin est en perspective. Exercice 11

On projette la construction d'une jetée [EF] entre la rive et l'île apparaissant sur le plan ci-contre en vue de l'implantation d'une marina. Quelle sera la longueur de cette jetée ?

Exercice 12

Calculer la hauteur BD en mètre du pylône à l'aide des données du problème. =AC 70 m .


3.1.4 Calcul d’aires Activité 2 (Calculs d'aires de polygones)

a) Soit un rectangle dont les côtés mesurent respectivement a et b. Nous admettrons que l'aire d'un rectangle est égale à a·b.

Aire du rectangle ABCD = a⋅b

b) Déduire l’aire d'un parallélogramme à partir de l’aire d'un rectangle. (Justification et dessin explicatif)

Aire du parallélogramme ABCD =

c) Déduire l’aire d'un triangle à partir de l’aire d'un parallélogramme. (Justification et dessin explicatif) Ici, la hauteur h est la distance d'un sommet à la droite supportant le côté opposé (appelé base).

Aire du triangle ABC =

d) Déduire l’aire d'un trapèze à partir de l’aire d'un triangle. (Justification et dessin explicatif)

Les deux côtés parallèles [AB] et [DC] sont appelés les bases et la distance entre les bases est la hauteur h du trapèze.

Aire du trapèze ABCD =

A B

CD

a

b

A B

CD

b

h

A B

C

b

h

A B

CD

b

h

b'


Motivation 1) Un champ dont le pourtour est un polygone, peut-être "divisé" en plusieurs triangles en menant des lignes droites d'un sommet à tous les autres. 2) L'aire du champ ce ramène donc au calcul d'aires de triangles. 3) On cherche alors diverses formules qui permettent de calculer l'aire des triangles constituant le champ en fonction des angles et/ou des côtés. Nous allons voir qu'il est possible de calculer l’aire A d’un triangle quelconque en fonction de : i) la longueur d’un côté ainsi que d’une hauteur. (voir activité 2 page précédente)

ii) la longueur de deux côtés et d’un angle. (voir théorème ci-dessous)

iii) la longueur de trois côtés. (voir formule de Héron) ii) Théorème Considérons un triangle quelconque ABC. Appelons ha , hb et hc respectivement la longueur de la hauteur issue du sommet A, B et C. L'aire A du triangle quelconque vaut :

Autrement dit :

L'aire d'un triangle quelconque est donc égale au demi-produit de deux côtés par le sinus de l'angle compris entre ces deux côtés. Démonstration

cc hA2⋅

= et cc

hsin( ) h a sin( )a

β β= ⇔ = ⋅ (rapport trigonométrique dans le triangle rectangle)

donc ( )c b sin( ) b c sin( )A2 2

α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

Pour obtenir les autres relations il faut considérer les hauteurs a bh et h . Exemple

L'aire A du parallélogramme ABCD = Aire ( 1T ) + Aire ( 2T )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + = ⋅ ⋅

a b sin( ) a b sin( ) a b sin( )2 2

α α α

b c sin( ) a c sin( ) a b sin( )A2 2 2

α β γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

C

A B

a b

c

hc

hb

ha

α

γ

β

b α

b

a

a

A B

C D α

T1 T2

T1 T2

T3


iii) La formule de Héron

La formule de Héron exprime l’aire d’un triangle en fonction des longueurs de ses côtés. Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c et les angles ayant pour valeurs α, β, γ . Remarque : + + = °180α β γ . L’aire A d’un triangle de côtés a, b, c est donné par :

A p( p a )( p b )( p c )= − − − où p est le demi-périmètre du triangle, c’est-à-dire a b cp2

+ +=

Démonstration *

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

= = ⋅

⇔ =

⇔ = + =

⇔ = −

⇔ = + ⋅ − − = − +

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1A ch h b sin21A bc sin2

1A b c sin sin cos 141A b c 1 cos41 1A bc 1 cos bc 1 cos identité remarquable : x y x y x y2 2

α

α

α α α

α

α α

Nous allons obtenir la formule de Héron en remplaçant les expressions sous le radical par des expressions impliquant uniquement a, b et c.

En substituant par la formule du théorème du cosinus : ( ) + −=

2 2 2b c acos2bc

α nous avons :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − + + −+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ − + + + −= = ⋅ − = − +

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2

1 b c a 1 2bc b c a b 2bc c abc 1 bc2 2bc 2 2bc 4

b c a b c a b c aidentité remarquable : x y x y x y

4 2 2

Nous utilisons les mêmes manipulations pour la deuxième expression sous le radical :

( )( ) − + + −− = ⋅

1 a b c a b cbc 1 cos2 2 2

α

Si maintenant nous substituons les expressions sous le radical, nous obtenons :

+ + + − − + + −= ⋅ ⋅ ⋅

+ + + + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b c a b c a a b c a b cA2 2 2 2

a b c a b c a b c a b ca b c2 2 2 2

En posant + +=

a b cp2

, nous obtenons finalement que : = ⋅ − ⋅ − ⋅ −A p ( p a ) ( p b ) ( p c ) .

C

A B

a b

c

h

α

γ

β

C

A B

ab

c α

γ

β


C

Exercice 13

Un champ triangulaire a des côtés de 125 m, 160 m et 225 m.

a) Calculer l’aire du champ en hectares (1 ha = 10’000 m2) sans utiliser la formule de Héron.

b) Calculer l’aire du champ en hectares (1 ha = 10’000 m2) en utilisant la formule de Héron. Exercice 14

a) Calculer la distance entre le point A et le point B en mètre.

b) Calculer l'aire du champ ABC en km2 sans utiliser la formule de Héron.

c) Calculer l'aire du champ ABC en km2 en utilisant la formule de Héron. Exercice 15

Un promoteur immobilier désire acquérir un terrain polygonal limité par une rue et une forêt. Le prix du terrain au m2 est de 50 Fr/m2 . Calculer le prix du terrain en Fr. Exercice 16 Les pavés de Penrose ont la forme d’un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1 et dont un angle intérieur fait 72°. On situe un point P sur la diagonale [AC] à une distance l du sommet C. De ce point partent les deux segments de droite [PB] et [PD] rejoignant les deux autres sommets du losange, comme le montre la figure. Les deux pavés ainsi formés sont appelés « fer de lance » et « cerf-volant ». On utilise des composés analogues, mais en trois dimensions, en chimie moléculaire. a) Calculer les mesures en degrés des angles BPC, APB et ABP.

b) Calculer la longueur du segment [BP] .

c) Calculer l’aire du fer de lance et du cerf-volant.

160 m

125 m

225 m

110 m35°

Sir Roger Penrose


Exercice 17 *

Il existe quelques relations intéressantes entre l'aire d'un triangle et le cercle qui lui est circonscrit. 1) Démontrer en vous aidant du dessin ci-contre que :

( ) ( ) ( )a b c 2r

sin sin sinα β γ= = =

Indication : utiliser le théorème de l’angle inscrit et de l’angle centre. 2) Démontrer que l'aire A d'un triangle quelconque

ABC vaut abc4r

où r est le rayon du cercle

circonscrit au triangle. 3) Un triangle quelconque est donné par ses trois côtés :

a = 5 ; b = 6 ; c = 9

Calculer le rayon r du cercle circonscrit à ce triangle. Exercice 18 *

À l'aide des mesures effectuées, déterminer le volume de la tour d'habitation à base carrée suivante :

C

A B

a b

c

α

γ

β •

r

r r


Exercice 19 *

En 1872, le terrible bandit Ted avait dévalisé une diligence chargée d’or et enfoui son magot dans une ville abandonnée. Or, la semaine dernière, le célèbre Théo Raime, en fouinant sur un marché aux puces, a découvert un vieux croquis manuscrit, dont voici le contenu : Un mot de Ted complète ce document :

« Je suis parti de l’hôtel (H) dans une certaine direction puis j’ai enterré mon trésor (T). J’ai ensuite tourné de 60° et je suis arrivé au bar (B). J’ai compté en tout 110 pas. » Théo Raime décide aussitôt de déterminer la position de tous les points susceptibles de cacher le trésor. Aidez-le en indiquant la direction précise à prendre depuis l’hôtel et la distance à parcourir. Attention ! Il y a peut-être plusieurs solutions. Exercice 20 *

Trois cercles de rayons respectifs 18, 21 et 29 cm sont tangents deux à deux extérieurement.

Calculer l'aire de la surface hachurée. Exercice 21 * Introduction :

Dans certains problèmes de navigation ou de topographie, la position d’un point Q par rapport à un point P est spécifiée en indiquant :

1) la mesure de l’angle aigu que le segment PQ forme avec la ligne nord-sud passant par le point P.

2) si Q est au nord ou au sud et à l’est ou à l’ouest de P. Exemple :

La position du point Q1 par rapport au point P est située à 25° au nord-est. Notation : N 25° E. Remarque :

A noter que lorsqu’on utilise cette notation pour des directions, les caractères N ou S sont toujours écrits à gauche de l’angle et W ou E à droite.

B H

T

70 pas

60°


Exercice 21 a)

1) Déterminer la position de A, B, C et D par rapport à P.

2) Déterminer la position de P par rapport à chacun des points A, B, C et D. Exercice 21 b)

Trois navires sont situés comme suit :

- A se trouve à 225 km à l'ouest de C. - B se trouve droit au sud de C. - La position de B par rapport à A est : S 25,16° E. 1) Représenter la situation à l’aide d’un dessin.

2) A quelle distance de B se trouve A ?

3) A quelle distance de C se trouve B ?

4) Quelle est la position de A par rapport à B ?

Exercice 21 c)

Un bateau de croisière partant d’une île fait route en direction N47°E pour atteindre un port sur la côte, situé à 240 km. A cause d’un fort courant, le bateau est dévié de sa route et atteint un point P relevé N33°E à 128 km de l’île.

1) Calculer la distance séparant le bateau du port.

2) Quelle direction le bateau doit-il suivre pour corriger sa route ?

Exercice 21 d)

Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction N34°W à une vitesse de 38 km/h. Un autre bateau quitte le port à 13h30 et fait route dans la direction N56°E à une vitesse de 30 km/h. 1) Représenter la situation à l’aide d’un dessin.

2) Quelle est la distance approximative séparant les deux bateaux à 15h00 ? Réponse en km.

Exercice 21 e)

Un bateau de pêche industriel utilise un sonar pour détecter un banc de poissons à 4 km à l’est du bateau, qui se déplace en direction N51°W à la vitesse de 16 km/h .

1) Si le bateau avance à une vitesse de 40 km/h, calculer à 0,1° près la direction à suivre pour intercepter le banc de poissons.

2) Calculer le temps, à la minute près, qu’il faudra au bateau pour atteindre le banc de poissons.

S


3.1.5 Ce qu’il faut absolument savoir 1♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok

2♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok

3♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

4♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

5♥ Connaître et appliquer le théorème de Pythagore ok

6♥ Connaître et appliquer les rapports trigonométriques (dans le triangle rectangle) ok

7♥ Connaître et appliquer le théorème du sinus ok

8♥ Démontrer le théorème du sinus ok

9♥ Connaître et appliquer le théorème du cosinus ok

10♥ Démontrer le théorème du cosinus ok

11♥ Résoudre des triangles quelconques (calculer des valeurs manquantes) ok

12♥ Connaître et appliquer les formules donnant l’aire de polygones simples (rectangle, parallélogramme, triangle, etc.) ok

13♥ Connaître et appliquer la formule donnant l’aire d’un triangle quelconque en fonction de la longueur de deux côtés et d’un angle. ok

14♥ Connaître et appliquer la formule donnant l’aire d’un triangle quelconque en fonction de la longueur de trois côtés. (formule de Héron) ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 18 Géométrie / Géométrie analytique / 2 N-A

Avant Descartes, la mesure des angles α, β et γ ainsi que la longueur des côtés a, b et c étaient les seuls nombres de cette figure géométrique.

Après Descartes, les points du plan (ici les sommets du triangle) sont associés à des couples de nombres réels.

3.2 Géométrie analytique 3.2.1 Points, distances Définition

Dans le plan, un repère orthonormé est constitué d'un point O, nommé origine, et de deux axes orientés Ox et Oy, perpendiculaires, munis d'une même échelle. Un point A du plan peut alors être représenté par deux coordonnées a1 et a2, ce qu'on notera par A(a1;a2).

Illustration : Remarque

Le fait d'associer à chaque point du plan un couple de nombres réels permet d'appliquer l'algèbre aux problèmes de la géométrie. On attribue généralement à Descartes (1596-1650) la paternité de cette utilisation de l'algèbre en géométrie. On la nomme géométrie analytique. L’idée de base de la géométrie analytique est que les études géométriques peuvent être réalisées au moyen de calculs algébriques. On peut dire pour simplifier que c’est de la géométrie sans dessin !

0 a1 x

a2

y

• A(a1;a2)

C

A

B

a

b

c α

γ

β

•

•

• A

B

C

a

b

c α

γ

β

•

•

• x b1 c1 a1 0

a2

b2

c2

y


Propositions Soient ( ) ( )1 2 1 2A a ;a et B b ;b deux points du plan.

a) La distance entre A et B est donnée par :

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2A;B = AB = b a b aδ − + −

b) Le point milieu M entre A et B est définit par la condition suivante :

M appartient au segment [AB] et ( ) ( )A;M M ;Bδ δ= .

Ses coordonnées sont : 1 1 2 2AB

a b a bM ;2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Illustration Exemple Soient ( )A 1;3 et B( 2;5 )− deux points du plan.

On a : ( ) ( ) ( )2 2A;B 2 1 5 3 9 4 13δ = − − + − = + = et ( )AB AB1 2 5 3M ; M 0,5 ; 4

2 2− +⎛ ⎞ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Démonstration Illustration a) Thm. de Pythagore (Δ rectangle) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2A;B = b a b aδ − + −

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2A;B = b a b aδ⇔ + − + −

b) Thm. de Thalès (Δ semblables) Illustration

( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 11

1 1 1 1 2 2

2 2 2 22

2 2

A;M1 m a m a2 A;B b a b a

1 m a a bm2 b a 2 a b a bM ;1 m a a b 2 2m2 b a 2

δδ

− −= = =

− −

− + ⎫= ⇔ = ⎪− + +⎪ ⎛ ⎞⇒⎬ ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠⎪= ⇔ =⎪− ⎭

0 a1 b1

a2

b2

A(a1;a2)

B(b1;b2)•

•

δ b2 - a2

b1 - a1

0 a1 b1

a2

b2

A(a1;a2)

B(b1;b2) •

•

M(m1;m2) • m2

m1

• A

B

MAB

( )A;Bδ

( )A;Mδ ( )M ;Bδ


Exercice 22

a) Représenter sur un même repère les points A(2;3), B(1;−2), C(−6;−5) et D(−4;3).

b) Calculer la distance entre :

1) A et B 2) A et C 3) C et A 4) B et D

c) Mesurer, à l’aide d’une règle, la distance entre les points précédents. Exercice 23

Soit ( )O 0;0 l'origine du repère. Par calcul, déterminer les points ( )P x; y qui vérifient les conditions suivantes ? Réponses en valeur exacte.

a) OP 5 et x 4= = b) OP 14 et y 12= = c) OP 4 et x 0= − =

d) OP 8 et x 0= = e) OP 7 et y 8= = f) OP 7 et y x= =

Indication : faites si nécessaire un dessin pour visualiser la situation. Exercice 24

Soient les points ( )A( 2;3 ) et B 3; y− . Par calcul, déterminer y pour que ( )A;B = 26δ .

Réponses en valeur exacte.

Indication : faites si nécessaire un dessin pour visualiser la situation. Exercice 25

Soient A(−3;3), B(5;5) et C(2;−5) , trois points du plan. a) Déterminer l'aire du triangle ABC.

b) Calculer les coordonnées du centre ainsi que le rayon du cercle Γ qui a pour diamètre le segment joignant les point A et B et passant par ces points.

c) Le point C est-il dans le cercleΓ , sur le cercleΓ ou en dehors du cercleΓ ?

Justifier par des calculs. Exercice 26

Les points A(4;−6), B(6 ;10), C(−6;1) et D(1;−7) pris dans cet ordre sont les sommets d’un quadrilatère ABCD et M, N, P et Q respectivement les points milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

a) Calculer les coordonnées des points M, N, P et Q.

b) Calculer la longueur des côtés du quadrilatère MNPQ. Que constatez-vous ? Réponses en valeur exacte. c) Représenter dans le même repère le quadrilatère ABCD et le quadrilatère MNPQ. Que constatez-vous ?


3.2.2 Cercles Définition

Un cercle Γ (gamma majuscule) est un ensemble de points P situés à une même distance d'un point donné. Le point donné est le centre C du cercle et la distance donnée le rayon r du cercle.

Proposition Soit P(x;y) un point appartenant au cercle Γ de rayon r et de centre C(c1;c2).

( ) ( ) ( )2 2 21 2P x; y x c y c r Γ∈ ⇔ − + − = Équation cartésienne du cercle Γ

Démonstration Illustration : Théorème de Pythagore :

[ ]( ) ( )2 2 2

1 2

Triangle rectangle d'hypothénuse CP

x c y c r⇒ − + − =

Exemples

a) ( )2 2x 3 y 4− + = est l’équation d’un cercle de centre C(3;0) et de rayon r = 2 car on peut écrire :

( ) ( ) ( )2 2 22 2x 3 y 4 x 3 y 0 2− + = ⇔ − + − = . ( ) ( ) ( )2 2A 3; 2 car 3 3 2 4 Γ− ∈ − + − =

( ) ( )2 2B 3;1 car 3 3 1 4 Γ∉ − + ≠ b) 2 2x y 4x 4 y 1+ − − = est l’équation d’un cercle de centre C(2;2) et de rayon r = 3

car on peut la réécrire ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2x 4x y 4 y 1 x 2 y 2 3− + + − + = + + ⇔ − + − =4 4 4 4

c) 2 2x y 4 0+ + = n’est pas l’équation d’un cercle car on peut écrire

( ) ( )2 22 2x y 4 0 x 0 y 0 4+ + = ⇔ − + − = − et 2r 4= − ce qui est impossible. Remarques

a) Γ est un cercle de rayon r et de centre C(0;0) ⇔ l'équation cartésienne de Γ est 2 2 2x y r+ = .

b) ( )( )

[ ]2 2

2 2 2 2 2 f

2 2 Équation exp liciteÉquation implicite

Deux fonctions

f x r xx + y = r y r x D r;r

f x r x

+

−

⎧ = −⎪⇔ = ± − ⇔ = −⎨= − −⎪⎩

• C

P

r

•

• P r

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

Γ

A •

B •

f+

f−

0 c1 x

c2

y

C(c1;c2)

P(x;y)

r 2y c−

1x c−


Exercice 27

Soit Γ un cercle d'équation ( ) ( )2 2x 3 y 2 36− + + = .

a) Donner le centre et le rayon de Γ.

b) Est-ce que ( )A 2 ; 4− appartient à Γ ?

c) Déterminer les coordonnées des points de Γ ayant pour abscisse x = −2.

d) Déterminer les coordonnées des points de Γ ayant pour ordonnée y = 0.

e) Le point ( )B 8;4 est-il dans le cercleΓ , sur le cercleΓ ou en dehors du cercleΓ ? Justifier par des calculs. Exercice 28

1) Déterminer l'équation cartésienne du cercle Γ :

a) de centre C(4;−2) et de rayon r = 8.

b) de centre C(−4;−2) et passant par le point P(1;3).

c) de centre C(−5;6) et tangent à l'axe des x.

d) qui a pour diamètre le segment joignant les point A(5;−1) et B(−3;7) et passant pas ces points.

2) Pour chaque cercle, donner un point P appartenant à Γ et un point Q n'appartenant pas à Γ. Justifier. Exercice 29

Si cela est possible, déterminer le centre C et le rayon r des cercles suivants :

a) 2 2: x y 25 0Γ + − = b) 2 2: x y 36 0Γ + + =

c) 2 2: x y 4x 6 y 4 0Γ + − + + = d) 2 2: x y 10 y 9 0Γ + + + =

e) 2 2: x y 8x 6 y 0Γ + − − = f) 2 2: x y 4x 2 y 9 0Γ + + − + =

g) 2 2: 2x 2 y 2x 10 y 11 0Γ + − + + = h) 2 2: 4x 4 y 4x 4 y 6 0Γ + − + − = Exemple

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2

22 2 2 22

x y 6 x 8 y 0x 6 x y 8 y 0

x 6 x y 8 y a b a 2ab bCompétion du carré :

a b a 2ab bx 3 y 4 5

+ − − =

⇔ − + − =

⎫⇔ − + + − + = + + = + +⎪⎬

− = − +⇔ − + − = ⎪⎭

9 16 9 16

Le centre du cercle est ( )C 3;4 et son rayon vaut r 5= .


0 b1

b2

A

PB

y

a2

x a1

dAB

•

• •

3.2.3 Droites Proposition ( formule 2 points )

Soient deux points A(a1;a2) et B(b1;b2) non situés sur la même verticale et P(x;y) un point appartenant à la droite AB (notée dAB) et distinct de A et de B.

( ) 2 2 2AB

1 1 1

y a b aP x; y dx a b a− −

∈ ⇔ =− −

Équation cartésienne de la droite dAB

Démonstration Illustration : ( ) AB

1 2

1 1 2 2

2 2 2

1 1 1

pente mde la droite

P x;y d( semblables donc thm. de Thalès)

x a y a APb a b a ABy a b ax a b a

∈

Δ

− −⇔ = =

− −− −

⇔ =− −

Remarques

a) Quels que soient les points A et B choisis sur une même droite (non verticale) la valeur de la pente de la droite m est toujours la même (Théorème de Thalès).

b) Exemple : Soient A(1;3) et B(−2;5) deux points du plan.

L'équation cartésienne de la droite dAB est : y 3 5 3 y 3 2x 1 2 1 x 1 3− − −

= ⇔ = −− − − −

Le point C(4;1) appartient à la droite dAB car 3 21 3

−= −

−14

et A, B et C sont alignés.

Le point D(2;1) n’appartient à la droite dAB car 3 21 3

−≠ −

−12

et A, B et D ne sont pas alignés.

Formule ( point / pente )

L'équation cartésienne de la droite peut s'écrire à l'aide d'un point A(a1;a2) et la pente m

de la droite : 2 2 2 2

1 1 1 1

m

y a b a y a mx a b a x a

=

− − −= ⇔ = ⇔

− − −( )− −2 1y a = m x a

Ex : ( )y 3 2 2y 3 x 1x 1 3 3− ⎛ ⎞= − ⇔ − = − ⋅ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

Equation de la droite passant par A(1;3) et de pente 2m3

= −

Formule ( pente / ordonnée à l'origine )

L'équation cartésienne de la droite peut s'écrire à l'aide de la pente m et de l'ordonnée à l'origine n de la droite : ( )2 1 1 2

n

y a m x a y mx ma a=

− = − ⇔ = − + ⇔ y = mx + n

Ex : ( )2 2 11y 3 x 1 y x3 3 3

− = − − ⇔ = − + Equation de la droite de pente 2m3

= − et d'ordonnée à l'origine 11n3

=


Remarque La représentation cartésienne d’une droite n’est pas unique.

Exemple : ( ) ( ) ( )3 22y 3 x 1 3y 9 2 x 1 6 y 18 4 x 1 ......

3

⋅ ⋅

− = − ⋅ − ⇔ − = − − ⇔ − = − − ⇔

Définitions

a) Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point en commun.

b) Deux droites sont confondues si elles ont tous leurs points en commun.

c) Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.

Proposition

Soit d1 et d2 deux droites dont les pentes sont respectivement m1 et m2 et d'ordonnée à L'origine n1 et n2.

a) d1 et d2 sont parallèles ⇔ m1 = m2 et n1 ≠ n2 b) d1 et d2 sont confondues ⇔ m1 = m2 et n1 = n2 c) d1 et d2 sont perpendiculaires ⇔ m1⋅ m2= −1

Exemples

( ) ( )1 2d : y 3 4 x 1 et d : y 5 4 x 1− = − − = − sont parallèles.

( ) ( )1 2d : y 3 4 x 1 et d : 2 y 6 8 x 1− = − − = − sont confondues.

( ) ( )1 21d : y 3 4 x 1 et d : y 3 x 14

− = − − = − − sont perpendiculaires.

Démonstration

a) et b) Évident.

c) • α +90° +β = 180°

(angle plat et somme des angles dans un triangle)

• Les deux triangles sont égaux donc Δx1 = Δy2 et Δx2 = Δy1

•

11 1

1 1 2 1 11 2

2 1 2 1 12 2

2

ypente( d ) mx y y y xm m 1

y x x x ypente( d ) mx

Δ ⎫= = ⎪Δ Δ Δ Δ Δ⎪ ⇒ ⋅ = ⋅ − = ⋅ − = −⎬Δ Δ Δ Δ Δ⎪= − =⎪Δ ⎭

Δy1

α

d1

d2

Δx1

Δy2

Δx2

α

β β r

r

d1 d2

d1

d2

d1

d2


Exercice 30

Déterminer la pente, l'ordonnée à l'origine et donner un point appartenant à chaque droite :

1) d : 4x 5 y 20 0 − + = 2) ( )d : y 4 2 x 2− = + 3) d : 4 y 8 0 − =

4) d : x y 4 0 + + = 5) 2d : 3x 2y 7 0 + + = 6) d : 3x y 4 0π− + =

7) d : x 3 0+ = Exercice 31

Soient A(6;4), B(14;−12) et C(2;12) trois points.

a) Déterminer par calcul si ces points sont alignés.

b) Même question, mais en considérant les trois points suivants : A(0;20), B(20;60) et D(30;−40). Exercice 32

Déterminer dans chaque cas l'équation cartésienne de la forme : ( )2 1y a m x a− = − de la droite d.

Rappel : La représentation cartésienne d’une droite n’est pas unique. 1) d passe par l’origine ( )O 0;0 et par A(5;−1).

2) d passe par l’origine ( )O 0;0 et a pour pente −1/3.

3) d passe par A(2;3) et a pour pente 0,5.

4) d passe par A(1;1) et est parallèle à la droite d'équation d ' : y 2x= .

5) d passe par l’origine et est parallèle à la droite d'équation d ' : 3x 2 y 12− = .

6) d passe par A(1;1) et par B(2;2).

7) d passe par A(−2;3) et par B(−4;−1).

8) d passe par l’origine et est parallèle à la droite d' passant par A(−1;−2) et B(−3;3).

9) d passe par A(−1;2) et est parallèle à la droite d' passant par B(1;3) et C(−1;1).

10) d passe par A(3;4) et est perpendiculaire à la droite d'équation d ' : y x= .

11) d passe par C(3;4) et est perpendiculaire à la droite d' passant par A(−1;−2) et B(−3;3).

12) d est perpendiculaire à d ' : 3x 2 y 12− = et passe par A(−2;5). Exercice 33

Les points A(−12;−18), B(−6 ;− 12) et C(−24;0), sont-t-ils les sommets d’un triangle rectangle ?

Justifier avec des calculs. Exercice 34

Soient les droites 1 d : x 2 y 8 0+ − = 2 d : 4x 3y 7 0+ − = 3 d : 3x y 9 0+ − =

a) Déterminer par calcul, les points d'intersections entre ces trois droites.

b) Calculer le périmètre et l'aire du triangle délimité par ces trois droites.


Exercice 35 Définition : Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère (carré, rectangle, trapèze, etc.)

a) Compléter le schéma de classification des quadrilatères en fonction de leurs caractéristiques :

b) Les points A(1;1), B(4;11), C(1;12) et D(−2;2), pris dans cet ordre, sont-t-ils les sommets d'un trapèze, d'un parallélogramme, d’un losange, d'un rectangle ou d'un carré ? (Justifier avec des calculs). c) Calculer l'aire du quadrilatère ABCD. Exercice 36 Considérons deux routes rectilignes 1d et 2d données par les équations : 1 d : x y 1+ = − et 2d : 2x y 3− + = . Vous vous situez au point ( )P 7;2 .

Quelle est la route la plus proche de votre position P ? Justifier avec des calculs.

D C

A B

Les côtés de même longueur

Une paire de côtés parallèles

L'autre paire de côtés parallèles

Les angles de même grandeur

Les angles de même grandeur Les côtés de même longueur

P

•

d1

d2


A’

B’

O

bissectrice de l‘angle AOB

M A

B ••

•

•

•

•

μα

μγ

μβ A

B

C

•

•

•

•

•

•

• I

3.2.4 Droites remarquables du triangle Il existe quatre droites particulières dans un triangle appelées les droites remarquables. Définition

La bissectrice d’un angle AOB est la droite qui coupe l’angle en deux parties égales. C’est également l’ensemble de tous les points M, équidistants des demi-droites [OA[ et [OB[. Si M est sur la bissectrice A'M B'M=

Illustration

Proposition

Soit ABC un triangle quelconque. Les trois bissectrices notées μα , μβ et μγ se coupent en un seul point I qui est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

Illustration Démonstration

Si I est le point d’intersection des bissectrices de α et de β, il est équidistant de [AB] et [AC] et de [AB] et [BC]. C’est donc un point appartenant à la bissectrice de γ .

Donc I est équidistant aux trois côtés du triangle ABC et c’est le centre du cercle inscrit au triangle.

μα

μγ

μβ

A

B

C

•

• •

•

I

r r

r


A

B

M

médiatrice du segment [AB]

•

•

•Définition

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par le milieu du segment. C’est également l’ensemble de tous les points M, équidistants de A et B. Si M est sur la médiatrice AM BM=

Illustration

Proposition

Soit ABC un triangle quelconque. Les trois médiatrices notées Ma , Mb et Mc se coupent en un seul point J qui est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Illustration Démonstration

Mc

•

C

A B

• J

•

•

•

• •

Mb

Ma

Si J est le point d’intersection des médiatrices de [BC] et [AC], il est équidistant de B et C et de A et C. C’est donc un point appartenant à la médiatrice de [AB] .

Donc J est équidistant aux trois sommets du triangle ABC et c’est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Mc

•

C

A B

• J

•

•

•

• •

Mb

Ma

r

r r


Définition

Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Proposition

Soit ABC un triangle quelconque. Les trois hauteurs notées hA , hB et hC se coupent en un seul point H qui est appelé orthocentre du triangle ABC.

Illustration Démonstration Dessinons un triangle ABC et traçons par A une parallèle au côté [BC], par B une parallèle à [AC] et par C une parallèle à [AB]. Ceci définit un nouveau triangle DEF (D opposé à A, E à B et F à C). Les quadrilatères ABDC, ABCE et AFBC sont des parallélogrammes ce qui implique que les points A, B et C sont les points milieux respectivement des segments [EF], [FD] et [ED]. Nous pouvons conclure que les hauteurs du triangle ABC sont aussi les médiatrices du triangle DEF qui se coupent en un point H.

•

•

•

C

A B

hC

hB hA

• H

•

•

•

C

A B

hC

hB hA

• H

E • •

•

D

F


Définition

Une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Proposition

Soit ABC un triangle quelconque. Les trois médianes notées mA , mB et mC se coupent en un seul point G qui est appelé centre de gravité du triangle ABC.

Illustration Démonstration Dessinons un triangle ABC et traçons les médianes issues de B et de C : mB et mC. Elle se coupent en un point G, mB coupe [AC] en D et mC coupe [AB] en E. F est le point d’intersection de la droite AG avec le côté [BC]. Si on montre que F est le point milieu de [BC] on montre que la droite mA est une médiane du triangle qui passe aussi par G. Définissons un point P qui est le point sur la droite AG tel que l’on ait pour les distances AG GP= . Traçons aussi les droites BP et CP.

Nous avons par construction que : AD AG DGAC AP CP

= = et AE AG EGAB AP BP

= =

En utilisant la réciproque du théorème de Thalès on obtient le résultat suivant : les droites EG et BP, respectivement DG et CP, sont parallèles. Le quadrilatère GBPC est un parallélogramme et on sait que ses diagonales se coupent en leurs milieux. F est donc le point milieu du segment [GP] et [BC].

• A B

C

mB

mC

∏ G

•

• •

••

mA

E

D F •P

• A B

C

mB

mC

G

•

• •

• • mA

•


Exercice 37

On considère le triangle ABC de sommets ( ) ( ) ( )A 4;0 ,B 8;6 et C 1;2− .

a) Représenter dans le même repère, le triangle ABC, les 3 médianes et le centre de gravité G, intersection des 3 médianes.

b) Déterminer par calcul, le centre de gravité G du triangle ABC. Réponse en valeur exacte.

Exercice 38


a) Représenter dans le même repère, le triangle ABC, les 3 médiatrices et le point d’intersection J, intersection des 3 médiatrices.

b) Déterminer par calcul, le point d'intersection J des médiatrices du triangle ABC. Réponse en valeur exacte.

c) Calculer le rayon du cercle circonscrit ainsi que l'aire du disque.

Exercice 39


a) Représenter dans le même repère, le triangle ABC, les 3 hauteurs et le point d’intersection H, intersection des 3 hauteurs.

b) Déterminer par calcul, le point d'intersection H des hauteurs du triangle ABC. Réponse en valeur exacte.

c) Calculer l'aire du triangle ABC en utilisant la formule : base hauteurAire2⋅

= .


3.2.5 Intersection d’une droite avec un cercle

Question Combien d'intersections peut-il y avoir entre un cercle et une droite ? Réponse

Il peut y avoir zéro, une ou deux intersections entre un cercle et une droite. Méthode

Pour déterminer les points d’intersection (s'ils existent) d’un cercle Γ avec une droite d, il faut trouver l’ensemble des points (couples) qui satisfont simultanément les équations du cercle et de la droite. Il faut donc résoudre un système non linéaire de deux équations à deux inconnues.

Équation de la droite d

Équation du cercle Γ

⎧⎪⎨⎪⎩

Exemple

On cherche les intersections entre un cercle d’équation 2 2: x y 2x 4 y 5 0Γ + − − − = et la droite d’équation d : x y 5 0+ − = .

On doit donc résoudre le système d’équation non linéaire :2 2x y 2x 4 y 5 0

x y 5 0⎧ + − − − =⎨

+ − =⎩

De la seconde équation on isole y 5 x= − , puis on substitue dans la première équation.

On obtient une équation du 2ème degré : ( ) ( )22 2x 5 x 2x 4 5 x 5 0 2x 8x 0+ − − − − − = ⇔ − =

Résolution avec la formule de Viète : 1 2b b0 x 0 ou x 4

2a 2aΔ ΔΔ − − − +

> ⇒ = = = =

On calcule ensuite les valeurs de y correspondantes et on obtient les deux points d’intersection : ( ) ( )P 0 ;5 et Q 4 ;1

Exercice 40

Déterminer par calcul, les points d'intersections entre le cercle Γ et la droite d (si ils existent).

a) 2 2: x y 25 0 d : x 2 y 5 0Γ + − = − + =

b) 2 2: x y 16 0 d : x 2 y 10 0Γ + − = − + =

c) 2 2: x y 20 0 d : x 2 y 10 0Γ + − = − − =

d) 1de centre C( 3;4 ) et de rayon r 2 d de pente et d ' ordonnée à l' origine 11

Γ = −

e) * Γ passant par les points ( ) ( ) ( )E 3;1 , F 1;1 et G 2; 4− − − et d : 3x 2 y 7− =

f) * Combien de cercles passent par un point, deux points et trois points ?

Illustrer par des croquis tous les cas possibles.

••

•


A

• •

•

B C

M•

Γ

Ω

Exercice 41

Pour déterminer les points d’intersection (s'ils existent) d’un cercle avec une droite, il faut trouver l’ensemble des points (couples) qui satisfont simultanément les équations du cercle et de la droite. Il faut donc résoudre un système non linéaire de deux équations à deux inconnues.

1) Si l’équation du second degré qui en résulte admet deux solutions ( ......Δ ) cela signifie que la droite coupe le cercle en …..…. points.

2) Si l’équation du second degré qui en résulte admet une solution ( .......Δ ) cela signifie que la droite admet ……… point de tangence avec le cercle.

3) Si l’équation du second degré qui en résulte admet ………..…….( ......Δ ) cela signifie que la droite ...................... le cercle. Exercice 42 * Soient ( ) ( ) ( )A 2;5 , B x; y et C 5;4− trois points consécutifs d’un octogone régulier Ω .

Soit 2 2: x y 2x 2 y 23 0Γ + − − − = le cercle circonscrit à l’octogone régulier Ω .

Le point M est le centre du cercle Γ et de l’octogone régulierΩ . Illustration Remarque : [ ] [ ]AC MB⊥

1) Calculer l’aire de l’octogone régulierΩ

2) Déterminer par des calculs, les coordonnées du sommet B de l’octogone régulier Ω .

Exercice 43 *

Soit le cercle 2 2: x y 4x 4 y 4 0Γ + − − + =

a) Déterminer par calcul, le point P Γ∈ le plus proche du point ( )R 1; 1− − . Quelle est cette distance minimum ?

b) Déterminer par calcul, le point Q Γ∈ le plus éloigné du point ( )R 1; 1− − . Quelle est cette distance maximum ?


3.2.6 Équation de la tangente à un cercle passant

par un point du cercle Définition

Une droite t est tangente à un cercle Γ si elle intersecte Γ en un seul point.

Illustration

t est tangente à Γ au point P ( )P Γ∈ Conséquence

La tangente t à un cercle Γ au point P est perpendiculaire à la droite passant par P et C (le rayon du cercle). Méthode

Pour trouver l’équation de la droite tangente t en un point P, il s’agit de déterminer l’équation d’une droite passant par P et perpendiculaire au rayon du cercle Γ. Exemple

Soit Γ un cercle de centre C(2;7) et de rayon r = 5. On cherche l’équation de la tangente au point P(6;4) ∈ Γ.

La pente de la droite passant par C et P est donnée par : ( )CP7 4 3pente d2 6 4−

= = −−

Cette droite à donc une pente de 34

− et ainsi l’équation de la tangente aura une pente de 43

.

L'équation de la tangente au cercle Γ qui passe par le point P(6;4) est donc :

( )y 4 4 4y 4 x 6x 6 3 3−

= ⇔ − = −−

•C

•Pr

t

Γ


Exercice 44

Déterminer l’équation de la droite t qui est tangente au cercle Γ et qui passe par le point P Γ∈ .

1) ( )2 2: x y 25 0 P 3;4Γ Γ+ − = ∈

Représenter dans le même repère, le cercle Γ , le point P et la droite tangente t .

2) ( )2 2: x y 2x 4 y 5 0 P 4;3Γ Γ+ − − − = ∈

3) ( )2 2: x y 8x 6 y 0 P 0;0Γ Γ+ − − = ∈ Exercice 45

a) La droite 1d : x 8 0− = est-elle tangente au cercle 2 21 : x y 4x 6 y 4 0Γ + − + + = ? Justifier.

b) La droite 2d : x 4 y 13 0− + = est-elle tangente au cercle 2 22 : x y 8x 1 0Γ + − − = ? Justifier.

Exercice 46 Soit une droite t d’équation cartésienne x 3y 13 0+ − = et un cercle Γ d’équation

2 2x y 6 x 4 y 3 0+ + − + = . a) Déterminer le centre C et le rayon r du cercle Γ .

b) Montrer que la droite t est tangente au cercle Γ . Quelles sont les coordonnées du point T de contact ?

c) Déterminer une équation de la tangente u à Γ au point ( )U 0;1 . Calculer les coordonnées du point I commun aux tangentes t et u .

d) Calculer la valeur de l’angle aigu formé par les tangentes t et u. e) Préciser la nature du parallélogramme Ω tangent au cercle Γ et dont l’un des sommets est I . Calculer l’aire de ce parallélogramme. Exercice 47 *

a) Soit le point ( )M 4;2− extérieur au cercle Γ d'équation 2 2x y 10+ = . Déterminer l'équation des tangentes au cercle passant par M.

b) Même question pour le point ( )M 1;5− et le cercle Γ d'équation 2 2x y 4x 2 y 31+ − + = . Exercice 48 *

Déterminer l'équation du cercle Γ passant par le point ( )P 3; 6− et tangents aux axes Ox et Oy.


3.2.7 Intersection de deux cercles * Questions * Combien d'intersections peut-il y avoir entre deux cercles ?

i) Aucun points d’intersections : ii) Un point d’intersection : (un point de tangence) iii) Deux points d’intersections : Remarques *

Si les centres des deux cercles ne se situent pas à l’intérieur de l’autre cercle alors on a les relations suivantes : • ( )1 2 1 2C ;C r rδ > + ⇔ Γ1 et Γ2 admettent aucune d’intersection.

• ( )1 2 1 2C ;C r rδ = + ⇔ Γ1 et Γ2 admettent un point d’intersection (de tangence).

• ( )1 2 1 2C ;C r rδ < + ⇔ Γ1 et Γ2 admettent deux points d’intersections.

Si au moins un des centres se situent à l’intérieur de l’autre cercle alors on ne peut pas conclure.

• C1 • C2

Γ2

Γ1

• • C1 • C2 Γ1

Γ2

•

• C1 • • C2

Γ2 Γ1

•

C1 •

Γ1 • C2

Γ2

C1 • • C2 Γ1

Γ2

• C1 •

Γ1 • C2

Γ2

•


Méthode * Pour déterminer les points d’intersection (si ils existent) de deux cercles, il faut trouver l’ensemble des points (couples) qui satisfont simultanément les équations des deux cercles. Il faut donc résoudre un système non linéaire de deux équations à deux inconnues.

1

2

Équation du cercle

Équation du cercle

Γ

Γ

⎧⎪⎨⎪⎩

Pour ce faire, on soustrait les équations des deux cercles. On obtient l’équation d’une droite que l’on appelle l’axe radical. On détermine ensuite l’intersection de cette droite avec l’un des deux cercles comme vu précédemment. Exemple *

Soient les cercles d’équations : ( ) ( )2 22 21 2: x y 1 et : x 1 y 1 1Γ Γ+ = − + − =

Il s’agit donc de résoudre le système d’équation non linéaire :

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

x y 1 x y 1x y 2x 2 y 1x 1 y 1 1

⎧ + = ⎧ + =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨+ − − = −− + − = ⎪⎪ ⎩⎩

On soustrait les équations des deux cercles et on obtient : x y 1+ = (axe radical)

On détermine l’intersection de cette droite (axe radical) avec l’un des deux cercles : 2 2x y 1

x y 1⎧ + =⎨

+ =⎩

On trouve ainsi deux points d’intersections : ( ) ( )P 1;0 et Q 0 ;1 . Exercice 49 * Déterminer par calcul, les points d'intersections entre les cercles 1 2et Γ Γ (si ils existent).

a) 2 2 2 21 2: x y 25 0 : x y 8x 7 0Γ Γ+ − = + − + =

b) 2 2 2 21 2: x y 25 0 : x y 12x 4 y 5 0Γ Γ+ − = + − − − =

c) 2 2 2 21 2: x y 14 0 : x y 10x 10 y 46 0Γ Γ+ − = + − + + =

d) Γ1 est le cercle de rayon 1 centré à l'origine et Γ2 est un cercle de rayon 1 centré en (1;1).

e) Γ1 passe par les points A(−2;1), B(2;1) et C(0;−1) et Γ2 est centré en (−1;2) et a pour rayon 1.

•

•

Axe radical


Exercice 50 * Localisation par intersections de cercles. Aider les services secrets de votre pays à localiser le plus précisément possible un individu très dangereux qui a oublié d’éteindre son téléphone portable. L'information est classée secret défense !

Autrement dit : Considérons un plan muni d'un système d’axe orthonormé et trois antennes de téléphonie mobile A1, A2 et A3 (émetteurs/récepteurs).

La position des trois antennes est donnée par les couples suivants :

( ) ( ) ( )1 2 3A 5;5 , A 5 ; 6 , A 11;11− − − . (unité : le kilomètre)

À 17h00, des signaux hertziens sont émis à partir de A1, A2 et A3 en direction d'un utilisateur ( )P x; y (l’individu très dangereux) à la vitesse constante de 0,25 km /µs .

Le temps d'aller et retour du signal émis à partir de A1 est de 40 µs, A2 est de 80 µs et A3 est de 120 µs. Illustration Déterminer les équations cartésiennes des trois cercles permettant de localiser, la position de l'utilisateur ( )P x; y à ce moment-là.

P •

A1 •

A2 •

• A3


3.2.8 Ce qu’il faut absolument savoir

15♥ Calculer la distance entre deux points ok

16♥ Calculer les coordonnées du point milieu d’un segment ok

17♥ Donner l’équation cartésienne d’un cercle connaissant son centre et son rayon ok

18♥ Retrouver le centre et le rayon d’un cercle d’après son équation cartésienne ok

19♥ Donner l’équation cartésienne d’un cercle connaissant les coordonnées de trois points appartenant au cercle ok

20♥ Donner l’équation cartésienne d’une droite connaissant les coordonnées de deux points appartenant à la droite ok

21♥ Donner l’équation cartésienne d’une droite connaissant la pente et l’ordonnée à l’origine ok

22♥ Retrouver la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite d’après son équation cartésienne ok

23♥ Reconnaître deux droites parallèles ok

24♥ Reconnaître deux droites perpendiculaires ok

25♥ Calculer le point d’intersection de deux droites ok

26♥ Déterminer l’équation des médianes d’un triangle ok

27♥ Déterminer l’équation des médiatrices d’un triangle ok

28♥ Trouver les coordonnées du centre de gravité d’un triangle ok

29♥ Trouver les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ok

30♥ Déterminer l’équation des hauteurs d’un triangle ok

31♥ Trouver les intersections d’une droite et d’un cercle ok

32♥ Trouver la tangente à un cercle connaissant le point de tangence ok

33♥ Trouver les intersections de deux cercles ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 40 Géométrie / Solutions des exercices / 2 N-A

3.3 Solutions des exercices Activité 1

a) h 20 m≅ b) 9,53θ ≅ Ex 2

a b c α° β° I 10,88 mm 37,18 mm 38,74 mm 16,31° 73,69° II 57,53 dm 9,11 dm 58,25 dm 81° 9° III 26,60 km 36,61 km 45,25 km 36° 54° IV 3 m 4 m 5 m 36,87° 53,13° V 2 mm 4, 58 mm 5 mm 23,58 ° 66,42 °

Ex 3 h 4,79 m Ex 4 1) 37,26 114,74 a 31,01β γ= ° ≅ ° ≅ 2) 74,41 44,47 61,12α β γ= ° = ° = ° 3) 28,02 81,96 b 37,94α β= ° = ° = ° 4) 75 a 24,49 b 27,32β = ° ≅ ≅ 5) 2 possibilités : 18,66 146,34 c 17,13β γ= ° ≅ ° ≅ ' 161,34 ' 3,66 c' 1,97β γ= ° ≅ ° ≅ 6) Impossible, le triangle n’existe pas.

7) 140 a b 5,32γ = ° = ≅

8) Il y a une infinité de triangles semblables qui sont solutions Ex 6 1 2d 63cm et d 88 cm≅ ≅ Ex 7 h 52,7 m Ex 8 h 2640 m Ex 9 a) 46θ ≅ ° b) x 1h 45 min≅ Ex 10 60θ ≅ ° Ex 11 EF 261,41 m≅ Ex 12 h 15,07 m Ex 13 a) Aire 0.97 ha≅ b) Aire 0.97 ha≅ Ex 14 a) AB 1314,31 m≅ b) 2Aire 0.31 km≅ c) 2Aire 0.31 km≅ Ex 15 Prix du terrain = 840'900 Fr.


Ex 16 a) BPC 72= ° APB 108= ° ABP 36= ° b) BP 0,62≅ c) Aire d’un fer de lance 0,37≅ Aire d’un cerf-volant 0,58≅ Ex 18 * Volume de la tour 31627,6 m≅ Ex 20 * L'aire de la surface hachurée est d'environ : 77,44 cm2. Ex 21 *

c.1) La distance séparant le bateau du port est d’environ : 119,87km

c.2) La direction que le bateau doit suivre pour corriger sa route est N 62° E

e.1) direction N75,4°E

e.2) t 0,078h 5 [min]= ≅ Ex 22

b) 1) ( )A ; B 26δ = 2) ( )A ; C 8 2δ = 3) ( )C ; A 8 2δ = 4) ( )B ; D 5 2δ = Ex 23

a) Il y a deux possibilités : ( ) ( )P 4 ; 3 ou P 4 ; 3′ −

b) Il y a deux possibilités : ( ) ( )P 2 13 ;12 ou P 2 13 ;12′−

c) Aucun d) Il y a deux possibilités : ( ) ( )P 0 ; 8 ou P 0 ; 8′ − e) Aucun

f) Il y a deux possibilités : 7 7 7 7P ; ou P ;2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ex 24 Il y a deux possibilités : ( ) ( )B 3;2 ou B 3;4′ Ex 25 a) Aire du triangle ABC ≈ 37

b) Centre du cercle Γ : ( )ABM 1;4 Rayon du cercle Γ : ABr 172

= =

c) Le point C est en dehors du cercle Γ . Ex 26

a) ( )ABM 5;2 ; ( )BCN 0;5,5 ; ( )CDP 2,5; 3− − ; ( )DAQ 2,5; 6 ,5−

b) ( )M ; N 37,25δ = ; ( )N ; P 78,5δ = ; ( )P ; Q 37,25δ = ; ( )Q ; M 78,5δ =

On constate que : ( ) ( )M ; N P ;Qδ δ= et ( ) ( )N ; P Q ; Mδ δ=

c) Le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. Ex 27

a) ( )C 3 ; 2 r 6− = b) A Γ∉

c) ( )P 2 ; 11 2 Γ− − ∈ et ( )P 2 ; 11 2 Γ′ − − − ∈ d) ( )Q 32 3 ;0 Γ+ ∈ et ( )Q 32 3 ;0 Γ′ − + ∈

e) B est en dehors du cercle. Ex 28 a) ( ) ( )2 2

a : x 4 y 2 64Γ − + + = b) ( ) ( )2 2b : x 4 y 2 50Γ + + + =

c) ( ) ( )2 2c : x 5 y 6 36Γ + + − = d) ( ) ( )2 2

d : x 1 y 3 32Γ − + − =


Ex 29

a) ( )C 0 ;0 et r 5= b) Ce n'est pas l'équation d'un cercle . c) ( )C 2 ; 3 et r 3− =

d) ( )C 0 ; 5 et r 4− = e) ( )C 4 ; 3 et r 5= f) Ce n'est pas l'équation d'un cercle .

g) 1 5C ; et r 12 2

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 1 1C ; et r 22 2

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 30

1) 4m5

= n 4= ( )P 0;4 d∈

2) m 2= n 8= ( )P 0;8 d∈

3) m 0= n 2= ( )P 0;2 d∈

4) m 1= − n 4= − ( )P 0; 4 d− ∈ 5) d n’est pas l’équation d’une droite mais d’une parabole.

6) 3mπ

= 4nπ

= 4P 0; dπ

⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

7) m = +∞ n = ∃ ( )P 3;2 d− ∈ Ex 31

a) A, B et C sont alignés. b) A, B et D ne sont pas alignés. Ex 32

1) 1y x5

= − 2) 1y x3

= − 3) ( )1y 3 x 22

− = −

4) ( )y 1 2 x 1− = − 5) 3y x2

= 6) y x=

7) ( )y 3 2 x 2− = + 8) 5y x2

= − 9) y 2 x 1− = +

10) ( )y 4 x 3− = − − 11) ( )2y 4 x 35

− = − 12) ( )2y 5 x 23

− = − +

Ex 33 Le triangle n'est pas rectangle.

Ex 34 a) ( ){ }1 2d d 2;5∩ = − ( ){ }1 3d d 2;3∩ = ( ){ }2 3d d 4; 3∩ = − b) Périmètre du triangle ABC 20,8≅ Aire du triangle ABC 10≅ Ex 35

b) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme mais pas un losange. c) Aire du parallélogramme ABCD 32.86≅ Ex 36

( ) ( )2 1P;d P;d∂ > ∂ donc le point P est plus proche de la route 1 d .

Ex 37 11 8G ;3 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

est le centre de gravité du triangle ABC.

Ex 38 b) 117 188J ;38 38

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

c) ( ) ( ) ( )Rayon J ; A J ;B J ;C 5δ δ δ= = = ≅

2Aire du disque 5 78.54π≅ ⋅ ≅


Ex 39

a) 92 36H ;19 19

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

est l'orthocentre du triangle ABC. b) AB ICAire 192⋅

= =

Ex 40

a) ( ) ( ){ }S 5;0 ; 3;4= − b) S = ∅ c) ( ){ }S 2; 4= −

d) ( ) ( ){ }S 3;2 ; 5;4= e)* ( ) ( ){ }S 1; 5 ; 3;1= − − Ex 41

1) Si l’équation du second degré qui en résulte admet deux solutions (Δ > 0) cela signifie que la droite coupe le cercle en deux points.

2) Si l’équation du second degré qui en résulte admet une solution (Δ = 0) cela signifie que la droite admet un point de tangence avec le cercle.

3) Si l’équation du second degré qui en résulte admet aucune solution (Δ < 0) cela signifie que la droite ne coupe pas le cercle. Ex 42 *

1) Aire de l’octogone régulierΩ 50 2= 2) ( )1,71;5,96 Ex 43 *

( ) ( )P 2 2;2 2 et Q 2 2;2 2− − + +

La distance minimum entre le cercle Γ et le point R est : ( )R;P 2,24δ ≅

La distance maximum entre le cercle Γ et le point R est : ( )R;Q 6,24δ ≅ Ex 44

1) t : 3x 4 y 25 0+ − = 2) t : 3x y 15 0+ − = 3) t : 4x 3y 0+ = Ex 45

1d n’est pas tangente au cercle 1Γ . 2d est tangente au cercle 2Γ . Ex 46

a) ( ) ( ) ( ) ( )22 2x 3 y 2 10 Centre : C 3;2 rayon 10+ + − = − =

b) Point de tangence : ( )T 2;5−

c) ( )u : y 1 3 x 0− = −

( )u y 1 3x x 1

I 1;4t x 3y 13 0 y 4

− = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ − = =⎩ ⎩

d) 90θ =

e) C’est un carré de coté 2 10 (diamètre du cercle).

Aire du parallélogramme (carré) = ( )22 10 40=

••

•

Δ< 0

Δ= 0

Δ > 0


Ex 47 *

a) y 2 1t :x 4 3−

=+

y 2 3t' :x 4 1−

= −+

b) Pas de droite tangente à Γ et passant par M car M est à l’intérieur du cercle.

Ex 48 *

( ) ( )2 2 21 : x 3 y 3 3Γ − + + = et ( ) ( )2 2 2

2 : x 15 y 15 15Γ − + + = Ex 49 *

a) ( ) ( ){ }S 4;3 ; 4; 3= − b) ( ) ( ){ }S 0;5 ; 3; 4= − c) S = ∅

d) ( ) ( ){ }S 0;1 ; 1;0= e) 5 7 9 7 5 7 9 7S ; ; ;4 4 4 4 4 4 4 4

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= − − − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Ex 50 * ( )P 1;2

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Documents

01 Table des matieres Avant-Propos Geometrie 2 N-A...3.2.4 Droites remarquables du triangle 27 3.2.5 Intersection d’une droite avec un cercle 32 3.2.6 Équation de la tangente à