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Chap. 3 - Systèmes optiques centrés dans les conditions de Gauss: définitions
Système centré dioptrique : ne contenant que des dioptres.
Système centré catadioptrique : contenant des dioptres et des
miroirs.
Système centré catoptrique : ne contenant que des miroirs.
Un système centré est dit :
à foyers : les foyers principaux objet et image sont à distance finie;
afocal : les foyers principaux objet et image sont rejetés à l’infini.
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
1
Un système centré est un ensemble de milieux transparents séparés par
des surfaces (planes ou sphériques) réfringentes et/ou réfléchissantes.
Systèmes centrés dioptriques - Introduction
2
''
)' ,(
22
)' ,(
11
)' ,( 222111 BABABAAB jj FFSjFFSFFS
'' )F' (F,
BAABcentréoptiqueSystème
(S1) (S2) (S3)
(E) (S)
A
B
A’
B’
n n’
(P) (P’)
A
B
A’
B’
n n'
Points et plans principaux d’un
système centré dioptrique
Les plans principaux objet (P) et image (P’) sont deux
plans conjugués tels que le grandissement linéaire =1.
B’ B
(P)
H F H’ F’
(P’)
A A’
E S
Les points principaux objet H et image H’ sont deux points
conjugués, intersection de l’axe optique avec les plans
principal objet (P) et image (P’) respectivement, et tels que :
Les distances focales objet f et
image f’ sont données par :
''' FHfetHFf
(F et F’ ont même définition que
pour un système optique simple)
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
3
1''
HB
BH
1 / '
HHcentréSystème
La nature de F et F’ dépend de leur position / à
E et S et non pas par rapport à P et P’.
n n’
Construction des plans principaux
(P) et (P’)
Le plan principal image (P’) est le lieu des K’ intersection des incidents
parallèles à l’axe et des émergents correspondants passant par F’
Le plan principal objet (P) est le lieu des K intersection des incidents
passant par F et des émergents correspondants parallèles à l’axe.
4
(P)
H H’ F’
(P’)
F
K’ K
La donnée des éléments cardinaux du système centré (F, F’, H et H’) définie
complètement le système optique.
La construction de l’image d’un objet se fait grâce aux deux rayons
particuliers ( // à l’axe et passant par F).
B
A
F
H H’
F’ A’
B’
I I’
J J’
Construction de l’image d’un objet Formule de conjugaison/vergence
u u’ '
''''
f
AF
FA
f
AB
BA
1''
'
AH
f
HA
f
Relation de Descartes
Grandissement avec
origine aux foyers
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
5
n n’
(P) (P’)
En considérant les triangles semblables (BIJ) et
(FHJ) d’une part, (B’I’J’) et (F’H’I’) d’autre part, on
montre que :
En calculant tg u et tg u’,
on montre que :
Remarque: n et n’ sont les indices des milieux avant E et après S respectivement.
'''' n
n
f
f
FH
HF
HFFHnnidentiques
sontextrêmesmilieuxlesLorsque
''' :
HF
n
FH
nV
''
' :est foyers à centré systèmeun d' vergenceLa
Relation entre les distances focales
Vergence
di 0
0
vergentsystèmeV
convergentsystèmeV
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
6
H H’
''''.. ' ''' BAABununuBAnuABn
Formule de Lagrange-Helmoltz :
''''
''''
FH
AB
FH
BAutgu
HF
AB
HF
FFutgu s
Indépendamment de la nature des foyers.
HA
AH
n
n
AB
BA ''
'
''
Vf
n
HA
n
AH
n
'
'
''
'
Autres formulations de la relation de conjugaison
et de grandissement transversal
Relation de conjugaison avec
origine aux points principaux
''' . ffAFFA
Formule de Newton
Remarque :
Dans le cas d’un dioptre sphérique : H Ξ S Ξ H’
Le grandissement linéaire avec origine
aux points principaux s’écrit :
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
7
1''
'
AH
f
HA
f
'
'
n
n
f
f
La relation de conjugaison avec
origine aux foyers est :
s
K
K’
N’ N
J
J’
Points nodaux N et N’ et
grandissement angulaire G
Les points nodaux N et N’ sont deux points conjugués sur l’axe tels qu’à tout incident passant par N correspond un émergent passant par N’ et parallèle à l’incident.
F H H’
F’
fHFNFfFHFN ''et ''' '''et '' ffNHHNHHNN
Si les milieux extrêmes sont identiques (f = - f’) : H Ξ N et H’ Ξ N’
PFO
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
8
Points nodaux N et N’ et
grandissement angulaire G
N et N’ sont tels que le grandissement angulaire G = 1 :
N N ‘ / G = 1
D’après la relation de Lagrange-Helmholtz : 'n
nG
'n
nGOn a alors pour N et N’ (G = 1) :
Si en plus les milieux extrêmes sont identiques (n = n’) alors : = 1
dans ce cas : N Ξ H et N’ Ξ H’
Exemple : Pour le dioptre sphérique : H Ξ H’ Ξ S et comme
HN = H’N’ = f + f’ = SF + SF’ = R =SC = HC, alors N Ξ C Ξ N’
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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Construction de l’image d’un objet
Système centré divergent
B
A F’ H H’ F A’
B’
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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P P’
Association de deux systèmes
centrés
Position du problème:
(S) : (H, H’, F, F’) ? (S1) : (H1, H’1, F1, F’1)
(S2) : (H2, H’2, F2, F’2)
(S) systèmedu optique intervalle appeléest '
systèmedu épaisseur l'ou optique intersticel'est '
21
21
FF
HHe
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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H1 H1’ H2 H2’ H H’
Construction géométrique des points
cardinaux du système équivalent
1 – Foyer image F’ et point principal image H’
(PF2)
Φs2
F’
(P’)
H’ H’2
F’2
n’
F’1 F2
N
H1
F1
H’1
n
(S1) (S2)
(P1) (P’1)
(P2) (P’2)
H2
'' 21
1 FFASS
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
12
Construction géométrique des
points cardinaux
2 – Foyer objet F et point principal objet H
(PF’1)
Φ’s1
F
(P)
H
F’2
n’
F’1 F2
N
H1
F1
H’1
n (S1) (S2)
(P1) (P’1)
(P2) (P’2)
H2 H’2
'21
2 AFFASS
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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Détermination analytique des
points cardinaux
'' 21
1 FFASS
'21
2 AFFASS
D’après les deux constructions
précédentes on a :
En appliquant la formule de Newton aux couples de points
conjugués (F, F2) par (S1) et (F’1, F’) par (S2), on montre que :
'
'' 222
ffFF
En utilisant les deux constructions précédentes et les propriétés
des triangles semblables, on montre que :
''
''' 21
fffFH
11
1'
ff
FFet
21
fffHFet
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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' 21 FFOù
).(S centré systèmedu imageet objet focales distances lessont 'et
);(S centré systèmedu imageet objet focales distances lessont 'et
222
111
ff
ff
Vergence du système (S) et
formule de Gullstrand
La vergence Vs (ou C) du système centré équivalent est le
rapport de son indice de sortie à sa distance focale image : '
'V s
f
n
Compte tenu de l’expression de f’ du système centré, Vs s’écrit :
''
'
'
'V
21s
ff
n
f
n fe f' -' avec 2121 FF
En remplaçant ∆ par son expression et en développant Vs, on trouve :
V 2121s ssss VV
N
eVV
Formule de Gullstrand 2s
1s
'
'V
'V
2
1
f
n
f
N
n'
N-
'
N
n-
'
2
2
1
1
f
f
f
f
où et
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
15
N étant l’indice du milieu intermédiaire
Systèmes centrés afocaux
Une association de deux systèmes centrés est afocale si le foyer
image du premier système est confondu avec le foyer objet du
second système. Dans ce cas l’intervalle optique est nul ( ). 0
Système centré afocal ses foyers objet et image sont à l’infini.
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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P1 P1’
P2 P2’
Systèmes catadioptriques Ces systèmes sont formés par des dioptres et limités
par au moins un miroir. Ils sont équivalents à un miroir
sphérique (M) unique de centre et de sommet tels
que :
Ξ
(Sd) (M1)
C S
(M)
est l’image du sommet S du miroir réel à travers le (Sd) dans le
sens de la lumière réfléchie.
est l’image du centre C du miroir réel à travers le système
dioptrique (Sd), dans le sens de la lumière réfléchie;
SdC
SdS
Chapitre 3 : systèmes optiques centrés
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Un tel système catadioptrique à foyers est identique à un miroir
sphérique, en ce qui concerne la position et la grandeur des images, non
en ce qui concerne leur nature réelle ou virtuelle.
Exemple:
18
D(S1, C1) M(S2, C2)
C1 S2 C2
n n'
S1
n n’
MS (, )
(n) )'(
),(
211
n
CSDC et
(n) )'(
),(
211
n
CSDS
2111
11211
11211
''
.
''
SSnnCSn
CSSSnS
CS
nn
SS
n
S
n
2111
11211
11211
''
.
''
CSnnCSn
CSCSnS
CS
nn
CS
n
S
n
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