View
246
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
cours
Citation preview
RDM
Mécanique des Milieux Continus Unidimensionnels
(MMC1D)
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis
Département de Génie Mécanique
Makrem ARFAOUI
Plan du Cours
1. Équilibre et dynamique des structures de poutres
2. Efforts Intérieurs et Déformations
3. Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
4. Loi de comportement thermoélastique
5. Équilibre et dynamique d’une Structure thermoélastique de poutres
6. Flambage
Chapitre 3
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Objectifs : à la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable de :
1. comprendre le principe de Saint-Venant et ses limites
2. dimensionner une structure de poutres
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Comment dimensionner ?
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures
MMC3DMMC1D( )gR O,i, j,k
+j
i
k
O
Repère Galiléen
0Q
0S
1S
1Qc
S
d∆∆∆∆ <<<<<<<<
cQ
LS
LQ
3D à 1D : Oui
1D à 3D : Non
( )PR G,x, y,z
G0
G1
G
+dS
xy
z
(((( ))))(((( ))))
0
0 0
G
ext / G , GF
(((( ))))(((( ))))
1
1 1
G
ext / G , GF
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
0 1
P
ext / G G , Pµµµµ
(((( ))))(((( ))))
K
ext / K , KF
K
La modélisation des actions par la MMC1D engendre une perte d’informations : deux distributions
d’actions, appliquées sur une section donnée et ayant même torseur, ne seront pas distinguées par la
MMC1D.
C’est le principe de Saint-Venant qui justifie cette approximation en affirmant que ces deux
distributions d’actions produiront, sauf au voisinage immédiat de la section concernée, le même effet.
P
x
x
n
.nσσσσ
σσσσ
0G
1G
0G
0G
0G
(((( ))))(((( ))))G
/ , GT
− +− +− +− +
(((( ))))(((( ))))G
/ , GT
+ −+ −+ −+ −
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))G
/ , G
G
R GT
M G+ −+ −+ −+ −
====
0G
x
x
n
.nσσσσ
σσσσ
0G
1G
0G
0G
0G
(((( ))))(((( ))))G
/ , GT
− +− +− +− +
(((( ))))(((( ))))G
/ , GT
+ −+ −+ −+ −
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))G
/ , G
G
R GT
M G+ −+ −+ −+ −
====
0G
De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : torseur des actions internes
( )( )
( )
( )
d
d
SG
/ , G
G
P SA
R G .n.dS
TM G GP .n.dS
σ
σ+ −
∈
=
= = ∧
∫
∫
Définition du système d’étude
Orientation de la ligne moyenne du – vers le +
Coupure de la ligne moyenne en deuxparties distincts et complémentaires
Le torseur des actions internes estDéfinie par l’action de la partie + sur la partie -
( )( )
( )( )
G G
/ , G / , GT T
+ − − += −
De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : torseur des actions internes
(-)x
( ).N R G x= : effort normal selon la direction x
( ).
yT R G y= : effort tranchant selon la direction y , ( ).
zT R G z= : effort tranchant selon la direction z
( ).GxM M G x= : moment longitudinal autour de la direction x
( ).GyM M G y= : moment de flexion autour de la direction y ,
( ).GzM M G z= : moment de flexion autour de la direction z
On appelle aussi
. .
y zT T y T z= + le vecteur des efforts tranchants
. .f y zM M y M z= + le vecteur moment de flexion ou fléchissant
De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D :
relation entre torseur des actions internes et le tenseur de contraintes
( )( )
( )
( )
d
d
SG
/ , G
G
P SA
R G .n.dS
TM G GP .n.dS
σ
σ+ −
∈
=
= = ∧
∫
∫
( ) . .
d
xx
S
N R G x dSσ= = ∫ ,
( ) . . .
d
Gy xx
S
M M G y z dSσ= = ∫ , ( ) . . .
d
Gz xx
S
M M G z y dSσ= = − ∫
( ) ( ). . . .
d
Gx xz xy
S
M M G x y z dSσ σ= = −∫ ,
( ). .
d
y xy
S
T R G y dSσ= = ∫ , ( ) . .
d
z xz
S
T R G z dSσ= = ∫ ,
Comment inverser ces relations ?Exprimer le tenseur des contraintes en fonction du torseur des actions internes
P
yy y
xx xy xz
xy
xzB
z
zy zz
=
σ σ σ
σ σ
σ
σ σ
σ σ
N’apparaissent pas dansQuel choix faut il faire ?
( )( )
G
/ , GT
+ −
• L’effort normal N et les moments de flexion y
M et zM dépendent seulement de
la contrainte normale à la section droite xxσ .
• Les efforts tranchants y
T et zT , et le moment longitudinal
xM dépendent
uniquement des contraintes tangentielles dans la section droite xy
σ et xzσ .
• Le torseur des actions internes dépend uniquement de xxσ ,
xyσ et
xzσ . Il est
indépendant de yyσ , yz
σ et zzσ .
• L’un de nos objectifs dans ce cours est la détermination du tenseur des
contraintes afin de pouvoir dimensionner les structures de poutres. L’expression
du tenseur des contraintes sera déduite à partir de la résolution du problème de
Saint-Venant (chapitre 3). Or, les composants yy
σ , yz
σ et zzσ vont rester
indéterminés selon la remarque précédente. Ce dilemme est résolu via le
principe expérimental dit de Saint-Venant.
De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D :
relation entre torseur des actions internes et le tenseur de contraintes
Remarques
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Problème de Saint-Venant
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z GA B
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z G
x
y
z
x
y
z GA B
Equations du problème d’élasticité linéaire :
Equations locales de mouvement en MMC3D : div 0σ =
Loi de comportement : ( )1
. .tr .1E E
ν νε σ σ
+= −
Equation de Beltrami s’écrit : ( ) ( )( ) ( )( )1 . . .tr . tr .1 0ν σ σ ν σ− + ∆ − ∇ ∇ + ∆ =
Conditions aux limites
sur la section AS : ( )
A
A
S
. x .dS Fσ − =∫ et ( )A
A
S
AP . x .dS Cσ∧ − =∫
sur la section BS : B
B
S
.x.dS Fσ =∫ et B
B
S
BP .x.dS Cσ∧ =∫
sur la surface latérale LS de normale extérieure n : .n 0σ =
Conditions aux limites non classiques le problème de Saint-Venant admet une infinité de solution
Problème de Saint-Venant
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z GA B
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z G
x
y
z
x
y
z GA B
Principe expérimental de Saint-Venant
Loin des sections d’application des actions, l’état de contrainte et de déformation
d’une poutre ne dépend que du torseur des actions appliquées et non de la manière
précise avec laquelle ces actions sont appliquées.
Commentaires sur le principe expérimental de Saint-Venant
Deux distributions de forces surfaciques conduisant au même torseur résultant, conduiront à
deux solutions très voisines, sauf au voisinage immédiat des extrémités ou des actions
concentrées.
Le problème de Saint-Venant admet une infinité de solutions, mais ces solutions sont très
voisines les unes des autres, et il n’y a pas de lieu de les distinguer – à moins de vouloir des
informations précises sur ce qui se passe au voisinage des extrémités -.
dd
Problème de Saint-Venant
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z GA B
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z G
x
y
z
x
y
z GA B
dd
Hypothèse de Saint-Venant sur la forme du tenseur des contraintes
P
SV SV SV
xx xy xz
SV SV
xy
SV
xzB
0 0
0 0
=
σ σ σ
σ σ
σ
Commentaires sur l’hypothèse de Saint-Venant
L’hypothèse de Saint-Venant indique que les termes yyσ , yz
σ et zz
σ sont nuls.
Ce choix est valable loin des points d’application des actions concentrées ou de
discontinuités géométriques.
Problème de Saint-Venant
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z GA B
(((( ))))(((( ))))
B
ext / AB , BF(((( ))))
(((( ))))
A
ext / AB , AF
LS∂∂∂∂ .n 0σσσσ ====
f 0====0γγγγ ====
x
y
z G
x
y
z
x
y
z GA B
dd
Solution
ySV z
xx
y z
M MN.z .y
S I Iσ = + −
x y y z zSV y y
xy x ,z y y z z
M .T .T. T .H T .H
J
− −= + +
β βσ ψ
x y y z zSV z z
xz x ,y y y z z
M .T .T. T .H T .H
J
− −= − + +
β βσ ψ
y y z z
y z x y z y zJ , , , ,H ,H ,H ,Hβ β ψ sont des fonctions
propres à la section droite (forme et matériau).
Commentaires sur le tenseur des contraintes solution du problème de Saint-Venant
La contrainte normale est reliée directement aux actions internes N , yM et zM via S , yI et zI .
Les contraintes tangentielles SV
xyσ et SV
xzσ sont reliées aux actions internes xM , yT et zT via des
fonctions caractérisant la section droite et le matériau dont la détermination exige la résolution de
divers problèmes de Dirichlet trop compliqués pour les applications courantes.
yβ et zβ caractérisent la dissymétrie de la section droite. En effet, si l’axe ( )G, y (resp. ( )G,z )
est un axe de symétrie alors y 0β = (
z0β = ).
yβ et z
β sont les constantes de non-symétrie de la
section droite.
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Tenseur des contraintes pour la MMC1D
Commentaires sur le tenseur des contraintes solution du problème de Saint-Venant
Dans le cas général d’une structure de poutres de géométrie quelconque et soumise à des actions
générales, on ne dispose pas de solution exacte. En effet, la solution de Saint-Venant est valable
sous les hypothèses énoncées : poutre droite, section constante et torseurs d’actions résultants aux
extrémités.
( )PR G,x, y,z
G0
G1
G
+dS
xy
z
(((( ))))(((( ))))
0
0 0
G
ext / G , GF
(((( ))))(((( ))))
1
1 1
G
ext / G , GF
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
0 1
P
ext / G G , Pµµµµ
(((( ))))(((( ))))
K
ext / K , KF
K
P
Hypothèse issue du principe expérimental de Saint-Venant
La répartition des contraintes dans une section droite ne dépend que du torseur des actions
intérieures au point considéré G de la section droite
Tenseur des contraintes pour la MMC1D
( )PR G,x, y,z
G0
G1
G
+dS
xy
z
(((( ))))(((( ))))
0
0 0
G
ext / G , GF
(((( ))))(((( ))))
1
1 1
G
ext / G , GF
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
0 1
P
ext / G G , Pµµµµ
(((( ))))(((( ))))
K
ext / K , KF
K
P
Commentaires sur l’Hypothèse issue du principe expérimental de Saint-Venant
L’hypothèse issue du principe de Saint-Venant permet d’étendre la validité de l’expression du tenseur des
contraintes solution du problème de Saint-Venant, obtenue pour une poutre droite de section constante
chargée seulement à ces extrémités, au cas général.
Cela revient à supposer que ces résultats restent valables, en première approximation du moins, pour une
poutre droite ou courbe, de section constante ou variable, et chargée de manière quelconque.
Il s’agit bien d’une approximation, et il est facile de vérifier que le champ de contrainte ainsi construit à
partir du torseur des actions internes ne sera pas en général solution du problème d’élasticité
tridimensionnelle.
Néanmoins, cette approximation donne des résultats globalement valables et qui suffisent pour la plupart
des applications, même si parfois on obtient localement d’importantes divergences.
Tenseur des contraintes pour la MMC1D
( )PR G,x, y,z
G0
G1
G
+dS
xy
z
(((( ))))(((( ))))
0
0 0
G
ext / G , GF
(((( ))))(((( ))))
1
1 1
G
ext / G , GF
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
0 1
P
ext / G G , Pµµµµ
(((( ))))(((( ))))
K
ext / K , KF
K
P
Tenseur des contraintes pour la MMC1D
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y zy z y zM ,T ,N ,M ,M N MT M T T, M= + + + + +σ σ σ σ σ σ σ
( ) ( )y z x y11 zN ,M ,M MT .x .x ,T ,T= = +σ σ τ / xy xzy z= +τ σ σ
y zxx
y z
MN M.z .y
S I I= + −σ
( ) ( ) ( )yx zx y z
TM T. y,z . y,z . y,z
J S Sτ Φ Φ Φ= + +
( )x y,zΦ est homogène à une longueur. ( )y y,zΦ et ( )z y,zΦ sont des fonctions adimensionnelles.
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Dimensionnement élastique ??
Critères de dimensionnement élastique ( )0f , 0≤σ σ
Critère de Von-Mises : ( )0 VM 0f , 0σ σ σ σ= − ≤ avec 2 2
VM xx 3.σ σ τ= + et 2 2 2
xy xzτ σ σ= +
Critère Tresca : ( )0 i j 0i , j
f , sup 0σ σ σ σ σ= − − ≤ avec 2 2
i j xxi , j
sup 4.σ σ σ τ− = +
« Pseudo-critère » de limite d’élasticité tridimensionnel portant sur le torseur des
actions internes
( )( )( ) ( )G
d y z y z x d/ , Gf T ;Mat,GeoS f N ,M ,M ,T ,T ,M ;Mat,GeoS 0
+ −= ≤
Mat et dGeoS désignent, respectivement, les propriétés élastiques du matériau et les
caractéristiques géométriques de la section droite.
« Pseudo-critère » de limite d’élasticité tridimensionnel portant sur le torseur des actions
internes :
( )( )( ) ( )G
d y z y z x d/ , Gf T ;Mat,GeoS f N ,M ,M ,T ,T ,M ;Mat,GeoS 0
+ −= ≤
Ce « pseudo-critère » définira dans l’espace (à 6 dimensions) des actions intérieures un domaine
élastique admissible pour une section donnée.
L’étude complète, où aucun terme n’est nul, serait très compliquée et ne présente pas un grand intérêt.
Le mot « pseudo-critère » est utilisé l’inégalité n’est pas intrinsèque et elle dépend de la forme de la
section droite et du matériau.
La distribution des contraintes dans une poutre étant souvent complexe, la recherche des points G les
plus dangereux vis-à-vis du critère est difficile.
On se contente souvent d’évaluer le critère en un certain nombre de points choisis en espérant que le
véritable maximum n’est pas loin de celui trouvé dans ces points.
Or, ces points G, correspondant aux éventuels maximums, sont souvent des lieux d’application
d’actions concentrées, de discontinuités géométriques, ... rendant l’expression du tenseur des
contraintes non valables dans ces zones (principe de Saint-Venant).
Afin de corriger ce tenseur de contraintes on introduit la notion de concentrateur de contrainte.
Dimensionnement élastique ??
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Une poutre, ou un tronçon de poutre, est en traction/compression dès que le torseur des actions
intérieures se présente sous la forme suivante :
( )( ) ( )
( )G
/ , G
G
R G N.xT
M G 0+ −
==
=
Si N est positif (resp. négatif), la poutre est soumise à de la traction (resp. compression).
Le tenseur des contraintes est uniaxial et s’écrit : x xxx .e eσ σ= ⊗ avec xx
N
Sσ σ= =
Répartition des contraintes en traction
Traction/Compression
Photos de la grille avant (à gauche) et après (à droite) déformation
Vue de la grille avant et après déformation
Traction/Compression
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Une poutre est en torsion dès que le torseur des actions intérieures se réduit à la forme suivante :
( )( ) ( )
( )G
/ , G
G x
R G 0T
M G M .x+ −
==
=
Vue "3D" idéalisée de la grille avant et après déformation
Vue idéalisée de la grille avant et après déformation
Torsion de poutre droite de section cylindrique
Dans une section droite, il n’y a pas de déformation longitudinale donc de contrainte normale,
les sections ont seulement un mouvement de rotation sans aucune translation.
Les seules contraintes sont donc des contraintes tangentielles.
Torsion de poutre droite de section cylindrique
Cylindres tournant les uns par rapport aux autres et le vecteur contrainte
En observant l’extrémité de la poutre, on peut considérer pour mieux comprendre que le barreau
se comporte comme une infinité de cylindres de rayons variables, tournant les uns par rapport
aux autres.
Chaque rotation relative de l’un des cylindres par rapport à l’autre génère donc des contraintes
tangentielles dont la direction est dans le plan tangent aux cylindres.
Torsion de poutre droite de section cylindrique
Repère local et contraintes dans la section droite Répartition des contraintes dans la section droite
Si ( )PR G,x, y,z est cartésien xy xzT .n .y .zσ τ σ σ= = = + avec
x
xy
x
x
xz
x
M.z
I
M.y
I
σ
σ
= −
=
Si ( )rPR G,e ,e ,xθ est cylindrique T .n .eθσ τ τ= = = avec x
x
M.r
Iτ = et 2 2
r y z= +
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
Effort Tranchant et Flexion : flexion simple et flexion pure
Soit une poutre prismatique de section droite quelconque soumise à des actions extérieures la rendant en
état de flexion. Le torseur des actions internes à la forme suivante :
( )( ) ( )
( )y zG
/ , G
G y z
R G T .y T .zT
M G M .y M .z+ −
= +=
= +
Les équations locales de mouvement se réduisent à :
y
y
dTp
dx= − , z
z
dTp
dx= − ,
y
z
dMT
dx= , z
y
dMT
dx= −
Effort Tranchant et Flexion : flexion simple et flexion pure
Tronçon de poutre avant et après déformation pour une flexion plane
L’analyse expérimentale précédente amène à deux conséquences :
• Les fibres s’allongent ou se raccourcissent et sont donc soumises à des contraintes normales.
• Entre chaque fibre, on a des variations de longueur qui induisent des contraintes tangentielles.
On a donc à la fois des contraintes tangentielles dites longitudinales (dans le plan ( )z,x ), et par
réciprocité, des contraintes tangentielles transversales (dans le plan ( )x, y ).
Effort Tranchant et Flexion : flexion pure
L’effet du moment de flexion pure se traduit donc par une contrainte normale xxσ ayant
l’expression suivante :
y z
xx
y z
M M.z .y
I Iσ = − (cas 3D) ou z
xx
z
M.y
Iσ = − (cas plan)
Répartition linéaire des contraintes normales dans l’épaisseur
Effort Tranchant et Flexion : flexion simple
Hypothèse de contrainte tangentielle moyenne
Soit une poutre de section droite pleine. Une première approximation consiste à supposer la
contrainte tangentielle uniforme dans la section droite. Il s’en suit :
S
T .dS .Sτ τ= =∫
τ étant uniforme, on a :
max
T
Sτ τ= =
Remarque
On a donc avec cette première expression un moyen de calculer les contraintes tangentielles sous
l’hypothèse qu’elles sont uniformes sur la section. Cette expression est souvent utilisée pour les
sections massives. Malheureusement, elle n’est pas exacte, car les contraintes tangentielles ne sont
pas uniformes sur la section.
Effort Tranchant et Flexion : flexion simpleAmélioration de l’approximation de la contrainte tangentielle On suppose que le vecteur contrainte tangentielle due à
yT (resp. zT ) est parallèle à l’axe y (resp. z ) et ne
dépend que de y (resp. z ). Le vecteur contrainte tangentielle s’écrit :
( )
( )y
xy
z z
T A S * / z.
I b y= −σ ,
( )( )
zxz
y y
A S * / yT.
I b z= −σ
( )A S * / z et ( )A S * / y sont les moments statiques de la section droite par rapport aux axes z et y définis
par :
( )S
A S * / z y.dS= ∫ , ( )S
A S * / y z.dS= ∫
( )zb y est la largeur de la section droite dans la direction de l’axe z et ne dépend que de y . ( )y
b z est la
largeur de la section droite dans la direction de l’axe y et ne dépend que de z .
Répartition des contraintes tangentielles dans la largeur
S*S*
1. INTRODUCTION
2. POSITION DU PROBLEME
3. PROBLEME DE SAINT-VENANT
4. TENSEUR DES CONTRAINTES POUR LA MMC1D
5. DIMENSIONNEMENT ELASTIQUE
5.1. INTRODUCTION
5.2. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TRACTION/COMPRESSION
5.3. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : TORSION DE POUTRE DROITE DE SECTION DROITE CYLINDRIQUE
5.4. SOLLICITATION ELEMENTAIRE : EFFORT TRANCHANT ET FLEXION
5.5. CONCENTRATION DE CONTRAINTES
6. EXERCICES
Contraintes et dimensionnement élastique des structures de poutres
Chapitre 3
La concentration de contraintes est un problème souvent rencontré dans la
conception mécanique d’un composant ou organe mécanique.
C’est un phénomène d’augmentation locale des contraintes dans une zone comportant
une modification géométrique de la pièce
Vous dites concentration de contraintes ?
La zone de concentration de contraintes est souvent le site d’amorçage de fissures de
fatigue mais peut être aussi l’origine d’une rupture brutale dans le cas d’un matériau
fragile.
Effet des discontinuités géométriques sur la répartition des contraintes
Site d’amorçage de fissures de fatigue mais peut être aussi l’origine d’une rupture
brutale dans le cas d’un matériau fragile.
Les contraintes sont maximales au bord du trou.
Existence de concentrations de contraintes au voisinage d’un accident géométrique
Effet des discontinuités géométriques sur la répartition des contraintes
Problématique Dans le cas des poutres, le calcul de MMC1D ne donne plus des résultats corrects
dans la zone où les contraintes sont concentrées.
Mais les calculs restent valables tant que l’on s’éloigne "suffisamment" de l’accident
géométrique (trou, variation brutale de la section, entaille. . .).
Méthodologie On va chercher à utiliser les calculs de MMC1D pour calculer les contraintes comme
s’il n’y avait pas d’accident géométrique.
On corrigera ensuite ces contraintes localement en utilisant des coefficients
déterminés théoriquement, expérimentalement ou numériquement.
Le coefficient de concentration de contraintes dépend du type d’action et il est alors
défini comme suit :
( )( )
réelle
tr
nom
NK
N=
σ
σ,
( )( )
réelle f
fl
nom f
MK
M=
σ
σ,
( )( )
réelle x
tor
nom x
MK
M=
τ
τ
trK , fl
K et torK désignent les coefficients de concentrations de contraintes
correspondant, respectivement, aux actions de traction, flexion et torsion.
La contrainte réelle notée réelleσ ou réelleτ est la valeur maximale de la contrainte
obtenue sur la poutre avec le défaut géométrique qui sera utilisée pour appliquer les
critères de dimensionnement.
On appelle contrainte nominale, que l’on note nomσ ou nomτ , la contrainte maximale
calculée à partir d’une étude de MMC1D,
Détermination des contraintes réelles
On appelle contrainte nominale, que l’on note nomσ ou
nomτ , la contrainte maximale
calculée à partir d’une étude de MMC1D, en supposant que l’on prend en compte la
plus petite section sollicitée.
La section, ou la distance par rapport à la fibre neutre à prendre en compte n’est pas
celle liée à la géométrie réelle de la poutre, mais celle liée à une poutre de section
équivalente à la section sans l’accident géométrique
Détermination des contraintes nominales
Détermination des coefficients de concentration de contrainte
Recommended